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Formulaire de béton armé
1/18
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE DE BEJAIA
FACULTE DE TECHNOLOGIE
DEPARTEMENT DE GENIE-CIVIL
FORMULAIRE DE CALCUL DES SECTIONS EN BETON ARME
Selon le BAEL91 et CBA93
Programme de Béton 1 et 2
3ème
Année Licence de Génie-Civil
Enseignants
HAMOUCHE Sabiha
TAHAKOURT Abdelkader
SOMMAIRE
I- COMPRESSION SIMPLE 2
II- TRACTION SIMPLE 5
III-FLEXION SIMPLE 6
IV-FLEXION COMPOSEE 10
V-CISAILLEMENT 17
2012/2013
Compression simple
2/18
I-COMPRESSION SIMPLE
COMBINAISONS DE CHARGE
Combinaison a l’ELU
1,35𝐺 𝑚𝑎𝑥 + 𝐺 𝑚𝑖𝑛 + 𝛾 𝑄1. 𝑄1 + 1,3 𝜓0𝑖 𝑄𝑖
Combinaison accidentelle
𝐺 𝑚𝑎𝑥 + 𝐺 𝑚𝑖𝑛 + 𝐹𝐴 + 𝜓1𝑖 𝑄1 + 𝜓2𝑖 𝑄𝑖
Combinaison a l’ELS
𝐺 𝑚𝑎𝑥 + 𝐺 𝑚𝑖𝑛 + 𝑄1 + 𝜓0𝑖 𝑄𝑖
Avec :
FA : l’action accidentelle.
Gmax : l’ensemble des actions permanentes défavorables
Gmin: l’ensemble des actions permanentes favorables
Q1 : Action variable de base
Qi : Action variable d’accompagnement.
I-CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES
1- ELU de résistance
𝐴𝑠 =
𝑁𝑢 − 𝐵𝑓𝑏𝑢
𝑓𝑠𝑐
𝑓𝑏𝑢 =
0,85 𝑓𝑐28
𝜃 𝛾𝑏
𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝑓𝑏𝑢 =
0,8 𝑓𝑐28
𝜃 𝛾𝑏
𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝛾𝑏 = 1.5 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝛾𝑏 = 1.15 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠
𝑓𝑠𝑐 =
𝑓𝑒
𝛾𝑠
𝛾𝑠 = 1.15 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝛾𝑠 = 1 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠
Pour A<0 : on n’a pas besoin d’aciers, le béton seul suffit
2- ELU de stabilité de forme
Compression simple
3/18
𝐴𝑠 ≥
𝑁𝑢
𝛼
− 𝐵𝑟
𝑓𝑐28
1,35
𝛾𝑠
𝑓𝑒
L’élancement du poteau
 Section rectangulaire
𝜆 = 3,46
𝑙𝑓
𝑏
𝑏 ∶ 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑡é
 Section circulaire
𝜆 = 4
𝑙𝑓
𝐷
𝐷 ∶ 𝑙𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒
 Section orthogonale
𝜆 = 3,89
𝑙𝑓
𝑕
𝑆𝑖 0 ≤ 𝜆 ≤ 50 𝛼 =
0,85
1 + 0,2
𝜆
35
2
𝑆𝑖 50 ≤ 𝜆 ≤ 70 𝛼 = 0,6
50
𝜆
2
Br : Section réduite :
𝐵𝑟 = 𝑎 − 2 𝑏 − 2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝐵𝑟 =
𝜋 𝐷 − 2 2
4
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
Condition à vérifier :
1er
cas : Si 𝐴 𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐴 𝑠 ≤ 𝐴 𝑚𝑎𝑥 𝑂𝑛 𝑓é𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴 𝑠
𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 4𝑈 ,
0,1
100
𝐵
𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑈 𝑙𝑒 𝑝é𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 (𝑚) 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑡 𝐵 (𝑐𝑚²)
𝑈 = 2 𝑎 + 𝑏 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟é𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝑈 = 2𝜋𝑅 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝐴 𝑚𝑎𝑥 =
4
100
𝐵
2eme
cas
𝑆𝑖 𝐴 𝑠 > 𝐴 𝑚𝑎𝑥 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢
3eme
cas
𝑆𝑖 𝐴 𝑠 < 𝐴 𝑚𝑖𝑛 𝑂𝑛 𝑓é𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴 𝑚𝑖𝑛
Remarque
Le diamètre des armatures longitudinales min :
Compression simple
4/18
𝜙𝑙 ≥ 12 𝑚𝑚
Pour une section circulaire le nombre des barres min est de 6
II-CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES
𝜙𝑡 ≥
𝜙𝑙
𝑚𝑎𝑥
3
𝜙𝑙
𝑚𝑎𝑥
: 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑥
Espacement entre les armatures transversales :
𝑆𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 15 𝜙𝑙
𝑚𝑖𝑛
, 𝑎 + 10, 40 𝑐𝑚
𝑎: 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑡é 𝑒𝑡 𝜙𝑙
𝑚𝑖𝑛
: 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛
L’enrobage

 𝑒 ≥ 3 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑠

Vérification des contraintes à l’ELS
𝜎𝑏𝑐 =
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝐵 + 15𝐴 𝑠
≤ 𝜎𝑏𝑐 = 0,6𝑓𝑐28
𝑒 ≥ 5 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢𝑥 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑓𝑠
𝑒 ≥ 1 𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑒 ≥ 𝜙𝑙 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑛𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑠
Traction simple
5/18
II-TRACTION SIMPLE
I-DETERMINATION DE LA SECTION DES ARMATURES
𝐴 𝑠 = max 𝐴 𝑢 ; 𝐴 𝑠𝑒𝑟
1- Calcul à l’ELU
𝐴 𝑢 ≥
𝑁𝑢 𝛾𝑠
𝑓𝑒
2- Calcul à l’ELS
𝐴 𝑠𝑒𝑟 ≥
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝜎𝑠
a- Fissuration peu nuisible :
On calcul uniquement à l’ELU
b- Fissuration nuisible :
𝜎𝑠 = min
2
3
𝑓𝑒 ; 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗
c- Fissuration très nuisible :
𝜎𝑠 = min 0,5 𝑓𝑒 ;90 𝜂 𝑓𝑡𝑗
𝑓𝑡𝑗 = 0,6 + 0,06 𝑓𝑐𝑗
𝜂 ∶ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 1,6 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟𝑠 𝐻𝐴
2-Vérification de la condition de non fragilité
𝐴 𝑠. 𝑓𝑒 ≥ 𝐵. 𝑓𝑡28 𝐵 ≤
𝐴 𝑠. 𝑓𝑒
𝑓𝑡28
𝑜𝑢 𝐴 𝑠 ≥
𝐵. 𝑓𝑡28
𝑓𝑒
II-DISPOSITIONS REGLEMENTAIRES MINIMALES
1-Conditions d’enrobage
 𝑒 ≥ 1 𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑒 ≥ 𝜙𝑙 𝐹𝑃𝑁 (𝐹𝑃𝑃)
 𝑒 ≥ 3 𝑐𝑚 𝐹𝑁 (𝐹𝑃)
 𝑒 ≥ 5 𝑐𝑚 𝐹𝑇𝑁 (𝐹𝑇𝑃)
2-Diamètres minimaux
𝐹𝑁 ∶ 𝜙𝑡 ≥ 6 𝑚𝑚 ; 𝜙𝑙 ≥ 6 𝑚𝑚
𝐹𝑇𝑁 ∶ 𝜙𝑡 ≥ 𝟖 𝒎𝒎 ; 𝝓𝒍 ≥ 𝟖 𝒎𝒎
3-Espacement
𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 40 𝑐𝑚 ; 𝑎 + 10 , 𝑡 ≈ 𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Flexion simple
6/18
III-FLEXION SIMPLE
I-SECTION RECTANGULAIRE
1-ELU
𝜇 𝑏𝑢 =
𝑀𝑢
𝑏𝑑2 𝑓𝑏𝑢
𝑓𝑏𝑢 =
0,85𝑓𝑐28
𝜃𝛾𝑏
𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 > 0,186 𝑝𝑖𝑣ô𝑡 𝐵
𝜇𝑙 = 0,8 𝛼𝑙 1 − 0,4 𝛼𝑙
𝛼𝑙 =
3,5
3,5 + 1000 𝜀𝑙
𝜀𝑙 =
𝑓𝑒
𝛾𝑠 𝐸𝑠
𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′
= 0
𝐴 =
𝑀𝑢
𝑧𝑓𝑠𝑡
𝑧 = 𝑑 1 − 0,4𝛼
𝛼 = 1,25 1 − 1 − 2𝜇 𝑏𝑢
Calcul de fst
𝜀𝑠𝑡 =
3,5
1000
1 − 𝛼
𝛼
𝑆𝑖 𝜀𝑠𝑡 > 𝜀𝑙 𝑓𝑠𝑡 =
𝑓𝑒
𝛾𝑠
𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑠𝑡 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠𝑡
𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′
≠ 0
𝐴′
=
𝑀𝑢 − 𝑀𝑙
𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐
𝑀𝑙 = 𝜇𝑙 𝑏 𝑑2
𝑓𝑏𝑢
Calcul de 𝑓𝑠𝑐
𝜀𝑠𝑐 =
3,5
1000
+ 𝜀𝑙
𝑑 − 𝑑′
𝑑
− 𝜀𝑙
𝑆𝑖 𝜀𝑠𝑐 > 𝜀𝑙 𝑓𝑠𝑐 =
𝑓𝑒
𝛾𝑠
𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑠𝑐 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠𝑐
Flexion simple
7/18
𝐴 =
𝑀𝑙
𝑧𝑙
+
𝑀𝑢 − 𝑀𝑙
𝑑 − 𝑑′
1
𝑓𝑠𝑡
𝑧𝑙 = 𝑑 1 − 0,4𝛼𝑙
𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑
𝑓𝑡28
𝑓𝑒
𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 < 0,186 𝑝𝑖𝑣ô𝑡 𝐴 𝑓𝑠 =
𝑓𝑒
𝛾𝑠
𝜇𝑙 = 0,8 𝛼𝑙 1 − 0,4 𝛼𝑙
𝛼𝑙 =
3,5
3,5 + 1000 𝜀𝑙
𝜀𝑙 =
𝑓𝑒
𝛾𝑠 𝐸𝑠
𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′
= 0
𝐴 =
𝑀𝑢
𝑧𝑓𝑠𝑡
𝑧 = 𝑑 1 − 0,4𝛼
𝛼 = 1,25 1 − 1 − 2𝜇 𝑏𝑢
𝑓𝑠𝑡 =
𝑓𝑒
𝛾𝑠
𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′
≠ 0
𝐴′
=
𝑀𝑢 − 𝑀𝑙
𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐
𝑀𝑙 = 𝜇𝑙 𝑏 𝑑2
𝑓𝑏𝑢
𝐴 =
𝑀𝑙
𝑧𝑙
+
𝑀𝑢 − 𝑀𝑙
𝑑 − 𝑑′
1
𝑓𝑠𝑡
𝑧𝑙 = 𝑑 1 − 0,4𝛼𝑙
𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑
𝑓𝑡28
𝑓𝑒
2-ELS
Vérification des contraintes :
𝜎𝑏𝑐 =
𝑀𝑠𝑒𝑟
𝐼
𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 = 0,6 𝑓𝑐28
𝜎𝑠𝑡 = 15 𝜎𝑏𝑐
𝑑 − 𝑦
𝑦
= 15
𝑀𝑠𝑒𝑟
𝐼
𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠𝑡
𝐹𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛
2
3
𝑓𝑒 , 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗
𝐹𝑇𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 0,5 𝑓𝑒 , 90 𝜂 𝑓𝑡𝑗
Flexion simple
8/18
Calcul de y et I :
𝑏
2
𝑦² + 15 𝐴 + 𝐴′ 𝑦 − 15 𝐴𝑑 + 𝐴′𝑑′ = 0
𝐼 =
𝑏
3
𝑦3
+ 15 𝐴′
𝑦 − 𝑑′ 2
+ 15 𝐴 𝑑 − 𝑦 2
Remarque
𝑆𝑖 𝜎𝑠 > 𝜎𝑠 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 à 𝑙′𝐸𝐿𝑆
𝐴 𝑠𝑒𝑟 =
𝑀𝑠𝑒𝑟
𝑑 1 −
𝛼
3
𝜎𝑠
𝛼 = 90𝛽
1 − 𝛼
3 − 𝛼
𝛽 =
𝑀𝑠𝑒𝑟
𝑏𝑑2 𝜎𝑠
II-SECTION EN T
1-ELU
𝑀 𝑇𝑢 = 𝑏 𝑕0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −
𝑕0
2
Si 𝑀 𝑇𝑢 > 𝑀𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′
𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑏𝑥𝑕
Si 𝑀 𝑇𝑢 < 𝑀𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′
𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇
𝑀2
𝑢
=
𝑏 − 𝑏0
𝑏
𝑀 𝑇𝑢
𝑀1
𝑢
= 𝑀𝑢 − 𝑀2
𝑢
𝐴1 =
𝑀1
𝑢
𝑑 1 − 0,4 𝛼 𝑓𝑠𝑡
𝐴2 =
𝑀2
𝑢
𝑑 −
𝑕0
2
𝑓𝑠𝑡
𝜇 𝑏𝑢 1 =
𝑀1
𝑢
𝑏0 𝑑2 𝑓𝑏𝑢
Si 𝜇 𝑏𝑢 1 > 𝜇𝑙 𝐴′
≠ 0 𝑒𝑡 𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑍𝑙à 𝑑 −
𝑕0
2
Si 𝑍𝑙 < 𝑑 −
𝑕0
2
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′
𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴′
𝑀1
′
= 𝑓𝑏𝑢 𝜇𝑙 𝑏0 𝑑2
+ 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑑 −
𝑕0
2
𝑀2
′
= 𝑀𝑢 − 𝑀1
′
𝐴′
=
𝑀2
′
𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐
𝐴 =
𝑓𝑏𝑢
𝑓𝑠𝑡
𝜇𝑙 𝑏0 𝑑
𝛽𝑙
+ 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 + 𝐴′
𝑓𝑠𝑐
𝑓𝑠𝑡
Flexion simple
9/18
𝛽𝑙 = 1 − 0,4 𝛼𝑙
Si 𝑍𝑙 > 𝑑 −
𝑕0
2
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′
𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑏𝑥𝑕 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴′
2-ELS
Vérification des contraintes
La position de l’axe neutre H
𝐻 =
𝑏𝑕0
2
2
− 15𝐴 𝑑 − 𝑕0
Si H > 0 : axe neutre passe par la table, vérification des contraintes
pour une section rectangulaire bxh.
Si H < 0 : section en T
Vérification des contraintes :
𝜎𝑏𝑐 =
𝑀𝑠𝑒𝑟
𝐼
𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 = 0,6 𝑓𝑐28
𝜎𝑠𝑡 = 15 𝜎𝑏𝑐
𝑑 − 𝑦
𝑦
= 15
𝑀𝑠𝑒𝑟
𝐼
𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠𝑡
𝐹𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛
2
3
𝑓𝑒 , 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗
𝐹𝑇𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 0,5 𝑓𝑒 ,90 𝜂 𝑓𝑡𝑗
Remarque
Si Mu < 0 ; Calcul d’une section rectangulaire b0 x h
𝐼 =
𝑏
3
𝑦3
− 𝑏 − 𝑏0
𝑦 − 𝑕0
3
3
+ 15 𝐴 𝑑 − 𝑦 2
+ 15 𝐴′ 𝑑′ − 𝑦 2
𝑏0
2
𝑦2
+ 15 𝐴 + 15𝐴′
+ 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑦 − 15 𝐴𝑑 + 𝐴′𝑑′ − 𝑏 − 𝑏0
𝑕0
2
2
= 0
Flexion composée
10/18
IV-FLEXION COMPOSEE
I sections entièrement Comprimée (SEC)
SECTION RECTANGULAIRE
A l’ELU
Nu (compression) et c à l’intérieur de la section et
Si 𝑵 𝒖 𝒅 − 𝒅′
− 𝑴 𝒖𝑨 > 𝟎, 𝟑𝟑𝟕 𝒉 − 𝟎, 𝟖𝟏 𝒅′
𝒃 𝒉 𝒇 𝒃𝒖
Avec 𝑀 𝑢𝐴 = 𝑀 𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 −
𝑕
2
, NU pris avec son signe
a) Si 𝑵 𝒖 𝒅 − 𝒅′
− 𝑴 𝒖𝑨 < 𝟎, 𝟓 𝒉 − 𝒅′
𝒃 𝒉 𝒇 𝒃𝒖 𝐴 = 0
𝐴′
=
𝑁𝑢 − 𝜓 𝑏𝑕 𝑓𝑏𝑢
𝑓𝑠
′
𝜓 =
0,357 +
𝑁
𝑢 𝑑−𝑑′ − 𝑀 𝑢𝐴
𝑏 𝑕2 𝑓 𝑏𝑢
0,857 −
𝑑′
𝑕
𝑓𝑠
′
=?
𝜀 𝑠 =
2
1000
1 + 1,719− 4,010
𝑑′
𝑕
1 − 𝜓
Si 𝜀𝑠 ≥ 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠
′
=
𝑓𝑒
𝛾𝑠
Si 𝜀 𝑠 < 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠
′
= 𝜀 𝑠 𝐸𝑠
b) Si 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑑′
− 𝑀𝑢𝐴 ≥ 0,5 𝑕 − 𝑑′
𝑏 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝐴 ≠ 0
𝜓 = 1
𝐴′
=
𝑀𝑢𝐴 − 𝑏𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −
𝑕
2
𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠 2‰
𝐴 =
𝑁𝑢 − 𝑏𝑕 𝑓𝑏𝑢
𝑓 𝑠2‰
− 𝐴′
Si 𝜀𝑙 < 2‰ ⟹ 𝑓𝑠 2‰ =
𝑓𝑒
𝛾 𝑠
Si 𝜀 𝑠 ≥ 2‰ ⟹ 𝑓𝑠 2‰ = 2‰ 𝐸𝑠
A L’ELS
Nser (compression) et c a l’intérieur de la section (𝑒 𝐺 <
𝑕
6
) 𝑆𝐸𝐶
Vérification des contraintes
𝑉 =
𝑏𝑕2
2
+ 15 𝐴′
𝑑′
+ 𝐴𝑑
𝐵 + 15 𝐴′ + 𝐴
Flexion composée
11/18
𝑉′
= 𝑕 − 𝑉 𝑒𝑛 (𝑚)
Il faut que :
𝜎𝑏1 =
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝑆
+
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺
𝐼𝑦𝑦′
𝑉 ≤ 𝜎𝑏𝑐
𝜎𝑏2 =
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝑆
−
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺
𝐼𝑦𝑦′
𝑉′
≤ 𝜎𝑏𝑐
𝜎𝑠 = 15
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝑆
+
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺
𝐼𝑦𝑦′
𝑉 − 𝑑′
≤ 𝜎𝑠
𝜎𝑠 = 15
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝑆
−
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺
𝐼𝑦𝑦′
𝑑 − 𝑉′
≤ 𝜎𝑠
Avec :
 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 − 𝑁𝑠𝑒𝑟
𝑕
2
− 𝑉
 𝐼𝑦𝑦′ =
𝑏
3
𝑉3
+ 𝑉′3
+ 15𝐴′
𝑉 − 𝑑′ 2
+ 15𝐴 𝑑 − 𝑉 2
 𝑆 = 𝑏 ∗ 𝑕 + 15 𝐴 + 𝐴′
SECTION EN T
A l’ELU
Nu (compression) et c a l’intérieur de la section
Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′
− 𝑀 𝑢𝑟 𝐴
> 0,337 𝑕 − 0,81 𝑑′
𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢
Avec 𝑀 𝑢𝑟 𝐴
= 𝑀 𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑦 𝐺 NU pris avec son signe
La détermination des armatures d’une section en T(SEC) revient à
déterminer celles d’une section rectangulaire𝑏0 𝑥 𝑕.
𝑁𝑢𝑟 = 𝑁𝑢 − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑓𝑏𝑢
𝑀𝑢𝑟 𝐴
= 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −
𝑕0
2
a) Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′
− 𝑀𝑢𝑟 𝐴
≤ 0,5 𝑕 − 𝑑′
𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝐴 = 0
𝐴′
=
𝑁𝑢𝑟 − 𝜓 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢
𝑓𝑠
′
𝜓 =
0,357 +
𝑁
𝑢𝑟 𝑑−𝑑′ −𝑀 𝑢𝑟 𝐴
𝑏0 𝑕2 𝑓 𝑏𝑢
0,857 −
𝑑′
𝑕
Flexion composée
12/18
𝑓𝑠
′
=?
𝜀 𝑠𝑐 =
2
1000
1 + 1,719− 4,010
𝑑′
𝑕
1 − 𝜓
Si 𝜀 𝑠𝑐 ≥ 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠
′
=
𝑓𝑒
𝛾 𝑠
Si 𝜀 𝑠𝑐 < 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠
′
= 𝜀 𝑠 𝐸𝑠
b) Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′
− 𝑀𝑢𝑟 𝐴
> 0,5 𝑕 − 𝑑′
𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝐴 ≠ 0
𝜓 = 1
𝐴′
=
𝑀𝑢𝑟 𝐴
− 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −
𝑕
2
𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠 2‰
𝐴 =
𝑁𝑢𝑟 − 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢
𝑓𝑠2‰
− 𝐴′
Si 𝜀𝑙 < 2 ⟹ 𝑓𝑠2 =
𝑓𝑒
𝛾 𝑠
Si 𝜀 𝑠 ≥ 2 ⟹ 𝑓𝑠2 = 2 𝐸𝑠
II section entièrement Tendue (SET)
A l’ELU
Nu (Traction) et c a l’intérieur de la section, N est pris avec son
signe
𝐴1 =
𝑁𝑢 𝑒2
𝑓𝑠10 𝑑 − 𝑑′
𝐴2 =
𝑁𝑢 𝑒1
𝑓𝑠10 𝑑 − 𝑑′
Tel que :
1. 𝑓𝑠10 =
𝑓𝑒
𝛾 𝑠
2. 𝑒1 =
𝑕
2
− 𝑑′ + 𝑒 𝐺
3. 𝑒2 = 𝑑 − 𝑑′ − 𝑒1
𝐴 𝑚𝑖𝑛 =
𝐵 𝑓𝑡28
𝑓𝑒
Si min 𝐴1 , 𝐴2 ≥ 𝐴 𝑚𝑖𝑛 𝑜𝑛 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴1 𝑒𝑡 𝐴2
Si min 𝐴1 , 𝐴2 < 𝐴 𝑚𝑖𝑛 𝑜𝑛 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴 𝑚𝑖𝑛
A l’ELS
𝑒 𝐺 =
𝑀𝑠𝑒𝑟
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝑁𝑠𝑒𝑟 (𝑇𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) et c à l’intérieur de la section → SET
Flexion composée
13/18
𝐴1 =
𝑁 𝑠𝑒𝑟
𝜎𝑠
∗
𝑉2
𝑉1 + 𝑉2
𝐴2 =
𝑁 𝑠𝑒𝑟
𝜎𝑠
∗
𝑉1
𝑉1 + 𝑉2
Cas d’un ferraillage symétrique
𝑉1 = 𝑉2 𝐴1 = 𝐴2 = 𝑚𝑎𝑥
𝑁 𝑠𝑒𝑟
2 𝜎𝑠
,
𝐵 𝑓𝑡28
𝑓𝑒
Vérification des contraintes : Nser est pris avec son signe
𝜎1 =
𝑁 𝑠𝑒𝑟
𝐴1+ 𝐴2
+
𝑀 𝑠𝑒𝑟
𝐴1 𝑉1+𝑉2
< 0
𝜎2 =
𝑁 𝑠𝑒𝑟
𝐴1+ 𝐴2
+
𝑀 𝑠𝑒𝑟
𝐴2 𝑉1+𝑉2
< 0
III Section partiellement comprimée (SPC)
SECTION RECTANGULAIRE
A L’ELU
Nu (traction) et c a l’intérieur de la section
Nu (compression) et c en dehors de la section
Nu (compression) et c à l’intérieur de la section, avec la condition
suivante :
𝑁𝑢 𝑑 − 𝑑′
− 𝑀𝑢𝐴 ≤ 0,337 𝑕 − 0,81 𝑑′ 𝑏 𝑕 𝑓𝑏𝑢
Le calcul se fait par assimilation à la flexion simple avec MUA
𝑀 𝑈𝐴 = 𝑁 𝑒𝐴 = 𝑀 𝑈𝐺 + 𝑁𝑢(𝑑 −
𝑕
2
)
Nu est pris avec son signe : N Compressions (+)
N Traction (-)
𝜇 𝑏𝑢 =
𝑀𝑢𝐴
𝑏𝑑2 𝑓𝑏𝑢
𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′
= 0
𝐴1 =
𝑀𝑢𝐴
𝑧𝑓𝑠𝑡
𝑧 = 𝑑 1 − 0,4𝛼
𝛼 = 1,25 1 − 1 − 2𝜇 𝑏𝑢
On revient à la flexion composée :
𝐴 = 𝐴1 −
𝑁𝑢
𝑓𝑠𝑡
𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′
≠ 0
Flexion composée
14/18
𝐴′
=
𝑀𝑢𝐴 − 𝑀𝑙
𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐
On revient à la flexion composée :
𝐴 =
1
𝑓𝑠
𝑀𝑢𝐴 – 𝐴′
𝑓𝑠 𝑑 − 𝑑′
𝑑 1 − 0,4 𝛼
+ 𝐴′
𝑓𝑠
′
− 𝑁𝑢
Dans tout les cas il faut vérifier que : 𝐴 ≥ 𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑
𝑓𝑡28
𝑓𝑒
A L’ELS
Vérification des contraintes :
𝜎𝑏𝑐 =
𝑁 𝑠𝑒𝑟
𝜇 𝑡
𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 (N avec son signe)
𝜎𝑠𝑐 = 15
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝜇𝑡
𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠
𝜎′ 𝑠𝑐 = 15
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝜇𝑡
𝑦 − 𝑑′ ≤ 𝜎𝑠 𝑆𝑖 𝐴′
≠ 0
Calcul de y :𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝐶
N (Traction) 𝐶 = 𝑒 𝐺 +
𝑕
2
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 > 0 𝑒𝑡 𝑦𝐶 < 0
N (Compression) 𝐶 = 𝑒 𝐺 −
𝑕
2
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 < 0 𝑒𝑡 𝑦𝐶 > 0
𝑦𝑐
3
+ 𝑝 𝑦𝑐 + 𝑞 = 0
Avec
𝑝 = −3𝐶2
− 90
𝐴′
𝑏
𝐶 − 𝑑′ + 90
𝐴
𝑏
𝑑 − 𝐶
𝑞 = −2𝐶3
− 90
𝐴′
𝑏
𝐶 − 𝑑′ 2
− 90
𝐴
𝑏
𝑑 − 𝐶 2
−𝐶 ≤ 𝑦 𝐶 ≤ 𝑕 − 𝐶 𝑠𝑖 𝐶 > 0
+𝐶 ≤ 𝑦 𝐶 ≤ 𝑕 + 𝐶 𝑠𝑖 𝐶 < 0
𝜇𝑡 =
𝑏
2
𝑦2
+ 15 𝐴′
𝑦 − 𝑑′ − 𝐴 𝑑 − 𝑦
Remarque
𝑆𝑖 𝜎𝑠 > 𝜎𝑠 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 à 𝑙′𝐸𝐿𝑆
𝐴 𝑠𝑒𝑟1 =
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴
𝑑 1 −
𝛼
3
𝜎𝑠
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 = 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 + 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑑 −
𝑕
2
𝛼 = 90𝛽
1 − 𝛼
3 − 𝛼
Flexion composée
15/18
𝛽 =
𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴
𝑏𝑑2 𝜎𝑠
On revient à la flexion composée :
𝐴 𝑠𝑒𝑟 = 𝐴 𝑠𝑒𝑟1 −
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝜎𝑠
SECTION EN T
A L’ELU
 Nu (traction) et c a l’intérieur de la section
 Nu (compression) et c en dehors de la section
 Nu (compression) et c à l’intérieur de la section, avec la
condition suivante :
𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′
− 𝑀𝑢𝑟 ≤ 0,337 𝑕 − 0,81 𝑑′ 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢
Tel que : N est pris avec son signe
 𝑁𝑢𝑟 = 𝑁𝑢 − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑓𝑏𝑢
 𝑀𝑢𝑟 = 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑓𝑏 𝑢 𝑑 −
𝑕0
2
 𝑀𝑢𝐴 = 𝑁𝑢 𝑒𝐴 = 𝑀𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑦 𝐺
𝑀 𝑇𝑢 = 𝑏 𝑕0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 −
𝑕0
2
Si 𝑀 𝑇𝑢 ≥ 𝑀𝑢𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′
𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑏𝑥𝑕
Si 𝑀 𝑇𝑢 < 𝑀𝑢𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′
𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇, revient à
calculer une section rectangulaire (𝑏0 𝑥𝑕) soumise à 𝑁𝑢𝑟 𝑒𝑡 𝑀𝑢𝑟
A l’ELS :
 Nu (traction) et c a l’intérieur de la section
 Nu (compression) et c en dehors de la section
 Nu (compression) et c à l’intérieur de la section mais en
dehors du noyau central : 𝑒 𝐺 >
𝐻
6
𝑒 𝐺 =
𝑀𝑠𝑒𝑟
𝑁𝑠𝑒𝑟
Signe de C :
 Nu (traction) et C à l’extérieur de la section : 𝐶 > 0, 𝑦𝑐 < 0
 Nu (compression) et C à l’intérieur de la section : 𝐶 > 0, 𝑦𝑐 > 0
 Nu (compression) et C à l’extérieur de la section : 𝐶 < 0, 𝑦𝑐 > 0
La position de l’axe neutre :
𝐸1 = 𝑏 − 𝑏0 3𝐶 − 2𝑕0 𝑕0
2
+ 90 𝐴′ 𝐶 − 𝑑′
𝑑′
− 𝐴 𝑑 − 𝐶 𝑑
Si E1 et E2 de même signe → A.N dans la nervure ; calcul d’une
section en T
Si E1 et E2 de signe contraire → A.N dans la table ; calcul d’une
section rectangulaire (bxh)
𝐸2 = 𝑏𝑕0
2
𝑕0 − 3𝐶 + 90 𝐴′
𝐶 − 𝑑′ 𝑑′
− 𝑕0 − 𝐴 𝑑 − 𝐶 𝑑 − 𝑕0
Flexion composée
16/18
Calcul de C :
𝐶 = 𝑒 𝐺 − 𝑦 𝐺 , 𝑁 𝑈( 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛)
𝐶 = 𝑒 𝐺 + 𝑦 𝐺 , 𝑁 𝑈 (𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛)
Calcul de P et q :
𝑝 = −3
𝑏
𝑏0
𝐶2
+ 3
𝑏
𝑏0
− 1 𝐶 − 𝑕0
2
− 90
𝐴′
𝑏0
𝐶 − 𝑑′ + 90
𝐴
𝑏0
𝑑 − 𝐶
𝑞 = −2
𝑏
𝑏0
𝐶3
+ 2
𝑏
𝑏0
− 1 𝐶 − 𝑕0
3
− 90
𝐴′
𝑏0
𝐶 − 𝑑′ 2
− 90
𝐴
𝑏0
𝑑 − 𝐶 2
𝑦 = 𝑦 𝐶 + 𝐶
𝜇𝑡 =
𝑏𝑦2
2
−
𝑏 − 𝑏0
2
𝑦 − 𝑕0
2
+ 15𝐴′ 𝑦 − 𝑑′
− 15𝐴 𝑑 − 𝑦
Vérification des contraintes :
𝜎𝑏𝑐 =
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝜇𝑡
. 𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐
𝜎𝑠𝑡 = 15
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝜇𝑡
𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠
𝜎𝑠𝑐 = 15
𝑁𝑠𝑒𝑟
𝜇𝑡
𝑦 − 𝑑′ ≤ 𝜎𝑠 𝑠𝑖 𝐴′
𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
Cisaillement
17/18
V-CISAILLEMENT
CONTRAINTE TANGENTIELLE
1. Justification de l’âme d’une poutre
𝜏 𝑢 =
𝑉𝑢
𝑏0 𝑑
(𝑀𝑃𝐴)
Vu : Valeur de l’effort tranchant dans la section considérée
b0 : Largeur de l’âme
d : Hauteur utile
Il faut que : 𝝉 𝒖 ≤ 𝝉 𝒖
2. Contrainte tangentielle limite ultime
a) Cas des armatures transversales droites (α = 90°)
Fissuration peu préjudiciable 𝜏 𝑢 = min( 0,20
𝑓 𝑐𝑗
𝛾 𝑏
,5 𝑀𝑃𝐴)
Fissuration préjudiciable ou
Fissuration très préjudiciable
τu = min( 0,15
fcj
γb
,4 MPA)
b) Cas des armatures transversales inclinées (α = 45°)
𝜏 𝑢 = min( 0,27
𝑓𝑐𝑗
𝛾 𝑏
,7 𝑀𝑃𝐴)
DETERMINATION DES ARMATURES TRANSVERSALES
SELON LE B.A.E.L
𝐴𝑡
𝑏0 𝑠𝑡
≥
𝛾𝑠(𝜏 𝑢 − 0,3 𝑓𝑡𝑗 ∗ 𝑘)
0,9 𝑓𝑒(𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼)
𝑨 𝒕 : Section des armatures transversales
𝒔 𝒕 ∶ Espacement entre deux cadres ou étriers
𝒇 𝒕𝒋 : Contrainte de traction du béton à j jours
Coefficient K :
K = 0 Si Reprise de bétonnage et/ou Fissuration très
préjudiciable.
Sinon
K = 1 en Flexion simple
𝐾 = 1 +
3𝜎𝑐𝑚
𝑓𝑐28
𝐾 = 1 −
10𝜎𝑡𝑚
𝑓𝑐28
Si Flexion composée avec N effort de compression :
Si Flexion composée avec N effort de traction :
Cisaillement
18/18
Tel que 𝜎𝑐𝑚 =
𝑁𝑐𝑜𝑚𝑝
𝑏∗𝑕
𝑒𝑡 𝜎𝑐𝑡 =
𝑁 𝑇𝑟𝑎𝑐
𝑏∗𝑕
Avec NTrac est pris sans le signe (-)
ESPACEMENT ENTRE DEUX CADRES OU ETRIERS
1) 𝑠𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 0,9 𝑑 ; 40 𝑐𝑚
2) 𝑠𝑡 ≤
𝐴𝑡 ∗ 𝑓𝑒
0,4 𝑏0
3) 𝑠𝑡 ≤
0,9 𝑓𝑒 𝐴𝑡 (𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼)
𝛾𝑠 𝑏0(𝜏 𝑢 − 0,3 𝑓𝑡𝑗 ∗ 𝑘)
INFLUENCE DE VU AU VOISINAGE DE L’APPUI :
Vérification des armatures AL inferieurs :
a) cas d’un appui de rive
𝐴 𝐿 ≥
𝛾𝑠
𝑓𝑒
𝑉𝑢
b) cas d’un appui intermédiaire :
𝐴 𝐿 ≥
𝛾𝑠
𝑓𝑒
𝑉𝑢 +
𝑀𝑢
0,9 𝑑
Vérification de la bielle :
𝑉𝑢 ≤ 0,267𝑏0 ∗ 𝑎 ∗ 𝑓𝑐28
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 =0,9𝑑

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  • 1. Formulaire de béton armé 1/18 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DE BEJAIA FACULTE DE TECHNOLOGIE DEPARTEMENT DE GENIE-CIVIL FORMULAIRE DE CALCUL DES SECTIONS EN BETON ARME Selon le BAEL91 et CBA93 Programme de Béton 1 et 2 3ème Année Licence de Génie-Civil Enseignants HAMOUCHE Sabiha TAHAKOURT Abdelkader SOMMAIRE I- COMPRESSION SIMPLE 2 II- TRACTION SIMPLE 5 III-FLEXION SIMPLE 6 IV-FLEXION COMPOSEE 10 V-CISAILLEMENT 17 2012/2013
  • 2. Compression simple 2/18 I-COMPRESSION SIMPLE COMBINAISONS DE CHARGE Combinaison a l’ELU 1,35𝐺 𝑚𝑎𝑥 + 𝐺 𝑚𝑖𝑛 + 𝛾 𝑄1. 𝑄1 + 1,3 𝜓0𝑖 𝑄𝑖 Combinaison accidentelle 𝐺 𝑚𝑎𝑥 + 𝐺 𝑚𝑖𝑛 + 𝐹𝐴 + 𝜓1𝑖 𝑄1 + 𝜓2𝑖 𝑄𝑖 Combinaison a l’ELS 𝐺 𝑚𝑎𝑥 + 𝐺 𝑚𝑖𝑛 + 𝑄1 + 𝜓0𝑖 𝑄𝑖 Avec : FA : l’action accidentelle. Gmax : l’ensemble des actions permanentes défavorables Gmin: l’ensemble des actions permanentes favorables Q1 : Action variable de base Qi : Action variable d’accompagnement. I-CALCUL DES ARMATURES LONGITUDINALES 1- ELU de résistance 𝐴𝑠 = 𝑁𝑢 − 𝐵𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠𝑐 𝑓𝑏𝑢 = 0,85 𝑓𝑐28 𝜃 𝛾𝑏 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑓𝑏𝑢 = 0,8 𝑓𝑐28 𝜃 𝛾𝑏 𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝛾𝑏 = 1.5 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝛾𝑏 = 1.15 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑠𝑐 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝛾𝑠 = 1.15 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝛾𝑠 = 1 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 Pour A<0 : on n’a pas besoin d’aciers, le béton seul suffit 2- ELU de stabilité de forme
  • 3. Compression simple 3/18 𝐴𝑠 ≥ 𝑁𝑢 𝛼 − 𝐵𝑟 𝑓𝑐28 1,35 𝛾𝑠 𝑓𝑒 L’élancement du poteau  Section rectangulaire 𝜆 = 3,46 𝑙𝑓 𝑏 𝑏 ∶ 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑡é  Section circulaire 𝜆 = 4 𝑙𝑓 𝐷 𝐷 ∶ 𝑙𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒  Section orthogonale 𝜆 = 3,89 𝑙𝑓 𝑕 𝑆𝑖 0 ≤ 𝜆 ≤ 50 𝛼 = 0,85 1 + 0,2 𝜆 35 2 𝑆𝑖 50 ≤ 𝜆 ≤ 70 𝛼 = 0,6 50 𝜆 2 Br : Section réduite : 𝐵𝑟 = 𝑎 − 2 𝑏 − 2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝐵𝑟 = 𝜋 𝐷 − 2 2 4 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 Condition à vérifier : 1er cas : Si 𝐴 𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝐴 𝑠 ≤ 𝐴 𝑚𝑎𝑥 𝑂𝑛 𝑓é𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴 𝑠 𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 4𝑈 , 0,1 100 𝐵 𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑈 𝑙𝑒 𝑝é𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 (𝑚) 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑡 𝐵 (𝑐𝑚²) 𝑈 = 2 𝑎 + 𝑏 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟é𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑈 = 2𝜋𝑅 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝐴 𝑚𝑎𝑥 = 4 100 𝐵 2eme cas 𝑆𝑖 𝐴 𝑠 > 𝐴 𝑚𝑎𝑥 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢 3eme cas 𝑆𝑖 𝐴 𝑠 < 𝐴 𝑚𝑖𝑛 𝑂𝑛 𝑓é𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴 𝑚𝑖𝑛 Remarque Le diamètre des armatures longitudinales min :
  • 4. Compression simple 4/18 𝜙𝑙 ≥ 12 𝑚𝑚 Pour une section circulaire le nombre des barres min est de 6 II-CALCUL DES ARMATURES TRANSVERSALES 𝜙𝑡 ≥ 𝜙𝑙 𝑚𝑎𝑥 3 𝜙𝑙 𝑚𝑎𝑥 : 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑥 Espacement entre les armatures transversales : 𝑆𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 15 𝜙𝑙 𝑚𝑖𝑛 , 𝑎 + 10, 40 𝑐𝑚 𝑎: 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑡é 𝑒𝑡 𝜙𝑙 𝑚𝑖𝑛 : 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛 L’enrobage   𝑒 ≥ 3 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑠  Vérification des contraintes à l’ELS 𝜎𝑏𝑐 = 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝐵 + 15𝐴 𝑠 ≤ 𝜎𝑏𝑐 = 0,6𝑓𝑐28 𝑒 ≥ 5 𝑐𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑒𝑢𝑥 𝑎𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑓𝑠 𝑒 ≥ 1 𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑒 ≥ 𝜙𝑙 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑛𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑠
  • 5. Traction simple 5/18 II-TRACTION SIMPLE I-DETERMINATION DE LA SECTION DES ARMATURES 𝐴 𝑠 = max 𝐴 𝑢 ; 𝐴 𝑠𝑒𝑟 1- Calcul à l’ELU 𝐴 𝑢 ≥ 𝑁𝑢 𝛾𝑠 𝑓𝑒 2- Calcul à l’ELS 𝐴 𝑠𝑒𝑟 ≥ 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠 a- Fissuration peu nuisible : On calcul uniquement à l’ELU b- Fissuration nuisible : 𝜎𝑠 = min 2 3 𝑓𝑒 ; 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗 c- Fissuration très nuisible : 𝜎𝑠 = min 0,5 𝑓𝑒 ;90 𝜂 𝑓𝑡𝑗 𝑓𝑡𝑗 = 0,6 + 0,06 𝑓𝑐𝑗 𝜂 ∶ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 1,6 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟𝑠 𝐻𝐴 2-Vérification de la condition de non fragilité 𝐴 𝑠. 𝑓𝑒 ≥ 𝐵. 𝑓𝑡28 𝐵 ≤ 𝐴 𝑠. 𝑓𝑒 𝑓𝑡28 𝑜𝑢 𝐴 𝑠 ≥ 𝐵. 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 II-DISPOSITIONS REGLEMENTAIRES MINIMALES 1-Conditions d’enrobage  𝑒 ≥ 1 𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑒 ≥ 𝜙𝑙 𝐹𝑃𝑁 (𝐹𝑃𝑃)  𝑒 ≥ 3 𝑐𝑚 𝐹𝑁 (𝐹𝑃)  𝑒 ≥ 5 𝑐𝑚 𝐹𝑇𝑁 (𝐹𝑇𝑃) 2-Diamètres minimaux 𝐹𝑁 ∶ 𝜙𝑡 ≥ 6 𝑚𝑚 ; 𝜙𝑙 ≥ 6 𝑚𝑚 𝐹𝑇𝑁 ∶ 𝜙𝑡 ≥ 𝟖 𝒎𝒎 ; 𝝓𝒍 ≥ 𝟖 𝒎𝒎 3-Espacement 𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 40 𝑐𝑚 ; 𝑎 + 10 , 𝑡 ≈ 𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
  • 6. Flexion simple 6/18 III-FLEXION SIMPLE I-SECTION RECTANGULAIRE 1-ELU 𝜇 𝑏𝑢 = 𝑀𝑢 𝑏𝑑2 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑏𝑢 = 0,85𝑓𝑐28 𝜃𝛾𝑏 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 > 0,186 𝑝𝑖𝑣ô𝑡 𝐵 𝜇𝑙 = 0,8 𝛼𝑙 1 − 0,4 𝛼𝑙 𝛼𝑙 = 3,5 3,5 + 1000 𝜀𝑙 𝜀𝑙 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝐸𝑠 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′ = 0 𝐴 = 𝑀𝑢 𝑧𝑓𝑠𝑡 𝑧 = 𝑑 1 − 0,4𝛼 𝛼 = 1,25 1 − 1 − 2𝜇 𝑏𝑢 Calcul de fst 𝜀𝑠𝑡 = 3,5 1000 1 − 𝛼 𝛼 𝑆𝑖 𝜀𝑠𝑡 > 𝜀𝑙 𝑓𝑠𝑡 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑠𝑡 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠𝑡 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0 𝐴′ = 𝑀𝑢 − 𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐 𝑀𝑙 = 𝜇𝑙 𝑏 𝑑2 𝑓𝑏𝑢 Calcul de 𝑓𝑠𝑐 𝜀𝑠𝑐 = 3,5 1000 + 𝜀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑑 − 𝜀𝑙 𝑆𝑖 𝜀𝑠𝑐 > 𝜀𝑙 𝑓𝑠𝑐 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑠𝑐 = 𝐸𝑠 𝜀𝑠𝑐
  • 7. Flexion simple 7/18 𝐴 = 𝑀𝑙 𝑧𝑙 + 𝑀𝑢 − 𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 1 𝑓𝑠𝑡 𝑧𝑙 = 𝑑 1 − 0,4𝛼𝑙 𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 < 0,186 𝑝𝑖𝑣ô𝑡 𝐴 𝑓𝑠 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝜇𝑙 = 0,8 𝛼𝑙 1 − 0,4 𝛼𝑙 𝛼𝑙 = 3,5 3,5 + 1000 𝜀𝑙 𝜀𝑙 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝐸𝑠 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′ = 0 𝐴 = 𝑀𝑢 𝑧𝑓𝑠𝑡 𝑧 = 𝑑 1 − 0,4𝛼 𝛼 = 1,25 1 − 1 − 2𝜇 𝑏𝑢 𝑓𝑠𝑡 = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0 𝐴′ = 𝑀𝑢 − 𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐 𝑀𝑙 = 𝜇𝑙 𝑏 𝑑2 𝑓𝑏𝑢 𝐴 = 𝑀𝑙 𝑧𝑙 + 𝑀𝑢 − 𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 1 𝑓𝑠𝑡 𝑧𝑙 = 𝑑 1 − 0,4𝛼𝑙 𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 2-ELS Vérification des contraintes : 𝜎𝑏𝑐 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝐼 𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 = 0,6 𝑓𝑐28 𝜎𝑠𝑡 = 15 𝜎𝑏𝑐 𝑑 − 𝑦 𝑦 = 15 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝐼 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠𝑡 𝐹𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 2 3 𝑓𝑒 , 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗 𝐹𝑇𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 0,5 𝑓𝑒 , 90 𝜂 𝑓𝑡𝑗
  • 8. Flexion simple 8/18 Calcul de y et I : 𝑏 2 𝑦² + 15 𝐴 + 𝐴′ 𝑦 − 15 𝐴𝑑 + 𝐴′𝑑′ = 0 𝐼 = 𝑏 3 𝑦3 + 15 𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ 2 + 15 𝐴 𝑑 − 𝑦 2 Remarque 𝑆𝑖 𝜎𝑠 > 𝜎𝑠 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 à 𝑙′𝐸𝐿𝑆 𝐴 𝑠𝑒𝑟 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑑 1 − 𝛼 3 𝜎𝑠 𝛼 = 90𝛽 1 − 𝛼 3 − 𝛼 𝛽 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑏𝑑2 𝜎𝑠 II-SECTION EN T 1-ELU 𝑀 𝑇𝑢 = 𝑏 𝑕0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 − 𝑕0 2 Si 𝑀 𝑇𝑢 > 𝑀𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑏𝑥𝑕 Si 𝑀 𝑇𝑢 < 𝑀𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇 𝑀2 𝑢 = 𝑏 − 𝑏0 𝑏 𝑀 𝑇𝑢 𝑀1 𝑢 = 𝑀𝑢 − 𝑀2 𝑢 𝐴1 = 𝑀1 𝑢 𝑑 1 − 0,4 𝛼 𝑓𝑠𝑡 𝐴2 = 𝑀2 𝑢 𝑑 − 𝑕0 2 𝑓𝑠𝑡 𝜇 𝑏𝑢 1 = 𝑀1 𝑢 𝑏0 𝑑2 𝑓𝑏𝑢 Si 𝜇 𝑏𝑢 1 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0 𝑒𝑡 𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑍𝑙à 𝑑 − 𝑕0 2 Si 𝑍𝑙 < 𝑑 − 𝑕0 2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴′ 𝑀1 ′ = 𝑓𝑏𝑢 𝜇𝑙 𝑏0 𝑑2 + 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑑 − 𝑕0 2 𝑀2 ′ = 𝑀𝑢 − 𝑀1 ′ 𝐴′ = 𝑀2 ′ 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐 𝐴 = 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠𝑡 𝜇𝑙 𝑏0 𝑑 𝛽𝑙 + 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 + 𝐴′ 𝑓𝑠𝑐 𝑓𝑠𝑡
  • 9. Flexion simple 9/18 𝛽𝑙 = 1 − 0,4 𝛼𝑙 Si 𝑍𝑙 > 𝑑 − 𝑕0 2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑏𝑥𝑕 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴′ 2-ELS Vérification des contraintes La position de l’axe neutre H 𝐻 = 𝑏𝑕0 2 2 − 15𝐴 𝑑 − 𝑕0 Si H > 0 : axe neutre passe par la table, vérification des contraintes pour une section rectangulaire bxh. Si H < 0 : section en T Vérification des contraintes : 𝜎𝑏𝑐 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝐼 𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 = 0,6 𝑓𝑐28 𝜎𝑠𝑡 = 15 𝜎𝑏𝑐 𝑑 − 𝑦 𝑦 = 15 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝐼 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠𝑡 𝐹𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 2 3 𝑓𝑒 , 110 𝜂 𝑓𝑡𝑗 𝐹𝑇𝑁 𝜎𝑠𝑡 = 𝑚𝑖𝑛 0,5 𝑓𝑒 ,90 𝜂 𝑓𝑡𝑗 Remarque Si Mu < 0 ; Calcul d’une section rectangulaire b0 x h 𝐼 = 𝑏 3 𝑦3 − 𝑏 − 𝑏0 𝑦 − 𝑕0 3 3 + 15 𝐴 𝑑 − 𝑦 2 + 15 𝐴′ 𝑑′ − 𝑦 2 𝑏0 2 𝑦2 + 15 𝐴 + 15𝐴′ + 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑦 − 15 𝐴𝑑 + 𝐴′𝑑′ − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 2 2 = 0
  • 10. Flexion composée 10/18 IV-FLEXION COMPOSEE I sections entièrement Comprimée (SEC) SECTION RECTANGULAIRE A l’ELU Nu (compression) et c à l’intérieur de la section et Si 𝑵 𝒖 𝒅 − 𝒅′ − 𝑴 𝒖𝑨 > 𝟎, 𝟑𝟑𝟕 𝒉 − 𝟎, 𝟖𝟏 𝒅′ 𝒃 𝒉 𝒇 𝒃𝒖 Avec 𝑀 𝑢𝐴 = 𝑀 𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑕 2 , NU pris avec son signe a) Si 𝑵 𝒖 𝒅 − 𝒅′ − 𝑴 𝒖𝑨 < 𝟎, 𝟓 𝒉 − 𝒅′ 𝒃 𝒉 𝒇 𝒃𝒖 𝐴 = 0 𝐴′ = 𝑁𝑢 − 𝜓 𝑏𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠 ′ 𝜓 = 0,357 + 𝑁 𝑢 𝑑−𝑑′ − 𝑀 𝑢𝐴 𝑏 𝑕2 𝑓 𝑏𝑢 0,857 − 𝑑′ 𝑕 𝑓𝑠 ′ =? 𝜀 𝑠 = 2 1000 1 + 1,719− 4,010 𝑑′ 𝑕 1 − 𝜓 Si 𝜀𝑠 ≥ 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠 ′ = 𝑓𝑒 𝛾𝑠 Si 𝜀 𝑠 < 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠 ′ = 𝜀 𝑠 𝐸𝑠 b) Si 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝐴 ≥ 0,5 𝑕 − 𝑑′ 𝑏 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝐴 ≠ 0 𝜓 = 1 𝐴′ = 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝑑 − 𝑕 2 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠 2‰ 𝐴 = 𝑁𝑢 − 𝑏𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝑓 𝑠2‰ − 𝐴′ Si 𝜀𝑙 < 2‰ ⟹ 𝑓𝑠 2‰ = 𝑓𝑒 𝛾 𝑠 Si 𝜀 𝑠 ≥ 2‰ ⟹ 𝑓𝑠 2‰ = 2‰ 𝐸𝑠 A L’ELS Nser (compression) et c a l’intérieur de la section (𝑒 𝐺 < 𝑕 6 ) 𝑆𝐸𝐶 Vérification des contraintes 𝑉 = 𝑏𝑕2 2 + 15 𝐴′ 𝑑′ + 𝐴𝑑 𝐵 + 15 𝐴′ + 𝐴
  • 11. Flexion composée 11/18 𝑉′ = 𝑕 − 𝑉 𝑒𝑛 (𝑚) Il faut que : 𝜎𝑏1 = 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑆 + 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 𝐼𝑦𝑦′ 𝑉 ≤ 𝜎𝑏𝑐 𝜎𝑏2 = 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑆 − 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 𝐼𝑦𝑦′ 𝑉′ ≤ 𝜎𝑏𝑐 𝜎𝑠 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑆 + 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 𝐼𝑦𝑦′ 𝑉 − 𝑑′ ≤ 𝜎𝑠 𝜎𝑠 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑆 − 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 𝐼𝑦𝑦′ 𝑑 − 𝑉′ ≤ 𝜎𝑠 Avec :  𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 − 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑕 2 − 𝑉  𝐼𝑦𝑦′ = 𝑏 3 𝑉3 + 𝑉′3 + 15𝐴′ 𝑉 − 𝑑′ 2 + 15𝐴 𝑑 − 𝑉 2  𝑆 = 𝑏 ∗ 𝑕 + 15 𝐴 + 𝐴′ SECTION EN T A l’ELU Nu (compression) et c a l’intérieur de la section Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀 𝑢𝑟 𝐴 > 0,337 𝑕 − 0,81 𝑑′ 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢 Avec 𝑀 𝑢𝑟 𝐴 = 𝑀 𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑦 𝐺 NU pris avec son signe La détermination des armatures d’une section en T(SEC) revient à déterminer celles d’une section rectangulaire𝑏0 𝑥 𝑕. 𝑁𝑢𝑟 = 𝑁𝑢 − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑓𝑏𝑢 𝑀𝑢𝑟 𝐴 = 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 − 𝑕0 2 a) Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟 𝐴 ≤ 0,5 𝑕 − 𝑑′ 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝐴 = 0 𝐴′ = 𝑁𝑢𝑟 − 𝜓 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠 ′ 𝜓 = 0,357 + 𝑁 𝑢𝑟 𝑑−𝑑′ −𝑀 𝑢𝑟 𝐴 𝑏0 𝑕2 𝑓 𝑏𝑢 0,857 − 𝑑′ 𝑕
  • 12. Flexion composée 12/18 𝑓𝑠 ′ =? 𝜀 𝑠𝑐 = 2 1000 1 + 1,719− 4,010 𝑑′ 𝑕 1 − 𝜓 Si 𝜀 𝑠𝑐 ≥ 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠 ′ = 𝑓𝑒 𝛾 𝑠 Si 𝜀 𝑠𝑐 < 𝜀𝑙 ⟹ 𝑓𝑠 ′ = 𝜀 𝑠 𝐸𝑠 b) Si 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟 𝐴 > 0,5 𝑕 − 𝑑′ 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝐴 ≠ 0 𝜓 = 1 𝐴′ = 𝑀𝑢𝑟 𝐴 − 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝑑 − 𝑕 2 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠 2‰ 𝐴 = 𝑁𝑢𝑟 − 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢 𝑓𝑠2‰ − 𝐴′ Si 𝜀𝑙 < 2 ⟹ 𝑓𝑠2 = 𝑓𝑒 𝛾 𝑠 Si 𝜀 𝑠 ≥ 2 ⟹ 𝑓𝑠2 = 2 𝐸𝑠 II section entièrement Tendue (SET) A l’ELU Nu (Traction) et c a l’intérieur de la section, N est pris avec son signe 𝐴1 = 𝑁𝑢 𝑒2 𝑓𝑠10 𝑑 − 𝑑′ 𝐴2 = 𝑁𝑢 𝑒1 𝑓𝑠10 𝑑 − 𝑑′ Tel que : 1. 𝑓𝑠10 = 𝑓𝑒 𝛾 𝑠 2. 𝑒1 = 𝑕 2 − 𝑑′ + 𝑒 𝐺 3. 𝑒2 = 𝑑 − 𝑑′ − 𝑒1 𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 𝐵 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 Si min 𝐴1 , 𝐴2 ≥ 𝐴 𝑚𝑖𝑛 𝑜𝑛 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴1 𝑒𝑡 𝐴2 Si min 𝐴1 , 𝐴2 < 𝐴 𝑚𝑖𝑛 𝑜𝑛 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴 𝑚𝑖𝑛 A l’ELS 𝑒 𝐺 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑁𝑠𝑒𝑟 (𝑇𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) et c à l’intérieur de la section → SET
  • 13. Flexion composée 13/18 𝐴1 = 𝑁 𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠 ∗ 𝑉2 𝑉1 + 𝑉2 𝐴2 = 𝑁 𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠 ∗ 𝑉1 𝑉1 + 𝑉2 Cas d’un ferraillage symétrique 𝑉1 = 𝑉2 𝐴1 = 𝐴2 = 𝑚𝑎𝑥 𝑁 𝑠𝑒𝑟 2 𝜎𝑠 , 𝐵 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 Vérification des contraintes : Nser est pris avec son signe 𝜎1 = 𝑁 𝑠𝑒𝑟 𝐴1+ 𝐴2 + 𝑀 𝑠𝑒𝑟 𝐴1 𝑉1+𝑉2 < 0 𝜎2 = 𝑁 𝑠𝑒𝑟 𝐴1+ 𝐴2 + 𝑀 𝑠𝑒𝑟 𝐴2 𝑉1+𝑉2 < 0 III Section partiellement comprimée (SPC) SECTION RECTANGULAIRE A L’ELU Nu (traction) et c a l’intérieur de la section Nu (compression) et c en dehors de la section Nu (compression) et c à l’intérieur de la section, avec la condition suivante : 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝐴 ≤ 0,337 𝑕 − 0,81 𝑑′ 𝑏 𝑕 𝑓𝑏𝑢 Le calcul se fait par assimilation à la flexion simple avec MUA 𝑀 𝑈𝐴 = 𝑁 𝑒𝐴 = 𝑀 𝑈𝐺 + 𝑁𝑢(𝑑 − 𝑕 2 ) Nu est pris avec son signe : N Compressions (+) N Traction (-) 𝜇 𝑏𝑢 = 𝑀𝑢𝐴 𝑏𝑑2 𝑓𝑏𝑢 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 < 𝜇𝑙 𝐴′ = 0 𝐴1 = 𝑀𝑢𝐴 𝑧𝑓𝑠𝑡 𝑧 = 𝑑 1 − 0,4𝛼 𝛼 = 1,25 1 − 1 − 2𝜇 𝑏𝑢 On revient à la flexion composée : 𝐴 = 𝐴1 − 𝑁𝑢 𝑓𝑠𝑡 𝑆𝑖 𝜇 𝑏𝑢 > 𝜇𝑙 𝐴′ ≠ 0
  • 14. Flexion composée 14/18 𝐴′ = 𝑀𝑢𝐴 − 𝑀𝑙 𝑑 − 𝑑′ 𝑓𝑠𝑐 On revient à la flexion composée : 𝐴 = 1 𝑓𝑠 𝑀𝑢𝐴 – 𝐴′ 𝑓𝑠 𝑑 − 𝑑′ 𝑑 1 − 0,4 𝛼 + 𝐴′ 𝑓𝑠 ′ − 𝑁𝑢 Dans tout les cas il faut vérifier que : 𝐴 ≥ 𝐴 𝑚𝑖𝑛 = 0,23 𝑏 𝑑 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 A L’ELS Vérification des contraintes : 𝜎𝑏𝑐 = 𝑁 𝑠𝑒𝑟 𝜇 𝑡 𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 (N avec son signe) 𝜎𝑠𝑐 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜇𝑡 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠 𝜎′ 𝑠𝑐 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜇𝑡 𝑦 − 𝑑′ ≤ 𝜎𝑠 𝑆𝑖 𝐴′ ≠ 0 Calcul de y :𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝐶 N (Traction) 𝐶 = 𝑒 𝐺 + 𝑕 2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 > 0 𝑒𝑡 𝑦𝐶 < 0 N (Compression) 𝐶 = 𝑒 𝐺 − 𝑕 2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 < 0 𝑒𝑡 𝑦𝐶 > 0 𝑦𝑐 3 + 𝑝 𝑦𝑐 + 𝑞 = 0 Avec 𝑝 = −3𝐶2 − 90 𝐴′ 𝑏 𝐶 − 𝑑′ + 90 𝐴 𝑏 𝑑 − 𝐶 𝑞 = −2𝐶3 − 90 𝐴′ 𝑏 𝐶 − 𝑑′ 2 − 90 𝐴 𝑏 𝑑 − 𝐶 2 −𝐶 ≤ 𝑦 𝐶 ≤ 𝑕 − 𝐶 𝑠𝑖 𝐶 > 0 +𝐶 ≤ 𝑦 𝐶 ≤ 𝑕 + 𝐶 𝑠𝑖 𝐶 < 0 𝜇𝑡 = 𝑏 2 𝑦2 + 15 𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ − 𝐴 𝑑 − 𝑦 Remarque 𝑆𝑖 𝜎𝑠 > 𝜎𝑠 𝑂𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 à 𝑙′𝐸𝐿𝑆 𝐴 𝑠𝑒𝑟1 = 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 𝑑 1 − 𝛼 3 𝜎𝑠 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 = 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐺 + 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝑑 − 𝑕 2 𝛼 = 90𝛽 1 − 𝛼 3 − 𝛼
  • 15. Flexion composée 15/18 𝛽 = 𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 𝑏𝑑2 𝜎𝑠 On revient à la flexion composée : 𝐴 𝑠𝑒𝑟 = 𝐴 𝑠𝑒𝑟1 − 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜎𝑠 SECTION EN T A L’ELU  Nu (traction) et c a l’intérieur de la section  Nu (compression) et c en dehors de la section  Nu (compression) et c à l’intérieur de la section, avec la condition suivante : 𝑁𝑢𝑟 𝑑 − 𝑑′ − 𝑀𝑢𝑟 ≤ 0,337 𝑕 − 0,81 𝑑′ 𝑏0 𝑕 𝑓𝑏𝑢 Tel que : N est pris avec son signe  𝑁𝑢𝑟 = 𝑁𝑢 − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑓𝑏𝑢  𝑀𝑢𝑟 = 𝑀𝑢𝐴 − 𝑏 − 𝑏0 𝑕0 𝑓𝑏 𝑢 𝑑 − 𝑕0 2  𝑀𝑢𝐴 = 𝑁𝑢 𝑒𝐴 = 𝑀𝑢𝐺 + 𝑁𝑢 𝑑 − 𝑦 𝐺 𝑀 𝑇𝑢 = 𝑏 𝑕0 𝑓𝑏𝑢 𝑑 − 𝑕0 2 Si 𝑀 𝑇𝑢 ≥ 𝑀𝑢𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑏𝑥𝑕 Si 𝑀 𝑇𝑢 < 𝑀𝑢𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑′ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑇, revient à calculer une section rectangulaire (𝑏0 𝑥𝑕) soumise à 𝑁𝑢𝑟 𝑒𝑡 𝑀𝑢𝑟 A l’ELS :  Nu (traction) et c a l’intérieur de la section  Nu (compression) et c en dehors de la section  Nu (compression) et c à l’intérieur de la section mais en dehors du noyau central : 𝑒 𝐺 > 𝐻 6 𝑒 𝐺 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑁𝑠𝑒𝑟 Signe de C :  Nu (traction) et C à l’extérieur de la section : 𝐶 > 0, 𝑦𝑐 < 0  Nu (compression) et C à l’intérieur de la section : 𝐶 > 0, 𝑦𝑐 > 0  Nu (compression) et C à l’extérieur de la section : 𝐶 < 0, 𝑦𝑐 > 0 La position de l’axe neutre : 𝐸1 = 𝑏 − 𝑏0 3𝐶 − 2𝑕0 𝑕0 2 + 90 𝐴′ 𝐶 − 𝑑′ 𝑑′ − 𝐴 𝑑 − 𝐶 𝑑 Si E1 et E2 de même signe → A.N dans la nervure ; calcul d’une section en T Si E1 et E2 de signe contraire → A.N dans la table ; calcul d’une section rectangulaire (bxh) 𝐸2 = 𝑏𝑕0 2 𝑕0 − 3𝐶 + 90 𝐴′ 𝐶 − 𝑑′ 𝑑′ − 𝑕0 − 𝐴 𝑑 − 𝐶 𝑑 − 𝑕0
  • 16. Flexion composée 16/18 Calcul de C : 𝐶 = 𝑒 𝐺 − 𝑦 𝐺 , 𝑁 𝑈( 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛) 𝐶 = 𝑒 𝐺 + 𝑦 𝐺 , 𝑁 𝑈 (𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) Calcul de P et q : 𝑝 = −3 𝑏 𝑏0 𝐶2 + 3 𝑏 𝑏0 − 1 𝐶 − 𝑕0 2 − 90 𝐴′ 𝑏0 𝐶 − 𝑑′ + 90 𝐴 𝑏0 𝑑 − 𝐶 𝑞 = −2 𝑏 𝑏0 𝐶3 + 2 𝑏 𝑏0 − 1 𝐶 − 𝑕0 3 − 90 𝐴′ 𝑏0 𝐶 − 𝑑′ 2 − 90 𝐴 𝑏0 𝑑 − 𝐶 2 𝑦 = 𝑦 𝐶 + 𝐶 𝜇𝑡 = 𝑏𝑦2 2 − 𝑏 − 𝑏0 2 𝑦 − 𝑕0 2 + 15𝐴′ 𝑦 − 𝑑′ − 15𝐴 𝑑 − 𝑦 Vérification des contraintes : 𝜎𝑏𝑐 = 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜇𝑡 . 𝑦 ≤ 𝜎𝑏𝑐 𝜎𝑠𝑡 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜇𝑡 𝑑 − 𝑦 ≤ 𝜎𝑠 𝜎𝑠𝑐 = 15 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝜇𝑡 𝑦 − 𝑑′ ≤ 𝜎𝑠 𝑠𝑖 𝐴′ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
  • 17. Cisaillement 17/18 V-CISAILLEMENT CONTRAINTE TANGENTIELLE 1. Justification de l’âme d’une poutre 𝜏 𝑢 = 𝑉𝑢 𝑏0 𝑑 (𝑀𝑃𝐴) Vu : Valeur de l’effort tranchant dans la section considérée b0 : Largeur de l’âme d : Hauteur utile Il faut que : 𝝉 𝒖 ≤ 𝝉 𝒖 2. Contrainte tangentielle limite ultime a) Cas des armatures transversales droites (α = 90°) Fissuration peu préjudiciable 𝜏 𝑢 = min( 0,20 𝑓 𝑐𝑗 𝛾 𝑏 ,5 𝑀𝑃𝐴) Fissuration préjudiciable ou Fissuration très préjudiciable τu = min( 0,15 fcj γb ,4 MPA) b) Cas des armatures transversales inclinées (α = 45°) 𝜏 𝑢 = min( 0,27 𝑓𝑐𝑗 𝛾 𝑏 ,7 𝑀𝑃𝐴) DETERMINATION DES ARMATURES TRANSVERSALES SELON LE B.A.E.L 𝐴𝑡 𝑏0 𝑠𝑡 ≥ 𝛾𝑠(𝜏 𝑢 − 0,3 𝑓𝑡𝑗 ∗ 𝑘) 0,9 𝑓𝑒(𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼) 𝑨 𝒕 : Section des armatures transversales 𝒔 𝒕 ∶ Espacement entre deux cadres ou étriers 𝒇 𝒕𝒋 : Contrainte de traction du béton à j jours Coefficient K : K = 0 Si Reprise de bétonnage et/ou Fissuration très préjudiciable. Sinon K = 1 en Flexion simple 𝐾 = 1 + 3𝜎𝑐𝑚 𝑓𝑐28 𝐾 = 1 − 10𝜎𝑡𝑚 𝑓𝑐28 Si Flexion composée avec N effort de compression : Si Flexion composée avec N effort de traction :
  • 18. Cisaillement 18/18 Tel que 𝜎𝑐𝑚 = 𝑁𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑏∗𝑕 𝑒𝑡 𝜎𝑐𝑡 = 𝑁 𝑇𝑟𝑎𝑐 𝑏∗𝑕 Avec NTrac est pris sans le signe (-) ESPACEMENT ENTRE DEUX CADRES OU ETRIERS 1) 𝑠𝑡 ≤ 𝑚𝑖𝑛 0,9 𝑑 ; 40 𝑐𝑚 2) 𝑠𝑡 ≤ 𝐴𝑡 ∗ 𝑓𝑒 0,4 𝑏0 3) 𝑠𝑡 ≤ 0,9 𝑓𝑒 𝐴𝑡 (𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼) 𝛾𝑠 𝑏0(𝜏 𝑢 − 0,3 𝑓𝑡𝑗 ∗ 𝑘) INFLUENCE DE VU AU VOISINAGE DE L’APPUI : Vérification des armatures AL inferieurs : a) cas d’un appui de rive 𝐴 𝐿 ≥ 𝛾𝑠 𝑓𝑒 𝑉𝑢 b) cas d’un appui intermédiaire : 𝐴 𝐿 ≥ 𝛾𝑠 𝑓𝑒 𝑉𝑢 + 𝑀𝑢 0,9 𝑑 Vérification de la bielle : 𝑉𝑢 ≤ 0,267𝑏0 ∗ 𝑎 ∗ 𝑓𝑐28 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 =0,9𝑑