Chapitre 3 REGIME SINUSOIDAL PERMANENT Prof. Mourad ZEGRARI
Plan <ul><li>Caractéristiques des signaux périodiques </li></ul><ul><li>Grandeur sinusoïdale </li></ul><ul><li>Étude des c...
Grandeur périodique -alternative <ul><li>Grandeur périodique </li></ul><ul><li>i(t+T) = i(t) : reproduction au bout de la ...
Valeur Moyenne <ul><li>Intensité du courant continu transportant la  même quantité de charge  : </li></ul><ul><li>Charge t...
Valeur Efficace <ul><li>Intensité du courant continu produisant la  même puissance   électrique  : </li></ul><ul><li>Puiss...
Exemple 3.1 <ul><li>On considère le courant suivant : </li></ul><ul><li>Valeur Moyenne de i : I moy   = 5 mA </li></ul><ul...
Grandeur sinusoïdale <ul><li>Courant sinusoïdal : i(t) =  I m  cos(  t+  ) </li></ul><ul><li>i(t) : intensité instantané...
Caractéristiques <ul><li>Valeur moyenne : </li></ul><ul><li>Valeur efficace : </li></ul><ul><li>Signal à composante contin...
Exemple 3.2 :  Composante continue <ul><li>On considère le courant suivant : </li></ul><ul><li>Courant Moyen : I moy  = 30...
Représentations en RSP <ul><li>Domaine temporel </li></ul><ul><li>On représente la forme d’onde de la grandeur en fonction...
Domaine temporel : Formes d’onde <ul><li>Courant : i(t) =  I m  cos(  t+  i ) </li></ul><ul><li>Tension : v(t) =  V m  c...
Déphasages v(t) t 0 i(t)    = 0 i et v  en phase . i,v v(t) t 0 i(t)    =   i et v  en opposition de phase . i,v v(t) t...
Domaine géométrique : Plan de Fresnel <ul><li>On représente les vecteurs à l’instant t = 0 : </li></ul><ul><li>i(t) =  I m...
Domaine du Phaseur : Plan complexe <ul><li>On représente les vecteurs I et V dans le plan complexe : </li></ul><ul><li>i(t...
Impédances et admittances <ul><li>Impédance : Z </li></ul><ul><li>Quotient des valeurs efficaces : Z = V eff  / I eff </li...
Dipôles Linéaires :  Résistance <ul><li>Domaine du temps : </li></ul><ul><li>Domaine du phaseur : V  = R  I </li></ul><ul>...
Dipôles Linéaires :  Inductance <ul><li>Domaine du temps : </li></ul><ul><li>Domaine du phaseur : V  = jL    I </li></ul>...
Dipôles Linéaires :  Condensateur <ul><li>Domaine du temps : </li></ul><ul><li>Domaine du phaseur : V  = -( j/C  )  I </l...
Éléments Linéaires : Résumé     Élément Impédance Admittance Résistance  R Z R  = R Y R  = G = 1/R Inductance  L Z L  = jL...
Impédance :  Expression générale <ul><li>En général, une impédance s’écrit : Z  = R + jX </li></ul><ul><li>L’impédance  Z ...
Impédance complexe <ul><li>On peut calculer :  Z  = Z     à partir des expressions de  V  et  I  : </li></ul><ul><li>et ...
Admittance complexe <ul><li>En Régime Sinusoïdal Permanent : Y  = G + jB </li></ul><ul><li>On peut établir l’équivalence s...
Analyse des circuits en RSP <ul><li>Lois de Kirchhoff </li></ul><ul><ul><li>Loi des nœuds : ∑I k  = 0 </li></ul></ul><ul><...
Étapes de synthèse <ul><li>Transformer le circuit dans le domaine des phaseurs </li></ul><ul><li>Remplacer chaque élément ...
Exemple d’étude <ul><li>Phaseur du courant  : </li></ul><ul><li>Z eq  = 20 + j10.48 = 22.58   27.7°     ;  I S  = 0.44  ...
Puissance instantanée <ul><li>Un dipôle parcouru par i et soumis à v tel que : </li></ul><ul><li>i(t) =  I m  cos(  t+  ...
Puissance instantanée t v(t) i(t) t t p(t) Puissance moyenne VIcosφ VI
Puissance active <ul><li>C’est la valeur moyenne de la puissance instantanée p(t) : </li></ul><ul><li>P = < p(t) > </li></...
Puissance réactive <ul><li>Elle est donnée par la relation : </li></ul><ul><li>Q = V I sin  </li></ul><ul><li>La puissanc...
Puissance apparente <ul><li>C’est le produit des valeurs efficaces du courant et de la tension : </li></ul><ul><li>S = V I...
Puissance complexe <ul><li>Si on représente les puissances dans le plan complexe : </li></ul><ul><li>On en déduit : </li><...
Répartition des puissances <ul><li>On considère une impédance :  Z  = R + jX </li></ul><ul><li>La puissance dissipée dans ...
Puissances en RSP : Résumé <ul><li>Puissance complexe : </li></ul><ul><li>Puissance apparente : S  = │ S │ = VI (VA) </li>...
Facteur de puissance <ul><li>Pour une puissance active donnée, plus le facteur de puissance est faible, plus la puissance ...
Compensation du facteur de puissance <ul><li>Afin d'augmenter le facteur de puissance de l'installation, on connecte en pa...
Résonance dans les circuits RLC <ul><li>On considère un circuit RLC alimenté par une source de tension sinusoïdale v S  de...
Facteur de qualité <ul><li>Ce facteur est définit comme : </li></ul><ul><li>Où : W m  : valeur maximale de l’énergie emmag...
Résonance série <ul><li>L’impédance du circuit est : </li></ul><ul><li>La pulsation de résonance est : </li></ul><ul><li>L...
Résonance parallèle <ul><li>L’impédance du circuit est : </li></ul><ul><li>La pulsation de résonance est : </li></ul><ul><...
Résonance série-parallèle <ul><li>L’impédance du circuit est : </li></ul><ul><li>La pulsation de résonance est : </li></ul...
Résonance parallèle-série <ul><li>L’impédance du circuit est : </li></ul><ul><li>La pulsation de résonance est : </li></ul...
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Circuits Chp.3 RéGime SinusoïDal Permanent

  1. 1. Chapitre 3 REGIME SINUSOIDAL PERMANENT Prof. Mourad ZEGRARI
  2. 2. Plan <ul><li>Caractéristiques des signaux périodiques </li></ul><ul><li>Grandeur sinusoïdale </li></ul><ul><li>Étude des circuits en RSP </li></ul><ul><li>Puissances en RSP </li></ul><ul><li>Circuits résonnants </li></ul>
  3. 3. Grandeur périodique -alternative <ul><li>Grandeur périodique </li></ul><ul><li>i(t+T) = i(t) : reproduction au bout de la période T. </li></ul><ul><li>Grandeur alternative </li></ul><ul><li>Alternativement positive et négative au bout de T. </li></ul><ul><li>Symétrique </li></ul><ul><li>É galité des aires positifs et négatifs. </li></ul>
  4. 4. Valeur Moyenne <ul><li>Intensité du courant continu transportant la même quantité de charge : </li></ul><ul><li>Charge transportée </li></ul><ul><li>Courant moyen </li></ul>I t 0 Q I moy Régime continu 0 T t i(t) I moy Régime périodique Q
  5. 5. Valeur Efficace <ul><li>Intensité du courant continu produisant la même puissance électrique : </li></ul><ul><li>Puissance produite </li></ul><ul><li>Courant efficace </li></ul> R p(t) = R.i²(t) Régime périodique v(t) i(t) Régime continu + – R P = R. I eff ² V I eff
  6. 6. Exemple 3.1 <ul><li>On considère le courant suivant : </li></ul><ul><li>Valeur Moyenne de i : I moy = 5 mA </li></ul><ul><li>Valeur Efficace de i : I eff = 11.18 mA </li></ul> i(t) 15 mA -5 mA 0 2 4 6 8 t (ms)
  7. 7. Grandeur sinusoïdale <ul><li>Courant sinusoïdal : i(t) = I m cos(  t+  ) </li></ul><ul><li>i(t) : intensité instantanée (A) </li></ul><ul><li>I m : valeur maximale (A) </li></ul><ul><li> t+  : phase instantanée (rad) </li></ul><ul><li> : phase à l’origine, t=0 (rad) </li></ul><ul><li> = 2  f : pulsation (rad/s) </li></ul><ul><li>f : fréquence (Hz) </li></ul><ul><li>T = 1/ f : période (s) </li></ul> I m cos φ i(t) I m t 0 T - I m
  8. 8. Caractéristiques <ul><li>Valeur moyenne : </li></ul><ul><li>Valeur efficace : </li></ul><ul><li>Signal à composante continue : i’(t) = I 0 + I m cos(  t+  ) </li></ul><ul><ul><li>Valeur moyenne : </li></ul></ul><ul><ul><li>Valeur efficace : </li></ul></ul>
  9. 9. Exemple 3.2 : Composante continue <ul><li>On considère le courant suivant : </li></ul><ul><li>Courant Moyen : I moy = 30 mA </li></ul><ul><li>Courant Efficace : I eff = 31.82 mA </li></ul> i(t) 45 mA 15 mA t 0
  10. 10. Représentations en RSP <ul><li>Domaine temporel </li></ul><ul><li>On représente la forme d’onde de la grandeur en fonction du temps : i(t) , v(t) ,.. </li></ul><ul><li>Domaine de Fresnel </li></ul><ul><li>On représente géométriquement les grandeurs par des vecteurs tournants : I , V ,.. </li></ul><ul><li>Domaine du phaseur </li></ul><ul><li>On représente symboliquement les grandeurs dans le plan complexe : I , V ,.. </li></ul>
  11. 11. Domaine temporel : Formes d’onde <ul><li>Courant : i(t) = I m cos(  t+  i ) </li></ul><ul><li>Tension : v(t) = V m cos(  t+  v ) </li></ul><ul><li>Déphasage :  =  v –  i </li></ul><ul><li>Le déphasage est donné par : </li></ul>0 t  v(t) i(t) v(t), i(t) Période T i(t) v(t) Dipôle
  12. 12. Déphasages v(t) t 0 i(t)  = 0 i et v en phase . i,v v(t) t 0 i(t)  =  i et v en opposition de phase . i,v v(t) t 0 i(t)  > 0 i en avance de phase sur v. i,v v(t) t 0 i(t)  = -  /2 i en quadrature arrière sur v. i,v v(t) t 0 i(t)  < 0 i en retard de phase sur v. i,v v(t) t 0 i(t)  = +  /2 i en quadrature avant sur v. i,v
  13. 13. Domaine géométrique : Plan de Fresnel <ul><li>On représente les vecteurs à l’instant t = 0 : </li></ul><ul><li>i(t) = I m cos(  t+  i ) : Vecteur I de module I m et déphasé de  i . </li></ul><ul><li>v(t) = V m cos(  t+  v ) : Vecteur V de module V m et déphasé de  v . </li></ul><ul><li>L’écart angulaire  =  v -  i traduit le déphasage de i par rapport à v. </li></ul>X φ v O ω + I m V m φ φ i Y I V
  14. 14. Domaine du Phaseur : Plan complexe <ul><li>On représente les vecteurs I et V dans le plan complexe : </li></ul><ul><li>i(t) = I m cos(  t+  i ) = R e { I m e j(  t+  i) } : I = I m cos  i + j I m sin  i </li></ul><ul><li>v(t) = V m cos(  t+  v ) = R e { V m e j(  t+  v) } : V = V m cos  v + j V m sin  v </li></ul><ul><li>En pratique, on note : I = I m  i et V = V m  v </li></ul>Re φ v O I m V m φ φ i Im I V
  15. 15. Impédances et admittances <ul><li>Impédance : Z </li></ul><ul><li>Quotient des valeurs efficaces : Z = V eff / I eff </li></ul><ul><li>Impédance complexe : Z </li></ul><ul><li>Quotient des valeurs complexes : Z = V / I </li></ul><ul><li>Admittance complexe : Y </li></ul><ul><li>L’inverse de l’impédance complexe : Y = Z -1 = I / V </li></ul><ul><li>Lois d’association : </li></ul><ul><ul><li>Association en série : Z eq = ∑ Z i </li></ul></ul><ul><ul><li>Association en parallèle : Y eq = ∑ Y i </li></ul></ul>
  16. 16. Dipôles Linéaires : Résistance <ul><li>Domaine du temps : </li></ul><ul><li>Domaine du phaseur : V = R I </li></ul><ul><li>Domaine de Fresnel : les vecteurs I et V sont en phase. </li></ul> R i(t) v(t) I V
  17. 17. Dipôles Linéaires : Inductance <ul><li>Domaine du temps : </li></ul><ul><li>Domaine du phaseur : V = jL  I </li></ul><ul><li>Domaine de Fresnel : le vecteur I est en quadrature arrière sur le vecteur V . </li></ul> L i(t) v(t) I V
  18. 18. Dipôles Linéaires : Condensateur <ul><li>Domaine du temps : </li></ul><ul><li>Domaine du phaseur : V = -( j/C  ) I </li></ul><ul><li>Domaine de Fresnel : le vecteur I est en quadrature avant sur le vecteur V . </li></ul> I V C i(t) v(t)
  19. 19. Éléments Linéaires : Résumé Élément Impédance Admittance Résistance R Z R = R Y R = G = 1/R Inductance L Z L = jL  Y L = -j/L  Condensateur C Z C = -j/C  Y C = jC 
  20. 20. Impédance : Expression générale <ul><li>En général, une impédance s’écrit : Z = R + jX </li></ul><ul><li>L’impédance Z s’écrit : Z = Z  </li></ul><ul><li>et </li></ul> Résistance Réactance i(t) v(t) Dipôle Electrique D R i(t) v(t) jX Z = R + jX
  21. 21. Impédance complexe <ul><li>On peut calculer : Z = Z  à partir des expressions de V et I : </li></ul><ul><li>et </li></ul> Re O I V Im φ φ i φ v Re O Z Im φ R X Z
  22. 22. Admittance complexe <ul><li>En Régime Sinusoïdal Permanent : Y = G + jB </li></ul><ul><li>On peut établir l’équivalence suivante : </li></ul><ul><li>et </li></ul> R i(t) v(t) jB Conductance Susceptance i(t) v(t) Dipôle Electrique D Y = G + jB
  23. 23. Analyse des circuits en RSP <ul><li>Lois de Kirchhoff </li></ul><ul><ul><li>Loi des nœuds : ∑I k = 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>Loi des mailles : ∑V k = 0 </li></ul></ul><ul><li>Méthode des courants fictifs </li></ul><ul><li>Théorèmes généraux </li></ul><ul><ul><li>Théorème de Millman </li></ul></ul><ul><ul><li>Théorème de superposition </li></ul></ul><ul><ul><li>Théorème de Thévenin </li></ul></ul><ul><ul><li>Théorème de Norton </li></ul></ul>
  24. 24. Étapes de synthèse <ul><li>Transformer le circuit dans le domaine des phaseurs </li></ul><ul><li>Remplacer chaque élément par son impédance en RSP. </li></ul><ul><li>2. Établir les phaseurs des courants et des tensions </li></ul><ul><li>Représenter chaque grandeur par son phaseur. </li></ul><ul><li>3. Établir les équations d’équilibre </li></ul><ul><li>Appliquer les lois et les théorèmes de base de l’électrocinétique </li></ul><ul><li>4. Résoudre les équations des phaseurs </li></ul><ul><li>Déterminer le module et la phase des différentes grandeurs mises en jeu. </li></ul>
  25. 25. Exemple d’étude <ul><li>Phaseur du courant : </li></ul><ul><li>Z eq = 20 + j10.48 = 22.58  27.7°  ; I S = 0.44  -27.7° A </li></ul><ul><li>Phaseurs des tensions : </li></ul><ul><li>V R = 8.8  -27.7° V ; V L = 22.12  62.3° V ; V C = 17.51  -62.3° V </li></ul> R = 20  i s C = 10 µF L = 20 mH v S v R v C v S (t) = 10 cos(800  t) On considère le circuit suivant : v L
  26. 26. Puissance instantanée <ul><li>Un dipôle parcouru par i et soumis à v tel que : </li></ul><ul><li>i(t) = I m cos(  t+  i ) ; v(t) = V m cos(  t+  v ) </li></ul><ul><li>La puissance instantanée p(t) est le produit des valeurs instantanées de i et de v : </li></ul><ul><li>p(t) = v(t) . i(t) </li></ul><ul><li>En considérant les valeurs efficaces I et V on obtient : </li></ul>Composante continue Puissance Moyenne Composante alternative Puissance Fluctuante
  27. 27. Puissance instantanée t v(t) i(t) t t p(t) Puissance moyenne VIcosφ VI
  28. 28. Puissance active <ul><li>C’est la valeur moyenne de la puissance instantanée p(t) : </li></ul><ul><li>P = < p(t) > </li></ul><ul><li>En posant :  =  v -  i on peut écrire : </li></ul><ul><li>P = V I cos  </li></ul><ul><li>La puissance P correspond à des effets observables physiquement. </li></ul><ul><li>La nature de fonctionnement est donné selon le signe de P : </li></ul><ul><ul><li>P > 0 : le dipôle consomme de la puissance : Récepteur </li></ul></ul><ul><ul><li>P < 0 : le dipôle fournit de la puissance : Générateur </li></ul></ul>
  29. 29. Puissance réactive <ul><li>Elle est donnée par la relation : </li></ul><ul><li>Q = V I sin  </li></ul><ul><li>La puissance réactive correspond à des effets non observables physiquement. Elle traduit les échanges d’énergie entre la source et une inductance ou un condensateur. </li></ul>
  30. 30. Puissance apparente <ul><li>C’est le produit des valeurs efficaces du courant et de la tension : </li></ul><ul><li>S = V I </li></ul><ul><li>La puissance apparente correspond à la puissance maximale que peut dissiper le dipôle. Il s'agit surtout d'une puissance de dimensionnement pour les transformateurs et les lignes d'alimentation. </li></ul>
  31. 31. Puissance complexe <ul><li>Si on représente les puissances dans le plan complexe : </li></ul><ul><li>On en déduit : </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li>On montre que : </li></ul>Re O Im φ P Puissance active Puissance réactive Q Puissance complexe S Puissance apparente S
  32. 32. Répartition des puissances <ul><li>On considère une impédance : Z = R + jX </li></ul><ul><li>La puissance dissipée dans l’impédance Z est : </li></ul> Puissance active P = R I ² Puissance réactive Q = X I ² i(t) v(t) Z = R + jX D R i(t) v(t) jX
  33. 33. Puissances en RSP : Résumé <ul><li>Puissance complexe : </li></ul><ul><li>Puissance apparente : S = │ S │ = VI (VA) </li></ul><ul><li>Puissance active : P = Re { S } = VI cos  (W) </li></ul><ul><li>Puissance réactive : Q = Im { S } = VI sin  (VAR) </li></ul><ul><li>Facteur de puissance : Fp = P/S = cos  </li></ul>
  34. 34. Facteur de puissance <ul><li>Pour une puissance active donnée, plus le facteur de puissance est faible, plus la puissance apparente est grande et plus le courant sur la ligne est élevé. </li></ul><ul><li>Ceci entraîne des équipements d'alimentation (ligne de transport, transformateurs) de grande capacité ainsi que des pertes Joule sur la ligne de transport trop élevées. </li></ul>
  35. 35. Compensation du facteur de puissance <ul><li>Afin d'augmenter le facteur de puissance de l'installation, on connecte en parallèle un condensateur de valeur appropriée. </li></ul><ul><li>Avant : </li></ul><ul><li>P , Q , S ;  </li></ul><ul><li>Après : </li></ul><ul><li>P , Q’ , S’ ;  ’ </li></ul><ul><li>Le condensateur fournit la puissance réactive nécessaire pour compenser celle absorbée par la charge inductive. </li></ul>P Q S Q C S’ Q’
  36. 36. Résonance dans les circuits RLC <ul><li>On considère un circuit RLC alimenté par une source de tension sinusoïdale v S de pulsation  variable : </li></ul><ul><li>L’impédance du circuit : </li></ul><ul><li>Z = Z(j  ) </li></ul><ul><li>Le circuit est en résonance à la pulsation  0 si l’impédance Z (j  ) est purement résistive à cette fréquence : </li></ul><ul><li>Z (j  0 ) = R 0 = réelle </li></ul>i S v S Circuit RLC A B Z(j  )
  37. 37. Facteur de qualité <ul><li>Ce facteur est définit comme : </li></ul><ul><li>Où : W m : valeur maximale de l’énergie emmagasinée. </li></ul><ul><li>W d : énergie dissipée pendant une période : </li></ul><ul><li>Q L : puissance réactive totale dans les inductances. </li></ul><ul><li>Q C : puissance réactive totale dans les condensateurs. </li></ul><ul><li>P : puissance active totale dissipée dans les résistances. </li></ul>
  38. 38. Résonance série <ul><li>L’impédance du circuit est : </li></ul><ul><li>La pulsation de résonance est : </li></ul><ul><li>Le facteur de résonance est : </li></ul>C i S R L v S Z(j  )
  39. 39. Résonance parallèle <ul><li>L’impédance du circuit est : </li></ul><ul><li>La pulsation de résonance est : </li></ul><ul><li>Le facteur de résonance est : </li></ul>C i S R L v S Z(j  )
  40. 40. Résonance série-parallèle <ul><li>L’impédance du circuit est : </li></ul><ul><li>La pulsation de résonance est : </li></ul><ul><li>Le facteur de résonance est : </li></ul>C i S R L v S Z(j  )
  41. 41. Résonance parallèle-série <ul><li>L’impédance du circuit est : </li></ul><ul><li>La pulsation de résonance est : </li></ul><ul><li>Le facteur de résonance est : </li></ul>C i S R L v S Z(j  )

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