Cours signaux et systemes
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  • 1. BY dali200821 For Tunisia-sat Unité SESSignaux et systèmes 1
  • 2. Haute Ecole dIngénierie et de Gestiondu Canton de VaudDépartement Technologies Industrielles Unité SES Signaux et Systèmesi nstitut dA utomatisation Prof. Freddy Mudryi ndustrielle
  • 3. "La science, son goût est amer au début mais à la fin, plus doux que le miel" (Plat à décor épigraphique XI-XIIème siècle, Iran ou Transoxiane Le Louvre - Arts de lIslam) i
  • 4. Informations concernant lunité Signaux et Systèmes SES Prof. F. MudryObjectifs À lissue de cette unité denseignement, létudiant sera en mesure de : 1. Évaluer les caractéristiques et les réponses temporelles dun système analogique li- néaire ou non. 2. Décrire le comportement des systèmes contre-réactionnés. 3. Maîtriser les séries de Fourier : représentations spectrales et calcul de la puissance. 4. Analyser et mettre en pratique les relations temps-fréquence. 5. Évaluer les eets de léchantillonnage et de la quantication. 6. Évaluer et calculer le comportement dun système numérique linéaire.À lissue des travaux pratiques en laboratoire, létudiant sera en outre capable de : 1. Maîtriser un outil de programmation tel que Matlab. 2. Simuler des systèmes analogiques linéaires ou non et apprécier leurs eets. 3. Synthétiser et analyser des signaux. 4. Visualiser, décrire et analyser le spectre dun signal quelconque. 5. Écrire en ligne un rapport succint mais complet de son travail.Remarques 1. Le temps accordé pour les exposés et exercices du cours SES est de 4 périodes hebdomadaires pendant un trimestre. Durant le trimestre suivant, le cours de 5 périodes hebdomadaires est complété par un laboratoire de 3 périodes hebdomadaires. 2. Dans la mesure du possible, les cours et exercices sont donnés en alternance durant deux périodes. 3. Les corrigés dexercices sont donnés dans un fascicule à part. An dapprendre à résoudre les exercices proposés de manière personnelle et indépendante, celui- ci ne devrait pas être consulté pendant les séances dexercices. 4. Les tests écrits sont constitués de problèmes similaires à ceux proposés comme exercices. Le seul document autorisé pour les TE est un formulaire manuscrit personnel. 5. Lexamen de n dunité SES se fera sous forme écrite et durera deux heures. 6. Des informations complémentaires sont données dans la che de cours SES.Programme Un temps total de 96 périodes est accordé à cette unité denseignement. Larépartition et la progression du cours sont données dans le tableau ci-après. Il est bienclair que ce programme constitue une ligne directrice et que le rythme du cours peut êtrelégèrement modié selon les circonstances.ii c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 5. Semestres Signaux et Systèmes Périodes Total Semaines Cours Trimestre 2 : 5 pér. hebdo. = 40 périodes I Analyse des systèmes linéaires 6 6 1.2 Analyse des systèmes analogiques 8 14 2.8 Éléments de régulation automatique 10 24 4.8 TP 1 : Simulation dun système analogique 6 30 6 II Analyse des signaux périodiques 6 36 7.2 1 TE + correction 4 40 8 Cours Trimestre 3 : 5 pér. hebdo. = 35+3 périodes Analyse des signaux périodiques (n) 4 4 1 Analyse des signaux non périodiques 4 8 2 Éléments danalyse spectrale numérique 4 12 2.5 III Échantillonnage et reconstruction des signaux 6 18 3 Signaux et systèmes numériques 16 34 6 1 TE + correction 4 38 7 Labo Trimestre 3 : 3 pér. hebdo. = 21-3 périodes TP 2 : Synthèse et analyse de signaux périodiques 6 6 3 TP 3 : Numérisation des signaux analogiques 6 12 5 TP 4 : Synthèse et réalisation de ltres numériques 6 18 7 Tab. 0.1.: Programme denseignement de lunité SES c 2008 freddy.mudry@gmail.com iii
  • 6. Bibliographie généraleTraitement des signaux 1. B.P. Lathi : Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 2. B.P. Lathi : Linear Systems and Signals, Berkeley-Cambridge Press, 1992 3. F. de Coulon : Théorie et traitement des signaux, PPR, 1984 4. A. Spataru : Fondements de la théorie de la transmission de linformation, PPR, 1987 5. A.V. Oppenheim, A.S. Willsky : Signals and Systems, Prentice-Hall, 1983Traitement numérique des signaux 1. B. Porat : A Course in Digital Signal Processing, J. Wiley, 1997 2. J.H. McClellan, R.W. Schafer, M.A. Yoder : DSP First, Prentice Hall, 1999 3. J.G. Proakis, D.G. Manolakis : Digital Signal Processing, MacMillan, 2ème édition, 1992 4. C.S. Burrus et al. : Computer-Based Exercises for Signal Processing, Prentice- Hall, 1994 5. V.K. Ingle, J.G. Proakis : Digital Signal Processing Using MatLab, PWS, 1997 6. E.C. Ifeachor, B.W. Jervis : Digital Signal Processing, Addison-Wesley, 1993Filtres analogiques et numériques 1. M. Labarrère et al. : Le ltrage et ses applications, Cepadues Editions, 1982 2. R. Boîte, H. Leich : Les ltres numériques, Masson, 1980 3. R. Miquel : Le ltrage numérique par microprocesseurs, Editests, 1985 4. H. Lam : Analog and Digital Filters, Prentice Hall, 1979 5. T.W. Parks, C.S. Burrus : Digital Filter Design, J. Wiley, 1987 6. Ch.S. Williams : Designing Digital Filters, Prentice-Hall, 1986Analyse spectrale numérique 1. Hewlett-Packard : The Fundamentals of Signal Analysis, Application Note 243, 1981 2. R.B. Randall : Frequency Analysis, Brüel-Kjaer, 1987 3. C.S. Burrus, T.W. Parks : DFT / FFT and convolution algorithms, J. Wiley, 1985 4. R.W. Ramirez : The FFT Fundamentals and Concepts, Prentice-Hall, 1985iv c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 7. Traitement de la parole 1. R. Boite et all : Traitement de la parole, PPUR, 2000 2. Deller, Proakis, Hansen : Discrete Time Processing of Speech Signals, Macmil- lan, 1993 3. S. Saito, K. Nakata : Fundamentals of Speech Signal Processing, Academic Press, 1985 4. L.R. Rabiner, R.W. Schafer : Digital Signal Processing of Speech, Prentice- Hall, 1978Pour le plaisir des yeux et de lesprit 1. Warusfel André : Les nombres et leurs mystères, Seuil 1961 2. Stewart Ian : Does God Play Dice ? the new mathematics of chaos, Penguin, 1989 3. Stewart Ian : Dieu joue-t-il aux dés ? les nouvelles mathématiques du chaos, Flammarion, 1993 4. Peitgen H.O., Saupe D. : The Science of Fractal Images, Springer-Verlag, 1988 5. Dunham William : Euler, the master of us all, The Mathematical Association of America, 1999 6. Maor Eli : To Innity and Beyond : a cultural history of the innity, Birkhäu- ser, 1986 7. Klein Etienne : Il était sept fois la révolution - Albert Einstein et les autres, Flammarion, 2005 8. Klein Etienne : La physique quantique, Dominos Flammarion, 1996 9. Hawking Stephen : Une brève histoire du temps, Flammarion, 1988 10. Reeves Hubert : Malicorne : réexions dun observateur de la nature, Seuil, 1990 11. ThuanTrinh Xuan : Le chaos et lharmonie : la fabrication du réel, folio essais, Gallimard, 1998 12. Davis Ph.J, Hersh R. : Lunivers mathématique, Bordas 1985 13. Ekeland Ivan : Le Calcul, lImprévu : les gures du temps de Kepler à Thom, Seuil, 1984 14. Conway John : The Book of Numbers, Copernicus, 1996 15. Fivaz Roland : Lordre et la volupté, PPR 1989 16. Lesieur Marcel : La turbulence, Grenoble PUG 1994Quelques adresses InternetDémonstrations interactives 1. http ://www.jhu.edu/~signals/ c 2008 freddy.mudry@gmail.com v
  • 8. 2. http ://image-1.rose-hulman.edu/~yoder/bookcd/visible/contents/cover.htm 3. http ://www.engin.umich.edu/group/ctm/home.text.htmLivre et divers 1. http ://www.dspguide.com/pdfbook.htm 2. http ://www.redcedar.com/learndsp.htm 3. http ://www.dspguru.com/info/tutor/other.htmLogiciels gratuits 1. http ://www.sysquake.com 2. http ://www.dspguru.com/sw/opendsp/mathclo.htm 3. http ://www-rocq.inria.fr/scilab/scilab.htmvi c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 9. Table des matièresI. Étude des systèmes analogiques 11. Analyse des systèmes linéaires 3 1.1. La transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Rappels mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Quelques exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Impédances et fonctions de transfert symboliques . . . . . . . 10 1.2. Réponses temporelles vs pôles et zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Eets des pôles et zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Eet des conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Analyse dun système dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2. Pôle et réponse transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.3. Réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Analyse dun système dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2. Pôles et réponse transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.3. Réponse indicielle dun système dordre 2 . . . . . . . . . . . . 20 1.5. Réponses temporelles des circuits linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.1. Représentation des quadripôles . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.2. Pôles dun système et réponse temporelle . . . . . . . . . . . . 24 1.5.3. Évaluation du comportement temporel . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.4. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6. Réponse impulsionnelle dun système . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6.1. Remarques concernant limpulsion de Dirac . . . . . . . . . . 28 1.6.2. Réponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7. Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.7.1. Réponse temporelle des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . 32 1.7.2. Réponse dun système causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.7.3. Convolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372. Modélisation des systèmes analogiques 45 2.1. Système oscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.1. Équations diérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.2. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 vii
  • 10. Table des matières 2.2. Échangeur de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3. Démarche associée à la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.1. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4. Un système non linéaire : le réservoir deau . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.1. Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.2. Résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.3. Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4.4. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5. Représentations des systèmes analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6. Un système électromécanique : le moteur DC . . . . . . . . . . . . . . 61 2.6.1. Équations diérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.6.2. Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.6.3. Temps caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6.4. Schéma fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6.5. Approximation dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.6.6. Eets dun réducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.7. Comportement dun moteur DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.7.1. Paramètres dun moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.7.2. Comportement statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.7.3. Comportement dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.7.4. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.8. Simulation dun moteur DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.9. Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.10. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843. Éléments de régulation automatique 91 3.1. Schémas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1.1. Schéma à contre-réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1.2. Schéma général dun système asservi . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.3. Fonctions de transfert dun système asservi . . . . . . . . . . . 94 3.2. Analyse de systèmes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2.1. Systèmes dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2.2. Systèmes dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.2.3. Systèmes dordre supérieur à 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.2.4. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.3. Calcul dun asservissement de position . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4. Étude dun asservissement avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.5. Une application : le circuit PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.5.1. Démodulation FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.5.2. Description dun circuit PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.6. Analyse du PLL en mode synchronisé . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.6.1. Remarques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.6.2. Choix du ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.6.3. Fonction de transfert en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . 119 3.6.4. Fonction de transfert en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . 119viii c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 11. Table des matières 3.6.5. Calcul de ω3 et ω4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.7. Calcul dun circuit PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.7.1. Schémas fonctionnel et de réalisation . . . . . . . . . . . . . . 122 3.7.2. Détecteur de phase (XOR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.7.3. Filtre à retard de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.7.4. Oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.7.5. PLL en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.7.6. PLL en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.7.7. Calcul du ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.8. Simulation dun circuit PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.9. Circuit PLL en mode non - synchronisé . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.10. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130II. Étude des signaux analogiques 1394. Analyse des signaux périodiques 141 4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.2. Deux représentations pour un seul signal . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.3. Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.3.1. Dénition de la série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.3.2. Série de Fourier en cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.3.3. Série de Fourier complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.3.4. Relations entre les trois représentations de Fourier . . . . . . . 147 4.4. Théorème de la puissance ou de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.5. Spectres damplitudes et de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.5.1. Spectres unilatéraux et bilatéraux . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.5.2. Coecients spectraux et symétries des signaux . . . . . . . . 151 4.5.3. Exemple de représentations spectrales dun signal . . . . . . . 151 4.6. Suite dimpulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.6.1. Suite dimpulsions rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.6.2. Suite dimpulsions triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.6.3. Suite dexponentielles décroissantes . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.7. Reconstruction des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.7.1. Synthèse dun signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.7.2. Phénomène de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.7.3. Importance de la phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.8. Quelques théorèmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.8.1. Décalage temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.8.2. Modulation damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.8.3. Rotation autour de lordonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.9. Calcul de quelques spectres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.9.1. Suite dimpulsions composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.9.2. SIR décalée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.10. Réponse dun système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.10.1. Analyse de la réponse dun ltre passe-bas . . . . . . . . . . . 168 c 2008 freddy.mudry@gmail.com ix
  • 12. Table des matières 4.11. Réponse dun système non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.11.1. Distorsion due à une diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.12. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745. Analyse des signaux non périodiques 187 5.1. Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.1.1. Passage de la série à la transformation de Fourier . . . . . . . 187 5.1.2. TF directe et inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.1.3. Énergie dun signal non permanent . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.1.4. Propriétés de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . 190 5.2. Exemples de spectres continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.2.1. Spectre dune impulsion rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . 190 5.2.2. Spectres dun sinus amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.2.3. Spectres de 2 impulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.3. Calcul de quelques transformées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.3.1. Exponentielle décroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.3.2. Exponentielle décroissante symétrique . . . . . . . . . . . . . 197 5.3.3. Signal constant unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.3.4. Saut unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.3.5. Phaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.3.6. Signal sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.3.7. Impulsion sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.4. Quelques conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.4.1. TF des signaux périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.4.2. Relations avec la transformation de Laplace . . . . . . . . . . 201 5.5. Extension de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.6. Classication et types de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.6.1. Classication phénoménologique . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.6.2. Classication énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.7. Table illustrée de quelques transformées de Fourier [2] . . . . . . . . . 210 5.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136. Éléments danalyse spectrale numérique 223 6.1. Passage de la TF à la TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.1.1. Signaux continus non-périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.1.2. Signaux discrets de durée innie . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.1.3. Signaux discrets de durée nie . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.1.4. Discrétisation de la fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.2. Relations temps-fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 6.2.1. Analyse spectrale avec Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.2.2. Pulsation normalisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.3. Transformation de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.3.1. Dénition de la TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.3.2. TFD dun signal périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.3.3. TFD et FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.4. Relations entre les domaines analogique et numérique . . . . . . . . . 233 6.4.1. Calcul et analyse dune TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234x c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 13. Table des matières 6.5. Spectre dune sinusoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.5.1. Le nombre de périodes enregistrées est un entier . . . . . . . . 238 6.5.2. Le nombre de périodes enregistrées nest pas un entier . . . . 238 6.6. Fenêtres dobservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.6.1. Quatre fenêtres usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.6.2. Eet dune fenêtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 6.6.3. Choix dune fenêtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.7. Exemple 1 : analyse spectrale élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.8. Exemple 2 : reconstruction dun signal . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6.9. Exemple 3 : analyse spectrale détaillée . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.9.1. Données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.9.2. Signal temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.9.3. Paramètres dacquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.9.4. Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 6.9.5. Estimation des amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6.9.6. Détail du calcul des signaux et des spectres . . . . . . . . . . . 253 6.10. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257III. Étude des signaux et systèmes numériques 2657. Échantillonnage et reconstruction des signaux analogiques 267 7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 7.2. Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.2.1. Types de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.2.2. Quantication dun signal : exemple . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.2.3. Échantillonnage des signaux analogiques . . . . . . . . . . . . 270 7.3. Analyse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.3.1. Spectre dun peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.3.2. Spectre dun signal échantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.4. Recouvrement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 7.4.1. Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 7.5. Théorème de léchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 7.5.1. Filtre antirecouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 7.5.2. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 7.6. Quantication dun signal échantillonné . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.6.1. Quantication uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.6.2. Bruit de quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.6.3. Rapport signal sur bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 7.6.4. SNR de quelques signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 7.6.5. Non linéarité du convertisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 7.6.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 7.7. Choix dun ltre et de la fréquence déchantillonnage . . . . . . . . . 293 7.8. Reconstruction du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 7.8.1. Convertisseur NA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 7.8.2. Interpolateur idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 c 2008 freddy.mudry@gmail.com xi
  • 14. Table des matières 7.8.3. Réponses impulsionnelle et fréquentielle dun CNA . . . . . . 296 7.8.4. Filtre de reconstruction ou de lissage . . . . . . . . . . . . . . 297 7.9. Analyse qualitative dune chaîne A-N N-A . . . . . . . . . . . . . . 299 7.9.1. Échantillonnage sans ltre antirecouvrement . . . . . . . . . . 299 7.9.2. Échantillonnage avec ltre antirecouvrement . . . . . . . . . . 299 7.9.3. Eet du convertisseur NA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.9.4. Reconstruction du signal analogique . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.9.5. Correcteur damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.10. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3038. Description des signaux et systèmes numériques 309 8.1. Signaux numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 8.1.1. Quelques signaux fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 8.1.2. Périodicité des signaux numériques . . . . . . . . . . . . . . . 311 8.2. Systèmes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.2.1. Exemples de système numériques . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.2.2. Schéma fonctionnel dun système numérique . . . . . . . . . . 315 8.2.3. Propriétés des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 8.2.4. Interconnexions des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 8.2.5. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 8.3. Réponse impulsionnelle et produit de convolution . . . . . . . . . . . 320 8.3.1. Systèmes causaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 8.3.2. Réalisation dun produit convolution . . . . . . . . . . . . . . 324 8.3.3. Une application : linterpolation numérique . . . . . . . . . . . 327 8.4. Systèmes décrits par des équations récursives . . . . . . . . . . . . . . 328 8.4.1. Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 8.5. Équation aux diérences et fonction de transfert . . . . . . . . . . . . 333 8.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3339. Réponses des systèmes numériques 337 9.1. Réponse temporelle des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 337 9.1.1. Résolution dune équation récursive . . . . . . . . . . . . . . . 337 9.1.2. Solution de léquation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 9.1.3. Solution particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 9.1.4. Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.1.5. Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.2. Stabilité des systèmes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 9.3. Instants caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 9.4. Transformation en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 9.4.1. Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 9.4.2. Calcul de quelques transformées . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 9.4.3. Quelques propriétés de la transformation en z . . . . . . . . . 345 9.4.4. Équation aux diérences et fonction de transfert . . . . . . . . 346 9.5. Réponse fréquentielle des systèmes LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 9.5.1. Fonction de transfert et réponse fréquentielle . . . . . . . . . . 347 9.5.2. Pôles, zéros et réponse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . 348 9.5.3. TFD et réponse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350xii c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 15. Table des matières 9.6. Calcul et traçage de quelques réponses fréquentielles . . . . . . . . . . 352 9.6.1. Moyenneur non causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 9.6.2. Moyenneur causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 9.6.3. Filtre passe-bas dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 9.6.4. Filtre passe-bas dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 9.7. Analyse et réalisation dun ltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 9.7.1. Calcul de la réponse temporelle du ltre . . . . . . . . . . . . 360 9.7.2. Calcul de la réponse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 362 9.7.3. Comment réaliser ce ltre ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 9.8. Classication des systèmes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 9.8.1. Systèmes non récursifs (dits RIF, FIR ou MA) . . . . . . . . . 366 9.8.2. Systèmes récursifs (dits RII, IIR ou ARMA) . . . . . . . . . . 366 9.8.3. Caractéristiques des ltres FIR et IIR . . . . . . . . . . . . . . 367 9.9. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369IV. Formulaire Signaux et Systèmes 37510.Formulaire Signaux et systèmes 377 10.1. Systèmes analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 10.2. Signaux analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 10.3. Échantillonnage des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 10.4. Analyse spectrale numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 10.5. Signaux et systèmes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 c 2008 freddy.mudry@gmail.com xiii
  • 16. Table des matièresxiv c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 17. Première partie .Étude des systèmes analogiques 1
  • 18. 1. Analyse des systèmes linéairesLanalyse des systèmes linéaires se fait essentiellement avec la transformation deLaplace car celle-ci traite une classe de signaux plus large que ne lautorise la trans-formation de Fourier. De plus, elle permet détudier des systèmes stables ou non parle fait que la variable de Laplace (s = σ + jω ∈ C) est dénie dans lensemble duplan complexe. Enn, par linterpétation des pôles de la fonction image X(s), onprédit facilement la forme de la fonction orginale x(t).1.1. La transformation de Laplace1.1.1. Rappels mathématiquesDans ce paragraphe, on se contente de rappeler quelques propriétés liées à la trans-formation de Laplace et utilisées dans lanalyse des systèmes linéaires. Pour touteinformation supplémentaire, on consultera avantageusement son cours de mathéma-tiques.Dénition ∞ L(x(t)) = X(s) ≡ x(t) e−st dt, s = σ + jω [1/sec] (1.1) 0Dans lanalyse des signaux temporels, la variable s est appelée pulsation complexeet elle possède les unités [1/sec]. On notera que, si la variable x(t) est une tensionélectrique alors son image X(s) se mesure en [V · sec].Linéarité L(a x(t) + b y(t)) = a X(s) + b Y (s) (1.2)Dérivation dx(t) L = s X(s) − x(t = 0) (1.3) dtIntégration t X(s) x(t = 0) L x(t) dt + x(t = 0) = + (1.4) 0 s s 3
  • 19. 1. Analyse des systèmes linéairesAmortissement L x(t) e−at = X(s + a) (1.5)Valeurs limites x(t → 0+ ) = s X(s)|s→∞ (1.6) x(t → ∞) = s X(s)|s→0 (1.7)Quelques transformées De lensemble des transformées de Laplace généralementproposées dans les formulaires mathématiques, on ne gardera que les plus fréquem-ment utilisées dans lanalyse des systèmes (tableau 1.1). La connaissance de celles-ci,associée aux propriétés rappelées plus haut, permettra de résoudre la plupart desproblèmes. x(t) ↔ X(s) δ(t) 1 1 (t) s 1 exp(−a t) · (t) s+a ω sin(ω t) · (t) s2 + ω 2 s cos(ω t) · (t) s2 + ω2 ω e−at sin(ω t) · (t) (s + a)2 + ω 2 s+a e−at cos(ω t) · (t) (s + a)2 + ω 2 Tab. 1.1.: Quelques transformées de LaplacePôles et zéros Comme le montre le tableau des transformées, limage X(s) dunefonction x(t) est une fraction constituée de deux polynômes N (s) X(s) = (1.8) D(s)Les racines de ces polynômes sont importantes pour lanalyse de lévolution dessignaux ou du comportement des systèmes. On dénit ainsi4 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 20. 1.1. La transformation de Laplace 1. Les pôles de X(s) qui sont les racines du dénominateur D(s) ; ils déterminent complètement la partie transitoire (oscillation et amortissement) des réponses temporelles. 2. Les zéros de X(s) qui sont les racines du numérateur N (s) ; leur eet ninter- vient que sur les amplitudes des composantes temporelles des signaux x(t).1.1.2. Quelques exemples introductifsExemple 1Connaissant limage I1 (s) dun courant i1 (t) 2 2 I1 (s) = = (1.9) s2 + 7s + 12 (s + 3) (s + 4)on souhaite connaître i1 (0+), i1 (∞) et i1 (t).Valeurs initiale et nale Le théorème des valeurs limites permet dobtenir i1 (0+ ) = s I1 (s)|s→∞ = 0 [A] i1 (∞) = s I1 (s)|s→0 = 0 [A]Recherche des pôles Les pôles sont les racines du dénominateur de la fonction-image I1 (s). Dans ce cas, les pôles valent simplement 1 1 p1 = −3 et p1 = −4 sec secÉvolution temporelle Le calcul de i1 (t) se fait en décomposant la fonction I1 (s)en somme de fractions simples faisant intervenir les pôles de I1 (s). Dans ce cas, cettefonction se décompose en deux fractions dordre 1 A1 A2 I1 (s) = + s+3 s+4Se souvenant des transformées élémentaires présentées plus haut, on voit que lecourant i1 (t) est décrit par la somme de deux exponentielles i1 (t) = A1 exp(−3t) + A2 exp(−4t)que lon écrira plus généralement sous la forme i1 (t) = A1 exp(−t/τ1 ) + A2 exp(−t/τ2 ) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 5
  • 21. 1. Analyse des systèmes linéairesCette écriture fait apparaître les constantes de temps 1 1 τ1 = [sec] et τ2 = [sec] 3 4Connaissant ces constantes de temps, on peut en déduire la durée ttr du régimetransitoire 1 ttr ≈ 5 τmax = 5 ≈ 2 [sec] 3Les valeurs des coecients A1 et A2 se trouvent par identication des coecientsdes numérateurs : 2 I1 (s) = (s + 3) (s + 4) A1 A2 = + s+3 s+4 (A1 + A2 ) s + 4A1 + 3A2 = (s + 3) (s + 4)On en déduit que A1 + A 2 = 0 4A1 + 3A2 = 2Doù A1 = −A2 = 2 2 2 I1 (s) = − s+3 s+4Le courant i1 (t) correspondant à cette fonction-image I1 (s) vaut donc i1 (t) = 2 exp(−3t) − 2 exp(−4t) (1.10)Exemple 2Connaissant limage I2 (s) dun courant i2 (t) s+2 s+2 I2 (s) = = (1.11) s2 + 7s + 12 (s + 3) (s + 4)on désire calculer i2 (0+), i2 (∞) et i2 (t).Valeurs initiale et nale Le théorème des valeurs limites permet dobtenir i2 (0+ ) = s I2 (s)|s→∞ = 1 [A] i2 (∞) = s I2 (s)|s→0 = 0 [A]6 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 22. 1.1. La transformation de LaplaceRecherche des pôles Les pôles de la fonction-image I2 (s) sont évidemment lesmêmes que dans lexemple précédent 1 1 p1 = −3 et p1 = −4 sec secÉvolution temporelle Comme les pôles de I2 (s) sont les mêmes que ceux delexemple 1, la fonction I2 (s) se décompose en deux fractions simples identiquesaux précédentes : A1 A2 I2 (s) = + s+3 s+4Doù i2 (t) = A1 exp(−3t) + A2 exp(−4t)Comme les constantes de temps sont les mêmes que précédemment, la durée durégime transitoire nest pas changée. Seules les valeurs des coecients A1 et A2 vontdistinguer ces deux réponses temporelles. Courants i (t) et i (t) 1 2 0.2 0.15 i1 (t) [A] 0.1 0.05 0 −0.05 0 0.5 1 1.5 2 2.5 1 0.8 i2 (t) [A] 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [sec] Fig. 1.1.: Évolution des courants i1 (t) et i2 (t)La réduction à un même dénominateur commun donne s+2 I2 (s) = (s + 3) (s + 4) A1 A2 = + s+3 s+4 (A1 + A2 ) s + 4A1 + 3A2 = (s + 3) (s + 4) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 7
  • 23. 1. Analyse des systèmes linéairesOn en déduit que A1 + A 2 = 1 4A1 + 3A2 = 2doù A1 = −1, A2 = 2 −1 2 I2 (s) = + s+3 s+4qui correspond au courant i2 (t) = −1 exp(−3t) + 2 exp(−4t) (1.12)Une illustration des courants i1 (t) et i2 (t) est donnée dans la gure 1.1. Comme onla déjà dit, une modication du numérateur, cest-à-dire des zéros de la fonction-image, ne modie en rien les constantes de temps des exponentielles constitutivesdu signal ; seules leurs amplitudes sont changées.Exemple 3On désire connaître i3 (0), i3 (∞) et i3 (t) sachant que la fonction-image I3 (s) vaut : 2s2 + 15s + 125 I3 (s) = (1.13) s (s2 + 10s + 125)Valeurs initiale et nale Le théorème des valeurs limites permet dobtenir immé-diatement : i3 (0) = sI3 (s) |s→∞ = 2 [A] i3 (∞) = s I(s)|s→0 = 1 [A]Recherche des pôles Les pôles sont les racines du dénominateur de la fonction-image I3 (s) qui valent 1 p1 = 0, p2,3 = −5 ± j10 secÉvolution temporelle Le calcul du courant i3 (t) se fait en décomposant la fonctionI3 (s) en somme déléments simples. Comme il y a trois pôles, la fonction I3 (s) sedécompose en trois termes : A1 A2 A3 I3 (s) = + + avec A2 = A∗ 3 s s + 5 + j10 s + 5 − j108 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 24. 1.1. La transformation de LaplaceLes deux dernières fractions se ramènent, par réduction à un même dénominateurcommun,à une fraction quadratique de la forme : A1 B(s + 5) + C I3 (s) = + s (s + 5)2 + 102Utilisant le théorème de lamortissement et le tableau des transformées élémentaires,on en déduit que la forme générale de i3 (t) est C i3 (t) = A1 + exp(−5t) B cos(10t) + sin(10t) 10que lon écrira de préférence sous la forme équivalente suivante i3 (t) = A1 + A23 exp(−5t) · cos (10t + α23 ) Courant i3(t) 2 1.5 i3 (t) [A] 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t [sec] Fig. 1.2.: Évolution du courant i3 (t)Cette forme de i3 (t) fait apparaître un amortissement de constante de temps 1 τ= [sec] 5et une oscillation de pulsation ωp = 10 [rad/sec]Pour obtenir lexpression exacte du courant, il faut encore calculer les coecientsA, B et C. En identiant les numérateurs de la fonction I3 (s), on obtient : 2s2 + 15s + 125 I3 (s) = s (s2 + 10s + 125) A B(s + 5) + C = + s (s + 5)2 + 102 (A + B) s2 + (10A + 5B + C) s + 125A = s (s2 + 10s + 125) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 9
  • 25. 1. Analyse des systèmes linéairesdoù A = 1, B = 1, C=0Ce qui permet décrire I3 (s) sous la forme 1 s+5 I3 (s) = + s (s + 5)2 + 10Ce qui correspond au courant suivant i3 (t) = 1 + exp(−5t) cos(10t) (1.14)Conclusions Ici également, la dynamique du signal est décrite par les pôles de lafonction-image. On en déduit en particulier : la durée du régime transitoire : ttr ≈ 5τ = 5/5 = 1 [sec] la période de loscillation amortie : 2π 2π Tp = = ≈ 0, 6 [sec] ωp 10 le nombre de périodes visibles : ttr 1 sec Nosc = = 1.6 périodes Tp 0.6 secOn constate aussi que la présence de deux pôles conjugués complexes conduit à untrinôme sécrivant sous la forme dune somme de deux carrés parfaits s2 + 10s + 125 = (s + 5)2 + 102dans lesquels on trouve les parties réelle et imaginaire de la paire de pôles. Onvoit donc que la partie réelle des pôles (−5) entraîne un amortissement temporelcorrespondant à une translation dans le domaine complexe. Alors que la partieimaginaire (±j10) conduit à une oscillation impliquant une somme de deux carrésparfaits dans le domaine complexe.1.1.3. Impédances et fonctions de transfert symboliquesTout circuit constitué de résistances, capacités et inductances peut être modélisépar une équation diérentielle linéaire à coecients constants qui représente ainsiun système linéaire et temporellement invariant (LTI).Dans le cas dun circuit RLC série à conditions initiales nulles (gure 1.3), léquationdiérentielle pour t≥0 sécrit t di 1 u(t) = Ri(t) + L + i(t)dt (1.15) dt C 010 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 26. 1.2. Réponses temporelles vs pôles et zéros i(t) R L C u(t) Fig. 1.3.: Circuit RLC sérieSa transformée de Laplace est 1 U (s) = RI(s) + L sI(s) + I(s) sCdoù 1 U (s) = R + sL + I(s) = Z(s) I(s) (1.16) sCOn retrouve ici la loi dOhm faisant apparaître limpédance symbolique U (s) 1 Z(s) ≡ = R + sL + (1.17) I(s) sCsimilaire à limpédance bien connue en régime sinusoïdal permanent U (jω) 1 Z(jω) ≡ = R + jωL + (1.18) I(jω) jωCÀ partir de ceci, on voit que toutes les descriptions de circuits AC possèdent leuréquivalent symbolique. En particulier, la règle du diviseur de tension est applicableet permet de calculer les fonctions de transfert de quadripôles U2 (s) Z2 (s) ≡ G(s) = U1 (s) I2 (s)=0 Z1 (s) + Z2 (s)1.2. Réponses temporelles vs pôles et zéros1.2.1. Eets des pôles et zérosEn conclusion des exemples ci-dessus, on retiendra les points suivants : 1. Une fonction-image X(s) dun signal x(t) sécrit sous la forme dun rapport de deux polynômes N (s) X(s) = (1.19) D(s) 2. Le comportement temporel transitoire est totalement déterminé par les pôles de la fonction X(s) (racines du dénominateur). 3. À chaque pôle correspond une exponentielle dont lexposant est le pôle pk multiplié par le temps t. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 11
  • 27. 1. Analyse des systèmes linéaires 4. La forme générale de la fonction temporelle est donc déterminée par les pôles x(t) = Ak exp(+pk t) (1.20) 5. Les constantes de temps dépendent de la partie réelle des pôles 1 τk = (1.21) |Re(pk )| 6. Les périodes des oscillations sont xées par la partie imaginaire des pôles 2π Tpk = (1.22) |Im(pk )| 7. Les racines du numérateur de la fonction-image sont appelées les zéros de la fonction ; leur eet nintervient quau niveau des amplitudes des fonctions temporelles, mais pas du tout sur les paramètres dynamiques. 8. Les systèmes stables sont caractérisés par des pôles à partie réelle négative.Une illustration tirée de [2] montre le comportement des systèmes suivant lempla-cement de leurs pôles dans le plan complexe (gure 1.4).1.2.2. Eet des conditions initialesConsidérons comme exemple le circuit RLC série pour lequel les conditions initiales(CI) ne sont pas nulles et calculons lévolution du courant qui le traverse. Pour t ≥ 0,léquation diérentielle de ce circuit sécrit t di 1 u(t) = Ri(t) + L + i(t)dt + uC (0) dt C 0Sa transformée de Laplace vaut 1 uC (0) U (s) = RI(s) + L(sI(s) − iL (0)) + I(s) + sC sRegroupant les facteurs de la fonction I(s), on obtient uC (0) 1 1 + sRC + s2 LC U (s) + L iL (0) − = I(s) R + sL + = I(s) s sC sCOn voit ainsi que les conditions initiales jouent le rôle de sources de tension décrivantlétat du système en linstant t = 0. De cette équation, on peut tirer le courant sC sLC iL (0) − C uC (0) I(s) = 2 LC U (s) + 1 + sRC + s 1 + sRC + s2 LCOn constate alors que les dénominateurs des deux fractions sont les mêmes et quilsne dépendent pas des conditions initiales. On en déduit que les pôles de la fonction,12 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 28. 1.2. Réponses temporelles vs pôles et zérosFig. 1.4.: Position des pôles et réponses temporelles [2] c 2008 freddy.mudry@gmail.com 13
  • 29. 1. Analyse des systèmes linéairesdonc la dynamique de la réponse temporelle, sont indépendants des conditions ini-tiales. Seules les amplitudes des fonctions temporelles seront modiées par celles-ci.Plus généralement, on dira que la réponse dun système est décrite par la somme dedeux termes faisant intervenir le signal dentrée X(s), le système G(s) = N (s)/D(s)et ses conditions initiales N (s) P (s; CI) Y (s) = X(s) + (1.23) D(s) D(s)où : P (s; CI) est un polynôme dont les coecients dépendent directement des CI et qui sannule si celles-ci sont nulles ; N (s) et D(s) sont le numérateur et dénominateur de la fonction décrivant le système.Ce résultat est important car il montre que la connaissance des pôles du système,cest-à-dire du dénominateur de la fonction G(s) décrivant le système sut pourprévoir le comportement temporel de celui-ci.1.3. Analyse dun système dordre 11.3.1. Fonction de transfertLexemple type dun système dordre 1 est le ltre passe-bas RC (gure 1.5. Dansle cas où le courant de sortie du quadripôle RC est nul, le quadripôle est décrit parléquation diérentielle suivante (CI nulle) t 1 u1 (t) = R i(t) + u2 (t) avec u2 (t) = uc (t) = i(t) dt (1.24) C 0La transformation de Laplace de ces deux équations donne I(s) U1 (s) = R I(s) + U2 (s) avec U2 (s) = sCTirant le courant I(s) = sC U2 (s) de la deuxième équation et le portant dans lapremière, il vient U1 (s) = sRC U2 (s) + U2 (s)Sachant la fonction de transfert dun quadripôle est dénie comme le rapport destensions sortie/entrée, on retrouve la fonction de transfert bien connue du circuitRC U2 (s) 1 G(s) ≡ = (1.25) U1 (s) I2 =0 1 + sRCdont la constante de temps τ = RC détermine la dynamique du circuit.De manière générale, un système dordre 1 est représenté par une fonction de trans-fert de la forme b0 + b1 s G(s) = (1.26) a0 + a1 s14 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 30. 1.3. Analyse dun système dordre 1 R u1(t) C u2(t) Fig. 1.5.: Circuit élémentaire dordre 1dont la description se fera de préférence dans une des deux formes canoniques sui-vantes b 0 1 + τ2 s G(s) = (forme de Bode) (1.27) a0 1 + τ 1 s b1 s + 1/τ2 b1 s + ω2 G(s) = = (forme de Laplace) (1.28) a1 s + 1/τ1 a1 s + ω1avec 1 a1 1 b1 τ1 = = τ2 = = ω1 a0 ω2 b01.3.2. Pôle et réponse transitoireUn tel système possède un pôle et un zéro qui valent 1 1 p1 = − z1 = − (1.29) τ1 τ2La réponse transitoire de ce système est alors décrite par une exponentielle 1 yh (t) = A1 e−t/τ1 avec τ1 = (1.30) |p1 |1.3.3. Réponse indicielleLimage de la réponse indicielle dun système est décrite par 1 Y (s) = X(s) G(s) avec X(s) = (1.31) sCas particulier Dans le cas dun simple ltre passe-bas, on a 1 1 Y (s) = s 1 + sτ 1 1/τ = s s + 1/τ A0 A1 = + s s + 1/τ c 2008 freddy.mudry@gmail.com 15
  • 31. 1. Analyse des systèmes linéairesavec A0 = 1 = −A1 . La transformation inverse conduit à lexpression bien connue t y(t) = 1 − exp − (1.32) τ Réponses indicielles d’ordre 1 1 0.8 0.6 y1 (t) 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 4 3 y (t) 2 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t [ms] Fig. 1.6.: Réponses indicielles de deux systèmes dordre 1Cas général Dans le cas dun système dordre 1 quelconque décrit par b0 + b1 s G(s) = (1.33) a0 + a1 son peut montrer que, indépendamment de la valeur des coecients, les réponsesindicielles sont telles que 1. Lévolution temporelle est entièrement décrite par t y(t) = y(0) + (y(∞) − y(0)) 1 − exp − (1.34) τ 2. Le temps pour atteindre la valeur y(t) vaut y(∞) − y(0) t = τ ln (1.35) y(∞) − y(t) 3. Le 63% de lévolution temporelle est réalisée au temps t=τ car on a exp(−t/τ )|t=τ = e−1 0.37 (1.36)16 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 32. 1.4. Analyse dun système dordre 2 4. Le temps de montée déni comme le tempes nécessaire pour passer de 10% à 90% de la variation y(∞) − y(0+ ) vaut tr ≡ t90% − t10% = τ ln(9) (1.37)Les réponses indicielles de deux systèmes dordre 1 décrits par 1 1 + s τ2 G1 (s) = , G2 (s) = avec τ1 = 1 ms, τ2 = 5 ms 1 + s τ1 1 + s τ1sont illustrées dans la gure 1.6.1.4. Analyse dun système dordre 21.4.1. Fonction de transfertLexemple type dun système dordre 2 est le ltre passe-bas RL-C (gure 1.7. Dans lecas où le courant de sortie est nul, le quadripôle est décrit par léquation diérentiellesuivante (pour laquelle on admet que les CI sont nulles) di(t) u1 (t) = R i(t) + L + uC (t) (1.38) dt t 1 u2 (t) = uC (t) = i(t) dt (1.39) C 0La transformation de Laplace de ces deux équations donne U1 (s) = R I(s) + sL I(s) + Uc (s) I(s) U2 (s) = UC (s) = sCTirant le courant I(s) = sC U2 (s) de la deuxième équation et le portant dans lapremière, il vient U1 (s) = sRC U2 (s) + s2 LC U2 (s) + U2 (s) R L u1(t) C u2(t) Fig. 1.7.: Circuit élémentaire dordre 2 c 2008 freddy.mudry@gmail.com 17
  • 33. 1. Analyse des systèmes linéairesSachant que la fonction de transfert dun quadripôle est dénie comme le rapportdes tensions de sortie et dentrée, on retrouve la fonction de transfert bien connuedu ltre passe-bas U2 (s) 1 G(s) ≡ = (1.40) U1 (s) I2 =0 1 + sRC + s2 LCComme un système dordre 2 peut représenter autre chose quun simple circuit RLC,on préfère travailler avec une expression plus générale pour le dénominateur 2 1 s s D(s) = 1 + + (1.41) Q0 ωn ωnfaisant intervenir la pulsation naturelle du système ωn et le facteur de qualité Q0 ouson inverse, le coecient damortissement 1 ζ≡ (1.42) 2Q0Ce qui donne 1 1 G(s) = 2 = 2 (1.43) 1 s s s s 1+ Q0 ωn + ωn 1 + 2ζ ωn + ωnDe manière générale, un système dordre 2 est représenté par une fonction de trans-fert de la forme a0 + a1 s + a2 s 2 G(s) = (1.44) b 0 + b 1 s + b 2 s2Pour ce qui suit, on se contentera danalyser les systèmes de type passe-bas décritspar 1 G(s) = 1 + b 1 s + b 2 s2dont la description se fera dans une des deux formes canoniques suivantes 1 G(s) = 2 (forme de Bode) (1.45) 1 s s 1+ Q0 ωn + ωn 2 ωn G(s) = 2 2 (forme de Laplace) (1.46) s + 2ζωn s + ωn1.4.2. Pôles et réponse transitoireLes pôles dun système décrit par cette fonction de transfert G(s) valent p1,2 = −ζωn ± (ζωn )2 − ωn = −ωn ζ ± 2 ζ2 − 1 (1.47)Selon la valeur de ζ, on voit que ces pôles peuvent être réels, complexes ou imagi-naires. Pour étudier le comportement temporel du système, il faut donc considérerles trois situations suivantes.18 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 34. 1.4. Analyse dun système dordre 2 Réponses indicielles 1.5 1.5 1.5 1 1 1 y(t) 0.5 0.5 0.5 ζ = 0.2 ζ = 0.4 ζ = 0.6 0 0 0 0 10 20 0 10 20 0 10 20 1.5 1.5 1.5 1 1 1 y(t) 0.5 0.5 0.5 ζ = 0.8 ζ=1 ζ = 1.2 0 0 0 0 10 20 0 10 20 0 10 20 1.5 1.5 1.5 1 1 1 y(t) 0.5 0.5 0.5 ζ = 1.4 ζ = 1.6 ζ = 1.8 0 0 0 0 10 20 0 10 20 0 10 20 temps temps temps Fig. 1.8.: Réponses indicielles dun système dordre 2 en fonction de ζζ>1 : les pôles sont réels distincts La réponse transitoire du système est alorsdécrite par 1 yh (t) = A1 e−t/τ1 + A2 e−t/τ2 avec τ1,2 = (1.48) |p1,2 |La durée du régime transitoire ttr vaut alors ttr 5 τmax (1.49)ζ = 1 : les pôles sont réels confondus La réponse transitoire du système estalors décrite par 1 1 yh (t) = A1 e−t/τ (1 + A2 t) avec τ= = (1.50) |p1 | |p2 |Dans ce cas, la durée du régime transitoire vaut ttr 7τ (1.51)0≤ζ<1 : les pôles sont complexes La réponse transitoire du système est alorsdécrite par yh (t) = A1 e−t/τ cos (ωp t + α1 ) (1.52)avec 1 1 τ= = (1.53) |Re (p1,2 )| ζωn c 2008 freddy.mudry@gmail.com 19
  • 35. 1. Analyse des systèmes linéaires 2π ωp ≡ = |Im (p1,2 )| = ωn 1 − ζ2 (1.54) TpLa durée du régime transitoire et le nombre de périodes visibles valent alors ttr ttr 5 τ, Nosc (1.55) TpTenant compte de ces expressions, on en déduit que pour les systèmes dont le fac-teur de qualité est supérieur à 0.5, le nombre de périodes visibles durant la partietransitoire vaut 5τ 1 − ζ2 5 Nosc =5 = 4 Q2 − 1 0 (1.56) Tp 2π ζ 2πDans le cas où le facteur de qualité est supérieur à 1, le nombre de périodes visiblesvaut environ 1.6 Q0 .1.4.3. Réponse indicielle dun système dordre 2La réponse indicielle dun système dordre 2 est décrite par 2 1 ωn Y (s) = X(s) G(s) = (1.57) s s2 + 2ζωn s + ωn 2Limage de Laplace de la réponse y(t) possède un pôle p0 dû au signal appliquéx(t) = (t) et une paire de pôles p1,2 provenant du système G(s) : p0 = 0 et p1,2 = −ωn ζ ± ζ2 − 1 (1.58)La gure 1.8 illustre la réponse indicielle dun système dordre 2 pour diérentesvaleurs du coecient damortissement ζ. Le regroupement de ces réponses sur unseul graphe (gure 1.9 a) permet de mettre en évidence les caractéristiques de laréponse indicielle dun système dordre 2.Position des pôles La gure 1.9 b montre comment les pôles se déplacent dans leplan complexe lorsque ζ varie de 0 à linni. On peut relever que pour 0 ≤ ζ ≤ 1,langle ψ parcouru sur le demi-cercle est tel que sin(ψ) = ζ . Globalement, on peutalors considérer les quatre situations suivantes 1. ζ = 0 : les pôles sont imaginaires ; ils se situent sur laxe imaginaire en ±jωn . 2. 0<ζ <1 : les pôles sont complexes ; ils se déplacent alors sur un demi- cercle de rayon ωn . 3. ζ=1 :les pôles sont réels confondus ; ils se situent sur laxe réel en −ωn . 4. 1<ζ < ∞ : les pôles sont réels négatifs distincts ; lun des deux pôles parcourt laxe réel négatif de −ωn à −∞ alors que le deuxième se déplace de −ωn à 0 et ralentit la réponse temporelle.20 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 36. 1.4. Analyse dun système dordre 2 Réponse indicielle d’un système d’ordre 2 1.5 ζ = 1 / (2 Q ) 0 ζopt ∼ 1/ √ 2 ζ = 0.4 ζ = 0.6105% 1 95% ζ = 0.8 90% ζ = 1.0 ζ = 2.0 0.5 10% tr ts 0 0 5 10 15 t ⋅ ωn [ / ] Im Dépassement Im souhaité D(ψ) ζ) ζ=0 a sin( ψ= Oscillations 0<ζ<1 ψ +jωn1<ζ<∞ ζ=1 Re Re 1<ζ<∞ -1/τ Rapidité -jωn 0<ζ<1 Système ζ=0 Rapidité souhaitée Fig. 1.9.: Réponse indicielle et lieu des pôles en fonction de ζ c 2008 freddy.mudry@gmail.com 21
  • 37. 1. Analyse des systèmes linéairesDomaine intéressant Sur la gure 1.9 c, on a représenté dans le plan complexe undomaine délimité par le dépassement D souhaité (droite inclinée), la constante detemps désirée τ (droite verticale) et le lieu des pôles décrivant le système dordre 2.Ainsi, la partie grisée correspond-elle à une réponse indicielle dont le dépassementest inférieur à D et le temps détablissement ts inférieur à 3 τ. On voit que seulescertaines valeurs de ζ permettent datteindre le comportement souhaité.Temps caractéristiques Dans le cas où ζ <1 ou, de manière équivalente, Q0 >0.5, ces éléments caractéristiques sont 1. la constante de temps 1 τ= (1.59) ζωn 2. la période doscillation 2π Tp = (1.60) ωn 1 − ζ2 3. le temps détablissement à 5% de la valeur asymptotique 3 ts ≡ t(100±5)% 3τ = (1.61) ζωn 4. la durée du régime transitoire 5 ttr ≡ t(100±1)% 5τ = (1.62) ζωn 5. le nombre de périodes visibles ttr 5τ Nosc = = 1.6 Q0 (1.63) Tp Tp 6. le dépassement qui ne dépend que de ζ<1 −πζ | ln(D)| D = exp ⇔ ζ(D) = (1.64) 1− ζ2 π 2 + ln2 (D) 7. le temps de montée valant très approximativement 1.8 tr ≡ t90% − t10% (1.65) ωnLa gure 1.10 montre lévolution des grandeurs caractéristiques tr , ts et D en fonc-tion de ζ. Il est important de noter que le calcul du temps de montée dun systèmedordre 2 conduit à une équation transcendante et quil nexiste donc pas de solutionanalytique, doù lapproximation proposée par léquation (1.65).22 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 38. 1.5. Réponses temporelles des circuits linéaires Temps de montée Temps d’établissement Dépassement 3.5 80 3 15 60 2.5 [ 1/ ω n ] [ 1/ ω n ] 2 10 [%] 40 1.5 1 5 20 0.5 0 0 0 0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 ζ ζ ζFig. 1.10.: Temps de montée, détablissement à 5% et dépassement en fonction de ζRéponse optimum Dans la mesure où lon recherche une réponse atteignant rapi-dement sa valeur asymptotique, la gure 1.9 a montre quun compromis raisonnableentre le temps de montée tr , le dépassement D et le temps détablissement ts estobtenu lorsque ζ 0.7. Pour cette valeur particulière de ζ, on obtient 2.1  tr ωn     3  1 ts ωn lorsque ζ √ 0.7 (1.66)    2  D 5% 1.5. Réponses temporelles des circuits linéairesOn notera en préambule que les principes présentés ci-après dans le cadre de circuitsélectriques sont tout à fait généraux et applicables à nimporte quel système linéaireet temporellement invariant.1.5.1. Représentation des quadripôlesUn quadripôle est décrit complètement par des deux grandeurs dentrée (u1 (t), i1 (t))et ses deux grandeurs de sortie (u2 (t), i2 (t)). Après transformation de Laplace, onobtient les images des tension et courant dentrée U1 (s) et I1 (s), et des tensionet courant de sortie U2 (s) et I2 (s) qui permettront de représenter le circuit par lafonction de transfert Q(s) (gure 1.11).Le plus souvent, on se contente de caractériser un quadripôle par le rapport destensions dentrée et de sortie : U2 (s) G(s) ≡ (1.67) U1 (s) I2 =0 c 2008 freddy.mudry@gmail.com 23
  • 39. 1. Analyse des systèmes linéaires i1(t) i2(t) u1(t) Q(s) u2(t) Fig. 1.11.: Quadripôles et ses signaux dentrée et de sortieCependant et plus généralement, ce sont six relations qui peuvent être dénies entreles signaux dentrée et de sortie : limpédance dentrée U1 (s) Zin (s) ≡ (1.68) I1 (s) U2 =0 le gain en tension U2 (s) AU (s) ≡ (1.69) U1 (s) I2 =0 le gain en courant I2 (s) AI (s) ≡ (1.70) I1 (s) U2 =0 la transimpédance U2 (s) Zm (s) ≡ (1.71) I1 (s) I2 =0 la transconductance I2 (s) Ym (s) ≡ (1.72) U1 (s) U2 =0 limpédance de sortie U2 (s) Zout (s) ≡ (1.73) −I2 (s) U1 =01.5.2. Pôles dun système et réponse temporelleConsidérons lentrée x(t) (un courant ou une tension) dun quadripôle et y(t) saréponse (également un courant ou une tension) ainsi que Q(s) une des six représen-tations du circuit. On a alors P (s; CI) Y (s) = X(s) Q(s) + (1.74) D(s)où P (s; CI) s, dont les coecients sont déterminés par les est un polynôme en D(s) est le dénominateur de Q(s). Les pôles associés à Y (s)conditions initiales, etproviennent du système Q(s) (régime transitoire) et du signal dentrée X(s) (régimeforcé).24 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 40. 1.5. Réponses temporelles des circuits linéairesDans le cas où les pôles ne sont pas confondus, la réponse temporelle y(t) est alorsla somme des fonctions temporelles décrivant le régime transitoire (dicté par Q(s))et le régime forcé (dicté par X(s)) M N y(t) = Am exp(pm t) + Bn exp(pn t) (1.75) m=1 n=1où les pm sont les M pôles de Q(s) et les pn sont les N pôles de X(s).1.5.3. Évaluation du comportement temporelPour évaluer le comportement temporel dun système à CI nulles décrit par sa fonc-tion de transfert générale Q(s), il sut dappliquer les étapes suivantes. 1. Rechercher limage X(s) du signal dentrée et la représentation Q(s) souhaitée du système. Le signal de sortie est alors décrit par Y (s) = X(s) Q(s) (1.76) 2. Calculer les valeurs asymptotiques du signal de sortie y(t → 0+ ) = s Y (s)|s→∞ (1.77) y(t → ∞) = s Y (s)|s→0 (1.78) 3. Rechercher les pôles de Y (s), cest-à-dire les racines de D(s). On en déduira alors que le système est a) stable si tous les pôles sont à parties réelles négatives ; b) marginalement stable sil y a une paire de pôles purement imagi- naires ou un pôle nul alors que les autres sont à parties réelles négatives ; c) instable, sil y a un pôle à partie réelle positive. 4. Calculer les paramètres dynamiques de la réponse temporelle en considérant a) pour chaque pôle réel pk i. la constante de temps 1 τk = (1.79) |Re (pk )| ii. la durée du régime transitoire du pôle pk ttr, k = 5τk (1.80) b) pour chaque paire de pôles complexes pk i. la constante de temps de lamortissement 1 τk = (1.81) |Re (pk )| c 2008 freddy.mudry@gmail.com 25
  • 41. 1. Analyse des systèmes linéaires ii. la période de loscillation 2π Tk = (1.82) |Im (pk )| iii. la durée de loscillation ttr, k = 5τk (1.83) iv. le nombre de périodes visibles ttr, k Nosc = (1.84) Tk 5. Evaluer la durée du régime transitoire ttr = 5 max (τk ) (1.85)Dans le cas (plutôt rare) où lon souhaite obtenir lexpression exacte de y(t), il fautdécomposer Y (s) en somme de fractions simples, puis calculer les valeurs de chacundes coecients correspondants. La réponse y(t) est alors la somme des fonctionstemporelles correspondant à chacune des fractions simples.1.5.4. ExempleOn considère ici la mise en cascade dun ltre passe-bas dordre 1 suivi dun ltrepasse-bande dordre 2. Admettant que lensemble est décrit par la fonction de trans-fert suivante 1 0.3 · 10−4 s G(s) = 1 + 1 · 10−3 s 1 + 0.3 · 10−4 s + 1 · 10−8 s2on se propose dévaluer la réponse indicielle de ce système dordre 3 dont les CI sontadmises nulles.En suivant les étapes proposées ci-dessus, on trouve : 1. Limage Y (s) du signal de sortie décrit par une fonction dordre 4 1 1 0.3 · 10−4 s Y (s) = X(s) G(s) = s 1 + 1 · 10−3 s 1 + 0.3 · 10−4 s + 1 · 10−8 s2 2. Les valeurs asymptotiques de y(t) ∞ y(t → 0+ ) = s Y (s)|s→∞ = =0 ∞3 0 y(t → ∞) = s Y (s)|s→0 = =0 126 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 42. 1.5. Réponses temporelles des circuits linéaires 3. Les pôles et zéros de Y (s) au nombre de 4 et 1, respectivement p0 = 0 dû au signal dentrée p1 = −1000 [1/sec] dû au ltre passe-bas p2,3 = −1500 ± j9887 [1/sec] dus au ltre passe-bande z1 = 0 dû au ltre passe-bande Comme tous les pôles du ltre sont à partie réelle négative, on en déduit que celui-ci est stable et que la réponse temporelle est décrite par y(t) = A0 + A1 exp(−1000t) + A2 exp(−1500t) cos(9887 t + α2 ) On notera que le pôle p0 , dû au signal dentrée, est compensé par le zéro z1 du ltre passe-bande (mathématiquement, les termes en s du numérateur et du dénominateur se simplient) et conduit ainsi à lannulation de la constante A0 . 4. Les paramètres dynamiques xés par a) le pôle réel p1 qui donne la constante de temps 1 τ1 = = 1 [ms] |Re (p1 )| et une durée de lexponentielle amortie valant ttr1 5 τ1 = 5 [ms] b) la paire de pôles complexes conjugués p2,3 qui conduit à i. un amortissement de constante de temps 1 τ23 = = 0.667 [ms] |Re (p2,3 )| ii. une oscillation de période 2π T23 = = 0.635 [ms] |Im (p2,3 )| iii. une oscillation de durée ttr, 23 = 5τ23 = 3.3 [ms] iv. un nombre de périodes visibles ttr, 23 3.3 [ms] Nosc = = 5.2 T23 0.635 [ms] 5. La durée du régime transitoire ttr = 5 max (τk ) = 5 · 1 [ms] = 5 [ms]La réponse indicielle y(t) de ce ltre est présentée à la gure 1.12 avec les contribu-tions y1 (t) et y2 (t) dues, respectivement, aux pôles p1 et p2,3 . c 2008 freddy.mudry@gmail.com 27
  • 43. 1. Analyse des systèmes linéaires Réponse indicielle d’un filtre 0.04 y(t) 0.02 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.03 0.02 y1(t) 0.01 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.02 0 y2(t) −0.02 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t [ms]Fig. 1.12.: Réponse indicielle y(t) dun ltre passe-bande et ses deux composantes temporelles y1 (t), y2 (t)1.6. Réponse impulsionnelle dun systèmePour des raisons de simplicité de description ou danalyse, on étudie souvent lessignaux et systèmes dans le domaine fréquentiel. Cependant, ceux-ci évoluent tou-jours dans le domaine temporel et leurs réponses physiques sont toujours temporelles.Parmi celles-ci, on distingue plus particulièrement les suivantes : la réponse sinusoïdale due à un signal dentrée en régime sinusoïdal permanent ; la réponse indicielle due à un saut unité appliqué à lentrée du système ; la réponse impulsionnelle consécutive à lapplication dun signal purement théo- rique non réalisable, limpulsion de Dirac.1.6.1. Remarques concernant limpulsion de DiracDénitionLimpulsion de Dirac est dénie comme une impulsion damplitude innie, de largeurinniment petite et de surface unité. Mathématiquement, cela revient à la décrirecomme suit   ∞ si t = 0 +∞ δ(t) = avec δ(t) dt = 1 (1.86)  0 si t = 0 −∞28 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 44. 1.6. Réponse impulsionnelle dun systèmeValeur instantanée dune fonctionLutilisation de limpulsion de Dirac permet de calculer la valeur instantanée dunefonction par lintermédiaire de lintégrale suivante : +∞ f (t0 ) = f (t) δ(t − t0 ) dt (1.87) −∞En eet, si la fonction f (t) est continue aux environs de t0 , le produitf (t) δ(t − t0 )est nul partout sauf en t0 ; on peut donc remplacer f (t) par sa valeur en t0 , f (t0 ).Lintégrale sécrit alors : +∞ +∞ f (t) δ(t − t0 ) dt = f (t0 ) δ(t − t0 ) dt = f (t0 ) −∞ −∞puisque, par dénition, limpulsion de Dirac possède une surface unité.De léquation 1.87, on déduit les résultats intéressants suivants +∞ f (t) = f (θ) δ(θ − t) dθ (1.88) −∞ +∞ f (t − t0 ) = f (θ) δ(θ − (t − t0 )) dθ (1.89) −∞Ces deux équations portent le nom dintégrale de convolution que lon écrit symbo-liquement sous la forme f (t) = f (t) ⊗ δ(t) (1.90) f (t − t0 ) = f (t) ⊗ δ(t − t0 ) (1.91)Poids dune impulsion de DiracEn pratique, la surface dune impulsion de Dirac nest que rarement égale à lunité ;de plus, si limpulsion est une tension électrique, sa surface se mesure en [V sec].Cette dernière est souvent désignée par le poids de limpulsion de Dirac. On remarqueainsi que, lorsque lon parle abusivement de lamplitude dune impulsion de Dirac,il sagit en réalité de son poids, donc de sa surface.1.6.2. Réponse impulsionnelleMathématiquement, la réponse impulsionnelle dun système sobtient par transfor-mation inverse de sa fonction de transfert h(t) = L−1 {H(s)} (1.92)En eet, h(t) est bien la réponse du système à lapplication dune impulsion de Diracx(t) = δ(t) car on a Y (s) = X(s) H(s) = 1 · H(s) ⇔ y(t) = 1 · h(t) = h(t) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 29
  • 45. 1. Analyse des systèmes linéairesPratiquement, on ne peut pas réaliser une impulsion de Dirac ; on ne peut quelapprocher avec, par exemple, une impulsion rectangulaire de durée très courte parrapport aux constantes de temps du système. De plus, il faudrait que son amplitudesoit susamment grande pour obtenir une action notable sur le système mais alorscelui-ci risque de saturer.Considérons donc, pour saisir concrètement ce qui se passe dans un système, uneimpulsion réelle de durée ∆t susamment petite et damplitude E que lon appliqueà un circuit électrique dordre 2 à létat déquilibre nul. u1(t) E R L u1(t) C u2(t) t -∆t 0 Fig. 1.13.: Impulsion rectangulaire appliquée à un circuit RL-CSi la durée de limpulsion est très petite, le condensateur na pas le temps de secharger de manière appréciable. On peut alors considérer que le circuit est constituéde la résistance et de linductance seulement et quil est parcouru par le courant E t + ∆t L i(t) = 1 − exp − , τ= R τ RComme la durée de limpulsion est très courte, on peut remplacer lexponentiellepar son approximation linéaire et lon obtient E t + ∆t E t + ∆t i(t) 1− 1− = , −∆t ≤ t ≤ 0 R τ R τAu moment où limpulsion revient à zéro en linstant t = 0, le courant qui a prisnaissance dans le circuit vaut donc E ∆t E ∆t E i(0) = = ∆t R τ R L/R LAinsi, pour t > 0, la tension appliquée au circuit est nulle alors que le courant i(t) nelest pas. On doit donc calculer un circuit à tension dentrée nulle mais à conditionsinitiales non nulles : E i0 = iL (0) = ∆t uC (0) = 0 (1.93) LLéquation diérentielle pour t≥0 sécrit donc : t di(t) 1 u1 (t) = 0 = Ri(t) + L + i(t) dt + uC (0) (1.94) dt C 030 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 46. 1.6. Réponse impulsionnelle dun systèmeEn transformant de Laplace et tenant compte des conditions initiales, il vient : 1 uC (0) 0 = R I(s) + L (s I(s) − iL (0)) + I(s) + sC s 1 = R + sL + I(s) − L i0 sC 1 = R + sL + I(s) − E∆t sCLe courant circulant dans le circuit vaut donc : sC I(s) = E∆t (1.95) 1 + sRC + s2 LCet la tension de sortie, prise aux bornes du condensateur, sécrit : I(s) 1 U2 (s) = = E∆t (1.96) sC 1 + sRC + s2 LCOn retrouve, dans cette expression, la fonction de transfert H(s) du circuit : 1 H(s) = (1.97) 1 + sRC + s2 LCConclusion On a ainsi trouvé le résultat important suivant : si limpulsion estsusamment brève, la tension de sortie U2 (s) est proportionnelle à la fonction detransfert du circuit et à la surface de limpulsion : U2 (s) = E∆t · H(s) (1.98)On peut montrer de manière générale que ceci est vrai quelle que soit la formede limpulsion à condition que sa durée soit négligeable par rapport aux tempscaractéristiques du circuit.On obtient alors le résultat général suivant : 0 U2 (s) = H(s) u1 (t) dt si ∆t τmin (1.99) −∆tqui, après transformation inverse, sécrit également : 0 u2 (t) = h(t) · u1 (t) dt (1.100) −∆tavec, comme on la vu h(t) = L−1 {H(s)} (1.101)Lintérêt porté à la réponse impulsionnelle dun système est dû au fait que cetteréponse représente uniquement le système, indépendamment de la forme du signaldentrée si celui est de durée susamment courte.Il ne faut cependant pas oublier quune impulsion de courte durée ne fournit ausystème quune énergie très faible. Lamplitude du signal de sortie, qui a une duréebeaucoup plus importante, sera donc beaucoup plus petite que lamplitude du signaldentrée. On court ainsi le risque de devoir mesurer un signal fortement entaché parle bruit de mesure. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 31
  • 47. 1. Analyse des systèmes linéaires1.7. Produit de convolutionDans lanalyse des systèmes linéaires, les réponses temporelles sont souvent étu-diées en passant par la résolution des équations diérentielles ou lutilisation de latransformation de Laplace ; cest-à-dire que lanalyse et la résolution se font dans unespace autre que le domaine temporel.Or, ainsi quon va le voir à laide dun diagramme, le produit de convolution permetde calculer la réponse y(t) dun système à un signal quelconque x(t) en restant danslespace temps. Ceci est très important pour les applications temps réel réalisées àlaide dun processeur numérique par exemple.1.7.1. Réponse temporelle des systèmes linéairesConsidérons pour cela un système linéaire et temporellement invariant auquel onapplique une impulsion de Dirac δ(t). La réponse à ce signal est la réponse im-pulsionnelle h(t) du système (gure 1.14 a). Elle représente ce dernier de manièrecomplète, comme le font la fonction de transfert H(s) ou léquation diérentielle.Puisque le système est temporellement invariant, le décalage de limpulsion dunevaleur td , entraînera le même décalage de la réponse impulsionnelle qui vaut alorsh(t − td ) (gure 1.14 b).Comme le système est également linéaire, une modication de lamplitude de lim-pulsion de Dirac entraînera une modication de lamplitude de la réponse impul-sionnelle : à un signal dentrée x(θ) · δ(t − θ), le système répondra par x(θ) · h(t − θ)(gure 1.14 c).Nous avons vu au paragraphe précédent que le signal dentrée x(t) peut être décrità laide dune somme dimpulsions de Dirac : +∞ x(t) = x(θ) δ(t − θ) dθ −∞Donc, comme le système est linéaire, la réponse à cette somme dimpulsions est lasomme des réponses impulsionnelles (gure 1.14d) : +∞ y(t) = x(θ) h(t − θ) dθ −∞Ce résultat est important parce quil permet de calculer directement la réponse y(t)à partir du signal dentrée x(t) et la représentation du système h(t). Cette expressionporte le nom de produit de convolution.Un changement de variable permet de montrer que le produit de convolution estcommutatif. On a alors : +∞ +∞ y(t) = x(θ) h(t − θ) dθ = x(t − θ) h(θ) dθ (1.102) −∞ −∞Le produit de convolution est souvent écrit sous la forme symbolique suivante : y(t) = x(t) ⊗ h(t) = h(t) ⊗ x(t)32 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 48. 1.7. Produit de convolution x(t) = δ(t) y(t) = h(t) (a) t t 0 0 x(t) = δ(t-θ) y(t) = h(t-θ) (b) t t 0 θ 0 θ x(t) = x(θ) d(t-θ) y(t) = x(θ) h(t-θ) (c) t t 0 θ 0 θ x(t) = x(θ) d(t-θ) dθ y(t) = x(θ) h(t-θ) dθ x(θ) (d) t tt0 0 θ t0 0 Fig. 1.14.: Calcul dun signal à laide du produit de convolution c 2008 freddy.mudry@gmail.com 33
  • 49. 1. Analyse des systèmes linéaires1.7.2. Réponse dun système causalDans le cas fréquent où le signal x(t) est appliqué en linstant t = 0 et que le systèmeest causal, cest-à dire que sa réponse impulsionnelle h(t) est nulle pour t < 0, leproduit de convolution sécrit : t t y(t) = x(θ) h(t − θ) dθ = x(t − θ) h(θ) dθ (1.103) 0 0Pour calculer y(t) à laide de la première de ces deux équations, il faut réaliser lesopérations successives suivantes (gure 1.15) : 1. retourner la réponse impulsionnelle autour de lordonnée pour obtenir h(−θ) 2. décaler h(−θ) dune valeur égale à t; ce qui donnera h(t − θ) 3. multiplier cette fonction h(t − θ) par le signal dentrée x(θ) 4. intégrer le résultat de ce produit entre 0 et t.Cette démarche peut être illustrée en considérant la réponse indicielle bien connuedun ltre passe-bas RC dont la fonction de transfert vaut : 1 1 1 H(s) = = 1 + s RC RC s + 1/RCSa réponse impulsionnelle est obtenue par transformation inverse de Laplace : 1 −t/RC h(t) = e ε(t) RCLillustration des deux approches de la convolution est donnée à la gure 1.15. On yvoit, en (a) les signaux originaux x(θ) ou h(θ), en (b) leur retournement, en (c) leurdécalage et en (d) leur produit. La surface sous cette dernière courbe (son intégrale)représente le signal de sortie y(t).Une deuxième illustration du calcul de la réponse indicielle dun système linéaireest donnée dans la gure 1.16. Les signaux représentés sont dans lordre : le sautunité appliqué à lentrée, la réponse impulsionnelle dun circuit RLC passe-bas etle retournement du saut unité, le produit h(θ) x(t − θ) représenté par lenveloppe dela surface noire, la valeur de cette surface en chaque instant.1.7.3. Convolution numériqueComme on la déjà dit, le produit de convolution est nécessaire pour calculer uneréponse temporelle sans devoir passer par la résolution des équations diérentielles ;la connaissance de la réponse impulsionnelle h(t) sut. Si cette démarche est peuutilisée, cest simplement parce que le calcul analytique de cette intégrale est souventpeu aisé.Par contre, dans le cas où on désire calculer numériquement la réponse dun système,le produit de convolution se prête parfaitement au calcul de celle-ci. Il sut pour34 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 50. 1.7. Produit de convolution h(θ) x(θ) θ θ (a) 0 0 h(-θ) x(-θ) θ θ (b) 0 0 h(t-θ) x(t-θ) θ θ (c) 0 t 0 t x(θ) h(t-θ) h(θ) x(t-θ) x(θ) x(t-θ)h(t-θ) θ h(θ) θ (d) 0 t 0 t Fig. 1.15.: Convolution de deux signaux c 2008 freddy.mudry@gmail.com 35
  • 51. 1. Analyse des systèmes linéaires Exemple de convolution 1 x(t) ; x(θ) 0.5 0 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 20x(t − θ) ; h(θ) 20 0 −20 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x(t − θ) ⋅ h(θ) 20 0 −20 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 y(t) 1 0 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 temps Fig. 1.16.: Exemple de convolutioncela de remplacer lintégrale par une somme et la limite dintégration supérieure parune valeur nie susamment grande pour que la réponse impulsionnelle puisse êtreconsidérée nulle. Ainsi, dans le cas où x(t < 0) = 0 et h(t > tmax ) 0, on obtient : t tmax y(t) = x(t − θ) h(θ) dθ x(t − θ) h(θ) dθ 0 0En considérant que les signaux temporels x(θ) et h(θ) sont échantillonnés avec unepériode ∆t pendant une durée nie allant de 0 à tmax , le calcul de y(t) peut alors sefaire comme suit : kmax y[n] x[n − k] h[k] ∆t (1.104) k=0Ce qui, algorithmiquement, se traduit par les quelques lignes de code suivantes : deltaT = tmax / kmax ; for n = 0 to kmax do begin convol = 0.0 ; for k = 0 to kmax do begin convol = convol + x[n-k] * h[k] ; end ; y[n] = convol * deltaT ; end ;36 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 52. 1.8. Exercices1.8. ExercicesTL 1 Pour chacun des deux systèmes décrits par les équations diérentielles sui-vantes y (t) + 11y(t) + 24y(t) = 5x(t) + 3x(t) ¨ ˙ ˙ 6y(t) + 11y(t) + ˙ (y(t) − x(t)) dt = x(t)calculez leur fonction de transfert.TL 2 Considérant les systèmes décrits par les fonctions de transfert suivantes s+5 H1 (s) = s2 + 3s + 8 s2 + 3s + 5 H2 (s) = s3 + 2s2 + 1s + 3retrouvez leur équation diérentielle.TL 3 Pour chacun des systèmes décrits par les fonctions de transfert suivantes s−5 H1 (s) = s2 + 3s + 8 s2 + 3s + 5 s2 + 3s + 5 H2 (s) = = s3 + 2s2 + 1s + 3 (s + 2.17) (s2 − 0.174s + 1.38) 5s2 + 7s + 2 H3 (s) = s2 − 3s + 5dessinez leurs pôles et zéros dans le plan complexe. Déterminez sils sont stables ounon ; justiez vos réponses.TL 4 Pour chacune des fonctions de transfert Hk (s) ci-après, 1 s H1 (s) = H2 (s) = 1 + s/1000 s + 1000 5 1 + 4 · 10−6 s2 H3 (s) = H4 (s) = 1 + 1 · 10−3 s + 4 · 10−6 s2 1 + 1 · 10−3 s + 4 · 10−6 s2 10e−3 s s + 200 5H5 (s) = H6 (s) = 1 + 10 · 10−3 s + 4 · 10−6 s2 s + 50 1 + 10 · 10−3 s + 4 · 10−6 s2 1 H7 (s) = 1 − 5 · 10−4 s + 4 · 10−6 s2 c 2008 freddy.mudry@gmail.com 37
  • 53. 1. Analyse des systèmes linéaires 1. calculez leurs pôles et zéros et dessinez leur position dans le plan complexe ; 2. calculez la réponse indicielle U2 (s) et donnez son expression générale u2 (t) ; 3. calculez les valeurs initiale et nale de u2 (t) ; 4. quelle sera la durée de la réponse transitoire et, sil y a lieu, le nombre de périodes visibles ? 5. esquissez chacune de ces réponses indicielles.TL 5 On applique à un circuit RC passe-bas une rampe de pente constante a; 1. montrez quaprès le régime transitoire la sortie suit lentrée avec un décalage égal à la constante de temps τ = RC ; 2. esquissez la réponse à cette rampe.TL 6 On peut montrer quun ltre passe-bas dordre 2 à pôles complexes (ζ < 1)suit une rampe appliquée en entrée avec un décalage 2ζ/ωn . Admettant que ce circuitest réalisé avec R = 500 Ω, L = 1 mH , C = 1 nF , 1. dessinez le schéma du circuit ; 2. calculez ttr et Nosc ? 3. esquissez la réponse au signal u1 (t) de la gure 1.17 lorsque t0 = 10 µs. u1(t) 1 t t0 3t0 4t0 Fig. 1.17.: Ex. TL 6TL 7 Considérant le circuit R − L//C de la gure 1.18, 1. de quel type de ltre sagit-il ? 2. écrivez les équations temporelles reliant u2 (t) à u1 (t) pour t≥0 (CI nulles) ; 3. à partir de celles-ci, recherchez la fonction de transfert du circuit.38 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 54. 1.8. Exercices u1(t) u2(t) Fig. 1.18.: Ex. TL 7 et TL 8TL 8 Considérant le circuit R − L//C de la gure 1.18, 1. utilisez les impédances symboliques pour calculer directement sa fonction de transfert ; 2. calculez le facteur de qualité, le coecient damortissement, la constante de temps, la période doscillation, la durée du régime transitoire et le nombre de périodes visibles lorsque R = 5 kΩ, L = 1 mH , C = 1 nF ; 3. esquissez sa réponse indicielle ; que valent u2 (0+ ) et u2 (∞) ? 4. quelle valeur faut-il donner à la résistance pour que Nosc 1.5.TL 9 Considérant la réponse indicielle dun système décrit par 1 + s/30 G(s) = (1 + s/10) (1 + s/16 + s2 /16) 1. que valent y(0) et y(∞) ? 2. écrivez G(s) dans la forme de Laplace ; 3. que valent les pôles et zéros de G(s) ; 4. calculez les paramètres caractéristiques de la réponse transitoire ; 5. donnez la forme générale de la réponse indicielle y(t) ; 6. esquissez y(t). y(0) = 0 τ1 = 0.1 [sec] ttrans = 10 [sec]Rép. : y(∞) = 1 τ2 = 2 [sec] Nosc 6TL 10 Quelle doit être la fonction de transfert dun amplicateur tel que sa ré-ponse indicielle est caractérisée par un temps détablissement inférieur à 10 µs et undépassement maximum de 5% ? Estimez le temps de montée de cette réponse.Conv 1 Considérant deux systèmes distincts représentés par les réponses impul-sionnelles respectives h1 (t) et h2 (t) de la gure 1.19, 1. utilisez le produit de convolution pour calculer les réponses indicielles y1 (t) et y2 (t) de chacun des systèmes ; 2. esquissez avec soin ces 2 réponses ; 3. à quoi correspond la valeur asymptotique y(t → ∞) ? 4. si les signaux dentrée et de sortie sont des tensions électriques, quelles sont les unités des réponses impulsionnelles ? c 2008 freddy.mudry@gmail.com 39
  • 55. 1. Analyse des systèmes linéaires h1(t) h2(t) A A t t 0 ∆t 0 2∆t Fig. 1.19.: Ex. Conv 1Conv 2 On applique le signal x(t) à un système dont la réponse impulsionnelleest décrite par h(t) (gure 1.20). Calculez la réponse y(t) à laide du produit deconvolution. Pour vous faciliter la tâche, analysez ce qui se passe dans les tranchestemporelles suivantes : t < 0, 0 < t < T, T < t < 2T, 2T < t < 3T, t > 3Tpuis eectuez une représentation graphique des fonctions intervenant dans ces tranches. x(t) h(t) 2 1 t t 0 T 0 2T Fig. 1.20.: Ex. Conv 2Conv 3 Dans cet exercice, on souhaite utiliser le produit de convolution pourcalculer la réponse indicielle dun ltre passe-bas dordre 1 décrit par sa fonction detransfert 1 G(s) = 1 + s RCPour ce faire, 1. calculez la réponse impulsionnelle h(t) de ce système ; 2. rappelez la dénition du produit de convolution et esquissez les fonctions tem- porelles intervenant dans celui-ci ; 3. appliquez le produit de convolution pour calculer la réponse indicielle du sys- tème.Rép : h(t) = RC exp(−t/RC), 1 y(t) = 1 − exp(−t/RC)40 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 56. 1.8. ExercicesConv 4On applique un signal x[n] à un système numérique décrit par sa réponseimpulsionnelle h[n] : n ··· -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ··· h[n] 0 0 0 0 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x[n] 0 0 0 0 0 0 0 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 y[n]Utilisez le produit de convolution numérique +∞ y[n] = h[m] x[n − m] m=−∞pour calculer la réponse y[n]. Représentez cette réponse sur la gure 1.21. 4 h(n) 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 4 x(n) 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y(n) = x(n) ⊗ h(n) 30 20 10 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n Fig. 1.21.: Ex. Conv 4 c 2008 freddy.mudry@gmail.com 41
  • 57. 1. Analyse des systèmes linéaires42 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 58. Bibliographie[1] B.P. Lathy, Linear Systems and Signals, Berkeley-Cambridge Press, 1992[2] L. Maret, Régulation automatique, Presses Polytechniques Romandes, 1987 43
  • 59. Bibliographie44 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 60. 2. Modélisation des systèmes analogiquesLétude des systèmes analogiques passe par la description mathématique de leurcomportement. Cette description, obtenue par le biais de la connaissance des loisphysiques ou de lobservation, constitue une modélisation de la réalité. Suivant lap-proche utilisée, on obtiendra 1. un modèle de connaissance lorsque celui-ci est construit à partir de la structure interne et des équations décrivant le système considéré ; 2. un modèle de représentation dans le cas où le modèle ne fait que relié globale- ment la sortie à lentrée sans tenir compte des détails internes du système.De plus, dans le cas des systèmes non linéaires, on peut être amené à les représenterpar des modèles linéaires autour dun point de fonctionnement an den obtenir unedescription linéaire nécessaire pour analyser leur comportement. Quelques exemplesillustrent ces diverses approches de la modélisation.2.1. Système oscillantComme exemple de modélisation de connaissance, considérons un rail horizontal surlequel est déposée une masse reliée à un ressort lui même attaché à un point mobile ;les pertes par frottement sont modélisées par un amortisseur visqueux (gure 2.1).La position x(t) du point de xation du ressort est variable et lon sintéresse àla position y(t) de la masse. Ces positions sont des variations autour des pointsdéquilibre X0 et Y0 .2.1.1. Équations diérentiellesLéquation de Newton décrivant le mouvement y(t) de la masse m prend en comptela force due à lélongation du ressort (x − y) et la force causée par le frottementvisqueux dépendant de la diérence des vitesses (x − y). ˙ ˙ Ce qui donne d2 y(t) dx(t) dy(t) m = k (x(t) − y(t)) + λ − (2.1) dt2 dt dtEn réordonnant les termes, on obtient une équation diérentielle dordre 2 en y(t)et dordre 1 en x(t) d2 y(t) dy(t) dx(t) m 2 +λ + k y(t) = λ + k x(t) (2.2) dt dt dt 45
  • 61. 2. Modélisation des systèmes analogiques λ m k x(t) X0 y(t) Y0 Fig. 2.1.: Système oscillantOn peut ainsi considérer que cette équation décrit un système dont lentrée est laposition x(t) du point mobile et la sortie, la position y(t) de la masse.2.1.2. Fonction de transfertLa transformation de Laplace de léquation ci-dessus (admise à CI nulles) permetdobtenir la fonction de transfert du système m s2 Y (s) + λ sY (s) + k Y (s) = λ sX(s) + k X(s) Y (s) m s2 + λ s + k = X(s) (λ s + k) Y (s) λs + k m G(s) ≡ = 2 + λs + k X(s) ms mqui sécrit dans les formes canoniques de Bode et de Laplace Y (s) 1 + s (λ/k) G(s) ≡ = (2.3) X(s) 1 + (λ/k) s + s2 (m/k) Y (s) λ s + (k/λ) G(s) ≡ = 2 + (λ/m) s + (k/m) (2.4) X(s) msSe souvenant que le dénominateur dune fonction dordre 2 sécrit 2 1 s s 1 D(s) = 1 + + = 2 s2 + 2ζωn s + ωn 2 Q0 ωn ωn ωn 1avec Q0 ≡ 2ζ , on en déduit que k 1 λ λ ωn = 2ζ ≡ = =√ (2.5) m Q0 m ωn km46 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 62. 2.2. Échangeur de chaleur2.1.3. ConclusionLe système que nous venons détudier est un système mécanique décrit par uneéquation diérentielle linéaire à coecients constants. On a donc aaire à un systèmelinéaire temporellement invariant (LTI) représenté par un modèle de connaissancepuisque le système est entièrement décrit par ses trois composants que sont la masse,le ressort et lamortisseur.2.2. Échangeur de chaleurOn considère à présent un échangeur de chaleur dont le fonctionnement peut êtrereprésenté par le schéma technologique de la gure 2.2. Ce système apparemmentsimple ne peut être décrit quà laide déquations aux dérivées partielles spatio-temporelles dont les coecients ne sont connus que grossièrement. Généralement,seule une simulation complexe (par la méthode des éléments nis, par exemple)permettra de représenter en détail le fonctionnement de léchangeur.Cependant, une représentation globale reliant la température de sortie θs (t) à unevariation de la puissance p(t) de chauage peut être obtenue expérimentalementavec une précision susante du point de vue de lutilisateur. Cette modélisationfait appel à un modèle simple plus ou moins arbitraire qui traduit le comportement( modèle de représentation ) et non la structure interne du processus considéré. θs(t) p(t) θs(t) ∆P p(t) t ∆θs t Tr θe(t) Fig. 2.2.: Schéma technologique dun échangeur de chaleurCette modélisation se fait en observant, lévolution de la température après uneaugmentation de la puissance de chauage. On constate alors que, dans un premiertemps, la température de sortie ne change pratiquement pas puis quelle augmenterégulièrement avant de tendre vers une valeur asymptotique. Lanalyse attentive decette évolution et la connaissance du fonctionnement de léchangeur permettent dentirer quelques éléments caractéristiques : c 2008 freddy.mudry@gmail.com 47
  • 63. 2. Modélisation des systèmes analogiques 1. Le calcul du rapport entre la variation de température à la sortie et la variation de puissance appliquée donne le gain statique de léchangeur ∆Θs K0 ≡ [deg/W] ∆P 2. La durée pendant laquelle la température na pas changé peut correspondre au temps de circulation de leau entre la chaudière et le capteur de température. Il sagit là dun retard pur Tr dû au déplacement de leau dont la représentation de Laplace est e−sTr 3. Enn le comportement de type ltre passe-bas peut être modélisé par une fonction de transfert très simple dordre n à pôles confondus 1 (1 + s τ )nUn modèle possible pour un échangeur de chaleur pourrait donc être donné par lafonction de transfert suivante Θ(s) e−s Tr G(s) = = K0 (2.6) P (s) (1 + s τ )n avec : K0 = gain statique de léchangeur [deg/W] Tr = temps de déplacement de leau [sec] τ = constante de temps de léchangeur [sec] n = ordre du modèle [/]Des méthodes didentication permettent dobtenir ces quatre paramètres suscep-tibles de représenter le comportement global de léchangeur.Conclusion On constate donc que, dans ce cas, sans rien connaître du systèmephysique et faisant lhypothèse que le système est linéaire, on a obtenu un modèle dereprésentation pouvant traduire correctement le comportement du système.2.3. Démarche associée à la modélisationNous venons de voir que la modélisation (mathématique) ou lidentication (ex-périmentale) constituent deux approches permettant dobtenir une représentationqualitative et quantitative de la réalité. An de mieux préciser et conclure cettedémarche, prenons comme exemple lidentication dune bobine à noyau ferroma-gnétique réalisée sous la forme dun tore (gure 2.3). Face à cet objet, on peut seposer les questions suivantes.48 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 64. 2.3. Démarche associée à la modélisationQuest-ce que cest ? La réponse à cette question simple implique une interprétation de lobjet baséesur des connaissances préalables. Elles permettent une modélisation de lobjet, cest-à-dire lécriture dune équation. Dans le cas dune bobine (lobjet), sa descriptionest souvent donnée au travers de sa réactance (un modèle linéaire) Z(jω) = jωL (2.7) Fig. 2.3.: Réalisation dune bobineQuelle expérience mettre en oeuvre ? La donnée dun modèle doit permettre lévaluation expérimentale des paramètresan den obtenir une représentation quantitative. Il est donc nécessaire à ce stadede réaliser une expérience permettant dobtenir directement ou indirectement lesparamètres intéressants. Au travers du choix de lexpérience, on xera implicitementle choix du signal appliqué à lobjet. Rg Ibob Am Ug Vm Ubob Fig. 2.4.: Schéma de mesure dune impédanceDans notre cas, lexpérience la plus simple que lon puisse imaginer consiste à ap-pliquer un signal sinusoïdal à la bobine et à mesurer le courant et la tension à sesbornes (gure 2.4). On devra donc au préalable xer les domaines de fréquence etdamplitude des signaux. Le choix des instruments de mesure (voltmètre et ampè-remètre) sous-entend que les eets de saturation magnétique ne seront pas visibles.Pour éviter la saturation magnétique, lamplitude du courant devra être faible. Lesrésultats des mesures sont donnés dans la gure 2.5 ; ils doivent maintenant êtreanalysés. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 49
  • 65. 2. Modélisation des systèmes analogiques 7 10 f0 = 290 [kHz] Zmax = 4.6 [MΩ] 6 10 Zmin = 7 [Ω] 5 10 4 10 | Z(jf) | [Ω] 3 10 2 10 1 10 0 10 1 2 3 4 5 6 7 10 10 10 10 10 10 10 fréquence [Hz] Fig. 2.5.: Mesure de limpédance dune bobineFaut-il modier le modèle ? Léquation Z(jω) = jωL représentant cette bobine nous indique que sa réactancedevrait augmenter linéairement avec la fréquence. Or, on constate que les mesures necoïncident pas du tout avec les résultats attendus, si ce nest en moyennes fréquences.On en déduit donc que le modèle choisi doit être amélioré an de mieux représenterla réalité. Lanalyse de la courbe expérimentale (gure 2.5) conduit aux remarquessuivantes. 1. En moyennes fréquences, limpédance varie linéairement avec la fréquence comme le prévoit le modèle initial (gure 2.6b) : Z(jω) = jωL si 300 [Hz] < f < 100 [kHz] (2.8) 2. En basses-fréquences, limpédance tend vers une valeur constante correspon- dant à la résistance du l de bobinage. On en déduit que si lon veut tenir compte des basses et moyennes fréquences, le modèle doit être modié comme suit (gure 2.6a) : Z(jω) = R + jωL si 0 < f < 100 [kHz] (2.9) 3. En hautes-fréquences, limpédance passe par un maximum qui est le fait dune antirésonance. Celle-ci provient de la capacité parasite répartie entre les spires dont le modèle est celui de la gure 2.6c : jωL Z(jω) = si f > 300 [Hz] (2.10) 1 + (jω)2 L Cp50 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 66. 2.3. Démarche associée à la modélisation 4. Un modèle valable dans tout le domaine de fréquences peut être celui proposé dans la gure 2.6d dont limpédance vaut : R + jωL Z(jω) = si 0 < f < ∞ (2.11) 1 + jωR Cp + (jω)2 L Cp (a) (b) (d) (c) Fig. 2.6.: Diérents modèles peuvent représenter une bobineAinsi, suivant le domaine de fréquences dans lequel sera utilisée la bobine, on pourrachoisir un des quatre modèles présentés à la gure 2.6. A ce stade, il ne faut cepen-dant pas oublier que ces modèles sont linéaires et quils ne tiennent pas comptedune saturation magnétique possible.Faut-il envisager une représentation non-linéaire ? Si la tension sinusoïdale appliquée possède une forte amplitude, le courant résul-tant ne sera plus sinusoïdal : il y a distorsion due à la saturation du noyau ferroma-gnétique. La description de la bobine au travers de son impédance Z(jω) nest alorsplus possible. On est donc obligé de la représenter par un ensemble déquations nonlinéaires nécessitant les variables suivantes : u(t) = tension appliquée [V] iC (t) = courant dans la capacité parasite [A] iB (t) = courant dans la bobine [A] Cp = capacité parasite [F] N = nombre de spires [/] 2 Sm = section moyenne du tore [m ] Lm = longueur moyenne du tore [m] B = induction magnétique [T] H = champ dexcitation magnétique [A/m] B(H) = caractéristique magnétique du matériau [T]On peut alors décrire la bobine à partir des équations fondamentales suivantes les équations de Kirchho i(t) = iC (t) + iB (t) (2.12) du(t) iC (t) = Cp (2.13) dt dψ(t) u(t) = R iB (t) + (2.14) dt c 2008 freddy.mudry@gmail.com 51
  • 67. 2. Modélisation des systèmes analogiques les équations électromagnétiques ψ = N B · dS N B Sm (2.15) N iB (t) = H · dl H(B) Lm (2.16)Ainsi, la bobine est nalement décrite par un ensemble déquations diérentiellesnon linéaires qui sont ψ(t) B(t) (2.17) N Sm H(B) Lm iB (t) (2.18) N dψ(t) = u(t) − R iB (t) (2.19) dt du(t) iC (t) = Cp (2.20) dt i(t) = iC (t) + iB (t) (2.21)Enn, il est important de rappeler que, dans le cas où la bobine est non linéaire, ilnest plus possible de la représenter par son impédance. Lévaluation de son compor-tement ne peut alors se faire quen résolvant numériquement les équations ci-dessus.2.3.1. ConclusionDe ce que nous venons de voir, il est évident que la modélisation dun système estun processus itératif pouvant être représenté par le diagramme de la gure 2.7. Ony voit que lidentication débute par le choix dun modèle permettant dimaginerune expérience an de confronter les résultats théoriques avec les résultats expéri-mentaux. A partir de cette comparaison, on décidera si, oui ou non, le modèle choisiest satisfaisant.On peut encore remarquer que lidentication de la bobine nous a permis de construireun modèle de connaissance. De cette modélisation découle la possibilité de mesurerles valeurs des éléments constitutifs de la bobine, à savoir sa résistance R, son in-ductance L et sa capacité répartie Cp . Cest la modélisation la plus complète quelon puisse envisager.Il arrive parfois que lon ne sintéresse quà une description globale des systèmespermettant de représenter de manière simple le comportement de ceux-ci sans sepréoccuper du fonctionnement interne. On construit alors des modèles de représen-tation. Ce type de modélisation est fréquemment utilisé pour décrire le comporte-ment dynamique des systèmes ; on analyse alors, suivant les possibilités, leur réponseharmonique et/ou leur réponse indicielle.52 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 68. 2.3. Démarche associée à la modélisation Choix dun modèle Théorie Domaine Réponse de validité du modèle du modèleModificationdu modèle Expérience non Approximation Réponse Objet suffisante ? de lobjet oui Modèle satisfaisant Fig. 2.7.: Diagramme illustrant le processus de modélisation c 2008 freddy.mudry@gmail.com 53
  • 69. 2. Modélisation des systèmes analogiques2.4. Un système non linéaire : le réservoir deauOn considère ici un réservoir de section A1 avec une ouverture à sa base de section A2par laquelle leau peut sécouler (gure 2.8). Sachant que ce réservoir est alimentépar un débit deau Q1 [kg/sec] et que leau séchappe sous leet de la pesanteuravec un débit Q2 [kg/sec] dépendant de la hauteur, on désire connaître lévolutiondu niveau deau H [m] dans le réservoir. 3 0 3 Fig. 2.8.: Écoulement dans un réservoir2.4.1. ÉquationsNiveau deau et débits La masse deau M stockée dans le réservoir dépend de samasse spécique ρ, de la section A1 du réservoir et de la hauteur H du niveau M = ρV1 = ρ A1 H (2.22)Son évolution au cours du temps t dépend de la diérence des débits t M (t) = ρ A1 H(t) = (Q1 (t) − Q2 (t)) dt (2.23) 0La variation de la hauteur deau vaut donc dH(t) 1 = (Q1 (t) − Q2 (t)) (2.24) dt ρ A1Débit de sortie Le débit de sortie Q2 dépend de la vitesse découlement v2 et dela section A2 du tube de sortie dV2 (t) dx(t) Q2 = ρ = ρA2 = ρA2 v2 (2.25) dt dt54 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 70. 2.4. Un système non linéaire : le réservoir deauEn labsence de frottements, la loi de conservation dénergie permet décrire quela perte dénergie potentielle de leau stockée est compensée par laugmentationdénergie cinétique de leau sortante 1 2 δEp = gH dM = δEc = v2 dM (2.26) 2La vitesse de leau sortante vaut donc v2 (H) = 2gH (2.27)Portant ce résultat dans léquation du débit, on trouve que celui-ci varie comme laracine carrée de la hauteur Q2 (H) = ρA2 2gH (2.28)Cette caractéristique non linéaire liant le débit de sortie à la hauteur deau estreprésentée à la gure 2.9. 0.25 0.2 Q2 [kg/sec] 0.15 0.1 0.05 A = 1 cm2 2 0 0 0.1 0.2 0.3 H [m]Fig. 2.9.: Débit de sortie en fonction du niveau deau avec son approximation li- néaire autour de H0 = 0.05 mÉquation diérentielle Tenant compte du débit de sortie, on voit que léquationdiérentielle (2.24) décrivant lévolution du niveau deau au cours du temps sécrit dH(t) 1 = Q1 (t) − ρA2 2g H(t) dt ρ A1 dH(t) 1 A2 = Q1 (t) − 2g H(t) (2.29) dt ρ A1 A1Léquation (2.29) est une équation diérentielle non linéaire dordre 1 traduisant lefait que le système est non linéaire à cause du terme H(t). Ce système ne peutdonc pas être représenté par une fonction de transfert liant le niveau deau H audébit dentrée Q1 . c 2008 freddy.mudry@gmail.com 55
  • 71. 2. Modélisation des systèmes analogiquesIl ny a pas de solution analytique à cette équation diérentielle ; pour connaîtrelévolution temporelle du niveau H(t), il faut lintégrer numériquement. Par contre,lorsque le débit dentrée est constant Q1 = cte = Q0 , il est facile de calculer leniveau déquilibre H0 ≡ H(t → ∞). En eet, cette valeur asymptotique du niveauest atteinte lorsque dH/dt sannule dH(t) 1 A2 =0= Q0 (t) − 2g H(t) dt ρ A1 A1doù 2 1 Q0 H0 = (2.30) 2g ρA22.4.2. Résolution numériqueComme on vient de le dire, la solution analytique dune équation diérentielle nonlinéaire nexiste pas. Par contre, lutilisation dun algorithme dintégration numé-rique permet de trouver aisément la solution pour diérents débits dentrée (gure2.10). 1 1 0.8 0.8 Q0 = 0.1 [kg/s] Q0 = 0.2 [kg/s] 0.6 0.6 h(t) / H0 H0 = 0.051 [m] H0 = 0.2 [m] 0.4 0.4 τ = 72.1 [s] τ = 144 [s] lin lin 0.2 0.2 0 0 0 200 400 600 800 1000 0 200 400 600 800 1000 1 1 0.8 0.8 Q0 = 0.3 [kg/s] Q0 = 0.4 [kg/s] 0.6 0.6 h(t) / H0 H0 = 0.46 [m] H0 = 0.82 [m] 0.4 0.4 τlin = 216 [s] τlin = 288 [s] 0.2 0.2 0 0 0 200 400 600 800 1000 0 200 400 600 800 1000 t [s] t [s]Fig. 2.10.: Évolution du niveau deau dans un réservoir avec, en traitillé, lapproxi- mation linéaire (D1 = 30 [cm], A2 = 1 [cm2 ])La résolution numérique dun système analogique commence par lécriture dunefonction explicitant léquation diérentielle su système dH(t) 1 = Q1 (t) − ρA2 2g H(t) dt ρ A156 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 72. 2.4. Un système non linéaire : le réservoir deau function dH_dt = ed_reservoir(t,Ht,Q1) ; D1 = 0.30 ; A1 = pi*D1^2/4 ; A2 = 1e-4 ; D2 = sqrt(4*A2/pi) ; rho = 1000 ; g = 9.81 ; dH_dt = (Q1-rho*A2*sqrt(2*g*Ht))/rho/A1 ;Cette fonction est écrite dans un chier portant le nom de la fonction ed_reservoir.met le calcul de H(t) se fait avec les commandes suivantes : % calcul de levolution temporelle du niveau H0 = 0.0 ; % niveau initial Q1 = 0.4 ; % [kg/sec] tmax = 500 ; Npts = 1000 ; dt = tmax/Npts ; tt = 0 :dt :tmax ; [tt, Ht] = ode45(@ed_reservoir,tt,H0,[],Q1) ;La commande ode45 intègre numériquement léquation diérentielle et fournit lasolution numérique Ht pour le temps correspondant tt. À partir de cela, on peuttracer lévolution du niveau deau : % graphe plot(tt,ht,LineWidth,2) ; grid on ; axis([-7,tmax,-0.01,0.2]) ; texte = [Q_0 = ,num2str(Q1,2), [kg/s]] ; legend(texte,4) ; xlabel(temps [s]) ; ylabel(H(t)) ;La gure 2.10 présente lévolution temporelle du niveau pour plusieurs débits den-trée. Contrairement aux systèmes linéaires, la durée détablissement du niveau nestpas constante et le niveau atteint nest pas proportionnel au débit dentrée.2.4.3. LinéarisationLors de variations légères autour dun point de fonctionnement X0 , on peut décrireun système non linéaire par une approximation linéaire de sa caractéristique f (X).Cette linéarisation de f (X) se fait en partant du développement limité de la fonctionautour dun point X0 . Posant X = X0 + x, on a alors df 1 d2 f f (X) = f (X0 + x) = f (X0 ) + x+ x2 + · · · dX X0 2! dX 2 X0Ne gardant que les termes dordres 0 et 1, on obtient lapproximation linéaire sui-vante df f (X0 + x) f (X0 ) + x dX X0On a ainsi remplacé la caractéristique non linéaire f (X) = f (X0 + x) par une droitetangente au point X0 (gure 2.9). c 2008 freddy.mudry@gmail.com 57
  • 73. 2. Modélisation des systèmes analogiquesDans le cas du réservoir, lévolution du niveau est décrite par léquation diérentiellesuivante dH(t) 1 = (Q1 (t) − Q2 (t)) avec Q2 (H) = ρA2 2gH (2.31) dt ρ A1Autour du point déquilibre H0 , la hauteur est décrite par H = H0 +h où h représentede faibles variations de hauteur autour de H0 . Le développement limité du débit desortie Q2 en un polynôme dordre 1 donne alors dQ2 Q2 (H0 + h) Q2 (H0 ) + ·h dH H0 √ d H Q0 + ρA2 2g ·h dH H0 1 1 Q0 + ρA2 2g √ h 2 H0 g Q0 + ρA2 h 2H0On en déduit ainsi que la caractéristique non linéaire de la gure 2.9 décrite par Q2 (H) = ρA2 2gH (2.32)peut être approchée par le modèle linéaire suivant g Q2 (H0 + h) Q0 + ρA2 h (2.33) 2H0En désignant les variables par leurs variations autour du point déquilibre Q1 (t) = Q0 + q1 (t) (2.34) H(t) = H0 + h(t) (2.35) Q2 (t) = Q0 + q2 (t) (2.36)léquation diérentielle décrivant le fonctionnement du réservoir sécrit dH(t) 1 = (Q1 (t) − Q2 (t)) dt ρ A1 d (H0 + h(t)) 1 = (Q0 + q1 (t) − (Q0 + q2 (t))) dt ρ A1 dh(t) 1 = (q1 (t) − q2 (t)) dt ρ A1Prenant en compte lapproximation g q2 (t) ρA2 h(t) 2H058 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 74. 2.4. Un système non linéaire : le réservoir deauléquation diérentielle devient linéaire et elle sécrit sous la forme dh(t) 1 g = q1 (t) − ρA2 h(t) dt ρ A1 2H0 dh(t) ρA2 g 1 + h(t) = q1 (t) dt ρ A1 2H0 ρ A1En dénissant le temps caractéristique A1 2H0 τ≡ A2 gon obtient léquation diérentielle linéaire décrivant le comportement du niveaudeau pour de faibles variations autour de son point déquilibre H0 dh(t) 1 1 + h(t) = q1 (t) (2.37) dt τ ρ A1Lévolution temporelle du niveau deau prévue par ce modèle linéaire est présentée entraitillé sur la gure 2.10 pour diérents niveaux déquilibre H0 . Lobservation de cescourbes montre que, même en partant dun réservoir vide, le temps caractéristiqueainsi trouvé donne une assez bonne idée de la réalité.2.4.4. Fonction de transfertLapproximation dordre 1 du réservoir permet de le modéliser par une fonction detransfert. Celle-ci sobtient par transformation de Laplace de léquation diéren-tielle (2.37) 1 1 s H(s) + H(s) = Q1 (s) τ ρ A1doù H(s) 1 1 m G(s) ≡ = 1 (2.38) Q1 (s) ρ A1 s + τ kg/secDans la forme de Bode, cette fonction de transfert sécrit H(s) 1 G(s) ≡ = K0 (2.39) Q1 (s) (1 + s τ )avec ∆H τ 1 2H0 m K0 ≡ = = ∆Q ρ A1 ρ A2 g kg/sec A1 2H0 τ= [sec] (2.40) A2 g c 2008 freddy.mudry@gmail.com 59
  • 75. 2. Modélisation des systèmes analogiquesOn constate ainsi que le réservoir est caractérisé une constante de temps τ et parun gain K0 qui augmentent tous deux avec la hauteur déquilibre H0 . Comme lahauteur asymptotique dépend du débit dentrée Q0 (équation 2.30) 2 1 Q0 H0 = 2g ρA2on trouve que le gain et la constante de temps sont tous deux proportionnels audébit moyen Q0 et quils valent Q0 m K0 = (2.41) g (ρ A2 )2 kg/sec A1 τ= Q0 [sec] (2.42) g ρA222.4.5. ConclusionLe système que nous venons détudier est un système mécanique décrit par uneéquation diérentielle non linéaire à coecients constants. On a donc aaire à unsystème non linéaire temporellement invariant représenté par un modèle de connais-sance puisque le système est entièrement décrit par ses dimensions géométriques, lapesanteur et la masse spécique du liquide.Seule son approximation dordre 1 a permis de représenter et analyser le comporte-ment du réservoir à laide dune fonction de transfert ; de celle-ci, on a tiré un tempscaractéristique dépendant du débit dentrée ou, ce qui est équivalent, du niveaudéquilibre.2.5. Représentations des systèmes analogiquesEn conclusion de ce que nous venons de voir, il faut rappeler que : La description dun système par un ensemble déquations dif- férentielles est la plus fondamentale que lon puisse imaginer.Quel que soit le système considéré, linéaire ou non, temporellement invariant ou non,sa réponse temporelle peut toujours être calculée à partir des équations diérentiellesle représentant. Dans le cas des systèmes non linéaires, le calcul de la réponsetemporelle y(t) se fera sous forme numérique en intégrant les équations diérentiellesà laide dun algorithme dintégration (Runge-Kutta par exemple).Dans le cas où les systèmes sont décrits par des équations diérentielles li-néaires, on peut alors, à laide des transformations de Fourier ou de Laplace, créerdautres représentations dun système telles que la fonction de transfert, limpé-dance, etc. Ces représentations ne sont valables que pour les systèmes linéaires ettemporellement invariants (LTI). Il en est de même pour les notions de réponseimpulsionnelle et de produit de convolution. Il est donc important de noter que :60 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 76. 2.6. Un système électromécanique : le moteur DC Seuls les systèmes linéaires temporellement invariants peuvent être représentés par une fonction de transfert en s ou en jω.Les représentations et démarches utilisées pour la résolution des systèmes linéairespeuvent être résumées par le tableau 2.1. Description Variable Démarche Solution du système y(t) Équation t∈R Résolution de yh (t) + yp (t) diérentielle léqu. di. Réponse t∈R Calcul du produit x(t) ⊗ h(t) impulsionnelle de convolution Transformation s∈C Résolution dune L−1 de Laplace équ. algébrique {X(s) · H(s)} Transformation jω ∈ I Résolution dune F −1 de Fourier équ. algébrique {X(jω) · H(jω)} Tab. 2.1.: Représentations et résolution des systèmes linéaires2.6. Un système électromécanique : le moteur DCPour terminer, considérons un moteur à courant continu et excitation permanente.Son fonctionnement est basé sur la loi de Lorentz qui dit quune force apparaît enprésence dun courant électrique et dun champ magnétique : → − → − − → d F = i dl ∧ B (2.43)Le courant circulant dans les spires câblées sur un cadre (gure 2.11) crée un couple → −qui oriente le cadre perpendiculairement aux lignes du champ B. De plus, commele ux magnétique embrassé par le cadre varie au cours du temps, il faut sattendreà lapparition dune force contre-électromotrice décrite par la loi de Lenz : dϕ(t) uf em (t) = − (2.44) dt c 2008 freddy.mudry@gmail.com 61
  • 77. 2. Modélisation des systèmes analogiques t anen perm Ai mant N I I F1 B Collecteur Spires I F2 S Fig. 2.11.: Principe du moteur DCPour que le mouvement de rotation sentretienne, il sut de changer le sens ducourant au bon moment grâce au collecteur (gure 2.11). La gure 2.12 présenteune réalisation actuelle dun petit moteur DC à aimant permanent.2.6.1. Équations diérentiellesPour la modélisation qui suit, on considère que les non linéarités sont susammentfaibles an quon puisse les négliger et admettre que le système est linéaire. On faitégalement lhypothèse que les constituants du moteur ne changent pas au cours dutemps ; celui-ci est donc temporellement invariant. Le schéma technologique dun telmoteur est donné à la gure 2.13.Comme le moteur est constitué dune partie électrique et dune partie mécanique,sa description passe par lécriture dune équation électrique (Kirchho ) di(t) u(t) = R i(t) + L + KE ω(t) [V] (2.45) dtet dune équation mécanique (Newton) dω(t) J = KT i(t) − Rf ω(t) + Cext (t) [Nm] (2.46) dtÀ celle-ci, on peut ajouter léquation liant la position du rotor θ(t) à la vitesse ω(t) t θ(t) = ω(t) dt [rad] (2.47) 0Dans ces équations électromécaniques-mécaniques, il y a62 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 78. 2.6. Un système électromécanique : le moteur DC Capteur de position Balais Moteur Collecteur Réducteur Bobinage (rotor) Aimant permanent cylindriqueFig. 2.12.: Vue intérieure dun petit moteur DC avec son réducteur et son capteur de position numérique (P = 70W, D = 36 mm, L = 71 mm) R L i(t) Cmot (t) = KT i(t) J u(t) ue(t) = KE ω(t) ω(t) Rf Cext Fig. 2.13.: Schéma technologique dun moteur DC c 2008 freddy.mudry@gmail.com 63
  • 79. 2. Modélisation des systèmes analogiques les chutes de tension causées par la résistance R et linductance L du bobinage du moteur ; la force électromotrice (fem) KE ω(t) générée par le moteur lorsquil tourne à vitesse ω(t) ; le couple moteur KT i(t) créé par la circulation du courant i(t) ; le couple résistant Rf ω(t) causé par les frottements qui, pour que léquation soit linéaire, sont admis visqueux ; le couple extérieur Cext appliqué sur le rotor.Remarques 1. On peut noter quà partir de ces équations, on trouve les constantes de temps électriques et mécaniques de chaque partie prise séparément L J τel = τmec = [sec] (2.48) R Rf 2. Le principe de conservation de lénergie permet de montrer que les constantes de couple KT et de fem KE sont égales. En eet, dans le cas où il ny pas de pertes lors de la transformation de la puissance électrique en puissance mécanique, on a légalité des deux expressions suivantes Pel = U I = (KE ω) i [W] Pmec = C ω = (KT i) ω [W] On en déduit que V Nm KE = KT (2.49) rad/sec A 3. En régime permanent constant, les dérivées sannulent ; on peut alors calculer la vitesse asymptotique ω∞ et le courant i∞ consommé pour compenser les pertes. Considérant que le moteur est alimenté par une tension continue U0 et que le couple extérieur est nul, on obtient ainsi deux équations à deux inconnues U0 = R i∞ + KE ω∞ 0 = KT i∞ − Rf ω∞ dont la solution est Rf Rf i∞ = ω∞ = U0 [A] (2.50) KT KT KE + R R f KT rad ω∞ = U0 (2.51) KT KE + R R f sec64 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 80. 2.6. Un système électromécanique : le moteur DCReprésentation détat Un système déquations diérentielles peut toujours êtremis sous une forme canonique constituée par un ensemble déquations diérentiellesdordre 1. Dans le cas du moteur, cet ensemble sécrit di(t) 1 = (u(t) − R i(t) − KE ω(t)) (2.52) dt L dω(t) 1 = (KT i(t) − Rf ω(t) + Cext ) (2.53) dt J dθ(t) = ω(t) (2.54) dtCette représentation porte le nom de représentation détat du système. Dans le casprésent, les variables détat sont le courant i(t), la vitesse de rotation ω(t) et laposition angulaire θ(t).u(t) i(t) ω(t) θ(t) -KE -R Σ 1/L ∫ KT -Rf Σ 1/J ∫ ∫ Fig. 2.14.: Graphe représentant un système déquations diérentiellesReprésentation graphique À partir de ces équations, il est aisé de dessiner legraphe des équations diérentielles. Ce graphe (gure 2.14) est constitué de som-mateurs et dintégrateurs dont les entrées sont des grandeurs temporelles auxquelleson associe un coecient. Lentrée de chaque intégrateur représente la dérivée dunevariable détat. On obtient donc à la sortie de chaque intégrateur une des variablesdétat décrivant complètement le comportement du système.Ce schéma peut être directement interprété par des logiciels tels que Spice ou Si-mulink (programmation graphique) avant dêtre résolu pour fournir les réponsestemporelles du système étudié.2.6.2. Fonction de transfertLa transformation de Laplace des équations diérentielles décrivant le moteur conduitaux équations algébriques suivantes U (s) − KE Ω(s) = (R + sL) I(s) (Rf + sJ) Ω(s) = KT I(s) + Cext (s) 1 Θ(s) = Ω(s) s c 2008 freddy.mudry@gmail.com 65
  • 81. 2. Modélisation des systèmes analogiquesCelles-ci permettent de calculer les images du courant du moteur, de la vitesse etde la position du rotor U (s) − KE Ω(s) I(s) = (2.55) R + sL KT I(s) + Cext Ω(s) = (2.56) Rf + sJ 1 Θ(s) = Ω(s) (2.57) sComme on sintéresse ici à la vitesse du rotor par rapport à la tension appliquée aumoteur, on prendra Cext = 0. Le courant et la vitesse du moteur valent alors U (s) − KE Ω(s) I(s) = R + sL KT I(s) Ω(s) = Rf + sJPortant le premier résultat dans le deuxième, il vient KT U (s) KE Ω(s) = − Ω(s) Rf + sJ R + sL R + sL KT KE 1 KT 1 Ω(s) 1 + = U (s) Rf + sJ R + sL Rf + sJ R + sL (Rf + sJ) (R + sL) + KT KE KT Ω(s) = U (s) (Rf + sJ) (R + sL) (Rf + sJ) (R + sL)En recherchant le rapport entre la vitesse de rotation Ω(s) et la tension U (s) appli-quée au moteur, on obtient sa fonction de transfert Ω(s) rad/sec Gmot (s) ≡ (2.58) U (s) V KT Gmot (s) = s2 JL + s (JR + LRf ) + KT KE + R Rfque lon peut écrire dans les formes de Laplace ou de Bode Ω(s) KT 1 Gmot (s) ≡ U (s) = JL (2.59) R Rf KT KE +R Rf s2 + s L + J + JL KT 1 Gmot (s) = JR+LRf (2.60) KT KE + RRf 1 + s + s2 KT KJL f KT KE +RRf E +RRCest cette dernière qui est généralement utilisée pour décrire le moteur DC. On voitainsi que le moteur est représenté par un système dordre 2 caractérisé par son gain KT rad/sec Kmot = (2.61) KT KE + RRf V66 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 82. 2.6. Un système électromécanique : le moteur DCet deux constantes de temps qui sont linverse de la valeur absolue des pôles de lafonction de transfert car, de par sa réalisation, un moteur DC est stable et ne peutpas avoir de comportement oscillant KT 1 Gmot (s) = (2.62) KT KE + RRf (1 + s τ1 ) (1 + s τ2 )2.6.3. Temps caractéristiquesLes pôles p1,2 de la fonction de transfert sont les les racines de son dénominateur R Rf KT KE + R R f s2 + s + + = (s − p1 ) (s − p2 ) L J JLIls valent   2 1  R Rf R Rf KT KE + R R f  p1,2 = − + ± + −4 (2.63) 2 L J L J JLOn notera que, dans cette expression, on peut négliger le terme Rf /J par rapportà R/L car on a vu que de manière générale, on a τmec = J/Rf τelt = L/R. Deplus, dans le cas de moteurs dont la puissance est supérieure à quelques dizainesde watts, les pertes électriques et mécaniques dues, respectivement, à la résistancedu bobinage R et au coecient de frottement Rf sont négligeables par rapport auxpuissances électrique et mécanique mises en jeu. Le produit des coecients de coupleKT et de fem KE est alors beaucoup plus important que le produit des coecientsde pertes R et Rf KT KE RRf (2.64)Ce qui donne   2 1  R R KT KE  p1,2 − ± −4 (2.65) 2 L L JL 1 KT KE − 1± 1−4 τelt (2.66) 2 τelt JROn constate ainsi que les pôles du moteur, donc ses constantes de temps, ne dé-pendent pratiquement pas des pertes mécaniques et lon a 1 τ1,2 2 τelt (2.67) 1± 1 − 4 KT R E τelt J K2.6.4. Schéma fonctionnelGénéralement, on préfère décrire et analyser le fonctionnement dun système com-plexe à laide dun schéma fonctionnel plutôt quavec les équations diérentielles. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 67
  • 83. 2. Modélisation des systèmes analogiques ue(t) KE u(t) 1 i(t) Cmot(t) 1 ω(t) 1 θ(t) Σ KT Σ R + sL Rf + sJ s Cext Fig. 2.15.: Schéma fonctionnel dun moteur DCLusage du schéma fonctionnel est en eet plus souple car celui-ci peut contenir ledétail des fonctions de transfert partielles interconnectées entre elles ou, au contraire,être ramené à un seul bloc traduisant le fonctionnement global du système.Prenant comme exemple le moteur DC, son schéma fonctionnel (gure 2.15) se des-sine aisément à partir de ses fonctions de transfert. En eet, partant de la descriptiondu courant 1 I(s) = (U (s) − KE Ω(s)) (2.68) R + sLon en déduit le couple moteur Cmot (s) = I(s) KT (2.69)À celui-ci, on peut ajouter un couple extérieur et obtenir ainsi le couple total fournià la charge Ctot (s) = Cmot + Cext = I(s) KT + Cext (2.70)La vitesse du moteur vaut alors 1 Ω(s) = (I(s) KT + Cext ) (2.71) Rf + sJCes équations conduisent tout naturellement au schéma fonctionnel de la gure 2.15.Dans ce schéma, on a encore ajouté le passage de la vitesse à la position angulairequi se fait par simple intégration t 1 θ(t) = ω(t) dt ⇔ Θ(s) = Ω(s) (2.72) 0 s2.6.5. Approximation dordre 1Comme la constante de temps électrique τel = L/R est beaucoup plus petite quela constante de temps mécanique τmec = J/Rf , il est fréquent de considérer quelinductance L a un eet négligeable et que le moteur peut être modélisé par unsystème dordre 1 KT 1 Gmot (s) = (2.73) KT KE + RRf 1 + s K KJR R T E +R f68 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 84. 2.6. Un système électromécanique : le moteur DCIl est alors caractérisé par son gain et sa constante de temps KT rad/sec JR Kmot = τmot [sec] (2.74) KT KE + R R f V KT KE + R R fDans le cas où lon peut négliger les pertes, on obtient 1 1 Gmot (s) (2.75) KE 1 + s KJR T KEAvec ces approximations, le gain du moteur et sa constante de temps valent simple-ment 1 rad/sec JR Kmot τmot [sec] (2.76) KE V KT KE2.6.6. Eets dun réducteurDans lutilisation des moteurs, il est fréquent dy adjoindre un réducteur an dadap-ter la charge au moteur (gure 2.16). Cela conduit généralement à une augmentationdu couple utile donc à une diminution de la vitesse de rotation de la charge. Cesrelations sont aisément démontrées grâce aux lois fondamentales. Pour le voir, consi-dérons un réducteur décrit par le rapport des engrenages n2 (côté charge) et n1 (côtémoteur) n2 N≡ >1 (2.77) n1 ωmot Jmot ; Rf,mot n1 Jch ; Rf,ch n2 ωch Fig. 2.16.: RéducteurPositions et vitesses Légalité des chemins parcourus (s(t) = θ(t) r) par la cir-conférence des engrenages donne n1 1 θmot n1 = θch n2 ⇒ θch = θmot = θmot (2.78) n2 NIl en est de même pour les vitesses n1 1 ωmot n1 = ωch n2 ⇒ ωch = ωmot = ωmot (2.79) n2 N c 2008 freddy.mudry@gmail.com 69
  • 85. 2. Modélisation des systèmes analogiquesCouples De plus, la conservation de lénergie dun corps en rotation permet décrire dWmot = Cmot dθmot = dWch = Cch dθchdoù dθmot n2 Cch = Cmot = Cmot = N Cmot (2.80) dθch n1Paramètres de la charge ramenés vers le moteur Partant de la conservationde la puissance entre lentrée et la sortie du réducteur, on peut montrer que lesparamètres mécaniques de la charge (son inertie Jch , ses frottements Rf, ch et sonélasticité κch ) sont vus par le moteur avec les valeurs suivantes 1 1 1 J= Jch Rf = Rf, ch κ= κch (2.81) N2 N2 N2Rendement Enn, il ne faut pas oublier que le réducteur possède sa propre inertieet que son rendement nest pas très bon. Celui-ci dépend du type de réducteur, dunombre détages et diminue dautant plus que le rapport de réduction est grand.Voici quelques chires pour un réducteur à pignons droits. Rapport de réduction 15 :1 30 :1 60 :1 100 :1 Nombre détages 3 3 4 4 Rendement η [%] 73 73 66 66Le rendement η dun réducteur entraîne à une diminution du couple transmis à lacharge Cch = η N Cmot (2.82)On peut alors montrer que le terme de transformation 1/N 2 des paramètres de lacharge vus par le moteur doit prendre en compte le rendement de la manière suivante 1 1 −→ (2.83) N2 η N2Paramètres vus par le moteur Ainsi, dans les équations dun moteur couplé àune charge, il faudra bien prendre garde à reporter les paramètres globaux du moteuret de la charge tels que 1 J = Jmot + Jch (2.84) η N2 1 Rf = Rf, mot + Rf, ch (2.85) η N2 1 κ = κmot + κch (2.86) η N270 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 86. 2.7. Comportement dun moteur DC2.7. Comportement dun moteur DC2.7.1. Paramètres dun moteurAn de rendre les choses plus concrètes, appliquons ce que nous venons de voir enconsidérant un moteur à courant continu réel de type Maxon RE75-118825 dont lache technique est présentée dans la gure 2.17. Le moteur choisi a une puissance 3de 250 W, pèse 2.8 kg et mesure 75x75x201 mm .Lors de la lecture des caractéristiques techniques, il est important de bien considérerla signication des grandeurs fournies par les catalogues car les appellations varientdun constructeur à lautre. Dans notre cas, on a les équivalences présentées dans letableau 2.2. Catalogue Cours Courant à vide I0 Courant asymptotique i∞ pour u(t) = U0 Vitesse à vide n0 Vitesse asymptotique n∞ pour u(t) = U0 Courant de démarrage Courant à rotor bloqué U0 /R Constante de vitesse Gain du moteur Kmot 1/KE Cte de temps mécanique Cte de temps du moteur τmot JR/(KT KE ) Tab. 2.2.: Équivalence des appellationsDe plus, parmi les nombreuses valeurs fournies par le constructeur, on ne garderaque celles correspondant aux paramètres fondamentaux du moteur ainsi que lesparamètres du modèle dordre 1. Ces valeurs sont présentées dans le tableau 2.3. Paramètres Valeurs Unités Symboles Valeurs SI Unités SI Tension nominale 48.0 V U0 48.0 V Courant à vide 0.147 A I0 ≡ i∞ 0.147 A Vitesse à vide 1940 tr/min ω0 ≡ ω∞ 203 rad/sec Inertie du rotor 1420 gcm 2 Jmot 0.142 · 10−3 kgm 2 Résistance du bobinage 1.42 Ω R 1.42 Ω Inductance du bobinage 0.64 mH L 0.64 · 10−3 H Constante de couple 233 mNm/A KT 0.233 Nm/A Constante de vitesse 41.1 (tr/min)/V Kmot 4.3 (rad/sec)/V −3 Constante de temps 4 msec τmot 4 · 10 sec Tab. 2.3.: Paramètres fondamentaux dun moteur et modèle dordre 12.7.2. Comportement statiqueCouple maximum Le courant et le couple du moteur sont maximums lorsque lerotor est bloqué car la fem KE ω(t) est alors nulle. Ils valent alors U0 U0 Imax = = 34 [A] Cmax = KT = 7.9 [Nm] R R c 2008 freddy.mudry@gmail.com 71
  • 87. 2. Modélisation des systèmes analogiques maxon DC motorRE 75 75 mm, Commutation Graphite, 250 WattCaractéristiques moteur: Numéros de commande Sans surveillance des balais 118819 118820 118821 118822 118823 118824 118825 118826 118827 118828 118829 Avec surveillance des balais 118832 118833 118834 118835 118836 118837 118838 118839 118840 118841 118842 1 Puissance conseillée W 250 250 250 250 250 250 250 250 250 250 250 2 Tension nominale Volt 12.0 24.0 36.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 3 Vitesse à vide tr/min 1850 2770 2890 3100 2480 2300 1940 1550 1270 1150 1020 4 Couple de démarrage Nm 6.27 10.9 11.4 12.3 9.72 8.83 7.87 6.23 4.93 4.48 3.91 5 Pente vitesse/couple tr/min/mNm 0.314 0.263 0.259 0.257 0.260 0.264 0.250 0.253 0.261 0.261 0.265 6 Courant à vide mA 571 520 367 306 214 190 147 105 79 69 58 7 Courant de démarrage A 108 136 98.4 84.5 53.5 45.0 33.9 21.4 13.8 11.4 8.82 8 Résistance aux bornes Ohm 0.111 0.176 0.366 0.568 0.897 1.07 1.42 2.24 3.47 4.21 5.44 9 Vitesse limite tr/min 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 400010 Courant permanent max. A 10.00 9.70 7.23 5.98 4.89 4.53 3.98 3.21 2.61 2.38 2.1011 Couple permanent max. mNm 581 775 841 869 889 888 924 933 928 933 93012 Puissance max. fournie à la tension nom. W 273 748 838 973 618 521 393 249 161 133 10313 Rendement max. % 77 84 85 86 86 86 86 85 84 84 8314 Constante de couple mNm/A 58.1 79.9 116 145 182 196 233 291 356 392 44315 Constante de vitesse tr/min/V 164 119 82.1 65.7 52.6 48.7 41.1 32.9 26.8 24.3 21.516 Constante de temps mécanique ms 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 417 Inertie du rotor gcm2 1400 1460 1420 1400 1380 1360 1420 1400 1360 1360 134018 Inductivité mH 0.04 0.08 0.16 0.25 0.39 0.46 0.64 1.01 1.51 1.83 2.3419 Résistance therm. carcasse/air ambiant K/W 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 1.320 Résistance therm. rotor/carcasse K/W 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.621 Constante de temps thermique du bobinage s 100 110 100 100 99 97 100 100 97 97 95Plages dutilisation Légende Explications page 36 Programme Stockn [tr/min] Programme Standard Plage de puissance conseillée4500 Programme Spécial (sur demande!) 250 Watt Plage de fonctionnement permanent.3500 Compte tenu des résistances thermiques (lignes 19 et 20) et de la température ambiante Système de surveillance des balais (Option) à 25˚C, la température max. du rotor sera atteinte. Le signal de sortie est donné par un contact2500 = Limite thermique. unipolaire d’ouverture. Puissance applicable au contact max. 3 W1500 Tension de coupure max. 150 VDC Fonctionnement intermittent. La surcharge doit être de courte durée. Courant de coupure max. 0.25 ADC500 Presse-étoupe PG 7 M [mNm] diamètre d’ouverture 5 - 7 mm 500 1000 1500 2000 2500 2 4 6 I [A] Connectique moteur 118829 Moteur avec bobinage à haute résistance Cosse à câble rond 6 mm 118821 Moteur avec bobinage à basse résistance Presse-étoupe PG 13 5 10 15 20 25 I [A] diamètre d’ouverture 8 - 15 mmConstruction modulaire maxon section recommandée du cable 2 x 4 mm2 Jeu axial < 0,15 mmRéducteur planétaire Frein 81 mm 75 mm Roulements à billes (fixe sur la face avant)20-120 Nm 24 VDC, 1.2 Nm Charge maximum des roulementsDétail page 167 Détail page 189 axiale (dynamique) 70 N Codeur digital radiale (à 5 mm de la face) 350 N HP HEDS 5540 Chassage (statique) 420 N 500 imp., 3 canaux (statique, axe soutenu) 12000 N Détail page 176 Températures d’utilisation -20/+100˚C Codeur digital Température rotor max. +125˚C HP HEDL 5540 500 imp., 3 canaux Nombre de lames au collecteur 26 Détail page 178 Poids 2800 g Les caractéristiques moteur du tableau sont des valeurs nominales. Option: Arbre de sortie avec clavette A5 de passage (5x5x25 DIN 6885) sur demande66 maxon DC motor Edition Avril 2000 / Modifications réservées Fig. 2.17.: Fiche technique des moteurs RE7572 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 88. 2.7. Comportement dun moteur DCFonctionnement à vide Par fonctionnement à vide, on désigne le comportementdu moteur seul (sans charge et sans couple extérieur) alimenté par sa tension nomi-nale constante U0 . Dès que le régime transitoire est terminé, la vitesse et le courantsont constants et on a di(t) L = 0 = u(t) − R i(t) − KE ω(t) dt dω(t) J = 0 = KT i(t) − Rf ω(t) dtDe la première équation, on déduit le coecient de force électromotrice KE qui,comme on peut le constater, est très légèrement supérieur à KT U0 − R I0 48 − 1.42 · 0.147 V KE = = = 0.235 ω0 203 rad/secDe la deuxième équation, on tire le coecient de perte mécanique KT I0 0.233 · 0.147 Nm Rf = = = 0.17 · 10−3 ω0 203 rad/secConnaissant ces valeurs, on peut calculer le gain du moteur qui relie la vitesse derotation ω∞ à la tension appliquée U0 KT 0.233 rad/sec Kmot = = = 4.23 KT KE + RRf 0.233 · 0.235 + 1.42 · 0.17 · 10−3 VOn notera que le gain ainsi trouvé est pratiquement égal à la constante de vitessefournie par le constructeur tr/min rad/sec Kmot,c = 41.1 = 4.3 V VRemarque Comme mentionné plus haut, on peut voir que le produit des para-mètres de puissance est beaucoup plus important que le produit des paramètres deperte KT KE = 55 · 10−3 R Rf = 0.24 · 10−32.7.3. Comportement dynamiqueDans le cas où lon bloque le rotor, le comportement électrique est décrit par laconstante de temps L τelt = = 0.45 [ms] RInversement, si on fait tourner sur le rotor avec le circuit électrique ouvert, sa dy-namique est décrite par J τmec = = 840 [ms] Rf c 2008 freddy.mudry@gmail.com 73
  • 89. 2. Modélisation des systèmes analogiquesCeci dit, il est très important de réaliser que, à cause du couplage électromécanique-mécanique, ces deux temps caractéristiques nont aucun intérêt pratique dès linstantoù le moteur est entraîné par une tension électrique. Le comportement dynamiquedu moteur ne peut alors être connu quà partir de lanalyse des pôles de sa fonctionde transfert KT 1 Gmot (s) = JR+LRf KT KE + RRf 1 + s + s2 KT KJL f KT KE +RRf E +RRDans le cas particulier du moteur RE75, elle vaut 1 Gmot (s) = 4.23 1 1 1+ 272 s+ (778)2 s2On en déduit immédiatement le gain statique du moteur qui relie sa vitesse à latension appliquée et les pôles de Gmot (s)  ω∞ rad/sec  −1901 [1/sec] Kmot ≡ = 4.23 p1,2 = U0 V −319 [1/sec] Ceux-ci nous permettent de calculer les constantes de temps du moteur représentépar un modèle dordre 2 1 1 τ1 = = 0.53 [msec] τ2 = = 3.1 [msec] |p1 | |p2 |et de décrire le moteur par sa fonction de transfert dordre 2 1 Gmot (s) = Kmot (2.87) (1 + s τ1 ) (1 + s τ2 )Modèle dordre 1 Dans le cas où on néglige leet de linductance, on obtient unmodèle approximatif dordre 1 du moteur susant pour une première évaluation ducomportement dynamique du moteur. La fonction de transfert devient alors 1 Gmot (s) ≡ Kmot 1 + s τmot KT 1 KT KE + RRf 1 + s K KJR +RR T E fDoù KT KT 1 rad/sec Kmot = = = 4.23 KT KE + RRf KT KE KE V JR JR τmot = = 3.7 [msec] τ1 + τ2 KT KE + RRf KT KELa valeur de la constante de temps ainsi trouvée est très proche de celle proposée parla che technique τmot = 4 [msec]. On notera que la constante de temps du moteur74 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 90. 2.7. Comportement dun moteur DCest pratiquement égale à la somme des deux constantes de temps du système dordre2 et quelle est plus grande que la constante de temps électrique mais beaucoup pluspetite que la constante de temps mécanique τelt < τmot τmecLes graphes de la gure 2.18 illustrent le comportement du moteur RE75 représentépar le modèle dordre 2 et celui fournit par le constructeur 1 Gmot,c (s) = 4.3 1 + 4 · 10−3 s 2000 1500 n(t) [tr/min] 1000 500 0 0 5 10 15 20 25 30 35 30 25 20 i(t) [A] 15 10 5 i(∞) = 0.147 [A] 0 0 5 10 15 20 25 30 t [ms]Fig. 2.18.: Vitesse de rotation et courant dun moteur DC avec son approximation dordre 12.7.4. ExempleOn charge un moteur RE75-118825 avec un disque en acier de diamètre D = 20 [cm],dépaisseur e = 2 [cm] au travers dun réducteur planétaire GP81 de rapport N = 14et de rendement η =75%. An de chirer les frottements agissant sur la charge, ona lancé le disque seul sur son axe et on a observé quil sarrête après environ 10secondes. On demande de calculer 1. les paramètres du moteur KE et Rf ; 2. les paramètres de la charge mch , Jch et Rf,ch ; c 2008 freddy.mudry@gmail.com 75
  • 91. 2. Modélisation des systèmes analogiques 3. la charge totale vue par le moteur ; 4. les constantes de temps électrique et mécanique ; 5. la fonction de transfert du moteur et ses temps caractéristiques ; 6. son modèle dordre 1 ainsi que son gain et sa constante de temps ; 7. la vitesse de rotation n∞ du moteur et le courant consommé i∞ lorsque le moteur est alimenté par sa tension nominale.Une fois ces calculs fait, on esquissera les évolutions temporelles de la vitesse et ducourant.SolutionLes paramètres intéressants fournis par la che technique du moteur RE75 sont lessuivants R = 1.42 Ω U0 = 48 V L = 0.64 mH I0 = 147 mA KT = 0.233 Nm/A n0 = 1940 rpm Jmot = 1420 g cm2Connaissant les valeurs SI de Jmot = 1420 · 10−7 = 1.42 · 10−4 kg m 2 ω∞ = 2πn0 /60 = 203 rad/secon peut alors calculer les points suivants.Paramètres du moteur KE et Rf Du fonctionnement à vide du moteur, on tire U0 − R I0 48 − 1.42 · 0.147 V KE = = = 0.235 ω0 203 rad/sec KT I0 0.233 · 0.147 Nm Rf,mot = = = 0.17 · 10−3 ω0 203 rad/secParamètres de la charge Le disque en acier de rayon Rd = 0.1 [m] et dépaisseured = 2 [cm] possède une masse et une inertie valant md = ρπRd ed = 7800 · π · 0.12 · 0.02 = 4.9 kg 2 2 Rd 2 Jd = m d = 0.0245 kg m 2Le lancement du disque seul lancé sur son axe a montré quil sarrête après environ10 secondes. On en déduit que sa constante de temps vaut environ ttrans τd = 2 sec 5et que les pertes mécaniques peuvent être représentées par un frottement visqueuxdont le coecient vaut 2 Jd 24.5 · 10−3 kg m Rf,d = = = 12.2 · 10−3 Nm/(rad/sec) τd 2 sec76 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 92. 2.7. Comportement dun moteur DCCharge totale vue par le moteur Comme le disque es relié au moteur à traversun réducteur de rapport N = 14 et de rendement η = 75%, la charge totale entraînéepar le moteur vaut 1 J = Jmot + Jd = 0.309 · 10−3 kg m2 η N2 1 Rf = Rf, mot + Rf, d = 0.25 · 10−3 NM/(rad/sec) η N2Constantes de temps électrique et mécanique Par dénition, celles-ci valent L J τelt = = 0.45 msec, τmec = = 1.22 sec R RfFonction de transfert du moteur avec sa charge On a vu plus haut que lafonction de transfert dun moteur sécrit KT 1 Gmot (s) = JR+LRf KT KE + RRf 1 + s + s2 KT KJL f KT KE +RRf E +RROn en déduit son gain ω∞ KT Kmot ≡ = = 4.22 rad/sec/V U0 KT KE + RRfqui peut être calculé par rapport à n∞ = ω∞ /2π/60 n∞ 60 Kmot, n ≡ = Kmot = 40.3 rpm/V U0 2πLe dénominateur de Gmot (s) JR + LRf JL D(s) = 1 + s + s2 KT KE + RRf KT KE + RRf = 1 + 7.95 · 10 s + 3.59 · 10−6 s2 −3permet de calculer les pôles et constantes de temps du moteur avec sa charge −134 1/sec 1 7.5 msec p1,2 = ⇒ τ12 ≡ = −2086 1/sec |p1,2 | 0.5 msecModèle dordre 1 Dans le cas où un des temps caractéristiques est très petit parrapport à lautre, on peut considérer que le système dordre 2 peut être assimilé àsystème dordre 1 : D(s) = (1 + sτ1 ) · (1 + sτ1 ) = 1 + s (τ1 + τ2 ) + s2 τ1 τ2 1 + s (τ1 + τ2 )Ce qui conduit à un modèle décrit par 1 40.3 [rpm/V] Gmot, n (s) Kmot, n = 1 + s (τ1 + τ2 ) 1 + 8 · 10−3 s c 2008 freddy.mudry@gmail.com 77
  • 93. 2. Modélisation des systèmes analogiquesÉvolution de la vitesse et du courant En régime permanent et à tension nomi-nale, on a : n∞ = U0 Kmot, n 1936 rpm U0 − KE ω∞ i∞ = 0.22 A RLévolution de la vitesse de rotation et du courant consommé est illustrée par lesgraphes de la gure 2.19 où lon a porté également les résultats de lapproximationdordre 1. 2000 1500 n(t) [tr/min] 1000 500 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 35 i(∞) = 0.22 [A] 30 25 20 i(t) [A] 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 t [ms] Fig. 2.19.: Vitesse et courant dun moteur DC chargé par un disque2.8. Simulation dun moteur DCDans cette section, on montre comment on peut obtenir des informations détailléesconcernant le fonctionnement dun moteur DC grâce à la simulation et, plus parti-culièrement, comparer les réponses du modèle complet (ordre 2) avec celles de sonapproximation dordre 1.Remarque liminaire Matlab travaille avec des objets fonction de transfert dénispar la commande tf. Grâce à cela, comme on va le voir, il est extrêmement simplede décrire des systèmes linéaires et danalyser leur comportement comme on le feraitsur une feuille de papier.78 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 94. 2.8. Simulation dun moteur DCInitialisation On doit dabord initialiser le programme Matlab et fournir les gran-deurs de la che technique. % Simulation dun moteur DC sans charge % fmy - janvier 2006 clear all ; close all ; format compact ; clc % fiche technique du moteur RE075 U0 = 48 ; % tension nominale I0 = 0.147 ; % courant à vide n0 = 1940 ; % vitesse à vide en tr/min KT = 0.233 ; % cte de couple Kv = 41.1 ; % cte de vitesse Jm = 0.142e-3 ; % inertie du rotor R = 1.42 ; % résistance aux bornes L = 0.64E-3 ; % inductance aux bornesParamètres On calcule ensuite les paramètres intéressants du moteur. % parametres du moteur w0 = n0/60*2*pi % vitesse à vide en rad/sec KE = (U0 - R*I0)/w0 % constante de fem Rf = KT*I0/w0 % coeff. de frottement visqueux Cmax = KT*U0/R % couple maximum Telt = L/R % cte de temps electrique Tmec = Jm/Rf % cte de temps mecanique Tmot = Jm*R/KT/KE % cte de temps du moteur KT_KE = KT*KE % termes de puissance R_RF = R*Rf % termes de pertesFonction de transfert du moteur Avec Matlab, le calcul de la réponse dunsystème linéaire se fait à partir de la donnée de la fonction de transfert. Dans notrecas : Ω(s) 1 Gmot (s) ≡ U (s) = Kmot 1 1 1+ Q0 ωn s+ ωn2 s2 KT 1 = JR+LRf KT KE + RRf 1 + s + s2 KT KJL f KT KE +RRf E +RRCette fonction de transfert est dénie à laide de son gain, son numérateur et sondénominateur KT 1 1 Kmot = N (s) = 1 D(s) = 1 + s + 2 s2 KT KE + RRf Q0 ωn ωn % fonction de transfert du moteur Kmot = KT /(KT*KE + R*Rf) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 79
  • 95. 2. Modélisation des systèmes analogiques wn = sqrt((KT*KE + R*Rf)/(Jm*L)) Q0_wn = (KT*KE + R*Rf)/(Jm*R + L*Rf) Q0 = Q0_wn / wn num_Gmot = 1 ; den_Gmot = [1/wn^2, 1/Q0_wn, 1] Gmot = tf(Kmot*num_Gmot,den_Gmot) ;Vitesse de rotation Le calcul de la réponse du moteur à un saut de tension sefait avec la fonction lsim (simulation de systèmes linéaires) à laquelle on passe lafonction de transfert et le signal dentrée. % grandeurs temporelles tmax = 30e-3 ; Npts = 1000 ; dt = tmax/Npts ; tt = 0 :dt :tmax-dt ; % reponse indicielle Umot = U0*ones(size(tt)) ; % tension appliquée Umot(1) = 0 ; wt = lsim(Gmot,Umot,tt) ; % rotation en rad/sec nt = wt/2/pi*60 ; % rotation en tr/min % graphes subplot(2,1,1) ; plot(tt*1000,nt,LineWidth,2) ; grid on ; ylabel(n(t) [tr/min]) ; axis([-2,30,-100,2100]) ;Courant consommé Comme on vient de le voir, les réponses temporelles sontcalculées à partir des fonctions de transfert. Pour calculer le courant consommé, ilfaut donc dénir une fonction de transfert correspondant au courant. Celle-ci esttout simplement égale à ladmittance représentée par la résistance et linductance UZ (s) 1 I(s) ≡ = UZ (s) Y (s) = (U (s) − KE Ω(s)) Z(s) R + sLConnaissant la tension aux bornes de ladmittance Y (s) uRL (t) = U0 − KE ω(t)on pourra calculer le courant i(t) avec la fonction lsim puis le représenter dans ungraphe. % courant Ys = tf(1, [L,R]) ; ut_RL = Umot - KE*wt ; it = lsim(Ys,ut_RL,tt) ; it_inf = it(end)80 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 96. 2.8. Simulation dun moteur DC % graphes subplot(2,1,2) ; plot(tt*1000,it,LineWidth,2) ; grid on ; ylabel(i(t) [A]) ; xlabel(t [ms]), axis([-2,50,-1.5,35]) ; % pose en p0 dun rectangle blanc de cotes dp p0 = [20,2] ; dp = [9,8] ; px = p0(1)+[0,0,dp(1),dp(1)] ; py = p0(2)+[0,dp(2),dp(2),0] ; patch(px,py,w) ; % affichage du texte texte = [i(infty) = , num2str(it_inf,3), [A]] ; text(p0(1)+0.1*dp(1),p0(2)+0.5*dp(2),texte) ;Dynamique du moteur Des informations particulières telles que les constantesde temps τ1,2 du moteur, la durée du régime transitoire, le courant et la vitessemaximums peuvent être achées dans la fenêtre de commandes avec ces quelqueslignes % infos p12 = roots(den) tau_12 = 1./abs(p12) t_trans = 5*max(tau_12) i_max = max(it) n_max = max(nt)Approximation dordre 1 Pour terminer lanalyse temporelle, il est intéressantde comparer les résultats ci-dessus avec lapproximation dordre 1 proposée par leconstructeur 1 Gmot,1 (s) Kmot 1 + s τmot % approximation dordre 1 (fiche technique) K_mot = 41.1 ; % tr/min/V tau_mot = 4e-3 ; Gmot1 = tf(K_mot,[tau_mot,1]) ; nt1 = lsim(Gmot1,Umot,tt) ; it1 = U0/R*exp(-tt/tau_mot) ; it1(1) = 0 ; subplot(2,1,1) ; hold on ; plot(tt*1000,nt1, :) ; subplot(2,1,2) ; hold on ; plot(tt*1000,1t1, :) ; c 2008 freddy.mudry@gmail.com 81
  • 97. 2. Modélisation des systèmes analogiquesOn peut alors noter que lapproximation, bien que grossière, donne une assez bonneidée du comportement du moteur. Les graphes associés à ces calculs sont présentésdans la gure 2.20. 2000 1500 n(t) [tr/min] 1000 500 0 0 5 10 15 20 25 30 35 30 25 20 i(t) [A] 15 10 5 i(∞) = 0.147 [A] 0 0 5 10 15 20 25 30 t [ms] Fig. 2.20.: Vitesse de rotation et courant dun moteur DCRéponse fréquentielle Lanalyse du comportement du moteur peut être complé-tée par la représentation de sa réponse fréquentielle G(jω). Dans Matlab, celle-cise calcule aisément avec la fonction freqs(num,den,w). Le code nécessaire pour lecalcul et le traçage de la réponses fréquentielle est le suivant. % reponse frequentielle fmin =1 ; fmax = 1000 ; ff = logspace(log10(fmin),log10(fmax),500) ; Gmot_jw = freqs(num_Gmot,den_Gmot,2*pi*ff) ; Gmot_db = 20*log10(abs(Gmot_jw)) ; figure ; subplot(2,1,1) ; semilogx(ff,Gmot_db,LineWidth,2) ; hold on ; semilogx([fmin,fmax],(max(Gmot_db)-3)*[1,1]) ; grid on ; title(Réponse fréquentielle dun moteur DC) ; ylabel(G_{dB}(f)) ; subplot(2,1,2) ; semilogx(ff, angle(Gmot_jw)/pi*180,LineWidth,2) ; grid on ;82 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 98. 2.9. Conclusion générale ylabel(angle G(jf)) ; xlabel(fréquence [Hz]) ; 20 10 0 GdB(f) −10 −20 −30 0 1 2 3 10 10 10 10 0 −50 ∠ G(jf) −100 −150 −200 0 1 2 3 10 10 10 10 fréquence [Hz] Fig. 2.21.: Réponse fréquentielle dun moteur DCLobservation de la réponse fréquentielle montre que la bande passante du moteurà vide est légèrement inférieure à 50Hz et que le moteur est donc capable de suivreune commande sinusoïdale dune dizaine de Hz.2.9. Conclusion généraleÀ lissue de ce chapitre, il est intéressant de remarquer que pour étudier les systèmesanalogiques on est amené à devoir utiliser lensemble des connaissances acquisesdans la formation de base des ingénieurs à savoir les mathématiques, la mécanique,lélectricité, la physique, lélectromagnétisme, la simulation numérique.Comme on a pu le constater, létude de ces systèmes nous oblige à faire la synthèsede notre savoir ; chaque branche étudiée doit donc souvrir aux autres sciences etêtre maîtrisée si lon veut les appliquer au monde réel. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 83
  • 99. 2. Modélisation des systèmes analogiques2.10. ExercicesSanl 1 Le graphe de la gure 2.22 représente les résultats de mesure dune bobineà noyau ferromagnétique. Proposez un modèle pouvant représenter ces résultats ettirez-en les valeurs des composants. 6 10 5 10 4 10 |Z(jf)| [Ω] 3 10 2 10 1 10 0 1 2 3 4 5 6 10 10 10 10 10 10 10 fréquence [Hz] Fig. 2.22.: Mesure de limpédance dune bobineSanl 2 On sintéresse ici au mouvement dune masse m suspendue à un ressort deconstante k et damortissement λ. 1. Dessinez le schéma technologique représentant ce système et écrivez son équa- tion diérentielle en considérant quon applique à la masse une force F (t). 2. Calculez la fonction de transfert G(s) reliant la position y(t) à la force F (t) ; écrivez-la dans la forme canonique de Laplace. Tirez-en les expressions de ωn , ζ et Q0 . 3. Montrez que les pôles dun système oscillant dordre 2 valent p1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ2 Sachant quon dénit 1 τ= et ωp = ωn 1 − ζ2 ζωn montrez que 2 1 ωn = ωp + τ284 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 100. 2.10. Exercices 4. Lapplication à linstant t=0 de la force F (t) = −mg conduit au mouvement y(t) présenté à la gure 2.23. Déduisez de ce graphe la constante de temps de lamortissement et la période de loscillation. Tirez-en les valeurs numériques de ωn , ζ et Q0 . 5. Sachant que la masse m vaut 100 grammes, calculez la constante de rappel du ressort et le coecient damortissement. 6. Comment justiez-vous la valeur de la position nale ( −62 mm) de la masse ? 0 −2 −4 y(t) [cm] −6 −8 −10 −12 0 5 10 15 temps [sec] Fig. 2.23.: Position dune masse suspendue à un ressortSanl 3 On considère un seau deau de diamètre D1 = 25 [cm] dont la base estpercée dun trou de diamètre D2 = 1 [cm]. Admettant quon le remplit avec un débitconstant de 1, 2 ou 3 [dl/sec], calculez la hauteur déquilibre et le temps nécessairepour latteindre. Quelle relation voyez-vous apparaître entre le débit, la hauteuratteinte et la durée de remplissage ?Sanl 4 On sintéresse ici au comportement dune masse suspendue à un ressortdont on a mesuré la caractéristique F (y). Celle-ci est manifestement non linéaire(gure 2.24). Le polynôme dordre 3 passant au mieux parmi les points mesurés estle suivant F (y) = 11655 y 3 − 8365 y 2 + 2050 y − 160 [N ]On notera que cette expression na pas de sens en dehors du domaine mesuré car pourune élongation nulle (y = 0), le ressort fourni une force négative (F (0) = −160 [N ]). c 2008 freddy.mudry@gmail.com 85
  • 101. 2. Modélisation des systèmes analogiques 12 11 10 9 8 F(y) [N] 7 6 5 4 3 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 y [m] Fig. 2.24.: Caractéristique statique dun ressort 0.21 0.205 0.2 y(t) 0.195 0.19 0.185 0.18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t [sec] M = 0.8 [kg] Fig. 2.25.: Position dune masse suspendue à un ressort86 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 102. 2.10. Exercices 1. Sachant que le point de suspension du ressort est xe, dessinez le schéma technologique représentant ce système et écrivez son équation diérentielle linéaire autour du point déquilibre xé par le poids de la masse. 2. Admettant que les pertes sont faibles, rappelez sous forme littérale ce que valent la constante de temps damortissement et la période doscillation en fonction de k et m. 3. Considérant que la masse suspendue vaut 0.4, 0.8 ou 1.0 [kg] et sachant que le coecient délasticité autour dun point de fonctionnement est déni par dF N k= dy y=Y0 m quels seront les positions déquilibre et coecients délasticité respectifs ? 4. Si la masse oscille légèrement autour de sa position déquilibre, on peut consi- dérer que le système est linéaire. Lenregistrement de la gure 2.25 permet destimer que le coecient damortissement λ vaut environ 1 [N/(m/sec)]. Pour chacune des trois masses, calculez la période doscillation, la constante de temps et le nombre de périodes visibles. 5. A partir de lenregistrement de la position dune masse de 0.8 kg (gure 2.25), pouvez-vous trouver les coecient délasticité k et de frottement λ du ressort ?Sanl 5 On considère ici le comportement dun petit moteur DC (P=11W, D=32mm,L=45mm) ; ses paramètres sont donnés dans le tableau 2.4. Calculez leurs valeursSI et complétez le tableau. Paramètres Valeurs Unités Symboles Valeurs SI Unités SI Tension nominale 18 V U0 V Courant à vide 37 mA I0 ≡ i∞ A Vitesse à vide 8000 tr/min ω0 ≡ ω∞ rad/sec 2 2 Inertie du rotor 18.4 gcm Jmot kgm Résistance du bobinage 5.5 Ω R Ω Inductance du bobinage 0.8 mH L H Constante de couple 20.8 mNm/A KT Nm/A Constante de f.e.m KE Coe. de frottement Rf Tab. 2.4.: Paramètres dun moteur 1. Rappelez les équations diérentielles du moteur DC. Que deviennent-elles en régime permanent ? 2. De ces deux équations, tirez les deux paramètres KE et Rf manquants dans le tableau 2.4 ; précisez leurs unités. 3. Calculez la fonction de transfert du moteur Gmot (s) ; exprimez-la dans la forme de Bode. Que vaut son gain (avec ses unités) ? Quelle signication lui donnez- vous ? c 2008 freddy.mudry@gmail.com 87
  • 103. 2. Modélisation des systèmes analogiques 4. Calculez les pôles et les constantes de temps du moteur ; que pensez-vous de leurs valeurs respectives ? Pouvez négliger lune dentre elles ? Écrivez lap- proximation dordre 1 de Gmot (s). 5. Écrivez lexpression de la vitesse Ω(s). Que valent ses pôles ? Tirez-en la forme générale de ω(t). Calculez les vitessesω(0+ ) et ω(∞) ainsi que n(∞) [tr/min]. Conclusion ? 6. Esquissez avec soin lévolution de la vitesse du moteur lorsquon lui applique la tension nominale.Sanl 6 On considère ici un micro-moteur DC 3257 Faulhaber dont la che tech-nique est donnée à la gure 2.26. Pour le moteur 24V, on demande : 1. De la che technique, extrayez les informations nécessaires à la modélisation du moteur. 2. Quel est le modèle dordre 1 proposé par le constructeur ? Que vaut le couple maximum que peut fournir le moteur ? 3. Calculez les coecient de fem et de frottement ainsi que les constantes de temps électrique et mécanique. 4. Calculez la fonction de transfert du moteur. Tirez-en le gain, les pôles et constantes de temps du modèle dordre 2. Est-il raisonnable dadopter un mo- dèle dordre 1 ? Si oui, que vaut-il ? 5. Comparez ces grandeurs avec celles fournies par le constructeur ainsi quavec τelt et τmec . 6. On alimente le moteur à sa tension nominale ; calculez la vitesse de rotation du moteur et le courant consommé en régime permanent. 7. Esquissez les réponses indicielles n(t) et i(t).Sanl 7 On charge un moteur Faulhaber 3257-24V avec un disque en acier de dia-mètreD = 8 [cm], dépaisseur e = 2 [cm] au travers dun réducteur G32-3 de rapportN = 14 et de rendement η =80%. Admettant que les pertes vues par le moteur ontsimplement doublé sous leet de la charge, calculez 1. le modèle dordre 1 de lensemble ; 2. la durée du régime transitoire, le courant consommé i∞ et la vitesse n∞ de la charge.Sanl 8 On considère ici un micro-moteur DC RE13-118467 de faible puissanceet haute vitesse. De la che technique, on a tiré les paramètres présentés dans letableau 2.5. 1. Quel est le modèle dordre 1 proposé par le constructeur ? Que vaut le couple maximum que peut fournir le moteur ?88 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 104. 2.10. ExercicesFig. 2.26.: Fiche technique des moteurs Faulhaber 3257 c 2008 freddy.mudry@gmail.com 89
  • 105. 2. Modélisation des systèmes analogiques Paramètres Symboles Valeurs Unités Tension nominale U0 9.0 V Courant à vide I0 28 mA Vitesse à vide n0 17200 tr/min Constante de couple KT 4.95 mNm/A 2 Inertie du rotor Jmot 0.484 gcm Résistance du bobinage R 3.5 Ω Inductance du bobinage L 0.11 mH Constante de vitesse Kmot 1930 tr/min/V Cte de temps du moteur τmot 7 ms Puissance P 2.5 W 2 Dimensions DxL 13x32 mm Poids m 25 gr Tab. 2.5.: Paramètres dun moteur DC RE13 2. Calculez le coecient de frottement ainsi que les constantes de temps électrique et mécanique. 3. Dessinez le schéma fonctionnel du moteur avec le couple extérieur. 4. Calculez les fonctions de transfert tension-vitesse Gmot (s) = Ω(s)/U (s), tension- position Gθ (s) = Θ(s)/U (s) et couple-vitesse GC (s) = Ω(s)/Cext (s). Écrivez- les sous forme canonique. 5. Que valent le gain, les pôles et constantes de temps du moteur ? 6. Comparez ces grandeurs avec celles fournies par le constructeur ainsi que τelt et τmec . Est-il raisonnable dadopter un modèle dordre 1 ? Si oui, que vaut-il ? 7. Est-il raisonnable de négliger les pertes ? Chirez lerreur ainsi commise. 8. On alimente le moteur à sa tension nominale ; calculez la vitesse de rotation du moteur et le courant consommé en régime permanent. 9. Esquissez les réponses indicielles n(t) et i(t). 10. On freine le moteur avec un couple extérieur Cext = 5 [mNm] ; que valent alors la vitesse de rotation ω∞ du moteur et le courant consommé i∞ ?90 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 106. 3. Éléments de régulation automatiqueLa régulation automatique est une technique de lingénierie orant les méthodes etles outils nécessaires à la prise de contrôle dune ou plusieurs grandeurs physiquesdun système en vue den imposer le comportement. Avec le qualicatif automa-tique, on admet quaucune intervention humaine nest nécessaire pour atteindre cetobjectif.Ce chapitre a pour but de sensibiliser létudiant à ce quest la régulation automatiqueet lui donner une information susante pour aborder des problèmes simples.3.1. Schémas fonctionnelsLorsque lon veut décrire avec précision un système réel, on découvre fréquemmentque les choses ne sont pas simples, en particulier parce que des interactions existententre les parties. La démarche la plus simple consiste alors à remplacer chaque partiepar des blocs fonctionnels que lon relie entre eux. La liaison des blocs entre eux formeun schéma fonctionnel.Cette représentation est abondamment utilisée car elle permet danalyser un sys-tème dans son ensemble sans sencombrer des détails de réalisation. De plus, ellecorrespond aux représentations utilisées dans les logiciels où la programmation estfaite sous forme graphique (Simulink, Spice, etc).3.1.1. Schéma à contre-réactionUn schéma de base important est celui des systèmes à rétroaction tel quil est illustrépar la gure 3.1. Il est constitué dune branche directe dans laquelle on trouve le blocG(s) et dune branche de rétroaction H(s) aboutissant au sommateur Σ. Celui-cipeut faire la somme ou la diérence des deux signaux ; dans le premier cas, on parlerade réaction positive et, dans le deuxième, de réaction négative ou plus simplementde contre-réaction.Lécriture des équations correspondantes et leur résolution nous permettent de rem-placer lensemble du schéma fonctionnel par un seul bloc : la fonction de transferten boucle fermée Gf (s). Les équations correspondant au schéma sont : E(s) = W (s) − F (s) 91
  • 107. 3. Éléments de régulation automatique W E Y Σ G F H Fig. 3.1.: Système à contre-réaction F (s) = Y (s) H(s) Y (s) = E(s) G(s)En portant la première et la deuxième équations dans la troisième, il vient Y (s) = (W (s) − F (s)) G(s) = (W (s) − Y (s) H(s)) G(s) = W (s) G(s) − Y (s) H(s) G(s)En regroupant les termes en Y (s), on obtient la relation fondamentale des systèmesà contre-réaction G(s) Y (s) = W (s) (3.1) 1 + G(s) H(s)On peut ainsi dénir la fonction de transfert en boucle fermée Y (s) G(s) Gf (s) ≡ = (3.2) W (s) 1 + G(s) H(s)Cette fonction de transfert est susamment importante pour quon lui donne lenom de formule de lautomaticien . On notera que le produit G(s) H(s) forme lafonction de transfert en boucle ouverte F (s) Go (s) ≡ = G(s) H(s) (3.3) E(s)Dans cas particulier fréquent où la branche de retour représentée par H(s) est unsimple l (retour unitaire), on a bien évidemment H(s) = 1, F (s) = Y (s)doù Y (s) Go (s) Go (s) = = G(s), Gf (s) = (3.4) E(s) 1 + Go (s)3.1.2. Schéma général dun système asserviUn système asservi est généralement décrit à laide dun schéma fonctionnel (-gure 3.2) constitué de blocs ayant chacun une signication précise (cf. tableau). Un92 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 108. 3.1. Schémas fonctionnels Consigne Ecart Commande Perturbation Grandeur réglée v(t) w(t) e(t) u(t) x(t) Σ Régulateur Actionneur Processus Comparateur y(t) Capteur Grandeur réglée mesurée Système à réglerÉlément Fonction Exemple AmplicateurComparateur Il construit le signal derreur diérentiel Il traite le signal derreur et construitRégulateur Régulateur PID le signal de commandeOrgane de Amplicateur Il agit directement sur le processuscommande de puissanceProcessus Linstallation à asservir Moteur Il forme une image y(t) aussi dèle DynamoCapteur que possible de la grandeur réglée x(t) tachymétriqueSignal Remarques Exemple Signal à poursuivre, généralementConsigne w(t) déterministe et déni pour une Une rampe [V] application donnée La vitesse deGrandeur Grandeur physique (avec ses unités x(t) o rotationréglée propres [ C], [m], [m/s]) [rad/sec]Grandeur Image de la grandeur physique, Limage de laréglée y(t) généralement une tension électrique vitesse [V]mesurée [V] Signal délivré par le régulateur à Tension deCommande u(t) lactuateur commande [V] Signal aléatoire représentant les Couple extérieurPerturbation v(t) perturbations intervenant sur le [Nm] système à régler Diérence entre la consigne et la Tension décartÉcart e(t) grandeur réglée mesurée y(t) [V] Fig. 3.2.: Éléments constitutifs dun système asservi c 2008 freddy.mudry@gmail.com 93
  • 109. 3. Éléments de régulation automatiqueexemple de composants et signaux est donné dans le cas particulier dun asservisse-ment de la vitesse de rotation dun moteur électrique. On notera quavec le schémaadopté, le système à régler comprend tous les éléments (actionneur, processus,capteur, etc) se trouvant entre la commande u(t) délivrée par le régulateur et lagrandeur mesurée y(t).3.1.3. Fonctions de transfert dun système asservi V(s) W(s) E(s) U(s) Y(s) Σ Gc(s) Ga1(s) Σ Ga2(s) Fig. 3.3.: Schéma fonctionnel universelLes techniques de transformation et réduction des schémas fonctionnels permettentde présenter le schéma fonctionnel dun système asservi quelconque sous la formeuniverselle de la gure 3.3. On notera que ce schéma universel est à retour unitaireet que les fonctions de transfert décrivant lensemble du système asservi sont le régulateur ou organe de commande Gc (s) ; la partie Ga1 (s) du processus avant le signal de perturbation v(t) ; la partie Ga2 (s) du processus après le signal de perturbation v(t).À partir de ces fonctions de transfert particulières, on peut calculer les fonctions detransfert générales décrivant : 1. Le système à régler Y (s) Ga (s) ≡ = Ga1 (s) Ga2 (s) (3.5) U (s) v(t)=0 2. Le système en boucle ouverte Y (s) Go (s) ≡ = Gc (s) Ga (s) (3.6) E(s) boucle ouverte Dans ce cas,la branche de retour nest pas reliée au comparateur. 3. Le système en régulation de correspondance Y (s) Go (s) Gw (s) ≡ = (3.7) W (s) v(t)=0 1 + Go (s) dont le but est de suivre la consigne w(t).94 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 110. 3.2. Analyse de systèmes simples 4. Le système en régulation de maintien Y (s) Ga2 (s) Gv (s) ≡ = (3.8) V (s) w(t)=0 1 + Go (s) qui a pour tâche de maintenir la grandeur réglée y(t) égale à la consigne w(t) malgré la présence de perturbations v(t). 1.5 w(t) y(t) 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1.5 w(t) v(t) y(t) 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 temps Fig. 3.4.: Régulation de correspondance (en haut) et de maintien (en bas)La gure 3.4 illustre les réponses temporelles obtenues dans les deux modes de régu-lation automatique. Dans la réalité, les deux modes coexistent obligatoirement car lerégulateur réagit à toute forme derreur quelle quen soit la cause (consigne variablew(t) ou perturbation aléatoire v(t)). La réponse complète se calcule simplement parsuperposition des deux réponses indépendantes Y (s) = Yw (s) + Yv (s) = Gw (s) W (s) + Gv (s) V (s) (3.9)Par transformation inverse de Laplace, on obtient naturellement y(t) = yw (t) + yv (t) (3.10)3.2. Analyse de systèmes simplesOn considère ici un asservissement très simple constitué seulement dun gain variableKa positif et dun système décrit par sa fonction de transfert Ga (s) (gure 3.5). c 2008 freddy.mudry@gmail.com 95
  • 111. 3. Éléments de régulation automatique W(s) E(s) U(s) Y(s) Σ Ka Ga(s) Fig. 3.5.: Système asservi élémentaire3.2.1. Systèmes dordre 1Considérons un système dordre 1 décrit par Y (s) 1 Ga (s) ≡ = U (s) 1 + sτLa fonction de transfert en boucle ouverte vaut alors Y (s) 1 Go (s) ≡ = Ka E(s) 1 + sτElle est caractérisée par son gain Ka et sa constante de temps τ.Fonction de transfert en b.f. La fonction de transfert en boucle fermée se calculesimplement à partir de la formule de lautomaticien pour donner 1 Y (s) Ka 1+sτ Ka Gf (s) ≡ = 1 = W (s) 1 + Ka 1+sτ 1 + Ka + sτEn écrivant Gf (s) sous forme canonique Ka 1 Gf (s) = τ 1 + Ka 1 + s 1+Kaon voit que le système asservi est caractérisé par un gain inférieur à Ka et uneconstante de temps plus rapide que τ Ka τ Kf = < 1, τf = <τ 1 + Ka 1 + KaComportement transitoire On rappelle que le comportement transitoire des sys-tèmes est décrit par les pôles de la fonction de transfert. Dans ce cas, Gf (s) étantdordre 1, il ny a quun pôle qui vaut 1 + Ka p1 = − τLe pôle étant à partie réelle négative, le système asservi sera toujours stable suivantla valeur du gain, on obtient les réponses indicielles illustrées par les graphes de lagure 3.6.96 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 112. 3.2. Analyse de systèmes simples 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 y(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 b.o. Ka = 4 0 0 0 1 2 3 0 1 2 3 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 y(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 Ka = 8 Ka = 12 0 0 0 1 2 3 0 1 2 3 temps temps Im Re 0 -1/τFig. 3.6.: Réponses indicielles dun système asservi dordre 1 et déplacement du pôle b.f. dans le plan complexe c 2008 freddy.mudry@gmail.com 97
  • 113. 3. Éléments de régulation automatiqueLieu du pôle en b.f. Il est intéressant de constater que, lorsque le gain Ka aug-mente, le pôle p1 devient de plus en plus négatif. On voit ainsi que le système boucléest dautant plus rapide que le gain Ka est élevé. Une illustration du déplacementdu pôle dans le plan complexe est présentée dans la gure 3.6.3.2.2. Systèmes dordre 2On reprend le système ci-dessus en lui ajoutant simplement une intégration Y (s) 1 Ga (s) ≡ = U (s) s (1 + sτ )La fonction de transfert en boucle ouverte est alors dordre 2 et elle vaut Y (s) 1 Go (s) ≡ = Ka E(s) s (1 + sτ )On notera que sa réponse indicielle augmente linéairement avec le temps à cause delintégrateur. Ce qui correspond au fait que le gain DC dun système intégrateur estinni.Fonction de transfert en b.f. Le calcul de la fonction de transfert en bouclefermée donne 1 Y (s) Kas (1+sτ ) Ka Gf (s) ≡ W (s) = 1 = 1+ Ka s (1+sτ ) s2 τ + s + KaEn écrivant Gf (s) sous forme canonique 1 1 Gf (s) = 1 τ = 2 1+s Ka + s2 Ka 1 + 2ζ s + s ωn ωnon voit que le système dordre 2 conduit à une fonction de transfert Gf (s) caractériséepar : 1. Un gain DC égal à 1 grâce au terme intégrateur 1/s de la fonction de transfert Go (s) Kf = 1 2. Une pulsation naturelle variable qui augmente avec le gain Ka Ka ωn = τ 3. Un coecient damortissement qui diminue avec le gain Ka ωn 1 ζ= = √ 2 Ka 2 Ka τ98 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 114. 3.2. Analyse de systèmes simples 15 1.5 10 1 y(t) 5 0.5 b.o. Ka = 0.2 0 0 0 5 10 15 0 5 10 15 1.5 1.5 1 1 y(t) 0.5 0.5 Ka = 1 Ka = 4 0 0 0 5 10 15 0 5 10 15 temps temps Im p1 p2 p1 Re 0 -1/τ p 2Fig. 3.7.: Réponses indicielles dun système asservi dordre 2 et déplacement des pôles b.f. dans le plan complexe c 2008 freddy.mudry@gmail.com 99
  • 115. 3. Éléments de régulation automatiqueComportement transitoire On voit ainsi (gure 3.7) que, dans un premier temps,la rapidité de la réponse augmente avec Ka . Puis, ζ diminuant, la réponse devientde plus en plus oscillante (ζ < 1) sans que la durée du régime transitoire ne changecar le produit ζωn est constant 1 Ka 1 ζωn = √ = 2 Ka τ τ 2τOn peut décrire plus précisément le comportement transitoire du système en calcu-lant ses pôles qui sont les racines du dénominateur D(s) = s2 + 2ζωn s + ωn 2Ces pôles sont au nombre de 2 et valent p1,2 = −ζωn ± (ζωn )2 − ωn = −ζωn ± ωn 2 ζ2 − 1On voit ainsi que pour de faibles gains , on a 1 ζ≥1 ⇔ Ka ≤ 4τCe qui conduit à deux racines réelles négatives : une lente : p1 = −ζωn + ωn ζ2 − 1 < 0 une rapide : p2 = −ζωn − ωn ζ 2 − 1 < p1 < 0Dans le cas de forts gains , on a 1 ζ<1 ⇔ Ka > 4τCe qui donne deux racines conjuguées complexes p1,2 = −ζωn ± j ωn 1 − ζ2La partie réelle détermine la rapidité du système bouclé 1 1 τbf = = = 2τ |Re (p1,2 )| ζωnalors que la partie imaginaire xe la pulsation doscillation de la réponse transitoire ωp = |Im (p1,2 )| = ωn 1 − ζ2Les deux pôles étant à partie réelle négative, on en conclut que le système asservisera toujours stable quelle que soit la valeur de Ka supérieure à 0.100 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 116. 3.2. Analyse de systèmes simplesLieu des pôles en b.f. Une analyse plus détaillée de la valeur des pôles p1,2 enfonction du gain Ka permet de voir les éléments suivants : 1. Pour ζ ≥ 1, cest-à-dire Ka ≤ 1/(4τ ), les pôles sont situés entre lorigine du plan complexe et le pôle en boucle ouverte −1/τ 1 − < p1,2 < 0 τ Leur déplacement respectif conduit à une réponse indicielle qui tend de plus en plus rapidement vers la valeur asymptotique. 2. Pour ζ < 1, cest-à-dire Ka > 1/(4τ ), les pôles ont une partie réelle constante et une partie imaginaire qui augmente avec Ka 1 Re (p1,2 ) = −ζ ωn = − 2τ 1 1 Im (p1,2 ) = ± ωn 1 − ζ2 = ± τ Ka − τ 4 Comme la partie réelle reste constante, la rapidité du système ne change plus. Par contre, comme la partie imaginaire augmente en valeur absolue, la période doscillation diminue et le dépassement augmente fortement. En choisissant √ ζ = 1/ 2, on obtient un bon compromis entre la rapidité du temps de montée et un faible dépassement.Une illustration du déplacement des deux pôles dans le plan complexe lorsque Kavarie de 0 à ∞ est présentée dans la gure 3.7.3.2.3. Systèmes dordre supérieur à 2Comme exemple illustratif, considérons un système dordre 3 décrit par 1 Ga (s) = (1 + s τ1 ) (1 + s τ2 ) (1 + s τ3 )La fonction de transfert en boucle ouverte vaut alors Y (s) 1 Go (s) ≡ = Ka E(s) (1 + s τ1 ) (1 + s τ2 ) (1 + s τ3 )Elle est caractérisée par son gain Ka et ses trois constantes de temps τ1,2,3 .Fonction de transfert en b.f. Le calcul de la fonction de transfert en bouclefermée donne 1 Y (s) Ka (1+s τ1 )(1+s τ2 )(1+s τ3 )Gf (s) ≡ = 1 W (s) 1 + Ka (1+s τ1 )(1+s τ2 )(1+s τ3 ) Ka = Ka + (1 + s τ1 ) (1 + s τ2 ) (1 + s τ3 ) Ka = 1 + Ka + (τ1 + τ2 + τ3 ) s + (τ1 τ2 + τ1 τ3 + τ2 τ3 ) s2 + (τ1 τ2 τ3 ) s3 c 2008 freddy.mudry@gmail.com 101
  • 117. 3. Éléments de régulation automatiqueOn voit ainsi que le système dordre 3 bouclé sur lui-même conduit à une fonctionde transfert Gf (s) dordre 3 caractérisée par : 1. Un gain DC Ka Kf = 1 + Ka 2. Un dénominateur dordre 3 dont les racines dépendent de Ka .Lieu des pôles en b.f. Une analyse plus détaillée de la valeur des pôles p1,2,3 enfonction du gain Ka permet de voir que les pôles partent des pôles en boucle ouvertepour tendre vers trois asymptotes formant des angles égaux à π/3. Une illustrationen est présentée dans la gure 3.8. On constate ainsi, que dans le cas de systèmesdordre supérieur à 2, la contre-réaction peut conduire à des pôles à partie réellepositive. Le système devient alors instable. Une illustration des réponses indiciellesest donnée à la gure 3.8.3.2.4. ConclusionsDes trois exemples ci-dessus, on peut tirer les conclusions générales suivantes. Dansun système asservi : 1. Lordre du système asservi reste le même que celui du système en boucle ouverte. 2. Le gain en boucle fermée Kf est inférieur au gain Ka ; il tend vers 1 si Ka devient inniment grand. 3. Si le système contient une intégration, le gain en boucle fermée Kf vaut 1. 4. La rapidité du système bouclé augmente avec Ka . 5. Laugmentation du gain Ka peut rendre le système asservi instable.102 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 118. 3.2. Analyse de systèmes simples Im p1 p3 Re 0 -1/τ3 -1/τ2 -1/τ1 p2 1.5 2 b.o. Ka = 1 1.5 1 y(t) 1 0.5 0.5 0 0 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 2 4 Ka = 4 Ka = 12 3 1.5 2 1 y(t) 1 0 0.5 −1 −2 0 −3 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 temps tempsFig. 3.8.: Déplacement des trois pôles b.f. dans le plan complexe et réponses indi- cielles dun système asservi dordre 3 c 2008 freddy.mudry@gmail.com 103
  • 119. 3. Éléments de régulation automatique3.3. Calcul dun asservissement de positionOn considère à nouveau le moteur DC RE75 suivi dun réducteur GP81 pour entraî-ner un disque en acier tel quil a été étudié dans le chapitre précédent. Cependant,an de pouvoir asservir la position du disque, on y ajoute un amplicateur de puis- osance et un capteur de position potentiométrique tournant sur 360 environ.Sachant que le réducteur a un rapport N = 14 et un rendement η = 75% et que lepotentiomètre est alimenté par ±15 [V], on demande : 1. Dessinez les schémas technologique et fonctionnel du système asservi compre- nant lamplicateur, le moteur (modèle dordre 1), le réducteur et le capteur de position. 2. Calculez la valeur numériques des paramètres du moteur Kmot , τmot ainsi que le gain Kθ du capteur de position. 3. Calculez les fonctions de transfert en boucles ouverte et fermée. 4. Calculez le gain Ka de lamplicateur de puissance pour avoir une réponse optimum. 5. Calculez le temps de réglage de la position du disque.Solution1) Schémas technologique et fonctionnel du système asservi104 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 120. 3.3. Calcul dun asservissement de position2) Valeurs des paramètres Kmot , τmot , Kθ c 2008 freddy.mudry@gmail.com 105
  • 121. 3. Éléments de régulation automatique3) Fonctions de transfert en boucles ouverte et fermée106 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 122. 3.3. Calcul dun asservissement de position4) Gain de lamplicateur et temps de réglage de la position du disque 1.2 1.2 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 y(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 Ka = 15 Ka = 30 0 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 y(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 Ka = 45 Ka = 60 0 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 temps [sec] temps [sec] Réponses indicielles dun asservissement de position c 2008 freddy.mudry@gmail.com 107
  • 123. 3. Éléments de régulation automatique3.4. Étude dun asservissement avec MatlabÉnoncé du problème On considère ici lasservissement dun système décrit parles fonctions de transfert du régulateur Gc (s) et du processus Ga (s) 2+s 1 Gc (s) = Ga (s) = 5s 1 + 2s + 3s2Le but poursuivi est de trouver le gain Ka de lamplicateur an que la réponseindicielle ait un dépassement denviron 10% (ceci est un bon compromis entre letemps de montée et la durée du régime transitoire).Initialisation du chier On commence par écrire lentête dun chier que lonenregistre sous un nom permettant de le retrouver facilement % fichier : xple_asserv.m % fmy - janvier 2006 % Analyse dun asservissement clear all ; close all ; clc ; format compact ; format short g ;Donnée des fonctions de transfert Celles-ci sont décrites par le numérateur etdénominateur fournis sous forme de polynômes en s dans lordre décroissant % fonctions de transfert num = [1,2] ; den = [5,0] ; Gcs = tf(num,den) ; num = 1 ; den = [3,2,1] ; Gas = tf(num,den) ; % fonction de transfert en b.o. Ka = 1 ; Gos = Ka *Gcs * GasDans la fenêtre de commandes, Matlab ache alors le résultat suivant : Transfer function : s + 2 --------------------- 15 s^3 + 10 s^2 + 5 sDynamique du système en b.o. Pour connaître le comportement transitoire,on extrait les numérateur et dénominateur de Go (s) an de calculer les pôles dusystème : [num_Go, den_Go] = tfdata(Gos, value) ; zk = roots(den_Go)108 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 124. 3.4. Étude dun asservissement avec Matlab pk = roots(den_Go) tau_k = 1 ./ abs(real(pk)) T_k = 2*pi ./ abs(imag(pk)) t_trans = 5*tau_k N_osc = t_trans ./ Tp_kOn obtient alors les résultats suivants : zk = pk = -2 -0.333 ± j0.471 tau_k = T_k = Inf Inf 3 13.329 3 13.329 t_trans = N_osc = Inf NaN 15 1.1254 15 1.1254La constante de temps τk et la période Tk inniment grandes proviennent du pôlenul dû à lintégration. Pour le reste, on voit que le système en boucle ouverte a uncomportement légèrement oscillant durant environ 15 secondes. Une illustration dela dérivée du signal de sortie en b.o. est donnée dans le premier graphe de la gure3.9.Fonction de transfert en boucle fermée Avec Ka = 1, le calcul de la fonctionde transfert en boucle fermée Gfs = Gos / (1+Gos)fournit le résultat suivant Transfer function : 15 s^4 + 40 s^3 + 25 s^2 + 10 s ------------------------------------------------------ 225 s^6 + 300 s^5 + 265 s^4 + 140 s^3 + 50 s^2 + 10 sCe résultat est surprenant, car on sait que la boucle dasservissement ne changepas lordre du système qui dans notre cas vaut 3. Le résultat ci-dessus vient du faitquune simplication est possible entre le numérateur et le dénominateur. On peutle voir en demandant lachage de Gf (s) avec la fonction zpk (zéro, pôle, gain) : zpk(Gfs)qui ache le résultat suivant Zero/pole/gain : 0.0667 s (s+2) (s^2 + 0.6667s + 0.3333) --------------------------------------------------------------- s (s+0.4431) (s^2 + 0.2236s + 0.3009) (s^2 + 0.6667s + 0.3333) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 109
  • 125. 3. Éléments de régulation automatiqueOn voit alors quune simplication par s (s^2 + 0.6667s + 0.3333) est possible.Celle-ci sobtient avec la commande minreal (réalisation minimum) : Gfs = minreal(Gfs)On obtient alors le résultat attendu : Transfer function : 0.06667 s + 0.1333 ----------------------------------- s^3 + 0.6667 s^2 + 0.4 s + 0.1333Analyse du système asservi Le système décrit par la fonction de transfert ci-dessus est dordre 3. Il possède un zéro et trois pôles z1 = −2 [1/sec] p1 = −0.443 [1/sec] p2,3 = −0.1118 ± j 0.537 [1/sec]On en déduit les temps caractéristiques suivants τ1 = 1/0.443 = 2.26 [sec] τ2,3 = 1/0.1118 = 8.94 [sec] ttrans = 5 τ2,3 44 [sec] Tp,2,3 = 2π/0.637 = 11.7 [sec] Nosc = 5τ23 /Tp,2,3 = 3.8 [périodes]Du théorème des valeurs limites, on tire les valeurs initiale et nale de sa réponseindicielle 1 0.1333 y(t → 0) = s Y (s)|s→∞ = s Gf (s) = =0 s s→∞ s3 s→∞ 1 0.1333 y(t → ∞) = s Y (s)|s→0 = s Gf (s) = =1 s s→0 0.1333On peut ainsi relever que grâce au terme dintégration présent dans Gc (s), la valeurnale y(∞) est égale à la consigne. Par contre, cette réponse indicielle est loin dêtreoptimale puisque lon peut compter presque quatre périodes doscillation pendantla durée transitoire ; ce qui est conrmé par le deuxième graphe de la gure 3.9. Onest donc amené à devoir réduire le gain Ka du système asservi pour diminuer cetteoscillation et, éventuellement, réduire la durée de réglage ou, ce qui est équivalent,son temps détablissement.110 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 126. 3.4. Étude dun asservissement avec MatlabRéponse indicielle en b.f. Pour le calcul et traçage de celle-ci, il faut dénirauparavant le domaine temporel et la consigne w(t) : % reponse temporelle npts = 1000 ; tmax = 30 ; dt = tmax/npts ; tt = 0 :dt :tmax-dt ; % saut de consigne damplitude A A = 2; wt = A*ones(size(tt)) ; wt(1) = 0 ;On calcule ensuite la réponse temporelle à un signal quelconque avec la fonctionlsim (simulation de systèmes linéaires). Dans le cas de réponse indicielle, on peutse contenter dutiliser la fonctionstep. Le calcul et traçage des réponses indiciellespour diérentes valeurs de gain Ka sont illustrés dans la gure 3.9. figure ; Ka = [0.2,0.3,0.5,0.65] ; for k1 = 1 :length(Ka) Gfs = Ka(k1)*Gos / (1+Ka(k1)*Gos) ; Gfs = minreal(Gfs) ; yt = lsim(Gfs,wt,tt) ; subplot(2,2,k1) ; plot(tt,yt,LineWidth,2) ; axis([-0.5,tmax,-0.05,2.5]) ; grid on ; texte = [K_a = , num2str(Ka(k1),2)] ; if (k1 == 1) | (k1 == 3), ylabel(y(t)), end ; if (k1 == 3) | (k1 == 4), xlabel(temps), end ; legend(texte,4) ; end ; c 2008 freddy.mudry@gmail.com 111
  • 127. 3. Éléments de régulation automatique 1.5 0.5 0.4 1 dy(t) / dt 0.3 y(t) 0.2 0.5 0.1 0 b.o. b.f.: Ka = 1 0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 temps temps 1.2 1.2 1 1 0.8 0.8 y(t) 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 Ka = 0.2 Ka = 0.3 0 0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 1.2 1.2 1 1 0.8 0.8 y(t) 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 Ka = 0.5 Ka = 0.65 0 0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 temps temps Fig. 3.9.: Réponses indicielles dun système asservi avec son optimisation112 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 128. 3.5. Une application : le circuit PLL3.5. Une application : le circuit PLLLes circuits à verrouillage de phase, communément désigné sous le nom de PLL(Phase Locked Loop) sont employés dans de très nombreuses applications tellesque la démodulation de fréquence, la démodulation damplitude, la multiplicationde fréquence, la synchronisation de signaux, etc. Vous trouverez une descriptiondétaillée du fonctionnement des PLL avec de nombreux exemples dapplicationsdans louvrage de Michel Girard [2]. u2(t) u3(t) u4(t) u2(t) Détecteur Filtre VCO de phase passe-bas u1(t) 10 u1(t) 5 u2(t) 0 u3(t) −5 0 1 2 3 4 5 6 3 2.5 u4(t) 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 temps [ms] Fig. 3.10.: Schéma de principe et signaux temporels dun PLLLes éléments nécessaires à la réalisation dun tel système sont présentés avec lessignaux dans la gure 3.10. On y trouve un détecteur de phase, un ltre passe-baset un oscillateur commandé en tension (VCO). Avec le circuit PLL, on asservit lafréquence de loscillateur interne de manière à le synchroniser au signal de référenceappliqué en entrée. Ce circuit est donc un système à contre-réaction dont le signaldentrée est la pulsation ω1 (t) de la tension u1 (t) alors que le signal de sortie est lapulsation ω2 (t) de la tension u2 (t). Lillustration des signaux présents dans un circuità verrouillage de phase montre très bien que, dans un premier temps (3msec environ),le PLL tente de saccrocher au signal dentrée. Dès lors quil y est parvenu, il secomporte comme un système linéaire. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 113
  • 129. 3. Éléments de régulation automatique3.5.1. Démodulation FMAn de rendre les choses plus concrètes, on peut encore décrire et observer lessignaux rencontrés dans une opération de modulationdémodulation (gure 3.11 ).Ces signaux correspondent à lémission et réception de signaux FM. On y trouve : 1. Le message à transmettre représenté ici par une sinusoïde de fréquence fm = 1kHz. 2. Le signal envoyé par lémetteur, de fréquence centrale fc = 15kHz, qui transmet le message en variant légèrement celle-ci. 3. Le signal binaire lui correspondant. 4. Le signal de sortie du PLL. 5. Le signal fourni par le détecteur de phase. 6. Le signal démodulé comparé avec le message original. message signal émis Uin, pll Uout, pll Uxor message retardé signal démodulé 0 1 2 3 4 5 temps [msec] Fig. 3.11.: Signaux dun modulateurdémodulateur FMIl est bien clair que les fréquences dun système FM réel sont diérentes puisqueles émetteurs de radio FM transmettent les signaux audio (50Hz à 20kHz) avec unefréquence centrale denviron 100MHz.114 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 130. 3.5. Une application : le circuit PLL 9 S OUR C E 10 S F out F OLLOWE R VC O in RSF P C A in 14 E XTE R NAL P HAS E 2 OR 13 9 VC O 4 VC O out @ F R E QUE NC Y f 3 LOW–PAS S C OMPAR ATOR P C 1out 11 12 6 7 @ F R E QUE NC Y Nf = f F ILTE R P C B in OR C IA C IB P C 2out R1 R2 CI E XTE R NAL ÷N C OUNTE R Typic al L ow–P as s F ilters Typically: (a) R3 (a) R3 OUTP UT OUTP UT R4 C2 6N – N INP UT INP UT fmax 2 f C2 1 2 fL R4 2fC (R 3 3, 000 ) C 2 100N f – R C R3 C2 fmax 2 4 2 C2 ∆ f = fmax – fminNOT E : S ometimes R 3 is s plit into two s eries res is tors each R 3 ÷ 2. A capacitor C C is then placed from the midpoint to ground. T he value for C C s hould be s uch that the corner frequency of this network does not s ignificantly affect ωn. In F igure B , the ratio of R 3 to R 4 s ets the damping, R 4 (0.1)(R 3) for optimum res ults . L OW–PA S S F ILT E R F ilter A F ilter BDefinitions : N = Total divis ion ratio in feedback loop K φ = V DD /π for P has e C omparator 1 K KVCO K KVC O K φ = V DD /4 π for P has e C omparator 2 n NR 3 C 2 n NC 2 (R 3 R 4 ) 2 fV C O KVC O V DD – 2 V N n N 2 fr 0.5 n (R 3 C 2 ) for a typical des ign ωn (at phas e detector input) 2K K V C O K KVC O 10 ζ 0.707 1 R 3C 2S 1 F (s ) F (s ) R 3C 2S 1 S (R 3 C 2 R 4 C 2 ) 1 Waveforms P has e C omparator 1 P has e C omparator 2 V DD V DD P C A in P C A in VS S VS S V OH V OH P C B in P C B in V OL V OL V OH V OH P C 1out LD V OL V OL V OH V OH VC O in P C 2out V OL V OL V OH VC O in V OL 1 Note: for further information, s ee: (1) fmin ardner, “P has e–Lock Techniques ”, J C O input = V SSS ) New York, 1966. F. G = (V ohn Wiley and on, R 2 (C 1 + 32 pF ) (2) G . S . Mos chytz, “Miniature R C F ilters Us ing P has e–Locked Loop”, B S T J , May, 1965. (3) G arth Nas h, “P has e–Lock Loop Des ign F undamentals ”, AN–535, Motorola Inc. 1 (4)fmax .=P rzedpels ki, “P has e–Locked Loop C O ign Articles ”, AR 254, reprinted by Motorola Inc. A. B + fmin (V Des input = V DD ) R 1 (C 1 + 32 pF ) F igure 3. G eneral P has e–L oc ked L oop C onnec tions and Waveforms Where: 10K R1 1M 10K R2 1M 100pF C1 .01 µF Fig. 3.12.: Extraits de la che technique du circuit MC14046B c 2008 freddy.mudry@gmail.com 115
  • 131. 3. Éléments de régulation automatique3.5.2. Description dun circuit PLLLe circuit analysé par la suite est un 4046B (gure 3.12) pouvant travailler jusquàdes fréquences de quelques MHz. Il est constitué de deux détecteurs de phase (nom-més I et II), dun VCO et dun amplicateur suiveur de tension. Pour mener à bienson étude, il faut commencer par décrire exactement ce que fait chaque partie ducircuit PLL.Détecteur de phaseLe détecteur de phase I, dont on soccupera ici, est une simple porte XOR recevantdeux signaux carrés (gure 3.13). Son signal de sortie est un signal rectangulairedont le rapport cyclique dépend de la diérence de phase entre les signaux dentrée.La tension moyenne, obtenue par ltrage passe-bas, est donc une mesure directe dece déphasage VDD U3, moy = ∆ϕ (3.11) πFiltre passe-bas ou à retard de phaseLe ltre passe-bas, nécessaire pour transmettre au VCO la tension moyenne enprovenance du détecteur de phase, est un circuit externe composé de une ou deuxrésistances (R3 et R4 ) et dune capacité C2 (gure 3.14).Caractéristique du VCOLe domaine de fréquence dans lequel travaillera le VCO est choisi à laide des com-posants externes R1 , R2 et C1 . La caractéristique dun VCO est présentée dans lagure 3.15a . On y voit que pour une tension dentrée comprise entre Vmin et VDD ,la fréquence varie entre fmin et fmax et que f0 est la fréquence obtenue lorsqueU4 = VDD /2. Ces trois fréquences dépendent essentiellement des composants ex-ternes R1 , R2 et C1 et relativement peu de la tension dalimentation VDD .A la lecture des données fournies par les fabricants, on constate que les relationspermettant dévaluer la caractéristique du VCO sont très variables. On peut ce-pendant retenir les relations suivantes valables pour une alimentation unipolaireVDD = 5 [V ] : 1 fmin Vmin 2V (3.12) R2 (C1 + Cp ) 1 fmax fmin + (3.13) R1 (C1 + Cp )avec 10 kΩ ≤ R1,2 ≤ 1 MΩ, 100 pF ≤ C1 ≤ 10 nF et Cp 35 pF. On admet générale-ment que loscillateur est au repos lorsque la tension dentrée vaut VDD /2. Il oscillealors à sa fréquence de repos f0 .116 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 132. 3.5. Une application : le circuit PLL u1(t) A u2(t) A 3 C B XOR 2 B 14 u3(t) C t 0 ∆t T/2 T ϕ 0 ∆ϕ π 2π Fig. 3.13.: Signaux dun circuit XOR R3 R3 R4 U3 U4 U3 U4 C2 C2 Fig. 3.14.: Filtre passe-bas et ltre à retard de phase fvco VDD fmax u4(t) 8 5 16 u2(t) VCO 9 4 11 12 6 7 f0 R1 R2 fmin C1 (a) U4 (b) 0 Vmin VDD / 2 VDDFig. 3.15.: Caractéristique dun VCO (a) et son schéma de réalisation (b)ω1 ∆ω ∆ϕ u3 u4 ω2 Σ G1(s) Kϕ G2(s) Kvcou1 u2 Fig. 3.16.: Schéma fonctionnel dun circuit à verrouillage de phase c 2008 freddy.mudry@gmail.com 117
  • 133. 3. Éléments de régulation automatique3.6. Analyse du PLL en mode synchroniséNous considérons dans cette analyse la situation où le circuit PLL est déjà syn-chronisé sur la fréquence du signal extérieur. Le PLL est alors capable de suivre lesvariations de cette fréquence et son comportement peut être étudié à laide dun mo-dèle linéaire. Ce modèle linéaire est décrit par le schéma fonctionnel de la gure 3.16.On y trouve : 1. Le comparateur qui fait la diérence des pulsations : ∆ω(t) = ω1 (t) − ω2 (t) 2. Le bloc qui fournit le déphasage instantané ∆ϕ(t) à partir de la diérence des pulsations : t t ∆ϕ(t) = (ω1 (t) − ω2 (t)) dt = ∆ω(t)dt 0 0 En terme de fonction de transfert, ceci se traduit par ∆Φ(s) 1 G1 (s) ≡ = [sec] (3.14) ∆Ω(s) s 3. Le détecteur de phase qui relie la tension u3 (t) au déphasage est décrit par son gain : ∆u3 V Kϕ ≡ (3.15) ∆ϕ rad 4. Le ltre qui sert à lisser les variations de la tension u3 (t) : U4 (s) V G2 (s) ≡ (3.16) U3 (s) V 5. Loscillateur (VCO) décrit par son gain : ∆ω2 rad/sec Kvco ≡ (3.17) ∆u4 V3.6.1. Remarques importantesA ce stade, il ne faut pas oublier que les signaux physiques sont uniquement destensions : la tension dentrée u1 (t), la tension de sortie du VCO u2 (t), la tension de sortie du détecteur de phase u3 (t), la tension de sortie du ltre passe-bas u4 (t).Mais, les grandeurs qui nous intéressent sont : les pulsations ω1 (t) et ω2 (t)118 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 134. 3.6. Analyse du PLL en mode synchronisé les phases ϕ1 (t) et ϕ2 (t) ou, leur diérence, le déphasage ∆ϕ(t) = ϕ1 (t) − ϕ2 (t).Contrairement à lhabitude prise en analyse fréquentielle, il faut bien voir que cespulsations et phases sont des variables temporelles. An dinsister sur ce point,les grandeurs indiquées au-dessus des lignes du schéma fonctionnel sont celles surlesquelles nous portons notre attention alors que les tensions mentionnées au-dessousne sont que leurs correspondants.De plus, il est important de comprendre que le comparateur Σ, lintégrateur G1 (s)et le gain Kϕ nexistent pas séparément : ils sont inhérents au détecteur de phase.3.6.2. Choix du ltreLe but du ltre passe-bas est de transmettre au VCO la composante moyenne dusignal provenant du détecteur de phase. Un simple ltre passe-bas dordre 1 suten principe. Cependant, lors des essais du circuit PLL, on se rend compte que leltre à retard de phase (atténuateur des hautes fréquences) facilite laccrochage ausignal dentrée. On lutilise donc de préférence au ltre passe-bas (gure 3.14), mêmesi la restitution de la composante moyenne contient des discontinuités. On montreaisément que sa fonction de transfert est 1 + sC2 R4 1 + s/ω4 G2 (s) = = (3.18) 1 + sC2 (R3 + R4 ) 1 + s/ω33.6.3. Fonction de transfert en boucle ouverteLa fonction de transfert du circuit PLL en boucle ouverte vaut Ω2 (s) rad/sec Go (s) ≡ = G1 (s) · Kϕ · Kvco · G2 (s) (3.19) ∆Ω(s) rad/secAn dalléger lécriture, on dénit le gain statique en boucle ouverte Kbo 1 Kbo ≡ Kϕ · Kvco (3.20) secLa fonction de transfert en boucle ouverte sécrit alors : Ω2 (s) 1 1 + s/ω4 rad/sec Go (s) ≡ = Kbo (3.21) ∆Ω(s) s 1 + s/ω3 rad/sec3.6.4. Fonction de transfert en boucle ferméeLa fonction de transfert en boucle fermée est décrite par : Ω2 (s) Go (s) rad/sec Gf (s) ≡ = (3.22) Ω1 (s) 1 + Go (s) rad/sec c 2008 freddy.mudry@gmail.com 119
  • 135. 3. Éléments de régulation automatiqueCette fonction de transfert Gf (s) traduit, dans le domaine complexe, la relationexistant entre la pulsation ω1 (t) de la tension dentrée u1 (t) et la pulsation ω2 (t) dela tension de sortie u2 (t). Tenant compte de Go (s), il vient : Kbo 1+s/ω4 s · 1+s/ω3 Gf (s) = 1 + Ksbo · 1+s/ω4 1+s/ω3Multipliant numérateur et dénominateur par s (1 + s/ω3 ), on obtient Kbo · (1 + s/ω4 ) Gf (s) = s · (1 + s/ω3 ) + Kbo · (1 + s/ω4 ) Kbo · (1 + s/ω4 ) = Kbo s2 Kbo + s · 1 + ω4 + ω3Puis, divisant numérateur et dénominateur par Kbo , on obtient la forme canoniquede la fonction de transfert décrivant le fonctionnement du circuit PLL : (1 + s/ω4 ) Gf (s) = (3.23) 1 1 s2 1+s· Kbo + ω4 + Kbo ω3On voit donc que la fonction de transfert Gf (s) est de la forme : s 1+ ω4 Gf (s) = 2 (3.24) 1 + 2ζ ωsn + s ωnOn y trouve un numérateur dordre 1 avec sa pulsation caractéristique ω4 , un dé-nominateur dordre 2 caractérisé par sa pulsation naturelle ωn et son coecientdamortissement ζ : ωn = Kbo · ω3 (3.25) 1 1 1 2ζ = = ωn · + (3.26) Q0 Kbo ω4La réponse indicielle dun système décrit par cette fonction de transfert dépendfortement du coecient damortissement ζ; elle est représentée dans la gure 3.17pour diérentes valeurs de ζ.3.6.5. Calcul de ω3 et ω4Dans létude générale des régimes transitoires, on a vu que lon choisit généralement ζcompris entre 0.5 et 1 pour avoir un bon compromis entre un temps de montéerapide et un temps détablissement court (gure 3.17). Le temps de réponse oudétablissement du régime permanent à 5% près vaut alors 3 t5% 3 τbf = (3.27) ζωn120 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 136. 3.6. Analyse du PLL en mode synchronisé 1.6 ζ = 0.25 1.4 1.2 ζ = 0.5 105% 1 ζ = 0.707 95% 0.8 ζ=1 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 temps * ωn [−−] Fig. 3.17.: Réponses indicielles dun circuit PLL en boucle ferméeSe souvenant que le gain en boucle ouverte Kbo dépend uniquement du comparateuret du VCO, 1 Kbo ≡ Kϕ · Kvco (3.28) secles équations (3.25) et (3.26) montrent que le temps détablissement t5% dépendessentiellement de la synthèse du ltre passe-bas au travers de ses deux pulsationscaractéristiques ω3 et ω4 . Il faut donc trouver ces deux pulsations à partir de t5% etζ. De léquation (3.27), on tire 3 ωn (3.29) ζ t5%Portant ωn dans les équations (3.25) et (3.26), on obtient alors les deux pulsationsrecherchées 2 ωn ω3 = (3.30) Kbo −1 2ζ 1 ωn · Kbo ω4 = − = (3.31) ωn Kbo 2ζ · Kbo − ωn c 2008 freddy.mudry@gmail.com 121
  • 137. 3. Éléments de régulation automatique3.7. Calcul dun circuit PLLDans ce qui suit, on souhaite réaliser un circuit PLL caractérisé par : sa tension dalimentation : VDD = 5 [V] son domaine de fréquences : 0 < f < 25 [kHz] un temps de réponse de t5% 1 [msec] un coecient damortissement ζ 0.25 ou Q0 = 1/(2ζ) 2.3.7.1. Schémas fonctionnel et de réalisation ω1 ∆ω 1 ∆ϕ u3 1+sτ4 u4 ω2 Σ s Kϕ 1+sτ3 Kvco u1 u2 Circuit XOR VDD R3 8 5 16 3 XOR u3(t) u4(t) VCO u2(t) 2 9 4 u1(t) 14 11 12 6 7 R4 R1 R2 C2 C1122 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 138. 3.7. Calcul dun circuit PLL3.7.2. Détecteur de phase (XOR)3.7.3. Filtre à retard de phase c 2008 freddy.mudry@gmail.com 123
  • 139. 3. Éléments de régulation automatique3.7.4. Oscillateur3.7.5. PLL en boucle ouverte124 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 140. 3.7. Calcul dun circuit PLL3.7.6. PLL en boucle fermée c 2008 freddy.mudry@gmail.com 125
  • 141. 3. Éléments de régulation automatique3.7.7. Calcul du ltreLes résultats de la simulation de ce circuit sont présentés dans la gure 3.18. Onpeut constater que le temps détablissement souhaité t5% 1 ms est bien respecté.126 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 142. 3.7. Calcul dun circuit PLL PARAMETERS: f min = 0 VDD = 5V Kv co = 52.4k U1A 0v 1 R1 E1 VDD VDD 3 xor f iltre integr sin out fm in 2 7486 IN+ OUT+ 55k IN- OUT- Kv co 0 0 VDD/3.5 R2 1Meg 1Meg 3k V3 EVALUEVOFF = 0 LP R3 sin(6.28*f min*time + V(integr))VAMPL = 1 1kFC = 15KMOD = 0 C1FM = 1K 10n 0 XOR avec adaptation de Filtre VCO niveau passe-bas2015 Uin, pll10 Uout, pll 5 Uxor 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.52.5 2 ULP1.5 1 Réponse indicielle complète0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.51.5 1 ULP0.5 Partie linéaire normalisée de la réponse indicielle 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 temps [msec] Fig. 3.18.: Schéma de simulation et résultats avec f1 = 0.6 fmax = 15 [kHz] c 2008 freddy.mudry@gmail.com 127
  • 143. 3. Éléments de régulation automatique3.8. Simulation dun circuit PLLLe schéma de simulation proposé dans la gure 3.18 est tiré dune note dapplicationde MicroSim [3]. Cest une très jolie illustration de la manière dont on peut résoudreavec Spice un problème décrit mathématiquement : ici, le fonctionnement du VCO.La description mathématique de celui-ci doit traduire le fait que la pulsation ω(t)du signal de sortie est commandée par la tension dentrée uin (t).Partant de la description fondamentale dun signal sinusoïdal (avec largument θ(t)et non la pulsation ω(t)), on a t uvco (t) = A sin(θ(t)) avec θ(t) ≡ ω(t) dt 0Comme la pulsation générée par le VCO vaut ω(t) = 2π f (t) = 2π (fmin + Kvco uin (t))il vient t t θ(t) ≡ ω(t) dt = 2π (fmin + Kvco uin (t)) dt 0 0 t θ(t) = 2πfmin t + Kvco uin (t) dt (3.32) 0Cest cette dernière équation qui est introduite dans la partie VCO de la simulationdu PLL où lon a V(integr)= Kvco * int(V(filtre)) Evalue = sin(6.28*fmin*time + V(integr))Le circuit E1 est une source de tension commandée par lexpression Evalue dontlamplitude est ensuite transformée en un signal carré compris entre 0 et VDD .La réponse indicielle illustrée par la gure 3.18 montre très bien les tentatives dac-crochage successives jusquen t 0.6 [ms]. À partir de là, laccrochage étant établi,la synchronisation se fait avec un comportement linéaire comme le prévoit la théorie.3.9. Circuit PLL en mode non - synchroniséLorsque la fréquence du signal dentrée est trop diérente du domaine de fonction-nement du PLL, celui-ci ne parvient plus à suivre la fréquence dentrée f1 . Pour quele PLL puisse se synchroniser, il faut que f1 entre dans le domaine daccrochage soitdepuis le bas en fa1 , soit depuis le haut en fa2 (gure 3.19). Le domaine daccrochageest alors déni par la relation suivante : ∆fa = fa2 − fa1128 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 144. 3.9. Circuit PLL en mode non - synchroniséUne fois le PLL synchronisé sur le signal dentrée, la fréquence du signal de sortief2 pourra varier dans un domaine plus large tout en restant synchronisée avec f1 .On se trouve alors dans le domaine de synchronisation déni par ∆fs = fs1 − fs2où fs1 est la fréquence de sortie du domaine de synchronisation par le haut, alorsque fs2 est celle de sortie par le bas. f2 domaine d’ accrochage f0 f1 fs2 fa1 f0 fa2 fs1 0 domaine de synchronisation Fig. 3.19.: Fonctionnement dun PLL en mode non-synchronisé c 2008 freddy.mudry@gmail.com 129
  • 145. 3. Éléments de régulation automatique3.10. ExercicesReg 1 Considérant un système constitué dun gain Ka et de deux constantes detemps τ1 et τ décrit par 1 1 Go (s) = Ka (1 + s τ1 ) (1 + s τ2 ) 1. Que valent ωn , ζ et le gain Kbo du système en boucle ouverte ? 2. On boucle le système sur lui-même avec une réaction négative, a) calculez la fonction de transfert en boucle fermée Gw (s) ; b) que valent ωn , ζ et le gain Kbf du système bouclé ? c) admettant τ1 = τ2 , que doit valoir le gain Ka pour que ζ = 0.5 ? d) admettant τ1 τ2 , que doit valoir le gain Ka pour que ζ = 0.5 ?Rép. : Ka = 3; Ka τ1 /τ2Reg 2 Considérant un système décrit par 1 Go (s) = Ka s (s + 10)bouclé sur lui-même avec une réaction négative, 1. Quelle valeur faut-il donner au gain Ka pour que le dépassement de la réponse indicielle soit de 10% ? 2. Que valent alors le temps de montée tr , le temps détablissement t5% et le gain Kbf ?Rép. : ζ = 0.59; Ka = 71.5; Kbf = 1; tr 0.2 [sec]; t5% 0.6 [sec]Reg 3 Considérant un système décrit par 1 1 Go (s) = Ka (s + a) (s + 25)que lon boucle sur lui-même avec une réaction négative, trouvez la valeur du gainKa et la position du pôle −a qui permettront davoir un dépassement inférieur à10% et un temps détablissement t5% inférieur à 0.1 seconde.Rép. : ζ > 0.59; ωn > 50.7 [rad/sec]; a => 35 [1/sec]; Ka > 1.7 · 103Reg 4 Considérant un système décrit par (s + z) 1 Go (s) = Ka Ga1 (s) Ga2 (s) = Ka (s + a) s(s + 3)que lon boucle sur lui-même avec une réaction négative, trouvez les valeurs deKa , z et a pour que la réponse indicielle ait un dépassement de 10% et un tempsdétablissement t5% dune seconde.130 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 146. 3.10. ExercicesReg 5 Considérant le schéma fonctionnel dun asservissement de vitesse (gure3.20) constitué dun amplicateur de gain Ka = 5 [V/V], dune génératrice tachy-métrique de gain Kg = 2 V/1000 rpm et dun moteur représenté par  1  Kmot = 5 [(rad/sec)/V] Gmot (s) = Kmot avec 1 + s τmot τmot = 10 [msec]  1. Exprimez en unité SI la valeur du gain DC en boucle ouverte Kbo . 2. Recherchez ce que valent, en boucle fermée, la durée du régime transitoire et la vitesse permanente du moteur (en rpm) lorsque la consigne w(t) vaut 10 [V]. w(t) e(t) u(t) ω(t) uω(t) Σ Ka Gmot(s) Kg Fig. 3.20.: Schéma fonctionnel dun asservissement de vitesseReg 6 Considérant le schéma fonctionnel dune régulation de position réalisée avecun moteur préalablement asservi en vitesse (gure 3.21) : 1. Calculez sa fonction de transfert en boucle fermée. 2. Recherchez la valeur du gain Ka pour que la réponse indicielle soit optimum lorsque rad/sec mV K1 = 3 , Kg = 2 , τ1 = 10 msec V rad/sec Kg W K1 1 Y Σ Ka Σ s 1+sτ1 Fig. 3.21.: Schéma fonctionnel dun asservissement de positionReg 7 On sintéresse ici à un problème classique de la régulation automatique : lasustentation magnétique dune sphère. La gure 3.22 en présente une photographieavec son schéma technologique. Léquation décrivant le mouvement de la sphère esttrès simple : ¨ mY (t) = −mg + F (Y (t), I(t)) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 131
  • 147. 3. Éléments de régulation automatiqueLa diculté du problème réside dans le fait que la force F (Y, I) dépend non linéaire-ment de la position de la sphère et du courant circulant dans la bobine. On doit donclinéariser cette fonction autour dun point de fonctionnement {Y0 , I0 }. En décrivantles variations de la position et du courant autour de ces valeurs, il vient Y (t) = Y0 + y(t) I(t) = I0 + i(t) F (Y (t), I(t)) = F (Y0 , I0 ) + F (y(t), i(t)) F0 + k1 y(t) + k2 i(t)En portant ce résultat dans léquation de Newton, on obtient ¨ mY (t) = m¨(t) = −mg + F0 + k1 y(t) + k2 i(t) yComme autour du point de fonctionnement la force F0 équilibre le poids mg , ontrouve que le mouvement de la sphère est décrit par m¨(t) = +k1 y(t) + k2 i(t) y I0 + i(t) F(Y(t),I(t)) Y0 + y(t) mg Fig. 3.22.: Sustentation magnétique (réalisation heig-vd)Pour maintenir la sphère à une hauteur donnée, il faut la placer dans une boucle derégulation contenant un correcteur qui génère le courant circulant dans la bobine.Ce correcteur, de type proportionnel-dérivé, est décrit par léquation de(t) i(t) = Kp e(t) + Td dtÉtant donné ces préalables, on demande : 1. Calculez la fonction de transfert du système Ga (s) = Y (s)/I(s) et montrez que le système seul est instable.132 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 148. 3.10. Exercices 2. Calculez la fonction de transfert du correcteur Gc (s) = I(s)/E(s). 3. Dessinez le schéma fonctionnel du système asservi ; indiquez la position des variables w(t), e(t), i(t), y(t) et calculez sa fonction de transfert Gf (s) = Y (s)/W (s). 4. Montrez que le système bouclé est stable si Kp est susamment grand. Re- marque : un système dordre 2 est stable si tous les coecients du dénominateur de G(s) sont du même signe. 5. Le but de la régulation est de trouver les paramètres du correcteur de manière à satisfaire un cahier des charges. Dans notre cas, on peut trouver Kp et Td de manière à ce que le système soit susamment rapide (ωn ) avec un amor- tissement satisfaisant (ζ ). Pour le voir, écrivez Gf (s) sous forme canonique et montrez que KP et Td dépendent des valeurs choisies pour ωn et ζ de la manière suivante 2 m ωn + k1 2ζωn m Kp = , Td = k2 Kp k 2 6. Admettant que les paramètres de la sustentation magnétique valent N N m = 0.012 kg, k1 = 12 , k2 = 0.66 m A et que lon souhaite avoir ωn = 20 rad/sec et ζ = 0.5, calculez les valeurs de Kp et Td ainsi que leurs unités. Que vaudra le temps détablissement t5% ? 7. Montrez que le correcteur peut être réalisé avec un amplicateur inverseur de gain −Z2 /Z1 où Z2 = R 2 et Z1 = R1 //C . Dessinez son schéma.PLL 0 Pour les exercices qui suivent, on considère un circuit PLL de type 4046Bavec VDD = 5 [V] et Vvco,min = 2 [V] . De plus, on admettra que la capacité C1 prenden compte la capacité interne du VCO.PLL 1 On applique à un circuit XOR deux signaux carrés de même période 200 [µs]décalés de 20 [µs]. 1. Dessinez le signal de sortie du XOR ; que valent le rapport cyclique et la période de ce signal ? Que vaut le gain du comparateur XOR ? 2. Le circuit XOR est relié à un ltre à retard de phase réalisé avec R3 = 45 [kΩ], R4 = 5 [kΩ] et C2 = 5 [nF]. Que vaut la tension moyenne que lon peut mesurer à la sortie du XOR, à la sortie du ltre et aux bornes de C2 ? Que vaut la constante de temps du ltre ? 3. Dessinez le signal de sortie du ltre et la tension aux bornes de C2 .PLL 2 Un VCO est réalisé avec R1 = R2 = 33 [kΩ], C1 = 2.2 [nF] ; calculez sondomaine de fonctionnement. Dessinez sa caractéristique et calculez son gain. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 133
  • 149. 3. Éléments de régulation automatiquePLL 3 On considère un PLL dont le gain en boucle ouverte Kbo vaut 105 [1/sec].Dessinez son schéma fonctionnel puis calculez les trois composants pour que cecircuit ait un temps de réponse de 100 [µsec] et un coecient damortissement égalà 0.5.PLL 4 Un PLL est réalisé avec R1 = 100 [kΩ], R2 = 25 [kΩ], R3 = 10 [kΩ], R4 =3.3 [kΩ] et C1 = 1 [nF], C2 = 10 [nF]. 1. Dessinez son schéma électronique et son schéma fonctionnel. 2. Calculez son domaine de fonctionnement. 3. Calculez le coecient damortissement et le temps de réponse du PLL. 4. Considérant sa réponse f2 (t) à un saut de fréquence f1 (t), que valent ttrans et Nosc ? Esquissez lévolution de la fréquence f2 (t).PLL 5 On veut réaliser un PLL dont le domaine de travail se situe entre 50 kHzet 150 kHz. 1. Dessinez la caractéristique du VCO puis calculez les trois composants néces- saires à son fonctionnement. 2. Le PLL reçoit en entrée un signal carré dont la fréquence varie entre 80 et 120 kHz ; que vaut la tension dentrée du VCO ?PLL 6 Calculez les composants dun PLL fonctionnant entre 10 kHz et 50 kHzpour quil puisse suivre lentrée avec un temps détablissement ts 0.5 [msec] et uncoecient damortissement ζ 0.5.Simulez votre circuit avec une fréquence dentrée de 30 kHz. Combien de tempsfaut-il au PLL pour quil entre dans sa zone de fonctionnement linéaire ? Son tempsde réponse correspond-il à celui souhaité ?PLL 7 On veut réaliser un circuit PLL dont la fréquence de sortie est deux foissupérieure à la fréquence dentrée alors que celle-ci varie entre 20 et 30 [kHz]. 1. Dessinez le schéma de réalisation. 2. Calculez les composants du ltre à retard de phase permettant davoir un temps de réponse de 1 msec environ avec un coecient damortissement ζ = 0.5.134 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 150. 3.10. ExercicesQuelques réponses : PLL 1 1 η = 0.2, Txor = 0.1 [msec] Kϕ = VDD /π 2 Udc = 1.0 [V] τ = 0.25 msec PLL 2 13.8 [kHz] ≤ f ≤ 27.5 [kHz] Kvco = 4.59 [kHz/V] PLL 3 C2 = 1 [nF] R3 = 21 [kΩ], R4 = 6.7 [kΩ] PLL 4 2 40 [kHz] ≤ f ≤ 50 [kHz] Kvco = 20.9 · 103 [(rad/sec)/V] 3 ωn = 15 830, ζ = 0.5 t5% = 0.18 [msec] 4 ttrans = 0.3 [msec] Nosc 1.4 PLL 5 1 C1 = 1 [nF] R1 = 10 [kΩ], R2 = 20 [kΩ] 2 Kvco = 33.3 · 103 [(rad/sec)/V] 2.9 [V ] ≤ Uvco ≤ 4.1 [V ] PLL 6 VCO C1 = 1 [nF] R1 = 25 [kΩ], R2 = 100 [kΩ] ltre C2 = 10 [nF] R3 = 85 [kΩ], R4 = 7.6 [kΩ] Spice tlin 0.58 [ms] ts 0.46 [ms] PLL 7 VCO C1 = 1 [nF] R1 = 50 [kΩ], R2 = 25 [kΩ] ltre C2 = 10 [nF] R3 = 170 [kΩ], R4 = 15 [kΩ] PLL 1: Uxor, Ufiltre, UC2 4 2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 4 2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 4 2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 temps [msec] c 2008 freddy.mudry@gmail.com 135
  • 151. 3. Éléments de régulation automatique136 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 152. Bibliographie[1] M. Etique : Cours de régulation automatique, eivd-iAi, 2004[2] Michel Girard, Boucles à verrouillage de phase, McGraw-Hill, 1988[3] MicroSim Application Notes, version 8.0, june 1997, pp. 303-305 137
  • 153. Bibliographie138 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 154. Deuxième partie .Étude des signaux analogiques 139
  • 155. 4. Analyse des signaux périodiques4.1. IntroductionLanalyse harmonique ou fréquentielle est linstrument majeur de la théorie dessignaux. Le développement en séries de Fourier et, plus généralement, la transfor-mation de Fourier permettent dobtenir une représentation spectrale des signauxdéterministes. Celle-ci exprime la répartition de lamplitude, de la phase, de léner-gie ou de la puissance des signaux considérés en fonction de la fréquence.Les calculs et mises en forme des résultats à venir sont grandement facilites si lonmaîtrise et sait utiliser les relations suivantes : √ −B A cos(ϕ) + B sin(ϕ) = A2 + B 2 cos ϕ + atg (4.1) A t0 +T 2π 1 2 1 1 (sin(2π f t + α) dt = (sin(ϕ)2 dϕ = (4.2) T t0 2π 0 2   2 cos(ϕ) = ejϕ + e−jϕ ejϕ = cos(ϕ) + j sin(ϕ) ⇔ (4.3) 2j sin(ϕ) = ejϕ − e−jϕ 4.2. Deux représentations pour un seul signalLe temps et la fréquence sont deux bases servant à la description des signaux. Cesont deux points de vue diérents dune même réalité ; ils sont complémentaires. Ilest important de bien comprendre les relations qui existent entre ces deux bases ;cest le but de ce chapitre.Une grandeur sinusoïdale est décrite par léquation x(t) = A cos(2πf0 t + α) (4.4)Son évolution temporelle est contenue dans le mot cos ; dès lors, on sait que le signalx(t) ondule avec une forme précise xée par la fonction cosinus. Cependant, desinformations supplémentaires sont données : lamplitude A, la phase α et la fréquencef0 . Ce sont ces informations qui sont fournies par la représentation fréquentielle ouspectrale. 141
  • 156. 4. Analyse des signaux périodiquesComme le temps et la fréquence sont les deux composantes de la description dunmême signal, une sinusoïde devrait être représentée dans un espace à trois dimen-sions (g. 4.1). Une telle représentation étant mal pratique, on la remplace par sesprojections sur les plans temporel et fréquentiel.Dans la projection sur laxe du temps, on retrouve le dessin bien connu dune sinu-soïde, alors que la projection sur laxe des fréquences conduit à une raie située enf = f0 et de hauteur A. Comme cette projection ne fournit que lamplitude A, il estnécessaire, pour la fréquence considérée, de donner également la phase α. Ces deuxdiagrammes portent le nom de spectres damplitudes et de phases.Considérons un signal composé de deux sinusoïdes π 1 π x(t) = A cos(2πf0 t − ) + A cos(4πf0 t − ) (4.5) 2 2 4La gure 4.2a illustre le comportement temporel de ce signal et de ses deux compo-santes. La gure 4.2b montre ce qui se passe alors dans lespace des fréquences. Onnotera que la somme des deux sinusoïdes dans lespace temps conduit également àla somme des spectres damplitudes et de phases.4.3. Séries de FourierLélément fondamental de lanalyse de Fourier est constitué par le fait quun signalpériodique peut être décomposé en une somme dondes sinusoïdales. Une illustrationde la construction dun signal périodique non-sinusoïdal est donnée à la gure 4.3 :le signal résultant est la somme de trois sinusoïdes dont la fréquence est chaque foisun multiple de la fondamentale f0 .4.3.1. Dénition de la série de FourierConsidérons un signal périodique x(t) de période T = 1/f0 . Son développement ensérie de Fourier est alors le suivant ∞ ∞ a0 x(t) = + ak cos(2πkf0 t) + bk sin(2πkf0 t) (4.6) 2 k=1 k=1où f0 = 1/T est la fréquence fondamentale du signal, a0 /2 est la valeur moyenne oucomposante continue et ak , bk sont les coecients de Fourier du développement encosinus et sinus.Les coecients de Fourier ak et bk se calculent comme suit +T /2 2 ak = x(t) cos(2πkf0 t)dt, k≥0 (4.7) T −T /2 +T /2 2 bk = x(t) sin(2πkf0 t)dt, k≥1 (4.8) T −T /2142 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 157. 4.3. Séries de Fourier x(t) = A cos (2π f0 t + α)+A 0 t-A T Domaine temporel T t 0 f0 = 1/T Domaine fréquentiel f Amplitude Phase +π A f f0 f 0 f0 0 −π/2 −πFig. 4.1.: Descriptions temporelle et fréquentielle dune sinusoïde c 2008 freddy.mudry@gmail.com 143
  • 158. 4. Analyse des signaux périodiques Sinusoides de fréquences f0 et 2f0 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Somme de 2 sinusoides 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 A A 900 900 A/2 A/2 45 0 450 f f0 f f 2 f0 f f0 2 f0 -450 -450 -90 0 -900 Cosinusoïde damplitude A et de phase -900 Cosinusoïde damplitude A/2 et de phase -450 A 900 450 f f0 2 f0 f f0 2 f0 -450 -900 Signal périodique non-sinusoïdalFig. 4.2.: Représentation de la somme de deux sinusoïdes de fréquences diérentes dans les domaines temporel et fréquentiel144 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 159. 4.3. Séries de Fourier 2 x1(t) 2 0.25+x1(t) 1 1 0 0 −1 −1 −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 2 x2(t) 2 0.25+x1(t)+x2(t) 1 1 0 0 −1 −1 −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 2 x3(t) 2 0.25+x1(t)+x2(t)+x3(t) 1 1 0 0 −1 −1 −2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 Fig. 4.3.: Construction dun signal périodique non-sinusoïdalN.B. : Cette représentation qui sert de point de départ au développement en sériesde Fourier na aucun intérêt en traitement du signal ; elle est remplacée par la sérieen cosinus et la série complexe.4.3.2. Série de Fourier en cosinusPrenant en compte la relation trigonométrique suivante √ −B A cos(x) + B sin(x) = A2 + B 2 cos x + arctan (4.9) Aon voit que le développement en série de Fourier peut également sécrire ∞ x(t) = A0 + Ak cos(2πkf0 t + αk ) (4.10) k=1avec a0 −bk A0 = Ak = a2 + b2 k k αk = arctan (4.11) 2 akCette série en cosinus est extrêmement importante car elle correspond à la descrip-tion bien connue des signaux en régime sinusoïdal permanent où lon représente uncourant ou une tension par leur amplitude et leur phase. Dun point de vue pratique,cela revient à considérer que le signal x(t) est créé de manière équivalente par uneinnité de générateurs sinusoïdaux. La représentation spectrale qui lui est associéeporte le nom de spectre unilatéral. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 145
  • 160. 4. Analyse des signaux périodiquesUne illustration en est donnée à la gure 4.4. On y voit une onde périodique en dentsde scie qui peut être reconstruite par une superposition dondes sinusoïdales. Cettesuperposition peut être présentée dans lespace temps ou, de manière équivalente etplus explicite, dans lespace des fréquences. 1 1 0.5 0.5 x(t) et xc(t) xk(t) 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −0.5 0 0.5 1 1.5 temps temps 2 0.7 0.6 1 0.5 0.4 Ak αk 0 0.3 0.2 −1 0.1 0 −2 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 frequence [f / f0] frequence [f / f0]Fig. 4.4.: Onde en dents de scie, composantes et spectres damplitudes et de phases4.3.3. Série de Fourier complexeSe souvenant des relations dEuler : 1 cos(x) = (exp(+jx) + exp(−jx)) (4.12) 2 1 sin(x) = (exp(+jx) − exp(−jx)) (4.13) 2jon montre aisément que la série de Fourier peut être transformée en une série deFourier complexe ∞ x(t) = X(jk) exp(+j2πkf0 t) (4.14) k=−∞Les coecients X(jk) sont alors complexes et valent +T /2 1 X(jk) = x(t) exp(−j2πkf0 t)dt − ∞ < k < +∞ (4.15) T −T /2146 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 161. 4.4. Théorème de la puissance ou de ParsevalLa représentation spectrale graphique qui lui est associée porte le nom de spectrebilatéral. Pour la suite du cours, on retiendra essentiellement cette description carelle est analytiquement plus intéressante que la forme en cosinus.On remarquera au passage que la formule dEuler remplace les fonctions sinus etcosinus par des exponentielles à exposant imaginaire appelées phaseurs. Ces phaseursne sont rien dautres que des fonctions complexes oscillant cosinusoïdalement surlaxe réel et sinusoïdalement sur laxe imaginaire.4.3.4. Relations entre les trois représentations de FourierLes relations existant entre les trois représentations de Fourier sont présentées etillustrées par le tableau et le graphe vectoriel de la gure 4.5. Ce graphe est im-portant car il permet de voir en un coup doeil les relations simples liant les troisreprésentations spectrales. On retiendra également la relation existant entre les co-ecients spectraux et la valeur ecace dune composante spectrale Ak √ Ak,eff = √ = 2 |X(jk)| (4.16) 24.4. Théorème de la puissance ou de ParsevalDans lespace temps, la dénition de la puissance moyenne normalisée est la suivante +T /2 1 P = x2 (t)dt = Xef f 2 (4.17) T −T /2On notera que cette dénition coïncide avec celle du carré de la valeur ecace du 2signal x(t). La puissance normalisée ne sexprime donc pas en [W], mais en [V ] 2ou [A ] selon que le signal est une tension ou un courant électrique.Le théorème de Parseval montre que la puissance normalisée dun signal peut secalculer aussi bien dans le domaine temporel que dans le domaine fréquentiel. Eneet, comme dans lespace des fréquences, le signal x(t)) est représenté par desgénérateurs damplitude Ak , il sensuit que la puissance totale est égale à la sommedes puissances fournies par chaque générateur. On en déduit alors : ∞ ∞ 2 1 2 P = Xef f = P k = A2 + 0 A = Pdc + Pac k=0 k=1 2 k ∞ +∞ 1 = X(0) + 2 (2 · |X(jk)|)2 = |X(jk)|2 k=1 2 k=−∞De ces résultats, on conclut que la puissance peut se calculer avec lune ou lautredes équations (4.18) à (4.21) et que c 2008 freddy.mudry@gmail.com 147
  • 162. 4. Analyse des signaux périodiques k=0 a0 /2 A0 X(0) k>0 {ak , bk } {Ak , αk } X(±jk) ak ak +Ak cos(αk ) +2 Re{X(jk)} bk bk −Ak sin(αk ) −2 Im{X(jk)} Ak a2 + b 2 k k Ak 2|X(jk)| −bk Im{X(+jk)} αk arctan αk arctan ak Re{X(+jk)} 1 1 X(+jk) 2 (ak − jbk ) A 2 k exp(+jαk ) X(+jk) 1 1 X(−jk) 2 (ak + jbk ) A 2 k exp(−jαk ) X(−jk) Im Ak ∈R -bk -bk/2 X(+jk) ∈C +αk Re +ak/2 +ak −αk X(-jk) +bk/2 Ak √ Ak,eff = √ = 2 |X(jk)| 2 Fig. 4.5.: Relations entre les trois représentations spectrales148 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 163. 4.5. Spectres damplitudes et de phases le carré de la valeur ecace dun signal est égal à la somme des carrés des valeurs ecaces de chacune de ses composantes. +T /2 1 P = x2 (t) dt ≡ Xef f 2 (4.18) T −T /2 +∞ +∞ 2 P = |X(jk)| = X(0) + 2 2 |X(jk)|2 (4.19) k=−∞ k=1 ∞ 1 P = A2 + 0 A2 k (4.20) 2 k=1 2 2 2 P ≡ Xef f = Xdc + Xac (4.21)À ce stade, il est intéressant de rappeler ce que valent les puissances des trois signauxusuels que sont le carré, le sinus et le triangle à valeur moyenne nulle (Pdc = 0) etdamplitude A : A2 x(t) = A sqr (2πf t) ⇒ Pac = (4.22) 1 A2 x(t) = A sin (2πf t) ⇒ Pac = (4.23) 2 A2 x(t) = A tri (2πf t) ⇒ Pac = (4.24) 34.5. Spectres damplitudes et de phases4.5.1. Spectres unilatéraux et bilatérauxLa description de x(t) avec les fonctions cosinusoïdales conduit aux spectres unila-téraux damplitudes et de phases (Ak et αk ) du signal x(t). Ici, les fréquences sontpositives ou nulles car le compteur k des harmoniques varie de 0 à +∞ (gure 4.6).La description de x(t) avec les fonctions complexes conduit aux spectres bilatérauxdamplitudes et de phases (|X(jk)| et ∠X(jk)). Ici, les fréquences sont négatives etpositives car le compteur k varie de −∞ à +∞.Dans le cas des spectres bilatéraux, on notera que les spectres damplitudes sonttoujours des fonctions paires car on a Ak |X(+jk)| = |X(−jk)| = , k=0 (4.25) 2alors que les spectres de phases sont toujours des fonctions impaires. On a en eet ∠X(+jk) = −∠X(−jk) = αk , k = 0 (4.26)Pour le cas particulier de la composante continue du signal, on a |X(0)| = A0 , ∠X(0) = 0, π c 2008 freddy.mudry@gmail.com 149
  • 164. 4. Analyse des signaux périodiques Signaux Spectres bilatéraux Spectres unilatéraux 1 0.6 0.6 0.4 0.40.5 0.2 0.2 0 0 0 −1 0 1 −5 0 5 −5 0 5 1 0.6 0.6 0.4 0.40.5 0.2 0.2 0 0 0 −1 0 1 −5 0 5 −5 0 5 1 0.6 0.6 0.4 0.40.5 0.2 0.2 0 0 0 −1 0 1 −5 0 5 −5 0 5 temps fréquence fréquence Signaux P X(0) X(jk) 1 1 1 carré : 2 2 −j kπ si k est impair, 0 sinon 1 1 (−1)k dents-de-scie : 3 2 +j 2kπ −∞ < k < +∞ 1 2 −2 sinus redressé : 2 π π(4k2 −1) −∞ < k < +∞Fig. 4.6.: Quelques signaux avec leurs puissance et spectres damplitudes uni- et bilatéraux150 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 165. 4.5. Spectres damplitudes et de phases4.5.2. Coecients spectraux et symétries des signauxSi lon tient compte des symétries du signal, le calcul des séries de Fourier estsimplié. On démontre en eet aisément les propriétés suivantes : une fonction paire est représentée par des cosinus seulement ; on a alors : αk = 0, ±π Im{X(jk)} = 0 (4.27) une fonction impaire est représentée par des sinus seulement ; on a alors : π αk = ± , Re{X(jk)} = 0 (4.28) 2 une fonction à symétrie demi-onde ne possède pas dharmoniques pairs : X(jk) = 0, si k est pair (4.29)Les fonctions à symétrie demi-onde sont telles quune rotation autour de labscisse delalternance positive ou négative permet de reproduire lautre alternance (gure 4.7). 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 0 1 2 3 Fig. 4.7.: Exemple dune fonction à symétrie demi-onde4.5.3. Exemple de représentations spectrales dun signalConsidérant le signal x(t) = 3 + 2 cos(2πf0 t) − 3.464 sin(2πf0 t) + 2 sin(6πf0 t + π/4)on souhaite le décrire dans les représentations spectrales uni- et bi-latérales.La simple observation de lexpression de x(t) montre que ce signal est constituédune composante DC et de deux composantes AC dordre 1 et 3. Utilisant les règlesde trigonométrie, on obtient la forme en cosinus : πx(t) = 3 + 2 cos(2πf0 t) − 3.464 sin(2πf0 t) + 2 sin(6πf0 t + ) 4 √ −(−3.464) π π = 3+ 22 + 3.4642 cos 2πf0 t + arctan + 2 cos 6πf0 t + − 2 4 2 = 3 + 4 cos(2π · 1 · f0 t + π/3) + 2 cos(2π · 3 · f0 t − π/4) = A0 + A1 cos(2πf0 t + α1 ) + A3 cos(6πf0 t + α3 ) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 151
  • 166. 4. Analyse des signaux périodiquesCette expression est la forme mathématique de la représentation spectrale unilatéralede laquelle on déduit immédiatement les composantes spectrales unilatérales A0 ∠α0 = 3∠0 A1 ∠α1 = 4∠ + π/3 A2 ∠α2 = 0∠0 A3 ∠α3 = 2∠ − π/4Appliquant les règles dEuler à lexpression en cosinus, on obtient la forme complexe : x(t) = 3 + 2 exp (+j(2πf0 t + π/3)) + 2 exp (−j(2πf0 t + π/3)) +1 exp (+j(6πf0 t − π/4)) + 1 exp (−j(6πf0 t − π/4)) = 3 + 2 exp(+jπ/3) exp (+j2πf0 t) + 2 exp(−jπ/3) exp (−j2πf0 t) +1 exp(−jπ/4) exp (+j6πf0 t) + 1 exp(+jπ/4) exp (−j6πf0 t) = X(0) + X(+j1) exp (+j2πf0 t) + X(−j1) exp (−j2πf0 ) +X(+j3) exp (+j6πf0 t) + X(−j3) exp (−j6πf0 t)Cette expression est la forme mathématique de la représentation spectrale bilatéralede laquelle on tire immédiatement les composantes spectrales bilatérales X(0) = 3 = 3∠0 X(±j1) = 2 exp(±jπ/3) = 2∠ ± π/3 X(±j2) = 0∠0 X(±j3) = 1 exp( jπ/4) = 1∠ π/4De la lecture de ces descriptions découle immédiatement le tracé des spectres dam-plitudes et de phases dans les deux représentations spectrales (gure 4.8). On noteraque, pour k = 0, les amplitudes du spectre bilatéral sont 2 fois plus petites que cellesdu spectre unilatéral.Les puissances et valeurs ecaces associées à ce signal se calculent aisément à partirdu spectre unilatéral. An de pouvoir préciser les unités, on admet que le signal x(t)est une tension électrique ; on a alors : 1 1 2 Pdc = A2 = 32 = 9 V2 0 dc Pac = A2 = k 4 + 0 + 22 = 10 V2 ac 2 k≥1 2 √ √ P = Pdc + Pac = 19 V2 f ef Xef f = P = 19 = 4.36 Vef f √ Xdc = A0 = 3 Vdc Xac = Pac = 10 = 3.16 Vac4.6. Suite dimpulsions4.6.1. Suite dimpulsions rectangulairesLa suite dimpulsions rectangulaires (SIR) est un signal particulièrement importantcar elle apparaît dans de nombreuses applications telles que léchantillonnage, la152 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 167. 4.6. Suite dimpulsions Signal temporel 10 5 x(t) 0 −5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 temps Spectres unilatéraux Spectres bilatéraux 4 4 |X(jk)| Ak 2 2 0 0 −2 0 2 −2 0 2 k f0 k f0 1 1 0.5 0.5 /X(jk) / παk / π 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1 −2 0 2 −2 0 2 k f0 k f0 Fig. 4.8.: Représentations spectrales dun signal périodique c 2008 freddy.mudry@gmail.com 153
  • 168. 4. Analyse des signaux périodiquesmodulation dimpulsions, etc. Évaluons donc la série de Fourier complexe de la SIRx(t) représentée à la gure 4.9. x(t) A ∆t A ∆t/T t 0 ∆t/2 T -T Fig. 4.9.: Suite dimpulsions rectangulairesPar dénition des coecients complexes X(jk), on a +T /2 1 1 X(jk) = x(t) exp(−j2πkf0 t)dt avec f0 = T −T /2 TEn tenant compte de la dénition de la SIR   A si − ∆t/2 < t < +∆t/2 xT (t) = (4.30) 0 sinon il vient A +∆t/2 X(jk) = exp(−j2πkf0 t)dt T −∆t/2 A −1 ∆t ∆t = exp(−j2πkf0 ) − exp(+j2πkf0 ) T j2πkf0 2 2Les relations dEuler permettent de passer de la diérence des exponentielles à unsinus et décrire ces coecients sous la forme ∆t sin(kπf0 ∆t) X(jk) = A (4.31) T kπf0 ∆tOn notera que lamplitude du spectre X(jk) est xée par la valeur moyenne oucomposante DC (k = 0) de la SIR car la fonction sin(x)/x tend vers 1 lorsque xtend vers 0. De plus, et comme on pouvait sy attendre, les coecients de Fouriersont purement réels puisque le signal est pair. Leur enveloppe (gure 4.10a) est unefonction en sin(x)/x qui porte le nom de sinus cardinal déni comme suit sin(πx) sinc(x) ≡ (4.32) πx154 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 169. 4.6. Suite dimpulsions X(jk) A ∆t/T 1/T = f0 f = k f0 0 -1/∆t +1/∆t | X(jk) | f = k f0 0 /_X(jk) +π f = k f0 0 −πFig. 4.10.: Descriptions spectrales dune suite dimpulsions rectangulaires : a) spectre complexe (ici purement réel car la SIR est paire) b) spectres damplitudes et de phases c 2008 freddy.mudry@gmail.com 155
  • 170. 4. Analyse des signaux périodiquesLe spectre dune SIR sécrit donc sous une des deux formes suivantes ∆t sin(kπf0 ∆t) ∆t X(jk) = A =A sinc(kf0 ∆t) (4.33) T kπf0 ∆t TOn remarquera que plus les impulsions sont étroites par rapport à la période T , plusle spectre sétale. En eet, le premier passage par zéro se fait à la fréquence 1/∆t.Par contre, la distance entre raies spectrales ne change pas puisquelle est égale àlinverse de la période de la SIR f0 = 1/T .Il est fréquent que le spectre dun signal soit complexe. Dans ce cas, sa représen-tation dans un plan ne peut se faire quau travers du traçage distinct des spectresdamplitudes et de phases (gure 4.10b).On peut relever au passage que la puissance totale dune SIR vaut +T /2 1 ∆t P = x2 (t) dt = A2 (4.34) T −T /2 Tet que le premier lobe du spectre dune SIR en contient environ le 90%.4.6.2. Suite dimpulsions triangulairesIl existe une autre suite dimpulsions qui est également très importante en télécom-munications ; il sagit de la suite dimpulsions triangulaires (SIT). Le signal x(t) etson spectre X(jk) sont représentés à la gure 4.11. An que les surfaces de la SIR etde la SIT soient égales, la largeur à la base du triangle est égale à 2∆t. Lexpressionde X(jk) est alors la suivante 2 ∆t sin(kπf0 ∆t) X(jk) = A (4.35) T kπf0 ∆tLa puissance totale dune SIT vaut +T /2 ∆t 2 1 1 A 2 2 ∆t P = x2 (t) dt = 2 t dt = A (4.36) T −T /2 T 0 ∆t 3 T4.6.3. Suite dexponentielles décroissantesConsidérons une exponentielle qui se répète périodiquement aux instants kT (gure4.12) x(t) = A · exp(−t/τ ) si 0 ≤ t < T156 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 171. 4.6. Suite dimpulsions x(t) Α t 0 -T −∆t +∆t +T X(jk) A ∆t/T f = k f0 -1/ ∆t 0 +1/ ∆t Fig. 4.11.: Suite dimpulsions triangulaires avec son spectre 1 0.1 0.8 0.08 0.6 0.06 |(X(jf)| x(t) 0.4 0.04 0.2 0.02 0 0 −1 0 1 2 0 2 4 6 8 10 temps [msec] fréquence [kHz] 0 −20 / X(jf) −40 −60 −80 0 2 4 6 8 10 fréquence [kHz]Fig. 4.12.: Suite dexponentielles décroissantes ( τ T) et sa représentation spec- trale c 2008 freddy.mudry@gmail.com 157
  • 172. 4. Analyse des signaux périodiquesLe calcul de son spectre se fait en appliquant la dénition de X(jk) T 1 X(jk) = x(t) exp(−j2πkf0 t)dt T 0 T A = exp(−t/τ ) exp(−j2πkf0 t)dt T 0 T A 1 = exp −t( + j2πkf0 ) dt T 0 τ T 1 A exp −t( τ + j2πkf0 ) = · 1 T −( τ + j2πkf0 ) 0 A −τ T = · exp −( + j2πkf0 T ) − 1 T (1 + j2πkf0 τ ) τEn admettant que la constante de temps τ est beaucoup plus petite que la périodeT, on permet à lexponentielle de revenir à zéro à la n de chaque période. Dansce cas, le premier terme entre crochets est beaucoup plus petit que 1 et peut êtrenégligé. On obtient alors le résultat intéressant suivant τ 1 X(jk) = A · si τ T (4.37) T (1 + j2πkf0 τ )On peut relever que dans ce résultat on trouve la fonction de transfert dun ltre τpasse-bas dordre 1 pondérée par le rapport A . La représentation des raies spec- Ttrales damplitudes (gure 4.12) coïncidera donc, à un coecient près, avec le modulede la réponse fréquentielle de ce ltre alors que celle des phases seront les mêmes.Dans le cas où τ T, la puissance totale dune SIE vaut T T 1 1 A2 τ P = 2 x (t) dt = (A exp(−t/τ ))2 dt = (4.38) T 0 T 0 2 T4.7. Reconstruction des signaux4.7.1. Synthèse dun signalOn se souvient que, connaissant le spectre X(jk), on peut toujours reconstruire uneapproximation dordre N du signal temporel. Dans le cas dune suite dimpulsionsrectangulaires cela donne +N xN (t) = X(jk) exp(+j2πkf0 t) k=−N +N ∆t sin(kπf0 ∆t) = A exp(+j2πkf0 t) T k=−N kπf0 ∆t +N ∆t sin(kπf0 ∆t) = A 1+2 cos(2πkf0 t) T k=1 kπf0 ∆t158 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 173. 4.7. Reconstruction des signauxPour la suite dimpulsions triangulaires, on a de même +N xN (t) = X(jk) exp(+j2πkf0 t) k=−N +N 2 ∆t sin(kπf0 ∆t) = A exp(+j2πkf0 t) T k=−N kπf0 ∆t +N 2 ∆t sin(kπf0 ∆t) = A 1+2 cos(2πkf0 t) T k=1 kπf0 ∆tSignal carré symétrique Dans ce cas, la valeur moyenne est nulle (A0 = 0) etlamplitude correspondante A de la SIR vaut 2. Comme le rapport cyclique ∆t/Tvaut 0.5, le sinus cardinal sannule pour k pair. Il vient alors : +N 1 sin(kπf0 ∆t) xN (t) = 2 0+2 cos(2πkf0 t) 2 k=1 kπf0 ∆t 2 2 2 = 2 cos(2πf0 t) − cos(6πf0 t) + cos(10πf0 t) + · · · π 3π 5πSignal triangulaire symétrique Dans ce cas, la valeur moyenne est nulle (A0 = 0)et lamplitude correspondante A de la SIT vaut 2. Comme le rapport cyclique ∆t/Tvaut 0.5, le sinus cardinal sannule pour k pair. Il vient alors : +N 2 1 sin(kπf0 ∆t)xN (t) = 2 0+2 cos(2πkf0 t) 2 k=1 kπf0 ∆t 2 2 2 2 2 2 = 2 cos(2πf0 t) + cos(6πf0 t) + cos(10πf0 t) + · · · π 3π 5πUne illustration de la synthèse de ces deux signaux est donnée à la gure 4.13. Onconstate que, contrairement au signal triangulaire, la convergence est très lente pourle signal carré.4.7.2. Phénomène de GibbsEn général, lorsquon reconstruit un signal x(t) à partir de ses coecients de Fourier : N N x(N ) (t) = X(jk) exp(j2πkf0 t) = A0 + Ak cos(2πkf0 t + αk ) (4.39) k=−N k=1on remarque une convergence rapide vers le signal original au fur et à mesure que Naugmente. Cependant, cela nest plus vrai lorsque le signal possède des discontinuitésdordre 0. Il apparaît alors, à lendroit de la discontinuité, des oscillations que londésigne sous le nom de phénomène de Gibbs. Lamplitude du dépassement dû à cesoscillations est égale au 9% de lamplitude de la discontinuité (gure 4.14). c 2008 freddy.mudry@gmail.com 159
  • 174. 4. Analyse des signaux périodiques 1.5 1.5 1.5 N=1 N=3 N=5 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0 0 0 −0.5 −0.5 −0.5 −1 −1 −1 −1.5 −1.5 −1.5 −5 0 5 −5 0 5 −5 0 5 1.5 1.5 1.5 N=1 N=3 N=5 1 1 1 0.5 0.5 0.5 0 0 0 −0.5 −0.5 −0.5 −1 −1 −1 −1.5 −1.5 −1.5 −5 0 5 −5 0 5 −5 0 5Fig. 4.13.: Synthèse de signaux triangulaire et carré par laddition successive des harmoniques 1.2 1.2 1 xN(t) avec 1 xN(t) avec N=3 N=7 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 −0.2 −0.2 −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 1.2 1.2 1 xN(t) avec 1 xN(t) avec N = 19 N = 79 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 −0.2 −0.2 −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 Fig. 4.14.: Illustration du phénomène de Gibbs160 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 175. 4.8. Quelques théorèmes utiles4.7.3. Importance de la phaseIl est fréquent en traitement du signal de ne parler que des spectres damplitudes etde délaisser quelque peu les spectres de phases. Cette attitude est due au fait quelors du ltrage de signaux audio, on se contente de modier le spectre damplitudescar loreille est peu sensible aux distorsions de phase. Cependant, lorsque lon désireconserver la forme dun signal, en particulier dans le cas du ltrage dimages, il esttrès important de ne pas négliger le spectre de phases.Un exemple en est donné à la gure 4.15 où une série de photos basées sur leportrait de Joseph Fourier illustre limportance de la phase dans la reconstitutiondes signaux. 1. Limage du haut de la gure est le portrait de Joseph Fourier. 2. Au centre, on y voit les spectres damplitudes et de phases de limage de Fourier ; les niveaux de gris correspondent à la valeur de ces fonctions. 3. Les deux images du bas sont des images reconstruites par transformation in- verse. Pour construire celle de gauche, on a utilisé le spectre damplitudes et remplacé le spectre de phases par un spectre de phases nulles. Pour celle de droite, on a fait linverse : le spectre de phases a été conservé alors que le spectre damplitudes a été remplacé par des amplitudes constantes.De ces illustrations, on en déduit que la phase contient une part importante delinformation concernant la forme dun signal. Les deux dernières images illustrentparticulièrement bien ce fait puisque le portrait initial ne peut pas être reconstruitavec un seul des deux spectres.4.8. Quelques théorèmes utiles4.8.1. Décalage temporelIl est fréquent en analyse des signaux de devoir décaler temporellement un signalx(t) ; on obtient alors un nouveau signal y(t) = x(t + td ). Ce décalage td peut êtrepositif (signal avancé) ou négatif (signal retardé) (g. 4.16). On montre alors quentreles espaces temps et fréquences, il existe la relation suivante : y(t) = x(t + td ) ⇔ Y (jk) = exp(+j2πkf0 td )X(jk) (4.40)Comme le module du phaseur exp(+j2πkf0 td ) vaut toujours un, il sensuit que seulle spectre de phases est modié par un décalage temporel. On a donc : |Y (jk)| = |X(jk)| , βk = αk + 2πkf0 td (4.41) À un décalage temporel correspond une phase variant linéaire- ment avec la fréquence. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 161
  • 176. 4. Analyse des signaux périodiques original module phase TF inverse du module TF inverse de la phase Fig. 4.15.: Transformations de Fourier directes et inverses dune image162 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 177. 4.8. Quelques théorèmes utiles x(t) x(t+t1) x(t-t1) td > 0 td < 0 t t t -t1 0 +t1 -t1 0 0 +t1 Fig. 4.16.: Décalage temporel : signal original, signal avancé, signal retardé4.8.2. Modulation damplitudeIl est fréquent en télécommunications de devoir émettre des signaux dont le spectre aété préalablement déplacé dans un domaine de fréquences permettant la transmissiondes messages par ondes électromagnétiques. Une des possibilités consiste à modulerlamplitude de la porteuse p(t) à laide du message m(t). Modulation d’amplitude Spectres 1 0.4 |M(jf)| m(t) 0.5 0.2 0 0 0 1 2 3 −20 −10 0 10 20 1 0.5 0.4 |P(jf)| p(t) 0 0.2 −0.5 −1 0 0 1 2 3 −20 −10 0 10 20 1 0.5 0.4 |X(jf)| x(t) 0 0.2 −0.5 −1 0 0 1 2 3 −20 −10 0 10 20 temps fréquence Fig. 4.17.: Modulation damplitude : signaux et spectresLa modulation damplitude est généralement obtenue par la multiplication des deuxsignaux entre eux (gure 4.17) x(t) = m(t) · p(t) (4.42)Dans le cas particulier où la porteuse p(t) est une fonction sinusoïdale, on peut laremplacer par deux phaseurs de fréquence ±fp grâce aux formules dEuler 1 cos(2πfp t) = (exp(+j2πfp t) + exp(−j2πfp t)) 2 c 2008 freddy.mudry@gmail.com 163
  • 178. 4. Analyse des signaux périodiquesOn a donc aaire, de manière plus fondamentale, à une multiplication du messagem(t) par un phaseur : x(t) = m(t) · p(t) = m(t) · exp(±j2πfp t) (4.43)On montre alors aisément la propriété suivante : x(t) = exp(±j2πfp t) · m(t) ⇔ X(jk) = M (j(kf0 fp )) (4.44) À une multiplication par un phaseur dans le domaine temporel correspond un décalage dans lespace des fréquences.La gure 4.17 illustre la modulation damplitude dune porteuse de fréquence 10kHzpar un signal triangulaire de fréquence 1kHz. Au niveau fréquentiel, on voit trèsbien que le spectre original situé autour de la fréquence nulle est déplacé autour desfréquences de la porteuse ±10kHz avec une amplitude réduite de moitié. On noteraque le signal modulé x(t) nest périodique que si le rapport des fréquences fp /f0 estrationnel.4.8.3. Rotation autour de lordonnéeLa rotation dun signal autour de son ordonnée est décrite par y(t) = x(−t). Dansce cas, on montre que y(t) = x(−t) ⇔ Y (jk) = X(−jk) = X ∗ (jk) (4.45) À une rotation du signal temporel autour de lordonnée corres- pond le conjugué complexe dans le domaine fréquentiel.Par exemple, si lon sintéresse à une suite périodique dexponentielles croissantesdécrite par x(t)|T = A · exp(+t/τ ) si 0 ≤ t < Tson spectre se calcule aisément à partir de celui de la suite dexponentielles décrois-santes xo (t)|T = A · exp(−t/τ ) si 0 ≤ t < T τ 1 Xo (jk) = A · si τ T T (1 + j2πkf0 τ )On voit en eet que lon a x(t) = xo (−t)donc τ 1 X(jk) = Xo (−jk) = A · si τ T T (1 − j2πkf0 τ )4.9. Calcul de quelques spectresLe but de ce paragraphe est de montrer, au travers de quelques exemples simples,comment on calcule, trace et interprète les spectres dun signal.164 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 179. 4.9. Calcul de quelques spectres4.9.1. Suite dimpulsions compositesConsidérant le signal de la gure 4.18a, on aimerait calculer ses composantes spec-trales et obtenir son approximation dordre 3.La résolution de ce problème est immédiate dès linstant où lon remarque que lesignal x(t) est composé dune somme de deux SIR x1 (t) et x2 (t) dont les caracté-ristiques sont, respectivement, leur largeur : ∆t1 = 0.25[msec], ∆t2 = 0.5[msec], etleur amplitude : A1 = 1 [V ], A2 = 2 [V ].Utilisant la propriété de linéarité des séries de Fourier, on a : x(t) = x1 (t) + x2 (t) ⇔ X(jk) = X1 (jk) + X2 (jk) (4.46)Comme le signal x(t) et ses deux SIR constitutives sont paires, leurs spectres sontréels ∆t1 sin(kπf0 ∆t1 ) sin(kπ/4) X1 (jk) = A1 = 0.25 T kπf0 ∆t1 kπ/4 ∆t2 sin(kπf0 ∆t2 ) sin(kπ/2) X2 (jk) = A2 = 1.00 T kπf0 ∆t2 kπ/2 sin(kπ/4) sin(kπ/2) X(jk) = X1 (jk) + X2 (jk) = 0.25 + 1.00 kπ/4 kπ/2Le calcul de quelques composantes spectrales fournit les valeurs numériques sui-vantes : k -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 X1 (jk) -0.045 0 +0.075 +0.159 +0.225 +0.25 +0.225 +0.159 +0.075 0 -0.045 X2 (jk) 0.127 0 -0.212 0.00 +0.637 1.00 0.637 0.00 -0.212 0 0.127 X(jk) +0.082 0 -0.137 +0.159 +0.862 1.25 +0.862 +0.159 -0.137 0 +0.082 Ak 1.25 1.724 0.318 0.274 0 0.164 αk 0.00 0.00 π 0 0.00La gure 4.18c représente lapproximation dordre 3 du signal décrite par : x(3) (t) = 1.25 + 1.724 · cos(2πf0 t) + 0.318 · cos(4πf0 t) + 0.274 · cos(6πf0 t + π)À titre dexercice, on peut montrer que les puissances des signaux x(t) et x(3) (t) 2 2valent respectivement Px = 3.25 Vef f , Px(3) = 3.14 Vef f .4.9.2. SIR décaléeConsidérons le cas dune SIR non centrée démarrant à linstant t = 0, de largeur ∆tet de période T (gure 4.19a). Dans ce cas, la SIR est retardée dune demi-largeur c 2008 freddy.mudry@gmail.com 165
  • 180. 4. Analyse des signaux périodiques x(t) = x1(t) + x2(t) 3 2.5 x2(t) 2 1.5 x1(t) 1 0.5 0 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 temps [msec] X1(jf) X2(jf) X(jf)=X1(jf) + X2(jf) 1.2 1.2 1.2 1 1 1 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 0 0 0 −0.2 −0.2 −0.2 −10 0 10 −10 0 10 −10 0 10 f [kHz] f [kHz] f [kHz] Signaux x(t) et x3(t) 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 temps [msec]Fig. 4.18.: Suite dimpulsions composites : a) les signaux temporels b) les spectres respectifs c) la reconstruction dordre 3166 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 181. 4.9. Calcul de quelques spectres 1 0.8 0.6x(t) 0.4 0.2 0 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 temps [msec] 0.1|X(jk)| 0.05 0 −30 −20 −10 0 10 20 30 4 /SIR centree 2 0 −2 −4 −30 −20 −10 0 10 20 30 5 /Decalage 0 −5 −30 −20 −10 0 10 20 30 5 /SIR decalee 0 −5 −30 −20 −10 0 10 20 30 frequence [kHz] Fig. 4.19.: SIR démarrant à linstant t=0 et son spectre c 2008 freddy.mudry@gmail.com 167
  • 182. 4. Analyse des signaux périodiquesdimpulsion et le temps de décalage vaut donc td = −∆t/2. Partant dune SIRcentrée et utilisant le théorème du retard, on obtient : ∆t sin(kπf0 ∆t) ∆t X(jk) = A · exp(−j2πkf0 ) (4.47) T kπf0 ∆t 2Si lon désigne X(jk) par le produit de 3 facteurs X(jk) = X0 · X1 (jk) · X2 (jk), lespectre damplitudes sobtient en eectuant le produit des modules |X(jk)| = |X0 | · |X1 | · |X2 | ∆t sin(kπf0 ∆t) = A · ·1 T kπf0 ∆talors que le spectre de phases est obtenu en sommant les phases : ∠X(jk) = ∠X0 + ∠X1 + ∠X2 = 0 + (0; ±π) + (−πkf0 ∆t)Considérant que lon a ∆t = 0.1 [msec], T = 1 [msec], la combinaison de ces termesspectraux est illustrée par la gure 4.19. Comme attendu, on constate que le décalagetemporel du signal ne modie pas le spectre damplitudes, mais introduit une phasevariant linéairement avec la fréquence.4.10. Réponse dun système linéaireConsidérons, comme exemple, un ltre attaqué par une SIR (gure 4.20a). Commece signal est périodique, on retrouvera à la sortie du circuit un signal périodique y(t).La décomposition de ces 2 signaux en série de Fourier donnera les spectres X(jk)et Y (jk) qui seront liés lun à lautre par la réponse fréquentielle G(jω) du ltre.Comme les signaux périodiques sont représentés par des ondes sinusoïdales de fré-quences kf0 et que les systèmes linéaires conservent la fréquence des signaux appli-qués, on retrouve pour Y (jk) des raies spectrales situées aux mêmes fréquences quecelles de X(jk) (gure 4.20b). De plus, lamplitude et la phase de ces raies spectrales Y (jω) = G(jω)·X(jω). Danssont liées au signal dentrée par la relation bien connuele cas de signaux périodiques, la pulsation ω est un multiple de la fondamentale 2πf0 .On a donc Y (jk) = X(jk) · G(jω)|ω=2πkf0 (4.48)4.10.1. Analyse de la réponse dun ltre passe-basConsidérant le circuit L-R de la gure 4.21 et la SIR qui lui est appliquée, onaimerait : 1. connaître la fonction de transfert de ce ltre et sa constante de temps τ;168 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 183. 4.10. Réponse dun système linéaire x(t) y(t) x(t) y(t) G(jω) t t 1 |X(jk)| |Y(jk)| 0.8 |G(jf)| 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 fréquence [Hz] Fig. 4.20.: Réponses temporelle et fréquentielle dun ltre à une SIR 2. calculer la composante continue U2,dc ; 3. esquisser le signal de sortieu2 (t) en tenant compte des valeurs numériques L = 100 [mH], R = 100 [Ω] ; 4. calculer le spectre U2 (jk) ; 5. calculer les valeurs ecaces U1,ef f , U2,ef f , U2,ac,ef f ; 6. estimer la valeur de crête de londulation u2,ac (t). [V] u1(t) 10 L u1(t) R u2(t) t 0 0.2 1.0 [ms] Fig. 4.21.: Analyse de la réponse dun ltre passe-basSolution : c 2008 freddy.mudry@gmail.com 169
  • 184. 4. Analyse des signaux périodiques.170 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 185. 4.11. Réponse dun système non-linéaire4.11. Réponse dun système non-linéaireLa caractéristique essentielle des systèmes non-linéaires est de déformer les signauxsinusoïdaux. Le signal de sortie est donc périodique non-sinusoïdal. Il sen suit queson spectre est constitué dun grand nombre de raies spectrales, alors quà lentréeil ny avait quune seule raie.Dans la pratique, il est important de pouvoir chirer cette déformation puisque lesamplicateurs réels, quelle que soit leur qualité, possèdent des non-linéarités. Onmesure cette déformation à laide du taux de distorsion harmonique (TDH). Celui-ci est déni comme le rapport de la valeur ecace des harmoniques dordre supérieurà 1 avec la valeur ecace du premier harmonique Xef f (k > 1) X 2 (2) + X 2 (3) + X 2 (4) + · · · T DH = = (4.49) Xef f (k = 1) X 2 (1)4.11.1. Distorsion due à une diodeConsidérons comme exemple de système non linéaire, une diode à laquelle on ap-plique une tension sinusoïdale superposée à une tension continue (gure 4.22) u(t) = U0 + ∆U (t) = U0 + A sin(2πf0 t)Cette diode est caractérisée par la loi exponentielle bien connue ID = IS eUD /nVT − 1 (4.50)Admettant les valeurs numériques suivantes U0 = 0.5 [V ], A = 0.05 [V ], f0 = 100 [Hz] IS = 10 [pA], n = 1, VT = 26 [mV ]on désire : 1. calculer I0 , Imax et Imin 2. esquisser u(t) et i(t) 3. calculer U (jk) et I(jk) 4. calculer le TDH du courant.Solution : 1. Le calcul de I0 , Imax et Imin se fait par simple application numérique de léqua- tion de la diode ; on obtient alors : a) le courant au point de fonctionnement I0 = 2.54 mA ; b) sa valeur maximum Imax = 17.2 mA ; c) sa valeur minimum Imin = 0.36 mA. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 171
  • 186. 4. Analyse des signaux périodiques i(t) ∆u(t) uD(t) U0 Fig. 4.22.: Circuit à diode 2. La simulation temporelle avec Spice a donné les résultats de la gure 4.23. On y voit que la variation sinusoïdale de la tension de la diode (50 mV) autour du point de fonctionnement (500 mV) entraîne une variation non sinusoïdale du courant caractérisé par les valeurs calculées ci-dessus. 3. Lanalyse spectrale obtenue par FFT (Fast Fourier Transform) donne les ré- sultats suivants. a) La tension de la diode ne contient que 2 raies spectrales (gure 4.24a) : i. la composante DC : Udc = 0.5 V ; ii. la composante AC : U1 = 50 mV . b) Le courant non sinusoïdal est composé dun grand nombre de raies spec- trales dont les 10 premières sont les plus signicatives (gure 4.24b). On y trouve en particulier i. la composante DC : Idc = 5.41 mA ; ii. la composante fondamentale : I1 = 7.43 mA. 4. Le calcul du taux de distorsion se fait en appliquant la dénition du TDH : X 2 (2) + X 2 (3) + X 2 (4) + · · · T DH = X 2 (1) 3.142 + 0.942 + 0.222 + 0.0412 + 0.00652 + · · · = 7.432 = 44 % Cette valeur élevée est le signe de la forte déformation de la sinusoïde causée par la variation exponentielle du courant.172 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 187. 4.11. Réponse dun système non-linéaire Fig. 4.23.: Tension et courant de la diodeFig. 4.24.: Spectres unilatéraux de la tension et du courant de la diode c 2008 freddy.mudry@gmail.com 173
  • 188. 4. Analyse des signaux périodiques4.12. ExercicesSF 1 Considérant les 2 signaux suivants pour lesquels f0 = 1 [kHz] : x1 (t) = 6 − 2 cos(2πf0 t) + 3 sin(2πf0 t) x2 (t) = 4 + 1.8 cos(2πf0 t + π/3) + 0.8 sin(6πf0 t) 1. dessinez leurs spectres damplitude et de phase unilatéraux et bilatéraux ; 2. écrivez x1 (t) et x2 (t) sous forme de série de Fourier complexe.SF 2 Utilisez les formules dEuler pour montrer que la série de Fourier du signalsuivant π x(t) = 1 + cos 2πf0 t + · cos (10πf0 t) 6est décrite par les harmoniques 4, 5 et 6. Pour ce faire : 1. remplacez chaque fonction cosinus par deux phaseurs ; eectuez le produit ; 2. écrivez x(t) sous la forme dune somme de phaseurs ; 3. que valent les coecients X(jk) non-nuls ? 4. dessinez les spectres bilatéraux et unilatéraux damplitude et de phase ; 5. calculez sa puissance.SF 3 Considérant un signal périodique de période T = 20 [ms] décrit par sonspectre bilatéral X(jk) : k 0 ±1 ±2 X(jk) 2 −3 ± j2 +1 ± j3 |X| ∠Xretrouvez sa description temporelle en cosinus après avoir rempli les cases libres dutableau. Calculez les valeurs de Xdc , Xac et P.SF 4 À partir des spectres damplitude et de phase dune SIR vus au cours, 1. calculez les spectres complexes des deux signaux Ex SF4 ; 2. esquissez leurs spectres bilatéraux damplitude et de phase.SF 5 Considérant les spectres unilatéraux Ex SF5 dun signal x(t) : 1. donnez lexpression de x(t) ; 2. dessinez son spectre bilatéral ; 3. calculez ses valeurs ecaces AC et totale.174 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 189. 4.12. Exercices 10 8x1(t) [V] 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 6 4x2(t) [V] 2 0 −2 −4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 t [ms] Fig. 4.25.: Ex SF 4 5 4 3 Ak [V] 2 1 0 0 1 2 3 4 5 0.6 0.4 0.2αk / π 0 −0.2 −0.4 0 1 2 3 4 5 f [kHz] Fig. 4.26.: Ex SF 5 c 2008 freddy.mudry@gmail.com 175
  • 190. 4. Analyse des signaux périodiquesSF 6 Considérant les trois signaux x1 (t), x2 (t), x3 (t) de période T = 1 ms décritspar leurs spectres respectifs (tableau Ex SF6) : 1. donnez lexpression temporelle correspondant à leur représentation ; 2. écrivez ces expressions à laide de cosinus seulement ; 3. dessinez leurs spectres damplitude et de phase uni- et bilatéraux ; 4. calculez la puissance de chacun des trois signaux. k 0 1 2 3 4 x1 (t) ak +2 +5 -2 +1 0 bk +4 +3 1 0 k 0 1 2 3 4 x2 (t) Ak 1 3 0 2 0 αk 0 −π/3 0 +π/2 0 k 0 ±1 ±2 ±3 ±4 x3 (t) X(jk) 5 4 ± j3 0 −2 j 0 Tab. 4.1.: Ex SF 6SF 7 Étant donné un signal caractérisé par les propriétés suivantes : 1. x(t) est réel et impair ; 2. x(t) est périodique avec T = 2 [msec] ; 3. X(jk) = 0 pour |k| > 1 ; 4. P = 1;trouvez deux signaux satisfaisant à ces propriétés.SF 8 Considérant le signal x(t) = 2 + sin(2πf0 t) + 0.25 cos(6πf0 t) 1. écrivez x(t) dans les formes cosinus et complexe ; 2. donnez les composantes spectrales dans les trois représentations : {ak , bk } , {Ak , αk } , {X(jk)} 3. vériez que la puissance de ce signal calculée à laide des trois représentations donne le même résultat ; 4. comment calculeriez-vous la puissance dans lespace temps ? voyez-vous des moyens de simplier ce calcul ? si oui, le résultat est immédiat.176 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 191. 4.12. ExercicesSF 9 On considère une SIR damplitude A = 2 [V ], de période T = 1 [ms] delargeur ∆t = 0.2 [ms] ; cette SIR est avancée de T /4 par rapport à une SIR centrée : 1. esquissez x(t) ; 2. calculez son spectre X(jk) ; 3. esquissez les spectres bilatéraux damplitude et de phase ; 4. calculez la puissance de cette SIR.SF 10 Considérant la suite dimpulsions impaires de la gure Ex SF10 : 1. le spectre sera-t-il réel, imaginaire ou complexe ; 2. calculez ses coecients de Fourier complexes ; 3. quelle est la puissance de ce signal ? 4. dans le cas où A = 10 [V ], T = 10 [ms] et ∆t = 1 [ms], esquissez les spectres bilatéraux damplitude et de phase. 10 +A 5 x(t) [V] −∆ t 0 +∆ t −5 −10 −A −2 0 2 4 6 8 10 12 14 t [ms] Fig. 4.27.: Ex SF 10SF 11 On considère un signal périodique x(t) retardé dune valeur tr par rapportau signal original x0 (t). Montrez que : 1. son spectre complexe vaut X(jk) = X0 (jk) e−j2πkf0 tr ; 2. son spectre damplitude nest pas modié ; 3. son spectre de phase vaut ∠X = ∠X0 − 2πkf0 tr .SF 12 Esquissez avec soin les spectres bilatéraux damplitude et de phase dessignaux Ex SF12a et Ex SF12b. Expliquez les diérences apparaissant entre lesspectres.SF 13 Partant dune SIR, calculez le spectre dun signal carré damplitude A=±5 V et de période T = 1 ms. Faites de même pour un signal triangulaire à partirde la SIT. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 177
  • 192. 4. Analyse des signaux périodiques 1 x1(t) [V] 0.5 0 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1 x2(t) [V] 0.5 0 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0.5 x3(t) [V] 0 −0.5 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 t [ms] Fig. 4.28.: Ex SF 12a 0.6 0.4 0.2 x4(t) [V] 0 −0.2 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0.6 0.4 0.2 x5(t) [V] 0 −0.2 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 t [ms] Fig. 4.29.: Ex SF 12b178 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 193. 4.12. ExercicesSF 14 Considérant les quatre signaux de la gure Ex SF14 damplitude A, depériode T, de largeur et constante de temps ∆t = τ = 0.2 T : 1. calculez leur valeur ecace ; 2. à partir du spectre dune suite dexponentielles décroissantes, utilisez deux théorèmes proposés dans le cours pour trouver les spectres des signaux x2 (t) et x4 (t). 1 1 0.5 0.8 0.6 x1(t) x2(t) 0 0.4 −0.5 0.2 0 −1 0 0.5 1 1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 x3(t) x4(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 0 0.5 1 1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 t [ms] t [ms] Fig. 4.30.: Ex SF 14SF 15 Considérant une SIR centrée de période T = 100 [µs], de largeur ∆t =20 [µs] et damplitude A = 10 [V ], 1. calculez le pourcentage de puissance comprise dans le premier lobe du sinus cardinal ; 2. admettant que cette SIR est appliquée à un ltre passe-bas dordre 1 dont la fonction de transfert est 1 H(jf ) = , fc = 10 [kHz] 1 + jf /fc que valent lamplitude et la phase des composantes 10 kHz, 40 kHz et 150 kHz ?SF 16 Un ltre passe-bas RC réalisé avec R = 1 [kΩ] et C = 0.1 [µF ] est attaquépar un signal carré u1 (t) de période T = 1 ms et damplitude comprise entre 0 et20 V : c 2008 freddy.mudry@gmail.com 179
  • 194. 4. Analyse des signaux périodiques 1. esquissez le signal de sortie u2 (t) et le courant i(t) ; 2. pour chacun des 3 signaux u1 (t), u2 (t), i(t), calculez leurs valeurs DC, ecace totale et ecace AC.SF 17 Soit un ltre RC passe-bas dont la constante de temps est mal connue.On lui applique une SIR x(t) damplitude A = 10 [V ], de période T = 20 [ms] et delargeur ∆t = 1 [ms]. 1. que valent les composantes continues des signaux dentrée et de sortie ? 2. quelle est la fonction de transfert H(jω) du circuit ; 3. que valent les spectres bilatéraux X(jk) et Y (jk) ? 4. admettant que la constante de temps est de lordre de 2 ms, esquissez les signaux dentrée x(t) et de sortie y(t) ; estimez la valeur maximum de y(t) ; 5. pour la fréquence f = 5 f0 , lanalyseur spectral du signal de sortie fournit le coecient complexe Y (j5) = 0.0659 − j 0.154 ; calculez lamplitude et largu- ment de la fonction de transfert pour cette fréquence ; 0 (Rép. : |H| = 0.37, ∠H = −68 ) 6. que valent la constante de temps et la fréquence de coupure du ltre ? (Rép. : τ = 1.6 [ms], fc = 100 [Hz])SF 18 Pour identier un système linéaire possédant une résonance, on injecte danscelui-ci une SIR x(t) de période T. La sortie sera donc périodique et son spectreY (jk) sera constitué de raies distantes de 1/T. An dobtenir une image spectralereprésentative du système H(jω), il faut que les raies spectrales soient en nombresusant et que le premier lobe de la SIR couvre le domaine de fréquences désiré( 10 fres ).On demande de déterminer les paramètres T et ∆t dune SIR permettant de mesurerla réponse harmonique dun circuit LC-R dont on connaît approximativement lesvaleurs L 1 mH, C 0.1 µF, R 20 Ω.Pour ce faire : 1. esquissez H(f ) dans un diagramme linéaire, 2. précisez le nombre de raies spectrales BF et HF que vous estimez nécessaires ; 3. estimez la distance inter-spectrale nécessaire pour observer le pic de résonance ; 4. calculez T et ∆t ; adoptez des valeurs entières ; 5. si lamplitude des impulsions est de 10 V, quelle est lamplitude de la raie spectrale située près de la résonance fres ? près de 5 fres ? 6. pour ces mêmes fréquences, quelles sont les amplitudes des raies mesurées à la sortie du ltre LC-R ?180 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 195. 4.12. ExercicesSF 19 Un circuit RC de résistance R = 1 kΩ et de capacité C = 1 µF est attaquépar une SIR u1 (t) damplitude E = 10 V , de largeur ∆t = 0.2 ms et de périodeT = 1 ms : 1. quelles sont les valeurs moyennes de u1 (t) et u2 (t) ; 2. que vaut la constante de temps du circuit ? 3. esquissez u2 (t) ; 4. calculez Z(jω) et I(jkf0 ) ; 5. quelle est la puissance dissipée dans la résistance ?SF 20 Un circuit redresseur double alternance suivi dun ltre RC (R et C enparallèle avec le pont redresseur) est utilisé pour réaliser une conversion AC-DC.Tenant compte des hypothèses simplicatrices suivantes le courant i(t) est considéré comme une suite dimpulsions rectangulaires de lar- geur ∆t beaucoup plus petite que la période T = 10 ms ; la réactance du condensateur est négligeable par rapport à la résistance de charge R.dessinez le schéma du circuit puis : 1. calculez les coecients de Fourier U (jk) de la tension de sortie u(t) ; 2. calculez la puissance de chaque harmonique ; 3. calculez une borne supérieure pour la puissance dondulation, sachant que ∞ 1 π2 = k=1 k2 6 4. calculez le taux dondulation maximum ; 5. si lon veut un taux dondulation inférieur à 0.1, quelle capacité faut-il choisir lorsque la résistance R vaut 100 Ω? 6. estimez lamplitude du générateur u1 (t) pour que Udc 15 V .SF 21 Un circuit non linéaire de type parabolique est modélisé par la caractéris-tique de transfert suivante : u2 (t) = α u1 (t) + β u2 (t) 1Sachant quon lui applique une tension sinusoïdale u1 (t) = A sin(ωt) : 1. déterminez les composantes spectrales que lon obtient à la sortie ; 2. quelle est la puissance normalisée P2 du signal de sortie ? 3. que vaut-elle par rapport à celle du signal dentrée P1 ? 4. faites lA.N. avec A = 10 V, ω = 2π 100 rad/s, α = 1, β = 0.2 1/V 5. esquissez u2 (t) ; quel est son taux de distorsion harmonique ? c 2008 freddy.mudry@gmail.com 181
  • 196. 4. Analyse des signaux périodiquesSF 22 Considérant les deux signaux ci-dessous : 2π π 4π π x1 (t) = cos t+ + sin t+ 3 6 5 2 2π π 4π π 20 x2 (t) = cos t+ + sin t+ + sin t 3 6 5 2 7précisez si ces signaux sont périodiques ou non. Pour cela, il vous faut trouver : 1. les fréquences constitutives de chaque signal, 2. les rapports existant entre ces fréquences, 3. la fréquence fondamentale si elle existe, 4. les harmoniques présents.SF 23 : Les deux signaux de la gure Ex SF23 caractérisés par A1 = 2 V, ∆t = 0.2 ms, T = 1 ms A2 = 5 V, τ = 0.1 ms, T = 1 mspassent au travers dun ltre passe-bas idéal de fréquence de coupure fc = 4.5 kHz .Après avoir rappelé ce quest la réponse fréquentielle dun ltre passe-bas idéal, 1. calculez les puissances Px1 , Px2 de chacun des signaux dentrée ; 2. calculez les puissances Py1 , Py2 de chacun des signaux de sortie. 2 5 4 1 3 x (t) x2(t) 0 1 2 −1 1 −2 0 0 0.5 1 1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 t [ms] t [ms] Fig. 4.31.: Ex SF 23SF 24 A cause de son taux de variation limité (slew-rate), un amplicateur opé-rationnel transforme un sinus en un signal triangulaire symétrique damplitude A.Calculez le taux de distorsion de cette déformation.SF 25 Un signal sinusoïdal damplitude 10V et de fréquence 1 kHz est appliqué àun ltre RC passe-bas de fréquence de coupure 2 kHz. Calculez le TDH du signalde sortie.182 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 197. 4.12. ExercicesSF 26 On applique un signal sinusoïdal damplitude 0.1V et de fréquence 10 kHz àun amplicateur inverseur de gain 100. Visuellement, le signal de sortie semble par-faitement sinusoïdal. Cependant, une analyse spectrale a fourni les composantes Akdu tableau ci-dessous. Calculez la valeur ecace du signal de sortie et son TDH. k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ak [V] 81e-3 6.46 87e-6 0.105 55e-6 2.66e-3 58e-6 213e-6 57e-6 48e-6SF 27 La gure Ex SF27 présente une sinusoïde x(t) damplitude 10V et unesinusoïde y(t) saturée à ±9V avec les spectres correspondants. Sachant que les com-posantes spectrales unilatérales fournies par lanalyseur spectral sont les suivantes : k 1 3 5 7 9 Ax (k) [dB] 0.0 Ay (k) [dB] 0.33 30.0 33.2 33.8 50.7 Ax (k) [V ] Ay (k) [V ] 1. calculez les amplitudes spectrales unilatérales et complétez le tableau ; 2. calculez les valeurs ecaces des deux signaux ; 3. calculez le TDH de y(t) ; 4. expliquez pourquoi les harmoniques pairs du signal y(t) sont nuls. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 183
  • 198. 4. Analyse des signaux périodiques Signaux temporels et frequentiels 10 5 x(t) et y(t) 0 −5 Usat = 9[V] −10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 temps [s] −3 x 10 0 −20 X(f) [dB] −40 −60 −80 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0 −20 Y(f) [dB] −40 −60 −80 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 frequence [Hz] Fig. 4.32.: Ex SF 27184 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 199. Bibliographie[1] B.P. Lathy, Linear Systems and Signals, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael CA, 1992[2] A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, Signals and Systems, Prentice-Hall, 1983 185
  • 200. Bibliographie186 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 201. 5. Analyse des signaux non périodiques5.1. Transformation de Fourier5.1.1. Passage de la série à la transformation de FourierLe passage dun signal périodique à un signal apériodique peut se faire en considérantque la période T devient de plus en plus grande pour tendre vers linni. On constatealors que les raies spectrales distantes de 1/T se rapprochent pour se transformer enspectre continu. Mais en même temps, lamplitude de celui-ci diminue pour tendrevers zéro. Une illustration en est donnée (gure 5.1) pour une suite dimpulsionsrectangulaires dont la période augmente alors que la largeur reste constante. Commela surface de limpulsion reste constante alors que la période augmente, lamplitudeXdc du sinus cardinal ne cesse de décroître pour tendre vers zéro.Partant dun signal périodique décrit par +∞ x(t) = X(jk) exp(+j2π kf0 t) k→−∞ +T /2 1 X(jk) = x(t) exp(−j2π kf0 t)dt T −T /2on évite lannulation de X(jk) lorsque T →∞ en considérant la fonction +T /2 T · X(jk) = x(t) exp(−j2π kf0 t)dt −T /2À partir des correspondances suivantes T → ∞, f0 → df, kf0 → f, T · X(jk) → X(jf )on voit que la série de Fourier discrète devient une fonction continue. Cette fonctionX(jf ) est une densité spectrale damplitude qui, par dénition, est la transfor-mée de Fourier du signal apériodique x(t) : +∞ X(jf ) ≡ x(t) exp(−j2π f t)dt −∞ 187
  • 202. 5. Analyse des signaux non périodiques x(t) X(jk) T X(jk) 1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.5 0 0 0 −0.1 −0.1 0 1 2 3 0 5 10 15 0 5 10 15 1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.5 0 0 0 −0.1 −0.1 0 1 2 3 0 5 10 15 0 5 10 15 1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.5 0 0 0 −0.1 −0.1 0 1 2 3 0 5 10 15 0 5 10 15 temps fréquence fréquence Fig. 5.1.: Passage de la série de Fourier à la densité spectrale188 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 203. 5.1. Transformation de FourierLa transformée inverse sobtient en considérant la fonction périodique pour laquellela période T tend vers linni ; on a alors : +∞ x(t) = X(jk) exp(+j2π kf0 t) k→−∞ +∞ 1 = lim (T X(jk)) exp(+j2π kf0 t) T →∞ k→−∞ T +∞ = lim (T X(jk)) exp(+j2π kf0 t) f0 T →∞ k→−∞Lorsquon passe à la limite T → ∞, T · X(jk) → X(jf ), f0 → df, kf0 → fon obtient la dénition de la transformation inverse de Fourier +∞ x(t) ≡ X(jf ) exp(+j2πf t) df −∞Il est important de noter que les unités de X(jf ) ne sont pas les mêmes que cellesdu signal original x(t). Dans le cas où x(t) est une tension électrique, sa transforméeX(jf ) sexprime en [V/Hz].5.1.2. TF directe et inverseLes deux relations que nous venons de démontrer constituent les transformations deFourier directe et inverse. On constate que les descriptions temporelle et spectralesont parfaitement symétriques : +∞ x(t) = X(jf ) exp(+j2πf t) df (5.1) −∞ +∞ X(jf ) = x(t) exp(−j2πf t) dt (5.2) −∞En notation abrégée, on décrira ces deux transformations par les opérateurs TF{}et T F I{ }. La correspondance réciproque sécrit alors : x(t) = T F I{X(jf )} ←→ T F {x(t)} = X(jf )Si la fonction x(t) ne possède pas de symétries particulières, sa densité spectraledamplitude X(jf ) est une fonction complexe : x(t) ←→ X(jf ) = Xr (f ) + jXi (f ) (5.3)Les densités spectrales du module et de la phase valent alors : |X(jf )| ≡ X(f ) = Xr (f ) + Xi2 (f ) 2 (5.4) Xi (f ) ∠X(jf ) ≡ α(f ) = arctan (5.5) Xr (f ) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 189
  • 204. 5. Analyse des signaux non périodiques5.1.3. Énergie dun signal non permanentDans le cas des signaux non permanents, on prendra garde à parler de leur énergie etnon pas de leur puissance, car celle-ci est nulle si lon considère une durée innimentlongue.De manière similaire à ce que lon a vu pour les signaux périodiques, on peut calculerlénergie dun signal apériodique aussi bien dans le domaine temporel que dansdomaine fréquentiel : +∞ 2 W = x2 (t) dt V sec (5.6) −∞ +∞ W = |X(jf )|2 df V 2 /Hz (5.7) −∞Lexpression de lénergie dun signal x(t) dans le domaine des fréquences entraîne ladénition de la densité spectrale dénergie Sx (f ) : Sx (f ) ≡ |X(jf )|2 = X(jf ) · X(jf )∗ V 2 /Hz2 (5.8) 2On notera que ses unités sexpriment en [V /Hz2 ] lorsque le signal est une tension.5.1.4. Propriétés de la transformation de FourierParmi le grand nombre de propriétés associées à la transformation de Fourier, onretiendra particulièrement celles qui ont le plus dintérêt en traitement du signal.Elles sont présentées dans le tableau 5.1.5.2. Exemples de spectres continusPour illustrer lutilisation de la transformée de Fourier, calculons les densités spec-trales de trois signaux particuliers.5.2.1. Spectre dune impulsion rectangulaireConsidérons une impulsion x(t) de largeur ∆t et damplitude A centrée en t = 0(gure 5.2). Par dénition de la transformation de Fourier, on a : +∞ X(jf ) = x(t) exp(−j2π f t)dt −∞En tenant compte de la dénition de limpulsion rectangulaire centrée :  ∆t  0 si |t| > 2 x(t) = (5.9) ∆t A si |t| ≤  2190 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 205. 5.2. Exemples de spectres continusa) linéarité ax(t) + by(t) aX(jf ) + bY (jf )b) décalage x(t + td ) X(jf ) exp(+j2πf td )c) amortissement x(t) exp(−at), x(t) causal X(j2πf + a)d) modulation x(t) exp(+j2πf0 t) X (j(f − f0 )) dx(t)e) dérivation j2πf X(jf ) dt 1 1 X(jf ) + X(0)δ(f ) j2πf 2 tf ) intégration x(t)dt −∞ +∞ avec X(0) = x(t)dt −∞ h(t) ⊗ x(t) H(jf ) · X(jf )g) convolution h(t) · x(t) H(jf ) ⊗ X(jf ) +∞ +∞h) énergie W = x2 (t)dt W = |X(jf )|2 df −∞ −∞ +∞ +∞j) valeurs à lorigine x(t = 0) = X(jf )df X(f = 0) = x(t)dt −∞ −∞k) rotation Oy y(t) = x(−t) Y (jf ) = X(−jf ) = X ∗ (jf )l) fonction paire x(−t) = x(t) X(jf ) ∈m) fonction impaire x(−t) = −x(t) X(jf ) ∈ Tab. 5.1.: Quelques propriétés de la transformation de Fourier c 2008 freddy.mudry@gmail.com 191
  • 206. 5. Analyse des signaux non périodiquesil vient : +∆t/2 X(jf ) = A exp(−j2π f t)dt −∆t/2 +∆t/2 −A = exp(−j2π f t) j2πf −∆t/2 −A ∆t ∆t = exp(−j2π f ) − exp(+j2π f ) j2πf 2 2 A exp(+jπ f ∆t) − exp(−jπ f ∆t) = πf 2jUtilisant la formule dEuler : exp(+ju) − exp(−ju) sin u = 2jon obtient nalement : sin(πf ∆t) X(jf ) = A ∆t = A ∆t sinc(f ∆t) ∈ (5.10) πf ∆tComme on pouvait sy attendre, la densité spectrale damplitude dune impulsionrectangulaire centrée en t = 0 est bien décrite par un sinus cardinal. De plus, commelimpulsion rectangulaire x(t) est paire, sa densité spectrale damplitude Y (jf ) estune fonction réelle. Enn, on remarquera (gure 5.2) que le spectre passe par zérochaque fois que le sinus cardinal sannule, cest-à-dire, chaque fois que la fréquenceest un multiple de 1/∆t.Le spectre de cette impulsion illustre deux points importants concernant les signauxde durée limitée (gure 5.3) : Un signal de courte durée possède un spectre large bande. Un spectre étroit correspond à un signal de longue durée.5.2.2. Spectres dun sinus amortiÉtudions, comme deuxième exemple, la transformée de Fourier dune sinusoïde defréquence fp décroissant exponentiellement au cours du temps (gure 5.4). Son équa-tion sécrit :   0, si t < 0 y(t) = (5.11) A exp(−at) sin(2πfp t), si t ≥ 0 Partant de la dénition de la transformée de Fourier, on calcule sa densité spectraledamplitude : +∞ Y (jf ) = y(t) exp(−j2πf t)dt −∞192 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 207. 5.2. Exemples de spectres continus 1 0.8 0.6 x(t) 0.4 0.2 0 −0.2 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 temps 4 3 2 X(jf) 1 0 −1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fréquence Fig. 5.2.: Impulsion rectangulaire et sa densité spectrale damplitude A = 1, ∆t = 10 1.2 10 1 8 0.8 6 0.6 X1(jf) x1(t) 4 0.4 2 0.2 0 0 −2 −0.2 −10 −5 0 5 10 −5 0 5 A = 5, ∆t = 2 6 10 5 8 4 6 3 X2(jf) x2(t) 4 2 2 1 0 0 −2 −1 −10 −5 0 5 10 −5 0 5 temps fréquenceFig. 5.3.: Le contenu spectral dune impulsion dépend fortement de sa durée c 2008 freddy.mudry@gmail.com 193
  • 208. 5. Analyse des signaux non périodiques ∞ = A exp(−at) sin(2πfp t) exp(−j2πf t)dt 0 ∞ exp(+j2πfp t) − exp(−j2πfp t) = A exp(−at) exp(−j2πf t)dt 0 2jCette intégrale ne contient que des exponentielles ; elle est très simple à calculer.Après réduction des deux primitives à un même dénominateur, on obtient : 2πfp Y (jf ) = A ∈C (5.12) (a + j2πf )2 + (2πfp )2 1 A = 1.0 0.5 fp = 4.0 a = 0.25 y(t) 0 −0.5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 temps 2 1.5 |Y(jf))| 1 0.5 0 −10 −5 0 5 10 fréquence Fig. 5.4.: Sinus amorti et le module de sa densité spectrale damplitudeOn remarquera que la densité spectrale damplitude Y (jf ) est une fonction complexecar la sinusoïde décroissante y(t) ne possède pas de symétrie particulière. La gure5.4 présente le sinus amorti et le module de sa densité spectrale damplitude.On peut également noter les deux valeurs particulières suivantes 2πfp A f =0: Y (0) = A si a 2π fp a2 + (2πfp )2 2πfp A 2πfp A f = fp : Y (jfp ) = si a 2π fp a a + +j4πfp j2a194 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 209. 5.2. Exemples de spectres continus5.2.3. Spectres de 2 impulsionsConsidérons un signal constitué de deux impulsions damplitude A placées symétri-quement en ±t0 /2 (gure 5.5). Ce signal possède un spectre qui se calcule facilementà partir de celui dune impulsion centrée en t = 0 et à laide du théorème du décalage.Comme le signal z(t) est la somme de 2 impulsions décalées de ±t0 /2, z(t) = x(t + t0 /2) + x(t − t0 /2) (5.13)on a : sin(πf ∆t) t0 t0 Z(jf ) = A ∆t exp(+j2πf ) + exp(−j2πf ) πf ∆t 2 2donc sin(πf ∆t) Z(jf ) = 2 A ∆t cos(πf t0 ) (5.14) πf ∆tDe plus, par rapport à ce qui va suivre, il est intéressant de considérer également ladensité spectrale dénergie : 2 sin(πf ∆t) Sz (f ) ≡ |Z(jf )|2 = 2 A ∆t cos(πf t0 ) (5.15) πf ∆tLes densités spectrales damplitude et dénergie sont représentées à la gure 5.5. 1 z(t) 0.5 (a) 0 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 2 1 Z(jf) 0 −1 (b) −2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 4 3 Sz(f) 2 1 (c) 0 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2Fig. 5.5.: Deux impulsions rectangulaires symétriques (a) avec ses densités spec- trales damplitude (b) et dénergie (c) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 195
  • 210. 5. Analyse des signaux non périodiques5.3. Calcul de quelques transforméesAn de mieux saisir les implications de la TF, calculons les transformées de quelquessignaux importants en traitement du signal.5.3.1. Exponentielle décroissanteDans ce cas, x(t) vaut   0 si t < 0 x(t) = exp(−at) (t) = (5.16) exp(−at) si t ≥ 0  4 2 1 0.8 3 1 0.6 |X(jf)| / X(jf) x(t 2 0 0.4 0.2 1 −1 0 0 −2 0 2 4 6 −2 0 2 −2 0 2 temps fréquence fréquence Fig. 5.6.: Exponentielle décroissante et ses spectres (module et phase)Lapplication de la dénition de la TF conduit à : +∞ X(jf ) = exp(−at) exp(−j2πf t)dt 0doù : 1 X(jf ) = (5.17) a + j2πfPour illustrer le théorème de lénergie, calculons lénergie de ce signal dans le do-maine temporel : +∞ +∞ 2 1 W = x (t) dt = exp(−2at) dt = −∞ 0 2aet dans le domaine fréquentiel : +∞ +∞ df W = |X(jf )|2 df = −∞ −∞ a2 + (2πf )2 +∞ 1 2πf 1 = arctan = 2πa a −∞ 2aOn retrouve bien entendu le même résultat dans les deux cas.196 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 211. 5.3. Calcul de quelques transformées5.3.2. Exponentielle décroissante symétriqueCe signal est décrit par : x(t) = exp(−a |t|) , −∞ < t < +∞ (5.18) 4 2 1 0.8 3 1 0.6 |X(jf)| / X(jf) x(t) 2 0 0.4 0.2 1 −1 0 0 −2 −5 0 5 −2 0 2 −2 0 2 temps fréquence fréquence Fig. 5.7.: Exponentielle symétrique et ses spectres (module et phase)De manière plus explicite, on peut encore lécrire sous la forme x(t) = exp(+at) (−t) + exp(−at) (t) (5.19)On a alors : 0 ∞ X(jf ) = exp(+at) exp(−j2πf t) dt + exp(−at) exp(−j2πf t) dt −∞ 0doù : 1−0 0−1 2a X(jf ) = + = 2 (5.20) a − j2πf −(a + j2πf ) a + (2πf )2On remarquera que x(t) étant pair, sa transformée est réelle.5.3.3. Signal constant unitéLe signal constant unité vaut simplement 1 quelque soit t ∈ (−∞, +∞). Au sensdes limites, il peut être décrit à partir de lexponentielle symétrique : x(t) = 1 = lim exp(−a |t|) , −∞ < t < +∞ (5.21) a→0Ce passage par la limite est nécessaire car le signal constant nest pas intégrable envaleur absolue et sa transformée de Fourier ne peut donc pas être calculée à partirde sa dénition. Par contre, partant de lexponentielle symétrique, on a :  2a  0 si f = 0 X(jf ) = lim 2 = a→0 a + (2πf )2 ∞ si f = 0  c 2008 freddy.mudry@gmail.com 197
  • 212. 5. Analyse des signaux non périodiquesCe résultat coïncide avec la dénition dune impulsion de Dirac. La TF dun signalunité est donc une impulsion de Dirac située en f =0 : X(jf ) = δ(f ) (5.22)5.3.4. Saut unitéLe calcul de la TF dun saut unité (t) (gure 5.8) nécessite également quelquesprécautions, car ce signal nest pas intégrable en valeur absolue. Mais, constatantque lon a : 1 = (t) + (−t)et désignant la TF de (t) par E(jf ), il vient : T F {1} = δ(f ) = E(jf ) + E ∗ (jf ) = 2 Er (jf )De ce résultat, on en déduit que la partie réelle Er (jf ) vaut δ(f )/2.Il reste encore à trouver la partie imaginaire de E(jf ). Pour ce faire, on peut re-marquer que le saut unité peut également sécrire sous la forme :   0 si t < 0 (t) = (5.23) lima→0 exp(−at) si t ≥ 0 dont la transformée (équation 5.17) est purement imaginaire et vaut 1/(j2πf ). Onobtient donc nalement : 1 1 E(jf ) = Er (jf ) + j Ei (jf ) = δ(f ) + (5.24) 2 j2πf5.3.5. PhaseurPour calculer sa TF, considérons le fait quun phaseur de fréquence f0 peut sécrirecomme suit : x(t) = exp(+j2πf0 t) = lim exp(−a |t|) exp(+j2πf0 t) (5.25) a→0Utilisant la TF de lexponentielle symétrique (équation 5.20) et la propriété demodulation, on a :  2a  0 si f = f0 X(jf ) = lim = a→0 a2 + (2π(f − f ))2 0 ∞ si f = f0 La TF dun phaseur de fréquence f0 est donc une impulsion de Dirac située enf = f0 : X(jf ) = δ(f − f0 ) (5.26)198 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 213. 5.3. Calcul de quelques transformées x(t) |X(jf)| ∠ X(jf) 2 2 1 1.5 1 Saut unité 0.5 1 0 0.5 −1 0 0 −2 −5 0 5 −2 0 2 −2 0 2 1 1 2 0.5 1 Cosinus 0 0.5 0 −0.5 −1 −1 0 −2 −5 0 5 −2 0 2 −2 0 2 1 1 2 0.5 1 Sinus 0 0.5 0 −0.5 −1 −1 0 −2 −5 0 5 −2 0 2 −2 0 2 t f fFig. 5.8.: Signaux et densités spectrales dun saut unité, dun cosinus et dun sinus5.3.6. Signal sinusoïdalComme un signal sinusoïdal est constitué de 2 phaseurs conjugués complexes (loidEuler), sa TF comportera 2 impulsions de Dirac située en ±f0 . Plus précisément,on aura : 1 +j2πf0 t δ(f − f0 ) + δ(f + f0 ) x(t) = cos(2πf0 t) = e + e−j2πf0 t ←→ X(jf ) = 2 2 (5.27) 1 +j2πf0 t δ(f − f0 ) − δ(f + f0 ) x(t) = sin(2πf0 t) = e − e−j2πf0 t ←→ X(jf ) = 2j 2j (5.28)La première TF est réelle, car la cosinusoïde est paire, alors que la deuxième TFest imaginaire car la sinusoïde est impaire. On notera que les modules des densitésspectrales sont les mêmes et que seuls dièrent leurs arguments (gure 5.8).5.3.7. Impulsion sinusoïdaleParmi les propriétés des transformations de Laplace et Fourier, nous avons vu quàun produit de convolution dans le domaine temporel correspond un produit simple c 2008 freddy.mudry@gmail.com 199
  • 214. 5. Analyse des signaux non périodiquesdans le domaine complexe : y(t) = h(t) ⊗ x(t) ←→ Y (jf ) = H(jf ) · X(jf ) (5.29)Linverse de cette proposition est également vraie et elle est très pratique pourcalculer le spectre de signaux modulés en amplitude. Elle sexprime comme suit. Àun produit simple dans le domaine temporel correspond un produit de convolutiondans le domaine complexe : y(t) = m(t) · x(t) ←→ Y (jf ) = M (jf ) ⊗ X(jf ) (5.30) 2 1 1.5 X(f) x(t) 0 1 0.5 −1 0 −2 −1 0 1 2 −10 −5 0 5 10 2 1 1.5 m(t) M(f) 0 1 0.5 −1 0 −2 −1 0 1 2 −10 −5 0 5 10 2 1 1.5 Y(f) x(t) 0 1 0.5 −1 0 −2 −1 0 1 2 −10 −5 0 5 10 temps fréquence Fig. 5.9.: Impulsion sinusoïdale et son spectreConsidérons comme exemple une impulsion sinusoïdale de durée ∆t (g. 5.9c)  ∆t  cos(2πf0 t) si |t| < 2 y(t) = ∆t 0 si |t| ≥  2Voyant que ce signal est équivalent à la multiplication dune sinusoïde permanente(g. 5.9a) par une impulsion de largeur ∆t (g. 5.9b), on a :  ∆t  1 si |t| < 2 y(t) = m(t) · x(t) = m(t) · cos(2πf0 t) avec m(t) = ∆t 0 si |t| ≥  2200 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 215. 5.4. Quelques conclusionsSachant que les spectres des signaux x(t) et m(t) valent respectivement 1 X(jf ) = (δ (f + f0 ) + δ (f − f0 )) 2 M (jf ) = A ∆t sinc(f ∆t)et que la convolution entre une fonction et une impulsion de Dirac reproduit lafonction à lendroit où se situe limpulsion, on voit que le spectre de limpulsionsinusoïdale vaut A ∆t Y (jf ) = M (jf ) ⊗ X(jf ) = (sinc((f + f0 ) ∆t) + sinc((f − f0 ) ∆t)) 2On constate ainsi que le spectre dune impulsion sinusoïdale de durée ∆t est constituéde deux sinus cardinaux situés en +f0 et −f0 (gure 5.9c).5.4. Quelques conclusions5.4.1. TF des signaux périodiquesDu paragraphe précédent, on retiendra que la transformation de Fourier sappliqueégalement à des signaux périodiques, cest-à-dire à des signaux de puissance moyennenie. Dans ce cas, les raies spectrales de la série de Fourier sont remplacées par desimpulsions de Dirac.5.4.2. Relations avec la transformation de LaplaceLes dénitions des transformées de Fourier et Laplace montrent une forte similitude.On a en eet +∞ X(jf ) = x(t) exp(−j2π f t)dt −∞ +∞ X(s) = x(t) exp(−s t) dt avec s = σ + j2πf 0Si on a déni des transformations si proches, mais malgré tout distinctes, cest quetous les signaux ne sont pas transformables de Fourier et/ou de Laplace. En eet,lexistence de ces transformations entraînent les restrictions suivantes : pour la transformation de Fourier, il faut que le signal soit intégrable en valeur absolue et que le nombre de ses discontinuités soit ni : +∞ |x(t)| dt < ∞ −∞ c 2008 freddy.mudry@gmail.com 201
  • 216. 5. Analyse des signaux non périodiques pour la transformation de Laplace, il faut que : +∞ x(t)e−st dt < ∞ −∞ autrement dit, il faut que le signal x(t) pondéré par une exponentielle amortie soit intégrable en valeur absolue.Des deux points ci-dessus, il découle que les signaux temporaires (à énergie nie) etles signaux permanents périodiques ou non (à puissance ne) possèdent une trans-formée de Fourier mais pas nécessairement une transformée de Laplace. Ainsi enest-il de lexponentielle symétrique et, au sens des limites, des signaux périodiques.Par contre, des signaux démarrant en t = 0 tels quune rampe x(t) = a · t (t), 2une parabole x(t) = a · t (t), ne sont pas transformables de Fourier, alors quilspossèdent une transformée de Laplace.Il existe dautre part des signaux qui possèdent les deux transformées ; par exemple,les signaux amortis démarrant en t = 0. Et dautres qui nen possèdent aucune ; parexemple x(t) = a · t pour −∞ < t < +∞.On trouvera en n de chapitre une table illustrée des transformées de Fourier tiréede louvrage de F. de Coulon [2].5.5. Extension de la transformation de FourierLe spectre dénergie des deux impulsions étudiées à la section 5.2.3 montre unegrande similitude avec la gure de diraction de Fraunhofer due à deux fentes étroites(gure 5.10). En réalité, il sagit bien plus que dune similitude car on montre enphysique que toute gure de diraction est la transformée de Fourier de lobjet quien est la cause.De cette analogie, on déduit que la notion de transformation de Fourier peut êtreétendue à des espaces à plusieurs dimensions. Cette transformation de Fourier multi-dimensionnelle est dénie de manière similaire à celle que nous avons étudiée jusquàprésent +∞ x(t) → X(jf ) ≡ x(t) exp (−j2π f t) dt (5.31) −∞avec f représentant la fréquence des oscillations, cest-à-dire le nombre de périodespar unité de temps. Cette fréquence est mesurée en [Hz] ou, de manière plus fonda-mentale, en [1/sec].Dans le cas particulier dune image (espace à deux dimensions), on a aaire à uneintensité lumineuse i fonction des coordonnées x et y i = i(x, y) (5.32)Sa transformée de Fourier est alors dénie comme suit +∞ +∞ i(x, y) → I(jfx , jfy ) ≡ i(x, y) exp (−j2π fx x) exp (−j2π fy y) dx dy −∞ −∞ (5.33)202 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 217. 5.5. Extension de la transformation de Fourier 1 z(t) 0.5 (a) 0 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 2 1 Z(jf) 0 −1 (b) −2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 4 3 Sz(f) 2 1 (c) 0 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2Fig. 5.10.: a) Deux impulsions rectangulaires et leurs spectres damplitudes et dénergie b) Figure de diraction causée par deux ouvertures étroites [3] c 2008 freddy.mudry@gmail.com 203
  • 218. 5. Analyse des signaux non périodiques 1 1 g(x,y) g(x,y) 0.5 0.5 0 0 50 50 50 50 0 0 0 0 y −50 −50 x y −50 −50 x 1 1 0.5 0.5G(fx,fy) G(fx,fy) 0 0 −0.5 −0.5 5 5 5 5 0 0 0 0 fy −5 −5 f fy −5 −5 f x x Original Passe−haut Passe−basFig. 5.11.: a) Transformées de Fourier spatiales dun rond et dun carré b) Filtrage spatial de la lettre A avec un masque qui ne laisse passer que les hautes ou les basses fréquences204 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 219. 5.5. Extension de la transformation de FourierA Fig. 5.12.: Alphabet de Fourier (partiel) avec le mot à découvrir c 2008 freddy.mudry@gmail.com 205
  • 220. 5. Analyse des signaux non périodiquesIci, les fréquences spatiales fx et fy représentent le nombre de périodes par unité delongueur mesurées en [1/m]. Une illustration des spectres spatiaux (ou des guresde diraction) douvertures circulaire et carrée est donnée à la gure 5.11 ; on yreconnaît la fonction sinus cardinal distribuée dans lespace des fréquences spatialesfx et fy .Comme nous venons de le voir, la notion de transformation de Fourier sappliqueà des fonctions bidimensionnelles. On imagine donc aisément que les principes deltrage bien connus en électronique peuvent sétendre de la même manière à dessignaux multidimensionnels. Une illustration en est donnée à la gure 5.11 où lonvoit comment lapplication de masques dans le domaine fréquentiel permet dextraireles bords de limage (ltrage passe-haut) ou de défocaliser limage (ltrage passe-bas). On notera quun ltrage réalisé avec un masque constitué simplement de 0 ou1 nest pas optimum car il entraîne les eets de franges bien visibles sur les images.Une expérience amusante consiste à lire un texte dans lespace de Fourier si, aupréalable, on sest familiarisé avec les spectres bidimensionnels des majuscules delalphabet (gure 5.12). Quelques instants dobservation montrent quil est possiblede reconnaître les lettres de lalphabet simplement à partir de leur transformée deFourier spatiale. Dans cette gure, seules vingt images de lalphabet sont présen-tées dans lordre alphabétique ; les lettres manquantes peuvent être retrouvées enessayant de se représenter leur spectre. Après avoir trouvé les lettres manquantes,on peut rechercher le mot écrit avec cet alphabet.5.6. Classication et types de signauxSans entrer dans les détails de la classication des signaux, il faut mentionner queplusieurs approches sont possibles. Parmi celles-ci, on en citera deux : la classication phénoménologique qui met laccent sur le comportement temporel du signal ; la classication énergétique où lon classe les signaux suivant quils sont à énergie nie ou à puissance nie.5.6.1. Classication phénoménologiqueDans cette classication, on répartit généralement les signaux en deux classes prin-cipales et quatre sous-classes illustrées par la gure 5.13.Dans les deux classes principales, on trouve : les signaux déterministes dont lévolution temporelle parfaitement dénie peut être prédite par un modèle mathématique approprié ; les signaux aléatoires qui ont un comportement temporel imprévisible et dont la description ne peut se faire quau travers dobservations statistiques.Parmi les signaux déterministes (gure 5.14), on distingue : les signaux périodiques dont la forme se répète régulièrement ;206 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 221. 5.6. Classication et types de signaux Signaux Permanents Non permanents Déterministes Aléatoires Périodiques Non périodiques Stationnaires Non stationnaires Fig. 5.13.: Classication phénoménologique des signaux (a) (b) 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1 −5 0 5 −5 0 5 (c) (d) 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1 −5 0 5 −5 0 5 temps tempsFig. 5.14.: Exemples de signaux déterministes : (a) périodique, (b) pseudo-aléatoire, (c) quasi-périodique, (d) non-permanent c 2008 freddy.mudry@gmail.com 207
  • 222. 5. Analyse des signaux non périodiques (a) 1 0 −1 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 (b) 1 0 −1 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 (c) 1 0 −1 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 tempsFig. 5.15.: Trois exemples de signaux aléatoires : (a) bruit blanc, (b) bruit large bande, (c) bruit non-stationnaire les signaux pseudo-aléatoires qui sont des signaux périodiques mais avec, à linté- rieur de la période, un comportement aléatoire ; les signaux quasi-périodiques qui résultent dune somme de sinusoïdes dont le rapport des périodes nest pas rationnel ; les signaux non-périodiques ; ils sont essentiellement représentés par des signaux transitoires dont lexistence est éphémère.Parmi les signaux aléatoires (gure 5.15), on distingue : les signaux stationnaires dont les caractéristiques statistiques ne changent pas au cours du temps (p.ex : le bruit électronique) ; les signaux non-stationnaires dont le comportement statistique évolue au cours du temps (p.ex. : la parole).5.6.2. Classication énergétiqueLénergie Wx dun signal x(t) est dénie comme suit +∞ Wx ≡ x2 (t) dt (5.34) −∞On dira que ce signal est à énergie nie si Wx < ∞. Dans cette catégorie, onrencontre tous les signaux temporellement éphémères quils soient déterministes oualéatoires.208 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 223. 5.6. Classication et types de signauxLa puissance moyenne Px dun signal x(t) est dénie par +T /2 1 Px ≡ lim x2 (t) dt ≡ Xef f 2 (5.35) T →∞ T −T /2On notera que cette dénition coïncide avec celle du carré de la valeur ecace dusignal x(t). On dira que celui-ci est à puissance nie si Px < ∞. Cette catégorieenglobe les signaux périodiques, quasi-périodiques et les signaux aléatoires perma-nents. Dans le cas où le signal est périodique, la durée dintégration T est prise égaleà une période du signal.Certains signaux théoriques nappartiennent à aucune de ces catégories ; cest le cas, −atpar exemple, de lexponentielle x(t) = e , −∞ < t < ∞. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 209
  • 224. 5. Analyse des signaux non périodiques5.7. Table illustrée de quelques transformées de Fourier [2]210 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 225. 5.7. Table illustrée de quelques transformées de Fourier [2]c 2008 freddy.mudry@gmail.com 211
  • 226. 5. Analyse des signaux non périodiques212 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 227. 5.8. Exercices5.8. ExercicesTF 1 À partir de la seule observation du signal temporel de la gure 5.16, précisezce que vaut sa densité spectrale en f =0 puis calculez et esquissez sa transforméede Fourier. 2 1.5 x(t) 1 0.5 0 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 temps [msec] Fig. 5.16.: Exercice TF1TF 2 Partant de la TF dune impulsion rectangulaire et de la propriété dintégra-tion, calculez les TF de x(t) et y(t) (gure 5.17). Après calculs, vous remarquerez 2que Y (jf ) peut sécrire sous la forme dun sinc .TF 3 Partant de la TF dune impulsion et dun saut unité, trouvez celle de z(t)(gure 5.17). Est-il possible de trouver Z(jf ) à partir de Y (jf ) ? Vous pouvez vériervotre résultat en calculant Z(jf = 0) qui doit être égal à ∆t/2.TF 4 Soit un signal carré périodique symétrique (à valeur moyenne nulle) dam-plitude A. Esquissez 1. le signal x(t) ; 2. le spectre que lon obtient avec les séries de Fourier ; 3. le spectre que lon obtient avec la transformation de Fourier.TF 5 Considérant le signal x(t) = exp(−a |t|), calculez et esquissez x(t) et X(jf ),puis vériez les 2 égalités suivantes : +∞ +∞ a) X(0) = x(t)dt , b) x(0) = X(jf )df −∞ −∞ c 2008 freddy.mudry@gmail.com 213
  • 228. 5. Analyse des signaux non périodiques 1 x(t) 0 −1 −400 −200 0 200 400 600 1 y(t) 0.5 0 −400 −200 0 200 400 600 1 z(t) 0.5 0 −400 −200 0 200 400 600 temps [msec] Fig. 5.17.: Exercices TF2 et TF3TF 6 fréquence temps 1 la partie réelle de X(jf ) est nulle 2 la partie imaginaire de X(jf ) est nulle 3 il existe un décalage t0 tel que exp(j2πf t0 )X(jf ) est réel 4 il existe un décalage t0 tel que exp(j2πf t0 )X(jf ) est imaginaire 5 X(jf ) est continu 1. Considérant les cinq propriétés fréquentielles du tableau ci-dessus, exprimez leur équivalent temporel dans la colonne de droite. 2. Pour chacun des signaux temporels de la gure 5.18, quelles sont les propriétés du tableau qui sy appliquent ?214 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 229. 5.8. Exercices 3. Construisez un signal qui ne possède aucune des cinq propriétés mentionnées dans le tableau. 1 (a) 1 (b) 0.5 0 0.5 −0.5 −1 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 1 (c) 1 (d) 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 1 1 (f) (e) 0.5 0.5 0 −0.5 0 −1 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 Fig. 5.18.: Exercice TF6 1 0.8 0.6 x(t) 0.4 0.2 0 −2 −1 0 1 2 3 4 temps [msec] Fig. 5.19.: Exercice TF7TF 7 Soit X(jf ) la transformée de Fourier du signal x(t) de la gure 5.19. Sanscalculer explicitement X(jf ), recherchez : c 2008 freddy.mudry@gmail.com 215
  • 230. 5. Analyse des signaux non périodiques 1. la densité spectrale de phase de X(jf ) ; 2. la valeur de X(f = 0) ; +∞ 3. la valeur de −∞ X(jf )df ; +∞ 4. la valeur de −∞ |X(jf )|2 df .TF 8 Connaissant la TF dune sinusoïde amortie démarrant en t=0 2πf0 X(jf ) = (a + j2πf )2 + (2πf0 )2 1. calculez la TF dune sinusoïde non amortie démarrant à linstant t = 0; 2. esquissez les modules des spectres X(jf ), Y (jf ) et celui dune sinusoïde per- manente ; 3. discutez les diérences existant entre ces trois spectres.TF 9 On applique une exponentielle décroissante u1 (t) = U0 exp(−at) (t), damor-tissementa = 100 [1/sec] à un ltre passe-bas de constante de temps τ = 1 [msec] ; 1. calculez la TF U2 (jf ) de la tension de sortie u2 (t) du ltre ; 2. utilisez le tableau des transformées pour déduire lexpression temporelle de u2 (t).TF 10 Soit un messagem(t) = A cos(2πf1 t) modulé en amplitude par une porteusesinusoïdale p(t) = sin(2πf0 t) : 1. calculez la TF du signal modulé x(t) = m(t) · p(t) = A sin(2πf0 t) · cos(2πf1 t) ; 2. esquissez le spectre du signal modulé |X(jf )| si f1 = 10 [kHz] et f0 = 800 [kHz] ; 3. idem 2) lorsque le signal m(t) possède un spectre continu |M (jf )|triangulaire et non-nul entre 2 [kHz] et 10 [kHz].TF 11 Soit le signal :   U0 cos(2πf0 t) si |t| ≤ t0 u(t) = 0 si |t| > t0  1. esquissez u(t) ; 2. calculez sa TF U (jf ) ; 3. esquissez |U (jf )| pour U0 = 1 [V], T = 1/f0 = 1 [msec], t0 = 10 [msec].Ce signal correspond à lobservation dune fonction sinusoïdale pendant une duréenie 2t0 . On remarquera, une fois le calcul eectué, que lanalyse spectrale dunesinusoïde pendant une durée nie revient à remplacer les raies spectrales situées enf = ±f0 par la fonction sinus cardinal.216 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 231. 5.8. ExercicesTF 12 Soit la fonction :  1 T  2 [1 − cos(2πf0 t)] si |t| ≤ 2 u(t) = T 0 si |t| >  2 1. esquissez u(t) ; 2. calculez sa TF U (jf ) ; 3. esquissez U (jf ) et la TF dune impulsion rectangulaire de même durée ; 4. observez les diérences.TF 13 Connaissant la transformée E(jf ) dun saut unité (t), calculez la trans-formée S(jf ) de la fonction signe s(t).TF 14 Montrez quun produit simple dans lespace des fréquences correspond àun produit de convolution dans lespace temps : +∞ Y (jf ) = X(jf ) · H(jf ) ⇔ y(t) = x(t) ⊗ h(t) = x(θ)h(t − θ)dθ −∞Pour démontrer ce résultat important et bien connu, vous pouvez dabord exprimerla TFI de Y (jf ) : +∞ +∞ y(t) = Y (jf )exp(+j2πf t)df = H(jf )X(jf )exp(+j2πf t)df −∞ −∞puis y introduire la TF de x(t) : +∞ X(jf ) = x(θ)exp(−j2πf θ)dθ −∞TF 15 Considérant la réponse dun ltre h(t) dont le spectre est le suivant :   1 si |f | ≤ 100 [Hz] H(jf ) = 0 sinon  1. esquissez H(jf ) ; 2. calculez, puis esquissez h(t) ; 3. ce signal correspond à la réponse impulsionnelle du ltre décrit par H(jf ); ce ltre est-il réalisable ? pourquoi ? c 2008 freddy.mudry@gmail.com 217
  • 232. 5. Analyse des signaux non périodiquesTF 16 Considérant un signal u(t) dont le spectre est le suivant :   1 si 100 [Hz] ≤ |f | ≤ 200 [Hz] U (jf ) = 0 sinon  1. esquissez U (jf ) ; 2. calculez puis esquissez u(t) ; 3. que vaut son énergie ?TF 17 Utilisez la transformation de Fourier pour trouver le courant circulant dansun circuit RC série sachant que le signal appliqué est un saut de tension dampli-tude E.TF 18 On applique une fonction signe u1 (t) damplitude E à un ltre RC passe-bas. 1. utilisez la transformation de Fourier pour trouver la tension de sortie ; 2. esquissez u1 (t) et u2 (t).TF 19 On applique une exponentielle symétrique u1 (t) = U0 exp(−a |t|) à un ltrepasse-bas de constante de temps τ. 1. avant de vous lancer dans les calculs, esquissez u1 (t) et imaginez ce que peut être u2 (t) ; 2. calculez la tension de sortie du ltre.La marche à suivre est la même que celle utilisée avec la transformation de La-place : décomposition en somme de fractions simples puis recherche des coecientspar identication avec des transformées connues.TF 20 On applique une exponentielle décroissante u1 (t) = U0 exp(−at) · (t) à unltre passe-bas idéal de fréquence de coupure fc . 1. exprimez U1 (jf ) et U2 (jf ) ; esquissez leur module ; 2. en admettant U0 = 10 [V ] et a = 1000 [1/sec], calculez les énergies E1 et E2 des signaux dentrée et de sortie lorsque : a (a) fc = 1 [kHz] ; (b) fc = 2π .218 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 233. 5.8. ExercicesTF 21 On applique à un ltre passe-bas de constante de temps τ = 1 [msec] unsignal u1 (t) dont le spectre est déni par :   1 [V/Hz] si 100 [Hz] <= |f | <= 300 [Hz] U1 (jf ) = 0 sinon  1. exprimez la fonction de transfert H(jf ) du ltre ; que vaut sa fréquence ca- ractéristique fc ? 2. esquissez U1 (jf ), H(jf ) et U2 (jf ) pour −500 [Hz] < f < +500 [Hz] ; 3. quelles sont les énergies E1 et E2 des signaux dentrée et de sortie ? 4. comment évoluera E2 si la constante de temps τ diminue ? 5. comment calculeriez-vous u2 (t) ? Ne faites pas les calculs, mais précisez point par point votre démarche ; essayez dentrevoir les dicultés de ce calcul.TF 22 On applique à un ltre passe-bas de constante de temps τ = RC = 10 [msec]une tension exponentielle u1 (t) = 10 exp(−at) (t) avec a = 1000 [1/sec]. 1. esquissez u1 (t) et u2 (t) ; 1 2. calculez les énergies contenues dans les signaux dentrée et de sortie.TF 23 On applique une impulsion de Dirac δ(t) à un ltre passe-bande dont lafonction de transfert vaut : D0 jf f0 1 H(jf ) = 2 D0 ≡ Q0 1 + D0 jf + f0 jf f0 1. esquissez les spectres des signaux dentrée et de sortie ; 2. exprimez lénergie du signal de sortie contenue dans la bande passante ∆f sachant que : 1 1 f0 = √ = 1 [kHz] D0 ≡ = 0.1 2π LC Q0 ∆f fi,s = ±1 + 1 + 4Q2 0 ∆f = f0 D0 2 1 Sile calcul de lintégrale dénie nécessaire pour obtenir lénergie vous paraît trop dicile, essayez la démarche suivante : a) esquissez la fonction à intégrer ; b) estimez des limites raisonnables pour la valeur de lénergie ; c) à laide dun petit programme (une douzaine de lignes), intégrez numériquement la densité spectrale dénergie. Si le nombre de pas est susant, le résultat obtenu sera tout à fait satisfaisant. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 219
  • 234. 5. Analyse des signaux non périodiquesTF 24 Considérant le spectre X(jf ) de la gure 5.20 constitué dun sinus cardinaldamplitude X(0) = 2 · 10−3 et de 2 impulsions de Dirac de surface 1/2, trouvez puisesquissez le signal x(t) correspondant. −4 x 10 20 15 10 1/2 1/2 X(jf) 5 0 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 fréquence [kHz] Fig. 5.20.: Exercice TF24TF 25 A partir du signal x(t) = exp(−at) (t), trouvez le spectre de y(t) = sgn(t).220 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 235. Bibliographie[1] B.P. Lathy, Linear Systems and Signals, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael CA, 1992[2] F. de Coulon, Théorie et traitement des signaux, Presses polytechniques ro- mandes, Lausanne, 1984[3] M. Alonso, E.J. Finn, Physique générale : champs et ondes, Editions pédago- giques, Montréal, 1970 221
  • 236. Bibliographie222 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 237. 6. Éléments danalyse spectrale numérique6.1. Passage de la TF à la TFDLéchantillonnage des signaux analogiques est étudiée en détail dans la première par-tie du chapitre suivant. Pour ce qui suit, il sut de savoir que tout signal analogiquex(t) est acquis à un rythme régulier dicté par la période déchantillonnage Te et quilest stocké en mémoire dordinateur. Ces signaux x[n] sont des signaux numériquesobtenus à laide dun convertisseur analogique-numérique (gure 6.1) et tels que x[n] = x (t)|t=n Te (6.1) x(t) x[n] = x(t=nTe) Te Signal analogique x(t) A x[n] Signal échantillonné N t n Fig. 6.1.: Acquisition numérique dun signal analogiqueLe passage de la transformation de Fourier (TF) des signaux analogiques x(t) à latransformation de Fourier discrète (TFD) des signaux numérisés x[n] fait intervenirtrois opérations : léchantillonnage du signal analogique ; la limitation de la durée de lenregistrement de ce signal ; la discrétisation de la fréquence pour lanalyse spectrale numérique.Ces trois opérations, apparemment anodines, ont des conséquences dont il est im-portant dévaluer létendue. Pour mémoire, on rappelle trois propriétés de la trans-formation de Fourier dont on aura besoin par la suite : au produit simple dans un espace correspond un produit de convolution dans lautre x(t) · y(t) ←→ X(jf ) ⊗ Y (jf ) (6.2) x(t) ⊗ y(t) ←→ X(jf ) · Y (jf ) (6.3) 223
  • 238. 6. Éléments danalyse spectrale numérique la TF dun peigne dimpulsions de Dirac est également un peigne de Dirac 1 δTe (t) ←→ δf (f ) (6.4) Te e la TF dune impulsion rectangulaire damplitude A et de largeur ∆t est un sinus cardinal sin(πf ∆t) A rect(t/∆t) ←→ A ∆t = A ∆t sinc(f ∆t) (6.5) πf ∆tAn de concrétiser au mieux les relations existant entre les espaces temps et fré-quence, on considérera par la suite que les signaux étudiés sont fournis sous la formedune tension électrique que lon échantillonne régulièrement pendant une durée nieavant de calculer numériquement son contenu spectral. Ainsi, pour chaque équation,on pourra préciser les unités des résultats obtenus.6.1.1. Signaux continus non-périodiquesUn signal analogique x(t) et sa densité spectrale X(jf ) sont reliés entre eux par lesrelations +∞ X(jf ) = x(t) exp(−j2πf t)dt [V sec] (6.6) −∞ +∞ x(t) = X(jf ) exp(+j2πf t) df [ V] (6.7) −∞Ces transformations directe et inverse montrent à lévidence, la parfaite symétriequi relie les espaces temps et fréquence (gure 6.2.a). À cette symétrie correspondla propriété suivante : à un signal temporel continu non périodique correspond un spectre continu non périodique.6.1.2. Signaux discrets de durée innieOn considère ici que le signal continu x(t) (gure 6.2.a) est échantillonné tous lesmultiples de la période déchantillonnageTe . Cette opération déchantillonnage peutêtre représentée mathématiquement par la multiplication du signal x(t) avec unpeigne dimpulsions de Dirac distantes de Te (gure 6.2.b) x (t = nTe ) = x(t) · δTe (t) (6.8)On obtient ainsi une suite dimpulsions de Dirac pondérées par les valeurs x (t = nTe )(gure 6.2.c) ; celles-ci représentent alors le signal discret x[n] = x(t = nTe ).Dans lespace fréquentiel, le peigne de Dirac temporel δTe (t) devient un peigne deDirac périodique fe (gure 6.2.b) 1 ∆(f ) ≡ T F {δTe (t)} = δf (f ) (6.9) Te e224 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 239. 6.1. Passage de la TF à la TFD / TeFig. 6.2.: Passage de la TF à la TFD [1] c 2008 freddy.mudry@gmail.com 225
  • 240. 6. Éléments danalyse spectrale numériqueComme le produit simple dans lespace temps conduit à un produit de convolutionentre les spectres X(jf ) et ∆(f ) (gure 6.2.c), on constate que : à un signal échantillonné ou discret correspond un spectre continu et périodique fe .Le calcul du spectre Xe (jf ) dun signal discret x[n] se fait à partir de la dénition dela transformation de Fourier des signaux continus (équation 6.6). On obtient alors +∞ Xe (jf ) = Te x[n] exp(−j2πf nTe ) [V sec] (6.10) n=−∞Partant de ce spectre Xe (jf ), on peut bien entendu revenir au signal temporel x[n] : +fe /2 x[n] = Xe (jf ) exp(+j2πf nTe ) df [V], −∞ < n < +∞ (6.11) −fe /26.1.3. Signaux discrets de durée nieDans le cas où lon désire traiter numériquement un signal, le nombre de valeurs x[n]ne peut pas être inniment grand. On est donc contraint à ne prendre en comptequune partie du signal original. Mathématiquement, cette opération de troncationrevient à multiplier le signal x(t) par une fenêtre rectangulaire w(t) de largeur T(gure 6.2.d).À cette multiplication dans lespace temps correspond un produit de convolutiondans lespace des fréquences entre le spectre du signal X(jf ) et le spectre en sinuscardinal de la fenêtre w(t). Il en résulte une déformation du spectre original causéepar les ondulations du sinus cardinal (gure 6.2.e).Le signalx(t) est enregistré pendant une durée nie T en échantillonnant N valeursdu signal x(t). On a donc T = N · Te . La suite de valeurs discrètes xN [n] ainsiobtenue sera énumérée avec le compteur temporel n compris entre 0 et N − 1 et lespectre du signal tronqué se calcule alors comme suit N −1 Xe,N (jf ) = Te xN [n] exp(−j2πf nTe ) [V sec] n=0Il est bien clair que les N valeurs temporelles peuvent sobtenir par transformationinverse de Xe,N (jf ) +fe /2 xN [n] = Xe,N (jf ) exp(+j2πf nTe )df [V], 0≤n≤N −1 −fe /2226 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 241. 6.1. Passage de la TF à la TFDRemarque Par la suite, aucune distinction ne sera faite entre xN [n] et x[n] dunepart, et Xe,N (jf ) et Xe (jf ) dautre part, car le contexte permettra toujours desavoir si la longueur N de la suite considérée est nie ou non ; les 2 relations ci-dessus sécriront alors N −1 Xe (jf ) = Te x[n] exp(−j2πf nTe ) [V sec] (6.12) n=0 +fe /2 x[n] = Xe (jf ) exp(+j2πf nTe )df [V] (6.13) −fe /26.1.4. Discrétisation de la fréquenceAn de pouvoir calculer numériquement un spectre, il est évidemment nécessairede discrétiser la fréquence. En divisant le domaine fréquentiel en N intervalles, lin-crément fréquentiel vaut ∆f = fe /N et les fréquences analysées, au nombre de N,sont : f = k · ∆f = k · fe /N (6.14)Cette discrétisation de la fréquence nest rien dautre quun échantillonnage dans ledomaine spectral et les résultats des opérations déchantillonnage et de multiplica-tion vues plus haut pour lespace temps sappliquent également dans lespace desfréquences (gure 6.2.f et 6.2.g) et conduisent à la propriété suivante : à la discrétisation du domaine spectral correspond un signal temporel périodique.Tout se passe comme si la durée dacquisition T correspondait à une période dusignal temporel x[n]. Le spectre considéré à présent est donc un spectre discret quelon écrit X[jk] avec 0 ≤ k ≤ N − 1. Tenant compte des relations temps-fréquence,largument du phaseur sécrit fe kn ±j2π f nTe = ±j2π k∆f nTe = ±j2π k nTe = ±j2π (6.15) N NLe spectre X[jk] et le signal temporel x[n] se calculent alors comme suit N −1 j2πkn X[jk] = Te x[n] exp − [V sec] 0≤k ≤N −1 (6.16) n=0 N N −1 1 j2πkn x[n] = X[jk] exp + [V] 0≤n≤N −1 (6.17) N Te k=0 N c 2008 freddy.mudry@gmail.com 227
  • 242. 6. Éléments danalyse spectrale numérique6.2. Relations temps-fréquenceComme les domaines temporel et fréquentiel sont discrétisés avec le même nombrede points N, on peut relever que 1. l espace du temps est caractérisé par la durée de lenregistrement T et par lincrément temporel ∆t (qui nest autre que la période déchantillonnage Te ) tel que T ∆t ≡ Te = (6.18) N 2. l espace des fréquences est caractérisé par lincrément fréquentiel ∆f et la fréquence maximum fmax qui nest autre que la fréquence déchantillonnage fe fmax fe ∆f = = (6.19) N NCes deux relations ayant en commun la période déchantillonnage Te et son inversela fréquence déchantillonnage, on a 1 T 1 ∆t ≡ Te ≡ ⇔ = (6.20) fe N N · ∆fOn en déduit donc trois relations importantes liant les domaines temporel et fré-quentiel 1 ∆f = (6.21) T 1 1 fmax ≡ fe = ≡ (6.22) ∆t Te 1 ∆t · ∆f = (6.23) NDe plus, on dénit la fréquence de Nyquist fN comme étant la limite du domainedanalyse spectrale fe fN = (6.24) 2Les relations que nous venons de voir peuvent se traduire par les propriétés suivantes. 1. Lincrément fréquentiel ∆f est linverse de la durée temporelle T . 2. La période spectrale fmax = fe est linverse de lincrément tempo- rel ∆t. 3. Le domaine danalyse spectrale est limité par la fréquence de Ny- quist fe /2. 4. Pour un nombre donné de points N , il nest pas possible davoir simultanément une très bonne dénition temporelle (∆t petit) et une très bonne dénition fréquentielle (∆f petit).Une illustration des relations existant entre les domaines temporel et fréquentiel estdonnée dans la gure 6.3.228 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 243. 6.2. Relations temps-fréquence x(t), x[n] ∆t=Te=1/fe t = n∆t n0 T = N∆t N-1 N∆t t0 ∆t = T e tmax = T ∆f fmax = fe0 N∆f f |Xe(jf)|, |X[jk]| fe = 1/ T e = N ∆f ∆f fe /2 fe f = k∆f0 N-1 k 1/2 1 f / fe0 π 2π Ω Fig. 6.3.: Relations temps fréquence c 2008 freddy.mudry@gmail.com 229
  • 244. 6. Éléments danalyse spectrale numérique6.2.1. Analyse spectrale avec MatlabDans la section suivante, on précisera ce quest la transformation de Fourier discrèteou FFT (Fast Fourier Transform). Mais par rapport à ce que nous venons de voir, ilvaut la peine de montrer ici combien lanalyse spectrale dun signal x(t) est simple àfaire. Dans Matlab, elle se réduit aux cinq lignes du paragraphe ci-dessous consacréau domaine fréquentiel. Le résultat graphique en est présenté à la gure 6.4. % domaine temporel Te = 0.1e-3 ; tmin = -10e-3 ; tmax = 10e-3 ; tn = tmin :Te :tmax - Te ; T0 = 2e-3 ; xn = 5*cos(2*pi*tn/T0 + pi/3) + 2*sin(6*pi*tn/T0 - pi/4) ; % domaine fréquentiel fe = 1/Te ; duree = tmax - tmin ; df = 1/duree ; ff = 0 :df :fe-df ; Xjf = fft(xn) / length(xn) ; % graphes subplot(2,1,1) ; plot(tn,xn) ; xlabel(temps [sec]) ; ylabel(x(t)) ; subplot(2,1,2) ; stem(ff, abs(Xjf)) ; xlabel(fréquence [Hz]) ; ylabel(|X(jf)|) ;6.2.2. Pulsation normaliséeDans ce qui précède, on a constamment vu apparaître un phaseur faisant intervenirlargument ±j2π n f Te : exp (±j2π n f Te )Il est donc naturel de chercher à alléger lécriture en dénissant la pulsation numé-rique ou normalisée Ω qui sexprime en radians (gure 6.3) : f Ω ≡ 2π f Te = 2π [rad] (6.25) feComme le spectre de base est compris entre ±fe /2, on voit que la pulsation norma-lisée prendra ses valeurs entre ±π et que les transformations de Fourier sécrivent : +∞ Xe (jΩ) = Te x[n] exp(−jnΩ) [V sec] (6.26) n=−∞230 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 245. 6.3. Transformation de Fourier discrète 10 5 x(t) 0 −5 −10 −0.01 −0.008 −0.006 −0.004 −0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 temps [sec] 3 2.5 2 |X(jf| 1.5 1 0.5 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 fréquence [Hz] Fig. 6.4.: Résultats dune analyse spectrale simple +π 1 x[n] = Xe (jΩ) exp(+jnΩ)dΩ [V] (6.27) 2π −π6.3. Transformation de Fourier discrète6.3.1. Dénition de la TFDEn observant les relations (6.16) et (6.17), on constate que, mis à part le changementde signe du phaseur et les coecients précédant la somme, les calculs du spectreX[jk] ou du signal x[n] se font de la même manière. Ceci conduit à dénir lesalgorithmes des transformations de Fourier discrètes directe ou inverse comme suit : N −1 j2πkn XD [jk] ≡ x[n] exp − [V] 0≤k ≤N −1 (6.28) n=0 N N −1 j2πkn xD [n] ≡ XD [jk] exp + [V] 0≤n≤N −1 (6.29) k=0 NComme ces deux dénitions ne dièrent que par le signe de lexponentielle qui pon-dère les signaux x[n] et XD [jk], on voit quun même algorithme peut être utilisépour les transformations de Fourier directe et inverse. Alors les résultats de la TFDainsi dénie sont reliés aux spectres et signaux réels par les relations suivantes : X[jk] = Te · XD [jk] (6.30) c 2008 freddy.mudry@gmail.com 231
  • 246. 6. Éléments danalyse spectrale numérique xD [n] x[n] = (6.31) NLa gure 6.6 illustre le passage du domaine analogique au domaine numérique oùlon a, dun côté, des signaux et des spectres continus alors que de lautre, on naque des valeurs numériques stockées en RAM.6.3.2. TFD dun signal périodiqueNous avons vu que le passage de la TF à la TFD peut modier de manière sensibleles résultats de lanalyse spectrale à cause de la troncation. Par contre, si le signaltemporel x(t) est périodique, on peut se trouver dans la situation idéale où les raiesspectrales du signal xT (t) sont en parfaite coïncidence avec les raies analysées parla TFD. Pour remplir cette condition, il sut denregistrer très exactement une ouplusieurs périodes du signal temporel.En comparant les dénitions de la décomposition en série de Fourier : +T /2 1 j2πkt XSF [jk] = xT (t) exp − dt [V] (6.32) T −T /2 T +∞ j2πkt xT (t) = XSF [jk] exp + [V] (6.33) k=−∞ Tavec celles de la TFD (équations 6.28 et 6.29 ), on voit alors apparaître les relationssuivantes : XD [jk] XSF [jk] = (6.34) N xD [n] xT (t = nTe ) = (6.35) N6.3.3. TFD et FFTLa découverte de la transformation rapide de Fourier en 1965 par Cooley et Tukey[3] a été dune importance majeure pour le traitement du signal car elle a permisdenvisager lanalyse spectrale numérique de signaux de longue durée en des tempsraisonnablement courts. Lalgorithme de Cooley et Tukey a très vite été connu sousle nom de transformation rapide de Fourier et il est généralement désigné par sonappellation anglo-saxonne : FFT (Fast Fourier Transform).Il est aisé de voir que le nombre dopérations arithmétiques (sommes et produits) 2nécessitées par la TFD dune suite de longueur N est proportionnel à N . Ce qui,pour une suite de longueur 1000, conduit à calculer 1000000 de sinus et cosinussuivis dune addition et dune multiplication ; les temps de calcul deviennent trèsvite prohibitifs..232 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 247. 6.4. Relations entre les domaines analogique et numériqueLalgorithme de la FFT utilise le fait que lopération de la TFD globale peut êtredécomposée en la TFD de séquences de plus en plus courtes. Il en découle alors que lenombre total dopérations est bien inférieur à celui imposé par la simple applicationde lalgorithme de la TFD. En contrepartie, le nombre de points analysés N doitêtre une puissance de 2. Le nombre dopérations demandées par le nouvel algorithmeest alors fortement diminué et il vaut Nop N log2 (N ) (6.36)Ainsi, pour transformer 1024 points, le nouvel algorithme demande environ cent foismoins de temps que la TFD : N2 N 1024 = = = 102.4 Nop log2 (N ) 10Il ne faut pas se méprendre sur la signication de la FFT : lalgorithme FFT nestpas une nouvelle transformation. Ce nest rien dautre quun moyen rapide dobtenirles mêmes résultats que ceux fournis par la TFD (gure 6.5). Diérents algorithmesde FFT sont présentés dans le livre de Burrus et Parks [4]. Nombre d’opérations pour la transformation de n points par TFD ou FFT 6 10 4 10 2 10 ntfd nfft 0 10 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 n = 2 ⋅⋅ 1000 Rapport des temps de calcul par TFD ou FFT 120 100 80 60 40 20 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 n = 2 ⋅⋅ 1000 Fig. 6.5.: Illustration de lecacité de la FFT par rapport à la TFD6.4. Relations entre les domaines analogique et numériqueEn conclusion et en résumé de ce que nous venons de voir dans le détail, la gure 6.6illustre le passage du domaine analogique au domaine numérique. Linterface entre c 2008 freddy.mudry@gmail.com 233
  • 248. 6. Éléments danalyse spectrale numériqueles domaines analogique et numérique est réalisée par un échantillonneur qui acquiertles signaux à un rythme xé par la période déchantillonnage Te ≡ 1/fe . On peutnoter que, du côté analogique, on a des signaux et des spectres continus (ou discretssi x(t) est périodique) reliés entre eux par la transformation de Fourier alors quedu côté numérique, on na que des valeurs numériques x[n] stockées en RAM surlesquelles on travaille avec lalgorithme de la TFD ou de la FFT pour obtenir X[jk](gure 6.6).Si on considère, comme on la vu dans la gure 6.2, que la partie enregistrée x[n]du signal analogique x (t = nTe ) représente une période du signal numérique, onvoit alors que lanalyse spectrale numérique se ramène tout simplement à la sériecomplexe XSF (jk) de Fourier et que la connaissance des relations suivantes susentpour lanalyse spectrale dun signal analogique dont on a enregistré N valeurs à lafréquence fe = 1/Te : XD [jk] ≡ F F T (x[n]) ↔ xD [n] = IF F T (XD [jk]) (6.37) XD [jk] F F T (x[n]) xD [n] XSF (jk) = = ↔ x[n] = (6.38) N N N 1 fe f = 0, · · · k ∆f, · · · fe − ∆f avec ∆f = = (6.39) N Te N6.4.1. Calcul et analyse dune TFDAn dillustrer lusage de ces relations considérons la suite suivante x[n] = {0, 1, 2, 3}qui pourrait provenir, par exemple, de léchantillonnage dune rampe. Comme lapériode déchantillonnage nest pas donnée, on admet Te = 1 sec. De cette donnéeélémentaire, on en déduit immédiatement 1 N = 4, ∆f = = 0.25 Hz (6.40) N Te tn = 0, 1, 2, 3 sec, fk = 0, 0.25, 0.5, 0.75 Hz (6.41)Il y a donc quatre échantillons temporels et quatre raies spectrales décrites par 3 −j2πkn/N XD [jk] = T F D(x[n]) = x[n] e avec k = 0, · · · , 3 (6.42) n=0Avant de se lancer dans le calcul de XD [jk], il est est intéressant de noter que n e−j2πkn/N = e−jk π/2On obtient ainsi pour k = 0, e−jk π/2 = 1 ; avec n = 0, 1, 2, 3 XD [j0] = 0 · 1 + 1 · 1 + 2 · 1 + 3 · 1 = 6234 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 249. Domaine analogique Interface et discrétisation Domaine numérique x(t) Te x[n] XD[jk] 0 0 1 TFD 1 2 2 t x(t) x[n] 0 A |X(jf)| N N-1 N-1 F RAM f T 1 0 ∆t = Te = = N fe 1 N-1 8 + ∆t x[ n] = Σ XD[ jk] exp +j 2 π kn N k=0 ( N ) x(t ) = X(jf) exp ( +j 2 π ft) df t = nTe T t 0 8c 2008 freddy.mudry@gmail.com - n-1 n N-1 TFD F ∆f N-1 8 + f = k ∆f fe f XD[ jk] = 0 n= N Σ0 x[n] exp (- j 2 π kn ) X(j f) = x(t) exp( -j2 π f t) dt k-1 k N-1 8 - 1 1 fe XD[ jk] ∆f = = = avec XSF( j k) = T NTe N N Fig. 6.6.: Illustration des relations entre les domaines analogiques et numériques235 6.4. Relations entre les domaines analogique et numérique
  • 250. 6. Éléments danalyse spectrale numérique pour k = 1, e−jk π/2 = e−jπ/2 = −j ; avec n = 0, 1, 2, 3 XD [j1] = 0 · e−0jπ/2 + 1 · e−1jπ/2 + 2 · e−2jπ/2 + 3 · e−3jπ/2 = 0 · 1 + 1 · (−j) + 2 · (−1) + 3 · (+j) = −2 + 2j pour k = 2, e−jk π/2 = e−jπ = −1 ; avec n = 0, 1, 2, 3 XD [j2] = 0 · e−0jπ + 1 · e−1jπ + 2 · e−2jπ + 3 · e−3jπ = 0 · 1 + 1 · (−1) + 2 · (+1) + 3 · (−1) = −2 pour k = 3, e−jk π/2 = e−j3π/2 = +j ; avec n = 0, 1, 2, 3 XD [j3] = 0 · e−0j3π/2 + 1 · e−1j3π/2 + 2 · e−2j3π/2 + 3 · e−3j3π/2 = 0 · 1 + 1 · (+j) + 2 · (−1) + 3 · (−j) = −2 − 2jPar simple TFD (ou FFT) directe ou inverse, on bascule ainsi dun domaine à lautreet lon a      0 6 0  1   −2 + 2j  → it → x[n] =  1     x[n] =   → t → XD [jk] =   2   −2   2  3 −2 − 2j 3Le passage de la TFD XD [jk] XSF [jk] se fait en à la série de Fourier bilatéraledivisant le résultat de la TFD par le nombre de points de la suite x[n] après avoirredistribué les composantes spectrales supérieures à fe /2 entre −fe /2 et 0. Cetteredistribution se fait simplement avec la fonction fftshift :       6 −2 −0.5  −2 + 2j   → tshift →   −2 − 2j  → 1  −0.5 − 0.5j XD [jk] =  → XSF [jk] =    −2   6  N  1.5  −2 − 2j −2 + 2j −0.5 + 0.5jOn notera ici la situation particulière de la première composante qui na pas de com-posante symétrique (un conjugué complexe comme pour la deuxième composante).En eet, lorsque N est pair , cette composante se situe sur la fréquence de Nyquistfe /2 et sa valeur sera toujours réelle comme la composante DC. Ce qui fait, que lorsdu passage à la description (Ak , αk ), les composantes DC et de Nyquist ne doiventpas multipliées par le facteur 2.Les valeurs intéressantes sont réunies dans le tableau 6.1 ; les cases vides sontnon signicatives. Les points dinterrogation rappellent quaprès échantillonnage,on ne sait rien du signal original hormis les valeurs ainsi obtenues. Connaissant les(Ak , αk ), on peut alors calculer le signal continu qui, au sens de Fourier, passe parles points échantillonnés √ 3π 1 x(t) = 1.5 + 2 cos 2πf0 t + + 0.5 cos (4πf0 t + π) , f0 = = 0.25 Hz 4 N Te (6.43)236 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 251. 6.5. Spectre dune sinusoïde k ou n ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ··· x[n] ? ? ? ? ? 0 1 2 3 ? ? ? XD [jk] ··· 6 -2+2j -2 -2-2j 6 -2+2j -2 -2-2j 6 -2+2j ··· XSF [jk] -0.5-0.5j 1.5 -0.5+0.5j -0.5 √ Ak 1.5 2/ 2 0.5 αk 0 +3π/4 +π Tab. 6.1.: Résultats de lanalyse spectrale de la suite x[n] = {0, 1, 2, 3}Dans la gure 6.7, on peut observer les points échantillonnés (graphe a) et le spectrebilatéral correspondant (graphe b). En revenant au domaine temporel, il est im-portant de se souvenir que, vu par lalgorithme TFD, le signal x[n] est considérépériodique comme le montre également la reconstruction au sens de Fourier du si-gnal x(t) (graphe c). 4 7 6 3 5 |X [jk]| 4 x[n] 2 bi 3 2 1 1 0 0 −1 0 1 2 3 4 −2 −1 0 1 2 3 instants n fréquence k ∆f 4 3 x[n], x(t) 2 1 0 −1 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 temps: t, n ∆t Fig. 6.7.: Résultats dune TFD6.5. Spectre dune sinusoïdeIl est important de bien comprendre que, dans toute analyse numérique des signaux,on est contraint denregistrer une durée nie du signal et que cette durée nie peutconduire à des eets indésirables lors de lanalyse.On a vu que la FFT travaille sur un bloc complet déchantillons considéré commepériodique. Cela ne pose aucun problème dans le cas dun signal transitoire si celui c 2008 freddy.mudry@gmail.com 237
  • 252. 6. Éléments danalyse spectrale numériquea le temps de revenir à 0 avant la n de lenregistrement. Par contre, dans le casde signaux permanents, les choses peuvent se compliquer sensiblement. Pour le voir,considérons deux situations pouvant apparaître lors de lenregistrement dun signalpériodique tel quune sinusoïde.6.5.1. Le nombre de périodes enregistrées est un entierLa gure 6.8a illustre un enregistrement de durée 10 ms contenant exactement 10périodes dune onde sinusoïdale permanente damplitude 1 et de période 1 ms. Dansce cas, le signal enregistré, considéré périodique par la FFT, coïncide avec le si-gnal réel (une sinusoïde permanente) et aucune modication de linformation nestintroduite.Le résultat de lanalyse FFT pour cette situation conrme ce que lon attend, àsavoir que son spectre est constitué dune raie spectrale bien dénie et située en1 kHz. Les deux raies supplémentaires que lon peut observer en 3 et 5 kHz sontdues aux distorsions du signal sinusoïdal fourni par le générateur.6.5.2. Le nombre de périodes enregistrées nest pas un entierDans ce cas, la FFT analyse un signal qui possède une transition brusque au rac-cordement du début et de la n de lenregistrement. Cette transition possède uncontenu spectral hautes-fréquences qui peut masquer une partie du spectre réel.La gure 6.8b montre un enregistrement contenant 10.25 périodes dune onde sinu-soïdale permanente damplitude 1 et de période1 ms. Dans ce cas, le signal enregistré,considéré périodique par la FFT, ne coïncide pas avec le signal réel (une sinusoïdepermanente) et son spectre sétale dans tout le domaine spectral. Cette dispersionde la puissance du signal dans tout le domaine fréquentiel porte le nom d étalementspectral.Il est important de réaliser que le phénomène détalement spectral est dû à la non-coïncidence des valeurs initiale et nale de la durée enregistrée. Dans le cas de lagure 6.8b, ces eets de bords sont tels quils masquent complètement les compo-santes spectrales dordre 3 et 5 du signal.Pour éviter ces eets de bords, il faut sattacher à enregistrer exactement un nombreentier de périodes du signal et, dans le cas où cela nest pas possible, il faut ramenerles deux bords à une valeur identique à laide dune fenêtre qui modie aussi peuque possible le spectre réel.6.6. Fenêtres dobservation6.6.1. Quatre fenêtres usuellesLes fenêtres utilisées en analyse spectrale sont nombreuses et elles ont été étudiéesextensivement par F.J. Harris [2]. On se contente ici de mentionner quatre fenêtres238 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 253. 6.6. Fenêtres dobservation N périodes N + 1/4 périodes 1 1 0.5 0.5 x(t) 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1 0 5 10 0 5 10 temps [ms] temps [ms] 0 0 −20 −20 XdB (f) −40 −40 −60 −60 −80 −80 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 fréquence [kHz] fréquence [kHz] Fig. 6.8.: Signal sinusoïdal et son spectrefréquemment appliquées à lenregistrement dun signal. Elles sont dénies commesuit :Fenêtre rectangulaire wr [n] = 1 pour 0≤n<N (6.44)Fenêtre de Hann n wc [n] = 0.5 1 − cos 2π pour 0≤n<N (6.45) NFenêtre de Hamming n wh [n] = 0.54 − 0.46 cos 2π pour 0≤n<N (6.46) NFenêtre de Blackman n n wb [n] = 0.42 − 0.5 cos 2π + 0.08 cos 4π pour 0≤n<N (6.47) N N c 2008 freddy.mudry@gmail.com 239
  • 254. 6. Éléments danalyse spectrale numérique Rectangle Hann 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 wc(t) wr(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 −0.5 0 0.5 1 1.5 −0.5 0 0.5 1 1.5 Hamming Blackman 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 wh(t) wb(t) 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 −0.5 0 0.5 1 1.5 −0.5 0 0.5 1 1.5 temps temps Fig. 6.9.: Fenêtres dobservation6.6.2. Eet dune fenêtrePour bien saisir leet des fenêtres dans le domaine spectral, on considère ici lesdeux situations présentées plus haut auxquelles on appliquera les fenêtres de Hann,de Hamming et de Blackman (gure 6.10).Le nombre de périodes enregistrées est un entier Dans ce cas idéal (gure6.10a), on peut relever quelques diérences spectrales légères. 1. Les raies spectrales du signal original sont également présentes quelle que soit la fenêtre choisie. 2. Grâce au maintien dune légère discontinuité temporelle, la fenêtre de Ham- ming ore les raies spectrales les plus étroites. 3. La fenêtre de Blackman qui est la plus étroite temporellement, fournit, comme attendu, des raies spectrales plus larges.Le nombre de périodes enregistrées nest pas un entier Dans la gure 6.10b, ona repris lenregistrement contenant 10.25 périodes. Les résultats spectraux obtenusmontrent à lévidence leet de ces 3 fenêtres : 1. la fenêtre de Hann fournit un spectre tout à fait satisfaisant sans diminuer fortement létalement spectral ; cest pourquoi le spectre est un peu large à la base ;240 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 255. 6.6. Fenêtres dobservation Hann Hamming Blackman 1 1 1 0.5 0.5 0.5 x(t) 0 0 0 −0.5 −0.5 −0.5 −1 −1 −1 0 5 10 0 5 10 0 5 10 temps [ms] temps [ms] temps [ms] 0 0 0 −20 −20 −20 XdB (f) −40 −40 −40 −60 −60 −60 −80 −80 −80 0 5 10 0 5 10 0 5 10 fréquence [kHz] fréquence [kHz] fréquence [kHz] Hann Hamming Blackman 1 1 1 0.5 0.5 0.5 x(t) 0 0 0 −0.5 −0.5 −0.5 −1 −1 −1 0 5 10 0 5 10 0 5 10 temps [ms] temps [ms] temps [ms] 0 0 0 −20 −20 −20 XdB (f) −40 −40 −40 −60 −60 −60 −80 −80 −80 0 5 10 0 5 10 0 5 10 fréquence [kHz] fréquence [kHz] fréquence [kHz]Fig. 6.10.: Eet des fenêtres dobservation avec : (a) 10 périodes entières ; (b) 10.25 périodes c 2008 freddy.mudry@gmail.com 241
  • 256. 6. Éléments danalyse spectrale numérique 2. la fenêtre de Hamming fournit un spectre étroit mais, à cause de leet de bord résiduel, létalement spectral nest pas susamment réduit et il masque les deux autres composantes spectrales ; 3. la fenêtre de Blackman donne le meilleur résultat grâce à la double cosinusoïde qui masque bien les eets de bord ; les raies spectrales sont alors étroites et bien dénies.6.6.3. Choix dune fenêtreLe choix dune fenêtre est un compromis entre une bonne dénition spectrale (spectreétroit) et un étalement spectral aussi faible que possible (douceur de la fenêtre).Qualitativement, leurs caractéristiques peuvent être résumées comme suit. 1. La fenêtre rectangulaire ne modie pas lenregistrement ; cest celle que lon utilisera dans le cas de signaux transitoires ou non permanents et, dans le cas de signaux périodiques, lorsque lon est sûr que le nombre de périodes enregistrées est un entier. 2. La fenêtre en cosinus, dite de Hann, est mathématiquement la plus simple et elle ore de bons résultats dans le cas de composantes spectrales pas trop proches. 3. La fenêtre en cosinus relevé, dite de Hamming, nélimine pas complètement létalement spectral. Elle ore en contre partie une meilleure dénition spectrale mais ne permet pas de voir des composantes spectrales de faibles amplitudes. 4. La fenêtre de Blackman, constituée de deux cosinus, atténue très fortement les eets de bord et permet ainsi de bien distinguer des raies spectrales proches et de faibles amplitudes.6.7. Exemple 1 : analyse spectrale élémentaireDonnées On considère ici un signal temporel fortement bruité (SNR 0 dB)qui semble contenir une oscillation périodique dont on souhaite connaître la teneur(gure 6.11).Analyse temporelle De lenregistrement, on tire 1. la composante DC du signal et sa valeur ecace AC Xdc = 0.045 Xac = 1.42 2. la période déchantillonnage Te et sa durée T Te = 20 µs T = 20 ms 3. le domaine danalyse spectrale fN et la dénition spectrale ∆f 1 1 1 fN = fe = = 25 kHz ∆f = = 50 Hz 2 2 Te T242 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 257. 6.7. Exemple 1 : analyse spectrale élémentaire Enregistrement temporel et Analyse spectrale 5 x(t) 0 T = tmax=20 [ms], ∆ t = Te = 20 [µs] −5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t [ms] 1 1 0.8 fmax = 1/∆ t = 50 [kHz] 0.8 |Xu(jf)| |Xu(jf)| 0.6 fe = fmax = 50 [kHz] 0.6 0.4 fN = fe/ 2 = 25 [kHz] 0.4 0.2 ∆ f = 1/ tmax = 50 [Hz] 0.2 0 0 0 5 10 15 20 25 0 1 2 3 4 5 f [kHz] f [kHz]Fig. 6.11.: Illustration de lanalyse spectrale avec : a) lenregistrement temporel ; b) son spectre damplitudes pour 0 ≤ f ≤ fe /2 = 25 kHz ; c) un zoom spectral entre 0 et 5 kHz c 2008 freddy.mudry@gmail.com 243
  • 258. 6. Éléments danalyse spectrale numériqueAnalyse spectrale Le programme des calculs temporels et spectraux se résumeaux quelques lignes présentées ci-dessous. % lecture de lenregistrement enreg = load(enreg.txt) ; tt = enreg( :,1) ; xt = enreg( :,2) ; Xdc = mean(xt) Xac = std(xt) % analyse temporelle Npts = length(xt) ; dt = tt(2) - tt(1) duree = Npts * dt % analyse spectrale df = 1/duree, fmax = 1/dt ff = 0 :df :fmax-df ; Xjf = fft(xt)/Npts ; % spectre unilatéral Ndemi = round(Npts/2) ; fk = ff(1 :Ndemi) ; Ak = 2*abs(Xjf(1 :Ndemi)) ; Ak(1) = abs(Xjf(1)) ; % composante DC ak = angle(Xjf(1 :Ndemi)) ; subplot(2,1,1) ; stem(f,Ak,.) ; % estimation du rapport signal/bruit (SNR) Px = Xdc^2 + Xac^2 ; % puissance du signal + bruit = 2.023 A1 = 1.02 ; A2 = 0.85 ; % amplitudes mesurées Px0 = (A1^2 + A2^2)/2 ; % puissance du signal original = 0.88 Pn = Px - Px0 ; % puissance du bruit = 1.14 SNR = 10*log10(Px0/Pn) % SNR = -1.12 dBLes spectres damplitudes, présentés dans la gure 6.11, montrent que deux raiesspectrales sélèvent clairement au-dessus du niveau de bruit situé aux environs de 0.3.Ces deux raies spectrales ont une amplitude et une fréquence valant respectivement A1 1.02 f1 = 1.25 kHz ± 25 Hz A2 0.85 f2 = 1.40 kHz ± 25 HzLa précision des fréquences mesurées est égale à la moitié de la dénition spec-trale ∆f .244 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 259. 6.8. Exemple 2 : reconstruction dun signal6.8. Exemple 2 : reconstruction dun signalDonnées An danalyser et illustrer les résultats fournis par la TFD, on considèreici un signal connu x(t) = A1 sin(2πf1 t) + A2 sin(2πf2 t) + A3 sin(2πf 3 t + π/4)constitué de trois sinusoïdes damplitudes A1 = 1 A2 = −0.8 A3 = 0.5et de fréquences harmoniques f1 = 50 Hz f2 = 150 Hz f3 = 250 HzCe signal original est perturbé par un bruit important car le SN R ne vaut que+5 dB. Avec cet exemple, on souhaite : 1. montrer que, malgré la présence dun fort bruit, il est possible de retrouver le signal original (tout au moins partiellement) ; 2. attirer lattention sur le fait que dune raie spectrale peuvent naître deux raies spectrales proches si lincrément fréquentiel nest pas un diviseur exact des fréquences présentes. Signal + Bruit Analyse de Fourier 4 0.25 2 0.2 0 0.15 0.1 −2 0.05 −4 0 0 50 100 150 200 0 100 200 300 400 500 temps [ms] fréquence [Hz] Signal reconstruit Signal original 4 4 2 2 0 0 −2 −2 −4 −4 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 temps [ms] temps [ms] Fig. 6.12.: Analyse spectrale et extraction des signaux c 2008 freddy.mudry@gmail.com 245
  • 260. 6. Éléments danalyse spectrale numériqueAnalyse temporelle Le signal bruité a été enregistré avec une période déchan-tillonnage Te = 0.2 ms et il a une durée T = 210 ms (gure 6.12a). Ceci permet deprévoir que le domaine des fréquences est caractérisé par : la fréquence de Nyquist fe fN = = 2500 Hz 2 la dénition spectrale 1 1 ∆f = = = 4.76 Hz T 210 msOn notera que la durée enregistrée T = 210 ms conduit à une dénition spectrale∆f = 4.76 Hz qui nest pas un sous-multiple des composantes spectrales. Cela faitque lon sera dans limpossibilité de trouver la valeur exacte des fréquences ori-ginales. Idéalement, on aurait dû prendre une durée de 200 ms permettant ainsidavoir une dénition spectrale de 5 Hz. On pourrait bien entendu réduire la duréede lenregistrement à 200 ms, mais ce nest pas le but recherché.Analyse spectrale Lobservation du spectre obtenu après fenêtrage (gure 6.12b)montre que les trois raies spectrales sont bien visibles. Mais, on doit cependantconstater que ces raies se sont dédoublées à cause de la dénition spectrale non-entière et de lutilisation de la fenêtre dobservation.Le programme donné ci-dessous permet de rechercher ces raies spectrales. Les fré-quences mesurées à ±2.4 Hz près sont f11 = 47.6 Hz f12 = 52.4 Hz f21 = 147.6 Hz f22 = 152.4 Hz f31 = 247.6 Hz f32 = 252.4 HzLeurs amplitudes et phases respectives valent A11 = 0.453 A12 = 0.432 α11 = −0.151 rad α12 = +2.98 rad A21 = 0.368 A22 = 0.334 α21 = −2.87 rad α22 = −0.275 rad A31 = 0.198 A32 = 0.185 α31 = +0.372 rad α32 = −2.65 radavec Ak = 2 |X(jk)| αk = ∠X(jk)Reconstruction du signal original Connaissant les amplitudes et phases des com-posantes spectrales, il est aisé de reconstruire le signal non bruité : xr (t) = Ak cos (2πfk t + αk ) kMalgré leet de la fenêtre dobservation utilisée avant deectuer la FFT et le faitquil y ait six fréquences au lieu de trois, le signal ainsi extrait (gure 6.12c) reproduitassez bien lallure du signal original (gure 6.12d).246 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 261. 6.9. Exemple 3 : analyse spectrale détailléeProgramme danalyse et recherche des composantes spectrales Le programmeayant permis dobtenir ces résultats se résume aux quelques lignes présentées ci-dessous. % signal bruité yt = xt+nt ; Npts = length(yt) ; % analyse spectrale avec une fenêtre de Hann yht = yt.*hann(Npts) ; Yjf = fft(yht)/Npts ; df = 1/tmax ; fmax = 1/dt ; ff = 0 :df :fmax-df ; % recherche de N raies spectrales Nraies = 6 ; Yjf_tempo = Yjf(1 :end/2) ; for kn = 1 :Nraies [Ymax, kf(kn)] = max(abs(Yjf_tempo)) ; Yjf_tempo(kf(kn)) = 0 ; % mise à zéro de la valeur trouvée end ; % reconstruction xtr = zeros(size(yt)) ; for kn = 1 :Nraies Xrjf = Yjf(kf(kn)) ; fr = ff(kf(kn)) ; xtr = xtr + Xrjf*exp(+j*2*pi*fr*tt) + Xrjf*exp(-j*2*pi*fr*tt) ; end ; % valeurs des composantes spectrales fr = ff(kf) Ar = 2*abs(Yjf(kf)) ar = angle(Yjf(kf))6.9. Exemple 3 : analyse spectrale détaillée6.9.1. DonnéesOn considère ici un signal permanent observé à loscilloscope. À partir de lobser-vation visuelle du signal, on désire choisir les paramètres dacquisition qui permet-tront ensuite dextraire toutes les informations possibles. Lacquisition se fera avecun convertisseur analogique-numérique 8 bits /±2 V. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 247
  • 262. 6. Éléments danalyse spectrale numérique Acquisition: 10000 points, f = 5000 [Hz]; CAN: ± 2 [V], 8 bits ± 1/2LSB, e 2 1 x(t) 0 −1 −2 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 2 1 x(t) 0 −1 −2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 1 x[n] 0 −1 −2 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 temps [sec] Fig. 6.13.: Signal analysé6.9.2. Signal temporelLe signal x(t) observé à loscilloscope (gure 6.13a) apparaît comme une sinusoïdecaractérisée par son amplitude A 1.7 V et sa période T0 3.68 msec. Cepen-dant, une observation de plus longue durée (gure 6.13b) montre un phénomène debattement de période Tb 0.45 sec ou de fréquence 1 fb = 2.2 Hz TbOn en déduit que ce signal est composé dau moins deux sinusoïdes de fréquencestrès proches 1 f1 272 Hz f2 = f1 ± fb 270 ou 274 Hz T0et damplitudes fort diérentes car la variation damplitude de x(t) est faible.6.9.3. Paramètres dacquisitionAn davoir une dénition temporelle raisonnable, on choisit T0 ∆t ≡ Te = 0.35 msec 0.2 msec 10248 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 263. 6.9. Exemple 3 : analyse spectrale détailléeet on en déduit la fréquence déchantillonnage 1 fe = = 5 kHz ∆tLa gure 6.13c présente une partie du signal numérique ainsi acquis.Comme il faut pouvoir distinguer deux raies distantes de fb 2 Hz, on choisira unedénition spectrale susamment ne fb ∆f = 0.5 Hz 4Sachant que la résolution fréquentielle est inversement proportionnelle à la duréedacquisition, on en tire 1 tacq = = 2 sec ∆fLe nombre de points acquis vaudra donc 1 1 Npts = = = 10 000 ∆f · ∆t 0.5 Hz · 0.2 msLensemble des valeurs acquises est représenté à la gure 6.13b.6.9.4. Analyse spectraleUtilisation de la FFT On a vu plus haut que lalgorithme FFT exige un nombrede points égal à une puissance de 2. Lorsque cela nest pas le cas, on complète la suitede valeurs acquises par une succession de zéros permettant datteindre un nombrede valeurs égal à la puissance de 2 la plus proche (gure 6.14a).Du point de vue de lanalyse de Fourier, cela ne change rien aux résultats fournis ;seule la résolution spectrale est améliorée. Dans notre cas, on passera donc de Npts =10 000 à Nf f t = 16 384 et la résolution fréquentielle passera ainsi de fe 5000 ∆f = = = 0.5 Hz Npts 10 000à fe 5000 ∆f = = = 0.305 Hz Nf f t 16 384Fenêtre rectangulaire Dans ce cas, lanalyse spectrale de la suite de valeurs ac-quises x[n] fournit les spectres présentés dans les gures 6.14b et 6.16a). Le spectreainsi obtenu fait apparaître une seule raie spectrale aux environs de 270 Hz et,contrairement à ce que lon attendait, il ny a pas de deuxième raie spectrale. Mani-festement, celle-ci est masquée par létalement spectral dû à la fenêtre rectangulaire. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 249
  • 264. 6. Éléments danalyse spectrale numérique Spectres d’amplitudes: ∆f = 0.305 [Hz], fN = 2500 [Hz] 2 Fenêtre rectangulaire 1 x[n] ⋅ wr[n] 0 −1 −2 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 0 −20 Xr(f) [dB] −40 −60 −80 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 fréquence [Hz] Fig. 6.14.: Signal et spectre damplitudes, fenêtre rectangulaireFenêtre de Blackman On est donc amené à fenêtrer le signal acquis en le multi-pliant par une fonction atténuant les eets de bord dus à lacquisition eectuée. Onchoisit ici dutiliser la fenêtre de Blackman dénie comme suit : n n wb [n] = 0.42 − 0.5 cos 2π + 0.08 cos 4π pour 0 ≤ n < Npts Npts NptsDu point de vue numérique, on analysera donc le signal xw [n] = x[n] · wb [n]Après avoir complété le signal fenêtré par des zéros pour atteindre une puissancede 2 (gure 6.15a), on obtient les résultats présentés dans les gures 6.15b et 6.16boù le niveau de bruit causé par létalement spectral a pratiquement disparu.Zoom fréquentiel Étant donné la haute dénition spectrale, obtenue au prix dunlong enregistrement, les échelles globales ne permettent pas de voir le détail des raiesattendues. Il faut donc zoomer sur la zone intéressante. On voit alors très nettementque la fenêtre rectangulaire (gure 6.16a) est totalement incapable de fournir lesinformations attendues alors quavec la fenêtre de Blackman (gure 6.16b), on re-trouve bien la deuxième fréquence recherchée et on peut même apercevoir la présencedune troisième composante spectrale damplitude encore plus faible, qui nétait ab-solument pas perceptible au niveau temporel.250 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 265. 6.9. Exemple 3 : analyse spectrale détaillée Spectres d’amplitudes: ∆f = 0.305 [Hz], fN = 2500 [Hz] 2 Fenêtre de Blackman 1 x[n] ⋅ wh[n] 0 −1 −2 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 0 −20Xh(f) [dB] −40 −60 −80 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 fréquence [Hz] Fig. 6.15.: Signal et spectre damplitudes, fenêtre de Blackman Spectres d’amplitudes: ∆f = 0.305 [Hz], fN = 2500 [Hz] 0 Fenêtre rectangulaire −20Xr(f) [dB] −40 −60 −80 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 0 Fenêtre de Blackman −20Xh(f) [dB] −40 −60 −80 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 fréquence [Hz] Fig. 6.16.: Agrandissement spectral c 2008 freddy.mudry@gmail.com 251
  • 266. 6. Éléments danalyse spectrale numérique6.9.5. Estimation des amplitudesLe spectre damplitudes de la gure 6.16b permet de mesurer les fréquences des troiscomposantes spectrales du signal x(t) et les amplitudes relatives des raies spectrales. k fk Xk,dB Xk,dB − X1,dB Xk /X1 1 272 Hz -7.6 0 1 2 274 Hz -32.2 -24.6 0.059 3 277 Hz -52 -44.4 0.006Il est important de noter que les amplitudes spectrales dépendent de la fenêtre choisieet que seules leurs valeurs relatives peuvent en être déduites Xk = 10(Xk,dB −X1,dB )/20 X1Pour obtenir la valeur réelle des amplitudes, on peut passer par légalité de Parseval : T ∞ 2 2 2 1 A2 A2 A2 A3 A4 Pac = x2 (t) dt ac = k = 1 1+ + + + ··· T 0 k=1 2 2 A1 A1 A1Ce qui donne dans notre cas A2 1 A2 Pac = 1 + 0.0592 + 0.0062 = 1.00352 1 2 2À partir du signal acquis, on calcule aisément sa puissance : N −1 1 Pac = (x[n] − µx )2 = var(x[n]) = 1.45 N n=0On en déduit alors la valeur de A1 et celles des autres composantes : 2 Pac A1 = = 1.70 1.00352 A2 = 0.059 A1 = 0.1 A3 = 0.006 A1 = 0.01Remarque Une correction des amplitudes spectrales tenant compte de la fenêtreutilisée nest possible que si le signal acquis possède exactement un nombre entierde périodes. Si cette condition est remplie, il sut alors de diviser les amplitudesspectrales par la valeur moyenne de la fenêtre : Ak → Ak /µ(w). Ce calcul doit êtreévité si lon nest pas sûr que la condition est remplie.252 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 267. 6.9. Exemple 3 : analyse spectrale détaillée6.9.6. Détail du calcul des signaux et des spectresLe chier créé pour générer le signal x(t), calculer et tracer les spectres dans dif-férentes conditions est donné ci-dessous. Bien quil puisse paraître volumineux aupremier abord (beaucoup de lignes sont consacrées au traçage uniquement), les par-ties essentielles de ce chier sont simplement : 1 1. la conversion analogique- numérique ±2 V avec Nbits ± 2 LSB de non linéarité (on admet que celle-ci entraîne la perte dun bit) : · Ucan = 4 ; Nbits = 8 ; · xn = Ucan*round((xn0/Ucan)*(2^(Nbits-1))/2^(Nbits-1) ; 2. le fenêtrage : · wk = (blackman(length(xn))) ; · xnwk = xn.*wk ; 3. lajout de zéros et le calcul du spectre : · Nfft = 2^ceil(log2(length(xn))) ; · xnwk = [xnwk, zeros(1,Nfft-length(xn))] ; · Xjfh = fft(xnwk)/length(xnwk) ;Initialisation Le programme débute par linitialisation des paramètres et la créa-tion du signal vu sur lécran de loscilloscope % analyse spectrale clear all ; close all ; format compact ; clc ; % parametres du signal amp1 = 1.7 ; amp2 = 0.1 ; amp3 = 0.01 ; f1 = 271.828 ; f2 = f1+2 ; f3 = f1+5 ; % oscilloscope tosc = 0.03 ; kosc = 2000 ; dt = tosc/kosc ; tt = 0 :dt :tosc-dt ; xt0 = amp1*sin(2*pi*tt*f1)+amp2*cos(2*pi*tt*f2)+amp3*sin(2*pi*tt*f3) ;Acquisition numérique Il se poursuit avec lacquisition et la conversion sur unedurée plus longue % acquisition tacq = 2 ; Te = 0.2e-3 ; tn = 0 :Te :tacq-Te ; xn0 = amp1*sin(2*pi*tn*f1)+amp2*cos(2*pi*tn*f2)+amp3*sin(2*pi*tn*f3) ; % conversion +/- 2V avec Nbits et +/- 1/2LSB de non linearite Ucan = 4 ; Nbits = 8 ; xn = Ucan*round(xn0/Ucan*2^(Nbits-1))/2^(Nbits-1) ; c 2008 freddy.mudry@gmail.com 253
  • 268. 6. Éléments danalyse spectrale numériqueCalcul des spectres Une fois les signaux acquis, on peut calculer leurs spectres etacher des informations % calcul des spectres Nfft = 2^ceil(log2(length(xn))) % fenetres rectangulaire et de Blackman wr = ones(size(xn)) ; wk = (blackman(length(xn))) ; xnwr = xn.*wr ; xnwk = xn.*wk ; % ajout de zeros xnwr = [xnwr, zeros(1,Nfft-length(xnwr))] ; xnwk = [xnwk, zeros(1,Nfft-length(xnwk))] ; % fft Xjfr = fft(xnwr)/length(xn) ; Xjfh = fft(xnwk)/length(xn) ; % domaine spectral fmax = 1/Te ; df = fmax/Nfft ; ff = 0 :df :fmax-df ; % infos Nbits, tacq, Te, fmax, df Pac = var(xn) Npoints = round(tacq/Te), NfftGraphes On trace les signaux acquis % graphes temporels figure ; subplot(3,1,1) ; plot(tt,xt0) ; grid ; axis([0,tosc,-2,2]) texte = [Acquisition : , num2str(round(tacq/Te)), points,] ; texte = [texte, f_e = , num2str(1/Te,4), [Hz] ;] ; texte = [texte, CAN : pm , num2str(Ucan/2,2), [V], ] ; texte = [texte, , num2str(Nbits,2), bits pm 1/2LSB,] ; title(texte) ; ylabel(x(t)) ; subplot(3,1,2) plot(tn,xn) ; grid ; axis([0,tacq,-2,2]) ylabel(x(t)) ; subplot(3,1,3) ; % zoom plot(tn,xn,.) ; grid ; axis([0,tosc,-2,2]) ylabel(x[n]) ; xlabel(temps [sec]) ; print -deps ansptemps.epsainsi que les spectres après fenêtrage254 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 269. 6.9. Exemple 3 : analyse spectrale détaillée % spectres figure ; % fenetre rectangulaire subplot(2,1,1) ; plot(xnwr) ; grid ; axis([0,Nfft,-2,2]) texte = [Spectres damplitudes : Deltaf = ,num2str(df,3), [Hz],] ; texte = [texte, f_N = , num2str(fmax/2), [Hz]] ; title(texte) ; ylabel(x[n] cdot w_r[n]) ; legend(Fenêtre rectangulaire) ; subplot(2,1,2) ; plot(ff, 20*log10(abs(Xjfr))) ; grid ; axis([0,fmax,-80,0]) ; ylabel(X_r(f) [dB]) ; xlabel(fréquence [Hz]) ; print -deps anspwr.eps figure ; % fenetre de Blackman subplot(2,1,1) ; plot(xnwk) ; grid ; axis([0,Nfft,-2,2]) texte = [Spectres damplitudes : Deltaf = ,num2str(df,3), [Hz],] ; texte = [texte, f_N = , num2str(fmax/2), [Hz]] ; title(texte) ; ylabel(x[n] cdot w_h[n]) ; legend(Fenêtre de Blackman) ; subplot(2,1,2) ; plot(ff, 20*log10(abs(Xjfh))) ; grid ; axis([0,fmax,-80,0]) ; ylabel(X_h(f) [dB]) ; xlabel(fréquence [Hz]) ; print -deps anspwk.epsZoom Les détails sont mis en évidence % zoom spectral fz1 = 250 ; fz2 = 350 ; % domaine interessant dbmax = 80 ; figure ; subplot(2,1,1) ; plot(ff, 20*log10(abs(Xjfr))) ; hold on ; axis([fz1,fz2,-dbmax,0]) ; grid ; title(texte) ; ylabel(X_r(f) [dB]) ; legend(Fenêtre rectangulaire) ; subplot(2,1,2) ; plot(ff, 20*log10(abs(Xjfh))) ; axis([fz1,fz2,-dbmax,0]) ; grid ; ylabel(X_h(f) [dB]) ; xlabel(fréquence [Hz]) ; c 2008 freddy.mudry@gmail.com 255
  • 270. 6. Éléments danalyse spectrale numérique legend(Fenêtre de Blackman) ; print -deps anspzoom.eps256 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 271. 6.10. Exercices6.10. ExercicesTFD 0 1. Montrez que le passage de lanalogique vers le numérique se fait bien avec les deux relations discrètes X[jk] et x[n] de la gure 6.6. 2. Considérant la suite de quatre valeurs x[n] = {0, 2, 4, 0}, calculez son spectre X[jk]. Dessinez la suite x[n] et un signal analogique périodique x(t) lui cor- respondant. 3. Calculez le signal périodique xF (t) correspondant à la suite x[n] au sens de Fourier.TFD 1Lanalyse spectrale, par la FFT, dun signal x[n] constitué de N = 8 valeurs afourni le spectre discret XD [jk] partiellement donné dans le tableau ci-dessous. 1. Complétez le tableau sachant que fe = 1 [kHz]. 2. Vu par le processeur FFT, le signal temporel x[n] est-il continu, discret, pé- riodique ? 3. Que valent x[n = 0] et Xdc ? 4. Quelle est lexpression permettant de calculer x[n] ? Montrez quelle peut sécrire sous la forme 7 1 kπ x[n] = XD [jk] exp j n 8 k=0 4 5. Calculez quelques valeurs de x[n]. k ou n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fk [kHz] XD [jk] 2 1+j 1−j +j 1 |XD [jk]| ∠XD [jk] Ak αk x[n]TFD 2 On souhaite calculer le spectre dune impulsion rectangulaire de largeur∆t = 3 [msec] et damplitude A = 5 [V]. Pour ce faire, on acquiert 8 points à lafréquence fe = 1 [kHz]. 1. Admettant que léchantillonnage commence à lapparition du anc montant, dessinez x(t) et x[n]. Discutez les valeurs choisies pour x[n] lorsque n = 0 et n = 3. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 257
  • 272. 6. Éléments danalyse spectrale numérique 2. Que vaut la durée dacquisition tmax ? 3. Quel sera le domaine spectral analysé ; que vaudra lincrément de fréquence ∆f ? 4. Calculez XD [jk] pour k = 0 et k = 2 ; quel est le domaine de variation du compteur k des fréquences ? 5. Validez votre résultat en analysant la valeur de XD [jk = 0].TFD 3 Considérant la suite de valeurs x[n] ci-dessous : n m m+1 ··· 3 2 1 0 +1 +2 +3 ··· +m1 x[n] 0 0 0 0 0.5 1 1 1 0.5 0 0 0 1. Esquissez x[n] et une fonction x(t) passant par ces points. 2. Calculez XD [jk] ; sa valeur dépend-elle de la longueur N = 2m de la suite ? 3. Quest ce qui change si on ajoute des zéros pour doubler le nombre déchan- tillons ?TFD 4 On considère un signal x(t) = cos(2π f0 t) + cos(4π f0 t) de période T0 =1 ms. Sachant que ce signal est échantillonné pendant une période à la fréquencefe = 8 f0 : 1. Calculez et dessinez la suite de valeurs x[n]. 2. Complétez le tableau ci-dessous avec x[n] et le spectre bilatéral fourni par la décomposition en série de Fourier puis justiez les résultats XD [jk] fournis par la la FFT en précisant la relation qui les lie. 3. On échantillonne le signal x(t) sur 4 périodes ; que donnera la FFT ? n ou k 4 3 2 1 0 +1 +2 +3 x[n] XSF [jk] XD [jk] 0 0 4 4 0 4 4 0258 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 273. 6.10. ExercicesTFD 5 On échantillonne une exponentielle décroissante x(t) = A exp(−t/τ ) (t) où A = 5 [V], τ = 5 [msec]avec une période déchantillonnage Te = 1 [msec]. 1. Que vaut la densité spectrale X(jf ) du signal x(t) ? 2. Calculez la suite des valeurs x[n] ; exprimez la sous la forme x[n] = A · rn . 3. Calculez la TF Xe (jf ) de la suite inniment longue x[n]. 4. On ne prend en compte que les 16 premières valeurs de la suite x[n] et on annule les autres ; que vaut Xe,N (jf ). 5. Considérant la suite temporelle tronquée xN [n] avec N = 16, on discrétise laxe des fréquences. Que vaut lincrément fréquentiel ? Calculez le spectre discret XD [jk]. 6. Que valent, pour chacun des spectres ci-dessus (X(jf ), Xe (jf ), Xe,N (jf ), XD [jk]), les composantes spectrales lorsque f = 0 ?AnSp 1 Lors de lanalyse spectrale dun signal échantillonné x[n], les paramètresN, Te , tmax et fe , ∆f sont reliés entre eux ; la donnée de deux dentre eux sutpour xer tous les paramètres de lanalyse. Rappelez ces relations puis complétez letableau ci-dessous. N Te tmax ∆f fe 40 2 kHz 1 msec 50 Hz 50 10 msec 100 10 Hz 20 Hz 1 kHz 2 msec 1 sec 30 1 msec 5 msec 5 kHzAnSp 2 On doit faire lanalyse spectrale numérique des signaux suivants 1 une sinusoïde 5 une impulsion triangulaire 2 une réponse indicielle 6 un signal chirp (wobulé) 3 une impulsion rectangulaire 7 une exponentielle décroissante 4 une suite dimpulsions rectangulaires 8 un signal triangulaire périodiquePour chacun des signaux : 1. Esquissez leur allure temporelle. 2. Choisissez-vous une fenêtre rectangulaire ou en cosinus ? 3. Précisez les raisons de votre choix. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 259
  • 274. 6. Éléments danalyse spectrale numériqueAnSp 3 On considère ici le signal x(t) = 3 + 4 cos(2πf0 t) + 2 sin(4πf0 t), f0 = 100 Hzreprésenté à la gure 6.17 dont on a enregistré deux périodes. Sachant quon souhaiteobtenir numériquement son spectre X[jk], on léchantillonne avec une période Te =1 msec. 1. Dessinez les points échantillonnés x[n]. Quelle fenêtre faut-il utiliser avant lanalyse spectrale ? 2. Que valent N, tmax , fe , ∆f ? 3. Quelles raies spectrales seront présentes ? Quel sera le nombre de valeurs spec- trales analysées ? 4. Donnez les fréquences, les amplitudes et les phases de chaque valeur spectrale X[jk], k = 0, · · · , N − 1. 5. Quel serait le résultat de lanalyse spectrale si lon avait échantillonné six périodes au lieu de deux ? 10 8 6 4 x(t) 2 0 −2 −4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 temps [ms] Fig. 6.17.: Ex AnSp 3AnSp 4 On considère le signal x(t) = 1 + 5 sin (2πfa t) + 2 sin (2πfb t) , fa = 1 [kHz], fb = 1.5 [kHz] 1. Quelle est la période de ce signal ? Dessinez le spectre unilatéral de x(t). Que valent Xdc et Xac ? 2. Son enregistrement a été eectué avec une période déchantillonnage de 125 µsec pendant exactement 10 msec.260 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 275. 6.10. Exercices a) Quel sera le domaine danalyse spectrale et sa résolution. b) Pensez-vous devoir utiliser une fenêtre dobservation ? Si oui, laquelle choisissez-vous et pourquoi ? c) Les raies spectrales fournies par la FFT seront-elles situées aux fréquences attendues ? Sinon, précisez la valeur de ces fréquences.3. Idem 2), si lenregistrement a duré exactement 11 msec. c 2008 freddy.mudry@gmail.com 261
  • 276. 6. Éléments danalyse spectrale numérique262 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 277. Bibliographie[1] Randall R.B., Frequency Analysis, Brüel & Kjaer, 1987[2] Frederic J. Harris : On the use of windows for harmonic analysis with DFT, Proceedings of IEEE, vol. 66, no.1, january 1978[3] Cooley J.W., Tukey J.W., An Algorithm for the Machine Calculation of Com- plex Fourier Series, Mathematics of Computation, Vol. 19, April 1965[4] Burrus C.S., Parks T.W., DFT/FFT and Convolution Algorithms. John Wiley & Sons, New York, 1985[5] B.P. Lathy, Linear Systems and Signals, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael CA, 1992 263
  • 278. Bibliographie264 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 279. Troisième partie .Étude des signaux et systèmes numériques 265
  • 280. 7. Échantillonnage et reconstruction des signaux analogiques7.1. IntroductionLa plupart des signaux que lon doit traiter et analyser tels que la parole, les si-gnaux biologiques, sismiques, radars, audio ou vidéo sont analogiques par nature.Cest-à-dire quils sont fonction dune variable continue, le temps, et queux-mêmesvarient de manière continue. Ces signaux peuvent être traités analogiquement àlaide de ltres par exemple. Les signaux dentrée et de sortie sont alors analogiques(gure 7.1). x(t) Système y(t) analogique Fig. 7.1.: Traitement analogique dun signal x(t)Souvent, pour des raisons de simplicité, de précision, de stockage de linformation,de exibilité, etc, un traitement numérique équivalent est possible et préférable.On utilise alors des convertisseurs analogiques-numériques (CAN) et numériques-analogiques (CNA) pour relier au processeur numérique les signaux analogiquesdentrée et de sortie. Le schéma correspondant est donné à la gure 7.2. x(t) x[n] y[n] y(t) A Système N N numérique A Fig. 7.2.: Traitement numérique dun signal analogique x(t)Conceptuellement, on peut considérer la conversion AN comme un processus faisantintervenir trois actions successives : léchantillonnage à période xe Te , la quanti-cation du signal et son codage. Pratiquement, ces opérations sont eectuées dans unmême élément, le convertisseur AN, qui reçoit le signal analogique et le convertiten un signal discret quantié. 267
  • 281. 7. Échantillonnage et reconstruction des signaux analogiquesDe même pour la conversion NA, les opérations implicitement réalisées sont laquantication et le maintien de la valeur numérique pendant une période déchan-tillonnage. À ceci sajoute généralement un ltrage passe-bas des escaliers généréspar le convertisseur NA. Te CAN xa(t) x(t) xe(t) x[n] y[n] N yq(t) y(t) Filtre Q µP Filtre A Fig. 7.3.: Détail dune chaîne analogique-numérique-analogiqueLa gure 7.3 présente les éléments qui interviennent lors du traitement numériquedun signal analogique. On y trouve un ltre antirecouvrement (on verra plus loinsa raison dêtre), un échantillonneur commandé par une horloge de période Te , unquanticateur Q, un processeur numérique µP, un convertisseur NA et un ltre delissage. Temps continu discret x(t) xe(t=nTe) Signal analogique Te Signal échantillonné continue A (a) N (b) t t Amplitude Q xq(t) xq[n] Te Signal numérique maintenu Signal numérique discrète N A (d) (c) t n Fig. 7.4.: Divers types de signaux268 c 2008 freddy.mudry@gmail.com
  • 282. 7.2. Analyse temporelle7.2. Analyse temporelle7.2.1. Types de signauxDe manière générale, les signaux peuvent être classés dans les catégories suivantes : 1. Signaux continus en temps et en amplitude : x(t). On les appelle égale- ment signaux analogiques (gure 7.4a) ; ils proviennent généralement de pro- cessus physiques. 2. Signaux discrets en temps, continus en amplitude : xe (t = nTe ). Ce sont les signaux échantillonnés (gure 7.4b). Ils ne sont dénis quà des instants déterminés multiples de la période déchantillonnage Te , mais leur amplitude peut varier de manière continue. 3. Signaux discrets en temps et en amplitude : xq [n]. De tels signaux sont quantiés en amplitude ; ils ne peuvent prendre que des valeurs déterminées, généralement, multiples dun pas de quantication. Ce sont les valeurs numé- riques fournies par les convertisseurs analogiques-numériques (CAN). Ils ne sont dénis quaux instants déchantillonnage et correspondent aux signaux numériques (gure 7.4c). 4. Signaux continus en temps, discrets en amplitude : xq (t). Ce sont des signaux quantiés