Ce document présente une étude détaillée sur le comportement d'un trébuchet médiéval, incluant la modélisation théorique et numérique de son fonctionnement. L'étude aborde l'établissement d'équations régissant le mouvement du trébuchet, la phase de vol des projectiles, ainsi que la conception d'un modèle numérique sous SolidWorks. La conclusion souligne la possibilité d'optimiser les performances du trébuchet tout en prenant en compte les limites imposées par les conditions extérieures.

1. Doublet Pierre
Renard Pierre
PCSI 1
TIPE
(Reconstitution de trébuchet médiéval au château des Baux-de-Provence.)
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2. PLAN
 Problématique : Comment prévoir le comportement d’une arme de jet à contrepoids
de type trébuchet ?
Introduction……………………………………………………………………………………………………………………………………p.3.
I. Etude théorique d’un modèle physique de trébuchet.………………………………………………..p.4.
1. Etablissement d’un système d’équation.
2. Résolution avec l’outil Maple.
3. Etude de la phase de vol.
II. Modélisation sous Solidworks……………………………………………………………………………………p.12.
1. Conception de la maquette numérique.
2. Exploitation avec Meca3D.
Conclusion……………………………………………………………………………………………………………………………………p.15.
Bibliographie……………………………………………………………………………………..…………………………………………p.16.
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3. INTRODUCTION
Les ingénieurs du monde entier s’efforcent depuis des siècles à mettre leurs compétences au
service du génie militaire dans le but de concevoir des mécanismes toujours plus élaborés destinés à
faire la guerre. Les Romains furent parmi les premiers avec
leurs onagres (par analogie avec l’âne sauvage, equus
onager, qui rue lance des pierres loin derrière lui en cas de
danger) et autres balistes, à présenter de telles machines
au combat.
Toutefois, la période la plus prolifique en la
Trébuchet sarrasin, issu du Traité d’armurerie
matière reste sans nul doute le Moyen-Age, qui a été le
composé pour Saladin, de l’ingénieur arabe
Murdâ al-Tarsûsî. théâtre de la mise au point d’un
nombre conséquent de machines
de guerre, comme la pierrière, la bricole, le mangonneau, le couillard ou
encore le trébuchet.
Le trébuchet était une arme terrifiante ; si terrifiante qu’elle était
capable de provoquer la reddition immédiate du plus puissant des
seigneurs avant même d’avoir été utilisée si celui-ci en apercevait la
silhouette aux alentours de son château. Elle causait en effet des dégâts
considérables et aucune muraille n’était capable de réchapper à ses boulets.
Son nom vient de l’occitan « trebucca », qui signifie « qui apporte des Un couillard, dont la simple
ennuis ». Il ne faut pas moins d’une centaine de servants, artisans compris, vue suffit à en comprendre
l’étymologie selon
pour la manœuvrer, au rythme de un à deux tirs par heure, pour une portée Napoléon III.
d’environ 200 mètres avec des boulets d’une centaine de kilogrammes et
des contrepoids d’environ 6 tonnes.
C’est sur le trébuchet que portera notre étude, et nous nous demanderons dans quelle mesure il
est possible d’améliorer son comportement.
Nous nous attacherons tout d’abord à établir les différentes équations qui régissent son
mouvement, puis nous les résoudrons avec Maple pour étudier la phase de vol du projectile, et par la
suite nous modéliserons numériquement un trébuchet sous Solidworks.
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4. I. Etude théorique d’un modèle physique de trébuchet.
1. Etablissement d’un système d’équations.
Découpage de l’évolution en deux phases :
 Phase 1 : début du lancer → le boulet se désolidarise de la fronde .
 Phase 2 : le boulet se désolidarise de la fronde → le boulet entre en contact avec le sol .
Hypothèses simplificatrices :
 Le contrepoids { } est considéré fixe par rapport à la verge { }.
 Le CDG de l’ensemble { } se situe en car .
 La verge est un solide supposé indéformable.
 Le fil l est supposé idéal.
 Toutes les liaisons sont supposées parfaites.
 Le boulet { } est supposé sphérique, à répartition de masse sphérique.
 Le champ de pesanteur est uniforme.
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5.  Conditions initiales pour la phase 1:
̇ ̈
̇ ̈
̇
Et on sait que :
 Théorème du moment cinétique en O’ sur le système { }:
Seul le poids ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ s’applique sur le système, on néglige la tension ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ du boulet en A
devant ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
On a :
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
et ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
d’où, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
de plus, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Finalement,
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D’après le TMC, ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗
et ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
d’où ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Et : ⃗⃗⃗⃗ ( )
̇ ( )
Ou encore : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )
Finalement, ( ) (ED1)
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6.  PFD sur B pendant la phase 1 :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
On prend un modèle de Van Der Waals pour la réaction du sol :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (avec ,déterminé)
De plus, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ telle que ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ (avec le coefficient
de frottement dynamique qui vaut ici 0,33 si on suppose que le boulet repose dans une fronde en
cuir guidée sur une travée de chêne).
Par conséquent, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ seront très rapidement quasiment nuls dès que la valeur de
augmentera légèrement.
⃗⃗⃗⃗
Et ⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(avec ⃗ vecteur unitaire de B à A).
Or, on a : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
et on a vu que : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
D’où, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
De plus, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
D’où ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Finalement, et
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7. Or, donc
et : ⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
On ne prendra en compte les frottements de l’air sur le boulet ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ que lors de la deuxième phase.
On a donc :
en projection sur : ( )
d’où : ( ) ( ) (ED2)
Et en projection sur : ( )
D’où : ( ) ( ) (ED3)
(On ne réalise pas la projection sur car le problème est plan).
 Condition sur la longueur de la corde :
On a: ( ) ( )
On a donc : ( ) ( ) (ED4)
On obtient le système suivant :
( ) (ED1)
( ) ( ( ) ) (ED2)
( ) ( ( )) (ED3)
( ) ( ) (ED4)
2. Resolution avec l’outil Maple.
On obtient les courbes suivantes:
(avec )
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8. Le temps de rupture est déterminé à partir des résultats de Maple : il est choisi en faisant
un compromis entre le moment où la tension T est maximale, ce qui signifie que la corde cède devant
la force développée par le boulet, et le moment où la vitesse selon ⃗⃗⃗⃗ du boulet est maximale pour
assurer une portée et une vitesse d’impact sur l’objectif les plus grandes possibles. Ici on a
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9. Trajectoire du boulet pendant la phase 1.
3. Etude de la phase de vol.
Conditions initiales pour la phase 2 (obtenues avec Maple par optimisation) :
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10.  PFD sur B pendant la phase 2 :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
On prend un modèle de Stokes pour les frottements de l’air sur le boulet :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
avec la viscosité dynamique pour l’air à et le rayon du boulet en
mètres.
On a donc :
en projection sur : ( )
Et en projection sur : ( )
(On ne réalise pas la projection sur car le problème est plan).
On pose
Donc ( ) (ED5)
et ( ) (ED6)
On obtient :
et
 Détermination de et :
à , car est pris comme nouvelle origine des temps.
et
Ainsi, on obtient :
Par conséquent, en intégrant :
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11. et
 Détermination de :
A , le boulet touche le sol, on a donc :
On trace à l’aide de Maple :
Finalement,
Le point d’impact du boulet a donc pour abscisse :
 Equation de la trajectoire :
A partir de l’équation de , on a :
( )
On injecte cette expression de t dans l’expression de :
( ) ( ) ( )
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12. II. Modélisation sous Solidworks.
1. Conception de la maquette numérique.
Le point de départ pour la réalisation du modèle numérique a été l’image pourvue d’une
échelle ci-dessous :
(Source : www.wikipedia.org)
L’assemblage Solidworks a donc été réalisé à cette échelle, ce qui permettra d’obtenir des
résultats relativement proches de la réalité lors de la simulation.
Il comporte cinq pièces dont deux sous-
assemblages que constituent le bâti en chêne
formé des deux poteaux de 7 mètres de haut et du
socle, et la fronde qui joint la corde longue de 5
mètres au boulet de rayon 20 centimètres. Les
matériaux de la corde et de la liaison ont été choisi
de telle sorte que leur masse soit négligeable
devant celle du contrepoids et du boulet, et les
matériaux du contrepoids et du boulet ont été
configurés pour que leur masse volumique soit
conforme aux exigences de la réalité (en conséquence ici, le contrepoids fait environ 6 tonnes et le
boulet environ 100 kilogrammes). La flèche quant à elle est longue d’une dizaine de mètres et tout
en chêne.
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13. Sur l’image de gauche, on remarque les
différents composants et les contraintes qui y ont été
apportées, principalement des coaxialités et des
coïncidences.
Lors de la conception des pièces, beaucoup
de symétries ont été employées pour une
modification plus aisée des paramètres
géométriques.
2. Exploitation avec Meca3D.
Le principal obstacle dans cette simulation a été le fait que
l’extension de Solidworks
utilisée pour mener l’étude,
Meca3D, n’était pas assez
puissante pour prendre en
compte le détachement du
boulet, ce qui a contraint
l’encastrement de celui-ci en
bout de la corde. (De plus,
Solidworks ne prend pas en
compte les énergies
potentielles de déformations
qui siègent au sein de la verge).
L’ensemble met en jeu quatre liaisons pivots qui lui accordent 4
degrés de liberté, et a été soumis à une accélération de pesanteur de .
Lors du choix des paramètres de
calculs pour l’étude dynamique, les 4 pivots
ont été laissés libres et leur vitesse initiale
rendue nulle ce qui signifie que seul le poids
sera à l’origine du mouvement, comme le
montre l’onglet Meca3D.
Une fois l’étude effectuée, l’accès
aux normes des composantes verticales et
horizontales des vitesses et des
accélérations de n’importe quel point de
l’assemblage a été rendue possible mais l’on se restreindra bien entendu au boulet seul, ce qui
correspond à l’assemblage « fronde », dont les courbes sont visibles ci-après.
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15. Conclusion
Par une étude théorique, il est donc possible de déterminer à l’avance nombre de paramètres
régissant le fonctionnement du trébuchet, et d’optimiser ceux-ci en vue d’obtenir les meilleures
performances possibles lors de l’utilisation. De plus, le recours à des outils informatiques permet de
choisir les matériaux les plus adéquats et de conforter les résultats obtenus précédement à de
nouveaux issus de simulation.
Cependant, les conditions extérieures comme le vent ou l’humidité peuvent influer dans le
processus sans qu’il soit possible de les controller ou de prevoir leurs effets, et les simplifications
réalisées à l’occasion de l’établissement du modèle physique proposé peuvent également altérer les
résultats vis-à-vis de la réalité.
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16. Bibliographie
 L’art de la guerre au Moyen Age, Renaud Beffeyte, préface de Philippe Contamine, éditions
Histoire Ouest France, 2005.
 Mécanique Appliquée, (résistance des matériaux, mécanique des fluides,
thermodynamique), P. Agati, N. Mattera, éditions Dunod, 1990.
 www.wikipedia.org
 www.paperblog.fr
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