Analyse

1. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 1
Analyse Limite
Jean-François Remacle

2. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 2
Plan de l’exposé
• Elasto-plasticité
– Hypothèses
– Sollicitations de base pour les poutres
– Rotule plastique
• Calcul de la charge limite de ruine par
une méthode pas-à-pas
– par la Méthode des forces (exercice)
– par la Méthode des éléments finis

3. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 3
Hypothèses : le matériau
• Le matériau
– Le module d’élasticité E est voisin de 200 000
Mpa
– Le coefficient de Poisson est voisin de 0,3
– La limite élastique est comprise le plus souvent
entre 240 et 360 Mpa.
• La déformation totale e se décompose en
– Une déformation plastique irréversible ou
résiduelle ep
– Une déformation élastique réversible ee=s /E

4. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 4
Hypothèses : le matériau
• Contrainte uni-axiale
• Multi-axial
– Critère de Tresca
– Fonction de charge

5. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 5
Hypothèses : les barres
• L'hypothèse de Bernoulli reste valable :
les sections droites restent planes
– Déformations dues à l’effort tranchant
négligeable
• La barre est stable
– on exclut donc la possibilité de ruine par
voilement (poutre à âme mince) ou par
flambage (élément élancé).

6. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 6
Hypothèses : la structure
• Petites déplacements
– sollicitations calculées dans la
configuration initiale
• On se limite (provisoirement)
aux structures planes
chargées dans leur plan et
composées de poutres à plan
moyen confondu avec le plan
de la structure

7. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 7
Traction - Compression
• L’effort normal est uniforme N(x)=N
• s (y,z) est uniforme et vaut s =N/A(x)
– si s <se le matériau reste dans le domaine
élastique et la déformation est linéaire, élastique
et totalement réversible : e =s /E
– Dès que s =s e, la section droite est uniformément
plastifiée, il y a écoulement plastique et
apparaissent des déformations irréversibles. La
contrainte normale ne peut pas dépasser la limite
élastique se  l’effort normal est donc plafonné à
une valeur résistante ou effort normal plastique

8. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 8
Flexion pure
• En choisissant pour origine des y, l'axe
neutre, on a exx = e = -c y
• On a donc sxx = s = - c y E
• La plastification de la section droite
commence donc là où les contraintes
normales sont les plus fortes, c’est-à-
dire au voisinage des fibres extrêmes.

9. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 9
Flexion pure
• Fonction de charge
– e < ee  s = e E
– e  ee  s = se

10. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 10
Flexion pure
Moment élastique
maximal
Elongation
Maximale
Position ye
de la transition
y
Courbure
Elastque Max

11. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 11
Flexion pure
• Moment de flexion
 s < 0 si y > 0
 s > 0 si y < 0
b(y)
y
x
h
hp

12. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 12
Flexion pure
• Moment plastique
– S est le moment statique de la demi
section
b(y)
y
x
h
hp

13. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 13
Flexion pure
• Moment en régime élastique
– I est le moment d’inertie de la section
b(y)
y
x
h
hp

14. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 14
Flexion pure
• Facteur de forme
• Plastification de la première fibre

15. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 15
Flexion pure
• Facteur de forme, profil rectangulaire

16. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 16
Flexion pure
• Loi moment-courbure élasto-plastique
y
x
h
he
Elastique
Adimensionel

17. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 17
Flexion pure
• Loi moment-courbure élasto-plastique

18. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 18
Flexion pure
• Loi de comportement élasto-plastique

19. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 19
Rotule plastique
• Poutre isostatique
• Le moment maximal ne pouvant dépasser le
moment plastique résistant, la force
appliquée ne peut en aucun cas dépasser sa
valeur limite Flim.


20. Mécanique des
Structures
Analyse Limite
20
Rotule plastique
• Zone élasto-plastique
• La zone élasto-plastique est d’autant plus
petite que le facteur de forme est petit. Pour
une poutre en I, classiquement, d vaut 8% de
L.


21. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 21
Rotule plastique
• Courbure


22. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 22
Rotule plastique
• Au voisinage
immédiat du point
d'application de la charge
la courbure est très élevée alors que dans les
zones d'about restées élastiques, la courbure
est relativement très faible.
• Tout se passe comme si la poutre était – du
point de vue de ses déformations –
constituée par deux tronçons rigides articulés
entre eux.

23. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 23
Rotule plastique
• On modélise donc le comportement plastique de la
poutre en flexion de la façon suivante
– deux demi-poutres indéformables et articulées entre elles
– L e moment transmis par l'articulation n'est pas nul – cela
transgresserait l'équilibre statique de l'ensemble – mais est
égal au moment plastique de la section : il s'agit d'une rotule
plastique.

24. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 24
Méthode pas-à-pas
• But
– Détermination de la charge limite d’une
structure
• Méthode
– des forces
– des déplacements
• Déterminer
– les rotules plastique (une à une)
– En déduire la charge limite

25. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 25
Méthode pas-à-pas
• Avantages
– Détermination de l’ordre d’apparition des
rotules plastques
– Aisément automatisable
• Inconvénients
– Fastidieux à la main
• Théorèmes de l’analyse limite
– Déterminer la charge limite « d’un coup »
– Plus tard…

26. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 26
Exemple de la méthode pas-à pas
• Poutre console hyperstatique
– ? charge limite
– ? comportement global (pas-à-pas)

27. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 27

28. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 28
Travaux virtuels et analyse limite
• Charge limite isostatique
– Travaux virtuels simples à utiliser
• Structure formées de poutres
– mécanisme de ruine : rotules plastiques
– bielles rigides articulées aux rotules
plastiques
• Expression simplifiée du principe

29. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 29
Travaux virtuels
• Toute charge limite a un caractère isostatique
– Un paramètre, un coefficient amplificateur l
– On choisit un champ cinématique virtuel de ruine
raisonnable (intuition)
– Mécanisme de ruine, les déformations élastiques
de la structure ne varient pas, d’où elles ne sont
pas considérées dans U0
– Poutres = bielles rigides et articulées autour des
rotules plastiques
– Le mécanisme de ruine doit être cinématiquement
admissible MAIS en tenant compte de la possible
apparition de rotules aux encastrements

30. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 30
Travaux virtuels et analyse limite
• Forme particulière
– travail aux rotules plastiques
– travail des forces extérieures
– le champ de déplacement doit être
compatible
– les forces sont en équilibre

31. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 31
Travaux virtuels et analyse limite
• Exemple

32. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 32
Travaux virtuels et analyse limite
• Exemple

33. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 33
Travaux virtuels et analyse limite
• Exemple

34. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 34
Travaux virtuels et analyse limite
• Exemple

35. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 35
Théorème cinématique
• Quid si le mécanisme de ruine n’est pas
évident ?
• Choisir plusieurs mécanismes de ruine
licites au niveau cinématique
– Mécanisme correct
– Chaque Mp q > 0
• Parmi ceux-ci, le meilleur est celui qui
donne la charge de ruine minimale
(Hélas)

36. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 36
Exemple

37. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 37
Théorème statique
• Choisir plusieurs mécanismes de ruine
licites au niveau statique
– Forces en équilibre
– - Mp  M  Mp
• Parmi ceux-ci, le meilleur est celui qui
donne la charge de ruine maximale

38. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 38
Théorèmes de Hill
• La solution exacte d’un problème
d’analyse limite doit satisfaire
– les équations d’équilibre,
– de compatibilité
– la loi de comportement élasto-plastique.

39. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 39
Loi constitutive
• Rotule plastique
– La rotation plastique q dans une rotule
M
Mp
-Mp
Wint

40. Mécanique des
Structures
Analyse Limite 40
Théorèmes de Hill
• Champs cinématiquement admissibles
– continu, compatible avec les appuis
– respecte la condition cinématique de
plasticité
• Champs statiquement admissibles
– continu, compatible avec les appuis
– respecte la condition cinématique de
plasticité