Le document traite de l'application du PFS pour analyser l'équilibre d'un levier. Des équations de forces et de moments sont développées pour trouver une solution à un système d'équations en quatre inconnues. La résolution mène au calcul de certaines variables, notamment la force en y et la relation entre les forces en x et y qui permettent d'atteindre un état d'équilibre.

1. Application du PFS
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E. Bugnet

3. Application du PFS
J'isole le levier 1

4. Application du PFS
Le levier est en équilibre si :
J'isole le levier 1

5. Application du PFS
Le levier est en équilibre si :
⃗} +{⃗ } +{⃗ } ={⃗ }
{T D⃗ A T B⃗ A T A⃗ A 0
U./1 6/1 4/1
J'isole le levier 1

6. Application du PFS
Le levier est en équilibre si :
⃗} +{⃗ } +{⃗ } ={⃗ }
{T D⃗ A T B⃗ A T A⃗ A 0
U./1 6/1 4/1
A : point où il y a
le plus d'inconnues
J'isole le levier 1

7. Application du PFS
Le levier est en équilibre si :
⃗} +{⃗ } +{⃗ } ={⃗ }
{T D⃗ A T B⃗ A T A⃗ A 0
U./1 6/1 4/1
D'où le système suivant :
J'isole le levier 1

8. Application du PFS
Le levier est en équilibre si :
⃗} +{⃗ } +{⃗ } ={⃗ }
{T D⃗ A T B⃗ A T A⃗ A 0
U./1 6/1 4/1
D'où le système suivant :
∑ F =0
J'isole le levier 1
∑ M =0A

9. Application du PFS
Le levier est en équilibre si :
⃗} +{⃗ } +{⃗ } ={⃗ }
{T D⃗ A T B⃗ A T A⃗ A 0
U./1 6/1 4/1
D'où le système suivant :
∑ F =0
∑ M =0A {⃗ +⃗ +⃗ =⃗
DU /1 B6/ 1 A 4 /1 0
⃗ +⃗+⃗ =⃗
M M A
M
D⃗ /1
U
0A
B⃗
6/1
A
A⃗4/1
J'isole le levier 1

10. Application du PFS
Le levier est en équilibre si :
⃗} +{⃗ } +{⃗ } ={⃗ }
{T D⃗ A T B⃗ A T A⃗ A 0
U./1 6/1 4/1
D'où le système suivant :
Résolution :
{⃗ +⃗ +⃗ =⃗
DU /1 B6/ 1 A 4 /1 0
⃗ +⃗+⃗ =⃗
M M A
M
D⃗ /1
U
0A
B⃗
6/1
A
A⃗4/1
J'isole le levier 1

11. Application du PFS
Le levier est en équilibre si :
⃗} +{⃗ } +{⃗ } ={⃗ }
{T D⃗ A T B⃗ A T A⃗ A 0
U./1 6/1 4/1
D'où le système suivant :
Résolution :
{⃗ +⃗ +⃗ =⃗
DU /1 B6/ 1 A 4 /1 0
⃗ +⃗+⃗ =⃗
M M A
M
D⃗ /1
U
0A
B⃗
6/1
A
A⃗4/1
J'isole le levier 1
∑ F x =0 → 0+B x + Ax =0

12. Application du PFS
Le levier est en équilibre si :
⃗} +{⃗ } +{⃗ } ={⃗ }
{T D⃗ A T B⃗ A T A⃗ A 0
U./1 6/1 4/1
D'où le système suivant :
Résolution :
{⃗ +⃗ +⃗ =⃗
DU /1 B6/ 1 A 4 /1 0
⃗ +⃗+⃗ =⃗
M M A
M
D⃗ /1
U
0A
B⃗
6/1
A
A⃗4/1
J'isole le levier 1
∑ F x =0 → 0+B x + Ax =0
∑ F y =0 →−20+ B y + A y =0

13. Application du PFS
Le levier est en équilibre si :
⃗} +{⃗ } +{⃗ } ={⃗ }
{T D⃗ A T B⃗ A T A⃗ A 0
U./1 6/1 4/1
D'où le système suivant :
Résolution :
{⃗ +⃗ +⃗ =⃗
DU /1 B6/ 1 A 4 /1 0
⃗ +⃗+⃗ =⃗
M M A
M
D⃗ /1
U
0A
B⃗
6/1
A
A⃗4/1
J'isole le levier 1
∑ F x =0 → 0+B x + Ax =0
∑ F y =0 →−20+ B y + A y =0
∑ M A=0 →(∥D∥×d D )+(∥B∥×d B)+(∥ ⃗ ∥×d A )=0
⃗ ⃗ A

14. Application du PFS
Le levier est en équilibre si :
⃗} +{⃗ } +{⃗ } ={⃗ }
{T D⃗ A T B⃗ A T A⃗ A 0
U./1 6/1 4/1
D'où le système suivant :
Résolution :
{⃗ +⃗ +⃗ =⃗
DU /1 B6/ 1 A 4 /1 0
⃗ +⃗+⃗ =⃗
M M A
M
D⃗ /1
U
0 A
B⃗
6/1
A
A⃗4/1
J'isole le levier 1
∑ F x =0 → 0+B x + Ax =0 d =0 A
∑ F y =0 →−20+ B y + A y =0
∑ M A=0 →(∥D∥×d D )+(∥B∥×d B)+(∥ ⃗ ∥×d A )=0
⃗ ⃗ A
−( D y×97)+( B x ×5)+( B y ×22)=0
Théorème de Varignon

15. Application du PFS
Le levier est en équilibre si :
⃗} +{⃗ } +{⃗ } ={⃗ }
{T D⃗ A T B⃗ A T A⃗ A 0
U./1 6/1 4/1
D'où le système suivant :
Résolution :
{⃗ +⃗ +⃗ =⃗
DU /1 B6/ 1 A 4 /1 0
⃗ +⃗+⃗ =⃗
M M A
M
D⃗ /1
U
0A
B⃗
6/1
A
A⃗4/1
J'isole le levier 1
∑ F x =0 → 0+B x + Ax =0
∑ F y =0 →−20+ B y + A y =0
∑ M A=0 →(∥D∥×d D )+(∥B∥×d B)+(∥ ⃗ ∥×d A )=0
⃗ ⃗ A
−( D y×97)+( B x ×5)+( B y ×22)=0

16. Application du PFS
J'isole le levier 1

17. Application du PFS
Nous sommes donc face à un système de 3 équations à 4 inconnues :
J'isole le levier 1

18. Application du PFS
Nous sommes donc face à un système de 3 équations à 4 inconnues :
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−( Dy ×97)+( Bx×5)+(By ×22)=0
J'isole le levier 1

19. Application du PFS
Nous sommes donc face à un système de 3 équations à 4 inconnues :
{
0+Bx +A x=0
Une inconnue de trop, il faut simplifier
−20+By +Ay =0
−( Dy ×97)+( Bx×5)+(By ×22)=0
J'isole le levier 1

20. Application du PFS
Nous sommes donc face à un système de 3 équations à 4 inconnues :
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−( Dy ×97)+( Bx×5)+(By ×22)=0
J'isole le levier 1
Simplification : Expression de B x (B y )

21. Application du PFS
Nous sommes donc face à un système de 3 équations à 4 inconnues :
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−( Dy ×97)+( Bx×5)+(By ×22)=0
J'isole le levier 1
Simplification : Expression de B x (B y )
B inconnu... Mais quelque soit le sens de B :

22. Application du PFS
Nous sommes donc face à un système de 3 équations à 4 inconnues :
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−( Dy ×97)+( Bx×5)+(By ×22)=0
J'isole le levier 1
Simplification : Expression de B x (B y )
B inconnu... Mais quelque soit le sens de B :
{
∥Bx∥
tan(25)=
∥By∥
Bx de signe opposé à By

23. Application du PFS
Nous sommes donc face à un système de 3 équations à 4 inconnues :
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−( Dy ×97)+( Bx×5)+(By ×22)=0
J'isole le levier 1
Simplification : Expression de B x (B y )
B inconnu... Mais quelque soit le sens de B :
{
∥Bx∥
tan(25)=
∥By∥
Bx de signe opposé à By
→ B x =−B y ×tan 25

24. Application du PFS
J'isole le levier 1

25. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
J'isole le levier 1

26. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
J'isole le levier 1

27. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
J'isole le levier 1

28. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
J'isole le levier 1
3

29. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
J'isole le levier 1
3 19,66 B y =1940

30. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
J'isole le levier 1
3 19,66 B y =1940
1940
∥B y∥= =98,67
19,66

31. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
Moment positif : By doit monter J'isole le levier 1
3 19,66 B y =1940 pour que le moment /A soit positif
1940
∥B y∥= =98,67
19,66

32. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
Moment positif : By doit monter J'isole le levier 1
3 19,66 B y =1940 pour que le moment /A soit positif
1940
∥B y∥= =98,67
19,66

33. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
Moment positif : By doit monter J'isole le levier 1
3 19,66 B y =1940 pour que le moment /A soit positif
1940
∥B y∥= =98,67
19,66
B x =−B y ×tan 25=−46,01

34. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
Moment positif : By doit monter J'isole le levier 1
3 19,66 B y =1940 pour que le moment /A soit positif
1940
∥B y∥= =98,67
19,66
B x =−B y ×tan 25=−46,01

35. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
Moment positif : By doit monter J'isole le levier 1
3 19,66 B y =1940 pour que le moment /A soit positif
1940
∥B y∥= =98,67
19,66
B x =−B y ×tan 25=−46,01
2

36. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
Moment positif : By doit monter J'isole le levier 1
3 19,66 B y =1940 pour que le moment /A soit positif
1940
∥B y∥= =98,67
19,66
B x =−B y ×tan 25=−46,01
2 A y =−78,67

37. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
Moment positif : By doit monter J'isole le levier 1
3 19,66 B y =1940 pour que le moment /A soit positif
1940
∥B y∥= =98,67
19,66
B x =−B y ×tan 25=−46,01
2 A y =−78,67

38. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
Moment positif : By doit monter J'isole le levier 1
3 19,66 B y =1940 pour que le moment /A soit positif
1940
∥B y∥= =98,67
19,66
B x =−B y ×tan 25=−46,01
2 A y =−78,67
1

39. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
Moment positif : By doit monter J'isole le levier 1
3 19,66 B y =1940 pour que le moment /A soit positif
1940
∥B y∥= =98,67
19,66
B x =−B y ×tan 25=−46,01
2 A y =−78,67
1 A x =46,01

40. Application du PFS
Système de 3 équations à 3 inconnues : résolvable
{
0+Bx +A x=0
−20+By +Ay =0
−(Dy ×97)+((−By ×tan (25))×5)+(By×22)=0
Résolution :
Moment positif : By doit monter J'isole le levier 1
3 19,66 B y =1940 pour que le moment /A soit positif
1940
∥B y∥= =98,67
19,66
B x =−B y ×tan 25=−46,01
2 A y =−78,67
1 A x =46,01

41. Bilan

42. Bilan
U
∣
D⃗ / 1 0
−20

43. Bilan
20
U
∣
D⃗ / 1 0
−20

44. Bilan
20
U
∣
D⃗ / 1 0
−20 6
∣
B⃗ /1 −46,01
98,67

45. Bilan
20
U
∣
D⃗ / 1 0
−20 6
∣
B⃗ /1 −46,01
98,67

46. Bilan
20
U
∣
D⃗ / 1 0
−20 6
∣
B⃗ /1 −46,01
98,67
B=√ (−46,01)2+98,67 2

47. Bilan
20
U
∣
D⃗ / 1 0
−20 6
∣
B⃗ /1 −46,01
98,67
B=√ (−46,01)2+98,67 2
B6 /1=108,87

48. Bilan
180,87 20
U
∣
D⃗ / 1 0
−20 6
∣
B⃗ /1 −46,01
98,67
B=√ (−46,01)2+98,67 2
B6 /1=108,87

49. Bilan
180,87 20
U
∣
D⃗ / 1 0
−20 6
∣
B⃗ /1 −46,01
98,67
4/
∣
A⃗ 1 46,01
−78,67
B=√ (−46,01)2+98,67 2
B6 /1=108,87

50. Bilan
180,87 20
U
∣
D⃗ / 1 0
−20 6
∣
B⃗ /1 −46,01
98,67
4/
∣
A⃗ 1 46,01
−78,67
B=√ (−46,01)2+98,67 2
B6 /1=108,87

51. Bilan
180,87 20
U
∣
D⃗ / 1 0
−20 6
∣
B⃗ /1 −46,01
98,67
4/
∣
A⃗ 1 46,01
−78,67
B=√ (−46,01)2+98,67 2 A= √ 46,012+(−78,67)2
B6 /1=108,87

52. Bilan
180,87 20
U
∣
D⃗ / 1 0
−20 6
∣
B⃗ /1 −46,01
98,67
4/
∣
A⃗ 1 46,01
−78,67
B=√ (−46,01)2+98,67 2 A= √ 46,012+(−78,67)2
B6 /1=108,87 A 4/ 1=91,13

53. Bilan
180,87 20
91,13
U
∣
D⃗ / 1 0
−20 6
∣
B⃗ /1 −46,01
98,67
4/
∣
A⃗ 1 46,01
−78,67
B=√ (−46,01)2+98,67 2 A= √ 46,012+(−78,67)2
B6 /1=108,87 A 4/ 1=91,13

54. The end !
E. Bugnet