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Int´grale de Riemann
                                           e
 Soit f une fonction continue et positive sur [a; b]. La situation est pr´sent´e ci-dessous dans le cas
                                                                         e    e
d’une fonction f croissante, et peut se g´n´raliser ` une classe bien plus importante de fonctions.
                                          e e        a
                                                                    b−a
 On d´coupe l’intervalle [a; b] en n intervalles de longueurs ∆x =
      e                                                                    :
                                                                      n
                                    [x0 ; x1 ] ; [x1 ; x2 ] ; [x2 ; x3 ] ; . . . ; [xn−1 ; xn ]

 avec x0 = a, x1 = a + ∆x , x2 = x1 + ∆x = x0 + 2∆x , . . .
 La suite (xk ) des abscisses est une suite arithm´tique de raison ∆x. En particulier, pour tout entier k,
                                                  e
     `me
     e
la k     abscisse est xk = a + k∆x.

                                                                                                                                        Cf
                                                                 Cf           f (xn )


f (xn−1 )                                                                 f (xn−1 )

  f (x2 )                                                                     f (x3 )
                                                                              f (x2 )
  f (x1 )                                                                     f (x1 )

  f (x0 )


       j                                                                                j
       O i         x0= a   x1   x2           x3              xn−1 xn= b                 O i         x0= a        x1    x2    x3   xn−1 xn= b
                      ∆x ∆x             ∆x                      ∆x                                            ∆x ∆x ∆x               ∆x

 Dans les deux cas, l’aire gris´e est la somme des aires de chaque rectangle qui la compose :
                               e

 sn = f (x0 )∆x + f (x1 )∆x + . . . + f (xn−1 )∆x                              Sn = f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + . . . + f (xn )∆x
            n−1                                                                                 n
      =           f (xk )∆x                                                                 =         f (xk )∆x
            k=0                                                                                 k=1
                                                                                                          b
 L’aire hachur´e est comprise entre ces deux aires gris´es : sn ≤
              e                                        e                                                      f (x)dx ≤ Sn
                                                                                                      a
  Ces deux suites (sn ) et (Sn ) sont adjacentes et convergent donc vers une limite commune qui est
l’aire recherch´e : l’int´grale de f de a ` b :
               e         e                a
                                                                                        b
                                                  lim sn = lim Sn =                         f (x) dx
                                              n→+∞               n→+∞               a

                                    b
Remarque : La notation                  f (x) dx (introduite par Leibniz au XVIIe si`cle) s’explique ` partir des
                                                                                    e                a
                                a
calculs d’aire pr´c´dents, ` la limite o` ∆x → 0, et donc n → +∞, not´e finalement dx (largeur de
                 e e       a            u                            e
chaque rectangle infinit´simal), et le symbole
                       e                                               se transformant en                         :

                                                       b                      n
                                                           f (x) dx = lim           f (xk )∆x
                                                   a                  ∆x →0
                                                                              k=1



Y. Morel - xymaths.free.fr                                  Int´grale de Riemann
                                                               e                                                                      1/2
En d’autres termes, on passe d’une somme discr`te ` une somme continue :
                                               e a                                                f (k)∆x →          f (x) dx



Exercice 1 On consid`re la fonction exponentielle f (x) = ex sur [0; 1].
                    e

                                                  Cf
                                                            La somme des aires de chaque rectangle est :

 f (xn−1 )                                                       Sn = f (x0 )∆x + f (x1 )∆x + · · · + f (xn−1 )∆x
                                                                            n−1
                                                                        =         f (xk )∆x
                                                                            k=0

                                                            avec, sur l’intervalle [0; 1] d´coup´ en n :
                                                                                           e    e
                                                                       1−0      1                    k
   f (x3 )                                                        ∆x =        =     et xk = 0 + k∆x = .
                                                                         n      n                    n
   f (x2 )
   f (x1 )                                                  La somme s’´crit donc :
                                                                       e
   f (x0 )                                                                          n−1                   n−1
                                                                                              k   1   1          k
                                                                            Sn =          f         =           en
                                                                                              n   n   n
       x0= 0 x1 x2 x3                          xn−1 xn= 1                           k=0                   k=0

             ∆x ∆x ∆x ∆x                 ...      ∆x
                                                                  n
  1. Soit un nombre r´el q = 1. Donner la somme :
                     e                                                 qk = 1 + q + q2 + q3 + · · · + qn.
                                                                 k=0

      En d´duire une expression de la somme Sn .
          e

  2. Rappeler le d´veloppement limit´ ` l’ordre 1 de eu , lorsque u tend vers 0.
                  e                 ea
     En d´duire la limite lim Sn .
         e
                                    n→+∞
                        1
  3. Calculer               f (x) dx. Conclure.
                    0


Exercice 2 A l’aide des sommes de Riemann de la fonction propos´e, calculer la limite des suites
                                                               e
suivantes :
               n
            1         kπ
   1. an =        sin    avec la fonction f (x) = sin(x).
            n k=1      n
              n
                     1                                                             1
  2. bn =                         o` (α > 0), et avec la fonction f (x) =
                                   u
             k=0
                   nα + k                                                         α+x
              n
                        n                                       1
  3. cn =                          avec la fonction f (x) =
                   n2   + k2                                  1 + x2
             k=0




Y. Morel - xymaths.free.fr                        Int´grale de Riemann
                                                     e                                                                   2/2

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  • 1. Int´grale de Riemann e Soit f une fonction continue et positive sur [a; b]. La situation est pr´sent´e ci-dessous dans le cas e e d’une fonction f croissante, et peut se g´n´raliser ` une classe bien plus importante de fonctions. e e a b−a On d´coupe l’intervalle [a; b] en n intervalles de longueurs ∆x = e : n [x0 ; x1 ] ; [x1 ; x2 ] ; [x2 ; x3 ] ; . . . ; [xn−1 ; xn ] avec x0 = a, x1 = a + ∆x , x2 = x1 + ∆x = x0 + 2∆x , . . . La suite (xk ) des abscisses est une suite arithm´tique de raison ∆x. En particulier, pour tout entier k, e `me e la k abscisse est xk = a + k∆x. Cf Cf f (xn ) f (xn−1 ) f (xn−1 ) f (x2 ) f (x3 ) f (x2 ) f (x1 ) f (x1 ) f (x0 ) j j O i x0= a x1 x2 x3 xn−1 xn= b O i x0= a x1 x2 x3 xn−1 xn= b ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x Dans les deux cas, l’aire gris´e est la somme des aires de chaque rectangle qui la compose : e sn = f (x0 )∆x + f (x1 )∆x + . . . + f (xn−1 )∆x Sn = f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + . . . + f (xn )∆x n−1 n = f (xk )∆x = f (xk )∆x k=0 k=1 b L’aire hachur´e est comprise entre ces deux aires gris´es : sn ≤ e e f (x)dx ≤ Sn a Ces deux suites (sn ) et (Sn ) sont adjacentes et convergent donc vers une limite commune qui est l’aire recherch´e : l’int´grale de f de a ` b : e e a b lim sn = lim Sn = f (x) dx n→+∞ n→+∞ a b Remarque : La notation f (x) dx (introduite par Leibniz au XVIIe si`cle) s’explique ` partir des e a a calculs d’aire pr´c´dents, ` la limite o` ∆x → 0, et donc n → +∞, not´e finalement dx (largeur de e e a u e chaque rectangle infinit´simal), et le symbole e se transformant en : b n f (x) dx = lim f (xk )∆x a ∆x →0 k=1 Y. Morel - xymaths.free.fr Int´grale de Riemann e 1/2
  • 2. En d’autres termes, on passe d’une somme discr`te ` une somme continue : e a f (k)∆x → f (x) dx Exercice 1 On consid`re la fonction exponentielle f (x) = ex sur [0; 1]. e Cf La somme des aires de chaque rectangle est : f (xn−1 ) Sn = f (x0 )∆x + f (x1 )∆x + · · · + f (xn−1 )∆x n−1 = f (xk )∆x k=0 avec, sur l’intervalle [0; 1] d´coup´ en n : e e 1−0 1 k f (x3 ) ∆x = = et xk = 0 + k∆x = . n n n f (x2 ) f (x1 ) La somme s’´crit donc : e f (x0 ) n−1 n−1 k 1 1 k Sn = f = en n n n x0= 0 x1 x2 x3 xn−1 xn= 1 k=0 k=0 ∆x ∆x ∆x ∆x ... ∆x n 1. Soit un nombre r´el q = 1. Donner la somme : e qk = 1 + q + q2 + q3 + · · · + qn. k=0 En d´duire une expression de la somme Sn . e 2. Rappeler le d´veloppement limit´ ` l’ordre 1 de eu , lorsque u tend vers 0. e ea En d´duire la limite lim Sn . e n→+∞ 1 3. Calculer f (x) dx. Conclure. 0 Exercice 2 A l’aide des sommes de Riemann de la fonction propos´e, calculer la limite des suites e suivantes : n 1 kπ 1. an = sin avec la fonction f (x) = sin(x). n k=1 n n 1 1 2. bn = o` (α > 0), et avec la fonction f (x) = u k=0 nα + k α+x n n 1 3. cn = avec la fonction f (x) = n2 + k2 1 + x2 k=0 Y. Morel - xymaths.free.fr Int´grale de Riemann e 2/2