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LEÇON N°4             : TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
Objectif : Connaître des propriétés associées au triangle rectangle et son cercle circonscrit et
renforcer la notion de conjectures et de démonstrations d’une propriété.
       1] PROPRIÉTÉS
Propriété : Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.

Conséquences sur les longueurs :
 Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l’hypoténuse ;
 Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour rayon la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

Exemple : Dans le triangle ABC , le point O est le milieu de
l’hypoténuse [BC] et donc le centre du cercle circonscrit à ce triangle    C
de rayon la moitié de la longueur de BC.
                                                                                        M

Proprièté admise de la médiane : Si un triangle est rectangle, alors
la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié
de la longueur de l’hypoténuse.                                                A                    B


Conséquence sur les longueurs :
 La médiane issue de l’angle droit dans un triangle rectangle est un rayon du cercle circonscrit à ce
    triangle

Dans notre exemple : Dans le triangle ABC , la médiane [AO], issue de l’angle droit, mesure la moitié de
BC
Démonstration : Prouvons que O est le milieu de [BC]                                                    (d)
autre démonstration sera à faire sous la forme d’un mini DM
                                                                                   C
   a) ABC est un triangle rectangle en A, et I est le milieu
    de [AB]. On appelle la médiatrice de [AB] qui coupe [BC] en O.
                                                                                            O
   Que peut-on dire de (IO) et de (AC) ?

   Dans le triangle ABC rectangle en A comme (AC) est
    perpendiculaire à (AB) et par définition la médiatrice (IO) de [AB]                      I
                                                                                   A                          B
    est également perpendiculaire à [AB] alors les droites (IO) et (AC)
   sont parallèles car si deux droites sont perpendiculaires à une
   même droite alors ces deux droites sont parallèles.

   b) Démontrer que O est le milieu de [BC] (en admettant que (IO) et (AC) soient parallèles).

Dans le triangle ABC on sait que la médiatrice (OI) du côté [AB] est parallèle au côté [AC] et par définition
elle passe par le milieu de [AB] or après la réciproque de la droite des milieux, dans un triangle si une
droite est parallèle à un côté et qu’elle passe par le milieu du 2ème côté alors cette droite passe par le
milieu du 3ème côté , donc la droite (OI) passe par le milieu O de [BC].
LEÇON N°4 : TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
Démonstration : Prouvons maintenant que O est le centre du cercle circonscrit
   c) Justifier que O appartient à la médiatrice de [BC] :

On sait maintenant que O est le milieu de [BC] or par définition une médiatrice coupe
perpendiculairement un segment en son milieu, comme (d) est la médiatrice de [BC] alors (d) passe par le
milieu de [BC] donc par le point O

   d) Quel est le centre de cercle circonscrit au triangle ABC ?
D’après une propriété vue en 5ème on sait que l’intersection des médiatrices dans un triangle est le
centre du cercle circonscrit à ce triangle donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle
ABC et [BC] , son hypoténuse, un diamètre de ce cercle.


2] PROPRIÉTÉS RÉCIPROQUES
Rôle : Cela sert à prouver qu’un triangle est rectangle !

1ère technique : utilisation de la réciproque de la proprièté du cercle circonscrit à un triangle : Si le
côté d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle au sommet
opposé à ce côté.

2ème technique : utilisation de la réciproque de la proprièté de la médiane : Si dans un triangle la
médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de la longueur de ce celui-ci, alors le triangle est
rectangle au sommet où est issue cette médiane
                                                                       E

Exemple : prouver que le triangle EDF est rectangle en D
Sachant que M est le milieu de [EF] et que DM= EM.                                     M

Dans le triangle EDF comme M est le milieu de [EF] alors
              𝐸𝐹
𝐸𝑀 = 𝐸𝐹 =          de plus sachant que la médiane 𝐷𝑀 = 𝐸𝑀
             2                                                        D                                 F
             𝐸𝐹
alors 𝐸𝑀 =         or dans un triangle si la médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de la
              2
longueur de celui-ci alors le triangle est rectangle au sommet où est issue cette médiane donc le triangle
EDF est rectangle en D

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  • 1. LEÇON N°4 : TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT Objectif : Connaître des propriétés associées au triangle rectangle et son cercle circonscrit et renforcer la notion de conjectures et de démonstrations d’une propriété. 1] PROPRIÉTÉS Propriété : Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Conséquences sur les longueurs :  Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l’hypoténuse ;  Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour rayon la moitié de la longueur de l’hypoténuse. Exemple : Dans le triangle ABC , le point O est le milieu de l’hypoténuse [BC] et donc le centre du cercle circonscrit à ce triangle C de rayon la moitié de la longueur de BC. M Proprièté admise de la médiane : Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur de l’hypoténuse. A B Conséquence sur les longueurs :  La médiane issue de l’angle droit dans un triangle rectangle est un rayon du cercle circonscrit à ce triangle Dans notre exemple : Dans le triangle ABC , la médiane [AO], issue de l’angle droit, mesure la moitié de BC Démonstration : Prouvons que O est le milieu de [BC] (d) autre démonstration sera à faire sous la forme d’un mini DM C a) ABC est un triangle rectangle en A, et I est le milieu de [AB]. On appelle la médiatrice de [AB] qui coupe [BC] en O. O Que peut-on dire de (IO) et de (AC) ? Dans le triangle ABC rectangle en A comme (AC) est perpendiculaire à (AB) et par définition la médiatrice (IO) de [AB] I A B est également perpendiculaire à [AB] alors les droites (IO) et (AC) sont parallèles car si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors ces deux droites sont parallèles. b) Démontrer que O est le milieu de [BC] (en admettant que (IO) et (AC) soient parallèles). Dans le triangle ABC on sait que la médiatrice (OI) du côté [AB] est parallèle au côté [AC] et par définition elle passe par le milieu de [AB] or après la réciproque de la droite des milieux, dans un triangle si une droite est parallèle à un côté et qu’elle passe par le milieu du 2ème côté alors cette droite passe par le milieu du 3ème côté , donc la droite (OI) passe par le milieu O de [BC].
  • 2. LEÇON N°4 : TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT Démonstration : Prouvons maintenant que O est le centre du cercle circonscrit c) Justifier que O appartient à la médiatrice de [BC] : On sait maintenant que O est le milieu de [BC] or par définition une médiatrice coupe perpendiculairement un segment en son milieu, comme (d) est la médiatrice de [BC] alors (d) passe par le milieu de [BC] donc par le point O d) Quel est le centre de cercle circonscrit au triangle ABC ? D’après une propriété vue en 5ème on sait que l’intersection des médiatrices dans un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle ABC et [BC] , son hypoténuse, un diamètre de ce cercle. 2] PROPRIÉTÉS RÉCIPROQUES Rôle : Cela sert à prouver qu’un triangle est rectangle ! 1ère technique : utilisation de la réciproque de la proprièté du cercle circonscrit à un triangle : Si le côté d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle au sommet opposé à ce côté. 2ème technique : utilisation de la réciproque de la proprièté de la médiane : Si dans un triangle la médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de la longueur de ce celui-ci, alors le triangle est rectangle au sommet où est issue cette médiane E Exemple : prouver que le triangle EDF est rectangle en D Sachant que M est le milieu de [EF] et que DM= EM. M Dans le triangle EDF comme M est le milieu de [EF] alors 𝐸𝐹 𝐸𝑀 = 𝐸𝐹 = de plus sachant que la médiane 𝐷𝑀 = 𝐸𝑀 2 D F 𝐸𝐹 alors 𝐸𝑀 = or dans un triangle si la médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de la 2 longueur de celui-ci alors le triangle est rectangle au sommet où est issue cette médiane donc le triangle EDF est rectangle en D