UE4 : Biostatistiques

Chapitre 8

Corrélation et régression
linéaire simple
José LABARERE
Année universitaire 2010/2011
U...
Plan

I. Corrélation et régression linéaire
II. Coefficient de corrélation
III. Régression linéaire simple
Annexes
Plan

I. Corrélation et régression linéaire
1. Nature des variables
2. Corrélation versus régression : exemples
3. Conditi...
I.1. Nature des variables

Le terme de corrélation est utilisé dans le langage courant
pour désigner la liaison (relation ...
Plan

I. Corrélation et régression linéaire
1. Nature des variables
2. Corrélation versus régression : exemples
3. Conditi...
I.2. Corrélation versus régression

•
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Corrélation :
Liaison entre 2 variables quantitatives X et Y
Rôle symétrique ...
I.2. Corrélation versus régression
1. Exemple : corrélation (positive)
•

X = ventes de paires de lunettes de soleil en ét...
I.2. Corrélation versus régression
2. Exemple : corrélation (négative)
•

X = ventes de paires de lunettes de soleil en ét...
I.2. Corrélation versus régression

3.

Exemple : régression

•

X = âge (de 0 à 15 ans)

•

Y = taille (cm)

•

Il existe...
I.2. Corrélation versus régression

Corrélation

Régression

X = quantitative
Y = quantitative

X = quantitative
Y = quant...
Plan

I. Corrélation et régression linéaire
1. Nature des variables
2. Corrélation versus régression : exemples
3. Conditi...
I.3. Conditions d’application de la corrélation et de la
régression linéaire simple

• Indépendance des observations
• Lia...
I.3. Conditions d’application de la corrélation et de la
régression linéaire simple

1. Indépendance des observations
•

N...
Observations indépendantes (et variables corrélées)

Enfant 1

Enfant 2

Enfant 3

Enfant 4

Enfant 5

Enfant n

3 mois
60...
I.3. Conditions d’application de la corrélation
et de la régression linéaire simple
2. Liaison linéaire entre X et Y
Avant...
Coefficient de corrélation nul
Pente de la droite de régression nulle
Cas 1

La nature de la liaison est linéaire (le nuag...
Coefficient de corrélation nul
Pente de la droite de régression nulle
Cas 2

Il existe une liaison entre X et Y mais cette...
Coefficient de corrélation non nul
Pente de la droite de régression non nulle
Cas 3

La nature de la liaison est linéaire ...
Coefficient de corrélation non nul
Pente de la droite de régression non nulle
Cas 4

La nature de la liaison n’est pas lin...
I.3. Conditions d’application de la corrélation et de la
régression linéaire simple

3. Distribution conditionnelle normal...
La variance de Y n’est pas
constante pour les différentes
valeurs de X

La distribution de Y n’est pas
normale pour X = x4...
Plan

I. Corrélation et régression linéaire
II. Coefficient de corrélation
1. Covariance
2. Coefficient de corrélation et ...
II.1. Covariance

• Variance conjointe de 2 variables X et Y
N

cov X, Y  

 X
i 1

i

 µ X Yi  µ Y 
N

• Cas p...
II.1. Covariance

• X et Y indépendantes
cas particulier Y constant quelle que soit la valeur de X

N

cov X, Y  

 X...
II.1. Covariance
• Equivalent de la formule de Huyghens pour la covariance

 n  n 
  xi   yi 
n
 i1  i1 
...
Plan

I. Corrélation et régression linéaire
II. Coefficient de corrélation
1. Covariance
2. Coefficient de corrélation et ...
II.2. Coefficient de corrélation
Le coefficient de corrélation entre 2 variables quantitatives X et Y est
égal au rapport ...
II.2. Interprétation du coefficient de corrélation

1. X et Y indépendantes : ρ = 0
ρ=0
• Y = fluctue autour d’une constan...
II.2. Interprétation du coefficient de corrélation

2. X et Y corrélées : ρ > 0

• Liaison linéaire croissante entre X et ...
II.2. Interprétation du coefficient de corrélation

2. X et Y corrélées : ρ < 0
ρ<0
• Liaison linéaire décroissante entre ...
Plan

I. Corrélation et régression linéaire
II. Coefficient de corrélation
1. Covariance
2. Coefficient de corrélation et ...
II.3. Estimation du coefficient de corrélation

population
ρ
échantillon
r

Le coefficient de corrélation estimé sur un éc...
II.3. Estimation du coefficient de corrélation
Par simplification des (n-1) au dénominateur de la covariance et de
la vari...
II.3. Estimation du coefficient de corrélation
Par simplification des (n-1) au dénominateur de la formule de
Huyghens de l...
Plan

I. Corrélation et régression linéaire
II. Coefficient de corrélation
1. Covariance
2. Coefficient de corrélation et ...
II.4. Test du coefficient de corrélation
Après le calcul du coefficient de corrélation r estimé sur un échantillon,
il fau...
II.4. Test du coefficient de corrélation
Sous l’hypothèse nulle (H0) :
Le rapport de l’estimateur du coefficient de corrél...
II.4. Test du coefficient de corrélation
Le test du coefficient de corrélation consiste à calculer la grandeur to
et à la ...
1–α
(non-rejet de H0)

α/2

α/2

(rejet de H0 = acceptation de H1)

(rejet de H0 = acceptation de H1)

-t α
|to| > tα

0
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Détermination du degré de signification associé à to (P-value)

Exemple :
• to = 2.12
• n = 20
0.02 < P <0.05
P < α → reje...
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I. Corrélation et régression linéaire
II. Coefficient de corrélation
III. Régression linéaire simple
1. Régression l...
III.1. Régression linéaire simple
La régression s’adresse à un type de problème où les 2 variables
quantitatives continues...
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I. Corrélation et régression linéaire
II. Coefficient de corrélation
III. Régression linéaire simple
1. Régression l...
III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés

(xi, yi)
Y

X

Chaque individu i est caractérisé par un couple de co...
III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés
(xi, yi)
Y

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^ = α + βx
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III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés
^
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^ = α + βx
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X

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III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés
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yi - yi
(xi, yi)
Y

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Y = α + βX

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III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés

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Y = α + βX

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III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés
Y = α + βX

Y

a et b sont les estimations de
l’ordonnée à l’origine ...
III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés

Y

Y = α + βX

my

mx

X

L’estimateur de l’ordonnée à l’origine a e...
Plan

I. Corrélation et régression linéaire
II. Coefficient de corrélation
III. Régression linéaire simple
1. Régression l...
III.3. Test de la pente de la droite de régression
b≈β

population
β
échantillon
b

La droite de régression d’équation Y =...
III.3. Test de la pente de la droite de régression
Sous l’hypothèse nulle (H0) :
Le rapport de l’estimateur de la pente b ...
III.3. Test de la pente de la droite de régression
Le test de la pente consiste à calculer la grandeur to et à la
comparer...
Corrélation et régression
Corrélation

Régression

Variables

Quantitatives
symétriques/asymétriques

Quantitatives
asymét...
Annexe : variance et covariance

• Variance
• var(X) = E(X²) – [E(X)]²


1
2 1
varx     x     x 
 n

n
...
Annexe : variance et covariance

• Covariance
• cov(X,Y) = E(XY) – [E(X) x E(Y)]
  1
 1

1
covx, y     xy  ...
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Regress lineaire simple imp

  1. 1. UE4 : Biostatistiques Chapitre 8 Corrélation et régression linéaire simple José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés.
  2. 2. Plan I. Corrélation et régression linéaire II. Coefficient de corrélation III. Régression linéaire simple Annexes
  3. 3. Plan I. Corrélation et régression linéaire 1. Nature des variables 2. Corrélation versus régression : exemples 3. Conditions d’application II. Coefficient de corrélation III. Régression linéaire simple Annexes
  4. 4. I.1. Nature des variables Le terme de corrélation est utilisé dans le langage courant pour désigner la liaison (relation / association) entre 2 variables quelconques. En statistique, le terme de corrélation est réservé pour désigner la liaison entre 2 variables QUANTITATIVES (le plus souvent continues). Corrélation / régression : liaison entre 2 variables quantitatives
  5. 5. Plan I. Corrélation et régression linéaire 1. Nature des variables 2. Corrélation versus régression : exemples 3. Conditions d’application II. Coefficient de corrélation III.Régression linéaire simple Annexes
  6. 6. I.2. Corrélation versus régression • • • • Corrélation : Liaison entre 2 variables quantitatives X et Y Rôle symétrique (on peut permuter X et Y) Rôle asymétrique • Régression : • Liaison entre 2 variables quantitatives X et Y • Rôle asymétrique uniquement : – X = variable explicative / Y = variable expliquée – X = variable indépendante / Y = variable dépendante • (on ne peut pas permuter X et Y)
  7. 7. I.2. Corrélation versus régression 1. Exemple : corrélation (positive) • X = ventes de paires de lunettes de soleil en été • Y = ventes de crèmes glacées en été • Il existe une liaison entre X et Y : – Quand X augmente, Y augmente (météo estivale) – Quand X diminue, Y diminue (météo pluvieuse) • La liaison est symétrique : – – mais X ne dépend pas de Y et Y ne dépend pas de X – on peut permuter X et Y en abscisses et en ordonnées ventes glaces Y ne peut pas être prédite par X ventes lunettes • X est liée à Y, et Y est liée à X ventes glaces ventes lunettes
  8. 8. I.2. Corrélation versus régression 2. Exemple : corrélation (négative) • X = ventes de paires de lunettes de soleil en été • Y = ventes de parapluies en été • Il existe une liaison entre X et Y : – Quand X augmente, Y diminue (météo estivale) – Quand X diminue, Y augmente (météo pluvieuse) • La liaison est symétrique : – – mais X ne dépend pas de Y et Y ne dépend pas de X – on peut permuter X et Y en abscisses et en ordonnées ventes lunettes ventes lunettes Y ne peut pas être prédite par X ventes parapluies • X est liée à Y, et Y est liée à X ventes parapluies
  9. 9. I.2. Corrélation versus régression 3. Exemple : régression • X = âge (de 0 à 15 ans) • Y = taille (cm) • Il existe une liaison entre X et Y : – – • Quand l’âge augmente, la taille augmente Quand l’âge diminue, la taille diminue La liaison est asymétrique : – – • la taille dépend de l’âge mais l’âge ne dépend pas de la taille on ne peut pas permuter X et Y en abscisses et en ordonnées On peut prédire la taille par l’âge à l’aide d’une équation de droite ou de courbe de régression (cf carnet de santé)
  10. 10. I.2. Corrélation versus régression Corrélation Régression X = quantitative Y = quantitative X = quantitative Y = quantitative Oui / Non Y liée à X X liée à Y Non Y dépend de X - Exemples Y = conso. cannabis X = température moyenne annuelle Y= taille X = âge Prédiction Non Oui (équation) Variables Symétrie de la liaison
  11. 11. Plan I. Corrélation et régression linéaire 1. Nature des variables 2. Corrélation versus régression : exemples 3. Conditions d’application II. Coefficient de corrélation III. Régression linéaire simple Annexes
  12. 12. I.3. Conditions d’application de la corrélation et de la régression linéaire simple • Indépendance des observations • Liaison linéaire entre X et Y • Distribution conditionnelle normale et de variance constante
  13. 13. I.3. Conditions d’application de la corrélation et de la régression linéaire simple 1. Indépendance des observations • Ne pas confondre : - Indépendance des observations (condition d’application du test statistique) - Indépendance des variables (hypothèse à tester)
  14. 14. Observations indépendantes (et variables corrélées) Enfant 1 Enfant 2 Enfant 3 Enfant 4 Enfant 5 Enfant n 3 mois 60cm 3 mois 58cm 9 mois 70cm 8 mois 70cm 24 mois 85cm 6 mois 65cm Observations corrélées (et variables corrélées) 1er juin 2 juin 1010hpa 1013hpa 30.5°C 29.5°C 3 juin 1014hpa 30.5°C 4 juin 1010hpa 31°C 5 juin 1009hpa 29°C 1er octobre 1002hpa 18°C
  15. 15. I.3. Conditions d’application de la corrélation et de la régression linéaire simple 2. Liaison linéaire entre X et Y Avant d’appliquer le test du coefficient de corrélation ou d’estimer la droite de régression, il faut vérifier empiriquement (graphiquement) - que la liaison entre les 2 variables est de nature linéaire. A défaut, l’interprétation du test du coefficient de corrélation ou du test de la pente de la droite de régression peut être erronée.
  16. 16. Coefficient de corrélation nul Pente de la droite de régression nulle Cas 1 La nature de la liaison est linéaire (le nuage de points est résumé au mieux par une droite horizontale d’équation y = a) La condition d’application est vérifiée Il est possible d’utiliser le coefficient de corrélation et la régression linéaire simple pour quantifier la liaison entre les 2 variables (conclusion : X et Y sont indépendants [Y constant quelle que soit la valeur de X])
  17. 17. Coefficient de corrélation nul Pente de la droite de régression nulle Cas 2 Il existe une liaison entre X et Y mais cette liaison n’est pas linéaire : Y varie avec les valeurs de X. Le nuage de points n’est pas résumé au mieux par une droite mais plutôt par une fonction quadratique. La condition d’application n’est pas vérifiée → Il ne faut pas utiliser le coefficient de corrélation ni la régression linéaire simple pour quantifier la liaison entre les 2 variables
  18. 18. Coefficient de corrélation non nul Pente de la droite de régression non nulle Cas 3 La nature de la liaison est linéaire (le nuage de points est résumé au mieux par une droite d’équation y = a+bx) La condition d’application est vérifiée Il est possible d’utiliser le coefficient de corrélation et la régression linéaire simple pour quantifier la liaison entre les 2 variables (conclusion : il existe une liaison linéaire entre X et Y)
  19. 19. Coefficient de corrélation non nul Pente de la droite de régression non nulle Cas 4 La nature de la liaison n’est pas linéaire (le nuage de points n’est pas résumé au mieux par une droite mais plutôt par une fonction exponentielle) La condition d’application n’est pas vérifiée → Il ne faut pas utiliser le coefficient de corrélation ni la régression linéaire simple pour quantifier la liaison entre les 2 variables
  20. 20. I.3. Conditions d’application de la corrélation et de la régression linéaire simple 3. Distribution conditionnelle normale et de variance constante • Distribution de Y normale et de variance constante pour chaque valeur de X • (difficilement vérifiable en pratique)
  21. 21. La variance de Y n’est pas constante pour les différentes valeurs de X La distribution de Y n’est pas normale pour X = x4 La condition d’application n’est pas vérifiée
  22. 22. Plan I. Corrélation et régression linéaire II. Coefficient de corrélation 1. Covariance 2. Coefficient de corrélation et interprétation 3. Estimation du coefficient de corrélation 4. Test du coefficient de corrélation III. Régression linéaire simple Annexes
  23. 23. II.1. Covariance • Variance conjointe de 2 variables X et Y N cov X, Y    X i 1 i  µ X Yi  µ Y  N • Cas particulier : X = Y → cov(X,Y) = cov(X,X) = var(X) N cov X, X    X i 1 i  µ X X i  µ X  N N   X i 1  µX  2 i N  var X 
  24. 24. II.1. Covariance • X et Y indépendantes cas particulier Y constant quelle que soit la valeur de X N cov X, Y    X i 1 i  µ X Yi  µ Y  N 0 0 car Yi = constante =µY
  25. 25. II.1. Covariance • Equivalent de la formule de Huyghens pour la covariance  n  n    xi   yi  n  i1  i1   xi yi  n i 1 covX, Y  n  x   i 2  i 1   xi  n varX   i 1 n n n Rappel : 2
  26. 26. Plan I. Corrélation et régression linéaire II. Coefficient de corrélation 1. Covariance 2. Coefficient de corrélation et interprétation 3. Estimation du coefficient de corrélation 4. Test du coefficient de corrélation III. Régression linéaire simple Annexes
  27. 27. II.2. Coefficient de corrélation Le coefficient de corrélation entre 2 variables quantitatives X et Y est égal au rapport de la covariance de X et Y divisé par le produit des écart-types de X et Y. Le coefficient de corrélation est noté ρ dans la population. covX, Y ρ varX varY -1ρ+1
  28. 28. II.2. Interprétation du coefficient de corrélation 1. X et Y indépendantes : ρ = 0 ρ=0 • Y = fluctue autour d’une constante quelle que soit la valeur de X • Nuage de points horizontal • cov(X, Y) = 0 ρ covX, Y  0 varX  varY 
  29. 29. II.2. Interprétation du coefficient de corrélation 2. X et Y corrélées : ρ > 0 • Liaison linéaire croissante entre X et Y • cov(X, Y) > 0 covX, Y ρ 0 varX varY NB : si Y = X → cov(X,Y) = var(X) et var(Y) = var(X) → ρ =1 ρ>0
  30. 30. II.2. Interprétation du coefficient de corrélation 2. X et Y corrélées : ρ < 0 ρ<0 • Liaison linéaire décroissante entre X et Y • cov(X, Y) <0 covX, Y ρ 0 varX varY NB : si Y = - X → cov(X,Y) = - var(X) et var(Y) = var(X) → ρ =-1
  31. 31. Plan I. Corrélation et régression linéaire II. Coefficient de corrélation 1. Covariance 2. Coefficient de corrélation et interprétation 3. Estimation du coefficient de corrélation 4. Test du coefficient de corrélation III. Régression linéaire simple Annexes
  32. 32. II.3. Estimation du coefficient de corrélation population ρ échantillon r Le coefficient de corrélation estimé sur un échantillon issu d’une population est noté r. Il s’interprète comme le coefficient de corrélation ρ mesuré sur la population. Il est calculé à partir des estimations de la covariance et des variances de X et de Y sur l’échantillon.  x i  m x  yi  m y  n cov X, Y   i 1 n - 1 n s2  x  x i  m x  i 1 n - 1  y n 2 s2  y i 1 i  my  n - 1 2
  33. 33. II.3. Estimation du coefficient de corrélation Par simplification des (n-1) au dénominateur de la covariance et de la variance de X et de la variance de Y, on obtient l’expression de l’estimateur du coefficient de corrélation r à partir d’un échantillon. x  m y  m  n r i i 1 x i y x  m  y  m  n i 1 2 i x n i 1 2 i y
  34. 34. II.3. Estimation du coefficient de corrélation Par simplification des (n-1) au dénominateur de la formule de Huyghens de la covariance et de la variance de X et de Y, on obtient une autre expression de l’estimateur du coefficient de corrélation r à partir d’un échantillon. r  n  n    x i   y i  n x i y i   i 1  i 1   n i 1 2 2 n n    x   y    n 2  i 1 i    n 2  i 1 i     y     x i    i n   i 1 n   i 1      
  35. 35. Plan I. Corrélation et régression linéaire II. Coefficient de corrélation 1. Covariance 2. Coefficient de corrélation et interprétation 3. Estimation du coefficient de corrélation 4. Test du coefficient de corrélation III. Régression linéaire simple Annexes
  36. 36. II.4. Test du coefficient de corrélation Après le calcul du coefficient de corrélation r estimé sur un échantillon, il faut déterminer si le coefficient de corrélation ρ est significativement différent de 0. population ρ échantillon r rρ H0 : ρ = 0 (absence de liaison [linéaire] entre X et Y) H1 bilatérale : ρ  0 (existence d’une liaison entre X et Y)
  37. 37. II.4. Test du coefficient de corrélation Sous l’hypothèse nulle (H0) : Le rapport de l’estimateur du coefficient de corrélation r sur son écarttype suit une loi de Student à (n-2) degrés de liberté. n est l’effectif de l’échantillon. r sr → t (n-2)ddl L’estimateur de l’écart-type du coefficient de corrélation est égal à : 1  r² sr  n2
  38. 38. II.4. Test du coefficient de corrélation Le test du coefficient de corrélation consiste à calculer la grandeur to et à la comparer à la valeur seuil tα sur la table de la loi de Student à (n-2) degrés de libertés. r n 2 to  1  r² Conditions d’application • indépendance des observations • liaison linéaire entre X et Y • distribution conditionnelle normale et de variance constante
  39. 39. 1–α (non-rejet de H0) α/2 α/2 (rejet de H0 = acceptation de H1) (rejet de H0 = acceptation de H1) -t α |to| > tα 0 |to|  tα tα |to| > tα Abscisses : valeurs possibles de t sous H0 (ρ = 0) to : valeur observée/calculée de t sur l’échantillon r n2 t 1  r²
  40. 40. Détermination du degré de signification associé à to (P-value) Exemple : • to = 2.12 • n = 20 0.02 < P <0.05 P < α → rejet de H0 (n-2) = 18 ddl Rappel : P-value = probabilité d’observer une valeur plus grande que to sous l’hypothèse nulle H0 X
  41. 41. Plan I. Corrélation et régression linéaire II. Coefficient de corrélation III. Régression linéaire simple 1. Régression linéaire simple 2. Estimation par la méthode des moindres carrés 3. Test de la pente de la droite de régression Annexes
  42. 42. III.1. Régression linéaire simple La régression s’adresse à un type de problème où les 2 variables quantitatives continues X et Y ont un rôle asymétrique : la variable Y dépend de la variable X. La liaison entre la variable Y dépendante et la variable X indépendante peut être modélisée par une fonction de type Y = α + βX, représentée graphiquement par une droite. Y = α + βX Y Y : variable dépendante (expliquée) X : variable indépendante (explicative) α : ordonnée à l’origine (valeur de Y pour x = 0) X β : pente (variation moyenne de la valeur de Y pour une augmentation d’une unité de X)
  43. 43. Plan I. Corrélation et régression linéaire II. Coefficient de corrélation III. Régression linéaire simple 1. Régression linéaire simple 2. Estimation par la méthode des moindres carrés 3. Test de la pente de la droite de régression Annexes
  44. 44. III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés (xi, yi) Y X Chaque individu i est caractérisé par un couple de coordonnées (xi, yi) et est représenté par un point sur le graphique. L’ensemble des individus forme un nuage de points.
  45. 45. III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés (xi, yi) Y Y = α + βX ^ (xi, yi) ^ = α + βx yi i X La droite de régression Y = α + βX est la droite qui résume le mieux le nuage de points. Intuitivement, il s’agit de la droite dont les points du nuage sont en moyenne les plus proches (c’est-à-dire la droite qui passe à la plus faible distance de chaque point du nuage, en moyenne).
  46. 46. III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés ^ yi - yi (xi, yi) Y Y = α + βX ^ (xi, yi) ^ = α + βx yi i X La distance d’un point à la droite est la distance verticale entre l’ordonnée du point observé (xi, yi) et l’ordonnée du point correspondant sur la droite (xi, ^yi) . Cette distance d’un point à la droite (yi - ^yi) peut être positive ou négative et la somme des distances à la droite s’annule.
  47. 47. III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés ^ yi - yi (xi, yi) Y ^ (xi, yi) Y = α + βX ^ = α + βx yi i X y SCE = i (yi – ^ i)² Pour s’affranchir du signe, on calcule la somme des carrés des distances de chaque point à la droite. La droite de régression est la droite qui minimise la somme des carrés des écarts. Elle est aussi appelée droite des moindres carrés.
  48. 48. III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés Y Y = α + βX my mx X Une particularité de la droite de régression est de passer par le point moyen théorique de coordonnée (mx, my).
  49. 49. III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés Y = α + βX Y a et b sont les estimations de l’ordonnée à l’origine α et de la pente β de la droite de régression. my L’estimation de la pente de la droite de régression b est égale au rapport de la covariance de X et Y sur la variance de X. cov X, Y  b var X  mx n b  x i 1 i  m x  y i  m y  n x i  m x 2  i 1 X
  50. 50. III.2. Estimation par la méthode des moindres carrés Y Y = α + βX my mx X L’estimateur de l’ordonnée à l’origine a est déduit de la pente b et des coordonnées du point moyen (mx, my) : a = my – b mx
  51. 51. Plan I. Corrélation et régression linéaire II. Coefficient de corrélation III. Régression linéaire simple 1. Régression linéaire simple 2. Estimation par la méthode des moindres carrés 3. Test de la pente de la droite de régression Annexes
  52. 52. III.3. Test de la pente de la droite de régression b≈β population β échantillon b La droite de régression d’équation Y = α + βX comporte 2 paramètres (α et β). L’hypothèse nulle est que la pente β de la droite de régression de Y en X est égale à 0 (soit Y est égal à α, c’est-à-dire que la droite de régression est horizontale et qu’il n’y a pas de liaison entre X et Y). H0 : β = 0 (droite de régression horizontale : Y = α) H1: β  0
  53. 53. III.3. Test de la pente de la droite de régression Sous l’hypothèse nulle (H0) : Le rapport de l’estimateur de la pente b sur son écart-type suit une loi de Student à (n-2) degrés de liberté. n est l’effectif de l’échantillon. b sb → t (n-2)ddl s2 y L’estimateur de l’écart-type de la pente est égal à : sb  s 2 x  b2 n2
  54. 54. III.3. Test de la pente de la droite de régression Le test de la pente consiste à calculer la grandeur to et à la comparer à la valeur seuil tα sur la table de la loi de Student à (n-2) degrés de libertés to  b s 2 y 2 x b 2 s n 2 Conditions d’application • indépendance des observations • liaison linéaire entre X et Y • distribution conditionnelle normale et de variance constante
  55. 55. Corrélation et régression Corrélation Régression Variables Quantitatives symétriques/asymétriques Quantitatives asymétriques Test Coefficient de corrélation -1  r  1 Pente de la droite de régression non oui Prédiction Conditions Indépendance des observations Liaison linéaire Distribution conditionnelle normale et de variance constante
  56. 56. Annexe : variance et covariance • Variance • var(X) = E(X²) – [E(X)]²  1 2 1 varx     x     x   n  n  x   n i x i2   i 1   n i 1 varx   n n 2 2
  57. 57. Annexe : variance et covariance • Covariance • cov(X,Y) = E(XY) – [E(X) x E(Y)]   1  1  1 covx, y     xy     x     y    n  n  n  n  n    x i   y i  n x i y i   i 1  i 1   n i 1 covX, Y   n
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