Ce document présente le calcul de cotisations annuelles et cumulées selon deux formules différentes pour un exercice mathématique. La formule (a) est simplifiée avec des cotisations constantes, tandis que la formule (b) utilise une récurrence plus complexe. Il est également discuté de la rentabilité des formules avec une comparaison dans le temps, montrant que la formule (a) devient plus avantageuse dès la quatrième année.

1. Exercice 32
(a) Cotisation annuelle pour les deux formules :
• Formule A :
650 Si n = 0
Cn =
50 Si n > 0
• Formule B :
Cn = 1, 1 · Cn−1 − 5 avec C0 = 150
Donc :
1, 1n − 1
Cn = 1, 1n · 150 − 5
1, 1 − 1
= 1, 1n · 150 − 50(1, 1n − 1)
= 1, 1n · 100 + 50

2. Exercice 32 (suite..)
(b) Cotisations totales cumulées pour les deux formules :
• Formule A :
Tn = Tn−1 + Cn
Tn = Tn−1 + 50 avec T0 = 650
Tn = 650 + 50n

3. Exercice 32 (suite..)
• Formule B :
n n
Tn = Ci = (1, 1i · 100 + 50)
i=0 i=0
n
= 100 1, 1i +(n + 1) · 50
i=0
PG
1 − 1, 1n+1
Comme PG = (a1 = 1 ; an = 1, 1n ; n + 1 termes)
1 − 1, 1
1 − 1, 1n+1
Tn = 100 + 50n + 50
−0, 1
Tn = 50n + 50 − 1000(1 − 1, 1n+1 )
Tn = 50n − 950 + 1000 · 1, 1n+1

4. Exercice 32 (suite..)
(c) Formule plus avantageuse.
650 + 50n > 50n − 950 + 1000 · 1, 1n+1
1600 > 1000 · 1, 1n+1
1600
ln
n> 1000
−1 3, 93 (dès la 4e année.)
ln(1, 1)