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Formulaire de beton_arme
Ce document présente un formulaire de calcul pour les sections en béton armé selon les normes BAEL 91 et CBA 93, destiné aux étudiants en génie civil. Il aborde divers calculs relatifs à la compression, la traction, la flexion simple et composée, ainsi que le cisaillement, en fournissant des méthodes et des critères réglementaires. Les enseignants responsables du programme sont Hamouche Sabiha et Tahakourt Abdelkader à l'Université de Béjaïa.
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- 1. Formulaire de bétonarmé 1/18 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DE BEJAIA FACULTE DE TECHNOLOGIE DEPARTEMENT DE GENIE-CIVIL FORMULAIRE DE CALCUL DES SECTIONS EN BETON ARME Selon le BAEL91 et CBA93 Programme de Béton 1 et 2 3ème Année Licence de Génie-Civil Enseignants HAMOUCHE Sabiha TAHAKOURT Abdelkader SOMMAIRE I- COMPRESSION SIMPLE 2 II- TRACTION SIMPLE 5 III-FLEXION SIMPLE 6 IV-FLEXION COMPOSEE 10 V-CISAILLEMENT 17 2012/2013
- 2. Compression simple 2/18 I-COMPRESSION SIMPLE COMBINAISONSDE CHARGE Combinaison a l’ELU 1,35𝐺 𝑚𝑎𝑥 + 𝐺 𝑚𝑖𝑛 + 𝛾 𝑄1. 𝑄1 + 1,3 𝜓0𝑖 𝑄𝑖 Combinaison accidentelle 𝐺 𝑚𝑎𝑥 + 𝐺 𝑚𝑖𝑛 + 𝐹𝐴 + 𝜓1𝑖 𝑄1 + 𝜓2𝑖 𝑄𝑖 Combinaison a l’ELS 𝐺 𝑚𝑎𝑥 + 𝐺 𝑚𝑖𝑛 + 𝑄1 + 𝜓0𝑖 𝑄𝑖 Avec : FA : l’action accidentelle. Gmax : l’ensemble des actions permanentes défavorables Gmin: l’ensemble des actions permanentes favorables Q1 : Action variable de base Qi : Action variable d’accompagnement. I-CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES 1- ELU de résistance 𝐴𝑠 = 𝑁𝑢 − 𝐵𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠𝑐 𝑓𝑏𝑢 = 0,85 𝑓𝑐28 𝜃 𝛾𝑏 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑓𝑏𝑢 = 0,8 𝑓𝑐28 𝜃 𝛾𝑏 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝛾𝑏 = 1.5 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝛾𝑏 = 1.15 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑠𝑐 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝛾𝑠 = 1.15 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝛾𝑠 = 1 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 Pour A<0 : on n’a pas besoin d’aciers, le béton seul suffit 2- ELU de stabilité de forme
- 3. Compression simple 3/18 𝐴𝑠 ≥ 𝑁𝑢 𝛼 −𝐵𝑟 𝑓𝑐28 1,35 𝛾𝑠 𝑓𝑒 L’élancement du poteau Section rectangulaire 𝜆 = 3,46 𝑙𝑓 𝑏 𝑏 ∶ 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑡é Section circulaire 𝜆 = 4 𝑙𝑓 𝐷 𝐷 ∶ 𝑙𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 Section orthogonale 𝜆 = 3,89 𝑙𝑓 𝑆𝑖 0 ≤ 𝜆 ≤ 50 𝛼 = 0,85 1 + 0,2 𝜆 35 2 𝑆𝑖 50 ≤ 𝜆 ≤ 70 𝛼 = 0,6 50 𝜆 2 Br : Section réduite : 𝐵𝑟 = 𝑎 − 2 𝑏 − 2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝐵𝑟 = 𝜋 𝐷 − 2 2 4 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 Condition à vérifier : 1er cas : Si 𝐴 𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐴 𝑠 ≤ 𝐴 𝑚𝑎𝑥 𝑂𝑛 𝑓é𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴 𝑠 𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 4𝑈 , 0,1 100 𝐵 𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑈 𝑙𝑒 𝑝é𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 (𝑚) 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑡 𝐵 (𝑐𝑚²) 𝑈 = 2 𝑎 + 𝑏 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟é𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑈 = 2𝜋𝑅 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝐴 𝑚𝑎𝑥 = 4 100 𝐵 2eme cas 𝑆𝑖 𝐴 𝑠 > 𝐴 𝑚𝑎𝑥 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢 3eme cas 𝑆𝑖 𝐴 𝑠 < 𝐴 𝑚𝑖𝑛 𝑂𝑛 𝑓é𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴 𝑚𝑖𝑛 Remarque Le diamètre des armatures longitudinales min :
- 4. Compression simple 4/18 𝜙𝑙 ≥12 𝑚𝑚 Pour une section circulaire le nombre des barres min est de 6 II-CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES 𝜙𝑡 ≥ 𝜙𝑙 𝑚𝑎𝑥 3 𝜙𝑙 𝑚𝑎𝑥 : 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑥 Espacement entre les armatures transversales : 𝑆𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 15 𝜙𝑙 𝑚𝑖𝑛 , 𝑎 + 10, 40 𝑐𝑚 𝑎: 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑡é 𝑒𝑡 𝜙𝑙 𝑚𝑖𝑛 : 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛 L’enrobage 𝑒 ≥ 3 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑠 Vérification des contraintes à l’ELS 𝜎𝑏𝑐 = 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝐵 + 15𝐴 𝑠 ≤ 𝜎𝑏𝑐 = 0,6𝑓𝑐28 𝑒 ≥ 5 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢𝑥 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑓𝑠 𝑒 ≥ 1 𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑒 ≥ 𝜙𝑙 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑛𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑠
- 5. Traction simple 5/18 II-TRACTION SIMPLE I-DETERMINATIONDE LA SECTION DES ARMATURES 𝐴 𝑠 = max 𝐴 𝑢 ; 𝐴 𝑠𝑒𝑟 1- Calcul à l’ELU 𝐴 𝑢 ≥ 𝑁𝑢 𝛾𝑠 𝑓𝑒 2- Calcul à l’ELS 𝐴 𝑠𝑒𝑟 ≥ 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠 a- Fissuration peu nuisible : On calcul uniquement à l’ELU b- Fissuration nuisible : 𝜎𝑠 = min 2 3 𝑓𝑒 ; 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗 c- Fissuration très nuisible : 𝜎𝑠 = min 0,5 𝑓𝑒 ;90 𝜂 𝑓𝑡𝑗 𝑓𝑡𝑗 = 0,6 + 0,06 𝑓𝑐𝑗 𝜂 ∶ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 1,6 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟𝑠 𝐻𝐴 2-Vérification de la condition de non fragilité 𝐴 𝑠. 𝑓𝑒 ≥ 𝐵. 𝑓𝑡28 𝐵 ≤ 𝐴 𝑠. 𝑓𝑒 𝑓𝑡28 𝑜𝑢 𝐴 𝑠 ≥ 𝐵. 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 II-DISPOSITIONS REGLEMENTAIRES MINIMALES 1-Conditions d’enrobage 𝑒 ≥ 1 𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑒 ≥ 𝜙𝑙 𝐹𝑃𝑁 (𝐹𝑃𝑃) 𝑒 ≥ 3 𝑐𝑚 𝐹𝑁 (𝐹𝑃) 𝑒 ≥ 5 𝑐𝑚 𝐹𝑇𝑁 (𝐹𝑇𝑃) 2-Diamètres minimaux 𝐹𝑁 ∶ 𝜙𝑡 ≥ 6 𝑚𝑚 ; 𝜙𝑙 ≥ 6 𝑚𝑚 𝐹𝑇𝑁 ∶ 𝜙𝑡 ≥ 𝟖 𝒎𝒎 ; 𝝓𝒍 ≥ 𝟖 𝒎𝒎 3-Espacement 𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 40 𝑐𝑚 ; 𝑎 + 10 , 𝑡 ≈ 𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
- 6. Flexion simple 6/18 III-FLEXION SIMPLE I-SECTIONRECTANGULAIRE 1-ELU 𝜇 𝑏𝑢 = 𝑀𝑢 𝑏𝑑2 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑏𝑢 = 0,85𝑓𝑐28 𝜃𝛾𝑏 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 > 0,186 𝑝𝑖𝑣ô𝑡 𝐵 𝜇𝑙 = 0,8 𝛼𝑙 1 − 0,4 𝛼𝑙 𝛼𝑙 = 3,5 3,5 + 1000 𝜀𝑙 𝜀𝑙 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝐸𝑠 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′ = 0 𝐴 = 𝑀𝑢 𝑧𝑓𝑠𝑡 𝑧 = 𝑑 1 − 0,4𝛼 𝛼 = 1,25 1 − 1 − 2𝜇 𝑏𝑢 Calcul de fst 𝜀𝑠𝑡 = 3,5 1000 1 − 𝛼 𝛼 𝑆𝑖 𝜀𝑠𝑡 > 𝜀𝑙 𝑓𝑠𝑡 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑠𝑡 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠𝑡 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0 𝐴′ = 𝑀𝑢 − 𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐 𝑀𝑙 = 𝜇𝑙 𝑏 𝑑2 𝑓𝑏𝑢 Calcul de 𝑓𝑠𝑐 𝜀𝑠𝑐 = 3,5 1000 + 𝜀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑑 − 𝜀𝑙 𝑆𝑖 𝜀𝑠𝑐 > 𝜀𝑙 𝑓𝑠𝑐 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑠𝑐 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠𝑐
- 7. Flexion simple 7/18 𝐴 = 𝑀𝑙 𝑧𝑙 + 𝑀𝑢− 𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 1 𝑓𝑠𝑡 𝑧𝑙 = 𝑑 1 − 0,4𝛼𝑙 𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 < 0,186 𝑝𝑖𝑣ô𝑡 𝐴 𝑓𝑠 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝜇𝑙 = 0,8 𝛼𝑙 1 − 0,4 𝛼𝑙 𝛼𝑙 = 3,5 3,5 + 1000 𝜀𝑙 𝜀𝑙 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝐸𝑠 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′ = 0 𝐴 = 𝑀𝑢 𝑧𝑓𝑠𝑡 𝑧 = 𝑑 1 − 0,4𝛼 𝛼 = 1,25 1 − 1 − 2𝜇 𝑏𝑢 𝑓𝑠𝑡 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0 𝐴′ = 𝑀𝑢 − 𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐 𝑀𝑙 = 𝜇𝑙 𝑏 𝑑2 𝑓𝑏𝑢 𝐴 = 𝑀𝑙 𝑧𝑙 + 𝑀𝑢 − 𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 1 𝑓𝑠𝑡 𝑧𝑙 = 𝑑 1 − 0,4𝛼𝑙 𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 2-ELS Vérification des contraintes : 𝜎𝑏𝑐 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝐼 𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 = 0,6 𝑓𝑐28 𝜎𝑠𝑡 = 15 𝜎𝑏𝑐 𝑑 − 𝑦 𝑦 = 15 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝐼 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠𝑡 𝐹𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 2 3 𝑓𝑒 , 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗 𝐹𝑇𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 0,5 𝑓𝑒 , 90 𝜂 𝑓𝑡𝑗
- 8. Flexion simple 8/18 Calcul dey et I : 𝑏 2 𝑦² + 15 𝐴 + 𝐴′ 𝑦 − 15 𝐴𝑑 + 𝐴′𝑑′ = 0 𝐼 = 𝑏 3 𝑦3 + 15 𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ 2 + 15 𝐴 𝑑 − 𝑦 2 Remarque 𝑆𝑖 𝜎𝑠 > 𝜎𝑠 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 à 𝑙′𝐸𝐿𝑆 𝐴 𝑠𝑒𝑟 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑑 1 − 𝛼 3 𝜎𝑠 𝛼 = 90𝛽 1 − 𝛼 3 − 𝛼 𝛽 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑏𝑑2 𝜎𝑠 II-SECTION EN T 1-ELU 𝑀 𝑇𝑢 = 𝑏 0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 − 0 2 Si 𝑀 𝑇𝑢 > 𝑀𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑏𝑥 Si 𝑀 𝑇𝑢 < 𝑀𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇 𝑀2 𝑢 = 𝑏 − 𝑏0 𝑏 𝑀 𝑇𝑢 𝑀1 𝑢 = 𝑀𝑢 − 𝑀2 𝑢 𝐴1 = 𝑀1 𝑢 𝑑 1 − 0,4 𝛼 𝑓𝑠𝑡 𝐴2 = 𝑀2 𝑢 𝑑 − 0 2 𝑓𝑠𝑡 𝜇 𝑏𝑢 1 = 𝑀1 𝑢 𝑏0 𝑑2 𝑓𝑏𝑢 Si 𝜇 𝑏𝑢 1 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0 𝑒𝑡 𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑍𝑙à 𝑑 − 0 2 Si 𝑍𝑙 < 𝑑 − 0 2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴′ 𝑀1 ′ = 𝑓𝑏𝑢 𝜇𝑙 𝑏0 𝑑2 + 𝑏 − 𝑏0 0 𝑑 − 0 2 𝑀2 ′ = 𝑀𝑢 − 𝑀1 ′ 𝐴′ = 𝑀2 ′ 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐 𝐴 = 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠𝑡 𝜇𝑙 𝑏0 𝑑 𝛽𝑙 + 𝑏 − 𝑏0 0 + 𝐴′ 𝑓𝑠𝑐 𝑓𝑠𝑡
- 9. Flexion simple 9/18 𝛽𝑙 =1 − 0,4 𝛼𝑙 Si 𝑍𝑙 > 𝑑 − 0 2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑏𝑥 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴′ 2-ELS Vérification des contraintes La position de l’axe neutre H 𝐻 = 𝑏0 2 2 − 15𝐴 𝑑 − 0 Si H > 0 : axe neutre passe par la table, vérification des contraintes pour une section rectangulaire bxh. Si H < 0 : section en T Vérification des contraintes : 𝜎𝑏𝑐 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝐼 𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 = 0,6 𝑓𝑐28 𝜎𝑠𝑡 = 15 𝜎𝑏𝑐 𝑑 − 𝑦 𝑦 = 15 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝐼 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠𝑡 𝐹𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 2 3 𝑓𝑒 , 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗 𝐹𝑇𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 0,5 𝑓𝑒 ,90 𝜂 𝑓𝑡𝑗 Remarque Si Mu < 0 ; Calcul d’une section rectangulaire b0 x h 𝐼 = 𝑏 3 𝑦3 − 𝑏 − 𝑏0 𝑦 − 0 3 3 + 15 𝐴 𝑑 − 𝑦 2 + 15 𝐴′ 𝑑′ − 𝑦 2 𝑏0 2 𝑦2 + 15 𝐴 + 15𝐴′ + 𝑏 − 𝑏0 0 𝑦 − 15 𝐴𝑑 + 𝐴′𝑑′ − 𝑏 − 𝑏0 0 2 2 = 0
- 10. Flexion composée 10/18 IV-FLEXION COMPOSEE Isections entièrement Comprimée (SEC) SECTION RECTANGULAIRE A l’ELU Nu (compression) et c à l’intérieur de la section et Si 𝑵 𝒖 𝒅 − 𝒅′ − 𝑴 𝒖𝑨 > 𝟎, 𝟑𝟑𝟕 𝒉 − 𝟎, 𝟖𝟏 𝒅′ 𝒃 𝒉 𝒇 𝒃𝒖 Avec 𝑀 𝑢𝐴 = 𝑀 𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 − 2 , NU pris avec son signe a) Si 𝑵 𝒖 𝒅 − 𝒅′ − 𝑴 𝒖𝑨 < 𝟎, 𝟓 𝒉 − 𝒅′ 𝒃 𝒉 𝒇 𝒃𝒖 𝐴 = 0 𝐴′ = 𝑁𝑢 − 𝜓 𝑏 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠 ′ 𝜓 = 0,357 + 𝑁 𝑢 𝑑−𝑑′ − 𝑀 𝑢𝐴 𝑏 2 𝑓 𝑏𝑢 0,857 − 𝑑′ 𝑓𝑠 ′ =? 𝜀 𝑠 = 2 1000 1 + 1,719− 4,010 𝑑′ 1 − 𝜓 Si 𝜀𝑠 ≥ 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠 ′ = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 Si 𝜀 𝑠 < 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠 ′ = 𝜀 𝑠 𝐸𝑠 b) Si 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝐴 ≥ 0,5 − 𝑑′ 𝑏 𝑓𝑏𝑢 𝐴 ≠ 0 𝜓 = 1 𝐴′ = 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 𝑓𝑏𝑢 𝑑 − 2 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠 2‰ 𝐴 = 𝑁𝑢 − 𝑏 𝑓𝑏𝑢 𝑓 𝑠2‰ − 𝐴′ Si 𝜀𝑙 < 2‰ ⟹ 𝑓𝑠 2‰ = 𝑓𝑒 𝛾 𝑠 Si 𝜀 𝑠 ≥ 2‰ ⟹ 𝑓𝑠 2‰ = 2‰ 𝐸𝑠 A L’ELS Nser (compression) et c a l’intérieur de la section (𝑒 𝐺 < 6 ) 𝑆𝐸𝐶 Vérification des contraintes 𝑉 = 𝑏2 2 + 15 𝐴′ 𝑑′ + 𝐴𝑑 𝐵 + 15 𝐴′ + 𝐴
- 11. Flexion composée 11/18 𝑉′ = − 𝑉 𝑒𝑛 (𝑚) Il faut que : 𝜎𝑏1 = 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑆 + 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 𝐼𝑦𝑦′ 𝑉 ≤ 𝜎𝑏𝑐 𝜎𝑏2 = 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑆 − 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 𝐼𝑦𝑦′ 𝑉′ ≤ 𝜎𝑏𝑐 𝜎𝑠 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑆 + 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 𝐼𝑦𝑦′ 𝑉 − 𝑑′ ≤ 𝜎𝑠 𝜎𝑠 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑆 − 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 𝐼𝑦𝑦′ 𝑑 − 𝑉′ ≤ 𝜎𝑠 Avec : 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 − 𝑁𝑠𝑒𝑟 2 − 𝑉 𝐼𝑦𝑦′ = 𝑏 3 𝑉3 + 𝑉′3 + 15𝐴′ 𝑉 − 𝑑′ 2 + 15𝐴 𝑑 − 𝑉 2 𝑆 = 𝑏 ∗ + 15 𝐴 + 𝐴′ SECTION EN T A l’ELU Nu (compression) et c a l’intérieur de la section Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀 𝑢𝑟 𝐴 > 0,337 − 0,81 𝑑′ 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 Avec 𝑀 𝑢𝑟 𝐴 = 𝑀 𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑦 𝐺 NU pris avec son signe La détermination des armatures d’une section en T(SEC) revient à déterminer celles d’une section rectangulaire𝑏0 𝑥 . 𝑁𝑢𝑟 = 𝑁𝑢 − 𝑏 − 𝑏0 0 𝑓𝑏𝑢 𝑀𝑢𝑟 𝐴 = 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 − 𝑏0 0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 − 0 2 a) Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟 𝐴 ≤ 0,5 − 𝑑′ 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 𝐴 = 0 𝐴′ = 𝑁𝑢𝑟 − 𝜓 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠 ′ 𝜓 = 0,357 + 𝑁 𝑢𝑟 𝑑−𝑑′ −𝑀 𝑢𝑟 𝐴 𝑏0 2 𝑓 𝑏𝑢 0,857 − 𝑑′
- 12. Flexion composée 12/18 𝑓𝑠 ′ =? 𝜀 𝑠𝑐= 2 1000 1 + 1,719− 4,010 𝑑′ 1 − 𝜓 Si 𝜀 𝑠𝑐 ≥ 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠 ′ = 𝑓𝑒 𝛾 𝑠 Si 𝜀 𝑠𝑐 < 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠 ′ = 𝜀 𝑠 𝐸𝑠 b) Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟 𝐴 > 0,5 − 𝑑′ 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 𝐴 ≠ 0 𝜓 = 1 𝐴′ = 𝑀𝑢𝑟 𝐴 − 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 − 2 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠 2‰ 𝐴 = 𝑁𝑢𝑟 − 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠2‰ − 𝐴′ Si 𝜀𝑙 < 2 ⟹ 𝑓𝑠2 = 𝑓𝑒 𝛾 𝑠 Si 𝜀 𝑠 ≥ 2 ⟹ 𝑓𝑠2 = 2 𝐸𝑠 II section entièrement Tendue (SET) A l’ELU Nu (Traction) et c a l’intérieur de la section, N est pris avec son signe 𝐴1 = 𝑁𝑢 𝑒2 𝑓𝑠10 𝑑 − 𝑑′ 𝐴2 = 𝑁𝑢 𝑒1 𝑓𝑠10 𝑑 − 𝑑′ Tel que : 1. 𝑓𝑠10 = 𝑓𝑒 𝛾 𝑠 2. 𝑒1 = 2 − 𝑑′ + 𝑒 𝐺 3. 𝑒2 = 𝑑 − 𝑑′ − 𝑒1 𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 𝐵 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 Si min 𝐴1 , 𝐴2 ≥ 𝐴 𝑚𝑖𝑛 𝑜𝑛 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴1 𝑒𝑡 𝐴2 Si min 𝐴1 , 𝐴2 < 𝐴 𝑚𝑖𝑛 𝑜𝑛 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴 𝑚𝑖𝑛 A l’ELS 𝑒 𝐺 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑁𝑠𝑒𝑟 (𝑇𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) et c à l’intérieur de la section → SET
- 13. Flexion composée 13/18 𝐴1 = 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠 ∗ 𝑉2 𝑉1 + 𝑉2 𝐴2 = 𝑁 𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠 ∗ 𝑉1 𝑉1 + 𝑉2 Cas d’un ferraillage symétrique 𝑉1 = 𝑉2 𝐴1 = 𝐴2 = 𝑚𝑎𝑥 𝑁 𝑠𝑒𝑟 2 𝜎𝑠 , 𝐵 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 Vérification des contraintes : Nser est pris avec son signe 𝜎1 = 𝑁 𝑠𝑒𝑟 𝐴1+ 𝐴2 + 𝑀 𝑠𝑒𝑟 𝐴1 𝑉1+𝑉2 < 0 𝜎2 = 𝑁 𝑠𝑒𝑟 𝐴1+ 𝐴2 + 𝑀 𝑠𝑒𝑟 𝐴2 𝑉1+𝑉2 < 0 III Section partiellement comprimée (SPC) SECTION RECTANGULAIRE A L’ELU Nu (traction) et c a l’intérieur de la section Nu (compression) et c en dehors de la section Nu (compression) et c à l’intérieur de la section, avec la condition suivante : 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝐴 ≤ 0,337 − 0,81 𝑑′ 𝑏 𝑓𝑏𝑢 Le calcul se fait par assimilation à la flexion simple avec MUA 𝑀 𝑈𝐴 = 𝑁 𝑒𝐴 = 𝑀 𝑈𝐺 + 𝑁𝑢(𝑑 − 2 ) Nu est pris avec son signe : N Compressions (+) N Traction (-) 𝜇 𝑏𝑢 = 𝑀𝑢𝐴 𝑏𝑑2 𝑓𝑏𝑢 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′ = 0 𝐴1 = 𝑀𝑢𝐴 𝑧𝑓𝑠𝑡 𝑧 = 𝑑 1 − 0,4𝛼 𝛼 = 1,25 1 − 1 − 2𝜇 𝑏𝑢 On revient à la flexion composée : 𝐴 = 𝐴1 − 𝑁𝑢 𝑓𝑠𝑡 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0
- 14. Flexion composée 14/18 𝐴′ = 𝑀𝑢𝐴 −𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐 On revient à la flexion composée : 𝐴 = 1 𝑓𝑠 𝑀𝑢𝐴 – 𝐴′ 𝑓𝑠 𝑑 − 𝑑′ 𝑑 1 − 0,4 𝛼 + 𝐴′ 𝑓𝑠 ′ − 𝑁𝑢 Dans tout les cas il faut vérifier que : 𝐴 ≥ 𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 A L’ELS Vérification des contraintes : 𝜎𝑏𝑐 = 𝑁 𝑠𝑒𝑟 𝜇 𝑡 𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 (N avec son signe) 𝜎𝑠𝑐 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜇𝑡 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠 𝜎′ 𝑠𝑐 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜇𝑡 𝑦 − 𝑑′ ≤ 𝜎𝑠 𝑆𝑖 𝐴′ ≠ 0 Calcul de y :𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝐶 N (Traction) 𝐶 = 𝑒 𝐺 + 2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 > 0 𝑒𝑡 𝑦𝐶 < 0 N (Compression) 𝐶 = 𝑒 𝐺 − 2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 < 0 𝑒𝑡 𝑦𝐶 > 0 𝑦𝑐 3 + 𝑝 𝑦𝑐 + 𝑞 = 0 Avec 𝑝 = −3𝐶2 − 90 𝐴′ 𝑏 𝐶 − 𝑑′ + 90 𝐴 𝑏 𝑑 − 𝐶 𝑞 = −2𝐶3 − 90 𝐴′ 𝑏 𝐶 − 𝑑′ 2 − 90 𝐴 𝑏 𝑑 − 𝐶 2 −𝐶 ≤ 𝑦 𝐶 ≤ − 𝐶 𝑠𝑖 𝐶 > 0 +𝐶 ≤ 𝑦 𝐶 ≤ + 𝐶 𝑠𝑖 𝐶 < 0 𝜇𝑡 = 𝑏 2 𝑦2 + 15 𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ − 𝐴 𝑑 − 𝑦 Remarque 𝑆𝑖 𝜎𝑠 > 𝜎𝑠 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 à 𝑙′𝐸𝐿𝑆 𝐴 𝑠𝑒𝑟1 = 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 𝑑 1 − 𝛼 3 𝜎𝑠 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 = 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 + 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑑 − 2 𝛼 = 90𝛽 1 − 𝛼 3 − 𝛼
- 15. Flexion composée 15/18 𝛽 = 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 𝑏𝑑2𝜎𝑠 On revient à la flexion composée : 𝐴 𝑠𝑒𝑟 = 𝐴 𝑠𝑒𝑟1 − 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠 SECTION EN T A L’ELU Nu (traction) et c a l’intérieur de la section Nu (compression) et c en dehors de la section Nu (compression) et c à l’intérieur de la section, avec la condition suivante : 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟 ≤ 0,337 − 0,81 𝑑′ 𝑏0 𝑓𝑏𝑢 Tel que : N est pris avec son signe 𝑁𝑢𝑟 = 𝑁𝑢 − 𝑏 − 𝑏0 0 𝑓𝑏𝑢 𝑀𝑢𝑟 = 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 − 𝑏0 0 𝑓𝑏 𝑢 𝑑 − 0 2 𝑀𝑢𝐴 = 𝑁𝑢 𝑒𝐴 = 𝑀𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑦 𝐺 𝑀 𝑇𝑢 = 𝑏 0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 − 0 2 Si 𝑀 𝑇𝑢 ≥ 𝑀𝑢𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑏𝑥 Si 𝑀 𝑇𝑢 < 𝑀𝑢𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇, revient à calculer une section rectangulaire (𝑏0 𝑥) soumise à 𝑁𝑢𝑟 𝑒𝑡 𝑀𝑢𝑟 A l’ELS : Nu (traction) et c a l’intérieur de la section Nu (compression) et c en dehors de la section Nu (compression) et c à l’intérieur de la section mais en dehors du noyau central : 𝑒 𝐺 > 𝐻 6 𝑒 𝐺 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑁𝑠𝑒𝑟 Signe de C : Nu (traction) et C à l’extérieur de la section : 𝐶 > 0, 𝑦𝑐 < 0 Nu (compression) et C à l’intérieur de la section : 𝐶 > 0, 𝑦𝑐 > 0 Nu (compression) et C à l’extérieur de la section : 𝐶 < 0, 𝑦𝑐 > 0 La position de l’axe neutre : 𝐸1 = 𝑏 − 𝑏0 3𝐶 − 20 0 2 + 90 𝐴′ 𝐶 − 𝑑′ 𝑑′ − 𝐴 𝑑 − 𝐶 𝑑 Si E1 et E2 de même signe → A.N dans la nervure ; calcul d’une section en T Si E1 et E2 de signe contraire → A.N dans la table ; calcul d’une section rectangulaire (bxh) 𝐸2 = 𝑏0 2 0 − 3𝐶 + 90 𝐴′ 𝐶 − 𝑑′ 𝑑′ − 0 − 𝐴 𝑑 − 𝐶 𝑑 − 0
- 16. Flexion composée 16/18 Calcul deC : 𝐶 = 𝑒 𝐺 − 𝑦 𝐺 , 𝑁 𝑈( 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛) 𝐶 = 𝑒 𝐺 + 𝑦 𝐺 , 𝑁 𝑈 (𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) Calcul de P et q : 𝑝 = −3 𝑏 𝑏0 𝐶2 + 3 𝑏 𝑏0 − 1 𝐶 − 0 2 − 90 𝐴′ 𝑏0 𝐶 − 𝑑′ + 90 𝐴 𝑏0 𝑑 − 𝐶 𝑞 = −2 𝑏 𝑏0 𝐶3 + 2 𝑏 𝑏0 − 1 𝐶 − 0 3 − 90 𝐴′ 𝑏0 𝐶 − 𝑑′ 2 − 90 𝐴 𝑏0 𝑑 − 𝐶 2 𝑦 = 𝑦 𝐶 + 𝐶 𝜇𝑡 = 𝑏𝑦2 2 − 𝑏 − 𝑏0 2 𝑦 − 0 2 + 15𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ − 15𝐴 𝑑 − 𝑦 Vérification des contraintes : 𝜎𝑏𝑐 = 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜇𝑡 . 𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 𝜎𝑠𝑡 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜇𝑡 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠 𝜎𝑠𝑐 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜇𝑡 𝑦 − 𝑑′ ≤ 𝜎𝑠 𝑠𝑖 𝐴′ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
- 17. Cisaillement 17/18 V-CISAILLEMENT CONTRAINTE TANGENTIELLE 1. Justificationde l’âme d’une poutre 𝜏 𝑢 = 𝑉𝑢 𝑏0 𝑑 (𝑀𝑃𝐴) Vu : Valeur de l’effort tranchant dans la section considérée b0 : Largeur de l’âme d : Hauteur utile Il faut que : 𝝉 𝒖 ≤ 𝝉 𝒖 2. Contrainte tangentielle limite ultime a) Cas des armatures transversales droites (α = 90°) Fissuration peu préjudiciable 𝜏 𝑢 = min( 0,20 𝑓 𝑐𝑗 𝛾 𝑏 ,5 𝑀𝑃𝐴) Fissuration préjudiciable ou Fissuration très préjudiciable τu = min( 0,15 fcj γb ,4 MPA) b) Cas des armatures transversales inclinées (α = 45°) 𝜏 𝑢 = min( 0,27 𝑓𝑐𝑗 𝛾 𝑏 ,7 𝑀𝑃𝐴) DETERMINATION DES ARMATURES TRANSVERSALES SELON LE B.A.E.L 𝐴𝑡 𝑏0 𝑠𝑡 ≥ 𝛾𝑠(𝜏 𝑢 − 0,3 𝑓𝑡𝑗 ∗ 𝑘) 0,9 𝑓𝑒(𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼) 𝑨 𝒕 : Section des armatures transversales 𝒔 𝒕 ∶ Espacement entre deux cadres ou étriers 𝒇 𝒕𝒋 : Contrainte de traction du béton à j jours Coefficient K : K = 0 Si Reprise de bétonnage et/ou Fissuration très préjudiciable. Sinon K = 1 en Flexion simple 𝐾 = 1 + 3𝜎𝑐𝑚 𝑓𝑐28 𝐾 = 1 − 10𝜎𝑡𝑚 𝑓𝑐28 Si Flexion composée avec N effort de compression : Si Flexion composée avec N effort de traction :
- 18. Cisaillement 18/18 Tel que 𝜎𝑐𝑚= 𝑁𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑏∗ 𝑒𝑡 𝜎𝑐𝑡 = 𝑁 𝑇𝑟𝑎𝑐 𝑏∗ Avec NTrac est pris sans le signe (-) ESPACEMENT ENTRE DEUX CADRES OU ETRIERS 1) 𝑠𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 0,9 𝑑 ; 40 𝑐𝑚 2) 𝑠𝑡 ≤ 𝐴𝑡 ∗ 𝑓𝑒 0,4 𝑏0 3) 𝑠𝑡 ≤ 0,9 𝑓𝑒 𝐴𝑡 (𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼) 𝛾𝑠 𝑏0(𝜏 𝑢 − 0,3 𝑓𝑡𝑗 ∗ 𝑘) INFLUENCE DE VU AU VOISINAGE DE L’APPUI : Vérification des armatures AL inferieurs : a) cas d’un appui de rive 𝐴 𝐿 ≥ 𝛾𝑠 𝑓𝑒 𝑉𝑢 b) cas d’un appui intermédiaire : 𝐴 𝐿 ≥ 𝛾𝑠 𝑓𝑒 𝑉𝑢 + 𝑀𝑢 0,9 𝑑 Vérification de la bielle : 𝑉𝑢 ≤ 0,267𝑏0 ∗ 𝑎 ∗ 𝑓𝑐28 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 =0,9𝑑