1Chapitre 3Spécification des propriétésLogique temporellew3.uqo.ca/luigi/
2Histoire: logique modale, logique temporelle, modè le Les concepts de logique modale, logique temporelle et modèle furen...
3Logique: Rappel de Notation Variables: x, y, z… Constantes: a, b, c… Opérateurs principaux: Logique propositionnelle:...
4Dualité entre opé rateurs logiquesLois de dualité (De Morgan): A ∨ B = ¬(¬A ∧ ¬B) A ∧ B = ¬ (¬A ∨ ¬B) ∃x P(x) = ¬∀x ¬...
5Logiques modalesDans les logiques modales, on ajoute des opérateurspour exprimer certaines propriétés qui ne peuvent pas...
6Logique temporelleLes modalités principales sont:  dorénavant, désormais (aussi écrit G)  finalement, enfin (aussi é...
10Les opé rateurs temporels sont desabré viationsUtilisons la notation σ ╞p pour dire: La chaîne σ satisfait la propriét...
11Notation pour les chaî nesσiest l’élément i de la chaîne σσ[i] est l’exécution qui commence à l’élément iDonc récursi...
12Notation pour les chaî nesσi╞P veut dire que le i-ème élément de lachaîne satisfait la propriété Pσ[i] ╞Q veut dire qu...
Deux opé rateurs jusqu’à: faible et fortFAIBLE: Je serai pauvre jusqu’à ce que je serai riche: Définition: Ou bien je s...
14Dé finition formelle de jusqu’à faible Uσ[i] ╞ (p U q)Définition: σi ╞ q ∨ (σi ╞ p ∧ σ [i+1] ╞ (p U q) )σ à partir du...
15Dé finition formelle de doré navant σ ╞ pDéfinition: σ ╞ (p U faux) σ 1 ╞ faux ∨ (σ 1 ╞ p ∧ σ[2] ╞ (p U faux))Touj...
16Dé finition formelle de jusqu’à fort ULe ‘jusqu’à fort’ garantit que q devient vraiσ[i] ╞ (p U q)Définition: σ[i] ╞ ...
17Dé finition formelle de finalement σ ╞qDéfinition: σ ╞ (vrai U q) σ[1] ╞ (vrai U q) ∧ ∃j, 1≤j, σj ╞ q σ[1] ╞ (vra...
Importance de U, jusqu’à fortIl est intéressant d’observer que U est l’opérateurfondamental de la logique temporelle.Il ...
Opé rateurs temporelsppp U qtitkNNN
Proprié té s inté ressantes en logiquetemporellePropriétés d’invariancePropriété de précédencePropriétés de vivacité
Exemple pour illustrer les proprié té sUn ensemble de m processus PiUn système de gestion SG de la ressource RUne resso...
Proprié té d’invariance (safety property)Autre appellation : propriété de sûretéExprimée avec l’opérateur « toujours » ...
Proprié té de pré cé denceExprimée avec l’opérateur « jusqu’à » UInformellement,- introduction d’un ordre explicite entr...
Proprié té de vivacité (liveness property) Exprimée avec l’opérateur « possible » ◊ Informellement,- « les bonnes choses...
28Formules fré quemment utilisé esp → q réponse, causalitép → qUr p implique q jusqu’a r (précédence)   p toujours f...
30É quivalences utilesÉquivalent à¬(p U q) (¬q) U (¬p ∧¬q)¬(p U q) (¬q) U (¬p ∧¬q) (p ∧ q)  p ∧ q(p ∨ q)  p ∨  qp U ...
Lois d’implicationhttp://www.pst.informatik.uni-muenchen.de/lehre/WS0304/tl/Vorlesung/46-1.pd31Lois de réflexivité p → pp...
32Opé rateur ‘prochain é tat’  (aussi é crit X)σ[i] ╞  pDéfinition: σ[i+1]╞ pp est vrai dans la séquence qui commenc...
36Logiques temporelles liné aires et àbranchementsLa logique temporelle que nous venons d’étudier est dite‘logique tempor...
37Conclusion sur la logique temporelleElle est utile pour exprimer les propriétés de systèmesqui évoluent dans le temps ...
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  1. 1. 1Chapitre 3Spécification des propriétésLogique temporellew3.uqo.ca/luigi/
  2. 2. 2Histoire: logique modale, logique temporelle, modè le Les concepts de logique modale, logique temporelle et modèle furentdéveloppés par les philosophes Prior, Meredith et Kripke autour des années1960 Mais ils étaient déjà connus en philosophie avant ça La logique modale est un système logique où on utilise des opérateursadditionnels pour spécifier des modalités P.ex. les opérateurs ‘nécessité’ et ‘possibilité’ en ajout aux opérateurs logiquesconventionnels ‘s’il est nécessaire qu’il pleuve, donc il est possible que je me mouille’ Le même principe est utilisé pour définir autres types d’opérateurs modales: Logique déontique, dont les opérateurs modales sont obligatoire, défendu,permis, etc. Logique temporelle, dont les opérateurs sont ‘désormais’, ‘finalement’ La logique temporelle fut introduite en informatique par Amir Pnueli en 1977
  3. 3. 3Logique: Rappel de Notation Variables: x, y, z… Constantes: a, b, c… Opérateurs principaux: Logique propositionnelle: ∧ (et) (parfois aussi écrit &, &&..) ∨ (ou) (parfois aussi écrit ||) ¬ (négation) (parfois aussi écrit ~ ou !) → (implication), A → B est défini comme ¬A ∨ B ↔ (équivalence), A ↔ B est défini comme A → B ∧ B → A Logique des prédicats: P(x1, …, xn) (le tuple x1, …, xn a la propriété P) ∃x1,…,xn (il existe x1, …, xn ) ∀x1,…,xn (pour tous les x1, …, xn ) P.ex. ∀x,y ∃z =(x+y,z) ou ∀x,y ∃z (x+y=z) (∀x (P(x) →Q(x)) ∧ P(a) ) → Q(a) (∀x (P(x) → Q(x)) ∧ ∃ y(P(y))) → ∃z Q(z)
  4. 4. 4Dualité entre opé rateurs logiquesLois de dualité (De Morgan): A ∨ B = ¬(¬A ∧ ¬B) A ∧ B = ¬ (¬A ∨ ¬B) ∃x P(x) = ¬∀x ¬P(x) ∀x P(x) = ¬ ∃x ¬P(x) Ces deux dernières se justifient par les deux premières et lefait que ∃x P(x) = ( P(a) ∨ P(b) ∨ P(c)….) ∀x P(x) = (P(a) ∧ P(b) ∧ P(c)….) Si a, b, c… sont tous les éléments du domaine en considération
  5. 5. 5Logiques modalesDans les logiques modales, on ajoute des opérateurspour exprimer certaines propriétés qui ne peuvent pasêtre exprimées directement en logique pureP.ex. nécessité et possibilité (logique modale usuelle)Obligation et permission (logique déontique)Les logiques modales sont caractérisées par le faitqu’il y a dualité entre ces opérateurs: nécessaire (x) = impossible non x obligatoire (x) = non permis non x
  6. 6. 6Logique temporelleLes modalités principales sont:  dorénavant, désormais (aussi écrit G)  finalement, enfin (aussi écrit F)Dualité: p = ¬  ¬ p (s’il fera beau dorénavant, il est faux que finalement il pleuvra!)  p = ¬  ¬p (si finalement je serai riche, il est faux que je serai toujours pauvre!)Et donc aussi (par élimination des doubles négations) ¬ p =  ¬ p ¬  p =  ¬ p
  7. 7. 10Les opé rateurs temporels sont desabré viationsUtilisons la notation σ ╞p pour dire: La chaîne σ satisfait la propriété p σ ╞vrai est toujours vrai, pour tout σ σ ╞faux n’est jamais vrai, pour tout σσ ╞p est une abréviation pour: pour tous les éléments de σ, p est vrai dorénavant, désormaisσ ╞p est une abréviation pour: Pour au moins un élément de σ, p est vrai finalement, enfin
  8. 8. 11Notation pour les chaî nesσiest l’élément i de la chaîne σσ[i] est l’exécution qui commence à l’élément iDonc récursivement: σ = σ1σ [2] σ = σ1σ2σ [3] Etc.…… σ iσ[i]
  9. 9. 12Notation pour les chaî nesσi╞P veut dire que le i-ème élément de lachaîne satisfait la propriété Pσ[i] ╞Q veut dire que la chaîne à partir du i-èmeélément satisfait la propriété Q…… σ iσ[i]
  10. 10. Deux opé rateurs jusqu’à: faible et fortFAIBLE: Je serai pauvre jusqu’à ce que je serai riche: Définition: Ou bien je suis déjà riche Ou bien je serai pauvre jusqu’à ce que je serai riche L’événement attendu pourrait ne jamais se vérifierFORT: Nous regarderons le spectacle jusqu’à la fin Définition: Nous regarderons le spectacle jusqu’à la fin Il y aura une fin13
  11. 11. 14Dé finition formelle de jusqu’à faible Uσ[i] ╞ (p U q)Définition: σi ╞ q ∨ (σi ╞ p ∧ σ [i+1] ╞ (p U q) )σ à partir du ième élém. satisfait p U qou bien le i-ème élément de σsatisfait déjà q,ou le ième élément satisfait pet le reste de la chaîne satisfait p U q
  12. 12. 15Dé finition formelle de doré navant σ ╞ pDéfinition: σ ╞ (p U faux) σ 1 ╞ faux ∨ (σ 1 ╞ p ∧ σ[2] ╞ (p U faux))Touj. faux Récursivement, p est vrai pour tous les σ[i]
  13. 13. 16Dé finition formelle de jusqu’à fort ULe ‘jusqu’à fort’ garantit que q devient vraiσ[i] ╞ (p U q)Définition: σ[i] ╞ (p U q) ∧ ∃j, i≤j, σ j ╞ qla chaîne satisfait p U q il y aura un σj futur qui satisfiera qi≤j: i présent, j futurObservez: pour définir U fort nous utilisons l’U faible
  14. 14. 17Dé finition formelle de finalement σ ╞qDéfinition: σ ╞ (vrai U q) σ[1] ╞ (vrai U q) ∧ ∃j, 1≤j, σj ╞ q σ[1] ╞ (vrai U q) =σ1 ╞ q ∨ (σ1 ╞ vrai ∧ σ[2] ╞ (vrai U q) ) =σ1 ╞ q ∨ σ[2] ╞ (vrai U q) =σ1 ╞ q ∨ (σ2 ╞ q ∧ σ[3] ╞ (vrai U q)) etc. jusqu’à ce que q sera satisfaitN’importe quelle chaîne satisfait vrai!
  15. 15. Importance de U, jusqu’à fortIl est intéressant d’observer que U est l’opérateurfondamental de la logique temporelle.Il peut être défini sans utiliser les autres opérateurs,mais les autres opérateurs peuvent être définis entermes de lui.18
  16. 16. Opé rateurs temporelsppp U qtitkNNN
  17. 17. Proprié té s inté ressantes en logiquetemporellePropriétés d’invariancePropriété de précédencePropriétés de vivacité
  18. 18. Exemple pour illustrer les proprié té sUn ensemble de m processus PiUn système de gestion SG de la ressource RUne ressource commune RDeux variables booléennes utilisées par le protocole decommunication entre les processus Piet le gestionnaire SG : Une variable rigérée par le processus Pi : riest positionnée àvrai lorsque le processus Pidemande la ressource R. Elle estpositionnée à faux lorsqu’il la libère. Une variable aigérée par le système SG : ai est positionnée àvrai lorsque le système SG a accordé la ressource R au
  19. 19. Proprié té d’invariance (safety property)Autre appellation : propriété de sûretéExprimée avec l’opérateur « toujours » Informellement,- « les mauvaises choses ne peuvent (ne doivent pas) pas se produire »- en terme de spécification « ce que le système ne doit pas faire »Exemple de ce type de propriété : l’exclusion mutuelleProp1 : la ressource R est accordée a au plus un processus demandeur de cetteressourceFormule en logique temporelle FProp1 de Prop1FProp1:  / ¬(ai∧ aj)i≠j
  20. 20. Proprié té de pré cé denceExprimée avec l’opérateur « jusqu’à » UInformellement,- introduction d’un ordre explicite entre les évènementsExemples de ce type de propriétéProp4 : la ressource R ne peut être accordée à Pique s’il en fait lademandeProp5 : SG accorde la ressource R selon l’ordre des demandesFormule en logique temporelle FProp4 de Prop4FProp4: (¬ai→ (ri U ai))Formule en logique temporelle FProp5 de Prop5FProp5 : ((ri∧ ¬rj∧ ¬aj)→ (¬ajU ai))
  21. 21. Proprié té de vivacité (liveness property) Exprimée avec l’opérateur « possible » ◊ Informellement,- « les bonnes choses vont effectivement se produire »- en terme de spécification « le comportement effectif attendu » Exemples de ce type de propriétéProp2 : si le processus Pidemande la ressource R alors il l’obtiendraProp3 : si le processus Piobtient la ressource R alors il la libèrera Formule en logique temporelle FProp2 de Prop2FProp2: (ri → ◊ai) Formule en logique temporelle FProp3 de Prop3FProp3: (ai → ◊¬ri)
  22. 22. 28Formules fré quemment utilisé esp → q réponse, causalitép → qUr p implique q jusqu’a r (précédence)   p toujours finalement p (progrès vers p)infiniment souvent pil sera toujours vrai qu’il y aura des p dans le futur   p finalement toujours pnous allons vers une stabilité, ou non-progrès  p →  q corrélation   ¬p p finalement devient toujours faux   ¬p p deviendra faux au moins une fois encoreil sera toujours vrai que p sera faux dans un futur
  23. 23. 30É quivalences utilesÉquivalent à¬(p U q) (¬q) U (¬p ∧¬q)¬(p U q) (¬q) U (¬p ∧¬q) (p ∧ q)  p ∧ q(p ∨ q)  p ∨  qp U (q ∨ r) (p U q) ∨ (p U r)(p ∧ q) U r (p U r) ∧ (q U r)p U (q ∨ r) ( p U q) ∨ (p U r)(p ∧ q) U r (p U r) ∧ (q U r)  (p ∨ q)   p ∨   p  (p ∨ q)   p ∨   q pppp
  24. 24. Lois d’implicationhttp://www.pst.informatik.uni-muenchen.de/lehre/WS0304/tl/Vorlesung/46-1.pd31Lois de réflexivité p → pp →  pImplications entre opérateursp →  pp →  pDistributivité faible (p → q) → (p →  q)p v q → (p v q)( p →  q) →  (p → q)(p ∧ q) → p ∧ q
  25. 25. 32Opé rateur ‘prochain é tat’  (aussi é crit X)σ[i] ╞  pDéfinition: σ[i+1]╞ pp est vrai dans la séquence qui commence paele prochain état…… σi σi+1σ[i]
  26. 26. 36Logiques temporelles liné aires et àbranchementsLa logique temporelle que nous venons d’étudier est dite‘logique temporelle linéaire’Car elle est basée sur l’hypothèse qu’il n’y a qu’un seul futurOn étudie aussi les logiques temporelles à branchements,basées sur l’hypothèse qu’il y a plusieurs futurs CTL, Computational Tree Logic Nous avons des opérateurs pour exprimer: Dans tout futur possible, p sera vrai Il y a un futur dans lequel p sera vraiIl y a aussi des logiques pour exprimer le passé: Si p a été vrai dans un passé, il devra être vrai dans un futur Temporal logic with past
  27. 27. 37Conclusion sur la logique temporelleElle est utile pour exprimer les propriétés de systèmesqui évoluent dans le temps Comme tous les systèmes réelsLes vérificateurs de modèles temporels (temporal logicmodel checkers) l’utilisent L’utilisation de ces concepts dépasse grandementl’ingénierie des protocole Il y a par ex. des applics à la vérif des circuits etc.

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