cours applications au calcule vectoriel classe EB10 ,activités + propriété

1. Chapitre 10
Applications du calcul
vectoriel

2. Objectifs spécifiques :
L’élève sera capable de traduire vectoriellement :
Allignement des points.
Le parallélisme des droites.
Le milieu d’un segment .
Le centre de gravité d’un triangle.
Connaissances requises :
Points alignés
Droites parallèles
Milieu d’un segment
Médiane d’un triangle

3. • Activité 1:
• Soit un triangle OAB et I milieu de [AB] .
• E est le symétrie de O par rapport à I.
• Démontrer que 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 = 2𝑂𝐼
O
A
BI
O
A
BI
E
Solution:
𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 = 𝑂𝐸 = 2𝑂𝐼

4. • Activité 2 :
• Soit un triangle ABC et I , J les milieux respectifs de [AB] et
[AC] , et soit G le centre de gravité de ABC.
• Montrer que les deux triangles IJG et GBC sont semblables , et
écris les rapport de similitude.
A
B C
I J
G

5. • Déduis que GB = 2GJ et 𝐵𝐺=
2
3
𝐵𝐽.
• Exprimer 𝐺𝐴 + 𝐺𝐶 en fonction de 𝐺𝐽.
• Déduis que 𝐺𝐴 + 𝐺𝐵 + 𝐺𝐶 = 0.
A
B C
I J
G

6. Solution :
𝐼𝐺𝐽
𝐶𝐺𝐵
⇒
𝐼𝐺
𝐶𝐺
=
𝐺𝐽
𝐺𝐵
=
𝐼𝐽
𝐶𝐵
=
1
2
⇒
𝐺𝐽
𝐺𝐵
=
1
2
⇒ GB= 2GJ ⇒ 𝐵𝐺 = 2𝐺𝐽
𝐵𝐺 = 2 𝐺𝐵 + 𝐵𝐽
𝐵𝐺 = 2𝐺𝐵 + 2𝐵𝐽
𝐵𝐺 − 2𝐺𝐵 = 2𝐵𝐽
3𝐵𝐺 = 2𝐵𝐽
⇒𝑩𝑮 =
𝟐
𝟑
𝑩𝑱

7. • Conclusion :
• Propriété 1 :
• Trois points A,B et C sont alignes si et seulement si 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶
sont colinéaires , c.à.d il existe un réel k telque : 𝐴𝐵=k 𝐴𝐶 .
• Propriété 2 :
• Soit (d) et (d’) deux droites distinctes , A et B deux points
differentes sur (d) , A’ et B’ deux points différentes sur (d’) ,
alors (d) et (D’) sont parallèles si et seulement si 𝐴𝐵 et 𝐴′𝐵′
sont colinéaires .c.à.d il existe un reél k telque : 𝐴𝐵 = k 𝐴′𝐵′

8. • Propriété 3 :
• Soit un segment [AB] de milieu I alors pour tout point O on a
𝑂𝐼 =
1
2
𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
• (la reciproque est vrai).
• Propriété 4 :
• Soit G le centre de gravité du triangle ABC et I milieu de [BC]
alors :
• AG = 2GI ; GI =
1
3
AI ; AG =
2
3
AI.
• G est le centre de gravité de ABC si et seulement si 𝐺𝐴 +
𝐺𝐵 + 𝐺𝐶 = 0.
• Si G est le centre de gravité de ABC alors pour tout point O on
a :
• 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 + 𝑂𝐶 = 3𝑂𝐺.