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Une question de puissance
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 Notions de bases sur la puissance
 Taille d’échantillon pour le test Z:
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Avertissement

La mathématique est l’art de donner
  le même nom à des choses
  différentes.
-- Jules Henri Poincaré (1854...
Notions de base sur la puissance

 Le dilemme du juge:
   Le juge est confronté à 4 situations
   dans chaque cas
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Notions de base sur la puissance


               H0 vraie    H0 fausse


 Accepter H0   Pas         Erreur de
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Erreur de Type I

 Seuil du test ( )
 P(Rejeter H0 | H0 vraie)
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Erreur de Type II


 P(Accepter H0 | H0 fausse)
 On n’est pas si inquiet lorsque vient
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Puissance

 1-
 P(Rejeter H0 | H0 fausse)
 C’est habituellement avec la
 puissance qu’on contrôle la
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 Mise en situation:
   On veut vérifier si une moyenne ( ) est égale
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Taille d’échantillon pour le test Z
 Mise en situation:
   On tire un échantillon de taille N et on calcul la
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Taille d’échantillon pour le test Z
 On fait le test au seuil de 5%, ce qui veut
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   P(Rejeter H0 | H0 vraie) = 0.05...
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 On fait le test au seuil de 5%, ce qui veut
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 Calculons la puissance:
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 Que veut dire « H0 fausse » ?
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Taille d’échantillon pour le test Z

 Pour calculer la puissance, il faut
 connaître: N, et

 Autrement, pour calculer la ...
Taille d’échantillon pour le test Z
 Calculons la taille d’échantillon
 approximative:
     Fixons la puissance à 80%




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 approximative:
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    ...
Taille d’échantillon pour le test Z
 On sait aussi que:




    P
        X   (x + ) >   0.84 = 0.8
             N
Taille d’échantillon pour le test Z
 On a donc:




               N
    1.96           = 0.84
Taille d’échantillon pour le test Z
 On a donc:




                        N
    1.96 + 0.84 =
Taille d’échantillon pour le test Z
 On a donc:




      (1.96 + 0.84) =    N
Taille d’échantillon pour le test Z
 On a donc:
   On arrondie toujours à l’entier supérieur


                           ...
Étapes pour déterminer la taille
d’échantillon

 Spécifier le test d’hypothèse
 Spécifier le seuil du test
 Spécifier l’ef...
Conseils pour des expériences plus
complexes

 Spécifier le test d’hypothèse
   Choisir le paramètre qui est le plus
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Étapes pour déterminer la taille
d’échantillon

 Spécifier le seuil du test
    Le seuil peut être fixé comme on veut
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Étapes pour déterminer la taille
d’échantillon

 Spécifier l’effet détectable
    On peut spécifier l’effet détectable par...
Étapes pour déterminer la taille
d’échantillon

 Spécifier des estimés pour les co-
 paramètres (e.g. l’écart-type)
    On...
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d’échantillon

 Spécifier la puissance du test pour l’effet
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Puissance Et Taille D'échantillon

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  • On va faire un peu de math
  • On parle de puissance dans le cadre de test statistiqueHypothèse nulle: l’accusé est innocent
  • Hypothèse nulle: l’accusé est innocent
  • On veut donc être conservateur en controllant l’erreur de type I mais pas l’erreur de type II
  • C’est simplement un autre nom pour parler de l’erreur de type II.Le but, quand on fait une expérience, c’est d’avoir la taille d’échantillon minimale pour avoir le plus petit seuil possible et la plus grande puissance possible.
  • On fait un exemple simple
  • Que vaut le z alpha/2 ?
  • 1.96 est donc la valeur critique du test, si la stat observ
  • On s
  • On isole xbarre
  • On utilise l’information de la condition
  • On divise par l’écart-type
  • Apr
  • La statistique est distribu
  • On a deux options selon la valeur de delta.
  • C’est la table de la loi normale qui nous le dit (ou un logiciel statistique)
  • On fait le lien entre les deux
  • On isole le N.
  • À seuil et à taille égale, un test unilatéral est toujours plus puissant qu’un test bilatéral
  • Il faut faire attention, le seuil fix
  • Cela inclut aussi les corrélations si on fait une expérience à mesures répétées, etc…
  • Puissance Et Taille D'échantillon

    1. 1. J’ai besoin de combien de monde ? Une question de puissance
    2. 2. Plan Notions de bases sur la puissance Taille d’échantillon pour le test Z: un exemple Conseils pour la planification d’expériences (plus) complexes
    3. 3. Avertissement La mathématique est l’art de donner le même nom à des choses différentes. -- Jules Henri Poincaré (1854-1912) [Mathématicien français]
    4. 4. Notions de base sur la puissance Le dilemme du juge: Le juge est confronté à 4 situations dans chaque cas Déclarer l’accusé coupable alors qu’il est coupable Déclarer l’accusé innocent alors qu’il est innocent Déclarer l’accusé coupable alors qu’il est innocent Déclarer l’accusé innocent alors qu’il est coupable
    5. 5. Notions de base sur la puissance H0 vraie H0 fausse Accepter H0 Pas Erreur de d’erreur type II Rejeter H0 Erreur de Pas type I d’erreur
    6. 6. Erreur de Type I Seuil du test ( ) P(Rejeter H0 | H0 vraie) On veut contrôler cette erreur le plus strictement possible, alors on la fixe à l’avance (0.1, 0.05, 0.01, etc.)
    7. 7. Erreur de Type II P(Accepter H0 | H0 fausse) On n’est pas si inquiet lorsque vient le temps de contrôler ce type d’erreur.
    8. 8. Puissance 1- P(Rejeter H0 | H0 fausse) C’est habituellement avec la puissance qu’on contrôle la probabilité d’erreur de type II
    9. 9. Taille d’échantillon pour le test Z Mise en situation: On veut vérifier si une moyenne ( ) est égale à une certaine valeur (x) sachant que l’écart- type de la population est On a donc les hypothèses suivante: H0: =x H1: x
    10. 10. Taille d’échantillon pour le test Z Mise en situation: On tire un échantillon de taille N et on calcul la moyenne de l’échantillon On obtient la statistique de test et sa distribution sous H0 X x ~ N (0,1) N
    11. 11. Taille d’échantillon pour le test Z On fait le test au seuil de 5%, ce qui veut dire: P(Rejeter H0 | H0 vraie) = 0.05 X x P >z 2 μ = x = 0.05 N
    12. 12. Taille d’échantillon pour le test Z On fait le test au seuil de 5%, ce qui veut dire: P(Rejeter H0 | H0 vraie) = 0.05 X x P > 1.96 μ = x = 0.05 N
    13. 13. Taille d’échantillon pour le test Z Calculons la puissance: P(Rejeter H0 | H0 fausse) Que veut dire « H0 fausse » ? x Que vaut ? On doit fixer la différence minimale détectable: x: =x+ X x ~ N ( ,1) N
    14. 14. Taille d’échantillon pour le test Z Calculons la puissance: P(Rejeter H0 | H0 fausse) X x P > 1.96 μ = x + N
    15. 15. Taille d’échantillon pour le test Z Calculons la puissance: P(Rejeter H0 | H0 fausse) X x P 1.96 > > 1.96 μ = x + N
    16. 16. Taille d’échantillon pour le test Z Calculons la puissance: P(Rejeter H0 | H0 fausse) P x 1.96 > X > x + 1.96 μ = x + N N
    17. 17. Taille d’échantillon pour le test Z Calculons la puissance: P(Rejeter H0 | H0 fausse) P 1.96 > X (x + ) > + 1.96 N N
    18. 18. Taille d’échantillon pour le test Z Calculons la puissance: P(Rejeter H0 | H0 fausse) 1.96 + 1.96 P N > X (x + ) > N N N N
    19. 19. Taille d’échantillon pour le test Z Calculons la puissance: P(Rejeter H0 | H0 fausse) P 1.96 N > X (x + ) > 1.96 N N
    20. 20. Taille d’échantillon pour le test Z Calculons la puissance: P(Rejeter H0 | H0 fausse) P X (x + ) > 1.96 N N
    21. 21. Taille d’échantillon pour le test Z Pour calculer la puissance, il faut connaître: N, et Autrement, pour calculer la taille d’échantillon, il faudrait connaître: , et la puissance
    22. 22. Taille d’échantillon pour le test Z Calculons la taille d’échantillon approximative: Fixons la puissance à 80% P X (x + ) > 1.96 N = 0.8 N
    23. 23. Taille d’échantillon pour le test Z Calculons la taille d’échantillon approximative: Fixons la puissance à 80% P X (x + ) > 1.96 N = 0.8 Si > 0 N P X (x + ) < 1.96 N = 0.8 Si <0 N
    24. 24. Taille d’échantillon pour le test Z On sait aussi que: P X (x + ) > 0.84 = 0.8 N
    25. 25. Taille d’échantillon pour le test Z On a donc: N 1.96 = 0.84
    26. 26. Taille d’échantillon pour le test Z On a donc: N 1.96 + 0.84 =
    27. 27. Taille d’échantillon pour le test Z On a donc: (1.96 + 0.84) = N
    28. 28. Taille d’échantillon pour le test Z On a donc: On arrondie toujours à l’entier supérieur 2 (1.96 + 0.84 ) =N
    29. 29. Étapes pour déterminer la taille d’échantillon Spécifier le test d’hypothèse Spécifier le seuil du test Spécifier l’effet détectable Spécifier des estimés pour les co- paramètres (e.g. l’écart-type) Spécifier la puissance du test pour l’effet détectable
    30. 30. Conseils pour des expériences plus complexes Spécifier le test d’hypothèse Choisir le paramètre qui est le plus important en fonction de la question de recherche Toujours faire un test bilatéral, à moins d’avoir une très bonne raison d’effectuer un test unilatéral
    31. 31. Étapes pour déterminer la taille d’échantillon Spécifier le seuil du test Le seuil peut être fixé comme on veut 10% si on peut être plus libéral quand on déclare la présence d’un effet 5% si on veut faire comme tout le monde 1% si on veut être plus conservateur ou plus certain de la présence d’un effet Plus le seuil est faible, plus la taille d’échantillon augmente
    32. 32. Étapes pour déterminer la taille d’échantillon Spécifier l’effet détectable On peut spécifier l’effet détectable par intervalle: L’effet espéré offre habituellement une borne supérieure On peut ensuite déterminer une borne inférieure en suggérant l’effet cliniquement significatif minimal On peut calculer la taille d’échantillon pour plusieurs propositions d’effet Plus l’effet est grand, plus la taille d’échantillon est petite
    33. 33. Étapes pour déterminer la taille d’échantillon Spécifier des estimés pour les co- paramètres (e.g. l’écart-type) On peut utiliser des valeurs historiques (obtenu dans d’autres études similaires) On peut élaborer une étude pilote pour estimer ces paramètres On peut essayer différentes valeurs pour un même paramètre (mais ça entraîne une plus grande incertitude sur la taille d’échantillon obtenue)
    34. 34. Étapes pour déterminer la taille d’échantillon Spécifier la puissance du test pour l’effet détectable Encore une fois, on peut la spécifier à notre goût 80% pour faire comme tout le monde 90% pour être plus conservateur parfois une faible augmentation dans la taille d’échantillon permet d’obtenir une grande augmentation dans la puissance Plus la puissance est élevée, plus la taille d’échantillon sera grande
    35. 35. Conseils pour les expériences complexes Simplifier au maximum les questions de recherche Calculer des tailles approximatives pour des tests plus simples Calculer des tailles pour plusieurs scénarios différents et choisir la taille la plus grande possible Aller voir un statisticien

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