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Sujet de controverses dansl’enseignement…                                          Aristo, Bulletin                       ...
Les effets des outilsEffets sur la production des mathématiques, exemples :•le théorème de Mohr (1672) - Mascheroni (1797)...
Les effets des outilsEffets sur l’enseignement lui-même :De nouveaux moyens :• de représentation des connaissances• de man...
Exemple 1« Magie et image ont mêmes lettres… », une nécessaireanalyse des images, un écart irréductible entre le territoir...
Exemple 2Mise en évidence (sur une calculatrice type TI-spire) desproblèmes posés par la coexistence du calcul exact et du...
Exemple 2, suite
Exemple 3Faire une multiplication : suivant l’outil utilisé, ce ne sont pas lesmêmes connaissances qui sont mobilisées et ...
Exemple 4Trouver une parabole tangente à trois droites données,différentes résolutions dans des environnements différents(...
Exemple 4, suite…L’activité, dans un environnement spécifique (écran fait de pixels)développe des connaissances spécifique...
Quelques concepts théoriques…                       Pour penser l’intégration des outils dans l’apprentissage des         ...
Quelques concepts théoriques…Un schème = organisation invariante de l’activité pour réaliser untype de tâche (Piaget, Verg...
Quelques concepts théoriques…                               Instrumentation                                          L’ins...
Quelques concepts théoriques…         Instrumentalisation                 Faire sien un objet, c’est « y mettre           ...
Finalement, le rôle du professeur…                                       Objectifs                                    d’ap...
Exercice 1, à achevercollaborativement…La question est : par combien de zéros se termine n !Mieux, peut-on définir (c’est-...
Exercice 2, à préparer pour le TDsuivant…      Problème de géométrie : peut-on construire      un polygone connaissant le ...
RéférencesBourdieu, P. (2003). Images d Algérie: une affinité élective. Arles : Actes sudBrousseau, G. (2005). Recherches ...
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  • Solution: y = 1,5x 2 + 3,2x - 5,7 (b + 7,3)2 - 4a (c+24,075) = 0 (b + 1,3)2 - 4a (c+9,075) = 0 (b - 7,7)2 - 4a (c+9,075) = 0
  • Solution: y = 1,5x 2 + 3,2x - 5,7 (b + 7,3)2 - 4a (c+24,075) = 0 (b + 1,3)2 - 4a (c+9,075) = 0 (b - 7,7)2 - 4a (c+9,075) = 0
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    1. 1. Des outils de calcul aux instrumentsdu travail mathématique UE e-culture Master EADM 2012-2013 Une approche de la pratique, de l’apprentissage et de l’enseignement des mathématiques dans des environnements numériques Luc Trouche, EducTice-S2HEP, Ecole Normale Supérieure de Lyon luc.trouche@ens-lyon.fr - http://ens-lyon.academia.edu/LucTrouche
    2. 2. Evaluation UE, dernière version !Un travail collaboratif exploitant la plateforme Spiral et ses outils,réalisé en binôme, avec une part personnelle :- les étudiants travailleront par deux ;- ils choisiront un thème mathématique, un objectif didactique etun niveau scolaire (par exemple : la dérivation des fonctions,introduction, classe de première scientifique) ;- ils organiseront une recherche raisonnée de ressources pourl’enseignement de ce thème dans ce contexte ;- ils retiendront 3 ressources, en justifiant ce choix, et lescomposeront pour réaliser une situation d’enseignementsoigneusement décrite ;- ce travail commun au binôme sera mis en ligne (avant la fin dumois de décembre), accompagné d’une analyse individuelle dechacun des deux participants, situant sa contribution personnelleet proposant une analyse critique du résultat.
    3. 3. L’UE eCulture, rappelsLes questions suivantes seront traitées :• quels sont les outils utiles, nécessaires pourfaire/apprendre/enseigner les mathématiques ? Commentcomprendre les rapports des élèves, des professeurs, avec cesoutils ?• quelles sont les ressources nécessaires pour concevoir unenseignement de mathématiques ? Quel est le travail sur lesressources que fait un enseignant ? Comment analyser laparticipation des élèves à ce travail ? Quelle est la contributiondes technologies, anciennes ou nouvelles, à ce travail ?• comment comprendre le bouleversement qu’Internet introduit,dans les systèmes d’information et de communication en général,dans la documentation des enseignants de mathématiques enparticulier ?
    4. 4. Réflexions sur l’eCulture, rappelsL’UE questionnera les nouvelles manières de faire, d’apprendre etd’enseigner les mathématiques à l’ère du numériqueL’avènement du numérique constitue un bouleversement desfaçons de s’informer et de communiquer, aussi important quel’avènement de l’écriture (Pédauque 2006) et de l’imprimerieIl y a une logique de l’écriture (Goody 1985) : listes, tableaux,formules, schéma ; il y a une logique du numérique : programme,hypertexte, lecture-écriture, pensée en réseauCela touche nécessairement la pratique des mathématiques àtous les niveaux (relation forte entre le développement de l’écritureet le développement des mathématiques)Ressources numériques pour les mathématiques, unemétamorphose du travail des enseignants (Gueudet & Trouche2010)
    5. 5. Réflexions sur l’eCultureCommentaires des étudiants après le premier coursLutilisation de Framapad est un bon moyen (gratuit et libre) de serépartir les différentes tâches de travail et de décomposer un problèmeen plusieurs sous problèmes- il nous permet déchanger desinformations rapidement, et aussi la correction instantané par noscollègues, qui apportent toujours des améliorations. Cest enrichissant.Il était intéressant de jongler entre de lanalyse et de lalgèbre engroupe. Beaucoup daide et didées pour tenter de résoudre lesproblèmes même si la géométrie a posé des problèmes de constructionsNous avons rencontré certaines difficultés pour savoir quels outilsutiliser et comment les utiliser. Un peu de pratique du logiciel seraitutile afin de mieux se concentrer sur la résolution du problème.Il faut retenir quinternet peut être une bonne source dinformationmais pas que... il faut faire attention et bien réfléchir par soi-même surla question posée en utilisant plusieurs outils mathématiques
    6. 6. Retour sur les précédents TD…
    7. 7. Le programme de la journéeCours• quelle organisation de l’espace du cours ?• les outils pour les mathématiques, leur enseignement• les effets des outils• exemples…• des concepts pour situer la place des outils dans cetenseignementTD• traitement de problèmes dans des environnements numériques,… et réflexion
    8. 8. Quelle organisation de l’espace ducours ?Inventaire des outils et projet didactique… Etude d’une vidéo quimet en évidence la très grande variété des dispositifs qui sont misen œuvre par un professeur dans le cadre de son cours…Organisation du cours du jour en fonction des outils disponibles…
    9. 9. Les outils pour les mathématiques Des outils toujours présents : outils de comptes pour la société, outils de calcul pour les savants, ou pour l’enseignement, issus de l’expérience et assistant l’activité des hommes. Ci-contre, le timith, outil de ‘calcul automatique’ du blé « Le calcul, on le voit, se fait tout seul » (Bourdieu 2003)
    10. 10. Les outils pour les mathématiquesCi-dessus, une tablette de problèmes (deuxième millénaire avantnotre ère, 10cm x 10 cm, plusieurs centaines de problèmes).Des outils hautement structurés, concentrant des connaissances,articulés avec un ensemble d’artefacts (Neugebauer & Sachs 1945)
    11. 11. Les outils pour les mathématiquesDes évolutions notables avec les outils informatiques : le regroupement des outils dans une même enveloppe ; des outils ‘de poche’, polyvalents la multiplication des images ; le changement de paradigme (de la flèche au filet).
    12. 12. Les outils pour les mathématiques Une superposition permanente entre anciens et nouveaux outils, des phases de transition qui peuvent être longue Illustration ci-contre : plusieurs siècles en France pour passer du calcul à jetons au calcul à plume
    13. 13. Les outils pour les mathématiquesOu des superpositions courtes (une dizaine d’années decohabitation entre règles à calcul et calculatrices…)
    14. 14. Sujet de controverses dans l’enseignement… Un sujet ancien… « Le boulier corrompt l’enseignement de l’arithmétique. La principale utilité de cet enseignement est d’exercer de bonne heure, chez l’enfant, les capacités d’abstraction, de lui apprendre à voir de tête, par les yeux de l’esprit. Lui mettre les choses sous les yeux de la chair, c’est d’allerExtrait de la rubrique le directement contre l’esprit de cetboulier-compteur, le enseignement.boulier numérateur, etc.dans le dictionnaire La nature a donné aux enfants leurspédagogique de F. dix doigts pour boulier ; au lieu de leurBuisson (1911) en donner un second, il faut leur apprendre à se passer du premier ».
    15. 15. Sujet de controverses dans l’enseignement… Mathema, connaissance et pensée pure… « Puisqu’une machine à compter est possible, une machine à raisonner est possible. Et l’algèbre est déjà une sorte de machine à raisonner : vous tournez la manivelle, et vous obtenez sans fatigue un résultat auquel la pensée n’arriverait qu’avec des peines infinies. L’algèbre ressemble à un tunnel : vous passez sous la montagne, sans vous occuper des villages et desAlain, 1932, Propos sur chemins tournants, vous êtes del’éducation. l’autre côté et vous n’avez rien vu »
    16. 16. Sujet de controverses dansl’enseignement… Aristo, Bulletin d’information pour le corps enseignant (1971)« Pour le professeur formé aux rigueurs de la disciplinemathématique, l’introduction de la règle à calcul dès lesclasses moyennes peut poser un vrai cas de conscience ».
    17. 17. Les effets des outilsEffets sur la production des mathématiques, exemples :•le théorème de Mohr (1672) - Mascheroni (1797) : touteconstruction à la règle et au compas peut être réalisée aucompas seul http://en.wikipedia.org/wiki/Mohr–Mascheroni_theorem•les aspects expérimentaux (Zagier 2005).Effets sur les programmes d’étude, exemples :•le passage de la plume d’oie à la plume de fer et l’arithmétique•l’introduction des calculatrices graphiques et l’analyseEffets sur le travail enseignant :•foisonnement de ressources et accélération technologique ;•nouvelles opportunités de collaboration
    18. 18. Les effets des outilsEffets sur l’enseignement lui-même :De nouveaux moyens :• de représentation des connaissances• de manipulation des objets• d’exploration des problèmes• de validation des solutions• de collaboration (élèves, professeurs)Effets sur les modes de travail des élèves et laconceptualisation des mathématiques :• le paradigme du filet ;• les effets des images, la confusion entre les objets et leurreprésentation (« c’est tout vu… »)
    19. 19. Exemple 1« Magie et image ont mêmes lettres… », une nécessaireanalyse des images, un écart irréductible entre le territoire etses cartes, les objets mathématiques et leurs représentations…
    20. 20. Exemple 2Mise en évidence (sur une calculatrice type TI-spire) desproblèmes posés par la coexistence du calcul exact et du calculapproché, et par la gestion discrète de phénomènes continus(typiquement : les pixels des écrans) x x x x x x x x x x x x x x x x : P i x e l s s o l l i c i t é s p a r l a l g o r i t h m e
    21. 21. Exemple 2, suite
    22. 22. Exemple 3Faire une multiplication : suivant l’outil utilisé, ce ne sont pas lesmêmes connaissances qui sont mobilisées et construites…
    23. 23. Exemple 4Trouver une parabole tangente à trois droites données,différentes résolutions dans des environnements différents(papier-crayon, calculatrice dynamique, Geogebra) :- des questions initiales nécessaires si l’on veut engager desméthodes de résolution efficientes : qu’est-ce qu’une parabole ?Y a-t-il toujours une (des) solution (s) ? Qu’est-ce qu’unetangente à une parabole a de spécifique (par rapport à unetangente à une autre courbe ?- avec un grapheur, possibilité de s’engager dans une démarchede résolution approchée, où l’activité débouche sur unedécouverte du rôle des coefficients de l’équation de la parabole. y = -7,3x - 24,075 y = -1,3x - 9,075 y = 7,7x - 9,075
    24. 24. Exemple 4, suite…L’activité, dans un environnement spécifique (écran fait de pixels)développe des connaissances spécifiques, par exemple une« définition d’une tangente » qui émerge : « une droite estd’autant plus tangente à une courbe qu’elle a plus de pointscommuns avec elle », liée à la mobilisation de zooms de plus enplus rapprochés (définition liée aux modes de validation de lasolution graphique)Une définition dynamique du coefficient c, liée aux modes d’actionsur la figure (« c augmente quand la courbe monte », etréciproquement, d’où l’idée que ce coefficient est négatif dans lesdeux cas ci-dessous)
    25. 25. Quelques concepts théoriques… Pour penser l’intégration des outils dans l’apprentissage des mathématiques… Un artefact Un sujet Relations dialectiques entre les sujets et les artefacts qu’ilsGenèse instrumentale utilisent Les artefacts : des propositions Les instruments : des Instrumentation constructions individuelles Deux processus en étroite relation, instrumentation et Instrumentalisation instrumentalisation Un instrument = une Un instrument, entité mixte partie de l’artefact + des (matérielle et psychologique), schèmes d’utilisation résultat d’une genèse
    26. 26. Quelques concepts théoriques…Un schème = organisation invariante de l’activité pour réaliser untype de tâche (Piaget, Vergnaud)Le développement humain repose sur le développement d’unrépertoire de schèmes :• schème du saut à la perche ;• schème de descente d’un escalier ;• schème de résolution d’une équation algébrique…Schème = des gestes structurés par des connaissancesDans le cas des mathématiques, ces connaissances sont des« théorèmes-en-actes » et des « concepts-en-actes », biensouvent implicites (Vergnaud 1999)Petit exercice d’illustration : recherche des triangles rectanglesABC tels que AB est le carré de AC (qui font apparaître que,“naturellement”, on pense que le carré d’un nombre est plusgrand que le nombre…)
    27. 27. Quelques concepts théoriques… Instrumentation L’instrumentation est un processus par lequel les contraintes et potentialités de l’artefact conforment l’activité du sujet. Il se développe à travers l’émergence“Si la fonction augmente rapidement, et l’évolution de schèmes pour lac’est bon. Par contre, si la fonction réalisation de tâchesoscille fortement, alors pas de limiteinfinie”. On peut émettre l’hypothèse Exemple, étudier, avec uneque le schème de l’étudiant intègre une calculatrice graphique, la limite enconnaissance du type “si la limite de f + ∞ de la fonction qui, à x, associeest infinie, alors f est nécessairementcroissante”. f(x) = ln(x) + 100 sin(x)
    28. 28. Quelques concepts théoriques… Instrumentalisation Faire sien un objet, c’est « y mettre du sien » Ni une diversion, ni un braconnage… mais une contribution essentielle au développement des artefacts Comme conséquence, l’idée d’une conception continuée et distribuée des artefacts (logiciels, ressources pour les exploiter) : tout utilisateur est un concepteur… Les ressorts des communautés d’utilisateurs, de développeurs…
    29. 29. Finalement, le rôle du professeur… Objectifs d’apprentissageRechercher/utiliser/concevoir une situation mathématique Rechercher/utiliser/concevoir Rechercher/utiliser/concevoir un scénario un environnement technologique
    30. 30. Exercice 1, à achevercollaborativement…La question est : par combien de zéros se termine n !Mieux, peut-on définir (c’est-à-dire programmer sur une machine)une suite f, qui, pour tout n, calcule f(n) égal au nombre de zérosqui sont à la fin de l’écriture de (n !) ?Le problème a été bien avancé en cours : il s’agit d’en faire unénoncé, assorti d’une description de la mise en œuvre(l’organisation de l’espace de la classe et de l’espace du problème),pour un niveau scolaire donné, et un objectif d’enseignement précis.
    31. 31. Exercice 2, à préparer pour le TDsuivant… Problème de géométrie : peut-on construire un polygone connaissant le milieu de ses côtés ? (environnement technologique : GeoGebra) • étude mathématique du problème ; • construction d’un scénario pour des élèves de tel ou tel niveau scolaire…
    32. 32. RéférencesBourdieu, P. (2003). Images d Algérie: une affinité élective. Arles : Actes sudBrousseau, G. (2005). Recherches en éducation mathématique, APMEP 457, 213-224,http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Brousseau.pdfBuisson, F. (dir.) (1911). Le nouveau dictionnaire de pédagogie et d’instruction primaire, INRPhttp://www.inrp.fr/edition-electronique/lodel/dictionnaire-ferdinand-buisson/Neugebauer, 0., & Sachs, A. (1945). Mathematical Cuneiform Texts. New Haven: Americanoriental society.Trouche, L. (1995). E pur, si muove. Repères-IREM, 20, 16-28.Trouche, L. (2000), La parabole du gaucher et de la casserole à bec verseur, éléments deméthode pour une étude des processus d’apprentissage dans un environnement decalculatrices complexes, Educational Studies in Mathematics, 41(3), 239-264,http://www.springerlink.com/index/N1HP281710152520.pdfTrouche, L. (2005). Des outils de calcul aux instruments du travail mathématique, conférenceà l’université d’été Le calcul sous toutes ses formes http://www3.ac-clermont.fr/pedago/maths/pages/site_math_universite/CD-UE/Menu_pour_Internet.htmVergnaud, G. (1999). A quoi sert la didactique, Sciences humaines 24,http://www.scienceshumaines.com/a-quoi-sert-la-didactique-_fr_11865.htmlZagier, D. (2005). Les aspects expérimentaux en théorie des nombres, conférence àl’université d’été Le calcul sous toutes ses formes http://www3.ac-clermont.fr/pedago/maths/pages/site_math_universite/CD-UE/Menu_pour_Internet.htm

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