Ce document traite du calcul des structures, en particulier des poutres en béton armé soumises à des efforts de flexion et de cisaillement. Il aborde des concepts tels que le dimensionnement des armatures, les angles d'inclinaison, et les méthodes de vérification de la résistance des sections, notamment en utilisant des configurations de treillis. Le document fournit également des lignes directrices pour le calcul des poutres en T et des vérifications des flèches admissibles.

1. CALCUL DES CADRES
CISAILLEMENT DANS LES
STRUCTURES SOUMISES A DE LA
FLEXION SIMPLE

2. Modélisation de la poutre en béton armé pour des charges uniformément réparties
faibles : Éléments fonctionnant comme une voûte sous-tendue.
θ
θ
θ
θ =45°
Modélisation de la poutre en béton armé dépourvue d’armatures d’effort
tranchant

3. Treillis associé à la modélisation de la poutre en béton armé dépourvue
d’armatures d’effort tranchant = mécanisme = structure instable
Treillis associé à la modélisation de la poutre en béton armé avec
armatures d’effort tranchant inclinés ou verticales

4. l’effort dans un montant l’effort dans une diagonale (bielle):
Pour des armatures d’effort
tranchant droites
sw
Ed F
V =
Le montant
est tendu.
Cas des bielles inclinées de :
Cas des bielles à 45°
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
sin
V
F Ed
b =
=
=
=
2
Ed
b V
F =
=
=
=
Cas des bielles inclinées de
:

5. Modélisation : (Treillis de Ritter-Mörsh) armatures d’âme inclinées
Étude d'un tronçon élémentaire:
On étudie uniquement un tronçon de poutre comprenant une bielle de
béton.
B
C'
A
armature
transversale
Fsw
z
Fcd
Ftd
α
α
α
α
C
Inclinaison des bielles
Dans le cas de poutres, l’angle θ
θ
θ
θ des bielles de béton avec la fibre moyenne est limitée par :
En flexion simple 5
2
1 ,
cot ≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤ θ
θ
θ
θ soit °
°
°
°
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
°
°
°
° 45
22 θ
θ
θ
θ
Inclinaison des armatures d’effort tranchant
L’angle α des armatures d’effort tranchant avec la ligne moyenne doit être tel que : °
°
°
°
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
°
°
°
° 90
45 α
α
α
α .
En pratique °
°
°
°
=
=
=
= 90
α
α
α
α

8. 2
1
2
3
053
0 /
ck
C
min f
k
,
v
γ
γ
γ
γ
=
=
=
=
(
(
(
( )
)
)
) 























+
+
+
+
=
=
=
= 2
200
1 ;
d
min
k mm
C
c
,
Rd
,
C
γ
γ
γ
γ
18
0
=
=
=
=
s l
l
w
A
b d
ρ
ρ
ρ
ρ = 02
0,
≤
≤
≤
≤ sl
A
:
bd
l
d +
+
+
+
aire de la section des armatures tendues,
prolongée d’une longueur supérieure à
au delà d la section considérée.

12. CALCUL DES CADRES
aciers mini et espacement max
4
.
.
2
w
sw N
A
φ
π
=
N=2
2 brins verticaux
descendants
N=3
3 brins verticaux
descendants
N=4
4 brins verticaux
descendants
w
yk
ck
sw
b
f
f
s
A
.
08
,
0
)
( min = d
s .
75
,
0
max =

13. CALCUL DES CADRES
dimensionnement
4
.
.
2
w
sw N
A
φ
π
=
d
s 75
,
0
≤
choix de l’espacement
comme sous multiple de la portée
calcul de
s
f
d
V
A
ywd
red
Ed
sw .
cot
.
.
.
9
,
0
,
min
,
θ
=
π
φ
.
.
4 min
,
min
,
N
Asw
w = ⇒ choix du diamètre Φw
vérification de w
yk
ck
sw
b
f
f
s
A
.
08
,
0
≥
On met le premier cadre à s/2 de l’appui, tout les autres étant espacés de s.
s/2
s s s s s s s
s/2

14. 12/09/2013
CALCUL DES POUTRES en T
STRUCTURES SOUMISES A DE LA
FLEXION SIMPLE

15. 12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
préambule
Bâtiments ⇒ plancher = sur un réseau de poutres.
⇔ associer une partie du hourdis à la section résistante des poutres
⇔ section droite de la poutre = section en té (uniquement
lorsque le hourdis se situe dans la zone comprimée)
section en T résiste bien mieux que la rectangulaire,
⇒
⇒
⇒
⇒ plus économique en armatures.

16. 12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
notations
h d
w
b
1
s
A
f
h
eff
b
partie
externe
partie interne partie
externe
eff
b
w
b
1
eff
b 2
eff
b
f
h
Fig 9.1
s
A

17. 12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
cas des poutres continues
Béton en compression
M(x)
Sur appui :moment étant négatif ⇒ section résistante rectangulaire

18. CALCUL DES POUTRES EN T
largeur efficace beff
b
b
b
b w
i
,
eff
eff ≤
≤
≤
≤
+
+
+
+
=
=
=
= ∑
∑
∑
∑ 0
0 2
0
1
0
2
0 L
,
L
,
b
,
b i
i
,
eff ≤
≤
≤
≤
+
+
+
+
=
=
=
=
L L
0 = pour une travée simplement appuyée de portée
L L
0 0 85
= ,
pour une travée intermédiaire de poutre continue
L L
0 0 70
= ,
pour une travée de rive de poutre continue

19. CALCUL DES POUTRES EN T
largeur efficace beff
Cas des planchers poutrelles entrevous
⇒
⇒
⇒
⇒ Section rectangulaire
Cas des planchers à prédalles
⇒Section en T
⇒On prend en compte l’épaisseur de
prédalle

20. CALCUL DES POUTRES EN T
position de l’axe neutre
cas 1 cas limite cas 2
1
s
A 1
s
A 1
s
A
2
f
uT eff f cd
h
M b h f ( d )
= −
moment équilibré par la table de compression seule
uT
u
Ed M
M ≤
, (cas fréquent) ⇒ axe neutre dans la table de compression
la section en T = section rectangulaire de largeur b et de hauteur h.
uT
u
Ed M
M
, ⇒ axe neutre dans la nervure

21. 12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
aciers de flexion
Cas 1 (axe neutre dans la table)
Étude du cas limite
Le moment équilibré
par la table de
compression seule est:
u
c
uT z
.
N
M 1
=
=
=
=
2
f
uT eff f cd
h
M b h f (d )
= −

22. CALCUL DES POUTRES EN T
aciers de flexion
Étude de la section 1
1
diagramme
des contraintes
efforts normaux
1
u
M
w
eff b
b −
−
−
−
f
h
11
s
A
cd
f
f
h
(
(
(
( )
)
)
)
1
s
s ε
ε
ε
ε
σ
σ
σ
σ
1
c
N
11
s
N
[[[[ ]]]]
f
f h
,
d
z 5
0
1−
−
−
−
=
=
=
=
1
eff w
u uT
eff
b b
M M
b
−
=
Cette section constituée uniquement des débords
est sollicitée par un moment Mu1 déduit de MuT par
la relation
2
f
f
h
d
z −
−
−
−
=
=
=
=
( )
1
11
2
u
s
f
s s
M
A
h
d σ ε
σ ε
σ ε
σ ε
=
 
− ×
 
 

23. 12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
aciers de flexion
diagramme
des contraintes efforts normaux
diagramme
des déformations
2
h d
12
s
A
w
b
2
u
M
c
ε
ε
ε
ε cd
f
(
(
(
( )
)
)
)
1
s
s ε
ε
ε
ε
σ
σ
σ
σ
2
c
N
[
[
[
[ ]
]
]
]
u
u ,
d
z α
α
α
α
4
0
1−
−
−
−
=
=
=
=
12
s
N
1
s
ε
ε
ε
ε
d
x u
u 2
2 α
α
α
α
=
=
=
= d
, u2
8
0 α
α
α
α
2
u
x
Nous sommes dans le cas
d’une section rectangulaire
sollicitée par un moment .
On doit suivre la démarche
concernant les sections
rectangulaires.
Déterminons
µu2
cd
w
u
u
f
d
b
M
2
2
2 =
µ
1
2 u
u
u M
M
M −
=
yd
u
u
sl
f
d
M
A
)
4
,
0
1
( 2
2
α
−
=

24. 12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
aciers de flexion
yd
u
u
yd
cd
f
w
ff
e
sl
f
d
M
f
f
h
b
b
A
)
4
,
0
1
(
.
).
(
2
2
α
−
+
−
=
Cas 1 (axe neutre dans la table)
Cas 2 (axe neutre dans la nervure)
yd
u
Ed
sl
f
d
M
A
)
4
,
0
1
(
,
α
−
=
1
,
2 u
u
Ed
u M
M
M −
=
1
eff w
u uT
eff
b b
M M
b
−
=

25. 12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
aciers min et max
c
s
sl
t
t
yk
ctm
s A
A
A
d
b
d
b
f
f
A 04
,
0
0013
,
0
26
,
0
max min
,
min
, =
≤
≤








=
Largeur de la zone tendue bt :
Travée : bt = bw
Appuis : bt = beff
partie
externe
partie interne partie
externe
eff
b
w
b
1
eff
b 2
eff
b
f
h
Fig 9.1
s
A

26. 12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
vérification : A.N. dans la table
)²
.(
.
3
.
3
x
d
A
n
x
b
If s
eff −
+
=
f
s
eff
s
s
eff
h
x
et
A
b
n
A
n
A
n
b
x ≤
≤
−
±
= 0
)
.
.
.
2
)²
.
(
.
(
1
eff
c
E
Es
n
,
=
ef
cm
eff
c
E
E
ϕ
+
=
1
,
car
s
Ed
qp
s
Ed
ef
M
M
,
,
,
,
.
∞
= ϕ
ϕ 2
=
∞
ϕ

27. 12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
vérification : A.N. dans la nervure
eff
c
E
Es
n
,
=
ef
cm
eff
c
E
E
ϕ
+
=
1
,
car
s
Ed
qp
s
Ed
ef
M
M
,
,
,
,
.
∞
= ϕ
ϕ 2
=
∞
ϕ
)²
.(
.
3
)
(
.
3
)
(
.
3
3
3
x
d
A
n
h
x
x
b
h
x
b
If s
f
eff
f
w −
+
−
−
+
−
=
h
x
h
et
d
A
n
b
b
h
b
A
n
b
b
h
A
n
b
b
h
b
x
f
s
w
eff
f
w
s
w
eff
f
s
w
eff
f
eff
≤
≤
+
−
+
+
−
+
−
−
−
= )
.
.
.
2
)
².(
.(
)²
.
)
(
(
.
)
(
(
1

28. 12/09/2013
CALCUL DES POUTRES EN T
vérification : compression du béton
ck
s
ed
cc f
x
If
M
6
,
0
.
,
≤
=
σ
If et x : selon cas de figure (position A.N.)

29. CALCUL DES POUTRES
vérification : calcul de la flèche
Calcul simplifié de la flèche αII
If
E
l
Ms
eff
c
II
.
.
10
²
.
,
0
=
α
3
)
,
(
1 0
,
cm
cm
eff
c
E
t
E
E =
∞
+
=
ϕ
)²
.(
.
3
.
3
x
d
A
n
x
b
If s
w −
+
=
eff
c
E
Es
n
,
=
250
0
l
II ≤
α
Flèche admissible
Flèche nuisible
500
0
l
II ≤
α m
l 7
0 ≤
1000
)
7
(
4
,
1 0 m
l
cm
II
−
+
≤
α m
l 7
0
si
si .si
h
x
et
A
b
n
A
n
A
n
b
x s
w
s
s
w
≤
≤
−
±
= 0
)
.
.
.
2
)²
.
(
.
(
1