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GUIDE DES BONNES PRATIQUES POUR SIMPLIFIER LES CALCULS
DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX
SYSTÈME HYPOSTATIQUE & ISOSTATIQUE
REALISE PAR : Mr. JALIL AHMED DOCTORANT, INGENIEUR EN GENIE CIVIL
E-mail : ahmed.jalil87@gmail.com

PLAN
• La Force
• Le Moment d’une Force
• Les diverses sollicitations
• Concentration d’une charge répartie
• Calcul des Réactions aux appuis
• Calcul des efforts interne : cas d’une charge concentrée, et répartie
• Caractéristiques géométriques d’une section
• Vérification de la flexion des poutres
• Vérification du cisaillement des poutres
• Vérification du flambage des poteaux
• Redimensionnement
• Vérification de la compression et de la traction des poutres
• Exercices de révision

La Force.
 Une force est caractérisée par 4 éléments :
 Un point d’application : c’est le point du solide sur lequel agit la force.
 Une droite d’action : c’est la droite sur laquelle la force se déplace, appelée
aussi direction ou support.
 Une intensité : c’est la valeur de la force, exprimée en N, daN, Kgf.
 Un sens : c’est la flèche qui indique le sens du déplacement de la force sur
la droite d’action.
 On appelle force toute cause capable:
 soit de déformer un corps,
 soit de modifier ou produire un mouvement
MN T.f KN Kg.f
daN
N g.f
Tableau de
conversion :

M(F/O) = F ^ d = F*d*sin(F , d)
M(F/O) = F*d*sin(90°) = F*d
M(F/O) = M(FX/O) + M(FY/O)
^
M(F/A) = F*d*sin(0°, 180°) = 0
F
A
F
F
0°
180°
F
A
Le Moment d’une Force.
O
M(F/A) = F*d*sin(90°) = F*d = F*0 = 0
F
FX
FY
O
A
O
Théorème de
VARIGNON
d
d
d

Le moment d’une force peut être positif comme il peut être négatif, et cela selon le
sens de déplacement de la force par rapport aux aiguilles de la montre.
 Si la force se déplace dans le même sens de déplacement des aiguilles de la montre
alors le moment est +.
 Si la force se déplace dans le sens contraire de déplacement des aiguilles de la
montre alors le moment est -.
M(F1/A) = F1*d = F1*0 = 0
d1
Le Moment d’une Force (signe).
M(F2/0) = - F2 * d2
F2
A O
+ -
F1
B
d2
M(F1/0) = + F1 * d1
M(F2/A) = - F2 * (d1+d2)
M(F1/B) = + F1 * (d1+d2)
M(F2/B) = F2*d = F1*0 = 0
Sens des aiguilles
de la montre

 Il faut apprendre à faire la différence entre deux catégories de sollicitations :
 Les charges permanentes (fixes) : constitue les poids propres des éléments
permanents d’une construction : les poteaux, les poutres, les dalles, les murs, etc…
 Les surcharges d’exploitations (variables) réparties sur 3 classes :
 Surcharges statiques : tel que le mobilier (tables, chaises, portes, etc…
 Surcharges dynamiques : tel que les personnes, voitures, etc…
 Surcharges climatiques : tel que le vent, la neige, etc…
 Remarque :
Quelque soit la catégorie des sollicitations ils peuvent être soit :
 Sous forme de charges ou des surcharges concentrées : Cas du poids du poteau sur la
poutre.
 Sous forme de charges ou surcharges réparties : Cas du poids de la dalle sur les murs
ou sur les poutres.
Les diverses sollicitations.

Concentration d’une charge répartie.
L (m)
a =L/2 b=L/2
q (KN/m)
Q (KN)
Q = q *L
a = b = L/2
Q = q *L/2
a = 2*L/3 b = L/3
Q (KN) Q (KN)
b=L/3 a=2*L/3 a=2*L/3 b=L/3
Q = (q0 + q1)*L/2
a = [(q0 + 2q1)/(q0 + q1)]*L/3
b = [(2q0 + q1)/(q0 + q1)]*L/3
Q (KN) Q (KN)
L (m) L (m) L (m) L (m)
b a b
a
Charge rectangulaire Charge triangulaire Charge trapézoïdale
q (KN/m) q (KN/m) q1 (KN/m) q1 (KN/m)
q0 (KN/m)

L =3m
q =10KN/m
q1 =10KN/m q2 =12KN/m
L1 =2m
L2 =3m
L =1m
F=5KN
L1 =3m L2 =2m
q2 =4KN/m
q1 =8KN/m
a =1,5 b=1,5
Q = q *L= 10*3= 30 KN
a = b = L/2
3/2= 1,5m
Q= 30KN
Q1 = q1 *L1= 10*2= 20 KN
a1 = b1 = L1/2= 2/2 =1m
Q2 = q2 *L2/2= 12*3/2= 18 KN
a2 = 2L2/3 =2*3/3= 2m
b2 = L2/3= 3/3 = 1m
Q1= 20KN Q2= 18KN
b1=1
a1=1
F=5KN
a2= 2
b2=1
Q2 = q2 *L2= 4*2= 8 KN
a2 = b2 = L2/2= 2/2 =1m
Q1 = (q2 + q1) *L1/2= (4+8)*3/2 = 18KN
a1 = [(q2 + 2q1)/(q2 + q1)]*L1/3
= [4+(2*8)/(4+8)]*3/3 = 1,67m
b1 = [(2q2 + q1)/(q2 + q1)]*L/3
= [(2*4)+8)/(4+8)]*3/3 = 1,33m
a1= 1,67
b1=1,33
Q1= 18KN Q2= 8KN
b2=1
a2=1
Applications :

Résumé : Calcul des réactions aux appuis.
• Caractéristiques des appuis
• Equations d’équilibres statiques :
1 Réaction
1force
1 inconnue
A
RVA RVA RVA
RHA
RHA
MA
A A
2 Réactions
2 forces
2 inconnues
3 Réactions
2 forces + 1 moment d’encastrement
3 inconnues
Σ F = Σ F Σ F = Σ F
• Ecriture simplifiée :
Poutre Poutre
Poutre
Appui simple Appui double Appui triple

Application 1 : Calcul des réactions, cas d’une
charge concentrée.
A
L1=2m L2=2m L3=1m
B
F1=8KN F2=6KN
On demande de faire le calcul des réactions pour une poutre en équilibre appuyée
sur deux appuis simples et supportant deux charges concentrées F1 et F2.

Correction : Calcul des réactions.
A
RVA
L1=2m L2=2m L3=1m
B
F1=8KN F2=6KN
+
1- Σ F = Σ F
2- Σ F = Σ F
0 = 0
RVA+RVB = F1+F2
RVB
RVA+RVB = 8+6 = 14KN
3- Σ M(F/A) = 0
M(RVA/A) = RVA*d1 = 0
M(F1/A) = F1*d2 = 8*2 = 16KN.m
M(RVB/A) = - RVB*d3 = - RVB*4
M(F2/A) = F2*d4 = 6*5 = 30KN.m
0+16-4RVB+30=0
RVB = 46/4= 11,5KN
d2 = 2m
d3 = 4m
d4 = 5m
d1 = 0
On remplace sur la deuxième équation :
On a : RVA+RVB=14KN, or RVB=11,5KN
Donc : RVA+11,5=14 RVA=2,5KN
-

Application 2 : Calcul des réactions, cas d’une charge répartie.
A
L1=2m L2=2m
F=4KN
On demande de faire la calcul des réactions pour une poutre encastrée et
supportant deux charges réparties rectangulairement q1 et q2, et une charge
concentrée F.
q1=10KN/m
q2=8KN/m

Correction : Calcul des
Réactions.
A
L1=2m L2=2m
F=4KN
q1=10KN/m
q2=8KN/m
A
a1 b1 a2 b2
Q1=q1*L1=10*2=20KN a1=b1=L1/2=2/2=1m
Q2=q2*L2=8*2=16KN a2=b2=L2/2=2/2=1m
+ -
RVA
RHA
MA
F=4KN
Q1=20KN
Q2=16KN
L1=2m L2=2m
1- Σ F = Σ F
2- Σ F = Σ F
RHA = 0
RVA+F = Q1+Q2
RVA = 20+16-4 = 32KN
3- Σ M(F/A) = 0
M(RHA/A) = 0
M(RVA/A) = RVA*d1 = RVA*0 = 0
M(Q1/A) = Q1*a1 = 20*1=20KN.m
M(F/A) = - F*L1 = - 4*2 = - 8KN.m
0+0+20-8+48-MA=0
MA = 60KN.m
M(Q2/A) = Q2*(L1+a2) = 16*(2+1) = 48KN.m
- MA

Résumé : Calcul des efforts internes cas d’une charge
concentrée.
N -F +F
T -F +F
M(x) -F * (x-a) +F * (x-a)
a
F F
F
a
F
Cas
Efforts
internes
a : c’est le point d’application de la charge concentrée (F). Pour le cas
d’une charge concentrée c’est le point où la force est positionnée.

Application 1 : Calcul des efforts internes, cas d’une charge
concentrée.
A
L1=2m L2=2m L3=1m
B
F1=8KN F2=6KN
On demande de faire la calcul des efforts internes pour une poutre en équilibre
appuyée sur deux appuis simples et supportant deux charges concentrées F1 et F2.
On a repris l’exemple de la diapositive 10, mais cette
fois-ci pour calculer les efforts internes.

Correction : Calcul des efforts internes.
A
L1=2m L2=2m L3=1m
B
F1=8KN F2=6KN
RVA= 2,5KN RVB= 11,5KN
A
L1=2m L2=2m L3=1m
F1=8KN F2=6KN
B
0 2 4 5
RVA RVB
[0,2] [2,4] [4,5]
N
T
M(x)
[0,2] [2,4] [4,5]
0 0 0
=RVA
= 2,5KN
=RVA-F1 = 2,5-8
= -5,5KN
=RVA-F1+RVB
= 2,5-8+11,5 =6KN
=RVA*[x-(a1=0)] = 2,5x
M(0)=0 M(2)=5KN.m
a1=0 a2=2 a3=4 a4=5
=RVA*[x-(a1=0)]-F1*[x-(a2=2)]
= 2,5x-8x+16
=-5,5x+16
M(2)=5KN.m M(4)=-6KN.m
=RVA*[x-(a1=0)]-F1*[x-(a2=2)]
+RVB*[x-(a3=4)]
=2,5x-8x+16+11,5x-46
=6x-30
M(4)=-6KN.m M(5)=0
X(m)
T(KN)
X(m)
M(KN.m)
0
2 4 5
1 3
8
4
-4
-8
2,5
-5,5
0
2 4 5
1 3
6
3
-3
-6
5
Tmax = 6KN Mmax = 6KN.m
+ -
6

répartie rectangulaire et triangulaire.
T = - q*(x-a) = - q*L = - (q/2*L)*(x-a)² = - (q*L/2)
M(x) = - (q/2)*(x-a)² = - q*L*(x-a-L/2) = - (q/6*L)*(x-a)³ = - (q*L/2)*[x-a-(2*L/3)]
a
Cas
Efforts
internes
a : C’est le point d’application de la charge répartie (q). Pour le cas d’une charge
répartie c’est le point initial à partir duquel on a appliqué la charge répartie en
question.
L : Longueur de la charge répartie.
L
q
a
L
q
a
L
q
a
L
q

répartie triangulaire et trapézoïdale.
T
= - q*(x-a) +
(q/2*L)*(x-a)²
= - q*L/2 = - (q1/2*L)*(x-a)² -
q0*(x-a)
= - (q1*L/2) – q0*L
M(x)
= - (q/2)*(x-a)² +
(q/6*L)*(x-a)³
= - (q*L/2)*[x-a-
(L/3)]
= - (q1/6*L)*(x-a)³ -
(q0/2)*(x-a)²
= - (q1*L/2)*[x-a-(2*L/3)] –
q0*L*(x-a-L/2)
a
Cas
Efforts
internes
a : C’est le point d’application de la charge répartie (q). Pour le cas d’une charge répartie
c’est le point initial à partir duquel on a appliqué la charge répartie en question.
L
q
a
L
q
a
L
q0
a
L
q1 q1
q0

répartie trapézoïdale.
T = - q1*(x-a) + (q1/2*L)*(x-a)²
- q0*(x-a)
= - (q1*L/2) – q0*L
M(x)
= - (q/2)*(x-a)² +
(q/6*L)*(x-a)³ - (q0/2)*(x-a)²
= - (q1*L/2)*[x-a-(L/3)] –
q0*L*(x-a-L/2)
a
Cas
Efforts
internes
a : C’est le point d’application de la charge répartie (q). Pour le cas d’une charge répartie
c’est le point initial à partir duquel on a appliqué la charge répartie en question.
L
a
L
q0
q1
q1
q0

 Remarques :
 L’ensemble des formules sont déduites à partir des équations
d’équilibres statiques.
 Si jamais on inverse le sens des charges réparties vers le haut le seul
changement sera au niveau des signes (au lieu du – c’est + et au lieu
du + c’est -) et on va conserver les mêmes formules.

A
F=4KN
q1=10KN/m
q2=8KN/m
Application 1 : Calcul des efforts internes, cas d’une charge
répartie.
On demande de faire la calcul des efforts internes pour une poutre encastrée en
équilibre et supportant deux charges réparties (q1 et q2) et une charge concentrée F.
L1=2m
L1=2m
On a repris l’exemple de la diapositive 12, mais cette
fois-ci pour calculer les efforts internes.

Correction : Calcul des efforts internes.
A
L1=2m L2=2m
F=4KN
q1=10KN/m
q2=8KN/m
A
L1=2m L2=2m
F=4KN
q1=10KN/m
q2=8KN/m
RVA
[0,2] [2,4]
a1=0 a2=2 a3=4
0 2 4
RHA
MA
RHA= 0KN RVA= 32KN MA= 60KN.m
N
T(x)
M(x)
[0,2] [2,4]
- RHA = 0 - RHA = 0
=RVA - q1*[x-(a1=0)]
= 32-10x
T(0)= 32KN T(2)= 12KN
=RVA - q1*L1 + F - q2*[x-(a2=2)]
= 32-20+4-8x+16 = -8x+32
T(2)= 16KN T(4)= 0
=RVA*[x-(a1=0)]
- (q1/2)*[x-(a1=0)]²-MA
= 32x-5x²-60
M(0)= -60KN.m
M(2)= -16KN.m
=RVA*[x-(a1=0)] - (q1*L1)*[x-(a1=0) - L1/2]
+F*[x-(a2=2)] - (q2/2)*[x-(a2=2)]²-MA
= 32x-20x+20+4x-8-4x²+16x-16-60
= -4x²+32x-64
M(2)= -16KN.m M(4)= 0
X(m)
M(KN.m)
2 4 5
1 3
-20
-16
Mmax = 60KN.m
X(m)
T(KN)
2 4 5
1 3
10
32 Tmax = 32KN
20
30
40
0
12
16
0
-40
-60
-80
+ -

A
F=2KN
Application pour Révision : Calcul des réactions et des efforts
internes, cas d’une charge répartie.
L1=3m
L1=3m
On demande de faire le calcul des réactions, et des efforts internes pour une poutre
encastrée en équilibre et supportant deux charges réparties trapézoïdale (q0 et q1)
et rectangulaire (q2), et une charge concentrée F.
q0=4KN/m q1=8KN/m
q2=6KN/m
1,5 m

Correction : Calcul des
Réactions.
A
L1=3m L2=3m
F=2KN
q0=4KN/m
q2=8KN/m
A
a1 b1 a2 b2
Q1= (q0 +q1)*L1/2 = 30/2=15KN
Q2=q2*L2=8*3=24KN a2=b2=L2/2=3/2=1,5m
+ -
RVA
RHA
MA
F=2KN
Q1=15KN Q2=24KN
L1=3m L2=3m
1- Σ F = Σ F
2- Σ F = Σ F
RHA = 0
RVA = Q1+Q2+F
RVA = 15+24+2 = 41 KN
3- Σ M(F/A) = 0
M(RHA/A) = 0
M(Q1/A) = Q1*a1 = 15*1,6= 24KN.m
M(F/A) = F*(L1+a2) = 2*(1,5+3) = 9KN.m
0+0+24+9+108-MA=0
MA = 141 KN.m
M(Q2/A) = Q2*(L1+a2) = 24*(1,5+3) = 108KN.m
- MA
q1=6KN/m
a1= (q0+2q1)/(q0 +q1)*L1/3=1,6m
b1= (2q0+q1)/(q0 +q1)*L1/3=1,4m
1,5m

A
L1=3m L2=3m
F=2KN
q0=4KN/m q1=6KN/m
A
F=4KN
q3=2KN/m
q2=8KN/m
RVA
0 3 6
RHA
MA
RHA= 0 KN RVA= 41 KN MA= 141 KN.m
[0,2]
+ -
q2=8KN/m
1,5
q0=4KN/m
N -RHA = 0 -RHA = 0
T(x) RVA - q0*(x-0)
- (q3/2*L)*(x-0)²
41- 4x – x²/3
T(0)=41 , T(3) =26
RVA - q0*L
- (q3*L/2) – q2*(x-3)
40- 12 – 3 – 8x + 24
= -8x + 50
T(3)=26 , T(4,5) =14
RVA - q0*L
- (q3*L/2) – q2*(x-3)- F
= -8x + 50 – 2 = -8x+48
T(4,5)=12 , T(6) =0
M(x) RVA*(x-0)
- q0/2*(x-0)²
- (q3/6*L)*(x-0)³-MA
=41x – 2x² - x³/9 -141
M(0) = -141 KN.m
M(3) = -39
RVA*(x-0)
- q0*L*(x-a-L/2)
- (q3*L/2)*(x-a-2L/3)-
q2/2*(x-3)²
- MA
=41x –12x+18 -3x+6
–4x²+24x-36 -141
=-4x² + 50x -153
M(3) = -39 KN.m
M(4,5) = - 9
RVA*(x-0)
- q0*L*(x-a-L/2)
- (q3*L/2)*(x-a-2L/3)-
q2/2*(x-3)²
- MA - F (x- 4,5)
=-4x² + 50x -153 – 2x+9
=-4x² + 48x -144
M(4,5) = - 9 KN.m
M(6) = 0
4,5
q3=q1 – q0 = 6-4 = 2KN la valeur de la charge triangulaire
[0,3] [3 ; 4,5] [4,5 ; 6]
q0 = 4KN = 2 la valeur de la charge rectangulaire
Correction : Calcul des Efforts internes

[0,2]
X(m)
M(KN.m)
2 4 5
1 3
-141
Mmax = 141KN.m
X(m)
T(KN)
2 4 5
1 3
10
41
Tmax = 41 KN
20
30
40
0
12
26
0
-20
-60
-80
[0,3] [3 ; 4,5] [4,5 ; 6]
14
4,5
6
-40
-100
-120
-140
6
-39
4,5
-9
Représentation des diagrammes :

Caractéristiques géométriques d’une section.
• Le Centre De Gravité : C.D.G
A- Sections simples B- Sections composées
a- Carrée b- Rectangulaire
C- Sections creuses
c- Circulaire d- Triangulaire
h
b
a
a
XG =YG = a/2
XG = b/2
YG = h/2
XG =YG = D/2
D
XG = b/3
YG = h/3
XG = b/2
YG = h/3
h
b
h
b
G G
G G G
XGT = Σ (XGi * Si) / Σ Si
YGT = Σ (YGi * Si) / Σ Si
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X XG =YG = A/2 XG = B/2
YG = H/2
XG =YG = D/2
A
A
a
a
H
B d
D
h
b
G G
G
Y
X
Y
X
Y
X

3cm
7cm
12cm
2cm
Application 1 :
Calcul du Centre de Gravité : Cas d’une section composée.
Formules à utiliser :
XG = b / 2
YG = h / 2
Le centre de gravité
d’un rectangle
d’une section composée

Correction : Calcul du Centre de Gravité.
3cm
7cm
12cm
S1
S2
O
2cm
6cm
6cm
8,5cm
3,5cm
XG1=6cm * S1=36cm²
XG2=6cm * S2=14cm²
YG1=8,5cm * S1=36cm²
YG2=3,5cm * S2=14cm²
S1
S2
Σ
Surfaces XGi YGi XGi*Si YGi*Si
S1=12*3
= 36cm²
S2=2*7
= 14cm²
S1+S2
= 50 cm²
XG1
= 6cm
XG2
= 6cm
YG1
=
8,5cm
YG2
=
3,5cm
XG1*S1
= 216 cm³
XG2*S2
= 84 cm³
YG2*S2
= 49 cm³
YG1*S1
= 306 cm³
= 300 cm³ = 355 cm³
= 300/50 = 6cm
= 355/50 = 7,1cm
G1
G2
Y
X
+ + +

3cm
7cm
12cm
2cm
Détermination de la fibre la plus éloignée Ymax :
Donc : Ymax = 7,1 cm
HT=10cm
YGT = 7,1cm
HT-YGT =10cm -7,1cm = 2,9 cm

Application 2 :
Calcul du Centre de gravité: Cas d’une section composée.
XG = b / 2
YG = h / 2
d’un rectangle
h1=6cm
h2=24cm
b1=b2=20cm
XG = b/2
d’un triangle isocèle
YG = h/3

Correction : Calcul du Centre de gravité.
6cm
24cm
S1
S2
O
20cm
10cm
10cm
26cm
12cm
XG1=10cm * S1=60cm²
XG2=10cm * S2=480cm²
YG1=26cm * S1=60cm²
YG2=12cm * S2=480cm²
S1
S2
Σ
S1=20*6/2
= 60cm²
S2=20*24
= 480cm²
= S1+S2
= 540 cm²
XG1
= 10cm
XG2
= 10cm
YG1
= 26cm
YG2
= 12cm
XG1*S1
= 600 cm³
XG2*S2
= 4800 cm³
YG2*S2
= 5760 cm³
YG1*S1
= 1560 cm³
= 5400 cm³ = 7320 cm³
= 5400/540 = 10cm
= 7320/540 = 13,56cm
G1
G2
X
Y
= 6/3
=2cm
+ + +

HT= 30cm
YGT= 13,56cm
HT-YGT = 30cm - 13,56cm = 16,44cm
h1= 6cm
h2= 24cm
b1=b2=20cm

Caractéristiques géométriques d’une section.
• Le Moment d’inertie : C’est la capacité d’une section à résister à une déformation.
A- Sections simples B- Sections composées
a- Carrée b-Rectangulaire
C- Section creuses :
c- Circulaire d- Triangulaire
h
b
a
a
IGX =IGY = a4
/12
IGX = b*h³/12
IGY = b³*h/12
IGX =IGY = Π*D4
/64
D
IGX = b*h³/36
IGY = b³*h/36
IGX = b*h³/36
IGY = b³*h/48
h
b
h
b
G G
G
G G
IGX = Σ [IGXi + Si (YGT – YGi)²]
IGY = Σ [IGYi + Si (XGT – XGi)²]
IGX = IGY =
(A4
- a4
)/12 IGX = (B*H³- b*h³)/12
IGY = (B³*H- b³*h)/12
IGX =IGY =
Π/64*(D4
- d4
)
A
A
a H
a
B
h
b
d
D
G G G

Les Charges
Poutre avant déformation
Poutre après déformation
Section simple rectangulaire
Section composée en U
Poutre après déformation
instable
stable
Remarque : en modifiant la section on peut
modifier la résistance.

3cm
7cm
12cm
2cm
Application 1 :
Calcul du Moment d’inertie : Cas d’une section composée.
IGX = b * h³ / 12
IGY = b³ *h / 12
Le moment d’inertie
d’un rectangle

S1
S2
S1=12*3
= 36cm²
S2=2*7
= 14cm²
S1+S2
= 50 cm²
XG1
= 6cm
XG2
= 6cm
YG1
=
8,5cm
YG2
=
3,5cm
XG1*S1
= 216 cm³
XG2*S2
= 84 cm³
YG2*S2
= 49 cm³
YG1*S1
= 306 cm³
= 300 cm³ = 355 cm³
IGX = Σ [IGXi + Si*(YGT – YGi)²]
= [IGX1 + S1*(YGT – YG1)²] + [IGX2 + S2*(YGT – YG2)²]
= [b1*h1³/12 + S1*(YGT – YG1)²] + [b2*h2³/12 + S2*(YGT –
YG2)²]
= [12*3³/12 + 36*(7,1–8,5)²] + [2*7³/12 + 14*(7,1–3,5)²]
= 336,167 cm4
= 336,167 *104
mm4
h1=3cm
h2=7cm
b1=12cm
b2=2cm
S1
S2
IGY = Σ [IGYi + Si*(XGT – XGi)²]
= [IGY1 + S1*(XGT – XG1)²] + [IGY2 + S2*(XGT – XG2)²]
= [b1³*h1/12 + S1*(XGT – XG1)²] + [b2³*h2/12 + S2*(XGT – XG2)²]
= [12³*3/12 + 36*(6–6)²] + [2³*7/12 + 14*(6–6)²]
= 436,67 cm4
= 436,67 *104
mm4
Σ
= 300/50 = 6cm
= 355/50 = 7,1cm
Pour le détail de calcul du C.D.G
Voir la diapositive N°29
Correction : Calcul du moment d’inertie.
12(cm)*3 ³(cm ³) = ….cm4
36(cm²)*1,4² (cm ²) = ….cm4
cm = 10 mm
Cm4
= ……*104
mm4

Application 2 :
Calcul du Moment d’inertie : Cas d’une section composée.
IGX = b * h³ / 12
IGY = b³ *h / 12
d’un rectangle
IGX = b * h³ / 36
IGY = b³ *h / 48
d’un triangle isocèle
h1= 6cm
h2= 24cm
b1=b2= 20cm

S1
S2
S1=12*3
= 60cm²
S2=2*7
= 480cm²
S1+S2
= 540 cm²
XG1
= 10cm
XG2
= 10cm
YG1
= 26cm
YG2
= 12cm
XG1*S1
= 600 cm³
XG2*S2
= 4800 cm³
YG2*S2
= 5760 cm³
YG1*S1
= 1560 cm³
= 5400 cm³ = 7320 cm³
= [b1*h1³/36 + S1*(YGT – YG1)²] + [b2*h2³/12 + S2*(YGT – YG2)²]
= [20*6³/36 + 60*(13,56–26)²] + [20*24³/12 + 480*(13,56–12)²]
= 33613,344 cm4
= 33613,344 *104
mm4
S1
S2
= [20³*6/48 + 60*(10–10)²] + [20³*24/12 + 480*(10–10)²]
= 17*103
cm4
= 17*103
*104
mm4
Σ
= 300/50 = 10cm
= 355/50 = 13,56cm
h1=6cm
h2=24cm
b1=b2=20cm
Pour le détail de calcul du C.D.G
Voir la diapositive N°32
Correction : Calcul du moment d’inertie

Vérification de la flexion d’une poutre.
• Pour vérifier la flexion d’une poutre il faut commencer tout d’abord par calculer σmax
= la contrainte normale maximale de flexion, et comparer le résultat avec σadm = la
contrainte normale admissible de flexion.
• Formule de σmax : KN = 10³ N m = 10³ mm
N.mm * mm = N.mm²
mm⁴
Mmax : Le moment fléchissant maximale déduit à partir du diagramme de M.
Ymax : Coordonnée maximale selon l’axe des Y Déduit à partir du calcul du centre de gravité (fibre éloignée).
IGX : le moment d’inertie selon l’axe des X.
• Unités et conversions nécessaires :
σmax (N/mm² = MPa) Mmax (KN.m =106
N.mm) IGX (cm4
= 104
mm4
) Ymax (cm=10 mm)
• Conditions de vérification de la flexion de la poutre :
Si σmax > σadm donc la poutre n’est pas vérifiée en flexion, (elle devient instable),
Si σmax < σadm donc la poutre est vérifiée en flexion, (elle reste stable).
σmax =
N
mm²
= MPa
=

3cm
7cm
12cm
2cm
Application 1 : Vérification de la flexion de la poutre.
Formule à utiliser :
Données :
Mmax = 60 KN.m, σadm = 120 MPa
Ymax = 7,1cm = 336,167 cm4
Pour Mmax on a pris la valeur déduite de l’application
diapositive N°22, Pour Ymax on a pris la valeur déduite de
l’application diapositive N°30,
Pour IGX on a pris la valeur déduite de l’application de la
diapositive N°37.
σmax =
Contrainte normale maximale de flexion

Correction : Vérification de la flexion d’une poutre.
• Pour vérifier la flexion on doit calculer σmax et faire comparer le résultat ainsi obtenu avec σadm
On a : σmax =
Or :
Mmax = 60KN.m = 60*106
N.mm Ymax = 7,1 cm= 7,1*10 mm IGX= 336,167 cm4
= 336,167 *104
mm4
σadm = 120 MPa
Remarque : Pour le détail de calcul de Ymax et IGX (voir respectivement les diapositives N°30 et 37
En remplaçant sur : σmax =
On aura donc : σmax = (60*106
*7,1*10)/336,167*104
= 1267,23 MPa
On trouve que : σmax = 1267,23 MPa > σadm = 120 MPa :
(Mmax∗Ymax)
IGX
(Mmax∗Ymax)
IGX
donc la poutre n’est pas vérifiée en flexion (elle devient
instable).

Vérification du cisaillement d’une poutre.
• Pour vérifier le cisaillement d’une poutre il faut commencer tout d’abord par calculer
τmax = la contrainte normale maximale de cisaillement, et comparer le résultat avec
τadm = la contrainte normale admissible de cisaillement.
• Formule de τmax : dépend de la nature de la section
Section carrée ou rectangulaire :
τmax = (3/2)*(Tmax / S)
Section circulaire :
τmax = (4/3)*(Tmax / S)
Section composée :
τmax = Tmax / (Section d’âme seule =b*h) (Schématisation des sections d’âmes voir diapositive N°42)
Tmax : L’effort tranchant maximale déduit à partir du diagramme de T.
S : aire de la section droite (surface).
• Unités et conversions nécessaires :
τmax (N/mm² = MPa) Tmax (KN = 103
N) S (cm² = 102
mm²)
Sc = a*a
Sr = L*l = b*h
Sce = Π*R² = Π*(D²/4)

b
Détermination des sections d’âmes : cas d’une section
composée
h
b
h
b
h
b
h
b
h
b
h
b
h

3cm
7cm
12cm
2cm
Application 1 : Vérification du cisaillement de la poutre
τmax = Tmax / (Section d’âme seule =b*h)
Données :
Tmax = 32KN, τadm = 50MPa
Pour Tmax on a pris la valeur déduite de
l’application diapositive N°22.

Correction : Vérification du cisaillement d’une poutre.
• Pour vérifier le cisaillement on doit calculer τmax et faire comparer le
résultat ainsi obtenu avec τadm
On a : τmax = Tmax / (Section d’âme seule =b*h)
h= 10 cm
b= 2cm
S = b*h = 2*10 = 20 cm²
Calcul de la section d’âme :
Tmax = 32KN = 32*103
N S = 20 cm² = 20*10² mm² τadm = 50MPa
En remplaçant sur τmax = Tmax / (Section d’âme seule = b*h) :
On aura donc : τmax = 32*103
/20*10² = 16 MPa
On trouve que : τmax = 16 MPa < τadm = 50 MPa : donc la poutre est vérifiée au cisaillement (elle reste stable).

Redimensionnement d’une poutre en flexion.
2b
b
Application 1 :
Données :
Mmax = 60 KN.m, σadm = 120
MPa
Pour redimensionner une poutre en flexion, pour se faire on doit admettre
que la flexion est vérifiée et écrire la condition qui vérifie cela qui est donnée
par l’inégalité suivante :
σmax < σadm
IGX = b * h³ / 12
Moment d’inertie du rectangle
XG = b / 2
YG = h / 2
Centre de gravité du rectangle
(Mmax∗Ymax)
IGX
Pour Mmax on a pris la valeur déduite
de l’application diapositive N°22.
σmax =
Contrainte normale maximale de flexion

Correction : Redimensionnement d’une poutre en flexion.
h = 2b
base = b
On sait que : σmax =
IGX = base*h³/12= b*(2b)³/12= 2*b4
/3
XG = base/2 = b/2
YG = h/2 = 2b/2 = b
X
Y
O
G
h = 2b HT= 2b
YG= b
HT-YG = 2b - b = b
Mmax =60KN.m= 60*106
N.mm, Ymax = b, IGX = 2*b4
/3 σadm = 120 MPa
On suppose que la flexion est vérifiée donc on peut écrire que : σmax < σadm
En remplaçant sur l’inégalité qu’on a supposé (disant que la flexion est vérifiée) on trouve :
σmax < σadm
(Mmax*Ymax) / IGX < σadm b3
> (Mmax*3) / 2*σadm
(Mmax*b) / (2*b4
/3) < σadm b3
> (60*106
*3) / 2*120
(Mmax*b*3) / 2*b4
< σadm b>
(Mmax*3) / 2*b3
< σadm bf = 90,85 mm
(Mmax∗Ymax)
IGX
On doit commencer par calculer Ymax et IGX :
Donc : Ymax = b
(Mmax*b)
2*b4
3
=
(Mmax*b)*3
2*b4
Mmax*3
2*b³
< σadm

Redimensionnement d’une poutre au cisaillement.
2b
b
Application 1 :
Données :
Tmax = 32 KN, τadm = 50 MPa
Pour redimensionner une poutre au cisaillement, pour se faire on doit
admettre que le cisaillement de la poutre est vérifié et écrire la condition qui
vérifie cela qui est donnée par l’inégalité suivante :
τmax < τadm
τmax = (3/2)*(Tmax / S) Contrainte normale maximale de cisaillement
Pour Tmax on a pris la valeur déduite de
l’application diapositive N°22.

Correction : Redimensionnement d’une poutre au cisaillement.
h = 2b
base = b
S = base*h=b*2b=2b²
Tmax = 32KN = 32*103
N, S = 2b², τadm = 50 MPa
On suppose que le cisaillement est vérifié donc on peut écrire : τmax < τadm
En remplaçant sur l’inégalité qu’on a supposé (disant que le cisaillement est vérifiée) on trouve :
τmax < τadm
3/2*(Tmax/S) < τadm b² > (0,75*Tmax)/τadm
3/2*(Tmax/2b²) < τadm b >
3*Tmax/4b² < τadm bc = 21,90 mm
0,75*(Tmax/b²) < τadm
On sait que : τmax = (3/2)*(Tmax / S)
3
2
Tmax
2b²
*
0,75*Tmax
b²
< τadm

 Sachant qu’il s’agit bien du redimensionnement de la même poutre, que ça soit en flexion ou
bien au cisaillement donc on doit prendre une seule valeur pour (b) qui va être le max entre
celle déterminée lors du redimensionnement en flexion ou bien au cisaillement.
Donc : b = Sup (bf ; bc) = Sup (90,85 ; 21,90 ) = 90,85 mm = 91 mm
On doit vérifier que la valeur de (b) qu’on a déterminé vérifie bien la stabilité de la poutre en
flexion comme au cisaillement.
Vérification de la valeur de (b) : en flexion sachant que b = 90,85 mm
On a : σmax = Mmax*ymax/IGX
σmax = (Mmax*b) / (2*b4
/3)
σmax = (Mmax*b*3) / 2*b4
σmax = (Mmax*3) / 2*b3
= (60*106
*3) / 2*(90,85)³ = 120,024 MPa
σmax = 120,024 MPa > σadm = 120 MPa , On trouve que la poutre est non vérifiée en flexion,
On doit dans ce cas arrondir notre valeur de (b), donc on va prendre b= 91mm et on refait la vérification.

Re-vérification de la valeur de (b) : On prend cette fois-ci b= 91mm et on refait la
vérification :
σmax = Mmax*ymax/IGX
= (Mmax*b) / (2*b4
/3)
= (Mmax*b*3) / 2*b4
= (Mmax*3) / 2*b3
= (60*106
*3) / 2*(91)³
σmax = 119,43 MPa < σadm = 120 MPa , On trouve que la poutre est vérifiée en flexion,
Donc la valeur de (b) à retenir et qui vérifie bien la flexion est : b = 91mm
On vérifie par la suite avec cette même valeur le cisaillement de la poutre pour confirmer
notre choix de (b).

Vérification de la valeur de (b) : au cisaillement b= 91 mm.
τmax = 0,75*(Tmax/b²) = 0,75*(32*10³/91²) = 2,89 MPa < τadm = 50 MPa , On trouve que la poutre
est vérifiée au cisaillement également avec b= 91mm.
 Ainsi notre section aura les dimensions suivantes :
182 mm
91 mm
On a : τmax = 3/2*(Tmax/S)
= 3/2*(Tmax/2b²)
= 3*Tmax/4b²
Donc la valeur de (b) à retenir et qui vérifie bien la poutre en flexion et au cisaillement
est : b= 91mm.

3b
7b
12b
2b
Application 2 :
Redimensionnement d’une poutre en flexion et au
cisaillement.
Le moment d’inertie d’une
section composée
On demande de déterminer la valeur de (b) pour que la poutre
dont la section est représentée ci-joint soit vérifier en flexion et
au cisaillement.
τmax = Tmax / (Section
d’âme seule =b*h)
(Mmax∗Ymax)
IGX
Contrainte normale
maximale de flexion
Contrainte normale
maximale de cisaillement
Données :
Tmax = 32 KN, τadm = 50 MPa
Mmax = 60 KN.m, σadm = 120 MPa
Pour Tmax et Mmax on a pris les valeurs
déduites de l’application diapositive N°22.
σmax =

Etape 1 : Calcul du Centre de Gravité.
3b
7b
12b
S1
S2
O
2b
6b
6b
8,5b
3,5b
XG1=6b * S1=36b²
XG2=6b * S2=14b²
YG1=8,5b * S1=36b²
YG2=3,5b * S2=14b²
S1
S2
Σ
S1=12b*3b
= 36 b²
S2=2b*7b
= 14 b²
S1+S2
= 50 b²
XG1
= 6 b
XG2
= 6 b
YG1
= 8,5 b
YG2
= 3,5 b
XG1*S1
= 216 b³
XG2*S2
= 84 b³
YG2*S2
= 49 b³
YG1*S1
= 306 b³
= 300 b³ = 355 b³
= 300 b³/50 b² = 6 b
= 355 b³ /50 b² = 7,1 b
G1
G2
Y
X
Correction : Redimensionnement d’une poutre en flexion et au cisaillement.
+ + +

3b
7b
12b
2b
Etape 2 : Détermination de la fibre la plus éloignée Ymax.
Donc : Ymax = 7,1 b
HT=10b
YGT = 7,1b
HT-YGT =10b -7,1b = 2,9 b

S1
S2
S1=12*3
= 36 b²
S2=2*7
= 14 b²
S1+S2
= 50 b²
XG1
= 6 b
XG2
= 6 b
YG1
= 8,5 b
YG2
= 3,5 b
XG1*S1
= 216 b³
XG2*S2
= 84 b³
YG2*S2
= 49 b³
YG1*S1
= 306 b³
= 300 b³ = 355 b³
= [b1*h1³/12 + S1*(YGT – YG1)²] + [b2*h2³/12 + S2*(YGT – YG2)²]
= [12b*(3b)³/12 + 36b²*(7,1b–8,5b)²] + [2b*(7b)³/12 + 14b²*(7,1b–3,5b)²]
= 336,167 b⁴
h1=3b
h2=7b
b1=12b
b2=2b
S1
S2
Σ
= 300 b³ /50 b² = 6 b
= 355 b³ /50 b² = 7,1 b
Etape 3 : Détermination du moment d’inertie.

Etape 4 : Redimensionnement de la poutre en flexion.
On sait que : σmax =
(Mmax∗Ymax)
IGX
En admettant que la flexion est vérifiée on peut écrire que :
σmax < σadm
En remplaçant sur l’inégalité qu’on a supposé (disant que la flexion est vérifiée) on trouve :
Mmax = 60 KN.m = 60*106
N.mm, σadm = 120 MPa Ymax = 7,1 b IGX = 336,167 b4
σmax < σadm
(Mmax*Ymax) / IGX < σadm
(Mmax*7,1 b) / (336,167 b4
) < σadm
(Mmax*7,1) / 336,167 b3
< σadm
b3
> (Mmax*7,1) / 336,167*σadm
b3
> (60*106
*7,1) / 336,167*120
b>
bf = 21,93 mm

Etape 5 : Redimensionnement de la poutre au cisaillement.
En remplaçant sur l’inégalité qu’on a supposé (disant que le cisaillement est vérifié) on trouve :
On sait que : τmax = Tmax / (Section d’âme seule =b*h)
En admettant que le cisaillement est vérifié on peut écrire que : τmax < τadm
Tmax = 32 KN=32*N, τadm = 50 MPa,
h= 10 b
b= 2 b
Calcul de la surface : S = b*h = 2b*10b = 20b²
τmax < τadm
(Tmax/(Section d’âmes seule= b*h) < τadm
(Tmax/20b²) < τadm
b² > Tmax/20*τadm
b >
bc = 5,65 mm
b² = N / (N/mm²)
b² = N / (N/mm²) = N*mm² / N
b² = N*mm² / N = mm²
b = mm

 Sachant qu’il s’agit bien du redimensionnement de la même poutre, que ça soit en flexion ou
bien au cisaillement donc on doit prendre une seule valeur pour (b) qui va être le max entre
celle déterminée lors du redimensionnement en flexion ou bien au cisaillement.
b = Sup (bf ; bc) = Sup (21,93 ; 5,65 ) = 21,93 mm = 22 mm = 2,2 cm (après majoration)
 Ainsi notre section aura les dimensions suivantes : cm = 10 mm cm³ = 10³ mm³ (2,8)²*10³
h1= 6,6cm
h2= 15,4cm
b1= 26,4cm
b2= 4,4cm
Remarque : Le schéma de la
section après
redimensionnement vient
juste après la vérification de
la valeur déduite. (Voir
diapositive N° 61).

 Vérification de la valeur de (b) en flexion :
On a : b=22 mm (après majoration)
σmax =
=(Mmax*7,1) / 336,167 b3
=(60*106
*7,1) / (336,167 * 223
)
= 119,01 MPa
On trouve que : σmax =119,01< σadm=120
Donc la poutre est vérifiée en flexion.
(Mmax*Ymax) / IGX
=(Mmax*7,1 b) / (336,167 b4
)
 Vérification de la valeur de (b) au cisaillement :
On a : b=22 mm (après majoration)
= 3,30 MPa
On trouve que : τ max =3,30 < τ adm=50
Donc la poutre est vérifiée au cisaillement.
τmax = Tmax / (Section d’âme seule =b*h)
= (Tmax/20b²)
= (Tmax/20*22²)
Pour confirmer notre choix de la valeur de (b), on procède à une vérification de cette valeur :

Vérification du flambage des poteaux.
F
Avant
déformation
Instable (flambage)
Après
déformation
Stable
- Pour vérifier le flambage d’un poteau il faut commencer tout
d’abord par calculer σcr = la contrainte critique de flambage
du poteau, et comparer le résultat avec σ = la contrainte de
compression appliquée sur le poteau.
Formule de σcr et σ : σcr = Fcr/S et σ = F/S
Fcr : La charge critique du poteau. (N)
F : La charge appliquée sur le poteau. (N)
S : Aire de la section droite. (cm²=10²mm²)
 Unités et conversions nécessaires :
σcr (N/mm² = MPa) σ(N/mm² = MPa)
 La formule d’EULER (charge critique) :
Fcr = (Π²*E*IGY)/L²cr
E: Module d’élasticité (MPa)
IGY: Moment d’inertie (mm4
)
Lcr: Longueur critique du poteau (m=103
mm)
F F F F
L0 L0 L0 L0
Lcr = 2L0 Lcr = 0,5L0 Lcr = 0,7L0 Lcr = L0
 Le rayon de giration : r=
 L’élancement : λ= Lcr/r
 2ème
expression de σcr = (Π²*E) / λ²
L0: Longueur libre du poteau. (entre dalle)
 Valeurs de Lc :
OU
F
r
λ
R
D

Fcr = (Π²*E*IGY)/L²cr
σcr = Fcr/S = [(Π²*E*IGY)/L²cr ] / S =
 r=
 λ= Lcr/r
r²= IGY/S
λ ²= L²cr/r² 1/ λ ²= r²/ L²cr
L²cr * S
L²cr (Π²*E*IGY)
(Π²*E*IGY)
S
= =
L²cr
(Π²*E*r²)
=
λ ²
(Π²*E)
Démonstration de la 2 ème expression de σcr :

Application 1 : Vérification du flambage d’un poteau.
F= 500KN
L0= 4,2m 1- En section aura formule d’Euler, calculer la valeur de la charge critique,
on donne E= 220 000 MPa.
2- Calculer la contrainte critique du poteau.
3- Vérifier le flambage du poteau.
Formules à utiliser : cm= 10 mm cm³= (10) ³ mm³
 La contrainte critique du poteau : σcr = Fcr/S m= 10³ mm
 La contrainte appliquée sur le poteau : σ = F/S m²= (10³)² mm²
 La charge critique du poteau : Fcr = (Π²*E*IGY)/L²cr
 Le moment d’inertie selon l’axe des Y : IGY = (b3
*h)/12
 La longueur critique du poteau : Lcr = L0
30cm
60cm

Correction : Vérification du flambage d’un poteau.
σ = F / S = F/ (b*h) = 500*103
/ 1800*10² =
Calcul de la section : S = (b*h) = (30*60) = 1800 cm² = 1800*10² mm²
E= 220*103
MPa F = 500 KN = 500*103
N
2,78 MPa
Calcul de σcr :
On : σcr = Fcr / S = [(Π²*E*IGY)/L²cr] / S
On remplace sur σcr :
σcr = Fcr / S = 16,60*107
/ 1800*10² = 922,22 MPa
On trouve que : σ < σcr : donc le poteau est vérifié au flambage (il reste stable).
Calcul du moment d’inertie : IGY = (b3
*h)/12 = (303
*60)/12 = 135*103
cm4
= 135*107
mm4
Calcul de la longueur critique : Lcr = Lo = 4,2 m = 4,2*103
mm
Calcul de Fcr :
On a : Fcr = [(Π²*E*IGY)/L²cr] , On doit commencer par calculer IGY et Lcr :
Donc : Fcr = [(3,14²*220*103
*135*107
)/(4,2*103
)²
] = 16,60*107
N
N * mm4
mm² * mm²

Application 1 : Redimensionnement d’un poteau au flambage.
F= 300KN
L0= 3m
D = ? Calculer la valeur du diamètre (D) qui vérifie la stabilité au flambage du
poteau de la figure ci-joint, on donne E= 210 000 MPa.
 La contrainte critique du poteau : σcr = Fcr/S
 La contrainte appliquée sur le poteau : σ = F/S
 Le moment d’inertie selon l’axe des Y : IGY = (Π*D4
)/64
 La longueur critique du poteau : Lcr = 2*L0

Correction : Redimensionnement d’un poteau au flambage.
En remplaçant sur l’inégalité qu’on a supposé (disant que le flambage est vérifié) on trouve :
F= 300KN
L0= 3m
D = ?
En admettant que le flambage est vérifié on peut écrire l’inégalité suivante : σ < σcr
Données : E= 210*103
F = 300 KN = 300*103
N
σ < σcr
F / S < Fcr / S
Lcr = 2*Lo
F < (Π²*E*IGY)/L²cr
F < Fcr
IGY = (Π*D4
)/64
F < [(Π3
*E * D4
)/64] / (2*Lo)²
F < [Π²*E*(Π*D4
)/64)] / (2*Lo)²
D >
D4
> (2*Lo)² *64 * F / Π3
*E
D= 101,54 mm
D >
c
b
a
d=1
=
b
a
*
c
d
F < [(Π3
*E * D4
)/64*(2*Lo)²]

Correction suite :
σ = F / S1 = F/ (Π*D²)/4 = 300*103
/ [(3,14*101,54²)]/4 = 300*103
/ 8093,64
Fcr = (Π²*E*IGY)/L²c = [(3,14²*210*103
)*(3,14*101,544
)/64)] / (2*3*103
)² =
Puisque le flambage n’est pas vérifié on va arrondir la valeur et on refait le calcul avec : D= 102 mm
On remplace sur : σcr = Fcr / S2 = 305,44*103
/ 8167,14 =
Donc la valeur de (D) qui vérifie le flambage du poteau : D=102mm
Calcul de la section : S1 = (Π*D²)/4 = 8093,64 mm²
Calcul de la section : S2 = (Π*D²)/4 = 8167,14 mm²
E= 210*103
MPa F= 300 KN = 300*103
N D= 101,54 mm IGY = (Π*D4
)/64 Lcr = 2*Lo
= 37,066 MPa
σcr = Fcr / S1 = [(Π²*E*IGY)/L²cr] / S1
299,96*103
N
On remplace sur : σcr = Fcr / S1 = 299,96*103
/ 8093,64 = 37,061 MPa
On trouve que : σ > σcr : donc le poteau n’est pas vérifié au flambage.
= 36,73 MPa
σ = F/S2 = F / (Π*D²) / 4 = 300*103
/ [(3,14*102²)] / 4 = 300*103
/ 8167,14
σcr = Fcr/S2= [(Π²*E*IGY)/L²cr] / S2
D = 102mm
37,39 MPa
Fcr = (Π²*E*IGY)/L²cr = [(3,14²*210*103
)*(3,14*1024
/64)] / (2*3*103
)² =
On trouve que σ < σcr donc le poteau est vérifié au flambage (il reste stable).
305,44 103
N

Application 2 : Redimensionnement d’un poteau au flambage.
F= 380KN
L0= 3,8m
D = ? 1- Calculer la valeur du diamètre (D) sachant que Fcr= 100*103
N, on donne
E= 220 000 MPa.
2- Calculer la contrainte critique du poteau.
3- Vérifier le flambage du poteau.
 Le moment d’inertie selon l’axe des Y : IGY = (Π*D4
)/64
 La longueur critique du poteau : Lcr = 0,5*L0

F= 380KN
L0= 3,8m
D = ?
On a : Fcr= (Π²*E*IGY)/L²cr
Lcr = 0,5*L0
c
Or :
IGY= (Π*D4
)/64
F = 380 KN = 380*103
N Fcr = 100 KN = 100*103
N
En remplaçant sur Fcr on aura :
Fcr= [(Π²*E* (Π*D4
)/64 )] / (0,5*L0)²
Fcr= [(Π³*E**D4
)/64] / (0,5*L0)²
D4
= Fcr * (0,5*L0)² *64 / Π3
*E
D =
D= 42,91 mm
Fcr= [(Π³*E*D4
)/(64*(0,5*L0)²)]
b
a
a / b
d
C / d=1
=
b
a
*
c
d

Correction suite :
σ = F / S1 = F/ (Π*D²)/4 = 380*103
/ [(3,14*42,91²)]/4 =
Calcul de la section : S1 = (Π*D²)/4 = (3,14*42,91²)/4= 1445,39 mm²
E= 220*103
F = 380 KN = 380*103
N Fcr = 100*103
N D= 42,91 mm
262,9 MPa
Calcul de σcr :
On : σcr = Fcr / S1
On remplace sur σcr :
σcr = Fcr / S1 = 100*103
/ 1445,39 = 69,18 MPa
On trouve que : σ > σcr : donc le poteau n’est pas vérifié au flambage (instable).
D = 42,91mm
Ainsi notre section aura les dimensions suivantes :

Vérification de la compression et de la traction d’une poutre.
Compression
Traction
Schémas Contrainte
Condition de
vérification
Déformation
Allongement
ΔL > 0
Rétrécissement
ΔL < 0 σc = N/S
σt = N/S
σc < Rpe = Re/S’
σt < Rpe = Re/S’
F F
F F
Sollicitations
L0
L
L0
L
L0: Longueur initiale de la poutre (m=10mm) ΔL: Déformation (L-L0) (m=10mm)
L: Longueur après déformation (m=10mm) N : Effort Normal (KN= 10N)
σ: Contrainte Normale (MPa=N/mm²) S: aire de la section droite (cm²=10²mm²)
Rpe: Résistance pratique à l’extension (MPa) Re: Résistance élastique (MPa)
S’: Coefficient de sécurité (S’>1)

 Loi de Hook : σ= E*ɛ
E: Module d’élasticité
ɛ: Allongement unitaire (ɛ= ΔL/L0)
 2ème
expression de ΔL :
On a : 1- σ=N/S 2- σ=E*ɛ 3- ɛ= ΔL/L0
D’après (1-2) on peut écrire que : N/S = E*ɛ
En utilisant (3) on aura : N/S = E*ΔL/L0
Ainsi on obtient la valeur de ΔL : ΔL = N*L0/E*S

Application1 : Vérification de la stabilité de la poutre.
Lo = 3m
F=20KN
A
Données :
D = 60mm
E = 200 000 MPa
Rpe = 50 MPa
σ = N/S ΔL = N*L0/E*S
Contrainte Normale Déformation

L0= 3m
F=20KN
A
Etape 1 : Calcul des réactions
Etape 2 : Calcul des efforts internes
Etape 3 : Vérification
RHA
1- Σ F = Σ F
RHA + F = 0
RHA = - F = -20KN
Correction : Vérification de la stabilité de la poutre.
L0= 3m
F=20KN
A
RHA
0 3
[0,3]
N
[0,3]
- RHA = - (-20) = 20KN
= 3m
= 3*mm
Surface Contrainte
N
L0
S= Π*D2
/4
=3,14*60²/4
= 2826
mm2
N= 20 KN
=20* N
Etape 5 : Condition de vérification:
 Condition de vérification :
On a trouvé que : σ = 7,08 < Rpe = 50
Donc : la poutre est vérifiée en traction
σ = N/S
= 20*/2826
= 7,08
MPa
Déformation
ΔL = N*L0/E*S
=(20**
3*)/(200*282
6)
=0,11mm > 0
3m ΔL
Etape 4 : Schéma après déformation : Nature :
Traction
Allongement

Application2 : Vérification de la stabilité de la poutre.
3m
F=30KN
A
Données :
D1 = 80mm D2 = 40mm
E = 200 000 MPa
Rpe = 50 MPa (compression)
Rpe = 20 MPa (traction)
2m
F=10KN

L01=3m
F2=10KN
A
RHA
1- Σ F = Σ F
RHA + F2 = F1
RHA = F1-F2 = 30-10 = 20KN
L01=3m
F1=30KN
RHA
0 3
[0,3]
N
[0,3]
- RHA = - 20
= -20KN
L01= 3m
= 3*mm
Surface Contrainte
N
L0
S1= Π*D12
/4
=3,14*80²/4
= 5024
mm2
N1=-20 KN
=-20* N
σ1 = N1/S1
= -20*/5024
= -3,98 MPa
Déformation
ΔL1 = N*L0/E*S
= (-20** 3*)/
(200**5024)
= - 0,06 mm < 0
Rétrécissement
F1=30KN
F2=10KN
S1
S2
S1
S2
L02=2m
L02=2m
5
[3,5]
[3,5]
- RHA+F1 = -20+30
= 10KN
L02= 2m
= 2*mm
S2= Π*D22
/4
=3,14*40²/4
= 1256
mm2
N2= 10 KN
=10* N
σ2 = N2/S2
= 10*/1256
= 7,96 MPa
ΔL2 = N*L0/E*S
= (10** 2*)/
(200**1256)
= 0,08 mm > 0
Allongement
A
3m
ΔL1
Nature :
Traction
ΔL2
Nature :
Compression
2m
Etape 4 : Schéma après déformation

Etape 5 : Conditions de vérification.
 Pour le cas de la compression :
On a trouvé que : σ1= 3,98 < Rpe = 50
Donc : la poutre est vérifiée (stable) en compression.
 Pour le cas de la traction :
Donc : la poutre est vérifiée (stable) en traction.

A
L1=3m L2=2m
F=4KN
q1=12KN/m
q2=8KN/m
Exercice 1 : Vérification de la flexion et du cisaillement d’une poutre.
(Pour deux sections)
On se propose d’étudier une poutre encastrée en équilibre et supportant deux charges une
répartie triangulairement (q1)et une deuxième répartie rectangulairement (q2) et une
charge concentrée F inclinée d’un angle α= 45°.
1- calculer les réactions à l’appui A.
2- calculer les efforts internes (N, T, M).
3-tracer les diagrammes (T, M), et déduire Tmax et Mmax.
4- calculer les C.D.G (XGT et YGT), et déduire Ymax.
5-Calculer le moment d’inertie (IGX et IGY).
6- vérification de la flexion et du cisaillement de la poutre.
σadm=120MPa τadm=50MPa
3cm
8cm
12cm
2cm 2cm
6cm
2cm
12cm
6cm
2cm

Correction : Q1
A
L1=3m L2=2m
F=4KN
q1=12KN/m
q2=8KN/m
A
a1 b1 a2 b2
Q1=q1*L1/2=12*3/2=18KN a1=2L1/3=2*3/3=2m
b1=L1/3=3/3=1m
Q2=q2*L2=8*2=16KN a2=b2=L2/2=2/2=1m
+ -
RVA
RHA
MA
Q1=18KN Q2=16KN
L1=3m L2=2m
1- Σ F = Σ F
2- Σ F = Σ F
RHA+FX = 0
RHA = - FX = - 2,83 KN
RVA+FY = Q1+Q2
RVA = 18+16-2,83 = 31,17KN
3- Σ M(F/A) = 0
M(RHA/A) = 0
M(Q1/A) = Q1*a1 = 18*2=36KN.m
M(FY/A) = - FY*L1 = - 2,83*3 = - 8,49KN.m
0+0+36+0-8,49+64-MA=0
MA = 91,51KN.m
M(Q2/A) = Q2*(L1+a2) = 16*(3+1) = 64KN.m
- MA
FX
FY
Fx=F*cosα=4*cos(45°)
= 2,83 KN
Fy=F*sinα=4*sin(45°)
= 2,83 KN
Fy
Fy
Fx
Fx
F
α
α
M(FX/A) = 0

Correction : Q2+Q3
A
L1=3m L2=2m
F=4KN
q1=12KN/m
q2=8KN/m
A
L1=3m L2=2m
F=4KN
q1=12KN/m
q2=8KN/m
RVA
[0,3]
[3,5]
a1=0 a2=3 a3=5
0 3 5
RHA
MA
RHA= -2,83KN RVA= 31,17KN
MA= 91,51KN.m
N
T(x)
M(x)
[0,3] [3,5]
- RHA = -(-2,83) = 2,83 KN - RHA-FX = -(-2,83)-2,83 = 0
=RVA – (q1/2L1)*[x-(a1=0)]²
= 31,17-2x²
T(0)= 31,17KN T(3)= 13,17KN
=RVA – (q1*L1/2)+Fy – q2*[x-(a2=3)]
= 31,17-18+2,83-8x+24 = -8x+40
T(3)= 16KN T(5)= 0
=RVA*[x-(a1=0)] –
(q1/6L1)*[x-(a1=0)]³ – MA
= 31,17x – 2/3x³ – 91,51
M(0)= -91,51KN.m M(3)= -16KN.m
=RVA*[x-(a1=0)] – (q1*L1/2)*[x-(a1=0) – 2L1/3]
+Fy*[x-(a2=3)] – (q2/2)*[x-(a2=3)]² – MA
= 31,17x-18x+36+2,83x-8,49-4x²+24x-36-91,51
= -4x²+40x-100
M(3)= -16KN.m M(5)= 0
X(m)
M(KN.m)
2 4 5
1 3
-20
-16
Mmax = 91,51KN.m
X(m)
T(KN)
2 4 5
1 3
5
31,17
Tmax = 31,17KN
10
20
25
0
13,17
16
0
-40
-60
-80
FX
FY
Fy
Fx
-100
15
30
-91,51
+ -

Etape 1 : Calcul du Centre de Gravité.
12 cm
2 cm
S1
S2
O
1cm
1 cm
6 cm
4 cm
XG1=6b * S1=36b²
XG2=6b * S2=14b²
YG1=8,5b * S1=36b²
YG2=3,5b * S2=14b²
S1
S2
Σ
S1=2*12
= 24 cm²
S2=4*2
= 8 cm²
S1+S2
= 32 cm²
XG1
= 1 cm
XG2
= 4 cm
YG1
= 6 cm
YG2
= 1 cm
XG1*S1
= 24 cm³
XG2*S2
= 32 cm³
YG2*S2
= 8 cm³
YG1*S1
= 144 cm³
= 56 cm³ = 152 cm³
= 56 / 32 = 1,75 cm
= 152 / 32 = 4,75 cm
G1
G2
Y
X
Correction Q4 : Redimensionnement d’une poutre en flexion et au cisaillement.
+ + +
4 cm
2 cm
12 cm
4,75 cm
12 - 4,75 = 7,25 cm

Etape 2 : Détermination de la fibre la plus éloignée Ymax.
HT=12
YGT = 4,75
HT-YGT =12 - 4,75 = 7,25
12 cm
2 cm
S1
S2
4 cm
2 cm

= [b1*h1³/12 + S1*(YGT – YG1)²] + [b2*h2³/12 + S2*(YGT –
YG2)²]
= [2*12³/12 + 24*(4,75–6)²] + [4*2³/12 + 8*(4,75–1)²]
= 440,67 cm4
= 440,67 *104
mm4
= [2³*12/12 + 24*(1,75–1)²] + [4³*2/12 + 8*(1,75–4)²]
= 72,67 cm4
= 72,67 *104
mm4
= 300/50 = 1,75cm
= 355/50 = 4,75cm
Correction Q5 : Calcul du moment d’inertie.
12 cm
2 cm
S1
S2
4 cm
2 cm
S1
S2
Σ
S1=2*12
= 24 cm²
S2=4*2
= 8 cm²
S1+S2
= 32 cm²
XG1
= 1 cm
XG2
= 4 cm
YG1
= 6 cm
YG2
= 1 cm
XG1*S1
= 24 cm³
XG2*S2
= 32 cm³
YG2*S2
= 8 cm³
YG1*S1
= 144 cm³
= 56 cm³ = 152 cm³

Correction Q6 : Vérification de la flexion d’une poutre.
On a : σmax =
Or :
Mmax = 91,51KN.m = 91,51*106
N.mm Ymax = 7,25 cm= 7,25*10 mm IGX= 440,67 cm4
= 440,67 *104
mm4
σadm =
120 MPa
On aura donc : σmax = (91,51*106
*7,25*10) / 440,67 *104
= 2083 MPa
On trouve que : σmax = 2083 MPa > σadm = 120 MPa :
(Mmax∗Ymax)
IGX
(Mmax∗Ymax)
IGX
donc la poutre est non vérifiée en flexion.

Correction Q6 : Vérification du cisaillement d’une poutre.
On a : τmax = Tmax / (Section d’âme seule = b*h)
h= 12 cm
b= 2cm
S = 2 * 12 = 24 cm² = 24*10² mm²
Tmax = 31,17KN = 31,17*103
N S = 24 cm² = 24*10² mm² τadm = 50MPa
On aura donc : τmax = 31,17*103
/24*10² = 9,11 MPa
On trouve que : τmax = 3,72 MPa < τadm = 50MPa : donc la poutre est vérifiée au cisaillement.

Correction Q4 : Vérification avec
la deuxième section
S1
S4
O
6cm
6cm
12,5cm
1,5cm
XG4=6cm * S4=36cm²
XG3=6cm * S3=28,26cm²
YG4=1,5cm * S4=36cm²
YG3=7cm * S3=28,26cm²
S1
S2
Σ
S1=12*3
= 36cm²
S2=8*8
= 64cm²
S1+S2-S3+S4
= 107,74 cm²
XG1
= 6cm
XG2
= 6cm
YG1
= 12,5cm
YG2
= 7cm
XG1*S1
= 216 cm³
XG2*S2
= 384 cm³
YG2*S2
= 448 cm³
YG1*S1
= 450 cm³
= 646,44 cm³ = 754,18 cm³
= 646,44/107,74 = 6cm
= 754,18/107,74 = 7cm
G1
G2
Y
X
3cm
8cm
12cm
2cm
G4
G3
S2
S3
6cm
7cm
YG1=12,5cm * S1=36cm²
YG2=7cm * S2=64cm²
XG2=6cm * S2=64cm²
XG1=6cm * S1=36cm²
S3
S4
S3=3,14*3²
= 28,26cm²
XG3
= 6cm
YG3
= 7cm
XG3*S3
= 169,56cm³
YG3*S3
= 197,82cm³
S4=12*3
= 36cm²
XG4
= 6cm
YG4
=
1,5cm
XG4*S4
= 216 cm³
YG4*S4
= 54 cm³
+
+
-
7cm
+
+
+
-
+
-

Correction : Détermination de la fibre la plus éloignée Ymax :
Donc : Ymax = 7 cm
HT=14cm
YGT = 7cm
HT-YGT =14cm -7cm = 7 cm
3cm
8cm
12cm

Correction : Q5
XGi
YGi
XG1
= 6cm
XG2
= 6cm
YG1
= 12,5cm
YG2
= 7cm
XGT= 646,44/107,74 = 6cm YGT= 754,18/107,74 = 7cm
XG3
= 6cm
YG3
= 7cm
XG4
= 6cm
YG4
=
1,5cm
h1=3cm
h2=8cm
b1=12cm
b2=8cm
S1
S2
S3
S4
b4=12cm
h4=3cm
D=6cm
= [IGX1 + S1*(YGT – YG1)²] + [IGX2 + S2*(YGT – YG2)²] - [IGX3 + S3*(YGT – YG3)²] + [IGX4 + S4*(YGT – YG4)²]
= [(b1*h1³)/12 + S1*(YGT – YG1)²] + [(b2*h2³)/12 + S2*(YGT – YG2)²] - [(Π*D⁴/64) + S3*(YGT – YG3)²]
+ [(b4*h4³)/12 + S4*(YGT – YG4)²]
= [(12*3³)/12 + 36*(7–12,5)²] + [(8*8³)/12 + 64*(7–7)²] - [(3,14*6⁴)/64) + 28,26*(7–7)²] + [(12*3³)/12 + 36*(7–1,5)²]
= 1591,74 cm4 = 1591,74 *104
mm4
= [IGY1 + S1*(XGT – XG1)²] + [IGY2 + S2*(XGT – XG2)²] - [IGY3 + S3*(XGT – XG3)²] + [IGY4 + S4*(XGT – XG4)²]
= [(b1³*h1)/12 + S1*(XGT – XG1)²] + [(b2³*h2)/12 + S2*(XGT – XG2)²] - [(Π*D⁴/64) + S3*(XGT – XG3)²]
+ [(b4³*h4)/12 + S4*(XGT – XG4)²]
= [(12³*3)/12 + 36*(6–6)²] + [(8³*8)/12 + 64*(6–6)²] - [(3,14*6⁴)/64) + 28,26*(6–6)²] + [(12³*3)/12 + 36*(6–6)²]
= 1141,74 cm4 = 1141,74 *104
mm4
Si
S1
= 36 cm²
S2
= 64cm²
S3
=28,26cm²
S4
= 36cm²

Correction : Q6 Vérification de la flexion d’une poutre.
On a : σmax =
Or :
Mmax = 91,51KN.m = 91,51*106
N.mm Ymax = 7 cm= 7*10 mm IGX= 440,67 cm4
= 440,67 *104
mm4
σadm = 120
MPa
On aura donc : σmax = (91,51*106
*7*10) / 440,67 *104
= 1453,63 MPa
On trouve que : σmax = 2083 MPa > σadm = 120 MPa :
(Mmax∗Ymax)
IGX
(Mmax∗Ymax)
IGX
donc la poutre est non vérifiée en flexion.

Correction : Q6 Vérification du cisaillement d’une poutre.
h= 14 cm
b= 8cm
S = S1 - S2 = (b*h) – (Π*D²/4)= (8*14) - (3,14*6²/4)
= 112 - 28,26 = 83,74 cm² = 83,74*10² mm²
Tmax = 31,17KN = 31,17*103
N S = 83,74 cm² = 83,74*10² mm² τadm = 50MPa
On aura donc : τmax = 31,17*103
/83,74*10² = 3,72 MPa
donc la poutre est vérifiée au cisaillement.
D=6cm

Exercice 2 : Vérification de la flexion et du cisaillement d’une poutre.
A
L1=1m L3=1m L4=1m
B
F2=10KN F3=8KN
On se propose d’étudier une poutre en équilibre appuyée sur deux appuis simples et
supportant trois charges concentrées F1, F2 et F3.
1- calculer les réactions aux appuis A et B.
2- calculer les efforts internes (N, T, M).
3-tracer les diagrammes (T, M), et déduire Tmax et Mmax.
4- calculer les C.D.G (XGT et YGT), et déduire Ymax.
5-Calculer le moment d’inertie (IGX et IGY).
6- vérification de la flexion et du cisaillement de la poutre. σadm=40MPa
τadm=10MPa
F1=4KN
L2=2m
3cm
6cm
10cm
2cm
3cm

Correction : Q1
A
RVA
L1=1m L2=2m L3=1m
B
F2=10KN F3=8KN
+
1- Σ F = Σ F
2- Σ F = Σ F
0 = 0
RVA+RVB= F1+F2+F3
RVB
RVA+RVB = 4+10+8 = 22KN
3- Σ M(F/A) = 0
M(RVA/A) = RVA*d1 = 0
M(F1/A) = - F1*d2 = - 4*1 = - 4KN.m
M(F2/A) = F2*d3 = 10*2 = 20KN.m
M(RVB/A) = - RVB*d4 = - RVB*3
0-4+20-3RVB+32=0
RVB = 48/3= 16KN
d2 = 1m
d3 = 2m
d4 = 3m
d1 =0m
On remplace sur la deuxième équation :
On a : RVA+RVB=22KN, or RVB=16KN
Donc : RVA+16=22 RVA=6KN
-
L4=1m
F1=4KN
M(F3/A) = F3*d5 = 8*4 = 32KN.m
d5 = 4m

Correction : Q2+Q3
RVA= 6KN RVB= 16KN
A
L1=1m L2=2m L3=1m
F2=10KN
F3=8KN
B
1 3 4 5
RVA RVB
[1,3] [3,4] [4,5]
N
T
M(x)
[0,1] [1,3] [3,4]
0 0 0
= -F1
= -4KN
=RVA - F1 = 6 - 4
= 2KN
=RVA-F1-F2 = 6-4-10
= -8KN
=-F1*[x-(a1=0)]
= -4x
M(0)=0
M(1)=-4KN.m
a1=0 a2=1 a3=3 a4=4
=RVA*[x-(a2=1)]
-F1*[x-
(a1=0)] = 6x-6-
4x = 2x-6
M(1)=-4KN.m
M(3)=0KN.m
=RVA*[x-(a2=1)]
-F1*[x-(a1=0)]
-F2*[x-(a3=3)]
=6x-6-4x-10x+30
= -8x+24
M(3)=0 M(4)=-8KN.m
X(m)
T(KN)
X(m)
M(KN.m)
0
2 4 5
1 3
8
4
-4
-8
2
0
2 4
5
1 3
8
4
-4
-8
Tmax = 8KN Mmax = 8KN.m
+ -
A
L1=1m L3=1m L4=1m
B
F2=10KN F3=8KN
F1=4KN
L2=2m
F1=4KN
=RVA-F1-F2+RVB = 6 - 4 -
10 + 16 = 8KN
0
[0,1]
[4,5]
0
=RVA*[x-(a2=1)]
-F1*[x-(a1=0)]-F2*[x-
(a3=3)]
+RVB*[x-(a4=4)]
=6x-6-4x-10x+30+16x-64
=8x-40
M(4)=-8KN.m M(5)=0
a5=5
L4=1m

Correction : Q4
3cm
6cm
8cm
S1
S2
O
2cm
1cm
5cm
10,5cm
6cm
XG1=5cm * S1=30cm²
XG2=1cm * S2=12cm²
YG1=10,5cm * S1=30cm²
YG2=6cm * S2=12cm²
S1
S2
Σ
S1=10*3
= 30cm²
S2=2*6
= 12cm²
S1+S2+S3
= 72 cm²
XG1
= 5cm
XG2
= 1cm
YG1
= 10,5cm
YG2
= 6cm
XG1*S1
= 150 cm³
XG2*S2
= 12 cm³
YG2*S2
= 72 cm³
YG1*S1
= 315 cm³
= 312 cm³ = 432 cm³
= 312/72 = 4,33cm
= 432/72 = 6cm
G1
G2
Y
X
+ + +
S3
G3
1,5cm
5cm
S3=10*3
= 30cm²
S3
XG3
= 5cm
YG3
=
1,5cm
XG3=5cm * S2=30cm²
YG3=1,5cm * S3=30cm²
XG3*S3
= 150 cm³
YG3*S3
= 45 cm³
+ +
+

3cm
6cm
10cm
2cm
Donc : Ymax = 6 cm
HT=12cm
YGT = 6cm
HT-YGT =12cm - 6cm = 6 cm
3cm

S1
S2
Correction : Q5
12(cm)*3 ³(cm ³) = ….cm4
36(cm²)*1,4² (cm ²) = ….cm4
Cm = 10 mm
Cm4
= ……*104
mm4
h1=3cm
h2=6cm
b1= 10cm
b2=2cm
h3=3cm
b3= 10cm
S3
XGi
YGi
XG1
= 5cm
XG2
= 1cm
YG1
= 10,5cm
YG2
= 6cm
XGT= 312/72 = 4,33cm YGT= 432/72 = 6cm
XG3
= 5cm
YG3
=
1,5cm
Si
S1
= 30 cm²
S2
= 12cm²
S3
=30cm²
= [IGX1 + S1*(YGT – YG1)²] + [IGX2 + S2*(YGT – YG2)²] + [IGX3 + S3*(YGT – YG3)²]
= [(b1*h1³)/12 + S1*(YGT – YG1)²] + [(b2*h2³)/12 + S2*(YGT – YG2)²] + [(b3*h3³)/12 + S3*(YGT – YG3)²]
= [(10*3³)/12 + 30*(6–10,5)²] + [(2*6³)/12 + 12*(6–6)²] + [(10*3³)/12 + 30*(6–1,5)²]
= 1296 cm4 = 1296*104
mm4
= [IGY1 + S1*(XGT – XG1)²] + [IGY2 + S2*(XGT – XG2)²] + [IGY3 + S3*(XGT – XG3)²]
= [(b1³*h1)/12 + S1*(XGT – XG1)²] + [(b2³*h2)/12 + S2*(XGT – XG2)²] + [(b3³*h3)/12 + S3*(XGT – XG3)²]
= [(10³*3)/12 + 30*(4,33–5)²] + [(2³*6)/12 + 12*(4,33–1)²] + [(10³*3)/12 + 30*(4,33–5)²]
= 664,001 cm4 = 664,001*104
mm4

Correction : Q6 Vérification de la flexion d’une poutre.
On a : σmax =
Or : Mmax = 8 KN.m = 8*106
N.mm Ymax = 6 cm= 6*10 mm IGX= 1296 cm4
= 1296 *104
mm4
σadm = 40 MPa
Remarque : Pour le détail de calcul de Ymax et IGX (voir diapositives N° (89 & 90) et 91)
On aura donc : σmax = (8*106
*6*10) / 1296 *104
= 37,04 MPa
On trouve que : σmax = 37,04 MPa < σadm = 40 MPa :
(Mmax∗Ymax)
IGX
(Mmax∗Ymax)
IGX
donc la poutre est vérifiée en flexion (elle reste stable).

Correction : Q6 Vérification du cisaillement d’une poutre.
S = (b*h) = 2*12 = 24 cm² = 24*10² mm²
Tmax = 8 KN = 8*103
N S = 24 cm² = 24*10² mm² τadm = 10MPa
On aura donc : τmax = 8*103
/24*10² = 3,34 MPa
On trouve que : τmax = 3,34 MPa < τadm = 10 MPa : donc la poutre est vérifiée au cisaillement (elle reste stable).
12cm
2cm

Exercice 3 : Redimensionnement d’un poteau au flambage.
F= 400KN
L0= 4m
b
1- Calculer la valeur de (b) qui vérifie la stabilité au flambage du poteau de
la figure ci-joint, sachant que λ= 50, on donne E= 210 000 MPa.
 Le moment d’inertie selon l’axe des Y : IGY = (b3
*h)/12
 La longueur critique du poteau : Lcr = 0,7*L0
3b
 Le rayon de giration : r=
 L’élancement : λ= Lcr/r
 2ème
expression de σcr = (Π²*E) / λ²

F= 400KN
L0= 4m
b
3b
Or : r = avec IGY = (b3
*h)/12 = (b3
*3b)/12 = 3 b⁴/12 = b⁴/4 et S = b*3b = 3b²
On a : λ= Lcr/r
F = 400 KN = 400*103
N λ = 50 Lcr = 0,7*L0
En remplaçant sur r :
On aura : r = =
r = )
En remplaçant sur λ :
On aura : λ = Lcr/r = 0,7*L0 / )]
λ = )*0,7*L0 / b
Donc : b= )*0,7*L0 / λ
Donc : b= )*0,7*4*10³ / 50
Donc : b= 193,98 mm
=
√𝟏𝟐 = = * = 2 *

Correction suite : Redimensionnement d’un poteau au flambage.
Calcul de σ :
On sait que :
σ = F / S
Calcul de la section : S = b*h =b*3b = 3 b² = 3 * (194)² = 112,90 *103
mm²
E= 210*103
F = 400 KN = 400*103
N b= 194 mm IGY= (b3
*h)/12 Lcr = 0,7*Lo
Pour vérifier le flambage du poteau il faut commencer par calculer σcr et comparer avec σ :
Calcul de σcr :
On sait que :
σcr = Π² * E / λ² = (3,14)²*210*103
/ (50)² = 828,20 MPa
On trouve que : σ < σcr : donc le poteau est vérifié au flambage (il reste stable).
Donc : σ = 400*103
*/ 112,90 *103
= 3,54 MPa
194mm
582mm

Exercice 4 : Vérification de la stabilité de la poutre.
L01= 3m
F=20KN
A
Données :
A1 = 40mm B1 = 60mm (partie rectangulaire)
D2 = 20mm (partie circulaire)
E = 200 000 MPa
Rpe = 40 MPa (compression)
Rpe = 20 MPa (traction)
L02= 2m
F=10KN
F=20KN

L01=3m
F3=10KN
A
RHA
1- Σ F = Σ F
RHA + F3 = F1 + F2
RHA = F1+F2-F3 = 20+20-10 = 30KN
L01=3m
RHA
0 3
[0,3]
N
[0,3]
- RHA = - 30
= -30KN
L01= 3m
= 3*mm
Surface Contrainte
N
L0
S1= A1*B1
=40*60
= 2400
mm2
N1= -30 KN
=-30* N
σ1 = N1/S1
= -30*/2400
= -12,50 MPa
Déformation
ΔL1 = N1*L0/E*S1
= (-30** 3*)/
(200**2400)
= - 0,187 mm < 0
Rétrécissement
F2=10KN
S1
S2
S1
S2
L02=2m
L02=2m
5
[3,5]
[3,5]
- RHA+F1+F2
= -30+20+20
= 10KN
L02= 2m
= 2*mm
S2= Π*D22
/4
=3,14*20²/4
= 314
mm2
N2= 10 KN
=10* N
σ2 = N2/S2
= 10*/314
= 31,84 MPa
ΔL2 = N2*L0/E*S2
= (10** 2*)/ (200**314)
= 0,318 mm > 0
Allongement
A
3m
ΔL1
Nature :
Traction
ΔL2
Nature :
Compression
2m
Etape 4 : Schéma après déformation
F1=20KN
F2=20KN
F1=20KN
F2=20KN

Etape 5 : Conditions de vérification.
 Pour le cas de la compression :
Donc : la poutre est vérifiée (stable) en compression.
 Pour le cas de la traction :
On a trouvé que : σ2= 31,84 > Rpe = 20
Donc : la poutre n’est pas vérifiée (instable) en traction.

Exercice 5 : On se propose de faire l’étude d’une console à deux barres en
acier AB et AC articulées en A est soumise à une charge F.
BC = 6m
30°
B Données :
E = 200 000 MPa
σc = 60daN/mm² contrainte admissible de compression
σt = 150daN/mm² contrainte admissible de traction
Questions :
1- Déterminer les efforts normaux dans les barres.
2- Déterminer les sections des barres.
3- Déterminer la variation des longueurs (déformations)
des barres.
σ = N/S
ΔL = N*L0/E*S
Contrainte Normale
Déformation
60°
F= 50daN
C
A
σc < σc Condition de stabilité en compression
σt < σt Condition de stabilité en traction

Correction :
BC = 6m
30°
B
1- calcul des efforts normaux :
Sous l’effet de la charge F sur la console à deux barres
on peut constater que la barre (AB) va subir une
traction tandis que la barre (AC) va subir une
compression.
On a :
Cos(α) = NAB / F
NAB = F*Cos(α) = 50*Cos(30°) = 43,30 daN = 433 N
D’après notre constatation on peut dire que (NAB)
constitue l’effort de traction.
60°
F= 50daN
C
A
NAB
NAC
30°
30°
NAB
NAC
F= 50daN
On a :
Sin(α)= NAC / F
NAC = F*Sin(α) = 50*Sin(30°) = 25 daN = 250 N
D’après notre constatation on peut dire que (NAC)
constitue l’effort de compression.

Correction :
BC = 6m
30°
B
2- calcul des sections :
Pour déterminer la valeur des sections on va admettre que la
console est vérifiée en compression et traction ce qui va permettre
d’écrire les inégalités suivantes :
D’après notre supposition on a pour le cas de la compression :
σc < σc
NAC / SAC < σc
SAC > NAC / σc
SAC > 25/ 60
SAC > 0,41 mm²
60°
F= 50daN
C
A
NAB
NAC
D’après notre supposition on a pour le cas de la traction :
σt < σt
NAB / SAB < σt
SAB > NAB / σt
SAB > 43,30/ 150 daN/ (daN/mm²) = daN * mm²/daN
SAB> 0,28 mm²
Pour la compression : σc < σc
Pour la traction : σt < σt

Correction :
LBC = 6m
30°
B
3- calcul des déformations :
On a : ΔL = N*L0/E*S
Pour la barre (AB) : ΔLAB = NAB*LAB/E*SAB
On doit commencer par déterminer la valeur de LAB
On a : cos (30°) = LAB/LBC
LAB= LBC*cos(30°) = 6*cos(30°) = 5,2m = 5,2* mm
En remplaçant sur ΔLAB on aura :
ΔLAB = NAB*LAB/E*SAB = 433*5,2*/200000*0,28
ΔLAB = 40,20 mm (+ car on a une traction)
60°
F= 50daN
C
A
NAB
NAC
Pour la barre (AC) : ΔLAC = - NAC*LAC/E*SAC
On doit commencer par déterminer la valeur de LAC
On a : sin (30°) = LAC/LBC
LAC= LBC*sin(30°) = 6*sin(30°) = 3m = 3* mm
En remplaçant sur ΔLAC on aura :
ΔLAC = - NAC*LAC/E*SAC = - 250*3*/200000*0,41
ΔLAC = - 9,15 mm (- car on a une compression)

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