1. Analyse des systèmes matériels
Hyperstaticité des structures
E. Bugnet

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E. Bugnet

3. Généralités

4. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :

5. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments

6. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)

7. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)

8. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :

9. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique

10. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique

11. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
Posons W = ∑ liaison
d ° −6 n dans l'espace

12. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
Posons W = ∑ liaison
d ° −6 n dans l'espace
W =∑ d ° −3 n dans le plan
liaison

13. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
Posons W = ∑ liaison
d ° −6 n dans l'espace
W =∑ d ° −3 n dans le plan
liaison
W, ou le degré d’hyperstaticité, caractérise la nature de la structure ou du système matériel :

14. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
Posons W = ∑ liaison
d ° −6 n dans l'espace
W =∑ d ° −3 n dans le plan
liaison
W, ou le degré d’hyperstaticité, caractérise la nature de la structure ou du système matériel :
W > 0 : nb. d'inconnues > nb. d'équations → Système hyperstatique → STABLE

15. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
Posons W = ∑ liaison
d ° −6 n dans l'espace
W =∑ d ° −3 n dans le plan
liaison
W, ou le degré d’hyperstaticité, caractérise la nature de la structure ou du système matériel :
W > 0 : nb. d'inconnues > nb. d'équations → Système hyperstatique → STABLE
W = 0 : Système isostatique → STABLE

16. Généralités
Soit une structure composée de n éléments assemblés et un solide de référence : le sol.
On appellera :
Liaisons internes : liaisons entre les n éléments
Liaisons externes : liaisons entre la structure et le sol (appuis)
Degrés de liaison : nombre total d’inconnues de liaisons (internes et externes)
Si on étudie séparément l’équilibre des n éléments, nous obtenons :
dans l'espace : 6×n équations de statique
dans le plan : 3×n équations de statique
Posons W = ∑ liaison
d ° −6 n dans l'espace
W =∑ d ° −3 n dans le plan
liaison
W, ou le degré d’hyperstaticité, caractérise la nature de la structure ou du système matériel :
W > 0 : nb. d'inconnues > nb. d'équations → Système hyperstatique → STABLE
W = 0 : Système isostatique → STABLE
W < 0 : Système hypostatique → INSTABLE : mécanisme

17. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.

18. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.

19. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2

20. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2

21. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp

22. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
Stable

23. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
Stable

24. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2
2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
Stable

25. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2
2
2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
Stable

26. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2
2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
Stable

27. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2
2 2
2
2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
Stable

28. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2
2
2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
Stable

29. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
Stable

30. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
Stable

31. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
Stable

32. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable

33. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable Instable

34. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable Instable
Solution 2 : en ajoutant un contreventement

35. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable Instable
Solution 2 : en ajoutant un contreventement

36. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable Instable
Solution 2 : en ajoutant un contreventement

37. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable Instable
Solution 2 : en ajoutant un contreventement
o
W =d hyp=(15×2)−3×10=0

38. Application
Vérifier la stabilité transversale d’un portique de bâtiment.
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
W =d o =(2+2)−3×1=1
hyp
o
W =d hyp=(13×2)−3×9=−1
Stable Instable
Solution 2 : en ajoutant un contreventement
o
W =d hyp=(15×2)−3×10=0
Stable

39. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe

40. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :

41. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :

42. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Aux appuis :
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique

43. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
Aux appuis :
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique

44. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
Aux appuis :
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique

45. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
x3
x2
x1
Je libère 3 inconnues (hyperstatiques).
Aux appuis :
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique

46. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
x3
x2
x1
Je libère 3 inconnues (hyperstatiques).
Il devient possible de chercher les
diagrammes en fonction des 3
inconnues hyperstatiques et des 3
inconnues de liaison.
Aux appuis :
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique

47. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
x3
x2
x1
Je libère 3 inconnues (hyperstatiques).
Il devient possible de chercher les
diagrammes en fonction des 3
inconnues hyperstatiques et des 3
inconnues de liaison.
3 équations de statique / 6 inconnues
Aux appuis : → hyperstatique de d° 3
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique

48. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
x3
x2
x1
Je libère 3 inconnues (hyperstatiques).
Il devient possible de chercher les
diagrammes en fonction des 3
inconnues hyperstatiques et des 3
inconnues de liaison.
3 équations de statique / 6 inconnues
Aux appuis : → hyperstatique de d° 3
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique
Hyperstaticité externe: nb. de liaisons surabondantes entre la structure et le sol

49. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
x3
x2
x1
Je libère 3 inconnues (hyperstatiques).
Il devient possible de chercher les
diagrammes en fonction des 3
inconnues hyperstatiques et des 3
inconnues de liaison.
3 équations de statique / 6 inconnues
Aux appuis : → hyperstatique de d° 3
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique
Hyperstaticité externe: nb. de liaisons surabondantes entre la structure et le sol
Hyperstaticité interne: nb. de liaisons surabondantes à l'intérieur de la structure, dues à la
présences de cadres fermés

50. Hyperstaticité interne et hyperstaticité externe
Soit la structure suivante :
Je crée une coupe locale :
x3
x2
x1
Je libère 3 inconnues (hyperstatiques).
Il devient possible de chercher les
diagrammes en fonction des 3
inconnues hyperstatiques et des 3
inconnues de liaison.
3 équations de statique / 6 inconnues
Aux appuis : → hyperstatique de d° 3
3 équations / 3 inconnues
→ isostatique
Hyperstaticité externe: nb. de liaisons surabondantes entre la structure et le sol
Hyperstaticité interne: nb. de liaisons surabondantes à l'intérieur de la structure, dues à la
présences de cadres fermés
° ° °
d hyp =d hyp interne +d hyp externe

51. Méthode des cadres
Cette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structure
qui présente une hyperstaticité interne.

52. Méthode des cadres
Cette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structure
qui présente une hyperstaticité interne.
Un cadre ouvert est isostatique. Nous pouvons déterminer
dans n’importe quelle section les sollicitations N, Vy, et Mfz en
utilisant le torseur de gauche ou de droite.

53. Méthode des cadres
Cette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structure
qui présente une hyperstaticité interne.
Un cadre ouvert est isostatique. Nous pouvons déterminer
dans n’importe quelle section les sollicitations N, Vy, et Mfz en
utilisant le torseur de gauche ou de droite.

54. Méthode des cadres
Cette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structure
qui présente une hyperstaticité interne.
Un cadre ouvert est isostatique. Nous pouvons déterminer
dans n’importe quelle section les sollicitations N, Vy, et Mfz en
utilisant le torseur de gauche ou de droite.
Un cadre fermé est hyperstatique intérieurement de degré 3.
Une coupure totale, qui le rend ouvert, fait apparaître

55. Méthode des cadres
Cette méthode permet de déterminer facilement le degré d’hyperstaticité d’une structure
qui présente une hyperstaticité interne.
Un cadre ouvert est isostatique. Nous pouvons déterminer
dans n’importe quelle section les sollicitations N, Vy, et Mfz en
utilisant le torseur de gauche ou de droite.
Un cadre fermé est hyperstatique intérieurement de degré 3.
Une coupure totale, qui le rend ouvert, fait apparaître 3 inconnues hyperstatiques

56. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.

57. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :

58. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre
d° de liberté = 0
d° d'hyperstaticité = 3

59. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre
d° de liberté = 0
d° d'hyperstaticité = 3

60. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2

61. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2

62. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2 d° d'hyperstaticité = 1

63. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2 d° d'hyperstaticité = 1

64. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre 1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2 d° de liberté = 3
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2 d° d'hyperstaticité = 1 d° d'hyperstaticité = 0

65. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre 1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2 d° de liberté = 3
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2 d° d'hyperstaticité = 1 d° d'hyperstaticité = 0
Toute structure est constituée d’un certain nombre de cadres. D’où la méthode suivante :

66. Méthode des cadres
La présence dans un cadre de degrés de liberté supprime autant d’inconnues hyperstatiques
qu’il y a de degré de libertés.
Exemples :
1 cadre 1 cadre 1 cadre 1 cadre
d° de liberté = 0 d° de liberté = 1 d° de liberté = 2 d° de liberté = 3
d° d'hyperstaticité = 3 d° d'hyperstaticité = 2 d° d'hyperstaticité = 1 d° d'hyperstaticité = 0
Toute structure est constituée d’un certain nombre de cadres. D’où la méthode suivante :
=3×n−∑ d
° °
d hyp liberté

67. Cas particulier du treillis
S'il est possible d'utiliser la méthode générale pour calculer le degré d'hyperstaticité dans
un treillis, la méthode des cadres pose problème en cas d'hyperstaticité interne.

68. Cas particulier du treillis
S'il est possible d'utiliser la méthode générale pour calculer le degré d'hyperstaticité dans
un treillis, la méthode des cadres pose problème en cas d'hyperstaticité interne.
Il existe un autre approche concernant les treillis, dans le cas de treillis articulés :

69. Cas particulier du treillis
S'il est possible d'utiliser la méthode générale pour calculer le degré d'hyperstaticité dans
un treillis, la méthode des cadres pose problème en cas d'hyperstaticité interne.
Il existe un autre approche concernant les treillis, dans le cas de treillis articulés :
°
Hyperstaticité interne : d hyp =b−2×n+3
b : nombre de barres
n : nombre de nœuds

70. Cas particulier du treillis
S'il est possible d'utiliser la méthode générale pour calculer le degré d'hyperstaticité dans
un treillis, la méthode des cadres pose problème en cas d'hyperstaticité interne.
Il existe un autre approche concernant les treillis, dans le cas de treillis articulés :
°
Hyperstaticité interne : d hyp =b−2×n+3
b : nombre de barres
n : nombre de nœuds
Hyperstaticité externe : se calcule avec l'une des méthodes précédentes.

71. Résumé

72. Résumé
Méthode générale (ou méthode des éléments) :
=∑ d
° °
d hyp liaison −3×n

73. Résumé
Méthode générale (ou méthode des éléments) :
=∑ d
° °
d hyp liaison−3×n
Méthode des cadres :
=3×n−∑ d
° °
d hyp liberté

74. Résumé
Méthode générale (ou méthode des éléments) :
=∑ d
° °
d hyp −3×n
liaison
Méthode des cadres :
=3×n−∑ d
° °
d hyp liberté
Cas du treillis :
° °
d hyp =(b−2×n+3)+d hyp externe

75. The end !
E. Bugnet