Chapitre 3 : Les annuités.Définition : c’est un terme général qui est applicable quelque soit la périodicité.A – Evaluatio...
10000                                   (1 + i )3 − 1 (1 + i ) = 35529,35                                          i      ...
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53349,26 = 94511,47(1,1)                                                                  −n                              ...
B – Les annuités en progression arithmétique ou géométrique.                              Les annuités en progression arit...
 1 + i  n − 1     r  nr           −n                               V0 =                                    ...
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Vn   =a                                                        (1 + i )n − 1                                              ...
Soit 5 annuités de 25 000 €.                           6 ème                                   = (25000 + 18899,49 ) = 438...
Application 7 : Afin de préparer sa retraite un particulier a effectué des versements sur uncompte d’épargne selon les mod...
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  1. 1. Chapitre 3 : Les annuités.Définition : c’est un terme général qui est applicable quelque soit la périodicité.A – Evaluation d’une suite d’annuités constantes. 1. Valeur acquise par une suite d’annuités constantes.Définition : il s’agit de la somme des valeurs acquises par chaque annuité immédiatementaprès le dernier versement. a Montant de l’annuité i Intérêt pour 1 € pour une période n Nombre d’annuités Vn Valeur acquise 0 1 2 3 n −1 n a a a a a a(1 + i ) 1 … a(1 + i ) n −3 a(1 + i ) n−2 a(1 + i ) n −1 Σ = VnIci, le premier terme est a, de raison q = (1 + i ) , avec n termes. Vn = a (1 + i )n − 1 (1 + i ) − 1 Vn =a (1 + i )n − 1 iApplication A.1. : 20 000 € sont placés le 1er janvier de chaque année civile du 1er janvier2005 au 1er janvier 2008 inclus. Au taux d’intérêt de 9 %, déterminer la valeur acquise par ceplacement le 1er janvier 2009. Vn = 20000 (1,09)4 − 1 (1,09) 0,09 Vn = 99690,21Application A.2. : Un placement de 10 000 € est réalisé le 1er janvier de chaque année du 1erjanvier 2006 au 1er janvier 2008 inclus. Le 1er janvier 2009, on dispose de 35 529,35 €. A queltaux ce placement a-t-il été réalisé ?
  2. 2. 10000 (1 + i )3 − 1 (1 + i ) = 35529,35 i (1 + i )4 − (1 + i ) = 3,552 i (1 + i )4 − 1 − 1 = 3,552 i (1 + i )4 − 1 = 4,552 i On a i = 0,09 4,573 On a i = 8,70% 4,552 On a i = 0,085 4,559Application A.3. : Neuf versements de 5 000 € sont réalisés à 6 mois d’intervalle chacun.Taux d’intérêt annuel : 10 %. De quelle somme disposera t on au moment du versement de ladernière semestrialité ? 1 is = (1,1)2 − 1 is = 0,0488 Vn = 5000 (1,0488)9 − 1 0,0488 Vn = 54863,1Application A.4. : Déterminer au taux de 7 % le nombre d’annuités constantes de 5 000 €nécessaires à la constitution d’un capital de 55 000 €. 5000(1,07 ) − 1 n 55000 = 0,07 n = 8,439Première solution : 5000(1,07 ) − 1 8 = 51299,01 0,07 55000 − 51299,01 = 3700,99On a donc 7 versements de 5000, le 8ème est de 5000 + 3700,99 = 8700,99.Deuxième solution : 5000(1,07 ) − 1 9 = 59888,94 0,07 59888,94 − 55000 = 4889,94On a donc 8 versements de 5000, le 9ème est de 5000 – 4889,94 = 110,6.
  3. 3. 2. Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes.Définition : somme des valeurs actuelles de chacune des annuités, une période avant le 1erversement.On a n termes, de raison q = (1 + i ) , premier terme a(1 + i ) −n : 1 − (1 + i ) −n V0 = a iApplication A.5. : Une dette de 100 000 € est contractée le 1er janvier 2006. Elle seraremboursée par le versement de quatre annuités constantes. Taux d’intérêt : 10 %. Calculer lemontant de l’annuité sous deux hypothèses :H1 : le premier versement intervient le 1er janvier 2007. 1 − (1,1) −4 100000 = a 0,1 a = 31547,08H2 : le premier versement intervient le 1er janvier 2008. 1 − (1,1) −4 100000(1,1) = a 0,1 a = 34701,79Application A.6. : Initialement un débiteur s’était engagé à effectuer un remboursement par leversement de 8 annuités constantes de 10 000 €, la première annuité arrivant à échéance 1 anaprès la conclusion du contrat. Au taux de 10 %, déterminer les caractéristiques d’autressolutions équivalentes : • Versement de 10 semestrialités constantes (la 1ère 6 mois après la conclusion du contrat). • Versement unique de 94 511,47 €. • Versement unique de 80 000 €. 1 is = (1,1)2 − 1 is = 0,048809 1 − (1,1) −8 V0 = 10000 0,10 V0 = 53349,26 1 − (1,0488) −10 53349,26 = s 0,0488 s = 6869,06
  4. 4. 53349,26 = 94511,47(1,1) −n n=6Deuxième hypothèse : 53349,26 = 80000(1,1) −n n = 4,25Soit 4 ans et 3 mois après époque 0.Application A.7. : Quelle est, au taux de 10 %, la valeur actuelle d’une rente perpétuelle de2000 € par an (premier versement dans un an) ? 1 − (1,1) −∞ V0 = 2000 0,1 V0 = 20000Application A.8. : Un emprunt de 100 000 € doit être remboursé par une suite de 20trimestrialités de 6 081,88 € chacune (la première venant à échéance dans un trimestre). Quelest le taux d’intérêt annuel ? 1 − (1 + it ) −20 10000 = 6081,88 it 1 − (1 + it ) − 20 16,442284 = it On a it = 0,018 16,671 On a it = 0,019432 16,442 On a it = 0,085 16,351 (1 + ia )14 − 1 = 0,019432 1 + ia = 1,08 tx = 8%
  5. 5. B – Les annuités en progression arithmétique ou géométrique. Les annuités en progression arithmétique :La valeur acquise : 0 1 2 3 n −1 n a a+r a + 2r a + (n − 2 )r a + (n − 1)r a + (n − 2 )r (1 + i ) … (a + 2r )(1 + i )n−3 (a + r )(1 + i )n−2 a(1 + i ) n −1 Σ = VnOn va voir la formule complète :                          Vn = a (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i ) + 1 + r (1 + i ) + 2(1 + i ) + ... + (n − 2 )(1 + i ) + (n − 1) n −1 n−2 n −3 n−2 n −3  Σ de n termes en progression géo de raison (1+ i ) de 1er terme 1 :   S   1 + i   n −1    (1 + i ) − 1 n    Σ =1    S =1 − n   i   i  i        n 1 + i  −1       a    i Reprenons l’expression intégrale de Vn : n 1 + i     − 1 r  (1 + i )n − 1  Vn = a   +  − n i i i  1 + i  n − 1     r  nr Vn =  a + − i  i iLa valeur actuelle : V0 −n V0 = Vn 1 + i 
  6. 6.  1 + i  n − 1  r  nr    −n V0 =     a +  −  1 + i    i  i i   −n 1 − 1 + i   r  nr   −n V0 =  a +  − 1 + i  i  i i −n 1 − 1 + i   r  nr   −n nr nr V0 =  a +  − 1 + i  + − i  i i i i −n −n 1 − 1 + i   r 1 − 1 + i   nr V0 =  a +  + nr  − i  i i i −n 1 − 1 + i   r  nr V0 =  a + + nr  − i  i  i Les annuités en progression géométrique :La valeur acquise : 0 1 2 3 n −1 n a aq aq 2 aq n − 2 aq n −1 aq n − 2 (1 + i ) … aq (1 + i ) 2 n −3 aq(1 + i ) n−2 a(1 + i ) n −1 Σ = VnLa valeur acquise correspond ici à la somme de n termes en progression géométrique de qpremier terme a(1 + i ) et de raison n −1 . 1+ i n n    1 + i     1 + i  q n − 1 + i  Vn = a   1 + i  q − 1 + i      1 + i      n n q n − 1 + i  Vn = a q − 1 + i La valeur actuelle : −n V0 = Vn 1 + i 
  7. 7. n q n − 1 + i  −n V0 = a   1 + i  q − 1+ i         −n q n 1 + i  −1 V0 = a q − 1 + i Cas particulier où : q = 1 + iLes formules qui viennent d’être obtenues ne peuvent être utilisées car elles conduisent à desvaleurs de V0 et Vn indéterminées.Il faut donc revenir au début des démonstrations et remplacer q par (1 + i ) .Cela donne :Valeur acquise : n −1 n −1 n −1 Vn = a 1 + i  + a 1 + i  + ... + a 1 + i  n −1 Vn = na 1 + i Valeur actuelle : na V0 = 1+ iApplication B.9. : Un particulier souhaite se constituer un capital en versant quatre annuités.La première sera de 10 000 €, les suivantes seront majorées à chaque fois de 1 000 €. Taux duplacement : 8 %. Quelle sera la valeur acquise par ce placement immédiatement après ledernier versement ? 1 + 0,08  4 − 1     1000  4.1000 Vn =  10000 + − 0,08  0,08  0,08 Vn = 51387,52Application B.10. : Calculer la valeur acquise et la valeur actuelle d’une suite de 7 annuités de10 000 € en progression géométrique de 1,1. Le taux d’intérêt est de 8 %.Refaire les calculs avec un taux d’intérêt de 10 %.Taux d’intérêt de 8 % : −7 1,17 1 + 0,08  −1 V0 = 10000 1,1 − 1 + 0,08      V0 = 68528,86
  8. 8. 7 1,17 − 1 + 0,08  Vn = 10000 1,1 − 1 + 0,08  Vn = 117446,42 −7 V0 = 117446,411 + 0,08  V0 = 68528,86Taux d’intérêt de 10 % : Vn = 7.10000(1,1) = 124009,27 6 V0 = 7.10000(1,1) = 63636,36 −1 V0 = 124009,27(1,1) = 63636,36 −7Application 1 : Déterminer l’échéance moyenne d’une suite de 20 annuités constantes de1 000 €. Le taux d’intérêt est de 10 %.Effectuer le même calcul pour un taux de 8 % et de 14 %. Conclure.Au taux 10 % : 1 − (1,1) −20 = 20000(1,1) −n 1000 0,10 (1,1)−n = 0,425678 n = 8,960Soit 8 ans et 346 jours après la période 0.Au taux 8 % : 1 − (1,08) −20 = 20000(1,08) −n 1000 0,08 n = 9,244Soit 9 ans et 89 jours après la période 0.Au taux 14 % : 1 − (1,14) −20 = 20000(1,14) −n 1000 0,14 n = 8,434Soit 8 ans et 157 jours après la période 0.Application 2 : Une suite de treize annuités constantes capitalisées au taux de 10 % a unevaleur acquise de 122 613,56 €.Calculer le montant de l’annuité.
  9. 9. Vn =a (1 + i )n − 1 i 122613,56 = a (1 + 0,1)13 − 1 0,1 a = 5000Application 3 : Une suite de 8 annuités de 5 000 € a une valeur acquise de 60 940,15 €.Retrouver le taux de capitalisation. 60940,15 = 5000 (1 + i )8 − 1 i (1 + i ) 8 −1 = 12,188 i On a i = 0,10 11,435 On a i = 11,75% 12,188 On a i = 0,12 12,299 i − 0,11 12,188 − 11,435 = 0,12 − 0,11 12,299 − 11,435 i = 11,75%Application 4 : Un certain nombre d’annuités de 25 000 €, chacune capitalisée au taux de7,5% ont produit une valeur acquise de 219 683,05 €.Calculer le nombre d’annuités.Refaire le calcul en considérant une valeur acquise de 200 000 €. Vn =a (1 + i )n − 1 i 219 683,05 = 25000 (1,075)n − 1 0,075 n=7 Vn =a (1 + i )n − 1 i 200000 = 25000 (1,075)n − 1 0,075 n ≈ 6,498 n=6 Vn = 25000 (1,075)6 − 1 0,075 Vn = 181100,51 +18899→ 200000  49 ,
  10. 10. Soit 5 annuités de 25 000 €. 6 ème = (25000 + 18899,49 ) = 43899,49 n=7 Vn = 25000 (1,075)7 − 1 0,075 Vn = 219683,05 −19683→ 200000  05 , 6 annuités de 25 000 €. 7 ème = (25000 − 19683,05) = 5316,95Application 5 : Calculer la valeur acquise et la valeur actuelle d’une suite de 15 annuités enprogression arithmétique de raison 600 €.La première annuité est de 6 000 €. Le taux d’intérêt est de 8 %. n 1 + i  − 1     r  nr Vn =  a +  − i  i i 15 1 08   ,   −1  600  15.600 Vn =    6000 + − 0,08  0,08  0,08 Vn = 254053,54 V0 = 254053,541,08  − 15 V0 = 88088,27Application 6 : Extrait d’une publicité d’un constructeur automobile :« Pour l’acquisition d’un véhicule neuf, la société ZX vous offre tous les modèles de sagamme pour 0 € pendant 18 mois.Exemple : pour 1 000 € TTC hors assurance, à la livraison, apport initial de 400 €, suivi de18 mensualités de 0 €, puis 41 mensualités de 23,6 € et un mois après la dernière mensualité,50 €. »Quel est le taux mensuel de ce crédit ? 1 − (1 + in ) −41 1000 = 400 + 23,6 (1 + in )−18 + 50(1 + in )−60 in 600 = 23,6 (1 + in )−18 − (1 + in )−59 + 50(1 + i )−60 n in On a i = 0,0125 626,248 On a i = ? 600 On a i = 0,014 591,976 in = 1,364%
  11. 11. Application 7 : Afin de préparer sa retraite un particulier a effectué des versements sur uncompte d’épargne selon les modalités suivantes : • A compter du 1er juillet 1990, durant 3 ans, il a placé 1 00 € au début de chaque trimestre ; • A compter du 1er juillet 1993, durant 3 ans également, il a placé 150 € au début de chaque trimestre.Le même phénomène de progression s’est reproduit tous les trois ans : le 1er juillet 1996, il acommencé une série de placements de 200 €…Le dernier versement est intervenu le 1er avril 2011 (il était de 400 €).Quelle sera, au taux de 6,5 %, la valeur acquise par l’ensemble de ces placements au 31décembre 2012 ? 1Taux trimestriel équivalent : (1,065)4 − 1 = 0,015868 (1,065)3 − 1 = 0,207949 7 termes. 1,01586812 − 1 A1 = 100 × = 1310,473 0,015868 1,01586812 − 1 r = 50 × = 655,236 0,015868 Progression arithmétique. 1 + i  n − 1     r  nrVn =  a +  − i  i i 7 1 207   ,   −1  655,23  7 × 655,23Vn =   1310,47 + − 0,207  0,207  0,207 = 37000,27Vn (31 / 12 / 2012) = 37000,27(1,015868) 7 = 41311,10

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