Théorèmes limites

Loi des Grands Nombres
Théorème central limite
Approximation
conclusion
Exemple introductif
L’inégalité de Tchebychev
Convergence
Probabilités pour ingénieurs
Chapitre 4 : Théorèmes Limites
I. MEDARHRI
ENSMR, École Nationale Supérieure des Mines de Rabat
2019-2020.
I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
On lance n fois un dé (non truqués) à six faces et on note Xi le
résultat du ie lancer, puis on calcule la moyenne des n lancers
Xn =
1
n
Σn
i=1Xi . Qu’obtient-on lorsque n devient grand ?

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Xn =
1
n
Σn
L’intuition laisse penser que lorsque n devient grand, cette moyenne
devient proche de l’espérance d’un des lancers Xi , c’est-à-dire de
E(Xi ) = 1 ∗
1
6
+ 2 ∗
1
6
+ 3 ∗
1
6
+ 4 ∗
1
6
+ 5 ∗
1
6
+ 6 ∗
1
6
= 3.5.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Xn =
1
n
Σn
L’intuition laisse penser que lorsque n devient grand, cette moyenne
devient proche de l’espérance d’un des lancers Xi , c’est-à-dire de
E(Xi ) = 1 ∗
1
6
+ 2 ∗
1
6
+ 3 ∗
1
6
+ 4 ∗
1
6
+ 5 ∗
1
6
+ 6 ∗
1
6
= 3.5. On
voudrait donc pouvoir dire que la limite de Xn lorsque n −→ +∞
vaut 3.5. C’est ce qu’on appelle la loi des grands nombres. Pour
cela, il faut d’abord définir ce que signifie converger pour une suite
de variables aléatoires, puis prouver qu’il y a bien convergence.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Théorème : inégalité de Tchebychev
Soit X une variable aléatoire d’espérance µ = E(X) et de variance
finie σ2 = V (X). Alors pour tout réel strictement positif :
P (|X − µ| ≥ ) ≤
σ2
2
Intuition : La probabilité de s’éloigner de la moyenne est d’autant
plus petite que la variance est petite

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Théorème : inégalité de Tchebychev
Soit X une variable aléatoire d’espérance µ = E(X) et de variance
finie σ2 = V (X). Alors pour tout réel strictement positif :
P (|X − µ| ≥ ) ≤
σ2
2
Intuition : La probabilité de s’éloigner de la moyenne est d’autant
plus petite que la variance est petite
Cas particulier
On pose = kσ, l’inégalité de Tchebychev indique que:
P (|X − µ| ≥ kσ) ≤
σ2
k2σ2
=
1
k2
Ainsi, pour tout variable aléatoire, la probabilité d’une déviation de
la moyenne de plus de k écart-type est inférieurs à
1
k2
.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Les valeurs comprises entre ±1.5
écart-type sont celles qui se
situent entre les valeurs 19.96 et
27.54. Selon l’IBT, il doit y en
avoir au moins 1 − (1/1.52), soit
0.56.
Si l’on procède au décompte, on
constate qu’il y en a 17 sur 20.
soit 0,85.
L’IBT est bien vérifiée.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Comparaison des conclusions de l’IBT avec ceux d’une loi normale.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Différents types de convergences
Definition
Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires réelles i.i.d.
On dit que (Xn) converge en Probabilité vers X ssi
∀ε 0, lim
n→+∞
P (|Xn − X| ≥ ε) = 0.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Definition
∀ε 0, lim
n→+∞
P (|Xn − X| ≥ ε) = 0.
On dit que (Xn) converge en moyenne vers X ssi:
lim
n→+∞
E(|Xn − X|) = 0.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Definition
∀ε 0, lim
n→+∞
P (|Xn − X| ≥ ε) = 0.
On dit que (Xn) converge en moyenne vers X ssi:
lim
n→+∞
E(|Xn − X|) = 0.
On dit que (Xn) converge presque-sûrement vers X ssi:
P({w, lim
n→+∞
|Xn(w) − X(w)| = 0}) = 1.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Ces définitions ne sont pas équivalentes.
Exemple
Soit (Xn)n variables aléatoires de Bernoulli tq:
P(Xn = 1) = 1
n ; P(Xn = 0) = 1 − 1
n
I (Xn)n tend en probabilité vers X=0: ∀ ∈]0, 1[
limn→+∞ P (|Xn| ≥ ε) = 0
I (Xn)n tend en moyenne vers X=0: limn→+∞ E(Xn) = 0
I (Xn)n ne peut pas converger presque-sûrement vers X=0;
I Dans cet exemple il y a que la convergence en probabilité :
Soit (Yn)n variables aléatoires de Bernoulli tq:
P(Yn = n2) = 1
n ; P(Yn = 0) = 1 − 1
n

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Théorème : La Loi des Grands Nombres
Soit X une variable aléatoire d’espérance µ = E(X), alors pour
toute suite infinie (Xn)n de v.a. deux à deux indépendantes et de
même loi que X, la suite des v.a.
Xn =
1
n
Σn
i=1Xi
Converge en probabilité vers µ lorsque n tend vers l’infini.
Intuition : La moyenne arithmétique Xn converge (en probabilité)
vers l’espérance statistique µ = E(X)

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Loi Forte des Grands Nombres
La Loi des Grands Nombres que nous venons d’étudier est souvent
appelé ”Loi Faible des Grands Nombres” pour la différencier de
la ”Loi Forte des Grands Nombres”.
La loi faible des grands nombres ne correspond pas exactement au
fait que la moyenne arithmétique converge vers l’espérance, i.e. à
l’intuition qu’en lançant une pièce un grand nombre de fois la
proportion de ”face” atteigne véritablement 1/2.
Pour cela, il faut utiliser la ”Loi Forte des Grands Nombres” qui
indique que
P

lim
n→∞
Xn = X

= 1
on parlera alors de convergence presque sure.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Remarque
Il est frappant de voir qu’on peut commencer avec une expérience
dont on ne connait pas grand chose et, en prenant la moyenne,
obtenir une expérience dont on peut prédire le résultat avec un fort
niveau de certitude.
Exemple 1:
Pour une série de lancers de dés (non truqués), si Xi représente le
résultat du ie lancer, alors les Xi sont des variables indépendantes
et toutes de même loi (loi uniforme sur {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
L’espérance statistique des Xi est bien définie, donc on peut
appliquer la loi des grands nombres : la moyenne arithmétique
Xn =
1
n
Σn
i=1Xi converge vers E(Xi ) = 3.5 lorque n tend vers +∞.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
R project
Simulation numérique de l’exemple 1 avec le langage de
programmation R project.
n=10
dus=sample(1:6,size=n,replace=TRUE)
smean=mean(dus)
smean
[1] 4.15
n=1000
[1] 3.459

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Exemple : Expériences de Bernouilli
Considérons le cas important de n expériences de Bernoulli avec
une probabilité p de succès. Xi = 1 si la ie issue est un succès, 0
sinon.
Alors Sn = X1 + ... + Xn est le nombre de succès en n épreuves et
µ = E(X1) = p. La Loi (Faible) des Grands Nombres indique que
lim
n→+∞
P

≥ ε

= 0.
Ainsi, si l’expérience est répétée un grand nombre de fois, on peut
s’attendre à ce que la proportion de succès soit proche de p.
Cela montre que le modèle mathématique de probabilité est
cohérent avec l’interprétation en termes de fréquence des
probabilités.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
Exemple 2: Expériences de Bernouilli
Considérons le cas particulier de n ”Pile ou Face” avec Sn le
nombre de ”Face”. La variable aléatoire
Sn
n
représente alors la
proportion de ”Face” et est comprise entre 0 et 1.
La Loi des Grands Nombres prédit que le résultat de cette variable
aléatoire devrait, pour n grand, être proche de
1
2
.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Convergence
R project
Simulation numérique de l’exemple 2 avec le langage de
programmation R project.
n=10
s=sample(c(’P’,’F’),size=n,replace=TRUE)
count=0
for(i in 1:n)
if(s[i]==’F’)
count=count+1
fr=count/n
[1] 0.2
pour n=10000
[1] 0.4964

Approximation
conclusion
Le deuxième théorème fondamental des probabilités est le
Théorème Central Limite.
Ce théorème indique que si Sn est la somme de n v.a.
mutuellement indépendantes et identiquement distribuées, alors la
distribution de Sn peut être correctement approximé par la densité
normale (et ce quelque soit la distribution initiale!).

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Soient n nombres choisit aléatoirement dans l’intervalle [0, 1] avec
une densité uniforme. Notons ces choix X1, X2, ..., Xn et leur
somme Sn = X1 + X2 + ... + Xn. En graphant la densité de Sn en
fonction de n, on remarque que cette somme à une forme de loi
normale mais est centrée en n=2 et s’applatit quand n augmente.

Approximation
conclusion
Exemple introductif
Afin de comparer la forme de ces densités pour différentes valeurs
de n, il est utile de centrer et réduire Sn en déffinissant
S∗
n =
Sn − nµ
σ
√
n
,. Ainsi pour tout n, on a E(S∗
n ) = 0 et V (S∗
n ) = 1.
La fonction de densité de S∗
n est alors une version centrée-réduite
de la densité de Sn

Approximation
conclusion
Soit X1, X2, ... une suite de variables aléatoires réelles définies sur
le même espace de probabilité, indépendantes et identiquement
distribuées suivant la même loi D. Supposons que l’espérance µ et
l’écart-type σ de D existent et soient finis avec σ 6= 0.
Considérons la somme Sn = X1 + X2 + ... + Xn. Alors
l’espérance de Sn est nµ et;
son écart-type vaut σ
√
n.
De plus, quand n est assez grand, la loi normale N(nµ, nσ2) est
une bonne approximation de la loi de Sn.

Approximation
conclusion
La suite de variables aléatoires (Zi )16i6n converge en loi vers une
variable aléatoire Z, définie sur le même espace probabilisé, et de
loi normale centrée réduite N(0, 1) lorsque n tend vers l’infini.
Cela signifie que si Φ est la fonction de répartition de N(0, 1),
alors pour tout réel z :
lim
n→∞
P(Zn ≤ z) = Φ(z),
ou, de façon équivalente :
lim
n→∞
P

Xn − µ
σ/
√
n
≤ z

= Φ(z)

Approximation
conclusion
Remarque
Une telle approximation est en général valide lorsque n ≥ 30. Mais
dans certains cas, notamment lorsque la distribution de X est
symétrique (une uniforme par exemple), la convergence peut alors
avoir lieu pour de petites valeurs de n telles que n = 10 et dans
d’autres cas, cette convergence n’a lieu que si n ≥ 100

Approximation
conclusion
Exemple
Exemple 2:
On lance un dé 100 fois. Quelle est la probabilité que la somme
des résultats soit entre 340 et 360 ?

Approximation
conclusion
Exemple
Exemple 3:
Un échantillon de taille n = 50 est prélevé d’une population
distribuée selon une loi uniforme dans l’intervalle [0, 1]. Calculer
(approximativement) la probabilité que la somme des valeurs
observées dans l’échantillon soit supérieure à 28.

Approximation
conclusion
Approximation en loi
Approximation vers la loi Normale
Approximation d’une binomiale par une Loi de
poisson
Proposition 1:
Soit Xn des v.a telle que Xn v B(n, pn) et Y v P(λ) alors pour
tout 0 ≤ k ≤ n, on a
Si lim
n→+∞
npn = λ, alors lim
n→+∞
P(Xn = k) = P(Y = k).
On dit que Xn converge en loi vers la loi de Poisson et on écrit :
Xn
L
−
−
−
−
→
n→+∞
Y

Approximation
conclusion
En pratique
Si n est grand et p est petit (de sorte que np est modéré) alors
X suit approximativement une loi de Poisson P(λ), où
λ = np :
On peut dire que X ≈ Y à partir du moment où n ≥ 30 et
np ≤ 5
∀k ∈ [0, n], P(X = k) ≈ P(Z = k)
Illustration: on pourra constater sur les histogrammes de la
figure2 que l’écart entre la loi binomiale (pour n=50 et p=0.1)
et la loi de Poisson (pour λ = np = 5) est inférieur à 1%

Approximation
conclusion
Calcul avec des logiciels
Excel
Générer un vecteur X = 0, 1, 2, . . . , 50 sur un tableau d’Excel,
LOI.BINOMIALE.N(x;50;0,1;FAUX)
LOI.POISSON.N(x;5;FAUX)
R
Générer un vecteur x: x=seq(0,50,1),
px = dbinom(x = x, size = 50, prob = 0.1) ;
plot ( x, px, type = ”h”, xlab = ”x”, ylab = ”p(x)”,
main=”fonction de masse de X ∼ B(n = 50, p = 0.1)”).
py = dpois(x = x, lambda = 5) ;
plot ( x, py, type = ”h”, xlab = ”x”, ylab = ”p(x)”,
main=”fonction de masse de X ∼ Pois(lambda = 5)”).

Approximation
conclusion
Illustration sous Excel
Figure: Illustration des resultats sous Excel.

Approximation
conclusion
L’Ecart entre la loi Binomiale et loi du
poisson
Figure: Histogramme des lois B(n = 50, p = 0.1) et P(λ = 5) et leur
écart. I. MEDARHRI Probabilités pour ingénieurs, ENSMR

Approximation
conclusion
En pratique
L’intérêt de cette approximation est que pour n grand il est
beaucoup plus facile de calculer les probabilités d’une loi de Poisson
que celles d’une loi Binomiale, à cause des coefficients Ck
n qui
nécessitent le calcul de n! ou du triangle de Pascal correspondant.
Cependant pour que l’approximation reste valable il faut que np
reste petit, de ce fait on dit que la loi de Poisson est bien
adaptée pour estimer les ”événements rares”.

Approximation
conclusion
Exemple 4:
A chaque minute un client peut entrer dans un magasin avec une
probabilité p = 0.05. On suppose qu’un seul client peut entrer à
chaque minute et que toutes les entrées de clients sont
indépendantes.
I Quelle est la probabilité qu’exactement 5 clients entrent
en une heure ?

Approximation
conclusion
Approximation d’une binomiale par une Loi
Normale
Si Xn suit une loi binomiale B(n, p), alors Xn =
n
X
i=1
Yi
où les Yi sont des variables indépendantes de loi de Bernoulli(p) :
P(Yi = 1) = p et P(Yi = 0) = 1 − p.
D’après le théorème central limite,
√
n
σ
(
1
n
n
X
i=1
Yi − µ) converge en loi vers N(0, 1),
avec µ = E(Y1) = p et σ2 = V (Y1) = p(1 − p).

Approximation
conclusion
Approximation d’une binomiale par une Loi
Normale
Autrement dit, on a le résultat suivant :
Proposition 2:
Soit (Xn)n≥0 une suite de variables aléatoires telle que pour tout n
la loi de Xn est B(n, p) où p est fixé.
Soit Z une variable de loi N(0, 1).
Alors la loi de
√
n
p
p(1 − p)
(Xn − p) converge vers celle de Z,

Approximation
conclusion
En pratique
Si n est grand alors X suit approximativement une loi de
normale N(µ = np, σ2 = np(1 − p)).
Cette approximation est bonne si:
np 5 lorsque p ≤ 1
2.
n(1 − p) 5 lorsque p 1
2 .
Illustration: on pourra constater sur l’histogramme de la
figure 3 qu’on a la courbe gaussienne.

Approximation
conclusion
Calcul avec des logiciels
Excel
Générer un vecteur X = 0, 1, 2, . . . , 100 sur un tableau
d’Excel,
LOI.BINOMIALE.N(x;100;0,2;FAUX)
R
Générer un vecteur x: x=seq(0,50,1),
px = dbinom(x = x, size = 100, prob = 0.2) ;
plot ( x, px, type = ”h”, xlab = ”x”, ylab = ”p(x)”,
main=”fonction de masse de X ∼ B(n = 100, p = 0.2)”).

Approximation
conclusion
Visualisation de la courbe gaussienne à partir
de la loi Binomiale
Figure: Histogramme de la loi binomiale.

Approximation
conclusion
Exemple 5:
Reprenons l’exemple du magasin, mais supposons cette fois que
p = 0.5.
I Quelle est la probabilité qu’en une heure soient entrés
plus de 20 clients ?

Approximation
conclusion
Exemple 6:
I On lance une pièce 200 fois. Quelle est la probabilité
d’obtenir au moins 110 piles ?

Approximation
conclusion
Exemple
Exemple 7:
Une compagnie aérienne constate que 15% des personnes avec des
réservations de places ne se présentent pas au guichet. En
conséquence, elle vend 75 places pour un vol assuré par un avion
de capacité 73 places.
I Quelle est la probabilité que chaque personne qui se présente
au guichet ait une place ?

Approximation
conclusion
Résumé
Chemin vers tests statistiques
Figure: Approximation des lois.

Approximation
conclusion
Résumé
L’une des fonctions des statistiques est de proposer, à partir
d’observations d’un phénomène aléatoire, une estimation d’un
des paramètres du phénomène.

Approximation
conclusion
Résumé
L’une des fonctions des statistiques est de proposer, à partir
d’observations d’un phénomène aléatoire, une estimation d’un
des paramètres du phénomène.
Les statistiques servent aussi à prendre des décisions. Peut on
considérer que le nombre de consultations de Google par
seconde suit il une loi de Poisson ? Les gènes pilotant la
couleur des yeux et ceux des cheveux sont ils sur les mêmes
chromosomes ?.....

Approximation
conclusion
Résumé
Il y a deux points communs (au moins) à toutes ces questions
: leurs réponses sont des oui-non et le phénomène sous-jacent
est aléatoire.

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