LABORATOIRE	
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Conception de l’Injecteur et des
Diagnostics du Faisceau pour le projet
SuperB
Rapport de Stage de L3
Effectu´e
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Table des mati`eres
1 Introduction 1
2 Fondements Th´eoriques 1
2.1 Coordonn´ees en Physique des Acc´el´erateurs . . . . ....
II TABLE DES MATI`ERES
4.3.1 Principe de la Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3.2 R´ealisati...
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1 Introduction
Le projet SuperB est un acc´el´erateur asym´etrique d’´electrons (e−) et positrons (e+) qui
sera r´ealis´...
2 2 FONDEMENTS TH´EORIQUES
la particule de r´ef´erence. Chaque particule est d´ecrite par son d´ecalage et son impulsion
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2.2 ´El´ements de conduction des particules 3
suivant s, la matrice de transfert pour la direction x est [4] : RDi =
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4 2 FONDEMENTS TH´EORIQUES
2.2.5 La Section Acc´el´eratrice Type SLAC
L’acc´el´eration des particules utilise des structur...
2.4 La Structure FODO 5
comme l’intervalle de σx, l’´ecart-type de δ(x) dans la direction x. Les ellipses de phase
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6 3 STRUCTURE PRINCIPALE ET ENJEUX DE SUPERB
propres des param`etres de Twiss et de µ, on calcule la matrice de transfert ...
3.2 L’Injecteur - Acc´el´eration et Confinement des Particules - (a) 7
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8 4 R´ESULTATS
3.4 Mesure de l’Emittance Transversale - (d)
Avant son injection dans l’acc´el´erateur, l’´emittance est me...
4.1 Conception & Simulation de l’Acc´el´erateur Principal 9
On obtient les valeurs permises de l’avance de phase `a 1 GeV ...
10 4 R´ESULTATS
ainsi que les param`etres de Twiss propres de la structure ne d´ependent que de la distance
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4.1 Conception & Simulation de l’Acc´el´erateur Principal 11
Pour v´erifier que la structure FODO convient avec les param`e...
12 4 R´ESULTATS
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4.2 Adaptation des Faisceaux 13
βx(m)
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d’adaptation ...
4.3 Mesure de l’´Emittance 15
4.3 Mesure de l’´Emittance
4.3.1 Principe de la Mesure
Consid´erons un triplet suivi par un ...
16 4 R´ESULTATS
en arrivant au triplet. Comme d´ej`a expliqu´e, la distance focale du quadrupˆole central doit
ˆetre envir...
4.3 Mesure de l’´Emittance 17
d’apr`es l’´equation (1), ´egalement la distance focale du triplet ftrip sont connues. La ta...
18 4 R´ESULTATS
4.4 Mesure de la Dispersion en ´Energie
La dispersion en ´energie peut ˆetre mesur´ee grˆace `a un dipˆole...
4.4 Mesure de la Dispersion en ´Energie 19
Figure 8 – Distribution des particules en di-
rection x sur l’´ecran, pour ∆E
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20 5 R´ESUM´E, CONCLUSIONS & PERSPECTIVES
5 R´esum´e, Conclusions & Perspectives
Les calculs au Chapitre 4.1.1 ont d´efinit...
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6 Annexe A : PBO-Lab, Simulation et Ajustement
6.1 Le Logiciel
PBO-Lab (The Particle Beam Optics Laboratory) est une in...
22 7 ANNEXE B : SIMULATION AVEC PARMELA
7 Annexe B : Simulation avec Parmela
7.1 Description du Logiciel
Le code Parmela (...
7.2 Simulation de l’Injecteur de SuperB 23
7.2 Simulation de l’Injecteur de SuperB
Comme pour les simulations avec PBO-Lab...
24 7 ANNEXE B : SIMULATION AVEC PARMELA
run 1 2 2855.17 0. 1000. 1
zlimit 10.
output 5
quad 5.1 2.55 1 130.
drift 33.4 1. ...
25
8 Annexe C : Figures
Figure 10 – Structure des lentilles minces, focalisantes et d´efocalisantes en distance L
(FODO). ...
26 8 ANNEXE C : FIGURES
Figure 12 – Image obtenu par PBO-Lab pour la simulation des propri´et´es transversales
du faisceau...
27
Figure 16 – Structure propos´ee de la section de mesure de la dispersion en ´energie. Toutes
les longueurs sont les lon...
28 9 ANNEXE D : TABLEAUX
Table 5 – Gradients calcul´es pour garder la mˆeme distance focale quand l’´energie des
positrons...
29
Table 6 – Gradients calcul´es pour garder la mˆeme distance focale quand l’´energie des
positrons augmente (deuxi`eme p...
30 R´EF´ERENCES
R´ef´erences
[1] INFN, editor. SuperB - A High Luminosity Heavy Flavour Factory, Mars 2007.
INFN/AE - 07/2...
R´EF´ERENCES 31
[17] Helmut Wiedemann. Particle Accelerator Physics Vol. 1. Springer-Verlag, Berlin,
1999.
[18] James H. B...
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  1. 1.                         LABORATOIRE  DE  L'ACCÉLÉRATEUR  LINÉAIRE   IN2P3-­‐CNRS  et  Université  PARIS-­‐SUD   Centre  Scientifique  d'Orsay    -­‐    Bât  200  -­‐  B.P.  34   91898  ORSAY  Cedex  (France)    Tél.    :  +33  1  64  46  84  30   Fax    :  +33  1  64  46  85  00   Secr.    +33  1  64  46  83  12   Web  LAL  :   http://www.lal.in2p3.fr             DEPARTEMENT ACCELERATEURS Orsay, mardi 31 août 2010 MEMO  TECHNIQUE  :   COMPTE  RENDU  : DIVERS  : X N°  NOTE  DPT  A  : 2010-­005 N°  NOTE    R&D  Acc  :     2010-­003   ____________ Conception  de  l’Injecteur  et  des  Diagnostics  du  Faisceau  pour  le  projet   SuperB ______________ P. Hermes ______________ Diffusion : Chercheurs et Ingénieurs DPT ACC  
  2. 2. Conception de l’Injecteur et des Diagnostics du Faisceau pour le projet SuperB Rapport de Stage de L3 Effectu´e Sous la Direction de Alessandro Variola Laboratoire de l’Acc´el´erateur Lin´eaire Universit´e Paris Sud XI Orsay Pascal Dominik Hermes Juillet 2010
  3. 3. Table des mati`eres 1 Introduction 1 2 Fondements Th´eoriques 1 2.1 Coordonn´ees en Physique des Acc´el´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.2 ´El´ements de conduction des particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2.1 Espace de Glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2.2 Le Dipˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2.3 Le Quadrupˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2.4 Le Triplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2.5 La Section Acc´el´eratrice Type SLAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Faisceau de Particules - Dynamique Transverse . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3.1 Espace des Phases et ´Emittance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3.2 Param`etres de Twiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4 La Structure FODO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Structure Principale et Enjeux de SuperB 6 3.1 Structure Principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 L’Injecteur - Acc´el´eration et Confinement des Particules - (a) . . . . . . . . 7 3.3 Adaptation des Faisceaux - (b) & (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.4 Mesure de l’Emittance Transversale - (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.5 Mesure de la Dispersion en ´Energie - (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 R´esultats 8 4.1 Conception & Simulation de l’Acc´el´erateur Principal . . . . . . . . . . . . . 8 4.1.1 Conditions pour le Transport par la mˆeme Structure . . . . . . . . . 8 4.1.2 Calcul de la Longueur d’une P´eriode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.1.3 Param`etres Propres de la Structure FODO et Ajustement des Gra- dients magn´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.1.4 Structure Propos´ee & Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 Adaptation des Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2.1 Adaptation du Faisceau de Positrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2.2 Adaptation du Faisceau d’´Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.3 Mesure de l’´Emittance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
  4. 4. II TABLE DES MATI`ERES 4.3.1 Principe de la Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.3.2 R´ealisation, Optimisation & Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.4 Mesure de la Dispersion en ´Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 R´esum´e, Conclusions & Perspectives 20 6 Annexe A : PBO-Lab, Simulation et Ajustement 21 6.1 Le Logiciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.3 Adaptation avec TRANSPORT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7 Annexe B : Simulation avec Parmela 22 7.1 Description du Logiciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7.2 Simulation de l’Injecteur de SuperB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 8 Annexe C : Figures 25 9 Annexe D : Tableaux 27
  5. 5. 1 1 Introduction Le projet SuperB est un acc´el´erateur asym´etrique d’´electrons (e−) et positrons (e+) qui sera r´ealis´e `a Frascati en Italie, destin´e `a la production de m´esons B. L’avantage de cette machine sera la grande luminosit´e de 1036cm−2 s−1 [1], 50 `a 100 fois plus grande que celle des meilleures machines actuelles, notamment PEP-II et KEKB( [2],[3]). Le grand nombre de m´esons B obtenus par les collisions, va permettre d’´etudier la violation de la sym´etrie mati`ere-antimati`ere et la physique associ´ee. Le Service d’´Etude et R´ealisation des Acc´el´erateurs (SERA) du laboratoire de l’acc´el´erateur lin´eaire, situ´ee `a Orsay, est impliqu´e dans plusieurs grands projets interna- tionaux et nationaux, parmi lesquelles SuperB. Dans ce rapport, on propose la structure principale de l’injecteur, qui acc´el`ere les ´electrons et les positrons jusqu’`a l’´energie de col- lision d’environ 11 GeV. Les dimensions transversales des faisceaux vont ˆetre limit´ees par une structure p´eriodique de quadrupˆoles. La structure propos´ee va ˆetre ´evalu´ee `a partir de trois simulations. Deux simulations r´ealis´ees sous conditions diff´erentes avec le logiciel TRANSPORT vont permettre de tester la structure p´eriodique propos´ee. Une simulation de la trajectoire de plusieurs particules grˆace au code Parmela permettra de visualiser la distribution des particules dans l’espace des phases longitudinal. Avant leur injection dans l’acc´el´erateur, les deux faisceaux doivent ˆetre adapt´es aux propri´et´es de la machine. Pour r´ealiser ceci, on construit une ligne d’adaptation pour chaque type de particules, en utili- sant le code TRANSPORT. La qualit´e du faisceau va ˆetre ´evalu´ee `a partir de la dispersion en ´energie et des ´emittances transversales. On cr´ee et optimise les sections de mesure et on effectue ensuite une simulation de la mesure en utilisant TRANSPORT (mesure de l’´emittance) et TURTLE (mesure de la dispersion en ´energie). 2 Fondements Th´eoriques 2.1 Coordonn´ees en Physique des Acc´el´erateurs Dans chaque acc´el´erateur de particules, il y a une trajectoire id´eale qui est d´etermin´ee par le design de la machine. Pour un acc´el´erateur lin´eaire, cette trajectoire est une droite, qui passe par le centre des ´el´ements (un ´el´ement de l’optique est par exemple un quadrupˆole ou un espace de glissement). La particule qui se d´eplace exactement le long de la trajectoire id´eale s’appelle particule de r´ef´erence et sa position longitudinale, exprim´ee en coordonn´ees du laboratoire, est not´ee s. Dans l’espace des phases, chaque particule est d´ecrite par six coordonn´ees, indiquant la position et impulsion dans chaque direction de l’espace. En vue de faciliter les calculs, on utilise un syst`eme de coordonn´ees dont le centre se d´eplace comme
  6. 6. 2 2 FONDEMENTS TH´EORIQUES la particule de r´ef´erence. Chaque particule est d´ecrite par son d´ecalage et son impulsion relative, par rapport `a la particule de r´ef´erence. Le syst`eme (x, y, s) est cart´esien, o`u s est la direction de mouvement et x et y les deux directions transversales. Dans les directions transversales, chaque particule est d´ecrite par le vecteur r = (x, x , y, y )T , o`u x = dx ds et y = dy ds . Les grandeurs x et y sont exprim´ees en mm, x et y en mrad. Consid´erons une particule d´ecrite dans la direction horizontale par x(0) = (x(0), x (0))T sur la position s = 0. Apr`es le passage dans un ´el´ement de longueur l, le vecteur de la particule sera x(l). Au premier ordre, la transformation entre s = 0 et s = l peut ˆetre approxim´ee par une matrice 2 × 2, R(l), appel´ee matrice de transfert, d’o`u le vecteur x(l) est obtenu par le produit x(l) = R(l) x(0). Pour une direction particuli`ere, on ´ecrit de mani`ere g´en´erale : R =   S C S C  . S’il y a plusieurs ´el´ements i = 1, ..., n, de longueurs respectives li = l1, ..., ln et avec des matrices de transfert Ri = R1, ..., Rn, la transformation totale pour le passage de l’´el´ement 1 jusqu’`a n, sera le produit des matrices de transfert de chaque ´el´ement : Rtot ( n i=1 li) = Rn(ln) · Rn−1(ln−1) · · · R2(l2) · R1(l1). 2.2 ´El´ements de conduction des particules 2.2.1 Espace de Glissement Une section de d´erive de longueur L n’a aucune influence sur x , car aucune force ne va d´evier la particule. Seul la position x change 1. Apr`es une section de d´erive de longueur L elle sera x(L) = x(0) + L · x . La matrice de transfert est alors RD =   1 L 0 1  . 2.2.2 Le Dipˆole Un dipˆole cr´ee un champ magn´etique uniforme dans une direction perpendiculaire `a la direction du mouvement des particules. La force de Lorentz induite par le champ agit sur toutes les particules charg´ees, la trajectoire des particules `a l’int´erieur du dipˆole sera circulaire. Si la charge de toutes les particules est la mˆeme, la force va ˆetre dirig´ee dans la mˆeme direction et son intensit´e ne va d´ependre que de l’´energie E de la particule. Le rayon de courbure ρ de la trajectoire est alors aussi une fonction de E. Un dipˆole courb´e est caract´eris´e par le rayon ρ0 de la trajectoire de la particule de r´ef´erence et son angle de courbure α. Si le champ est orient´e dans la direction y et les particules se d´eplacent 1. Bien sˆur aussi la position y. Aux chapitres 2.2.1, 2.3.1 et 2.3.2 seulement le cas x est discut´e. Tous les r´esultats seront ´egalement valables pour la direction y.
  7. 7. 2.2 ´El´ements de conduction des particules 3 suivant s, la matrice de transfert pour la direction x est [4] : RDi =   cos α ρ0 sin α − sin α ρ0 cos α  . 2.2.3 Le Quadrupˆole Consid´erons le quadrupˆole illustr´e par la Figure 1 et des e− d’´energie E se d´epla¸cant perpendiculairement au plan. Pour la particule centrale, la force totale sera nulle car les champs magn´etiques s’annulent. Sa trajectoire ne sera donc pas Figure 1 – Section d’un quadrupˆole. chang´ee. Les autres particules vont ˆetre soumises `a la force de Lo- rentz, dont la composante horizontale va ˆetre dirig´ee vers le centre quand x = 0 et celle verticale dirig´ee vers l’ext´erieur quand y = 0. L’effet sera l’inverse quand le champ est invers´e. La force ainsi que la variation de x induite par le quadrupˆole, est en premi`ere ap- proximation une fonction lin´eaire de x. En cons´equence, on peut d´efinir une distance focale f pour le quadrupˆole, qui est n´egative pour la direction divergente et positive pour celle convergente. Elle est reli´ee `a la puissance k du quadrupˆole [5] d’apr`es 1/f = ±|k| l, avec k = e g p , o`u e est la charge des particules, p leur impulsion, g le gradient magn´etique du quadrupˆole 2 et l sa longueur effective 3. Si |f| l, on peut appliquer le mod`ele de la len- tille mince et utiliser la matrice de transfert d´ej`a connue en optique [4] : RQ =   1 0 ±1 f 1  . Le champ est cr´e´e par un noyau de fer entour´e par une bobine, le gradient peut alors ˆetre ajust´e par le r´eglage du courant circulant dans la bobine. 2.2.4 Le Triplet Le triplet est un ´el´ement agissant focalisant ou d´efocalisant dans les deux directions trans- versales [6]. Il est consist´e de trois quadrupˆoles ´equidistants d’une distance d, o`u la distance focale du quadrupˆole central, fi, est reli´ee avec celles des quadrupˆoles lat´eraux fe, par fi ≈ −1 2 fe. Le produit des matrices de transfert des constituants et la comparaison du r´esultat avec la matrice de transfert d’une lentille mince, montre que la distance focale d’un triplet (`a partir du centre du triplet) est donn´ee par [7] : ftrip = |fe|3 2 d (|fe| ± d) , (1) o`u le signe au d´enominateur est positif dans la direction pour laquelle la configuration est d´efocalisant-focalisant-d´efocalisant et n´egatif dans la configuration inverse. Le triplet agit alors focalisant dans x et y, si (fe > d). 2. C’est le rapport entre le champ sur le pˆole et le rayon d’ouverture. Son unit´e est T.m−1 3. La longueur effective est la longueur du quadrupˆole ’vue’ par les particules. Elle est toujours plus grande que la longueur g´eom´etrique. La diff´erence ∆L = Leff − Lgeo est dˆu au fait qu’il y a toujours un champ magn´etique `a l’ext´erieur du quadrupˆole. En cons´equence, la longueur effective d’un espace de glissement voisin est de ∆L plus petite que sa longueur geom´etrique.
  8. 8. 4 2 FONDEMENTS TH´EORIQUES 2.2.5 La Section Acc´el´eratrice Type SLAC L’acc´el´eration des particules utilise des structures qui cr´eent des champs ´electriques, donc la force acc´el´eratrice est une force de Lorentz. Pour SuperB on utilise la structure SLAC [1], d´evelopp´ee au Stanford National Laboratory aux ´Etats-Unis. La structure prin- cipale est montr´ee sur la Figure 11. De mani`ere simplifi´ee elle consiste en un tube avec des disques `a l’int´erieur (cavit´es). La distance entre deux disques vaut d = 3.5 cm. Une onde ´electromagn´etique progressive d’une fr´equence de 2855.17 MHz (λ = 10.5 cm) provoque la cr´eation d’un champ ´electrique qui acc´el`ere les particules, avec la vitesse de phase vp de l’onde progressive. Les disques sont utilis´ees pour ´eviter que vp soit plus grande que c, ce qui est le cas dans un guide d’ondes cylindrique [8]. Avec les disques on aura vp ≈ c, ce qui correspond bien `a la vitesse des e+ et e− dans les r´egimes d’´energie consid´er´es ici. Pour avoir une acc´el´eration (id´eale), la phase de l’onde doit ˆetre bien adapt´ee `a la position de la particule de r´ef´erence. La longueur totale de la section (tank) est de 304.8 cm et la longueur totale des cavit´es acc´el´erantes dans un tank de 294 cm (28 λ). Comme la distance 3 d correspond `a un d´ecalage de phase de 2 π, on dit qu’on travaille dans le mode 2 π 3 . 2.3 Faisceau de Particules - Dynamique Transverse 2.3.1 Espace des Phases et ´Emittance L’ensemble du faisceau pr´esente une distribution des positions et vitesses qui a la forme d’une ellipse quand on les repr´esente dans le plan (x, x ). Cette ellipse peut ˆetre d´ecrite par la relation xT σ−1 x = 1, o`u x = (x, x )T et σ =   σ11 σ12 σ12 σ22   ↔ σ−1 = 1 |detσ|   σ22 −σ12 −σ12 σ11   (2) est une matrice 2 × 2, sym´etrique, o`u σ11 est reli´e `a la taille du faisceau xmax par xmax = √ σ11, la composante σ22 avec la taille en direction x , xmax = √ σ22 et σ12 est un param`etre de couplage entre σ11 et σ22. En developpant xT σ−1 x = 1, on obtient la relation σ11 x2 − 2 σ12 x x + σ22 x 2 = detσ = 2, o`u repr´esente la surface de l’ellipse appel´ee l’´emittance et exprim´ee en unit´es π m rad. Un faisceau de bonne qualit´e a des dimensions petites et diverge peu, alors l’int´egrale A = dx dx est petite. Cette int´egrale repr´esente l’aire de l’ellipse, donc l’´emittance, qui est alors un param`etre de qualit´e du faisceau. On peut montrer qu’elle reste constante pendant la transformation du faisceau par la matrice R, si toutes les forces agissant sur le faisceau sont conservatives (Th´eor`eme de Liouville). En r´ealit´e dans l’espace des phases, la densit´e des particules δ(x) n’est pas uniforme, elle peut plutˆot ˆetre approxim´ee par une fonction gaussienne. Par cons´equence, on d´efinit xmax
  9. 9. 2.4 La Structure FODO 5 comme l’intervalle de σx, l’´ecart-type de δ(x) dans la direction x. Les ellipses de phase sont aussi transform´ees par les ´el´ements de l’optique. La transformation d’une ellipse σ(0), par la matrice de transfert R(s), est donn´ee par [7] : σ(s) = R(s) · σ(0) · RT (s) . (3) L’ellipse du faisceau est alors une fonction de s. La fonction xmax(s) = σ11(s) est appel´ee enveloppe du faisceau. Si xmax est consid´er´e comme σx, on dit qu’il s’agit de l’enveloppe RMS (root-mean-square). Du fait de sa grande importance, on donne explicitement σ11(s) : σ11(s) = S2 σ11(0) + 2 S C σ21(0) + C2 σ22(0) . (4) 2.3.2 Param`etres de Twiss On d´efinit les param`etres de Twiss αx, βx, γx avec la relation σ =   σ11 σ12 σ12 σ22   = x   βx −αx −αx γx   . (5) Ils sont des fonctions de s : αx(s), βx(s), γx(s) et leur transformation par une matrice R conservative est d´etermin´ee par l’´equation 3. Les param`etres de Twiss, sont reli´ees entre eux par les relations suivantes : αx(s) = −1 2 dβx ds , γx(s) = 1+α2 x(s) β(s) . Si le faisceau est conduit par une structure p´eriodique, on peut ´ecrire pour la matrice de transfert M(s) = M(s+L), o`u L est la longueur d’une p´eriode. Dans ce cas elle peut s’exprimer sous la forme : M = cos µ   1 0 0 1   + sin µ   αx βx −γx −αx   . (6) C’est la matrice de Twiss, o`u µ est l’avance de phase par p´eriode d’une particule au bord de l’ellipse de phases et αx, βx et γx sont appel´ees fonctions bˆetatron. Nous insistons sur le fait que les fonctions bˆetatron sont des param`etres de la machine, car la matrice de transfert M ne d´epend que de la machine. L’avance de phase reste constante, et de ce fait les fonctions bˆetatron sont des fonctions p´eriodiques avec la mˆeme longueur de p´eriode que M. `A l’entr´ee d’une structure p´eriodique, les param`etres de Twiss doivent ˆetre adapt´es aux fonctions bˆetatron propres de la machine [4]. 2.4 La Structure FODO La structure FODO consiste en une alternance d’un quadrupˆole focalisant avec la vergence 1 f , et un autre de la vergence −1 f , distants d’une longueur L. Pour d´eterminer les valeurs
  10. 10. 6 3 STRUCTURE PRINCIPALE ET ENJEUX DE SUPERB propres des param`etres de Twiss et de µ, on calcule la matrice de transfert pour une p´eriode et on la compare avec la matrice de Twiss. Quand la matrice R d´ecrit la transformation du milieu d’un quadrupˆole focalisant pour les e+ suivant la direction x, jusqu’au milieu du prochain quadrupˆole du mˆeme type, on trouve comme conditions initiales n´ecessaires : cos µ = 1 − L2 2 f2 , β = 2 L 1 + sin µ 2 sin µ , α = 0 . (7) Les valeurs propres au milieu d’une lentille d´efocalisante sont : cos µ = 1 − L2 2 f2 , β = 2 L 1 − sin µ 2 sin µ , α = 0. (8) Comme α = 0, les fonctions β sont alors minimales au milieu de la lentille d´efocalisante et maximale au milieu de celle focalisante. 3 Structure Principale et Enjeux de SuperB 3.1 Structure Principale Figure 2 – Structure simplifi´ee de SuperB, comme envisag´ee pour l’instant. Dessin d’apr`es la proposition de [9]. Selon toutes pr´evisions, l’acc´el´erateur SuperB va ˆetre construit suivant le sch´ema donn´e par la Figure 2 [9]. Un premier acc´el´erateur lin´eaire acc´el`ere des positrons jusqu’`a une ´energie de 1 GeV qui sont ensuite inject´es dans un anneau de stockage. En mˆeme temps, on acc´el`ere des e− jusqu’`a une ´energie de 0.2 GeV. Un compresseur de paquets r´eduit la longueur des paquets de e+. Les deux faisceaux sont ensuite r´eunis par un dipˆole de combinaison et finalement acc´el´er´es jusqu’`a l’´energie souhait´ee dans l’acc´el´erateur principale (a), appell´ee
  11. 11. 3.2 L’Injecteur - Acc´el´eration et Confinement des Particules - (a) 7 injecteur. Arriv´es `a la bonne ´energie, les faisceaux sont inject´es dans leur anneau respectif et enfin on provoque leur collision au centre d’un d´etecteur. Ce rapport d´ecrit la conception et simulation de cinq parties de SuperB ((a)-(e)). Dans ce qui suit, on explique bri`evement le probl`eme, les conditions `a remplir et les param`etres `a optimiser. 3.2 L’Injecteur - Acc´el´eration et Confinement des Particules - (a) `A l’int´erieur de l’injecteur, le faisceau sera confin´e grˆace `a une structure FODO qui limite son enveloppe dans les deux directions transversales. Plusieures conditions sont `a remplir par la structure d’acc´el´eration : 1. elle doit permettre de conduire et acc´el´erer des ´electrons `a 0.2 GeV et des positrons `a 1.0 GeV en mˆeme temps ; 2. l’enveloppe du faisceau doit rester petite par rapport `a la dimension de la chambre `a vide ; 3. l’espacement entre deux quadrupˆoles doit ˆetre assez grand pour placer deux sections acc´el´eratrices de type SLAC ; 4. l’espacement doit permettre d’utiliser la mˆeme phase pour chaque section acc´el´eratrice. Le logiciel PBO-Lab (voir Ch.6) permet de simuler la structure FODO et d’´evaluer les param`etres calcul´es. Pour compenser l’effet de l’acc´el´eration, les gradients des quadrupˆoles doivent ˆetre ajust´es. Une simulation grˆace au PBO-Lab, prenant en compte l’acc´el´eration, montrera si l’ajustement des quadrupˆoles est appropri´e. Finalement, on utilise Parmela pour suivre la trajectoire des particules et v´erifier les propri´et´es du faisceau dans l’espace longitudinale. 3.3 Adaptation des Faisceaux - (b) & (c) Pour qu’il soit possible d’utiliser la structure p´eriodique calcul´ee, il est n´ecessaire que les propri´et´es des faisceaux `a l’entr´ee de la section acc´el´eratrice soient adapt´ees `a celles de injecteur. L’ajustement est r´ealis´e par un r´eseau de quadrupˆoles pour chaque type de particules. En connaissant les propri´et´es du faisceau `a la sortie du dipˆole de combinaison et les valeurs propres pour les param`etres de Twiss de la section acc´el´eratrice, la structure est ajust´ee grˆace au logiciel TRANSPORT.
  12. 12. 8 4 R´ESULTATS 3.4 Mesure de l’Emittance Transversale - (d) Avant son injection dans l’acc´el´erateur, l’´emittance est mesur´ee pour ´evaluer la qualit´e du faisceau. En effet, la seule composante de la matrice σ qui peut ˆetre mesur´ee directement est σ11 parce qu’elle est le carr´e de la taille. La mesure de σ22 ou du facteur de couplage σ12 n’est pas si facile `a r´ealiser. Pour cela on mesure σ11(E) apr`es trois ´elements de focalisation, diff´erents et connus. Avec les donn´ees, les trois valeurs de σ(0) peuvent ˆetre calcul´ees. En sachant que l’´element de focalisation utilis´e est un triplet, on con¸coit et optimise la section de mesure de l’´emittance. Pour la structure propos´ee, on effectue la simulation d’un faisceau poss´edant une ´emittance connue grˆace `a PBO-Lab et on calcule l’´emittance `a partir des donn´ees. 3.5 Mesure de la Dispersion en ´Energie - (e) Dans l’anneau de stockage, les positrons sont maintenus sur la trajectoire circulaire grˆace `a plusieurs dipˆoles. A cause des propri´et´es dispersives d’un dipˆole, il faut connaˆıtre la dispersion en ´energie avant l’injection, pour ˆetre capable d’´evaluer si le faisceau est adapt´e `a l’anneau. Pour cela, on installe `a la position (e) une section de mesure de la dispersion en ´energie. Grˆace `a un dipˆole, on construit un syst`eme qui d´evie le faisceau dans une direction transversale, en fonction de l’´energie E. Le profil du faisceau est ensuite enregistr´e sur un ´ecran. La structure sera optimis´ee pour avoir une r´esolution maximale sur l’´ecran. 4 R´esultats 4.1 Conception & Simulation de l’Acc´el´erateur Principal 4.1.1 Conditions pour le Transport par la mˆeme Structure Le transport d’un faisceau de 0.2 GeV et d’un de 1.0 GeV par la mˆeme structure FODO n´ecessite plusieurs conditions. Comme les gradients magn´etiques des quadrupˆoles sont les mˆemes pour les deux types de particules, la longueur focale pour 1000 MeV, f1000, et celle pour 200 MeV, f200, ne sont pas ind´ependantes, mais coupl´ees. La distance focale est proportionnelle `a l’impulsion p, qui est environ E/c pour des particules relativistes. Il est alors l´egitime de supposer que les distances focales sont coupl´ees par f1000 ≈ 5 f200. L’avance de phase des e− devient alors cos µ200 = 1 − 25 L2 2 f1000 , et `a partir de la relation cos µ200 > −1, on trouve f1000 > 5 2 L. Le r´esultat de cette relation est qu’il est possible de transporter les deux faisceaux par la mˆeme structure, seulement si le gradient magn´etique des quadrupˆoles est tel que la distance focale pour les positrons soit plus grande que 5 2 L.
  13. 13. 4.1 Conception & Simulation de l’Acc´el´erateur Principal 9 On obtient les valeurs permises de l’avance de phase `a 1 GeV : 0 < µ1000 < 23◦. Dans cet intervalle, on calcule les param`etres de Twiss propres, pour chaque µ entier. La somme des valeurs de la fonction β pour chaque faisceau et chaque direction, montre que la plus petite taille pour les deux faisceaux est obtenue, si on applique µ1000 = 20◦. 4.1.2 Calcul de la Longueur d’une P´eriode Figure 3 – Espacements propos´es pour la moiti´e d’une p´eriode. Toutes les mesures sont en cm. Pour la structure FODO, on propose l’utilisation d’un Quadrupole Octagon de l’entreprise RadiaBeam Technologies [10] avec une longueur LQ = 8.6 cm. La longueur effective vaut Leff = 10.2 cm, le rayon d’ouverture ra = 2.55 cm et le gradient maximal gmax = 9 T/m. Pour pouvoir appliquer la mˆeme phase sur chaque cavit´e, la distance entre la sortie d’une cavit´e et l’entr´ee d’une autre, doit ˆetre un multiple de la longueur d’onde λ. En vue de diminuer les coˆuts, la longueur totale doit ˆetre la plus courte possible mais pour des raisons techniques, il faut au moins avoir une distance d’environ 30 cm entre un tank et un quadrupˆole ou entre deux tanks. Quand on choisit une distance de 42 cm = 4 λ entre la cavit´e de sortie d’une section et la cavit´e d’entr´ee de la suivante, l’espace de glissement entre les deux tanks aura une longueur de 31.2 cm. S’il y a en plus un quadrupˆole entre les deux, on choisit 84 cm = 8 λ. En utilisant deux espaces de glissement de mˆeme longueur autour du quadrupˆole, on trouve 32.3 cm pour l’espace de glissement entre tank et quadrupˆole. La longueur totale L entre deux quadrupˆoles est alors L = 714 cm. Un sch´ema sur les distances propos´ees est donn´ee `a la Figure 3. 4.1.3 Param`etres Propres de la Structure FODO et Ajustement des Gradients magn´etiques Consid´erons la moiti´e d’une p´eriode de la structure FODO, comportant deux tanks, qui acc´el`erent les particules au totale de ∆E. Au premier quadrupˆole avec le gradient g1, les particules poss`edent l’´energie E. En arrivant au deuxi`eme quadrupˆole les particules ont une ´energie de E + ∆E. Nous avons vu au chapitre 2.4 que l’avance de phase par p´eriode
  14. 14. 10 4 R´ESULTATS ainsi que les param`etres de Twiss propres de la structure ne d´ependent que de la distance L et de la distance focale f des quadrupˆoles. Pour garder le mˆeme µ malgr´e l’acc´el´eration, il faut modifier soit L, soit g2, gradient du deuxi`eme quadrupˆole. On choisit d’ajuster g2 pour avoir la mˆeme distance focale. Comme f est une fonction lin´eaire de E, le gradient g2 n´ecessaire sera : g2 ≈ g1 1 + ∆E E , et en toute g´en´eralit´e pour le n-i`eme quadrupˆole gn ≈ g1 1 + n ∆E E . (9) A priori, il semble ´evident d’utiliser µ1000 = 20, parce que pour cette avance de phase, les faisceaux ont des dimensions minimales. Le gradient `a 1.0 GeV est environ 1.6 T/m pour le quadrupˆole choisi. Dans ce cas, on ne peut plus utiliser ce type de quadrupˆole `a partir d’une ´energie de 5.625 GeV, parce que le gradient n´ecessaire d´epasse les 9 T/m admissibles. En utilisant un gradient de 1.3 T/m `a 1.0 GeV, on aura 8.7 T/m `a 6.7 GeV. Cela correspond `a une distance focale de |f1000| = 25.169 m et avec la longueur L, on obtient une avance de phase par p´eriode de µ1000 = 16.309◦. Au centre d’un quadrupˆole focalisant, dans la direction x et d´efocalisant pour y, les param`etres de Twiss propres pour les positrons sont αx = 0 βx = 58.064 m , (10) αy = 0 βy = 43.638 m . (11) Avec le gradient g = 1.3 T/m, la distance focale `a 0.2 GeV est |f200| = 5.044 m, correspon- dant `a µ200 = 90.108◦. En tenant compte de la charge inverse, les param`etres de Twiss propres sur la mˆeme position sont : αx = 0 βx = 4.173 m , (12) αy = 0 βy = 24.387 m . (13) Le champ acc´el´erateur maximal dans les sections SLAC est |Emax| = 14.75 MV/m [11], le gain d’´energie par tank est alors ∆ET = 43.265 MeV. Entre deux quadrupˆoles, l’´energie augmente de ∆E = 86.53 MeV. En consid´erant cet acc´el´eration et une ´energie initiale de 1 GeV, on calcule les gradients n´ecessaires pour les quadrupˆoles, d’apr`es l’´equation (9). Ils sont donn´es par les Tableaux 5 et 6. 4.1.4 Structure Propos´ee & Simulation La structure finale d’une moiti´e de p´eriode est d´ecrite au Tableau 4 en Annexe. Trois simulations diff´erentes donneront la possibilit´e d’´evaluer la qualit´e de la structure propos´ee.
  15. 15. 4.1 Conception & Simulation de l’Acc´el´erateur Principal 11 Pour v´erifier que la structure FODO convient avec les param`etres de Twiss calcul´es, on effectue une premi`ere simulation en utilisant TRANSPORT. Sous l’environnement PBO- Lab, on construit la structure, avec des quadrupˆoles de la longueur effective 10.2 cm, poss´edant un gradient de ±1.3 T/m et une section de glissement de 703.8 cm entre les quadrupˆoles. Le d´ebut de la simulation est situ´e au milieu d’un quadrupˆole focalisant pour les positrons suivant la direction x, on peut alors appliquer les param`etres de Twiss calcul´es au chapitre pr´ec´edent pour les deux ´energies. Le logiciel calcule l’´evolution des param`etres de Twiss et une sortie graphique est donn´ee. La longueur totale de la structure simul´ee est 450 m, qui correspond `a un gain d’´energie de 5.7 GeV, elle repr´esente alors la totalit´e de l’acc´el´erateur (mˆeme plus pour les e−). Les sorties graphiques des fonctions βx et βy pour les deux ´energies sont Figure 4 – Fonctions bˆetatron en direction x et y de la structure FODO pour les e+ `a 1 GeV (en haut) et les e− `a 0.2 GeV (en bas). donn´ees sur la Figure 4. Pour les e−, on trouve deux courbes bien p´eriodiques. Les courbes p´eriodiques pour les po- sitrons poss`edent quelques oscillations de plus, qui d´ecalent la courbe en direc- tion de l’axe β. L’amplitude de cette oscillation suppl´ementaire est petite (moins de 3% du maximum de βx), et donc n´egligeable, le but de la structure p´eriodique ´etant d’obtenir un faisceau de dimensions beaucoup plus petites que celles du syst`eme d’acc´el´eration. Cette condition est remplie (avec une ´emittance de l’ordre de 10−9 π m rad on aura un xmax de l’ordre d’un dixi`eme de mm), la structure FODO propos´ee est alors appropri´ee pour le transport des deux types de faisceaux. La repr´esentation de la distribution des particules dans l’espace des phases longitudinal, apr`es quelques sections acc´el´erantes permettra d’estimer, si les longueurs d´etermin´es pour les espaces de glissement permettent l’utilisation de la mˆeme phase pour tous les tanks. Il est consid´er´e que les particules constituantes le faisceau poss`edent une dispersion en ´energie de ∆E E et en phase (par rapport `a la fr´equence de 2855.17 MHz) de ∆ϕ. Avec le code Parmela (voir Chapitre 7), on simule la structure propos´ee avec les gradients cal- cul´es pour 13 2 p´eriodes du FODO (26 tanks) pour le faisceau de positrons. La simulation commence au milieu du quadrupˆole focalisant dans la direction x et utilise alors pour les
  16. 16. 12 4 R´ESULTATS param`etres de Twiss initiales les valeurs calcul´ees au chapitre pr´ec´edent. On choisit de simuler 1000 particules avec une dispersion en phase de ∆φ = 10◦ et une dispersion en ´energie ∆E E = 1 %. La phase d’entr´ee de l’onde progressive dans les tanks est 0◦. Tous les d´etails sur l’utilisation du code sont expliqu´es en Annexe B. La Figure 5 donne la repr´esentation graphique de l’´energie en fonction de la phase pour les 1000 particules, apr`es les 26 tanks. L’axe horizontal repr´esente la diff´erence de phase ϕ−ϕr de la particule de r´ef´erence, l’ordonn´ee donne la diff´erence d’´energie E − Er. La forme de la distribution des particules (courb´e) confirme que le gain d’´energie pour les particules avec ϕ = ϕr est plus petit que celui de Figure 5 – Distribution pour l’´energie en fonction de la phase la particule de r´ef´erence. Comme la distribution des particules est bien sym´etrique autour de ϕ = ϕr, on peut en d´eduire que la particule de r´ef´erence est acc´el´er´ee sur le maximum de l’onde progressive (si- nuso¨ıdale) dans chaque tank. Les distances choisis sont alors correctes, et la mˆeme phase peut ˆetre ap- pliqu´ee sur tous les tanks. Comme les positrons sont acc´el´er´es au maximum de l’onde progressive, les e− doivent ˆetre acc´el´er´es par un minimum de l’onde. Il sera alors n´ecessaire d’avoir une distance de π entre un paquet d’´electrons et un de positrons. Une derni`ere simulation grˆace `a TRANSPORT a ´et´e r´ealis´ee pour estimer l’´evolution des enveloppes du faisceau en tenant compte de l’acc´el´eration. Comme le code ne tient pas compte de l’acc´el´eration des particules pour calculer la distance focale d’un quadrupˆole, il a ´et´e n´ecessaire de simuler le faisceau ´etape par ´etape. La simulation commence au milieu du quadrupˆole focalisant en x pour les e+, avec un faisceau ayant les param`etres de Twiss calcul´ees au chapitre pr´ec´edent, et elle s’arrˆete `a l’entr´ee du deuxi`eme quadrupˆole. En utilisant PBO-Lab on obtient alors les param`etres de Twiss `a cette position. Ils sont enregistr´es et connaissant la nouvelle ´energie, on effectue une deuxi`eme simulation qui commence `a l’entr´ee du deuxi`eme quadrupˆole en tenant compte de la nouvelle ´energie et des nouveaux param`etres de Twiss. Grˆace au logiciel qtiplot [12], les valeurs de βx pour les e+ et e− sont trac´ees en fonction de la position. Le r´esultat est illustr´e sur la Figure 6. Pour les e+, l’´evolution de βx est bien p´eriodique, le faisceau est confin´e, les gradients magn´etiques choisis suivent alors l’effet du changement de la distance focale dˆu de l’acc´el´eration. En ce qui concerne le faisceau de e−, on observe une ´evolution divergente. Elle est dˆue au fait que les gradients magn´etiques ont ´et´e ajust´es pour une ´energie initiale de 1 GeV. Comme l’´equation (9) d´epend de l’´energie, les gradients calcul´es `a une ´energie donn´ee
  17. 17. 4.2 Adaptation des Faisceaux 13 βx(m) 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 Longueur L (m) 0 100 200 300 400 0 100 200 300 400 ExtractiondesÉlectrons ExtractiondesPositrons Électrons Positrons Figure 6 – Fonction βx du faisceau de positrons (rouge) et d’´electrons (noir). R´esultat de la simulation effectu´e grˆace au code TRANSPORT en tenant compte de l’acc´el´eration. seront pas adapt´es pour des ´energies diff´erentes. N´eanmoins la structure est convenable pour le transport des particules, en effet l’objectif est la limitation des enveloppes des faisceaux pendant l’acc´el´eration. La valeur maximale de βx du faisceau des e− vaut 55.6 m, plus petit que la valeur maximale pour des e+ (58.064 m). Pour plusieurs raisons, il est avantageux d’ajuster les gradients pour le faisceau de e+ : • comme les param`etres β `a l’entr´ee de la structure sont plus petites pour les e−, les valeurs `a la sortie d’une structure pas adapt´ee le seront aussi ; • l’´emittance d’un faisceau d’´electrons est en g´en´eral plus petite que celle d’un faisceau de positrons. Pour la mˆeme fonction β, l’enveloppe d’un faisceau de e− sera alors plus petite que pour des e+ ; • la section acc´el´eratrice est plus courte pour les e−, le faisceau peut alors moins diverger ; • comme le gradient est une fonction lin´eaire de E−1, les gradients n´ecessaires pour un faisceau initial moins ´energ´etique, sont beaucoup plus grandes. 4.2 Adaptation des Faisceaux 4.2.1 Adaptation du Faisceau de Positrons Apr`es le compresseur de paquets, le faisceau des e+ aura les propri´et´es suivantes [13],[14] : αx = 0.470238 βx = 11.811487 m x = 6.6 · 10−9 π m rad , (14) αy = 0.522727 βy = 16.145031 m y = 3.6 · 10−9 π m rad . (15) L’ajustement des param`etres de Twiss aux propri´et´es de la structure FODO est r´ealis´e grˆace `a plusieurs quadrupˆoles. En utilisant le logiciel TRANSPORT on d´etermine les
  18. 18. 14 4 R´ESULTATS gradients et des longueurs de glissements n´ecessaires. Le dernier quadrupˆole de la section d’adaptation sera le premier quadrupˆole de la structure FODO, d’une longueur effective de 5.1 cm et un gradient de 1.3 T/m. Il est utilis´e parce qu’on part avec les valeurs propres des param`etres de Twiss au milieu du premier quadrupˆole de la structure FODO. Les contraintes `a remplir sur cette position sont : αx = 0 = αy, βx = 58.064 m et βy = 43.638 m. Pour les param`etres initiaux on utilise les valeurs `a la sortie du compresseur des paquets et les mˆemes quadrupˆoles que pour la structure FODO. En g´en´eral, il y a une infinit´e de solutions, mais on veut que la longueur totale soit aussi petite que possible et que le gradient dans les quadrupˆoles soit le plus faible possible. La structure trouv´ee est d´ecrite dans le Tableau 1. La trajectoire des faisceaux est illustr´e `a la Figure 12. Table 1 – Structure propos´ee pour l’adaptation du faisceau des positrons.Toutes les lon- gueurs sont les longueurs effectives. La longueur totale est 17.3 m. ´Element D Q D Q D Q D Q D Q Leff(cm) 40 10.2 660 10.2 410 10.2 530 10.2 44.14 5.1 g(T/m) - 3.2404 - 4.7104 - -5.9977 - 3.3027 - 1.3 4.2.2 Adaptation du Faisceau d’´Electrons Le principe de l’adaptation est le mˆeme que pour les positrons. Dans ce cas, les param`etres initiaux, ne sont pas encore connus, on choisit : αx = −αy = 0.5 et βx = βy = 14 m `a une ´energie de 0.2 GeV. Les contraintes au milieu du premier quadrupˆole sont : αx = αy = 0, βx = 4.173 m et βy = 24.387 m. Comme expliqu´e au Chapitre 6, PBO-Lab ne peut pas calculer avec des particules charg´ees n´egativement. La structure est alors simul´ee pour les positrons et on inverse les gradients. Pendant l’ajustement il faut consid´erer le gradient pour le premier quadrupˆole de la structure FODO comme g = −1.3 T/m. La structure finale pour l’adaptation du faisceau d’´electrons est donn´ee par la Table 2 et la Figure 15. Table 2 – Structure pour l’adaptation du faisceau d’´electrons. Longueur totale : 642.5 cm. ´Element D Q D Q D Q D Q Leff (cm) 40 10.2 356.8 10.2 170 10.2 40 5.1 g (T/m) - -0.8799 - 1.6396 - -1.8717 - 1.3
  19. 19. 4.3 Mesure de l’´Emittance 15 4.3 Mesure de l’´Emittance 4.3.1 Principe de la Mesure Consid´erons un triplet suivi par un espace de glissement avec la matrice de transfert totale R(s) et un faisceau d´ecrit par la matrice σ(0) `a l’entr´ee du triplet 4. D’apr`es l’´equation 3, la grandeur σ11, et donc la taille du faisceau dans une direction particuli`ere sur la position s, d´epend de σ(0) et de R(s). En changeant la puissance du triplet, R(s) et σ11(s) vont changer. Comme σ(0) est constitu´e de trois composantes et l’´emittance est donn´ee par det σ(0), on est capable de d´eterminer l’´emittance en mesurant σ11(s) pour au moins trois valeurs diff´erentes du triplet. La taille du faisceau peut ˆetre mesur´ee sur un ´ecran qui ne fait pas partie de nos consid´erations. Comme l’´emittance est conserv´ee d’apr`es le th´eor`eme de Liouville, l’´emittance mesur´e `a l’entr´ee du triplet sera la mˆeme que celle apr`es le compresseur des paquets. Le triplet focalise dans les deux directions transversales. Si la distance focale f du triplet, donn´e par (1), est beaucoup plus grande que l’´epaisseur du triplet, il peut alors ˆetre d´ecrit par la matrice de transfert d’une lentille mince. La multiplication des deux matrices (lentille du distance focale f et espace de glissement de longueur L), donne S = 1 − L f et C = L. D’apr`es l’´equation (3), la composante σ11(s) sera : σ11(s) = 1 − L f 2 σ11(0) + 2 L 1 − L f σ12(0) + L2 σ22(0) . (16) L’ensemble des carr´es de la taille mesur´ee xmax (RMS), en fonction de 1 − L f est alors une parabole. En mesurant la taille au moins trois fois, on est capable de d´eterminer σ(0), par ajustement d’une courbe parabolique. 4.3.2 R´ealisation, Optimisation & Simulation Pour la section de mesure de l’´emittance, on propose l’utilisation des quadrupˆoles du type Diamond Quadrupole de l’entreprise RadiaBeam. Ce type de quadrupˆole a une longueur effective de Leff = 17.5 cm, une rayon d’ouverture ra = 2.3 cm et un gradient maximal de gmax = 10T/m. Au d´ebut on cherche un syst`eme permettant de faire diverger le faisceau, pour avoir des enveloppes grandes au niveau de l’´ecran. Pour cela, on installe deux quadrupˆoles avec un gradient de g = 10 T/m, distants de 30 cm, suivi par un espace de glissement de 12.5 m. La simulation avec PBO-Lab (voir Figure 17) montre que le faisceau est bien divergeant 4. Comme on consid`ere le triplet comme une lentille mince, σ(0) `a l’entr´ee sera la valeur au centre du triplet, en n´egligeant les quadrupˆoles.
  20. 20. 16 4 R´ESULTATS en arrivant au triplet. Comme d´ej`a expliqu´e, la distance focale du quadrupˆole central doit ˆetre environ la moiti´e de celle des quadrupˆoles lat´eraux. Il y a deux possibilit´es pour le r´ealiser : soit on utilise le mˆeme type de quadrupˆole et on ajuste les courants tels que gint ≈ −2 gext, dans ce cas, on peut utiliser les quadrupˆoles lat´eraux jusqu’`a 5 T/m. Soit on utilise un quadrupˆole central avec une longueur effective qui est le double de celle des quadrupˆoles lat´eraux. Les gradients sont environ les mˆemes. Ici, les quadrupˆoles peuvent ˆetre utilis´es entre 0 et 10 T/m, on peut alors travailler dans un r´egime de distances fo- cales plus courtes par rapport `a l’autre option. Afin de diminuer la longueur de l’espace de glissement apr`es le triplet, on choisit la deuxi`eme possibilit´e. Le triplet consiste alors en deux quadrupˆoles lat´eraux du longueur effective 17.5 cm et d’un quadrupˆole central de longueur 35 cm, qui doit ˆetre fabriqu´e sur commande. La distance entre le dernier qua- drupˆole du triplet et l’´ecran est de 12 m. En vue de mesurer l’´emittance dans les deux directions avec la mˆeme plage de courant, on essaie d’ajuster le rapport entre les gradients des quadrupˆoles lat´eraux gext et du quadrupˆole central, gint, tel que les enveloppes sont minimales au niveau de l’´ecran. L’adaptation est r´ealis´e grˆace au logiciel TRANSPORT et les contraintes choisisses sont αx(e) = αy(e) = 0 au niveau de l’´ecran et que les deux gradients lat´eraux sont les mˆemes : gex1 = gex2. D’apr`es l’ajustement, le rapport n´ecessaire pour remplir ces conditions est r = gext/gint = −1.0277. On trouve le gradient n´ecessaire des quadrupˆoles lat´eraux, pour avoir des enveloppes minimales, gext = −0.88842 T/m. L’approximation de la lentille mince et les calculs pour le triplet ne sont pas affect´es par le fait que les gradients diff`erent de 2.8%. Pendant une mesure, le gradient dans les quadrupˆoles est chang´e, avec le rapport r constant. La structure compl`ete pour la section de mesure de l’´emittance est repr´esent´ee par le Tableau 3. Grˆace au logiciel PBO-Lab, une simulation de la mesure est r´ealis´ee. Pour Table 3 – Structure propos´ee pour la mesure de l’´emittance. La longueur totale est 27.65 m ´Element D Q D Q D Q D Q D Q D Leff (cm) 30 17.5 30 17.5 1350 17.5 25 35 25 17.5 1200 g (T/m) - 10 - 10 - gext - gext r - gext - les ´emittances transversales, on choisit les mˆemes valeurs qu’`a la sortie du compresseur des paquets : x = 6.6·10−9 π m rad et y = 3.6·10−9 π m rad. Le logiciel donne les param`etres de Twiss sur l’´ecran. Les carr´es de la taille du faisceau sont obtenus par la multiplica- tion de βx ou βy par l’´emittance respective. En r´ealit´e la taille du faisceau est bien sˆur mesur´ee directement. Les gradients ´etant choisis, la distance focale f des quadrupˆoles et,
  21. 21. 4.3 Mesure de l’´Emittance 17 d’apr`es l’´equation (1), ´egalement la distance focale du triplet ftrip sont connues. La taille du faisceau est d´etermin´e pour 18 gradients entre −10 T/m et −5.5 T/m. Grˆace au logiciel qtiplot on repr´esente les valeurs pour x2 max et y2 max en fonction de 1 − L ftrip sur la Figure 7. L’ensemble des points obtenus pour une direction particuli`ere prend la forme d’une parabole. Le d´ecalage des deux courbes vient du fait que la distance focale du triplet est diff´erente pour les deux directions (voir Ch.2.2.4). L’ajustement parabolique est effectu´e par le logiciel qtiplot, en utilisant la m´ethode des moindres carr´ees et une fonction σ11(m2 ) -2e-06 0 2e-06 4e-06 6e-06 8e-06 1e-05 1.2e-05 -2e-06 0 2e-06 4e-06 6e-06 8e-06 1e-05 1.2e-05 1-L/f (sans unité) -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 σ11,x σ11,y Ajustement Parabolique (x) Ajustement Parabolique (y) Figure 7 – Valueurs de x2 max et y2 max trouv´ees pour la mesure de l’emittance, avec les paraboles ajust´ees. x2 max = a 1 − L ftrip 2 + b 1 − L ftrip + c. Les courbes obtenues sont ´egalement trac´ees sur la Figure 7. En sachant que a = σ11(0) , b = 2 L σ12(0) et finalement c = L2 σ22(0), on trouve l’emittance par = π σ11(0) σ22(0) − σ12(0)2. Avec les courbes obtenues, on retrouve les valeurs de l’´emittance : x = 6.6 · 10−9 π m rad , y = 3.6 · 10−9 π m rad . (17) Pour les valeurs trouv´ees, on ne donne aucune incertitude, parce que les valeurs de x2 max et y2 max ne sont pas des r´esultats d’une mesure.
  22. 22. 18 4 R´ESULTATS 4.4 Mesure de la Dispersion en ´Energie La dispersion en ´energie peut ˆetre mesur´ee grˆace `a un dipˆole magn´etique. Comme d´ej`a expliqu´e au chapitre 2.2.2, la force agissant sur une particule est d´ecrite par l’´equation de Lorentz, d’o`u l’on conclut que la force augmente avec l’´energie de la particule. A priori il suffit alors d’utiliser un dipˆole de rayon ρ0 et d’angle α, suivi par espace de glissement de longueur L et un ´ecran qui mesure la distribution des particules dans la direction de la force (ici x). Comme le faisceau poss`ede d´ej`a une distribution de particules dans la direction x, la densit´e de particules ρtot(x) sur l’´ecran, va ˆetre la convolution ρtot(x) = ρβ ∗ ρDi (x) entre la densit´e ρβ(x) (´ecart type σβ) par le faisceau et ρDi(x), la densit´e provoqu´e par le dipˆole (´ecart type σDi). Les deux distributions sont des fonctions gaussiennes 5, donc leur convolution l’est aussi. Sa largeur a mi-hauteur sera σtot = σ2 β + σ2 Di [15]. Comme σβ est proportionnelle `a βx, on essaie alors de diminuer βx au niveau de l’´ecran, pour augmenter la pr´ecision des mesures. A partir de l’´equation (3), on obtient la valeur de σ11(E) en fonction de la matrice de transfert : Rtot = RD´erive ·RDipole et de σ(D) `a l’entr´ee du dipˆole : σ11(E) = σ11(D) cos α − L sin α ρ0 2 + σ22(D) (L cos α + ρ0 sin α)2 + r , (18) o`u r repr´esente les termes ne d´ependant que de σ12(D). Les composantes de σ sont reli´ees aux param`etres de Twiss par l’´emittance , dans l’´equation (18) on peut alors remplacer σ11 par β et σ22 par 1+α2 β . La d´eriv´ee de σ11(E) par rapport `a σ11(D) donne, en consid´erant dα(D) dβ(D) = 0, la valeur n´ecessaire de β(D) pour avoir un minimum de β(E) : βmin(D) = L cos α + ρ0 sin α cos α − L sin α ρ0 , (19) ou bien pour la longueur de glissement quand on veut appliquer une fonction β sp´ecifique : L = β cos α − ρ0 sin α cos α + β sin α ρ0 . (20) On choisit pour le dipˆole un champ magn´etique B = 0.5 T et une longueur de la trajectoire centrale lc = 1 m, qui correspond `a un angle de α = 8.58◦. Pour des raisons techniques, la longueur de l’espace de glissement apr`es le quadrupˆole doit avoir une valeur minimale de 1m. D’apr`es l’´equation (20), la fonction β correspondant `a une longueur de 1m est βx = 2.045m. En utilisant les param`etres de Twiss comme au chapitre 4.2.1 6 on simule la structure 5. La distribution des ´energies est une gaussienne, alors ρDi l’est aussi. 6. Les param`etres r´eelles `a l’entr´ee de l’anneau de stockage ne sont pas connus, dans tout cas, ils peuvent ˆetre modifi´es par une structure appropri´ee, pour obtenir les param`etres souhait´es.
  23. 23. 4.4 Mesure de la Dispersion en ´Energie 19 Figure 8 – Distribution des particules en di- rection x sur l’´ecran, pour ∆E E = 1.5%. Avec l’ajustement gaussien. Figure 9 – FWHM mesur´e pour des dis- persions d’´energie entre 0.5% et 9%, avec l’ajustement lin´eaire espace-quadrupˆole-espace avant le dipˆole, avec un Octagon Quadrupole comme pour la structure FODO. Les contraintes `a remplir sont αx = 0 et βx = 2.1 m, o`u la premier contrainte correspond au fait qu’on veut avoir un enveloppe minimale `a l’entr´ee du dipˆole et la valeur de βx a ´et´e choisi parce qu’elle remplit la condition βx > 2.054. Les simulations montrent que cette valeur est facile `a obtenir avec un seul dipˆole. Les variables d’adaptation on choisis, sont la longueur l2 entre quadrupˆole et dipˆole ainsi que le gradient magn´etique g du quadrupˆole. La longueur du premier espace de glissement reste constante `a 0.308 m. Grˆace `a TRANSPORT, on obtient g = 4.7974 T/m et l2 = 4.398 m. Finalement, l’´equation (20) donne la valeur l3 = 1.043 m. La totalit´e de la section de mesure est repr´esent´ee sur la Figure 16. La distribution d’´energie `a l’entr´ee de la structure ´etant une gaussienne, la distribution des particules suivant la direction x sur l’´ecran le sera aussi. Avec 1000 particules initiales, on obtient `a l’aide du logiciel TURTLE, le nombre des particules mesur´es sur l’´ecran en fonction de x. La Figure 8 donne une telle distribution pour une dispersion de l’´energie de 1.5 % avec son ajustement gaussienne calcul´e grˆace `a qtiplot. ´Evidemment, cette distribution va avoir une largeur `a mi-hauteur FWHM (full width at half maximum) plus grande pour une dispersion en ´energie plus grande. Plusieurs valeurs de ∆E E entre entre 0% et 9%, sont repr´esent´ees sur la Figure 9 en fonction des valeurs mesur´es de FWHM, avec un approximation lin´eaire.
  24. 24. 20 5 R´ESUM´E, CONCLUSIONS & PERSPECTIVES 5 R´esum´e, Conclusions & Perspectives Les calculs au Chapitre 4.1.1 ont d´efinit les conditions `a remplir par une ligne de trans- port pour deux faisceaux d’´energies 1.0 GeV et 0.2 GeV. A partir des conditions pour l’espacement des sections acc´el´eratrices, une longueur totale pour la distance entre deux quadrupˆoles constituantes une structure FODO, a pu ˆetre ´etablit. Apr`es d’avoir choisi une distance focale f1000 qui remplit ces conditions et qui ne n´ecessite pas une valeur sup´erieure au gradient maximale de 9 T/m, on a pu simuler la ligne de transport et d’acc´el´eration. Grˆace au logiciel TRANSPORT, il a ´et´e possible de v´erifier que la struc- ture FODO et le r´eglage des gradients sont appropri´es `a l’acc´el´eration et au confinement des deux types de faisceau, mˆeme si les gradients ne sont pas ajust´ees pour le faisceau de e−. Une simulation du faisceau des e+ grˆace `a Parmela, jusqu’`a une ´energie finale de 2.2 GeV, a montr´e que les distances ´etablˆıtes au Chapitre 4.1.2 permettent d’utiliser la mˆeme phase pour chaque section. L’utilisation de TRANSPORT a donn´e la possibilit´e de d´eterminer aussi les deux structures d’ajustement pour adapter les faisceaux aux pro- pri´et´es de la structure FODO. Une optimisation des structures propos´ees, pourrait ˆetre r´ealis´ee par l’outil compl´ementaire NPSOL de PBO-Lab. Il permet de d´efinir plusieurs contraintes suppl´ementaires, par exemple que la longueur totale soit minimale [16]. Pour ce qui concerne les lignes de diagnostics, on a pu optimiser la structure grˆace `a TRANS- PORT. La simulation du triplet par PBO-Lab a montr´e que la distribution des valeurs de σ11 pour la mesure de l’´emittance, est parabolique et que la courbe d’ajustement redonne les bonnes valeurs de l’´emittance. Ceci confirme que la configuration propos´ee, permet la mesure de l’´emittance suivant les directions x et y dans le mˆeme intervalle de gradients. Pour le calcul de l’´emittance `a partir des donn´ees, il existe aussi une m´ethode utilisant la matrice de transfert num´erique [17]. Comme ils existent plusieurs logiciels pour le calcul automatique de la matrice de transfert, il sera avantageux de d´eterminer l’´emittance en utilisant les deux m´ethodes et comparer les r´esultats obtenues. En utilisant un dipˆole, une section de mesure de la dispersion en ´energie a ´et´e construite. La pr´ecision des mesures a ´et´e optimis´ee, en utilisant un quadrupˆole avant le dipˆole et en ajustant l’espace entre dipˆole et ´ecran. Le logiciel TURTLE a permis de simuler la distri- bution des particules sur l’´ecran. Ainsi on a ´et´e capable d´eterminer la valeur de FWHM pour 14 valeurs de ∆E E diff´erentes entre 0% et 9% avec une courbe ajust´ee. En r´ealit´e une telle courbe d’´etalonnage va permettre d’attribuer une valeur de FWHM `a une dispersion en ´energie. Toutes les consid´erations dans ce rapport sont au premier ordre. Une prochaine ´etape sera le calcul au deuxi`eme ordre et des erreurs d’alignement associ´ees.
  25. 25. 21 6 Annexe A : PBO-Lab, Simulation et Ajustement 6.1 Le Logiciel PBO-Lab (The Particle Beam Optics Laboratory) est une interface graphique pour Mi- crosoft Windows, afin de simplifier l’utilisation des codes TRANSPORT, TURTLE et TRACE-3D. La structure `a simuler ou `a ajuster est construite `a l’aide d’icˆones, qui d´efinissent des ´el´ements, et qui sont positionn´ees dans l’ordre souhait´e. Chaque ´el´ement peut ˆetre modifi´e pour avoir les propri´et´es voulues. Le logiciel n’accepte pas de charge n´egative, il faut alors effectuer toutes les simulations avec des positrons. En n’utilisant que des quadrupˆoles et espaces de glissement, la simulation analogue pour les e− peut ˆetre r´ealis´ee avec un faisceau de e+ et les gradients invers´es. 6.2 Simulation Apr`es la cr´eation d’une ligne de transport et la d´efinition des param`etres initiaux comme les param`etres de Twiss et l’´energie, on est capable de visualiser l’´evolution du faisceau, et d’obtenir les valeurs des param`etres de Twiss en une position souhait´ee. TRANSPORT d´etermine les valeurs des param`etres de Twiss par un calcul matriciel. En utilisant l’icˆone ’FINAL’, le mode de sortie pour TURTLE peut ˆetre d´efini. Ce logiciel suit la trajectoire d’un nombre donn´e de particules. La distribution g´eom´etrique des particules dans les deux directions transversales peut ˆetre visualis´ee. L’´echelle peut ˆetre ajust´ee suivant les besoins de l’utilisateur. 6.3 Adaptation avec TRANSPORT Souvent on veut ajuster une ligne de transport, pour transformer les param`etres du fais- ceau aux valeurs d´efinis. Cela est r´ealis´e en cr´eant la structure `a ajuster (par exemple 4 quadrupˆoles et 5 espaces de glissement) suivit de l’icˆone ’FINAL’, contenant les contraintes `a remplir. Sur les icˆones des ´el´ements, les param`etres `a ajuster sont choisis. Finale- ment TRANSPORT calcule les valeurs n´ecessaires pour les variables afin de remplir les contraintes. A priori, il y a une infinit´e de solutions pour chaque syst`eme.
  26. 26. 22 7 ANNEXE B : SIMULATION AVEC PARMELA 7 Annexe B : Simulation avec Parmela 7.1 Description du Logiciel Le code Parmela (Phase and radial motion in electron linacs) a ´et´e cr´e´e `a Los Alamos National Laboratory aux ´Etats Unis. Contrairement `a TRANSPORT qui fait un calcul ma- triciel, Parmela transporte un nuage de particules. Les valeurs calcul´ees sont enregistr´ees pour chaque position, et peuvent ˆetre retir´ees num´eriquement, ou visualis´ees sous forme de graphiques. La structure `a simuler est entr´ee par des mots clefs, suivit de param`etres d´efinissant l’´el´ement respectif. Un tel ensemble est appel´e ’carte’ pour la suite [11]. La carte pour un quadrupˆole de longueur effective 10.2 cm, de rayon d’ouverture ra = 2.55 cm et un gradient de 1 T/m est par exemple : quad 10.2 2.55 1 100. o`u le ’1’ sur la troisi`eme position est un param`etre logique pour la sortie. Pour ’1’, les propri´et´es du faisceau `a la fin du quadrupˆoles seront affich´ees, pour ’0’, ils le seront pas [11]. Il y a trois cartes d´efinissants les param`etres globaux et initiaux : la premi`ere est la carte run 1 2 2855.17 0. 1000. 1 elle d´efinit le format de sortie 2, la fr´equence globale 2855.17 (en MHz), la position longi- tudinale initiale de la particule de r´ef´erence 0. et finalement l’´energie initiale de la particule de r´ef´erence 1000. (en MeV). Les propri´et´es initiaux du faisceau sont d´efinis par : input 6 / 999 / 0. 3382.5275 2.08E-06 / 0. 4804.1248 1.14E-06 / 11. 10. Le premier param`etre d´efinit la mani`ere dont les propri´et´es du faisceau sont acquises. Comme on choisit 6 le faisceau sera caract´eris´ee par le nombre de particules simul´ees 999 (plus la particule de r´ef´erence) en deuxi`eme position, les param`etres de l’´ellipse αx et βx (troisi`eme et quatri`eme position) ou bien αy et βy (sixi`eme et septi`eme position), o`u α est sans unit´e et β en cm. Les ´emittances en cm rad sont donn´ees aux positions cinq et huit, finalement la dispersion en phase (11.) et en ´energie (10.). La phase initiale des ondes `a haute fr´equence pour l’acc´el´eration est d´etermin´e par WT0 sur la carte [11] START WT0=0. DWT=10. NSTEPS=500000 NSC=0 NOUT=0 Enfin, le code cr´e´e s’ex´ecute apr`es la carte ’start’ et les r´esultats sont enregistr´es dans plusieurs fichiers de sortie. Grˆace au logiciel SIMPLE qui fait partie de l’installation de Parmela, on peut visualiser par exemple l’´energie en fonction de la phase des particules [18].
  27. 27. 7.2 Simulation de l’Injecteur de SuperB 23 7.2 Simulation de l’Injecteur de SuperB Comme pour les simulations avec PBO-Lab, la simulation commence avec un quadrupˆole focalisant pour les e+ suivant la direction x, de longueur 5.1 cm. Cela permet l’utilisation des param`etres de Twiss calcul´es pour le centre d’un tel quadrupˆole de longueur 10.2 cm (voir Ch.4.1.3 ). Un code pour les sections acc´el´eratrices du type SLAC est disponible dans [11] : CELL /L=3.499 /APER=0.95466 /IOUT=1 /phi0=30.29 /E0=9.366 /NC=1 /DWT=1. /SYM=1 /CFREQ=2855.986 /CTYPE=1 /BZ=0. /NFC=14 /COS=1 0.1704634E+01,0.3405747E+00,-0.1342430E+00,-0.3698516E-01, 0.1405716E-01,0.3110588E-02,-0.3895104E-03,-0.4738850E-04, 0.2688355E-05,0.3202221E-07,0.9270728E-08,0.6640441E-07, -0.9901883E-07,-0.7171031E-07 trwave 1.7495 1.311 1 -55.71 14.75 1 1. 2856. 1 -5 5 .6667 86 0 0 0 0 0 0 trwave 3.499 1.311 1 -55.71 14.75 1 1. 2856. 1 trwave 3.499 1.311 1 -55.71 14.75 1 1. 2856. 1 2nd - 84th trwave 3.499 1.311 1 -55.71 14.75 1 1. 2856. 1 trwave 1.7495 1.311 1 -55.71 14.75 1 1. 2856. 1 o`u 2nd-84th repr´esente 83 cartes identiques du type ’trwave’. Comme d’habitude, les trois premiers param`etres donnent la longueur de l’´el´ement, le rayon d’ouverture et le param`etre de sortie. Le param`etre suivant est la phase, qui doit ˆetre la mˆeme pour chaque carte ’trwave’ et 90◦ de plus pour la carte ’CELL’ qui sert `a l’initialisation des param`etres du champ ´electrique de haute fr´equence. Il est important de modifier le sixi`eme param`etre qui est la valeur de num´erotage, indiquant chaque tank. Pour notre simulation, on modifie les longueurs pour avoir une longueur de 3.5 cm par cavit´e, et la fr´equence `a 2855.17 MHz (λ = 10.5 cm). L’ensemble du code pour la section acc´el´eratrice, repr´esente une section de longueur 297.5 cm, car la longueur de la carte ’CELL’ compte aussi. En cons´equence, il faut diminuer la longueur de l’espace de glissement avant une cavit´e de 3.5 cm pour garder la mˆeme longueur totale. Finalement le fichier d’entr´ee pour la simulation de la moiti´e d’une p´eriode (sans titre) :
  28. 28. 24 7 ANNEXE B : SIMULATION AVEC PARMELA run 1 2 2855.17 0. 1000. 1 zlimit 10. output 5 quad 5.1 2.55 1 130. drift 33.4 1. 1 CELL /L=3.5 /APER=0.95466 /IOUT=1 /phi0=90. /E0=9.366 /NC=1 /DWT=1. /SYM=1 /CFREQ=2855.986 /CTYPE=1 /BZ=0. /NFC=14 /COS=1 0.1704634E+01,0.3405747E+00,-0.1342430E+00,-0.3698516E-01, 0.1405716E-01,0.3110588E-02,-0.3895104E-03,-0.4738850E-04, 0.2688355E-05,0.3202221E-07,0.9270728E-08,0.6640441E-07, -0.9901883E-07,-0.7171031E-07 trwave 1.75 1.311 1 0. 14.75 1 1. 2855.17 1 -5 5 .6667 86 0 0 0 0 0 0 trwave 3.5 1.311 1 0. 14.75 1 1. 2855.17 1 2nd-84th trwave 3.5 1.311 1 0. 14.75 1 1. 2855.17 1 trwave 1.75 1.311 1 0. 14.75 1 1. 2855.17 1 drift 38.5 1. 1 CELL /L=3.5 /APER=0.95466 /IOUT=1 /phi0=90. /E0=9.366 /NC=1 /DWT=1. /SYM=1 /CFREQ=2855.986 /CTYPE=1 /BZ=0. /NFC=14 /COS=1 0.1704634E+01,0.3405747E+00,-0.1342430E+00,-0.3698516E-01, 0.1405716E-01,0.3110588E-02,-0.3895104E-03,-0.4738850E-04, 0.2688355E-05,0.3202221E-07,0.9270728E-08,0.6640441E-07, -0.9901883E-07,-0.7171031E-07 trwave 1.75 1.311 1 0. 14.75 2 1. 2855.17 1 -5 5 .6667 86 0 0 0 0 0 0 trwave 3.5 1.311 1 0. 14.75 2 1. 2855.17 1 2nd-84th trwave 3.5 1.311 1 0. 14.75 2 1. 2855.17 1 trwave 1.75 1.311 1 0. 14.75 2 1. 2855.17 1 drift 36.9 1. 1 quad 10.2 2.55 1 -141.69 zout input 6 / 999 / 0. 5806.4114 2.08E-06 / 0. 4363.8255 1.14E-06 / 11. 10. START WT0=0. DWT=10. NSTEPS=500000 NSC=0 NOUT=0 end
  29. 29. 25 8 Annexe C : Figures Figure 10 – Structure des lentilles minces, focalisantes et d´efocalisantes en distance L (FODO). La structure provoque une oscillation p´eriodique de l’enveloppe du faisceau, si les propri´et´es initiales du faisceau sont appropri´ees. Figure 11 – Structure SLAC. La longueur d’un tank est de 304.8 cm, la longueur totale des cavit´es acc´el´eratrices de 294 cm. Le zoom montre le champ ´electrique acc´el´erant en un instant donn´e.
  30. 30. 26 8 ANNEXE C : FIGURES Figure 12 – Image obtenu par PBO-Lab pour la simulation des propri´et´es transversales du faisceau de positrons dans l’acc´el´erateur ind´ependamment de l’acc´el´eration. La courbe rouge repr´esente l’enveloppe dans la direction x, la courbe bleue celle dans la direction y. Figure 13 – Simulation des propri´et´es transversales du faisceau d’´electrons dans l’acc´el´erateur ind´ependamment de l’acc´el´eration. La courbe rouge repr´esente l’enveloppe dans la direction x, la courbe bleue celle dans la direction y. Figure 14 – Enveloppes du faisceau de positrons, pendant l’adaptation, suivant x en rouge et suivant y en bleue. Figure 15 – Enveloppe du faisceau de positrons, pendant l’adaptation pour les ´electrons, suivant x en bleue et suivant y en rouge.
  31. 31. 27 Figure 16 – Structure propos´ee de la section de mesure de la dispersion en ´energie. Toutes les longueurs sont les longueurs geom´etriques. Figure 17 – Structure pour la mesure de l’´emittance, en appliquant un gradient magn´etique de gext = −0.888417 T/m. Les courbes rouge et bleue repr´esentent l’enveloppe dans les directions x et y respectivement. 9 Annexe D : Tableaux Table 4 – Structure propos´ee pour l’acc´el´erateur. En n´egligeant le dernier quadrupˆole, la structure donn´ee correspond `a la moiti´e d’une p´eriode. Element Quad D´erive Tank D´erive Tank D´erive Quad L (cm) 8.6 32.3 304.8 31.2 304.8 32.3 8.6 f (m) 25.17 - - - - - -25.17
  32. 32. 28 9 ANNEXE D : TABLEAUX Table 5 – Gradients calcul´es pour garder la mˆeme distance focale quand l’´energie des positrons augmente (premier partie) Quad ´Energie (MeV) g (T/m) Quad ´Energie (MeV) g (T/m) 1 1000.00 1.3000 17 2438.66 3.1703 2 1089.92 -1.4169 18 2528.57 -3.2871 3 1179.83 1.5338 19 2618.49 3.4040 4 1269.75 -1.6507 20 2708.40 -3.5209 5 1359.66 1.7676 21 2798.32 3.6378 6 1449.58 -1.8845 22 2888.24 -3.7547 7 1539.50 2.0013 23 2978.15 3.8716 8 1629.41 -2.1182 24 3068.07 -3.9885 9 1719.33 2.2351 25 3157.98 4.1054 10 1809.24 -2.3520 26 3247.90 -4.2223 11 1899.16 2.4689 27 3337.82 4.3392 12 1989.08 -2.5858 28 3427.73 -4.4561 13 2078.99 2.7027 29 3517.65 4.5729 14 2168.91 -2.8196 30 3607.56 -4.6898 15 2258.82 2.9365 31 3697.48 4.8067 16 2348.74 -3.0534 32 3787.40 -4.9236
  33. 33. 29 Table 6 – Gradients calcul´es pour garder la mˆeme distance focale quand l’´energie des positrons augmente (deuxi`eme partie) Quad ´Energie (MeV) g (T/m) Quad ´Energie (MeV) g (T/m) 33 3877.31 5.0405 49 5315.97 6.9108 34 3967.23 -5.1574 50 5405.88 -7.0276 35 4057.14 5.2743 51 5495.80 7.1445 36 4147.06 -5.3912 52 5585.72 -7.2614 37 4236.98 5.5081 53 5675.63 7.3783 38 4326.89 -5.6250 54 5765.55 -7.4952 39 4416.81 5.7419 55 5855.46 7.6121 40 4506.72 -5.8587 56 5945.38 -7.7290 41 4596.64 5.9756 57 6035.30 7.8459 42 4686.56 -6.0925 58 6125.21 -7.9628 43 4776.47 6.2094 59 6215.13 8.0797 44 4866.39 -6.3263 60 6305.04 -8.1966 45 4956.30 6.4432 61 6394.96 8.3134 46 5046.22 -6.5601 62 6484.88 -8.4303 47 5136.14 6.6770 63 6574.79 8.5472 48 5226.05 -6.7939 64 6664.71 -8.6641 64 6754.62 8.7810
  34. 34. 30 R´EF´ERENCES R´ef´erences [1] INFN, editor. SuperB - A High Luminosity Heavy Flavour Factory, Mars 2007. INFN/AE - 07/2, SLAC-R-856, LAL 07-15. [2] EPAC 2006,. Doubling the PEP-II Luminosity in Simulations, 2006. MOPLS048. [3] KEKB breaks luminosity record. CERN Courrier, Juin 2009. [4] Frank Hinterberger. Physik der Teilchenbeschleuniger und Ionenoptik. Springer- Verlag, Berlin, 2ˆeme edition, 2008. [5] S. Turner, editor. CERN Accelerator Physics Course Vol. I. Organisation Europ´eenne pour la Recherche Nucl´eaire, Janvier 1994. [6] A.P. Banford. The Transport Of Charged Particle Beams. Taylor & Francis, 1966. [7] Alessandro Variola. Utilisation du rayonnement optique pour l’´etude des ca- ract´eristiques spatiotemporelles d’un faisceau d’´electrons. Application `a TTF. PhD thesis, Universit´e Paris Sud, Janvier 1998. [8] R.B. Neal, editor. The Stanford Two-Mile-Accelerator. W.A. Benjamin, Inc., New York, 1968. [9] M. Biagini, R. Boni, S. Guiducci, F. Poirier, M. Preuer, and A. Variola. New SuperB Layout Scheme. -. [10] RadiaBeam Technologies. Magnet portfolio. http ://www.radiabeam.com. [11] Bernard Mouton. The PARMELA Program - Version 5.03 of Orsay Implementation. Technical report, Laboratoire de l’acc´el´erateur lin´eaire, Avril 2010. [12] http ://soft.proindependent.com/qtiplot.html. [13] Dates de Antoine Chance. [14] Dates de Susanna Guiducci. [15] V. Blobel and E. Lohrmann. Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse. Teubner Verlag, Stuttgart, 1ˆere edition, 1998. [16] G.H. Gillespie, B.W. Hill, and J.M. Moore. Solving Complex Beamline Fitting and Optimization Problems with the Particle Beam Optics Lab (PBO-Lab), 2000. Pro- ceedings of EPAC 2000.
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