Vibrations et ondes mecanique

VVVIIIBBBRRRAAATTTIIIOOONNNSSS EEETTT OOONNNDDDEEESSS MMMEEECCCAAANNNIIIQQQUUUEEESSS
Université des Sciences et de la Technologie
Houari Boumediene
Faculté de Physique
CCCooouuurrrsss &&& EEExxxeeerrrccciiiccceeesss
DDDeeeuuuxxxiiièèèmmmeeeAAAnnnnnnéééeeedddeeesssFFFiiillliiièèèrrreeesssSSSccciiieeennntttiiifffiiiqqquuueeesssdddeeesssUUUnnniiivvveeerrrsssiiitttéééssseeetttdddeeesssEEEcccooollleeesssddd’’’IIInnngggééénnniiieeeuuurrrsss
Année Universitaire 2010-2011
Pr. DJELOUAH Hakim

Table des matières
1 Introduction aux équations de Lagrange 1
IFI iqu—tions de v—gr—nge pour une p—rti™ule F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I
IFIFI iqu—tions de v—gr—nge F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I
IFIFP g—s des systèmes ™onserv—tifs F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q
IFIFQ g—s des for™es de frottement dépend—nt de l— vitesse F F F F F F F F F F F F Q
IFIFR g—s d9une for™e extérieure dépend—nt du temps F F F F F F F F F F F F F F F S
IFP ƒystème à plusieurs degrés de li˜erté F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S
IFQ ixer™i™es F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S
2 Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté 7
PFI ys™ill—tions non —morties F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U
PFIFI ys™ill—teur liné—ire F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U
PFIFP inergie ™inétique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U
PFIFQ inergie potentielle F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F V
PFIFR iqu—tion di'érentielle F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F V
PFIFS ‚ésolution de l9équ—tion di'érentielle de l9os™ill—teur h—rmonique simple F V
PFP ys™ill—tions li˜res des systèmes —mortis à un degré de li˜erté F F F F F F F F F F F W
PFPFI iqu—tion de v—gr—nge pour les systèmes dissip—tifs F F F F F F F F F F F F F W
PFPFP g—s p—rti™ulier des os™ill—tions de f—i˜le —mplitude F F F F F F F F F F F F F W
PFPFQ ‚ésolution de l9équ—tion di'érentielle F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IH
PFQ ixer™i™es F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F II
3 Oscillations forcées des systèmes à un degré de liberté 17
QFI iqu—tion di'érentielle F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IU
QFP ƒystème m—sseEressortE—mortisseur F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IU
QFQ ƒolution de l9équ—tion di'érentielle F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IV
QFQFI g—s p—rti™ulier où A(t) = A0 cos(Ωt) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IW
QFQFP g—s d9une ex™it—tion périodique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PP
QFR smpéd—n™e mé™—nique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PQ
QFRFI hé(nition F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PQ
QFRFP smpéd—n™es mé™—niques F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PQ
QFRFQ €uiss—n™e F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PQ
QFRFR eppli™—tions F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PR
QFS ixer™i™es F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PS
4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 29
RFI sntrodu™tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW
RFP ƒystèmes à deux degrés de li˜erté F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QH
RFPFI ƒystème m—ssesEressorts en tr—nsl—tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QH
RFPFP g—s p—rti™ulier de deux os™ill—teurs identiques F F F F F F F F F F F F F F F F QQ
H. Djelouah

iv TABLE DES MATIÈRES
RFPFQ €endules ™ouplés F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QT
RFQ ixer™i™es F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU
5 Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté 41
SFI iqu—tions de v—gr—nge F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RI
SFP ƒystème m—ssesEressortsE—mortisseurs F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RI
SFPFI iqu—tions di'érentielles F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RP
SFPFP itude du régime perm—nent sinusoïd—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RP
SFQ smpéd—n™e F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RQ
SFR eppli™—tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RR
SFS ixer™i™es F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RS
6 Généralités sur les phénomènes de propagation 47
TFI €rop—g—tion à une dimension F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RU
TFIFI iqu—tion de prop—g—tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RU
TFIFP ƒolution de l9équ—tion de prop—g—tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RU
TFIFQ ynde progressive sinusoïd—le F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SH
TFIFR ƒuperposition de deux ondes progressives sinusoïd—les F F F F F F F F F F F SI
TFIFS †itesse de ph—se F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SP
TFIFT †itesse de groupe F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SQ
TFIFU ynde ve™torielle F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SR
TFP €rop—g—tion d—ns l9esp—™e à trois dimensions F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SS
TFPFI iqu—tion de prop—g—tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SS
TFPFP ynde pl—ne progressive sinusoïd—le F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SS
TFQ ixer™i™es F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SU
7 Cordes vibrantes 59
UFI iqu—tion des ondes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SW
UFP yndes progressives h—rmoniques F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TH
UFPFI hé(nition F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TH
UFPFP por™e en un point F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TH
UFPFQ smpéd—n™e F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TI
UFQ ys™ill—tions li˜res d9une ™orde de longueur (nie F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TI
UFR ‚é)exion et tr—nsmission F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TQ
UFRFI ‚é)exion et tr—nsmission entre deux ™ordes semiEin(nies F F F F F F F F F F TQ
UFRFP ‚é)exion sur une impéd—n™e quel™onque F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TQ
UFS ixer™i™es F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TR
8 Ondes élastiques dans les solides 67
VFI €ropriétés él—stiques des solides F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TU
VFIFI héform—tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TU
VFIFP gontr—inte moyenne F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TV
VFIFQ voi de rooke F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TV
VFIFR goe0™ient de €oisson F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TV
VFIFS voi de rooke pour les for™es t—ngentielles F F F F F F F F F F F F F F F F F F TW
VFP ynde pl—ne longitudin—le F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TW
VFPFI iqu—tion de prop—g—tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TW
VFPFP yndes progressives h—rmoniques F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UH
VFPFQ ‚é)exion et tr—nsmission F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UI
VFPFR ys™ill—tions li˜res d9un ˜—rre—u F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UP
VFPFS ys™ill—tions for™ées d9un ˜—rre—u de longueur (nie F F F F F F F F F F F F F F UR
H. Djelouah

TABLE DES MATIÈRES v
VFQ yndes él—stiques tr—nsvers—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F US
VFR wodèle de l— ™h—îne liné—ire F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UT
VFRFI wodélis—tion mi™ros™opique du pro˜lème et mise en équ—tionsF F F F F F F UT
VFRFP ƒolution en régime perm—nent sinusoïd—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UU
VFRFQ v9—pproxim—tion d9un milieu ™ontinuF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UV
VFS ixer™i™es F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UW
9 Ondes acoustiques dans les uides 83
WFI sntrodu™tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VQ
WFP iqu—tion d9onde F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VQ
WFQ †itesse du son F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VS
WFR ynde progressive sinusoïd—le F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VT
WFRFI hé(nition F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VT
WFRFP smpéd—n™e —™oustique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VU
WFRFQ inergie —™oustique F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VU
WFS ‚é)exionE„r—nsmission F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WH
WFT ixer™i™es F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WP
A Equations diérentielles 95
eFI sntrodu™tion F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WS
eFP iqu—tion homogène F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WS
eFPFI ‚égime fortement —morti @ δ ω0 A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WT
eFPFP ‚égime ™ritique @ δ = ωO A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WU
eFPFQ ‚égime pseudoEpériodique @ δ ω0 A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WU
eFQ iqu—tion —ve™ se™ond mem˜re F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHH
eFQFI ƒolution génér—le F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHH
eFQFP g—s p—rti™ulier où e@tA est ™onst—nte F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHH
eFQFQ g—s p—rti™ulier où A(t) = A0 cos(Ωt) : F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHI
eFQFR g—s où e@tA est une fon™tion périodique du temps F F F F F F F F F F F F F F IHP
B Compléments de mathématiques 105
fFI pon™tions trigonométriques F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHS
fFP ƒéries de pourier F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHS
fFQ xom˜res ™omplexes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHT
fFR iqu—tions di'érentielles F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHT
C Dynamique du solide en rotation autour d'un axe 109
H. Djelouah

vi TABLE DES MATIÈRES
H. Djelouah

Chapitre 1
Introduction aux équations de Lagrange
1.1 Equations de Lagrange pour une particule
1.1.1 Equations de Lagrange
gonsidérons le ™—s p—rti™ulier d9une p—rti™ule —streinte à se dépl—™erD s—ns frottementD sur
une ™our˜e pl—ne ™ontenue d—ns le pl—n xOyF v— ™our˜e sur l—quelle est —streinte à se dépl—™er
l— p—rti™ule de m—sse mD est le lieu des points dont les ™oordonnées véri(ent les rel—tions X
z = 0
f(x, y) = 0
v— première rel—tion ™orrespond —u pl—n xOy F v— se™onde rel—tion représente l9équ—tion de l—
tr—je™toire d—ns ™e pl—nF ges deux rel—tions dé(nissent les équ—tions des li—isons —ppelées souvent
li—isonsF ve nom˜re de degrés de li˜erté est ég—l —u nom˜re de ™oordonnées qui représentent l—
position de m @trois d—ns le ™—s génér—lA moins le nom˜re de li—isons @deux d—ns le ™—s p—rti™ulier
étudié i™iAF v— p—rti™ule possède don™ un degré de li˜ertéF sl f—ut ™hoisir une v—ri—˜le q pour
repérer s— positionF gette v—ri—˜le est —ppelée ™oordonnée génér—liséeF sl est possi˜le d9exprimer
le ve™teur position r de l— p—rti™ule en fon™tion de l— ™oordonnée génér—lisée q p—r l— rel—tion X
r = r (q)F
ƒoit F l— résult—nte de toutes les for™es —giss—nt sur l— p—rti™uleF v— rel—tion fond—ment—le
de l— dyn—mique s9é™rit X
F = m
d2r
dt2
= m
dv
dt
où v =
dr
dt
est l— vitesse de l— p—rti™uleF
ƒoit δW le tr—v—il fourni p—r l— for™e F lors d9un dépl—™ement in(nitésim—l δr X
δW = F · δr
ve dépl—™ement in(nitésim—l δr peut s9é™rire en fon™tion de l— v—ri—tion δq de l— ™oordonnée
génér—lisée q X
δr =
∂r
∂q
δq
h—ns ™e ™—s le tr—v—il δW peut se mettre l— forme X
δW = F ·
∂r
∂q
δq
H. Djelouah

2 Introduction aux équations de Lagrange
yn —ppelle for™e génér—lisée ™onjuguée de qD ou qE™ompos—nte de l— for™eD l— qu—ntité Fq
dé(nie p—r X
Fq =
δW
δq
= F ·
∂r
∂q
€—r ™onséquent δW s9é™rit X
δW = Fq δq
in ten—nt ™ompte de l— rel—tion fond—ment—le de l— dyn—miqueD ™ette expression peut ég—leE
ment s9é™rire X
δW = m
dv
dt
·
∂r
∂q
δq
h9—utre p—rt X
d
dt
v ·
∂r
∂q
=
dv
dt
·
∂r
∂q
+ v ·
d
dt
∂r
∂q
ƒ—™h—nt que
d
dt
∂r
∂q
=
∂
∂q
dr
dt
=
∂v
∂q
on o˜tient
dv
dt
·
∂r
∂q
=
d
dt
v ·
∂r
∂q
− v ·
∂v
∂q
ve ve™teur vitesse vD peut —ussi s9é™rire X
v =
dr
dt
=
∂r
∂q
∂q
∂t
=
∂r
∂q
˙q
h9où l— rel—tion X
∂r
∂q
=
∂v
∂ ˙q
et
dv
dt
·
∂r
∂q
=
d
dt
v ·
∂v
∂ ˙q
− v ·
∂v
∂q
ƒ—™h—nt que
∂
∂ ˙q
1
2
v2
=
∂
∂ ˙q
1
2
v · v = v ·
∂v
∂ ˙q
et que
∂
∂q
1
2
v2
=
∂
∂q
1
2
v · v = v ·
∂v
∂q
on o˜tient
dv
dt
·
∂r
∂q
=
d
dt
∂
∂ ˙q
1
2
v2
−
∂
∂q
1
2
v2
v9expression du tr—v—il δW peut —lors s9é™rire X
δW = m
d
dt
∂
∂ ˙q
1
2
v2
−
∂
∂q
1
2
v2
δq
H. Djelouah

1.1 Equations de Lagrange pour une particule 3
ƒi on note T = 1
2mv2 l9énergie ™inétique de l— m—sse m D on o˜tient (n—lement X
δW =
d
dt
∂T
∂ ˙q
−
∂T
∂q
δq
yn o˜tient (n—lement les deux expressions équiv—lentes du tr—v—il δW
d
dt
∂T
∂ ˙q
−
∂T
∂q
δq = Fq δq
yn en déduit l9équ—tion de d9elem˜ert pour un système à un degré de li˜erté X
d
dt
∂T
∂ ˙q
−
∂T
∂q
= Fq
1.1.2 Cas des systèmes conservatifs
h—ns les systèmes ™onserv—tifsD l— for™e —ppliquée —u système dérive d9un potentiel U et elle
s9é™rit X
Fq = −
∂U
∂q
v9équ—tion de v—gr—nge devient —lors X
d
dt
∂T
∂ ˙q
−
∂T
∂q
= −
∂U
∂q
qénér—lement l9énergie potentielle U ne dépend p—s de l— vitesseD ™9est!dire que ∂U
∂ ˙q
= 0F
v9équ—tion de v—gr—nge peut —lors s9é™rire X
d
dt
∂ (T − U)
∂ ˙q
−
∂ (T − U)
∂q
= 0
yn introduit l— fon™tion de v—gr—nge @ ou l—gr—ngien du système A qui est l— di'éren™e de
l9énergie ™inétique et de l9énergie potentielle X
L = T − U
h9où l— forme de l9équ—tion de v—gr—nge d—ns le ™—s d9un système ™onserv—tif X
d
dt
∂L
∂ ˙q
−
∂L
∂q
= 0
1.1.3 Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse
Equation de Lagrange
gonsidérons une situ—tion physique d—ns l—quelle l— p—rti™ule est soumise à des for™es de
frottement de vis™osité dont l— résult—nte f est de l— forme X
f = −α v
€our ™—l™uler l— for™e génér—lisée fq ™orrespond—nteD nous utilisons l— dé(nition du p—r—gr—phe
pré™édent X
fq = f ·
∂r
∂q
= −α
∂r
∂q
2
∂q
∂t
H. Djelouah

gette dernière expression peut se mettre sous l— forme X
fq = −β ˙q
—ve™
β = α
∂r
∂q
2
ƒi en plus des for™es qui dérivent d9un potentiel il existe des for™es de frottement de vis™ositéD
l9équ—tion de v—gr—nge s9é™rit X
d
dt
∂T
∂ ˙q
−
∂T
∂q
= FU,q + fq
où FU,q = −
∂U
∂q
représente les for™es qui dérivent d9un potentielF h9où X
d
dt
∂L
∂ ˙q
−
∂L
∂q
= −β ˙q
Fonction dissipation
g—l™ulons le tr—v—il δWf fourni p—r l— for™e de frottement pend—nt un interv—lle de temps δt
pour un dépl—™ement δr :
δWf = f · δr = −α v2
δt
v— qu—ntité de ™h—leur δQ g—gnée p—r le système en inter—™tion —ve™ l— p—rti™uleD est telle
que X
δQ = α v2
δt
ƒoit Pd =
δQ
δt
l— puiss—n™e dissipée p—r les for™es de frottement sous forme de ™h—leur X
Pd = α v2
gette puiss—n™e dissipée peut être exprimée en fon™tion de ˙qD p—r X
Pd = α
dr
dt
2
= α
∂r
∂q
∂q
∂t
2
= β ˙q2
€—r dé(nitionD l— fon™tion dissip—tion est ég—le à l— demiEpuiss—n™e dissipée X
D =
1
2
Pd =
1
2
β ˙q2
v— qE™ompos—nte fq de l— for™e de frottement peut —lors s9é™rire X
fq = −
∂D
∂ ˙q
v9équ—tion de v—gr—nge s9é™rit —lors X
d
dt
∂L
∂ ˙q
−
∂L
∂q
+
∂D
∂ ˙q
= 0
H. Djelouah

1.2 Système à plusieurs degrés de liberté 5
1.1.4 Cas d'une force extérieure dépendant du temps
gonsidérons le ™—s plus génér—l d9une for™e extérieure dépend—nt du temps —giss—nt sur un
système qui est le siège de for™es de frottement qui dérivent d9une fon™tion dissip—tion DF ƒoit
Feq l— qE™ompos—nte de l— for™e extérieureF h—ns ™e ™—s l9équ—tion de v—gr—nge peut s9é™rire sous
l9une des deux formes équiv—lentes suiv—ntes X
d
dt
∂L
∂ ˙q
−
∂L
∂q
= Feq − β ˙q
d
dt
∂L
∂ ˙q
−
∂L
∂q
+
∂D
∂ ˙q
= Fe,q
1.2 Système à plusieurs degrés de liberté
h—ns le ™—s génér—l d9un système à plusieurs degrés de li˜ertéD il y — —ut—nt d9équ—tions
de v—gr—nge que de degrés de li˜ertéF einsiD si le système possède x degrés de li˜ertéD il est
né™ess—ire d9—voir x ™oordonnées génér—lisées qi (i = 1, 2, ...., N) Y nous —urons —insi x équ—tions
de v—gr—nge X
d
dt
∂L
∂ ˙qi
−
∂L
∂qi
+
∂D
∂ ˙qi
= Fe,qi (i = 1, 2, ...., N)
v— qi−™ompos—nte de l— for™e génér—lisée extérieure est dé(nie p—r X
Fe,qi =
δW
δqi δqi=0
h—ns ™ette expression δW représente le tr—v—il des for™es extérieures résult—nt d9une v—ri—tion
δqi de l— ™oordonnée qi telle que les ™oordonnées qj=i soient ™onst—ntes (δqj=i = 0)F
1.3 Exercices
Exercice 1 : yn ™onsidère un point m—tériel —streint à se dépl—™er sur un ™er™le de r—yon R et
de ™entre O ™ontenu d—ns le pl—n xOyF
IF „r—duire l— li—ison p—r une ou des rel—tions m—thém—tiquesY quel est le nom˜re de degrés
de li˜erté de ™e pointc
PF uelles sont les ™oordonnées génér—lisées que l9on peut utiliser pour repérer ™e pointc
Exercice 2 : yn ™onsidère un point m—tériel —streint à se dépl—™er sur une sphèreF ‚épondre
—ux mêmes questions que l9exer™i™e pré™édentF
Exercice 3 : €our repérer l— position d9un solide d—ns l9esp—™eD il f—ut repérer l— position de
trois points non —lignés AD B et C de ™e solideF
IF „r—duire les li—isons physiques p—r des rel—tions m—thém—tiquesY quel est le nom˜re de
degrés de li˜erté de ™e solidec
PF uelles sont les ™oordonnées génér—lisées les plus ™our—mment utilisées pour dé™rire le
mouvement d9un solidec
QF uel est le nom˜re de degrés de li˜erté pour un solide qui possède X
@—A un point (xec
@˜A deux points (xesc
H. Djelouah

Exercice 4 : yn ™onsidère une h—ltère ™onstituée de deux m—sses identiques mD supposées
pon™tuellesD reliées p—r une tige de longueur aD de di—mètre et de m—sse néglige—˜lesF
IF gomment s9é™rit m—thém—tiquement l— li—ison entre les deux m—ssesc
PF uel est le nom˜re de degrés de li˜erté de ™e systèmec
Exercice 5 : yn ™onsidère une m—sse M qui glisse s—ns frottement selon une droite sur un
pl—n horizont—lF ille est reliée à un ˜âti (xe p—r un ressort p—rf—it de r—ideur kD ™oliné—ire —ve™
l— tr—je™toireF
IF uel est le nom˜re de degrés de li˜ertéc
PF uelles sont les for™es qui s9exer™ent sur l— m—sse MF uelles sont ™elles qui dérivent d9un
potentielc uelles sont ™elles qui ne tr—v—illent p—sc
QF g—l™uler l9énergie ™inétique et l9énergie potentielle de ™e systèmeY en déduire l9équ—tion
di'érentielle du mouvement p—r l— méthode des équ—tions de v—gr—ngeF
RF it—˜lir l9équ—tion di'érentielle du mouvement en utilis—nt l— se™onde loi de xewtonY que
rem—rqueEtEonc uelles sont les for™es qui n9interviennent p—s d—ns l9équ—tion de v—gr—nge
et qui sont prises en ™ompte d—ns les équ—tions de xewtonc uelle est leur p—rti™ul—ritéc
Exercice 6 : yn ™onsidère un pendule simple ™onstitué d9une m—sse m reliée à un point (xe
O p—r un (l de longueur et de m—sse néglige—˜leF gette m—sse peut os™iller li˜rement d—ns le
pl—n verti™—l xOyF
IF uel est le nom˜re de degrés de li˜erté de ™e systèmec uelles sont les ™oordonnées généE
r—lisées les plus pr—tiques à utiliserc i™rire les ™oordonnées x et y de l— m—sse m d—ns le
repère xOy en fon™tion des ™oordonnées génér—lisées ™hoisiesF
PF uelles sont les for™es qui s9exer™ent sur l— m—sse mF uelles sont ™elles qui dérivent d9un
potentielc uelles sont ™elles dont le tr—v—il n9est p—s nul —u ™ours du mouvementc
QF it—˜lir les équ—tions du mouvement p—r l— méthode des équ—tions de v—gr—ngeF
RF i™rire les équ—tions du mouvement p—r l— méthode de xewtonY retrouveEtEon le même
résult—t que p—r l— méthode de v—gr—ngec héterminer le module de l9—™tion du (l sur l—
m—sse m Y pouv—itEon déterminer ™e module p—r l— méthode de v—gr—ngec gommenter le
résult—tF
Exercice 7 : itudier le mouvement d9un ™ylindre de m—sse M et de r—yon RD qui roule s—ns
glisser le long de l— ligne de plus gr—nde pente d9un pl—n in™liné qui f—it un —ngle ϕ —ve™ l9horiE
zont—leF
Exercice 8 : itudier à l9—ide des équ—tions de v—gr—ngeD le mouvement d9une m—sse M qui
glisse sur un pl—n in™liné f—is—nt un —ngle ϕ —ve™ l9horizont—leD —ve™ un ™oe0™ient de frottement
de glissement µF v— m—sse est soumise de plus à une for™e F(t) p—r—llèle —u pl—n in™linéF
Exercice 9 : itudierD à l9—ide des équ—tions de v—gr—ngeD le mouvement d9un ™ylindre de m—sse
M et de r—yon R —utour de son —xe de révolution (xé horizont—lementD entr—îné en rot—tion p—r
l9—™tion de for™es extérieures dont le moment p—r r—pport à l9—xe de rot—tion est M(t)F
Exercice 10 : …ne p—rti™ule de m—sse m est lâ™hée s—ns vitesse initi—le d—ns un )uide ™—r—™térisé
p—r un ™oe0™ient de frottement visqueux αF itudier son mouvement à l9—ide des équ—tions de
v—gr—ngeF
Exercice 11 : it—˜lir l9équ—tion di'érentielle du mouvementD d—ns un pl—n verti™—lD d9une
m—sse pon™tuelle m reliée à un point O p—r une tige de longueur et de m—sse néglige—˜leF v—
m—sse est soumise à une for™e F(t) qui reste perpendi™ul—ire à l— tige lors du mouvementF ves
for™es de frottement de vis™osité peuvent être r—menées à une for™e f = −α v —ppliquée à l—
m—sse m dont l— vitesse inst—nt—née est v F ve ™oe0™ient de frottement visqueux α est supposé
™onst—ntF
H. Djelouah

Chapitre 2
Oscillations libres des systèmes à un
degré de liberté
2.1 Oscillations non amorties
2.1.1 Oscillateur linéaire
…n système os™ill—nt à un degré de li˜erté est h—˜ituellement repéré à l9—ide d9une ™oordonnée
génér—lisée q qui est l9é™—rt p—r r—pport à l— position d9équili˜re st—˜leF ve mouvement vi˜r—toire
est dit liné—ire s9il est régi p—r une équ—tion di'érentielle h—rmonique de l— forme X
¨q + ω2
0q = 0
gette équ—tion est —ppelée équ—tion di'érentielle de l9os™ill—teur h—rmonique simpleF
2.1.2 Energie cinétique
h—ns le ™—s d9un système à un degré de li˜ertéD ™onstitué d9une m—sse m dont l— position est
repérée p—r l— ™oordonnée génér—lisée qD l9énergie ™inétique s9é™rit X
T =
1
2
m v2
=
1
2
m
∂r
∂t
2
=
1
2
m
∂r
∂q
∂q
∂t
2
=
1
2
m
∂r
∂q
2
˙q2
v9énergie ™inétique d9un système à un degré de li˜erté est fon™tion de q et ˙q F ille peut s9é™rire
sous l— forme X
T =
1
2
a(q) ˙q2
où a(q) est une fon™tion de l— ™oordonnée génér—lisée qD dé(nie d—ns le ™—s étudié p—r X
a(q) = m
∂r
∂q
2
in f—is—nt un développement limité de a(q) —u se™ond ordre en qD —u voisin—ge de q = 0 D on
o˜tient X
T(q, ˙q) =
1
2
a(0) +
∂a
∂q q=0
q +
1
2
∂2a
∂q2
q=0
q2
+ · · · ˙q2
in limit—nt l9—pproxim—tion —u se™ond ordreD on o˜tient X
T =
1
2
a0 ˙q2
où a0 est une ™onst—nte ég—le à a (0) .
H. Djelouah

8 Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté
2.1.3 Energie potentielle
ves os™ill—tions se font —utour de l— position d9équili˜re st—˜le q = 0 ™—r—™térisée p—r X
∂U
∂q q=0
= 0
sl est toujours possi˜le D lorsque les é™—rts p—r r—pport à l— position d9équili˜re sont f—i˜lesD de
f—ire un développement en série de „—ylor de U(q) —u voisin—ge de l— position d9équili˜re q = 0F
in néglige—nt les puiss—n™es de q d9ordre supérieur à deuxD on o˜tient X
U(q) = U(0) +
∂U
∂q q=0
q +
1
2
∂2U
∂q2
q=0
q2
+ · · ·
q = 0 ™orrespond à un minimum de U(q) pour lequel
∂U
∂q q=0
= 0 et
∂2U
∂q2
q=0
0
ƒi on ™hoisit l9origine de l9énergie potentielle à ™ette position d9équili˜re (U(0) = 0) , l9énergie
potentielle U (q) peut s9é™rire sous une forme qu—dr—tique X
U(q)
1
2
b0 q2
—ve™ X b0 =
∂2U
∂q2
q=0
2.1.4 Equation diérentielle
v9équ—tion de v—gr—nge s9é™rit X
d
dt
∂L
∂ ˙q
−
∂L
∂q
= 0
ge qui permet d9o˜tenir l9équ—tion di'érentielle de l9os™ill—teur h—rmonique simple —ve™ l—
v—leur de l— puls—tion propre ω0 X
ω2
0 =
b0
a0
=
∂2U
∂q2
q=0
a0
ves os™ill—tions d9un système vi˜r—toire s9e'e™tuent —utour d9une position d9équili˜re st—˜leF
€our des os™ill—tions de f—i˜le —mplitude —utour de l— position d9équili˜reD tous les mouvements
vi˜r—toires peuvent être —ssimilés à des vi˜r—tions liné—ires et l9énergie potentielle peut —lors être
—pproximée p—r une forme qu—dr—tique de l— ™oordonnée qD t—ndis que l9énergie ™inétique peut
être —pproximée p—r une forme qu—dr—tique en ˙qF
2.1.5 Résolution de l'équation diérentielle de l'oscillateur harmonique simple
v9équ—tion di'érentielle de l9os™ill—teur h—rmonique simple s9é™rit X
¨q + ω2
0 q = 0
v— solution d9une telle équ—tion est une fon™tion sinusoïd—le du temps
q(t) = A cos (ω0 t + ϕ)
H. Djelouah

2.2 Oscillations libres des systèmes amortis à un degré de liberté 9
où A représente l9—mplitude des os™ill—tionsD ϕ est l— ph—se initi—leF
sl est import—nt de rem—rquer que l— puls—tion propre ω0 ne dépend que des éléments qui
™onstituent le système physique étudié @m—sseD ressortD et™FFFA t—ndis que l9—mplitude A et l—
ph—se initi—le ϕ sont ™—l™ulées à p—rtir des ™onditions initi—les X



q(t = 0) = q0
˙q(t = 0) = ˙q0
in(n l9—mplitude des os™ill—tions d9un os™ill—teur h—rmonique li˜re ne dépend p—s du tempsF
he telles os™ill—tions sont dites non —mortiesF
sl f—ut né—nmoins rem—rquer qu9—u delà d9une ™ert—ine —mplitude l— vi˜r—tion devient non
liné—ireF sl s9ensuit d9—˜ord une modi(™—tion de l— période des os™ill—tions et ensuite un ™h—ngeE
ment de l— n—ture du mouvementF
2.2 Oscillations libres des systèmes amortis à un degré de liberté
h—ns le p—r—gr—phe pré™édentD nous n9—vons p—s tenu ™ompte de ™ert—ines ré—lités physiquesF
in e'etD nous n9—vons p—s pris en ™ompte les for™es de frottement qui sont à l9origine de l— perte
d9énergie mé™—nique du système sous forme de ™h—leurF h—ns ™e p—r—gr—pheD nous —llons tenir
™ompte de ™es ré—lités en nous limit—nt toutefois —u ™—s simple où les pertes sont dues à des
frottements visqueux pour lesquels les for™es de frottementD qui s9opposent —u mouvementD sont
proportionnelles à l— vitesseF
2.2.1 Equation de Lagrange pour les systèmes dissipatifs
‚—ppelons l9équ—tion de v—gr—nge —sso™iée à un système à un degré de li˜erté dont l9évolution
—u ™ours du temps se r—mène à l9étude de l— ™oordonnée génér—lisée q
d
dt
∂L
∂ ˙q
−
∂L
∂q
= Fq
Fq représente l— ™ompos—nte suiv—nt q de l— résult—nte des for™es génér—lisées qui ne dérivent
p—s d9un potentielF
xous nous intéressons —u ™—s p—rti™ulier des for™es de frottement dé(nies p—r l— for™e généE
r—lisée
Fq = fq = −β ˙q
où β est une ™onst—nte réelle positiveF
v9équ—tion de v—gr—nge s9é™rit —lors d—ns ™e ™—s X
d
dt
∂L
∂ ˙q
−
∂L
∂q
= −β ˙q
2.2.2 Cas particulier des oscillations de faible amplitude
xous —vons montré d—ns le ™h—pitre pré™édent que d—ns le ™—s des os™ill—tions de f—i˜le
—mplitudeD l— fon™tion de v—gr—nge s9é™riv—it sous l— forme X
L =
1
2
a ˙q2
−
1
2
b q2
v9équ—tion di'érentielle du mouvement s9é™rit —lors X
a ¨q + bq = −β ˙q
H. Djelouah

g9est une équ—tion di'érentielle du se™ond ordre à ™oe0™ients ™onst—nts qui peut se mettre
sous l— forme X
¨q + 2 δ ˙q + ω2
0 q = 0
où δ est un ™oe0™ient positifD —ppelé f—™teur @ou ™oe0™ientA d9—mortissement et dé(ni p—r X
δ =
β
2 a0
ω0 est l— puls—tion propre dé(nie p—r
ω0 =
b0
a0
2.2.3 Résolution de l'équation diérentielle
v— solution de l9équ—tion di'érentielle dépend de l— v—leur de δ p—r r—pport à ω0 X
! ƒi δ ω0 D on dit que le système est sur—morti ou —périodiqueF
! ƒi δ = ω0 D on dit que l9on — un —mortissement ™ritiqueF
! ƒi δ ω0 D on dit que le système est sousE—morti ou pseudopériodiqueF
Cas où le système est suramorti (δ ω0)
v— solution de l9équ—tion di'érentielle s9é™rit d—ns ™e ™—s X
q(t) = A1 e
−δ−
√
δ2−ω2
0 t
+ A2 e
−δ+
√
δ2−ω2
0 t
A1 et A2 sont des ™onst—ntes d9intégr—tion dé(nies p—r les ™onditions initi—lesF v— (gure ™iE
dessous représente q en fon™tion du temps d—ns le ™—s p—rti™ulier où q(0) = q0 et ˙q(0) = 0F
q(t) est une fon™tion qui tend exponentiellement @s—ns os™ill—tionA vers zéroF
O
‚égime fortement —morti X v—ri—tion de q en fon™tion du temps
Cas de l'amortissement critique (δ = ω0)
v— solution génér—le de l9équ—tion di'érentielle est de l— forme X
q(t) = (A1 + A2 t) e−δ t
h—ns le ™—s p—rti™ulier où q(0) = q0 et ˙q(0) = 0D
q(t) = q0 (1 + δ t) e−δ t
q(t) est en™ore une fon™tion qui tend vers zéro s—ns os™ill—tion lorsque le temps —ugmenteF
H. Djelouah

2.3 Exercices 11
O
emortissement ™ritique X v—ri—tion de q en fon™tion du temps
Cas où le système est sous-amorti (δ ω0)
v— solution génér—le de l9équ—tion di'érentielle est de l— forme X
q(t) = A e−δt
cos (ωA t + φ)
—ve™ ωA = ω2
0 − δ2 Y A et φ sont deux ™onst—ntes d9intégr—tion déterminées à p—rtir des
™onditions initi—lesF h—ns le ™—s p—rti™ulier où q(0) = q0 et ˙q(0) = 0D on o˜tient X
A =
ω0
ωA
q0
φ = − arctan
δ
ωA
O
ƒystème f—i˜lement —morti X v—ri—tion de q en fon™tion du temps
2.3 Exercices
Exercice 1 : g—l™uler l— fréquen™e des os™ill—tions pour ™h—™un des systèmes suiv—nts d—ns
lesquels l— m—sse m est —streinte à un mouvement verti™—l uniquement X
m
m
m
k 1
k 2
k 1 k 1
k 2
k 2
H. Djelouah

Exercice 2 : …ne m—sse pon™tuelle m glisse s—ns frottement sur une t—˜le horizont—leF ille
est (xée à deux ˜âtis (xes p—r deux ™ordes de m—sse néglige—˜le tendues horizont—lementF in
suppos—nt que l— tension T des ™ordes reste ™onst—nte lors du mouvementD ™—l™uler l— période
des os™ill—tions pour de f—i˜les —mplitudes du mouvement d—ns l— dire™tion xF
L/2 L/2
m
x
Exercice 3 : …n i™e˜erg de m—sse volumique ρGD —ssimil—˜le à un p—r—llélépipède régulier et
homogène de m—sse M )otte sur de l9e—u de m—sse volumique ™onst—nte ρEF ƒ— surf—™e de ˜—se
est S et s— h—uteur est LF
yn r—ppelle que l— poussée d9er™himède qui s9exer™e sur un o˜jet immergé est X PA = −ρEV g
où † est le volume immergé et g l9—™™élér—tion de l— pes—nteurF
IF g—l™ulerD à l9équili˜reD le volume immergé de l9i™e˜erg en fon™tion de son volume tot—lF v—
m—sse volumique de l— gl—™e est ρG = 900 kgGm3
Y ™elle de l9e—u est ρE = 1000 kgGm3
F
PF v9i™e˜erg est é™—rté d9une dist—n™e verti™—le h p—r r—pport à s— position d9équili˜reF g—l™uler
l— période de ses os™ill—tions qu—nd les frottements sont ™onsidérés ™omme néglige—˜lesF
p—ire l9—ppli™—tion numérique pour L = 150 mD h = 2 mD g = 9.8 mGs2
F
Exercice 4 : …ne tige d9—™ier de ™onst—nte de torsion C est soudée p—r son extrémité —u ™entre
d9un disque homogène de m—sse M et de r—yon RF v9—utre extrémité est en™—strée d—ns un ˜âti
(xeF …ne m—sse m est soudée —u point le plus ˜—s du disqueF
C
m
M,R
yn tourne le disque d9un —ngle φ0 et on le lâ™he s—ns vitesse initi—leF héterminer l9expression en
fon™tion du temps de l9—ngle φ(t) d9é™—rt du système p—r r—pport à s— position d9équili˜reF yn
néglige l— )exion de l— tige d9—™ierF
Exercice 5 : …n métronome est s™hém—tisé sur l— (gure ™iEdessousF v— m—sse M est soudée à
l9extrémité de l— tigeF v— position de l— m—sse m sur l— tige peut être régléeF v— tige est supposée
de m—sse néglige—˜leY elle est mo˜ile s—ns frottements —utour de OF v— m—sse M ét—nt en ˜—sD
on l9é™—rte d9un —ngle θ0 petit et on l9—˜—ndonne s—ns vitesse initi—leF
M
m
L
l
O
x
y
H. Djelouah

2.3 Exercices 13
IF uelle@sA ™ondition@sA doit s—tisf—ire le système pour qu9il puisse os™illerc
PF héterminer l9expression de l— période pour des os™ill—tions de f—i˜les —mplitudesF
QF ƒ—™h—nt que M = 80 gD m = 20 g et L = 4 ™mD déterminer l— dist—n™e pour que l— période
du métronome soit ég—le à P sF
RF yn veut —ugmenter l— période d9os™ill—tion du métronomeF p—utEil r—ppro™her ou éloigner
l— m—sse m du point O c
Exercice 6 : h—ns les (gures ™iEdessousD une tige homogène de m—sse M et de longueur L
os™ille s—ns frottementD d—ns un pl—n verti™—lD —utour d9un —xe (xe perpendi™ul—ire —u pl—n du
mouvement en OF
IF uelle est l— déform—tion du ressort à l9équili˜reD s—™h—nt qu9à ™ette position θ = 0 c
PF it—˜lir l9équ—tion di'érentielle du mouvement d—ns le ™—s des mouvements de f—i˜le —mE
plitudeF
QF e quelle ™ondition le système de l— (gure @˜A peutEil os™illerc uelle est l— n—ture du
mouvement lorsque ™ette ™ondition n9est p—s s—tisf—itec
M
a
a
a
k
kk
O
O
O
L
L
L
A
AA
(a) (b) (c)
M
M
Exercice 7 : u—nd l9éle™tron d9un —tome d9hydrogèneD se dépl—™e d9une petite dist—n™e x à
p—rtir de l— position d9équili˜reD il su˜it une for™e de r—ppel donnée p—r X
F = −kxD —ve™ k = e2
4πε0r2 D
où r = 0.05 nm ™orrespond —u r—yon de l9—tomeF g—l™uler l— puls—tion propre ω0 des osE
™ill—tions de l9éle™tronF yn donne e = 1.6 × 10−19 g, me = 9.1 × 10−31 kg, ε0 = 8.85 ×
10−12 N−1 m−2 C2F
Exercice 8 : g—l™uler l— période des os™ill—tions d9une p—rti™ule de ™h—rge q et de m—sse
m —streinte à se dépl—™er selon une tr—je™toire re™tiligne entre deux ™h—rges ég—les q (xées en
x = ±aF
Exercice 9 : …ne p—rti™ule de m—sse m se dépl—™e d—ns un ™h—mp de for™e ™onserv—tif —ve™ une
énergie potentielle donnée p—r X
V (x) =
1
2 k a2 − x2 pour |x| a
0 pour |x| ≥ a
où a et k sont des ™onst—ntesF ƒ—™h—nt que a 0D étudier les types de mouvement possi˜les selon
le signe de kF
Exercice 10 : v9énergie potentielle d9une p—rti™ule de m—sse m est
V (x) =
c x
x2 + a2
où c et a sont des ™onst—ntes positivesF ‚eprésenter gr—phiquement V en fon™tion de xF itudier
le mouvement des os™ill—tions de f—i˜le —mplitude —u voisin—ge de l— position d9équili˜re st—˜leF
ƒ—™h—nt que ™ette p—rti™ule dém—rre de s— position d9équili˜re st—˜le —ve™ une vitesse vD trouver
les v—leurs de v pour lesquelles X
H. Djelouah

IF elle os™ille —u voisin—ge de l— position d9équili˜reY
PF elle s9é™h—ppe vers +∞ Y
QF elle s9é™h—ppe vers −∞F
Exercice 11 : …ne p—rti™ule de m—sse m se dépl—™e d—ns l— région x 0 sous l9—™tion d9une
for™e F(x) X
F (x) = −m ω2
x −
a4
x3
où ω et a sont des ™onst—ntesF ‚eprésenter gr—phiquement l9énergie potentielle en fon™tion de
xF g—l™uler l— période des os™ill—tions de f—i˜le —mplitude —u voisin—ge de l— position d9équili˜re
st—˜leF v— p—rti™ule dém—rre de ™ette position —ve™ une vitesse vF „rouver les v—leurs de x limit—nt
l— région des os™ill—tionsF wontrer que l— période des os™ill—tions est indépend—nte de vF @estu™e
pour le ™—l™ul de l9intégr—le X f—ire le ™h—ngement de v—ri—˜le y = x2A
Exercice 12 : …n ˜lo™ de m—sse PS kg est monté sur un support en ™—out™hou™D de m—sse
néglige—˜leD qui se ™omprime de TFI ™m sous ™e poidsF u—nd le ˜lo™ vi˜re li˜rementD on enregistre
lespositionsde l—m—sse—prèsl9—voirdépl—™édeS™m àp—rtirdes— position d9équili˜re@voir (gure
™iEdessousAF ƒ—™h—nt que le t—pis de ™—out™hou™ peut être sym˜olisé p—r un ressort de r—ideur K
—sso™ié à un —mortisseur de ™oe0™ient de frottement visqueux α D ™—l™uler ™es ™oe0™ients K et
αF
x(cm)
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
-6
-4
-2
0
2
4
6
t(s)
Exercice 13 : ve système de l— (gure ™iEdessous est ™onstitué d9un ™ylindre homogène de m—sse
M et de r—yon R en rot—tion —utour de son —xe de révolution (xe (∆)F …n (l inextensi˜leD de
m—sse néglige—˜leD entr—îne le ™ylindre s—ns glissement sur s— périphérieY ses deux extrémités
sont reliées à un ˜âti (xe @fA p—r un ressort de r—ideur K et un —mortisseur de ™oe0™ient de
frottement visqueux αF uelle l— v—leur ™ritique du ™oe0™ient αC c
K
R
(B)
(D)
a
Exercice 14 : ve système mé™—nique de l— (gure ™iEdessous est ™onstitué d9une tige re™tiligne
ehD homogèneD de m—sse M = 3 kg et de longueur L = 2 mF gette tige peut tournerD d—ns le
pl—n verti™—lD s—ns frottementD —utour d9un —xe horizont—l (∆) (xeF ves extrémités e et h de
l— tige sont reliées —u ˜âti (xe B2 p—r deux —mortisseurs identiques de ™oe0™ient de frottement
visqueux αF ve point gD milieu de l— tigeD est relié —u ˜âti B1 p—r un ressort de r—ideur kF e
H. Djelouah

2.3 Exercices 15
l9équili˜reD l— tige est horizont—leF vorsque l— tige est é™—rtée de s— position d9équili˜re d9un —ngle
θ0 puis lâ™hée s—ns vitesse initi—leD elle prend un mouvement os™ill—toire —morti de pseudoEpériode
I sF yn ™onst—te qu9—u ˜out de S pseudoEpériodesD l9—mplitude est ég—le à PH 7 de l9—mplitude
initi—leF in déduire l— v—leur numérique de α puis ™elle de kF
k
A
D
a
a
2a
(B )1
(B )2
C
( )D
a a
j
H. Djelouah

H. Djelouah

Chapitre 3
Oscillations forcées des systèmes à un
degré de liberté
3.1 Equation diérentielle
‚—ppelons l— forme génér—le de l9équ—tion de v—gr—nge pour les systèmes à un degré de
li˜erté X
d
dt
∂L
∂ ˙q
−
∂L
∂q
+
∂D
∂ ˙q
= Fqext
où Fqext est l— for™e génér—lisée —sso™iée à Fext et où l— fon™tion dissip—tion est D =
1
2
β ˙q2F
€our les os™ill—tions de f—i˜le —mplitudeD l— fon™tion de v—gr—nge pouv—it se mettre sous une
forme qu—dr—tique de q et ˙q
L =
1
2
a0 ˙q2
−
1
2
b0 q2
h9où l9équ—tion di'érentielle du mouvement
a0 ¨q + β ˙q + b0 q = Fqext
gette équ—tion peut se mettre sous l— forme d9une équ—tion di'érentielle du se™ond ordre à
™oe0™ients ™onst—ntsD —ve™ se™ond mem˜re
¨q + 2 δ ˙q + ω2
0q = A(t)
—ve™
δ =
β
2a0
ω0 =
b0
a0
A(t) =
Fqext
a0
3.2 Système masse-ressort-amortisseur
gonsidérons l9exemple mé™—nique de l— (gure ™iEdessous soumis à une for™e extérieure F(t)
—ppliquée à l— m—sse mF
H. Djelouah

18 Oscillations forcées des systèmes à un degré de liberté
α
m
F(t)
k
x
ƒystème m—sseEressortE—mortisseur
g—l™ulons l— for™e génér—lisée Fx ™onjuguée de l— ™oordonnée xF €our ™el— nous pouvons
utiliser l9une des deux méthodes suiv—ntes X
! ƒoit ™—l™uler le tr—v—il δW de l— for™e F(t) pour une v—ri—tion δr de son point d9—ppli™—tion
δW = F · δr = F dx
yn en déduit l— xE™ompos—nte de l— for™e extérieure
Fx =
δW
δx
= F(t)
! ƒoit utiliser l— dé(nition de l— for™e génér—lisée
Fx = F ·
∂r
∂x
= F(t)
v9équ—tion di'érentielle du mouvement s9é™rit —lors
¨x + 2δ ˙x + ω2
0x = A(t)
—ve™ X
δ =
α
2m
D ω0 =
k
m
et A(t) =
F(t)
m
3.3 Solution de l'équation diérentielle
v— solution de ™ette équ—tion di'érentielle du se™ond ordre est ég—le à l— somme de l— solution
de l9équ—tion s—ns se™ond mem˜re @ou solution homogèneA xH(t) et d9une solution p—rti™ulière
de l9équ—tion —ve™ se™ond mem˜re xP (t) X
x(t) = xH(t) + xP (t)
xous —vons déjà étudié l9équ—tion s—ns se™ond mem˜re xH(t) et nous s—vons que ™ette solution
™ontient d—ns tous les ™—s le terme exponentiel e−δt F eprès un interv—lle de temps t supérieur
à 3/δ ou 4/δD le terme e−δt devient très petit et l— solution homogène est —lors pr—tiquement
nulleF sl ne su˜sister— que l— solution p—rti™ulière de l9équ—tion —ve™ se™ond mem˜reF v9interv—lle
de temps pend—nt lequel l— solution homogène est non néglige—˜le est —ppelé le régime tr—nsitoireF
e l— (n de ™e régime tr—nsitoire ™ommen™e l9interv—lle de temps pour lequel l— solution homogène
est qu—siEnulle et pour lequel l— solution x(t) xp(t) Y ™e régime est —ppelé régime perm—nent ou
st—tionn—ireF
H. Djelouah

3.3 Solution de l'équation diérentielle 19
3.3.1 Cas particulier où A(t) = A0 cos(Ωt)
Calcul de la solution permanente à l'aide de la méthode des nombres complexes
€our t su0s—mment gr—ndD nous pouvons ™onsidérer que l— solution tr—nsitoire s9est —nnulée
et que l— solution x(t) s9identi(e —lors —ve™ l— solution p—rti™ulière X x(t) xP (t)F €—r ™ommodité
de not—tion l9indi™e p est sousEentendu d—ns ™e qui suitF v— méthode des nom˜res ™omplexes
permet de ™—l™uler —isément l— solution st—tionn—ireF
ƒoit le dépl—™ement ™omplexe représenté p—r le nom˜re ™omplexe X = X eiΩtD —ve™ X =
X0 eiϕF xous pouvons ™onsidérerD en outreD que A(t) = A0 cos(Ωt) ™onstitue l— p—rtie réelle du
nom˜re ™omplexe A = A0 eiΩtF v9équ—tion di'érentielle se tr—nsforme en une simple équ—tion
—lgé˜rique en fon™tion de l9—mplitude ™omplexe X X
ω2
0 − Ω2
+ i 2 δ Ω X = A0
dont l— solution est X
X =
A0
ω2
0 − Ω2 + i 2 δ Ω
h9où l9on tire l9—mplitude X0 et l— ph—se ϕ X
X0 =
A0
ω2
0 − Ω2 2
+ 4 δ2 Ω2
ϕ = − arctan
2 δ Ω
ω2
0 − Ω2
Etude des variations de l'amplitude et de la phase en fonction de la pulsation de
l'excitation
ve m—ximum de l9—mplitude est o˜tenu pour l— v—leur de Ω qui —nnule dX0
dΩ
F
sl existe un m—ximum à l— puls—tion ΩR = ω2
0 − 2δ2 seulement si l9—mortissement est
su0s—mment f—i˜le pour que δ ω0/
√
2F e ™ette puls—tionD —ppelée puls—tion de réson—n™eD on
dit que le système entre en réson—n™e et l9—mplitude X0 est m—xim—leY elle v—ut X
X0 max =
A0
2δ ω2
0 − δ2
v— (gure représent—nt les v—ri—tions de X0 en fon™tion de l— puls—tion d9ex™it—tion Ω est
—ppelée ™our˜e de réson—n™e en —mplitudeF yn rem—rque qu9à l— puls—tion ω0D le déph—s—ge ϕ
est ég—l à −
π
2
D et qu9à l— réson—n™e ϕ = − arctan
ω2
0 − 2δ2
δ
F
H. Djelouah

emplitude ˆ0 en fon™tion de ΩF héph—s—ge ϕ en fon™tion de ΩF
Etude de la résonance pour les faibles amortissements
h—ns le ™—s des f—i˜les —mortissements @ δ ω0AD l— fréquen™e de réson—n™e est très peu
di'érente de l— puls—tion propreD ΩR ω0 F h—ns ™e ™—sD l9—mplitude de vi˜r—tion à l— réson—n™e
X0 max est ég—le à X
X0 max =
A0
2δω0
€our les f—i˜les —mortissementsD X0 max est don™ inversement proportionnel à δF
Etude de la vitesse
in not—tion ™omplexeD l— vitesse s9é™rit X
V(t) =
dX
dt
= iΩX = ˙X eiΩt
où l9—mplitude ™omplexe de l— vitesse est dé(nie p—r
˙X = iΩX =
i Ω A0
ω2
0 − Ω2 + i 2 δ Ω
v9étude des v—ri—tions de l9—mplitude de l— vitesse en fon™tion de l— puls—tion d9ex™it—tion
montre queD quelle que soit l— v—leur de δD l— réson—n™e en vitesse est o˜tenue pour Ω = ω0 @voir
(gure ™iEdessousAF v— v—leur m—xim—le de l9—mplitude de l— vitesse v—ut d—ns ™e ™—s X
˙Xmax = ˙X(ω0) =
A0
2 δ
gour˜e de réson—n™e de l— vitesse
??
héph—s—ge ψ de l— vitesse en fon™tion de
ΩF
H. Djelouah

3.3 Solution de l'équation diérentielle 21
Bilan énergétique
ƒoit PF (t) l— puiss—n™e inst—nt—née fournie p—r l— for™e extérieure F(t) —u systèmeF in régime
perm—nentD on o˜tient X
PF (t) = F(t) ˙x(t) = F0
˙X0 cos(Ωt) cos(Ωt + ψ)
ƒoit PF l— v—leur moyenne sur une période de PF (t) X
PF =
1
2
F0
˙X0 cos(ψ)
in ten—nt ™ompte de l9expression de ˙X0 en fon™tion de F0D on o˜tient X
PF =
1
2
α ˙X2
0
gomp—rons ™ette v—leur à l— v—leur moyenne PD de l— puiss—n™e dissipée p—r les for™es
de frottement de vis™ositéF v— v—leur inst—nt—née de ™ette puiss—n™e dissipée s9é™rit X
PD(t) = α ˙x2
= α ˙X2
0 cos2
(Ωt + ψ)
h9où l9on tire l— v—leur moyenne sur une période X
PD =
1
2
α ˙X2
0
v9étude des v—ri—tions de l— v—leur moyenne de l— puiss—n™e P = PF = PD en
fon™tion de l— puls—tion d9ex™it—tion montre que l— v—leur m—xim—le de l— puiss—n™e moyenne est
o˜tenue pour Ω = ω0 quelle que soit l— v—leur de δF v— v—leur m—xim—le de l— puiss—n™e moyenne
dissipée ou fournie v—ut d—ns ™e ™—s
P max=
F2
0
2α
v— (gure ™iEdessous représente les v—ri—tionsD en fon™tion de ΩD de l— puiss—n™e moyenne
dissipée p—r les for™es de frottements @ou de m—nière équiv—lent l— puiss—n™e moyenne fournie
p—r l— for™e extérieure AF
gour˜e de réson—n™e pour l— puiss—n™e
H. Djelouah

Bande passante
yn dé(nit p—r ˜—nde p—ss—nteD l— ˜—nde des puls—tions —utour de Ω = ω0 pour lesquelles
P ≥ P max /2F ves deux puls—tions Ω1 et Ω2 D situées de p—rt et d9—utre de l— puls—tion
ω0 et pour lesquelles P = P max /2D sont —ppelées puls—tions de ™oupureF v— ˜—nde
p—ss—nte B s9é™rit X
B = Ω2 − Ω1
ve ™—l™ul de B ™onsiste à re™her™her les deux puls—tions pour lesquelles P = P max /2F
yn o˜tient l9expression de l— ˜—nde p—ss—nte B X
B = Ω2 − Ω1 = 2δ
Coecient de qualité d'un oscillateur
ve ™oe0™ient de qu—lité d9un os™ill—teur est dé(ni p—r le r—pport de l— puls—tion propre ω0 à
l— l—rgeur de ˜—nde B X
Q =
ω0
B
3.3.2 Cas d'une excitation périodique
xous —vons étudié d—ns le p—r—gr—phe pré™édent l— réponse d9un système vi˜r—toire à une
ex™it—tion sinusoïd—le dite ex™it—tion h—rmoniqueF in pr—tiqueD les ex™it—tions mé™—niques ne
sont p—s toujours p—rf—itement sinusoïd—lesY elles sont souvent périodiquesF in ™onsidér—nt le
™—s d9ex™it—tions périodiquesD nous pro™éderons à une génér—lis—tion du ™—s h—rmoniqueF
ƒoit une ex™it—tion périodique —ppliquée à un système —morti à un degré de li˜ertéF v9équ—tion
di'érentielle qui régit ™e système s9é™rit X
¨q + 2 δ ˙q + ω2
0 q = A(t)
v— fon™tion A(t) ét—nt périodiqueD de période TD son développement de pourier s9é™rit X
A(t) =
a0
2
+
∞
n=1
an cos(nωt) + bn sin(nωt)
v9équ—tion di'érentielle s9é™rit —lors X
¨q + 2 δ ˙q + ω2
0 q =
a0
2
+
∞
n=1
an cos(nωt) + bn sin(nωt)
v— réponse perm—nente @ou st—tionn—ire A qui s9identi(e —ve™ l— solution p—rti™ulièreD pour t
su0s—mment élevéD peut —lors être ™—l™ulée pour ™h—™une des ™ompos—ntes de l9ex™it—tion X a0/2D
an cos(nωt) et bn sin(nωt)F yn o˜tient —lors p—r superposition X
q(t) =
a0
2ω2
0
+
∞
n=1
an cos(ωnt + ψn) + bn sin(ωnt + ψn)
(ω2
n − ω2
0)2 + 4δ2ω2
n
H. Djelouah

3.4 Impédance mécanique 23
3.4 Impédance mécanique
3.4.1 Dénition
gonsidérons un système mé™—nique soumis à une for™e sinusoïd—le F (t) = F0 cos (Ωt)F in
régime perm—nentD le point d9—ppli™—tion de ™ette for™e se dépl—™e —ve™ une vitesse v (t) =
V0 cos (Ωt + φ) F yn —ppelle impéd—n™e mé™—nique d9entrée du système mé™—niqueD le r—pport
des —mplitudes ™omplexes de l— for™e F et de l— vitesse v
ZE =
F
V
3.4.2 Impédances mécaniques
Amortisseur
h—ns le ™—s d9un —mortisseurD l— for™e —ppliquée est reliée à l— vitesse p—r
F = αv
yn en déduit l9impéd—n™e ™omplexe d9un —mortisseur
Zα = α
Masse
h—ns le ™—s d9une m—sseD l— rel—tion fond—ment—le de l— dyn—mique s9é™rit
F = m
dv
dt
yn en déduit l9impéd—n™e ™omplexe d9une m—sse
Zm = imΩ = mΩ eiπ
2
Ressort
h—ns le ™—s d9un ressort de r—ideur kD l— for™e —ppliquée f —ppliquée —u ressort s9exprime en
fon™tion de l9—llongement p—r
f = k x
yn en déduit l9impéd—n™e ™omplexe d9un ressort
Zk =
k
iΩ
= −i
k
Ω
=
k
Ω
e−iπ
2
3.4.3 Puissance
v— v—leur moyenneD sur une périodeD de l— puiss—n™e fournie est
PF =
1
2
F0
˙X0 cos (φ) =
1
2
Re ZE
˙X2
0
H. Djelouah

3.4.4 Applications
Système mécanique résonant
ƒoit un système mé™—nique ™onstitué d9un ressort de r—ideur kD d9un —mortisseur de ™oe0™ient
de frottement visqueux α et d9une m—sse m soumise à une for™e sinusoïd—le F (t) = F0 cos (Ωt)F
v9impéd—n™e d9entrée de ™e système est
ZE = α + i mΩ −
k
Ω
e l— réson—n™e Ω = ω0 =
k
m
D le module de l9impéd—n™e est ZE = αF vorsque l— puls—tion
Ω → ∞D l9impéd—n™e ZE imΩF
wodule de l9impéd—n™e d9entréeF emplitude de l— vitesse
Système antirésonant
gonsidérons un système mé™—nique ™onstitué d9un ressort de r—ideur k dont une extrémité est
reliée àune m—ssem etdontl9—utreestsoumiseàunefor™e sinusoïd—leF (t)F ƒoit x ledépl—™ement
de l— m—sse m et soit y le dépl—™ement du point d9—ppli™—tion de l— for™e F (t)F €our ™—l™uler
l9impéd—n™e d9entrée de ™e systèmeD nous devons d9—˜ord é™rire les équ—tions di'érentielles du
mouvement X
m¨x = k (x − y)
F = k (x − y)
in utilis—nt l— not—tion ™omplexeD on o˜tient l9impéd—n™e d9entrée X
ZE =
F
˙Y
= −i
km
mΩ −
k
Ω
v— puls—tion d9—ntiréson—n™e est ω0 =
k
m
F vorsque Ω = ω0D l— vitesse ˙Y est nulle t—ndis
que le module de l9impéd—n™e est ∞F vorsque l— puls—tion Ω → ∞D l9impéd—n™e ZE → 0F
H. Djelouah

3.5 Exercices 25
wodule de l9impéd—n™e d9entréeF emplitude de l— vitesseF
3.5 Exercices
Exercice 1 : …n disque ™ir™ul—ire homogèneD de m—sse MD de r—yon RD peut os™iller s—ns
frottements —utour de son —xe horizont—l OF heux m—sses m1 et m2 sont soudées —ux extrémités
d9une tige de m—sse néglige—˜le liée rigidement —u disque et p—ss—nt p—r OF ves dist—n™es de m1
et m2 —u ™entre sont notées respe™tivement 1 et 2F …n ressort verti™—lD de ™onst—nte de r—ideur
K — une extrémité (xe et l9—utre est reliée —u disque en un point A situé à une dist—n™e a de OF
in position d9équili˜re l— tige est verti™—le —ve™ m1 en ˜—s et le point A est —u même nive—u que
le ™entre OF ve disque su˜it un frottement visqueux de ™oe0™ient α —u point BF v— m—sse m1 est
soumise à une for™e F(t) = F0 cos(Ωt) perpendi™ul—ire à l— tigeF Valeurs numériques : M = 1 kgD
m1 = m2 = 0.1 kgD K = 16 xGmD R = 20 ™mD 1 = 50™mD 2 = 25™mD a = 10 ™mD g = 10 mGs2
D
α = 7.25 × 10−2 kgGsF
R
K
a
F(t)
m1
m2
l1
l2
BA
O
a
IF it—˜lir l9équ—tion di'érentielle du mouvementF
PF „rouver s— solution en régime perm—nentF
QF g—l™uler le f—™teur de qu—lité Q du systèmeF
RF héterminer l— v—leur de F0 pour qu9à l— réson—n™e l9—mplitude m—xim—le soit ég—le à π/30
r—dF
Exercice 2 : @suite de l9exer™i™e n¦IR du ™h—pitre pré™édentA ve ˜âti B1 est m—inten—nt —nimé
d9un mouvement verti™—l sinusoïd—l donné p—r X s(t) = S0cos(Ωt) où S0 = 1 ™mF
H. Djelouah

IF wontrer que l9équ—tion di'érentielle qui régit le mouvement du système peut s9é™rire X
¨θ + 2 δ ˙θ + ω2
0 θ = A0 cos(Ωt)
yn pré™iser— de m—nière expli™ite le terme A0F g—l™uler s— v—leur numériqueF
PF uelle est l9expression de l— solution θ(t) lorsque le régime perm—nent est ét—˜lic †ériE
(er que le système est très f—i˜lement —mortiY en déduire l— fréquen™e de réson—n™e et
l9—mplitude de θ(t) à l— réson—n™eF
QF uelle estD à l— réson—n™eD l9—mplitude de l— for™e FT tr—nsmise —u sol p—r ™h—que —mortisE
seurc
Exercice 3 : ve dispositif mé™—nique ™iEdessous représente le s™hém— de prin™ipe d9un —pp—reil
de mesure de vi˜r—tionsF v— m—sse m est liée p—r deux ressorts et un —mortisseur de ™oe0™ient de
frottement visqueux α à un support rigidement lié —u système mé™—nique dont on veut étudier les
vi˜r—tionsF ve mouvement du support est repéré p—r s(t) t—ndis que le mouvement de l— m—sse
est repéré p—r x(t)F yn étudie des vi˜r—tions sinusoïd—les de l— forme s(t) = S0 cos(Ωt)F v9origine
est prise à l— position d9équili˜reF
x(t) m
k/2 k/2
s(t)
a
IF it—˜lir l9équ—tion du mouvement de l— m—sse m en fon™tion de l— ™oordonnée rel—tive
y(t) = x(t) − s(t)F
PF héterminer l— solution st—tionn—ire y(t)F
QF h—ns le ™—s de ressorts de f—i˜le r—ideurD l— puls—tion propre ω0 est petite dev—nt l— pulE
s—tion ΩF honner d—ns ™e ™—s l9expression de y(t)F wontrer que l9on peut —insi déterminer
f—™ilement l9—mplitude S0 de l— vi˜r—tion @on — ré—lisé —insi un vi˜romètreAF
RF vorsque l— r—ideur des ressorts est élevéeD l— puls—tion propre ω0 est gr—nde dev—nt l— puls—E
tion Ω des vi˜r—tionsF wontrer D que d—ns ™e ™—s on peut déterminer f—™ilement l9—™™élér—tion
du support @on — —insi ré—lisé un —™™éléromètreAF
Exercice 4 : …n véhi™ule roul—nt est un système ™omplexe à plusieurs degrés de li˜ertéF v—
(gure ™iEdessous peut être ™onsidérée ™omme une première —pproxim—tion d9un véhi™ule qui se
dépl—™e sur une route ondulée dé™rite p—r le pro(l y1(t)F
m
y(t)
y (t)1
x
x=vt
k
L
h—ns ™e modèle simpli(éD on suppose que X
! v— r—ideur él—stique des pneus est in(nieD ™9estEàEdire que les ondul—tions de l— route sont
intégr—lement tr—nsmises à l— suspension du véhi™uleF
H. Djelouah

3.5 Exercices 27
! ves roues ne dé™ollent p—s de l— ™h—usséeF
! yn s9intéresse uniquement —u dépl—™ement verti™—l y(t) du véhi™ule d—ns le pl—n de l—
(gureF
! yn se pl—™e d—ns le ™—s simple où le véhi™ule se dépl—™e horizont—lement à une vitesse
™onst—nte v sur une route à pro(l sinusoïd—l y1(x) = Y1 sin(2πx/Λ)F
IF it—˜lir l9équ—tion di'érentielle qui régit les v—ri—tions —u ™ours du temps de l— ™oordonnée
y du véhi™uleF
PF in déduire l9—mplitude Y du mouvement du véhi™ule d—ns le sens verti™—l F
QF eppli™—tion numérique m = 350 kgD k = 350 kxGmD v = 100 kmGhD Λ = 5mD Y1 = 20 ™mY
@—A pour α = 2000 x sGmD
@˜A pour α = 200 x sGmF
Exercice 5 : ves m—™hines tourn—ntes @moteurs éle™triquesD tur˜inesD m—™hines à l—verD et™FFFA
peuvent être le siège de vi˜r—tions import—ntes ™—r très souvent le ™entre de m—sse ne ™oïn™ide
p—s —ve™ l9—xe de rot—tionF €our limiter ™es vi˜r—tions on utilise des supports —ntivi˜r—toires
™onstitués génér—lement de ™—out™hou™ renfor™éF in r—ison de leurs propriétés mé™—niques ™es
supports peuvent être modélisés p—r un —mortisseur en p—r—llèle —ve™ un ressortF
yn se propose d9étudier à titre d9exemple le ™—s d9une m—™hine à l—ver le linge @(gure I ™iE
dessousAF ƒoit M l— m—sse de ™ette m—™hineF v— p—rtie tourn—nte est ™onstituée d9un t—m˜our de
r—yon e tourn—nt à une vitesse —ngul—ire ™onst—nte ΩF yn ™onsidère que l— m—sse tourn—nte est
™onstituée p—r le linge de m—sse mF €our des r—isons de simpli™itéD on suppose que le l—veElinge
ne peut e'e™tuer que des mouvement verti™—ux repérés p—r l— ™oordonnée yF
y(t)
k
y(t)
k
M M+m
e
m
Feq
Figure 2Figure 1
a a
IF it—˜lir l9équ—tion di'érentielle du mouvement pour l— ™oordonnée yF
PF wontrer qu9un tel dispositif est équiv—lent —u s™hém— simpli(é de l— (gure P ™iEdessusY
donner l9expression de Feq F
QF h—ns l9hypothèse des f—i˜les —mortissements @ δ ω0 AD tr—™er et ™ommenter le gr—phe de
l9—mplitude Y du dépl—™ement verti™—l du l—veElinge en fon™tion de l— vitesse de rot—tionF
RF g—l™uler l9—mplitude de l— for™e tr—nsmise —u sol à l— réson—n™eF
H. Djelouah

H. Djelouah

Chapitre 4
Oscillations libres des systèmes à deux
degrés de liberté
4.1 Introduction
ves systèmes qui né™essitent deux ™oordonnées indépend—ntes pour spé™i(er leurs positions
sont —ppelés systèmes à deux degrés de li˜ertéF
Exemples
! Figure 1 ƒi les m—sses m1 et m2 sont —streintes à se dépl—™er verti™—lementD P ™oordonnées
x1 et x2 sont né™ess—ires pour spé™i(er l— position de ™h—que m—sse à ™h—que inst—ntF
! Figure 2 ƒi l— m—sse M est —streinte à se dépl—™er d—ns un pl—n verti™—lD deux ™oordonnées
sont né™ess—ires pour spé™i(er l— ™on(gur—tion du systèmeF v9une de ™es ™oordonnées peut
être le dépl—™ement x qui ™orrespond à l— tr—nsl—tion verti™—le de l— m—sseF v9—utre ™oorE
donnée peut être le dépl—™ement —ngul—ire θ pour tenir ™ompte de l— rot—tion de l— m—sseF
ges deux ™oordonnées sont indépend—ntes l9une de l9—utreF
! Figure 3 h—ns le ™—s du dou˜le penduleD deux ™oordonnées sont né™ess—ires pour spé™i(er
l— position des m—sses m1 et m2F €lusieurs ™hoix sont pourt—nt possi˜lesD en e'et on peut
™hoisir (x1, x2) ou (y1, y2) ou (θ1, θ2)F
sl est possi˜le de spé™i(er l— ™on(gur—tion d9un système à l9—ide de plusieurs ensem˜les de
™oordonnées indépend—ntesY un ensem˜le quel™onque de ™es ™oordonnées est —ppelé ™oordonnées
génér—liséesF sl y — —ut—nt d9équ—tions de v—gr—nge que de degrés de li˜erté ou de ™oordonnées
génér—liséesF €our l9étude des systèmes à deux degrés de li˜ertéD il est né™ess—ire d9é™rire deux
H. Djelouah

30 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté
équ—tions di'érentielles du mouvement que l9on peut o˜tenir à p—rtir des équ—tions de v—gr—nge



d
dt
∂L
∂ ˙q1
−
∂L
∂q1
= 0
d
dt
∂L
∂ ˙q2
−
∂L
∂q2
= 0
4.2 Systèmes à deux degrés de liberté
4.2.1 Système masses-ressorts en translation
ƒystème m—ssesEressorts en tr—nsl—tion
gonsidérons le système ™iEdessusD ™onstitué de deux m—sses m1 et m2 reliées respe™tivement
p—r deux ressorts de r—ideur k1 et k2 à deux ˜âtis (xesF ves deux m—sses sont reliées p—r un
ressort de r—ideur KF ge ressort est —ppelé ressort de ™oupl—geF
Equations diérentielles du mouvement
ves équ—tions du mouvement pour ™e système à deux degrés de li˜erté peuvent être o˜teE
nues à p—rtir des équ—tions de v—gr—nge pour ™h—que ™oordonnée x1(t) et x2(t)F ƒoit T et U
respe™tivement l9énergie ™inétique et l9énergie potentielle X
T = 1
2 m1 ˙x2
1 + 1
2 m2 ˙x2
2
U = 1
2k1 x2
1 + 1
2K (x1 − x2)2
+ 1
2k2 x2
2
U = 1
2 (k1 + K) x2
1 + 1
2 (k2 + K) x2
2 − Kx1x2
ve l—gr—ngien L = T − U s9é™rit —lors
L =
1
2
m1 ˙x2
1 +
1
2
m2 ˙x2
2 −
1
2
(k1 + K) x2
1 −
1
2
(k2 + K) x2
2 + Kx1x2
ves équ—tions de v—gr—nge s9é™rivent



d
dt
∂L
∂ ˙x1
−
∂L
∂x1
= 0
d
dt
∂L
∂ ˙x2
−
∂L
∂x2
= 0
h9où le système d9équ—tions di'érentielles du mouvement



m1¨x1 + (k1 + K) x1 − Kx2 = 0
m2¨x2 + (k2 + K) x2 − Kx1 = 0
ves termes −Kx2 et −Kx1 qui —pp—r—issent respe™tivement d—ns l— première et l— se™onde
équ—tion sont —ppelés termes de ™oupl—geD et les deux équ—tions di'érentielles sont dites ™oupléesF
H. Djelouah

4.2 Systèmes à deux degrés de liberté 31
Résolution des équations diérentielles
‚e™her™hons une solution p—rti™ulière de l— forme X
x1(t) = A1 cos(ωt + φ)
x2(t) = A2 cos(ωt + φ)
où A1D A2 et φ sont des ™onst—ntes et ω l9une des puls—tions propres du systèmeF v— su˜stiE
tution de x1 et x2 d—ns le système d9équ—tions di'érentielles donne



k1 + K − m1 ω2 A1 − K A2 = 0
− K A1 + k2 + K − m2 ω2 A2 = 0
ge qui ™onstitue un système d9équ—tions liné—ires homogènes dont les in™onnues sont A1 et
A2F ge système —dmet une solution non identiquement nulle seulement si le détermin—nt ∆(ω)
des ™oe0™ients de A1 et A2 est ég—l à zéroF
∆(ω) =
k1 + K − m1 ω2 − K
− K k2 + K − m2 ω2
ve détermin—nt ∆(ω) est —ppelé détermin—nt ™—r—™téristiqueF v9équ—tion ∆(ω) = 0 est —ppelée
l9équ—tion ™—r—™téristique ou équ—tion —ux puls—tions propresF ille s9é™rit
k1 + K − m1 ω2
k2 + K − m2 ω2
− K2
= 0
ou en™ore
ω4
− ω2 k1 + K
m1
+
k2 + K
m2
+
k1k2 + k1K + k2K
m1 m2
= 0
gette équ—tion est une équ—tion qu—dr—tique en ω qui —dmet deux solutions réelles positives
ω1 et ω2 —ppelées les puls—tions propres du systèmeF
get exemple montre qu9il y — en génér—l deux puls—tions propres d—ns un système à deux
degrés de li˜ertéF gh—™une des ™oordonnéesD x1 et x2D possède deux ™ompos—ntes h—rmoniques
de puls—tions ω1 et ω2
x1 = A11 cos(ω1t + φ1) + A12 cos(ω2t + φ2)
x2 = A21 cos(ω1t + φ1) + A22 cos(ω2t + φ2)
où A11D A12D A21D A22D φ1 et φ2 sont des ™onst—ntesF ve terme de plus ˜—sse fréquen™e ™orresE
pond—nt à l— puls—tion ω1 est —ppelé le fond—ment—lF v9—utre termeD de puls—tion ω2D est —ppelé
h—rmoniqueF
vesdou˜lesindi™essontutiliséspourles—mplitudesdesdi'érentes™ompos—ntesh—rmoniquesY
le premier indi™e se réfère à l— ™oordonnée et le se™ond à l— puls—tionF €—r exemple A12 est
l9—mplitude de x1@tA à l— puls—tion ω2F
vorsque A12 = A22 = 0D x1 et x2 ™orrespond—nt à l— première solution p—rti™ulière sont des
fon™tions sinusoïd—lesD en ph—seD de puls—tion ω1 Y on dit que le système os™ille d—ns le premier
modeF h—ns ™e ™—s
x1 = A11 cos(ω1t + φ1)
x2 = A21 cos(ω1t + φ1)
H. Djelouah

vorsque A11 = A21 = 0D x1et x2 ™orrespond—nt à l— se™onde solution p—rti™ulière et sont des
fon™tions sinusoïd—lesD en opposition de ph—seD de puls—tion ω2 Y on dit que le système os™ille d—ns
le se™ond modeF h—ns ™e ™—s
x1 = A12 cos(ω2t + φ2)
x2 = A22 cos(ω2t + φ2)
itudions les p—rti™ul—rités de ™es deux solutions p—rti™ulières X
! v— première solution p—rti™ulière s9é™rit X
x1 = A11 cos(ω1t + φ1)
x2 = A21 cos(ω1t + φ1)
x1 et x2 doivent véri(er le système d9équ—tions di'érentiellesD ™e qui donne



k1 + K − m1 ω2
1 A11 − K A21 = 0
− K A11 + k2 + K − m2 ω2
1 A21 = 0
ges deux équ—tions permettent d9o˜tenir le r—pport des —mplitudes d—ns le premier mode
ou fond—ment—l
µ1 =
A21
A11
=
k1 + K − m1 ω2
1
K
=
K
k2 + K − m2 ω2
1
! v— se™onde solution p—rti™ulière s9é™rit X
x1 = A12 cos(ω2t + φ2)
x2 = A22 cos(ω2t + φ2)
x1 et x2 doivent véri(er le système d9équ—tions di'érentiellesD ™e qui donne



k1 + K − m1 ω2
2 A12 − K A22 = 0
− K A12 + k2 + K − m2 ω2
2 A22 = 0
ges deux équ—tions permettent d9o˜tenir le r—pport des —mplitudes d—ns le se™ond mode
ou h—rmonique
µ2 =
A22
A12
=
k1 + K − m1 ω2
2
K
=
K
k2 + K − m2 ω2
2
! v— solution génér—le (x1, x2) est une ™om˜in—ison liné—ire de ™es deux solutions p—rti™uE
lièresF x1 et x2 s9é™rivent —lors
x1 = A11 cos (ω1t + φ1) + A12 cos (ω2t + φ2)
x2 = µ1 A11 cos (ω1t + φ1) + µ2 A12 cos (ω2t + φ2)
où A11D A12D φ1 et φ2 sont des ™onst—ntes d9intégr—tion dont les v—leurs sont (xées p—r les
™onditions initi—lesF
H. Djelouah

4.2.2 Cas particulier de deux oscillateurs identiques
Calcul des constantes d'intégration
gonsidérons le ™—s p—rti™ulier de deux os™ill—teurs identiques tels que m1 = m2 = m et
k1 = k2 = kF h—ns ™e ™—s les puls—tions propres sont respe™tivement ég—les à
ω1 = k
m
ω2 = k + 2 K
m = ω1 1 + 2 K
k
ves r—pports d9—mplitudes ™orrespond—nt à ™es puls—tions sont respe™tivement µ1 = +1 et
µ2 = −1F
ƒoit x10, x20, ˙x10 et ˙x20 les v—leurs initi—les respe™tives de x1, x2, ˙x1 et ˙x2 F „en—nt ™ompte de
™es ™onditions initi—lesD on o˜tient le système d9équ—tions suiv—nt qui permet de déterminer les
™onst—ntes d9intégr—tion A11D A12D φ1 et φ2
A11 cos(φ1) + A12 cos(φ2) = x10
A11 cos(φ1) − A12 cos(φ2) = x20
−ω1 A11 sin(φ1) − ω2 A12 sin(φ2) = ˙x10
−ω1 A11 sin(φ1) + ω2 A12 sin(φ2) = ˙x20
ves solutions de ™e système d9équ—tions sont
A11 =
x10 + x20
2 cos(φ1)
et A12 =
x10 − x20
2 cos(φ2)
ou en™ore
A11 =
˙x10 + ˙x20
2 ω1 sin(φ1)
et A12 =
˙x20 − ˙x10
2 ω2 sin(φ2)
IF gonsidérons le ™—s p—rti™ulier suiv—nt x10 = x20 = x0 et ˙x10 = ˙x20 = 0 Y on o˜tient d—ns
™e ™—s φ1 = φ2 = 0 D A12 = 0 et A11 = x0 Y d9où
x1 = x0 cos(ω1t)
x2 = x0 cos(ω1t)
€our ™es ™onditions initi—les p—rti™ulièresD les deux m—sses os™illent en ph—se à l— même
puls—tion ω1F yn dit que le système os™ille d—ns le mode fond—ment—lF
-x0
x
0
x
1
x2
temps
temps
-x0
x
0
ys™ill—tions d—ns le mode fond—ment—l
H. Djelouah

PF gonsidérons un —utre ™—s p—rti™ulier pour lequel x10 = −x20 = x0 et ˙x10 = ˙x20 = 0 F yn
o˜tient d—ns ™e ™—s φ1 = φ2 = 0D A11 = 0 et A12 = x0 Y d9où
x1 = x0 cos(ω2t)
x2 = −x0 cos(ω2t)
yn dit que le système os™ille d—ns le se™ond mode ™—r les deux m—sses os™illent en opposition
de ph—se —ve™ l— même puls—tion ω2F
x0
-x0
x
1
x
2
temps
temps
x0
-x0
ys™ill—tions d—ns le mode h—rmonique
QF gonsidérons en(n le ™—s p—rti™ulier suiv—nt x10 = x0D x20 = 0 et ˙x10 = ˙x20 = 0 Y d9où
φ1 = φ2 = 0D A11 = A12 = x0/2F ves solutions s9é™rivent —lors sous l— forme
x1(t) = x0
2 cos (ω1 t) + x0
2 cos (ω2 t)
x2(t) = x0
2 cos (ω1 t) − x0
2 cos (ω2 t)
ves solutions ne sont plus des fon™tions purement sinusoïd—les du temps m—is des ™om˜iE
n—isons liné—ires de deux fon™tions sinusoïd—les de puls—tions respe™tives ω1 et ω2F x1 et x2
peuvent s9é™rire sous l— forme
x1 (t) = x0 cos
ω2 − ω1
2
t cos
ω2 + ω1
2
t
x2 (t) = x0 sin
ω2 − ω1
2
t sin
ω2 + ω1
2
t
v— (gure suiv—nte représente le résult—t o˜tenu d—ns le ™—s où ω1 est très di'érent de ω2
@™9estEà Edire si K kAF
x0
0-x
0-x
x0
temps
temps
x1
x2
ys™ill—tions d—ns le ™—s des ™onditions initi—les X x10 = x0D x20 = 0 et ˙x10 = ˙x20 = 0
H. Djelouah

ƒi ω1 est peu di'érent de ω2 @™9estEà Edire si K kAD on o˜serve un phénomène de
˜—ttement @voir (gure ™iEdessousAF
temps
temps
-x
0
x
0
x1
x2
-x
0
x0
€hénomène de ˜—ttements
Coordonnées principales
gonsidérons les ™oordonnées p1 et p2 o˜tenues à p—rtir des ™oordonnées x1 et x2 p—r les
rel—tions
p1 = x1 + x2
2
p2 = x1 − x2
2
„en—nt ™ompte des expressions de x1 et x2 et des v—leurs p—rti™ulières de µ1 et µ2 pour
l9exemple étudiéD on o˜tient
p1 =
x0
2
cos (ω1t)
p2 =
x0
2
cos (ω2t)
yn rem—rque queD quelles que soient les ™onditions initi—lesD p1 et p2 sont des fon™tions
purement sinusoïd—les du temps de puls—tions respe™tives ω1 et ω2F ges ™oordonnées p—rti™ulières
sont —ppelées ™oordonnées prin™ip—lesF yn peut véri(er que le système d9équ—tions di'érentielles
qui régit le mouvement du système ™onsidéré s9é™rit sous l— forme de deux équ—tions dé™ouplées
¨p1 + ω2
1 p1 = 0
¨p2 + ω2
2 p2 = 0
ves rel—tions inverses suiv—ntes
x1 = p1 + p2
x2 = p1 − p2
permettent d9o˜tenir les ™oordonnées x1 et x2 à p—rtir des ™oordonnées prin™ip—les p1 et p2F
H. Djelouah

4.2.3 Pendules couplés
gonsidérons le ™—s de deux pendules simples identiques ™ouplés p—r un ressort de r—ideur K
et qui e'e™tuent des os™ill—tions de f—i˜le —mplitude repérées p—r les —ngles θ1 et θ2F
€endules ™ouplés
it—˜lissons tout d9—˜ord les équ—tions di'érentielles du mouvement d—ns le ™—s des os™ill—tions
de f—i˜le —mplitudeF sl est —isé de montrer que l9énergie ™inétique et l9énergie potentielle s9é™rivent
sous les formes qu—dr—tiques suiv—ntes
T = 1
2ml2 ˙θ2
1 + 1
2ml2 ˙θ2
2
U = 1
2 Kl2 + mgl θ2
1 + 1
2 Kl2 + mgl θ2
2 − Kl2θ1θ2
yn rem—rque l— présen™e du terme de ™oupl—ge −Kl2θ1θ2 d—ns l9expression de l9énergie poE
tentielleF gomme d—ns l9exemple pré™édentD on dit que le ™oupl—ge est él—stiqueF ƒi le terme de
™oupl—ge n9existe que d—ns l9expression de l9énergie ™inétiqueD on dit que le ™oupl—ge est de type
inertielF
ves équ—tions de v—gr—nge permettent d9o˜tenir les équ—tions di'érentielles du mouvement
ml2 ¨θ1 + Kl2 + mgl θ1 − Kl2θ2 = 0
−Kl2θ1 + ml2 ¨θ2 + Kl2 + mgl θ2 = 0
in l9—˜sen™e d9—mortissement une solution p—rti™ulière de ™e système d9équ—tions di'érenE
tielles ser—it
θ1(t) = A1 cos(ωt + φ)
θ2(t) = A2 cos(ωt + φ)
ges deux expressions doivent s—tisf—ire le système d9équ—tions di'érentiellesD d9où
Kl2 + mgl − ml2ω2 A1 − Kl2A2 = 0
−Kl2A1 + Kl2 + mgl − ml2ω2 A2 = 0
H. Djelouah

4.3 Exercices 37
ge système d9équ—tions —dmet des solutions non nulles seulement si ω est solution de l9équ—E
tion —ux fréquen™es
Kl2
+ mgl − ml2
ω2 2
− K2
l4
= 0
h9où l9on tire l9expression des puls—tions propres ω1 et ω2
ω1 =
g
l
et ω2 =
g
l
+
2K
m
v— solution du système d9équ—tions di'érentielles est don™
θ1 = A11 cos(ω1t + φ1) + A12 cos(ω2t + φ2)
θ2 = A21 cos (ω1t + φ1) + A22 cos (ω2t + φ2)
€our ™—l™uler les r—pports des —mplitudes d—ns les modesD on suppose que le système os™ille
soit d—ns le premier mode soit d—ns le se™ond modeF h—ns le premier modeD on o˜tient le système
Kl2 + mgl − ml2ω2
1 − Kl2µ1 = 0
−Kl2 + Kl2 + mgl − ml2ω2
1 µ1 = 0
h—ns le se™ond modeD on o˜tient
Kl2 + mgl − ml2ω2
2 − Kl2µ2 = 0
−Kl2 + Kl2 + mgl − ml2ω2
2 µ2 = 0
„en—nt ™ompte des expressions de ω1 et ω2 on o˜tient les v—leurs du r—pport des —mplitudes
d—ns les modes µ1 = +1 et µ2 = −1F ves solutions du système d9équ—tions di'érentielles s9é™rivent
—lors
θ1 = A11 cos (ω1t + φ1) + A12 cos (ω2t + φ2)
θ2 = A11 cos (ω1t + φ1) − A12 cos (ω2t + φ2)
4.3 Exercices
Exercice 1 : ƒoit le système mé™—nique représenté p—r l— (gure ™iE™ontreD ™omposé de deux
os™ill—teurs liné—ires (m, k) ™ouplés p—r un ressort de r—ideur k F
m m
k kk'
x1
x2
IF i™rire le l—gr—ngien du systèmeF
PF @—A wettre ™e v—gr—ngien sous l— forme X
L =
1
2
m ˙x2
1 + ˙x2
2 − ω2
0 x2
1 + x2
2 − 2Cx1x2
honner les expressions de ω2
0 et C @™oe0™ient de ™oupl—geAF
H. Djelouah

@Ã in déduire les équ—tions du mouvementF
QF @—A héterminer les puls—tions propres du systèmeF
@Ã ƒ—™h—nt que T0 = 2π/ω0 = 0, 5 s et C = 0, 3D ™—l™uler les v—leurs numériques des
périodes propresF
RF @—A ve ™oe0™ient de ™oupl—ge C ét—nt f—i˜leD donner les solutions x1(t) et x2(t) —ve™ les
™onditions initi—les suiv—ntes X à t = 0 s, x1 (0) = X0, ˙x1 (0) = 0 et x2 (0) = 0, ˙x2 (0)F
uel phénomène physique o˜serveEtEonc
@Ã „r—™er l9—llure des ™our˜es représent—tives de x1(t) et x2(t)F
Exercice 2 : ƒoit le système mé™—nique représenté (gure ™iEdessousF ves v—ri—˜les x1(t) et x2(t)
représentent les dépl—™ements horizont—ux @à p—rtir de l9équili˜reA des m—sses m1 et m2 d—ns le
™—s des petites os™ill—tionsF v— tige de longueur L est de m—sse néglige—˜leF
K
1
K
2 K
3m1
m2
L/2
L/2
x1
x2
yn se pl—™e d—ns le ™—s où X K1 = K2 = K3 = k et m1 = m2 = mF yn poser— X
ω2
0 =
5k
4m
+
g
L
=
2k
m
IF g—l™uler les puls—tions propres
PF héterminer les r—pports des —mplitudes de ™h—™un des modesF
QF in déduire l9expression de x1(t) et x2(t)F
RF honner les solutions de x1(t) et x2(t) si x1 (0) = x0, ˙x1 (0) = 0 et x2 (0) = 0, ˙x2 (0) = 0
Exercice 3 : ƒoit le système mé™—nique suiv—nt ™ompren—nt entre —utres une ˜—rre horizont—le
de m—sse néglige—˜le et qui peut pivoter s—ns frottement —utour d9un —xe p—ss—nt p—r son milieuF
m
M
y
L
k
3
k
2
k
3
m
L
j
yn prendr— M = 2m et k1 = k2 = k3 = k
IF it—˜lir les équ—tions régiss—nt les petites os™ill—tionsF
PF „rouver les puls—tions propres et les r—pports des —mplitudes pour les di'érents modesF
QF i™rire les solutions génér—les y(t) et θ(t)F
H. Djelouah

4.3 Exercices 39
Exercice 4 : h—ns l— (gure ™iEdessousD M et R représentent respe™tivement l— m—sse et le
r—yon de l— poulieF x1 et x2 représentent les é™—rts des deux m—sses p—r r—pport à leur position
d9équili˜reF
m1
m2
k1
k0
k2
M
x1
x2
yn prend X M = 2(m2 − m1) —ve™ m2 = mD et k0 = k1 = k2 = kF
IF i™rire le v—gr—ngien du systèmeF
PF héterminer les puls—tions propres et le r—pport des —mplitudes de ™h—™un des modes en
fon™tion de m et kF
Exercice 5 : ƒur l— (gure ™iEdessousD nous —vons s™hém—tisé un véhi™ule —ve™ s— suspension
@s—ns —mortisseursAF xous supposons que les ressorts restent verti™—uxF v— m—sse du véhi™ule est
m et son moment d9inertie p—r r—pport à un —xe horizont—l D p—ss—nt p—r le ™entre de gr—vité G
et perpendi™ul—ire —u pl—n de l— (gure est J0F ve dépl—™ement du ™entre de gr—vité p—r r—pport
à l9équili˜re est repéré p—r x @pomp—geAF v9—ngle θ @t—ng—geA que f—it le ™h—ssis —ve™ le solD p—r
rot—tion —utour de DD ser— supposé petitF v9in™lin—ison sur les ™ôtés @roulisA est supposée nulleF
x
G
L1
L2
k1
k2
j
yn donne les v—leurs suiv—ntes X
! m—sse du véhi™ule m = 1000 kgD
! dist—n™e entre l9—xe —v—nt et G X L1 = 1 mD
! dist—n™e entre l9—xe —rrière et G X L2 = 1.5 mD
! ™onst—nte de r—ideur du ressort —v—nt X k1 = 18 kxGmD
! ™onst—nte de r—ideur du ressort —rrière X k2 = 18 kxGmD
! moment d9inertie du véhi™ule X J0 = mr2; r = 0.9 mF
IF héterminer les puls—tions propres du système —insi que le r—pport des —mplitudes d—ns
™h—™un des modesF
PF i™rire les solutions x(t) et θ(t)F
QF @—A uelle ™ondition doit être ré—lisée si l9on désire —voir un dé™oupl—ge entre x et θ c
@˜A uelles sont —lors les fréquen™es propres de pomp—ge fP et de t—ng—ge fT c
H. Djelouah

H. Djelouah

Chapitre 5
Oscillations forcées des systèmes à deux
degrés de liberté
5.1 Equations de Lagrange
ƒoit un système à deux degrés de li˜ertéD soumis à des for™es qui dérivent d9un potentielD à
des for™es de frottement de vis™osité et à des for™es extérieuresF ƒi les ™oordonnées génér—lisées
sont q1 et q2D les équ—tions de v—gr—nge s9é™rivent X
d
dt
∂L
∂ ˙q1
−
∂L
∂q1
+
∂D
∂ ˙q1
= Fq1
d
dt
∂L
∂ ˙q2
−
∂L
∂q2
+
∂D
∂ ˙q2
= Fq2
h—ns ™ette expression Fq1 et Fq2 sont les for™es génér—lisées ™onjuguées des ™oordonnées
génér—lisées respe™tives q1 et q2F illes sont respe™tivement dé(nies p—r
• Fq1 =
δW1
δq1 δq1=0
δq2=0
D d—ns ™ette expression δW1 représente le tr—v—il des for™es extérieures
pour une v—ri—tion δq1 de l— ™oordonnée q1D lorsque δq2 = 0F
• Fq2 =
δW2
δq2 δq1=0
δq2=0
D d—ns ™ette expression δW2 représente le tr—v—il des for™es extérieures
pour une v—ri—tion δq2 de l— ™oordonnée q2D lorsque δq1 = 0F
5.2 Système masses-ressorts-amortisseurs
ƒystème à deux degrés de li˜erté en os™ill—tions for™éesF
€our étudier les p—rti™ul—rités des os™ill—tions for™ées des systèmes à deux degrés de li˜ertéD
étudions le système symétrique de l— (gure ™iEdessusD soumis à une for™e horizont—le F —ppliquée
à l— première m—sseF
H. Djelouah

42 Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté
5.2.1 Equations diérentielles
ves équ—tions di'érentielles du mouvement s9é™rivent X
m¨x1 + (k + K) x1 + α ˙x1 − Kx2 = F
−Kx1 + m¨x2 + (k + K) x2 + α ˙x2 = 0
5.2.2 Etude du régime permanent sinusoïdal
Solution permanente
v— solution génér—le de système d9équ—tions di'érentielles est ég—le à somme de l— solution du
système homogène et d9une solution p—rti™ulièreF v— solution de l9équ—tion homogèneD en r—ison
de l9—mortissementD tend vers zéro lorsque le temps —ugmenteF vorsque le régime perm—nent
s9ét—˜litD l— solution devient ég—le à l— solution perm—nente et s9é™rit —lors X
x1 = X1 cos (Ωt + φ1)
x2 = X2 cos (Ωt + φ2)
€our ™—l™uler les —mplitudes X1 et X2D —insi que les ph—ses φ1 et φ2D utilisons l— méthode des
nom˜res ™omplexesF yn peut —insi é™rire X
x1 = Re X1 eiΩt
x2 = Re X2 eiΩt
F = Re F eiΩt
h—ns ™es expressions les —mplitudes ™omplexes sont dé(nies p—r
X1 = X1 eiφ1
X2 = X2 eiφ2
F = F0 ei0
h—ns ™e ™—s les équ—tions di'érentielles se tr—nsforment en équ—tions —lgé˜riques X



k + K − mΩ2 + iαΩ X1 − KX2 = F
−KX1 + k + K − mΩ2 + iαΩ X2 = 0
Amortissement négligeable
gonsidérons d9—˜ord le ™—s d9un —mortissement su0s—mment f—i˜le pour que l9on puisse
™onsidérer que α 0F ve système d9équ—tions di'érentielles s9é™rit —lors



k + K − mΩ2 X1 − KX2 = F
−KX1 + k + K − mΩ2 X2 = 0
ves solutions de ™e système sont X
X1 =
F
m
Ω2
A − Ω2
ω2
1 − Ω2 ω2
2 − Ω2
X2 =
KF
m2
1
ω2
1 − Ω2 ω2
2 − Ω2
H. Djelouah

5.3 Impédance 43
ves puls—tions ω1 =
k
m
et ω2 =
k + 2K
m
sont les puls—tions propres ™—l™ulées —u ™h—pitre
pré™édentF v— v—leur de l— puls—tion ΩA est X
ΩA =
k + K
m
ves —mplitudes des dépl—™ements X1 et X2 sont —lors données p—r
X1 =
F0
m
Ω2
A − Ω2
ω2
1 − Ω2 ω2
2 − Ω2
X2 =
K F0
m2
1
ω2
1 − Ω2 ω2
2 − Ω2
ves v—ri—tions des —mplitudes X1 et X2 sont représentées sur les (gures ™iEdessousF
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0
5
10
ΩΩ
A
ω
2ω
1
X1
†—ri—tion de X1 en fon™tion de Ω
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0
5
10
ΩΩ
A
ω
2
ω
1
X2
†—ri—tion de X2 en fon™tion de Ω
yn rem—rque que le phénomène de réson—n™e se produit pour ˆ1 ™omme pour ˆ2 lorsque l—
puls—tion d9ex™it—tion Ω est ég—le à l9une des puls—tions propres ω1 ou ω2 du systèmeF v9—mortisE
sement ét—nt très f—i˜leD les —mplitudes à l— réson—n™e sont très import—ntesF vorsque l— puls—tion
Ω devient très gr—ndeD ™es —mplitudes tendent vers zéroF in(n lorsque Ω = ΩAD l9—mplitude X1
est ég—le à zéroY pour ™ette r—isonD l— puls—tion ΩA est —ppelée puls—tion d9—ntiréson—n™eF
5.3 Impédance
gonsidérons le système à deux degrés de li˜erté étudié d—ns le p—r—gr—phe pré™édent d—ns
lequel nous supposons que l9—mortissement est nul (α 0)F in régime st—tionn—ireD on o˜tient
pour l9—mplitude ™omplexe de l— vitesse ˙X1 X
˙X1 = −i
Ω
m
Ω2 − Ω2
A
Ω2 − ω2
1 Ω2 − ω2
2
F
yn en déduit l9impéd—n™e d9entrée X
ZE =
F
˙X1
= i
m
Ω
Ω2 − ω2
1 Ω2 − ω2
2
Ω2 − Ω2
A
ves (gures ™iEdessous donnent les v—ri—tion de ˙X et ZE en fon™tion de ΩF yn note le phéE
nomène de réson—n™e lorsque l— puls—tion d9ex™it—tion Ω est ég—le à l9une des deux puls—tions
propres ω1 ou ω2F e ™es puls—tionsD le module de l9impéd—n™e d9entrée est nulF in(nD lorsque Ω
est ég—le à l— puls—tion d9—ntiréson—n™e ΩAD l— vitesse de l— première m—sse est nulle et le module
de l9impéd—n™e d9entrée est in(niF vorsque Ω → ∞D ZE mΩF
H. Djelouah

†—ri—tion de ˙X1 en fon™tion de Ω †—ri—tion de ZE = |ZE| en fon™tion de Ω
5.4 Application
ve phénomène d9—ntiréson—n™e peut être —v—nt—geusement utilisé pour supprimer une vi˜r—E
tion résult—nt d9une réson—n™e d—ns un système mé™—niqueF
itou'eur de vi˜r—tions F
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0
2
4
6
8
10
12
14
ΩΩA
X1
†—ri—tion de ˆ1 en fon™tion de ΩF
gonsidérons le système à deux degrés de li˜erté de l— (gure ™iEdessusF ves équ—tions di'érenE
tielles du mouvement s9é™rivent



m¨x1 + α ˙x1 + (k + K) x1 − Kx2 = F
−Kx1 + m¨x2 + Kx2 = 0
in régime perm—nent sinusoïd—lD on o˜tient
X1 =
F0
m
Ω2 − K
M
−Ω4 + Ω2 k+K
m + K
M − kK
mM + i α
m Ω Ω2 − K
M
X2 = −
KF0
Mm
1
−Ω4 + Ω2 k+K
m + K
M − kK
mM + i α
m Ω Ω2 − K
M
vorsque l— puls—tion de l— for™e ex™it—tri™e est ég—le à ΩA = K
M D l— m—sse m est immo˜ile
(X1 = 0)F
H. Djelouah

5.5 Exercices 45
ƒi on ™hoisit K et M telles que k
m = K
M @™9estEàEdire telles que ω0 = ΩAAD l— m—sse m est
immo˜ile lorsque l— puls—tion ex™it—tri™e Ω est ég—le à ω0 = k
m = K
M F h—ns ™es ™onditionsD
l9—jout de M et K permet d9—nnuler l— vi˜r—tion de m à ™ette puls—tionF …n tel dispositif ™onstitue
un étou'eur dyn—mique de vi˜r—tionsF
5.5 Exercices
Exercice 1 : h—ns l— (gure ™iEdessousD M et R représentent respe™tivement l— m—sse et le
r—yon de l— poulieD x1 et x2 les é™—rts des deux m—sses p—r r—pport à leur position d9équili˜reF yn
prend X M = 2(m2 − m1) —ve™ m2 = m et k0 = k1 = k2 = kF ve système ser— étudié en régime
perm—nent —ve™ X F(t) = F0 cos(ωt)F
m1
m2
k1
k0
k2
M
x1
x2
F(t)
IF g—l™uler l9impéd—n™e d9entréeF
PF g—l™uler les vitesses ˙x1(t) et ˙x2(t)F
QF @—A e quelle puls—tion l— m—sse m1 resteEtEelle immo˜ilec
@Ã h—ns ™e ™—sD quelle est l9—mplitude d9os™ill—tion de l— m—sse m2 c
RF @—A e quelles puls—tionsD l— vitesse de l— m—sse m1 est en ph—se —ve™ l— for™e F(t) c
@Ã in ™omp—r—nt ™es puls—tions à ™elles ™—l™ulées d—ns l9exer™i™e R du ™h—pitre pré™édentD
déduire le déph—s—ge de ˙x2 p—r r—pport à F(t) pour ™h—™une de ™es puls—tionsF
Exercice 2 :
IF it—˜lir les équ—tions di'érentielles régiss—nt le fon™tionnement des systèmes représentés
p—r les gures 1 et 2F
PF €our
! ω = 5k/4m1 + g/r et m1 = m2 pour l— gure 1
! et ω = k2/m —ve™ m = M/2 + m2 pour l— gure 2D
™—l™uler en régime perm—nent sinusoïd—l X
@—A l9impéd—n™e d9entréeD
@Ã ˙y1, ˙y2, y1 et y2 F
H. Djelouah

F(t)
y2 y1
k
k
k
m1
m2
y2
m1
k2
y1
m2r/2
r/2
r/2
r/2
k1
F(t)
R
M
figure 1 figure 2
a
a
Exercice 3 : €our les systèmes mé™—niques des gures 1 et P et —ve™ F(t) = F0 cos(ωt) et
pour ω = k1/m1 D ™—l™uler X
IF v9impéd—n™e d9entrée D
PF v— puiss—n™e inst—nt—née fournie p—r le génér—teur mé™—nique et l— puiss—n™e inst—nt—née
dissipée p—r le systèmeF gomp—rer et ™ommenterF
QF v— puiss—n™e moyenne fournie p—r le génér—teur mé™—nique et l— puiss—n™e moyenne dissipée
p—r le systèmeF gomp—rer et ™ommenterF
k1
m1
k2 1
m2
2
y1
y2
k1
m1
k2
1
m2
2
y1
y2
F(t)F(t)
figure 1 figure 2
a
a
a
a
H. Djelouah

Chapitre 6
Généralités sur les phénomènes de
propagation
6.1 Propagation à une dimension
6.1.1 Equation de propagation
h—ns les phénomènes vi˜r—toires tr—ités d—ns les ™h—pitres pré™édentsD nous nous sommes
intéressés à des phénomènes ou des gr—ndeurs physiques qui dépend—ient d9une seule v—ri—˜leD le
tempsF xous —llons m—inten—nt ex—miner toute une série de phénomènes qui sont dé™rits p—r une
fon™tion qui dépend à l— fois du temps t et d9une v—ri—˜le d9esp—™eD x p—r exempleF
ges phénomènes sont régis p—r une équ—tion —ux dérivées p—rtiellesD —ppelée équ—tion de
d9elem˜ert ou équ—tion d9onde ou en™ore équ—tion de prop—g—tion à une dimension de l— forme X
∂2s
∂x2
−
1
V 2
∂2s
∂t2
= 0
d—ns l—quelle V est une gr—ndeur physique qui — les dimensions d9une vitesse et ser— —ppelée d—ns
l— suite vitesse de prop—g—tionF
6.1.2 Solution de l'équation de propagation
Méthode de d'Alembert
€our résoudre l9équ—tion des ondes à une dimensionD opérons le ™h—ngement de v—ri—˜le
suiv—nt X
η = t −
x
V
ξ = t +
x
V
g—l™ulons les dérivées p—rtielles p—r r—pport à t et xD en fon™tion des dérivées p—rtielles p—r
r—pport à η et ξF
ƒ—™h—nt que X
∂η
∂t
=
∂ξ
∂t
= 1
et que
∂η
∂x
= −
∂ξ
∂x
= −
1
V
on o˜tient
H. Djelouah

48 Généralités sur les phénomènes de propagation
∂s
∂t
=
∂s
∂η
∂η
∂t
+
∂s
∂ξ
∂ξ
∂t
=
∂s
∂η
+
∂s
∂ξ
∂s
∂x
=
∂s
∂η
∂η
∂x
+
∂s
∂ξ
∂ξ
∂x
=
1
V
∂s
∂η
−
∂s
∂ξ
in ten—nt ™ompte de ™es résult—ts et s—™h—nt que
∂2s
∂η∂ξ
=
∂2s
∂ξ∂η
on o˜tient X
∂2s
∂t2
=
∂2s
∂η2
− 2
∂2s
∂η∂ξ
+
∂2s
∂ξ2
∂2s
∂x2
=
1
V 2
∂2s
∂η2
− 2
∂2s
∂η∂ξ
+
∂2s
∂ξ2
in rempl—ç—nt d—ns l9équ—tion d9onde ∂2s
∂t2 et ∂2s
∂x2 p—r les expressions ™iEdessusD on o˜tient l9équ—E
tion d9onde exprimée en fon™tion des dérivées p—rtielles p—r r—pport —ux v—ri—˜les η et ξ X
∂2s
∂η∂ξ
= 0
gette dernière équ—tion peut s9é™rire
∂
∂ξ
∂s
∂η
= 0
…n intégr—tion p—r r—pport à ξ donne X
∂s
∂η
= f (η)
où f (η) est une fon™tion qui ne dépend que de η @et p—s de ξAF in(n une intégr—tion p—r r—pport
à η donne X
s (η, ξ) = F (η) + G (ξ)
où F (η) D qui ne dépend que de ηD est une primitive de f (η)F v— fon™tion G (ξ) est une fon™tion
qui ne dépend que de ξF in reven—nt —ux v—ri—˜les x et tD on o˜tient l— solution génér—le de
l9équ—tion des ondes à une dimension X
s (x, t) = F t −
x
V
+ G t +
x
V
ves fon™tions F t − x
V et G t + x
V sont des fon™tions dont l— n—ture est (xée p—r les ™onditions
—ux frontières imposées à l— solution s (x, t)F
H. Djelouah

6.1 Propagation à une dimension 49
Propriétés des solutions particulières F t − x
V et G t + x
V
Propriétés de F t − x
V yn étudie le ™—s de l— solution p—rti™ulière F t − x
V F €our ™el—
on suppose que les ™onditions —ux frontières sont telles que G t + x
V est ™onst—mment nulleF
yn ™onsidère à l9inst—nt t1 un point d9—˜s™isse x1 F v— v—leur de l— fon™tion s en ™e point et à ™et
inst—nt est s (x1, t1)F yn re™her™he à un inst—nt t2 postérieur à t1 (t2 t1) l— position x2 d9un
point pour lequel l— v—leur de s est l— même que l— v—leur qu9elle —v—it en x1 à l9inst—nt t1F ge
pro˜lème est formulé p—r l9ég—lité suiv—nte X
s (x1, t1) = s (x2, t2)
ge qui se tr—duit p—r
F t1 −
x1
V
= F t2 −
x2
V
gette équ—tion est s—tisf—ite si
t1 −
x1
V
= t2 −
x2
V
h9où l— v—leur de x2 X
x2 = x1 + V (t2 − t1)
gomme t2 t1D x2 est supérieure à x1 et ™es deux points sont dist—nts de
x2 − x1 = V (t2 − t1)
F t − x
V ™orrespond à une onde se prop—ge—nt d—ns le sens des x ™roiss—nts @†oir l— (gure
™iEdessousAF F t − x
V est —ppelée onde progressive et ™ette expression ™onstituer— d—ns l— suite
l— dé(nition d9une onde progressiveF
x1
x1
x2
x2
t=t1
t=t2t1
Direction de
propagation
x2-x1=V(t2-t1)
x
x
ynde progressive d—ns le sens des x ™roiss—nts X F t − x
V
Propriétés de G t + x
V yn étudie le ™—s de l— solution p—rti™ulière G t + x
V F €our ™el—
on suppose que les ™onditions —ux frontières sont telles F t − x
V est ™onst—mment nulleF yn
™onsidère à l9inst—nt t1 un point d9—˜s™isse x1 F v— v—leur de l— fon™tion s en ™e point et à ™et
inst—nt est s (x1, t1)F yn re™her™he à un inst—nt t2 postérieur à t1 (t2 t1) l— position x2 d9un
point pour lequel l— v—leur de s est l— même que l— v—leur en x1 à l9inst—nt t1F ge pro˜lème est
formulé p—r l9ég—lité suiv—nte X
s (x1, t1) = s (x2, t2)
ge qui se tr—duit p—r
G t1 +
x1
V
= G t2 +
x2
V
gette équ—tion est s—tisf—ite si
t1 +
x1
V
= t2 +
x2
V
H. Djelouah

h9où l— v—leur de x2 X
x2 = x1 − V (t2 − t1)
gomme t2 t1D x2 est inférieure à x1F ges deux points sont dist—nts de
x1 − x2 = V (t2 − t1)
G t + x
V ™orrespond à une onde se prop—ge—nt d—ns le sens des x dé™roiss—nts @†oir l— (gure
™iEdessousAF
x1
x1x2
x2
t=t1
t=t2t1
Direction de
propagation
x1-x2=V(t2-t1)
x
x
ynde progressive d—ns le sens des x dé™roiss—nts X G t + x
V
6.1.3 Onde progressive sinusoïdale
yn ™onsidère une onde progressive se prop—ge—nt d—ns l— dire™tion de l9—xe des x, telle que
le point d9—˜s™isse x = 0 est soumis à une vi˜r—tion sinusoïd—le de l— forme
s (x = 0, t) = S0 cos (ωt)
ve point se trouv—nt à l9—˜s™isse x 0 —ur— l— même vi˜r—tion que ™elle du point x = 0 m—is
—ve™ un ret—rd ég—l à x
V X
s (x, t) = S0 cos ω t −
x
V
gette expression ™onstitue l— dé(nition d9une onde progressive sinusoïd—le @ou h—rmoniqueAY elle
peut être é™rite sous l— forme X
s (x, t) = S0 cos [ωt − φ (x)]
où φ (x) = ω
V x représente le déph—s—ge lié —u temps de prop—g—tion x
V F yn dit que φ (x) représente
le déph—s—ge dû à l— prop—g—tionF v9onde progressive sinusoïd—le s9é™rit sous l— forme suiv—nte
qui permet de mettre en éviden™e l— dou˜le périodi™ité @d—ns le temps et d—ns l9esp—™eA X
s (x, t) = S0 cos 2π
t
T
−
x
λ
v— qu—ntité T = 2π
ω est l— période temporelle t—ndis que l— qu—ntité λ = V T est l— longueur
d9onde qui ™onstitue l— période sp—ti—leF yn peut véri(er —isément que X
s (x, t + nT) = s (x, t)
s (x + nλ, t) = s (x, t)
où n est un nom˜re entierF
H. Djelouah

v9onde progressive s9é™rit souvent X
s (x, t) = S0 cos [ωt − kx]
où k = ω
V = 2π
λ est —ppelé le module du ve™teur d9onde qui s9exprime en m−1F
yn utilise très souvent l— not—tion ™omplexe d9une onde progressive sinusoïd—le X
s (x, t) = S0 ei(ωt−kx)
s (x, t) = S eiωt
où S = S0 e−ikx représente l9—mplitude ™omplexe de l9onde progressive sinusoïd—leF ve module
S0 de S est l9—mplitude de l9onde t—ndis que son —rgument −kx représente le déph—s—ge dû à l—
prop—g—tionF
6.1.4 Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales
Cas de deux ondes de même fréquence se propageant dans le même sens
gonsidérons deux ondes de même fréquen™e et de même dire™tion de prop—g—tionD d9—mpliE
tudes respe™tives S1 et S2D et de ph—ses respe™tives φ1 et φ2F v9onde résult—nte ser— —lors X
s (x, t) = S1 ei(ωt−kx+φ1)
+ S2 ei(ωt−kx+φ2)
= S ei(ωt−kx+φ)
ou en™ore en not—tion réelle X
s (x, t) = S cos (ωt − kx + φ)
—ve™
S = S2
1 + S2
2 + 2S1S2 cos (φ1 − φ2)
et
φ = Arctg
S1 sin (φ1) + S2 sin (φ2)
S1 cos (φ1) + S2 cos (φ2)
v— superposition de deux ondes h—rmoniques de même fréquen™eD et qui se prop—gent d—ns l—
même dire™tionD donne une —utre onde h—rmonique progressive de même fréquen™eD d9—mplitude
S et de ph—se φF
Cas de deux ondes de même fréquence se propageant dans des sens opposés
ƒi p—r ™ontreD on superpose deux ondes h—rmoniques de même fréquen™e m—is se prop—ge—nt
d—ns des sens opposésD le résult—t est tout —utreF in e'etD d—ns ™e ™—s X
s (x, t) = S1 ei(ωt−kx+φ1)
+ S2 ei(ωt+kx+φ2)
= S1eiφ1
e−ikx
+ S2eiφ2
e+ikx
eiωt
et on ne peut plus é™rire l9onde résult—nte sous l— forme d9une onde progressive simpleF …n ™—s
p—rti™ulier import—nt se produit qu—nd les deux —mplitudes sont identiquesF ƒi on note X
S1 = S2 = S0
on — X
s (x, t) = 2S0 cos kx +
φ1 − φ2
2
e
i ωt+
φ1+φ2
2
H. Djelouah

et don™ en not—tion réelle X
s (x, t) = 2S0 cos kx +
φ1 − φ2
2
cos ωt +
φ1 + φ2
2
ge mode de vi˜r—tion est très di'érent d9une onde progressive puisque tous les points x de l—
™orde vi˜rent en ph—se —ve™ des —mplitudes di'érentesF in p—rti™ulierD il existe une série de
points X
xn = n +
1
2
−
φ1 − φ2
2π
λ
2
—ve™
n = 0, ±1, ±2, · · ·
où l9—mplitude de vi˜r—tion est ™onst—mment nulleF yn dit d—ns ™e ™—s que l9onde est st—E
tionn—ire et que les points xn sont les n÷uds de l9ondeF intre ™h—que p—ire de n÷uds existe un
ventre où l9—mplitude de vi˜r—tion est m—ximum et ég—le à 2S0F yn note —ussi que l9interv—lle
entre deux n÷uds est ég—l à une demiElongueur d9onde λ/2F
6.1.5 Vitesse de phase
gonsidérons une onde progressive sinusoid—le qui se prop—ge d—ns le sens des x ™roiss—ntsF
…n point d9—˜s™isse x possèdeD à l9inst—nt tD l9élong—tion X
s (x, t) = S0 cos (ωt − kx)
intre l9inst—nt t et t + ∆t l9onde progresse d9une qu—ntité ∆xF e l9inst—nt t + ∆tD le point
d9—˜s™isse x + ∆x possède l— même élong—tion que ™elle que posséd—it le point d9—˜s™isse x à
l9inst—nt —ntérieur tF ge™i se tr—duit p—r l9ég—lité X
s (x, t) = s (x + ∆x, t + ∆t)
S0 cos (ωt − kx) = S0 cos [ω (t + ∆t) − k (x + ∆x)]
gette ég—lité est s—tisf—ite si les ph—ses inst—nt—nées sont ég—les X
ωt − kx = ω (t + ∆t) − k (x + ∆x)
ƒoit en™ore
ω ∆t = k ∆x
yn dé(nit l— vitesse de ph—se Vφ = ∆x
∆t qui s9exprime en fon™tion de ω et k p—r X
Vφ =
ω
k
ƒi l— vitesse de ph—se ne dépend p—s de ωD le milieu est dit non dispersifF h—ns le ™—s ™ontr—ire il
est dit dispersifF
v— (gure ™iEdessous permet d9illustrer l— notion de vitesse de ph—se en ™onsidér—nt deux
représent—tions à des inst—nts di'érents d9une ™orde p—r™ourue p—r une onde F v— ™our˜e ™ontinue
représente l9ensem˜le des points de l— ™orde à l9inst—nt tF ve point de l— ™orde d9—˜s™isse x est
représenté p—r le point ˜l—n™D t—ndis que le point d9—˜s™isse x + ∆x est représenté p—r le point
noirF yn ™onst—te qu9entre les inst—nts t et t + ∆t ™h—™un de ™es points suit une tr—je™toire
re™tiligne et le dépl—™ement du point noir à l9inst—nt t + ∆t est ég—l —u dépl—™ement du point
˜l—n™ à l9inst—nt tF in p—rti™ulier l— ™rête de l— ™ordeD ™orrespond—nt à une v—leur p—rti™ulière
de l— ph—se inst—nt—néeD sem˜le se dépl—™er d—ns le sens de prop—g—tion de l9onde —ve™ l— vitesse
de Vφ m—is l— tr—je™toire de ™h—que point m—tériel est une tr—je™toire re™tiligne perpendi™ul—ire
à l— dire™tion de prop—g—tionF
H. Djelouah

t t+∆t
∆x
x
ynde progressive sinusoïd—le
„r—je™toire de deux points ◦ et • entre les inst—nts t et t + ∆t
6.1.6 Vitesse de groupe
v— vitesse de ph—se Vφ n9est p—s né™ess—irement l— vitesse que l9on o˜serve lorsqu9on —n—lyse
un mouvement ondul—toireF in génér—l une onde n9est p—s p—rf—itement sinusoïd—le m—is — une
durée limitée et se présente sous l— forme d9un tr—in d9onde —ppelé ™ommunément pulse ou
groupe qui se prop—ge —ve™ une vitesse VG —ppelée vitesse de groupeF gette onde sous l— forme
d9un pulse ™ontient plusieurs fréquen™esF ƒi l— vitesse de ph—se est indépend—nte de l— fréquen™e
@wilieu non dispersifA —lors toutes les fréquen™es qui ™onstituent le pulse se prop—gent à l— même
vitesse et le pulse se prop—ge —ve™ une vitesse de groupe ég—le à l— vitesse de ph—seF w—is si le
milieu est dispersif @iFeF l— vitesse de ph—se dépend de l— fréquen™eAD —lors le pulse se prop—ge
—ve™ une vitesse de groupe di'érente de l— vitesse de ph—seF
€our illustrer ™e phénomèneD ™onsidérons une onde ™onstituée de deux ondes de fréquen™es
di'érentes et de même —mplitudeF in x = 0D ™ette onde s9é™rit p—r exemple sous l— forme X
s (0, t) = S0 cos (ω1t) + S0 cos (ω2t)
gette onde peut s9é™rire en™ore X
s (0, t) = 2S0 cos (ωBt) cos (ωt)
où
ωB =
ω2 − ω1
2
et ω =
ω2 + ω1
2
ƒi ω1 est voisine de ω2D l— vi˜r—tion résult—nte se présente sous l— forme d9une sinusoïde de
puls—tion ω dont l9—mplitude est modulée p—r un ˜—ttement de puls—tion ωB @wodul—tion d9—mE
plitudeAF
in un point x 0D l9onde o˜tenue résulte de l— superposition de ™es deux ondes qui se sont
prop—gées à des vitesses di'érentes ™—r le milieu de prop—g—tion est supposé dispersif X
s (x, t) = S0 cos (ω1t − k1x) + S0 cos (ω2t − k2x)
s (x, t) peut s9é™rire X
s (x, t) = 2S0 cos (ωBt − kBx) cos (ωt − kx)
h—ns ™ette expression X
kB =
k2 − k1
2
et k =
k2 + k1
2
H. Djelouah

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