Analyse 2              Notes de cours              Andr´ Giroux                    eD´partement de Math´matiques et Statis...
Table des mati`res              e1 INTRODUCTION                                                                           ...
´8 SUITES ET SERIES DE FONCTIONS                                                                                     69  8...
21   Les conditions de Dirichlet .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    9822  ...
1    INTRODUCTION     L’analyse math´matique est l’´tude approfondie du calcul diff´rentiel et                      e      ...
Une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle yadmet une fonction inverse f −1 qui est elle aussi cont...
est d´rivable aux points o` elle est d´finie (c’est-`-dire aux points o` le     e                    u           e         ...
2        ´      INTEGRATION DES FONCTIONS CONTINUES   L’int´gration des fonctions continues repose sur une propri´t´ suppl...
√   – La fonction f (x) = x est uniform´ment continue sur l’intervalle [0, 1],                                      e     ...
et une somme inf´rieure s(P, f ),                e                            n            s(P, f ) =           inf{f (x) ...
On d´duit de ces relations que, quelles que soient les partitions P et Q, on    ea             s(P, f ) ≤ s(P ∪ Q, f ) ≤ S...
Lorsque f est positive, l’int´grale est donc exactement le nombre qui donne                               el’aire d´termin...
Ainsi                       b                                    n                                      b−a               ...
Th´or`me 4 (Positivit´ de l’int´grale) Soient f1 , f2 : [a, b] → R des   e e                    e    efonctions continues ...
(exercice (11)) et d’autre part que      b          f (x) dx = inf S(P, f ) ≥ inf S(P ∪ {c}, f ) = inf (S(P , f ) + S(P , ...
2.4   Exercices 2  Justifier compl`tement toutes ses affirmations.                e  1. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → ...
9. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b]    tel que                                  ...
3       ´  `      THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL   Le th´or`me fondamental du calcul constitue la fa¸on habituelle d’´valu...
Les cas o` x = a et o` x = b sont similaires. C.Q.F.D.         u           u   Remarque.   Puisque                        ...
Une telle fonction F se nomme primitive de f (puisque que f est sa d´riv´e)                                               ...
Th´or`me 8 (Int´gration par parties) Soient F, G : [a, b] → R des fonc-    e e           etions continˆment d´rivables. Al...
et                                                         √                              1    √           2   3/2   4( 2 ...
3.3   Exercices 3  Justifier compl`tement toutes ses affirmations.                e  1. D´duire le th´or`me fondamental du ca...
et que si f est paire (c’est-`-dire f (−x) = f (x) pour tout x),                                 a                        ...
4     LOGARITHME ET EXPONENTIELLE    Les fonctions logarithmique et exponentielle sont ´troitement associ´es              ...
D´monstration. Pour d´montrer la premi`re affirmation, introduisons la  e                  e                efonction       ...
Puisque, de plus,                            d2             1                                log x = − 2 < 0,             ...
Th´or`me 11  e e                                    log e = 1.D´monstration. Le nombre e est d´fini par e                  ...
D´monstration. En vertu de la r`gle pour d´river une fonction inverse, on a  e                            e           ebie...
4.3    Exposants irrationnels    Si n ∈ N est un entier naturel, xn est ´gal au produit de x par lui-mˆme                 ...
reste toujours valable.    Fixons maintenant b > 0, b = 1, et consid´rons la fonction g : R →]0, +∞[                      ...
c)                                   cosh x cosh y + sinh x sinh y            ex+y   +   ex−y   +e−x+y    + e−x−y       ex...
c’est-`-dire      a                       arcsinh y = log(y +       1 + y 2 ).En d´rivant cette derni`re relation ou en ut...
4. Calculer les limites suivantes :   a)                                         lim xa log x                             ...
9. Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´rivable et telle que f (x) ≥ 0.                                             ...
(Suggestion :                               x     x/2 1                                 = 2 x/2 x/2 ;                     ...
5                       ´      FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES   Les fonctions trigonom´triques sont ´troitement associ´es ` l’...
Elle est strictement d´croissante, de π ` 0 lorsque son argument y croˆ de                      e                 a       ...
1                                                           sinus                                           0.5           ...
Ces diverses relations permettent de tracer les graphes des fonctionstrigonom´triques sinus et cosinus (figure (10)).      ...
D´monstration. La premi`re affirmation suit des relations (7). Pour d´montrer  e                      e                     ...
Th´or`me 17 (Relations d’orthogonalit´) Quelques soient m, n ∈ N0 ,   e e                               eon a :           ...
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Analyse2 00

  1. 1. Analyse 2 Notes de cours Andr´ Giroux eD´partement de Math´matiques et Statistique e e Universit´ de Montr´al e e Avril 2004
  2. 2. Table des mati`res e1 INTRODUCTION 4 1.1 Exercices 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ´2 INTEGRATION DES FONCTIONS CONTINUES 7 2.1 La continuit´ uniforme . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 D´finition de l’int´grale . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Propri´t´s de l’int´grale . . . . . . . ee e . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Exercices 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ´ `3 THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL 17 3.1 Le th´or`me fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . . . . 17 e e 3.2 Propri´t´s suppl´mentaires de l’int´grale . . . . . . . . . . . . 19 ee e e 3.3 Exercices 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE 24 4.1 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 Exposants irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5 Exercices 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES ´ 36 5.1 D´finition des fonctions trigonom´triques e e . . . . . . . . . . . 36 5.2 Propri´t´s des fonctions trigonom´triques ee e . . . . . . . . . . . 39 5.3 Les fonctions trigonom´triques inverses . . e . . . . . . . . . . . 41 5.4 La notion d’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.5 Exercices 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 CALCUL DES PRIMITIVES 50 6.1 Primitives des fonctions analytiques usuelles . . . . . . . . . . 50 6.2 Primitives des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . 53 6.3 Exercices 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ´7 INTEGRALES IMPROPRES 58 7.1 G´n´ralisation de l’int´grale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 e e e 7.2 La fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.3 Exercices 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1
  3. 3. ´8 SUITES ET SERIES DE FONCTIONS 69 8.1 La convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.2 L’approximation des fonction continues . . . . . . . . . . . . 74 8.3 Les s´ries enti`res . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . 76 8.4 Exercices 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ´9 SERIES DE TAYLOR 84 9.1 D´veloppements limit´s . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.1.1 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.2 S´ries infinies . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.3 Exercices 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 ´10 SERIES DE FOURIER 97 10.1 La s´rie de Fourier . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 10.2 Th´or`mes de convergence . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10.3 L’approximation des fonctions continues p´riodiques e . . . . . 107 10.4 Exercices 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Table des figures 1 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 D´finition du logarithme . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Graphe du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Graphe de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7 L’arcsinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8 Une fonction convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9 D´finition de l’arccosinus . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 36 10 Le sinus et le cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 11 La tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12 L’arcsinus et l’arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 13 L’arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 14 Angle entre deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 15 Le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 16 Angle et longueur d’arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 17 Une substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 18 Comparaison de s´ries et d’int´grales e e . . . . . . . . . . . . . . 61 19 La fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 20 Quelques fonctions Qn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2
  4. 4. 21 Les conditions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9822 Quelques fonctions Dn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10423 Fonctions f2 et S6 (f2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10624 Fonctions f3 et S12 (f3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10725 Quelques fonctions Fn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3
  5. 5. 1 INTRODUCTION L’analyse math´matique est l’´tude approfondie du calcul diff´rentiel et e e eint´gral. Ce cours porte sur le calcul int´gral. Il se divise en trois parties. La e epremi`re pr´sente la d´finition et les propri´t´s de l’int´grale d’une fonction e e e ee econtinue d’une variable r´elle. La seconde utilise cet outil pour introduire eles fonctions analytiques ´l´mentaires (les fonctions logarithmique, exponen- eetielle, trigonom´triques directes et inverses, eul´riennes). La derni`re, enfin, e e eporte sur la repr´sentation de ces fonctions par des s´ries de Taylor et des e es´ries de Fourier. e Il s’agit d’un cours de math´matique formel, avec des d´monstrations e erigoureuses et compl`tes de tous les th´or`mes pr´sent´s. Les exercices pro- e e e e epos´s sont de mˆme nature et exigent de l’´tudiant qu’il en compose des e e esolutions rigoureuses et compl`tes. Ce cours est un deuxi`me cours d’ana- e elyse et suppose que l’´tudiant connaˆ d´j` les propri´t´s des fonctions conti- e ıt e a eenues ainsi que celles des fonctions d´rivables. Rappelons quelques-unes de eces propri´t´s. ee On note [a, b] un intervalle compact (c’est-`-dire ferm´ born´), a e e [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b},]a, b[ un intervalle ouvert, ]a, b[= {x | a < x < b}et (a, b) un intervalle quelconque. (Ces notations pr´sument que a ≤ b). Un eintervalle compact peut ˆtre caract´ris´ par la propri´t´ suivante : e e e ee• Toute suite {xn }n≥1 de points de [a, b] contient une suite partielle {xnk }k≥1 qui converge vers un point de [a, b] (th´or`me de Bolzano-Weierstrass). e e Soit f : (a, b) → R une fonction. Elle est dite continue sur (a, b) si elleest continue en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire si en chaque point x0 ade (a, b), lim f (x) = f (x0 ). x→x0 Un fonction continue jouit des propri´t´s suivantes : ee• L’image d’un intervalle quelconque par une fonction continue est un in- tervalle (propri´t´ des valeurs interm´diaires). ee e• L’image d’un intervalle compact par une fonction continue est un intervalle compact (propri´t´ des valeurs extrˆmes). ee e 4
  6. 6. Une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle yadmet une fonction inverse f −1 qui est elle aussi continue et strictementmonotone. Exemple. Si n ∈ N, la fonction x → x1/n est d´finie et continue pour x ≥ 0 si n est epair et pour tout x si n est impair. La fonction f : (a, b) → R est dite d´rivable sur (a, b) si elle est d´rivable e een chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire si en chaque point x0 de (a, b), la alimite suivante f (x) − f (x0 ) lim x→x0 x − x0existe. On ´crit alors e f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = lim . x→x0 x − x0La fonction f est dite continˆ ment d´rivable si sa d´riv´e f est continue. u e e e Le th´or`me fondamental du calcul diff´rentiel est le th´or`me des ac- e e e e ecroissements finis (quelquefois appel´ th´or`me de la moyenne ou encore e e eth´or`me de Rolle lorsque f (a) = f (b) = 0) : e e• Si f : [a, b] → R est continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[, il existe un e nombre c ∈]a, b[ tel que f (b) − f (a) = f (c)(b − a). L’inverse d’une fonction d´rivable est d´rivable aux points y correspon- e edant aux points x o` f (x) = 0 (y = f (x) et x = f −1 (y)) et alors u 1 f −1 (y) = . f (x) Exemple. Un polynˆme de degr´ n, o e Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ,est d´rivable sur tout l’axe r´el et e e Pn (x) = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 .Une fonction rationnelle, Pn (x) R(x) = , Qm (x) 5
  7. 7. est d´rivable aux points o` elle est d´finie (c’est-`-dire aux points o` le e u e a ud´nominateur Qm (x) ne s’annule pas) et e Pn (x)Qm (x) − Pn (x)Qm (x) R (x) = . Q2 (x) mSi p ∈ Q, d p x = p xp−1 , x > 0. dx1.1 Exercices 1 Justifier compl`tement toutes ses affirmations. e 1. V´rifier que la suite de points de [−1, 1] d´finie par e e 1 + (−1)n n xn = 1+n ne converge pas. En exhiber une suite partielle convergente. 2. Montrer qu’une fonction continue sur un intervalle ferm´ peut toujours e ˆtre prolong´e ` une fonction continue sur R tout entier. Cela reste-t-il e e a vrai pour un intervalle quelconque ? 3. Donner un exemple d’une fonction continue sur un intervalle ferm´ qui e n’y est pas born´e ou qui n’y atteint pas ses bornes. Mˆme question e e pour un intervalle born´. e 4. Montrer qu’une fonction d´rivable sur un intervalle ferm´ peut toujours e e ˆtre prolong´e ` une fonction d´rivable sur R tout entier. e e a e 5. Les fonctions suivantes sont-elles d´rivables en tous les points de leur e domaine de d´finition : e x1/2 , x1/3 , x3/2 , x4/3 ? 6. Soient 0 < a < b. D´terminer le point c du th´or`me des accroisse- e e e ments finis pour la fonction f (x) = x2 . Mˆme question pour la fonction e f (x) = x3 . 6
  8. 8. 2 ´ INTEGRATION DES FONCTIONS CONTINUES L’int´gration des fonctions continues repose sur une propri´t´ suppl´mentaire e ee ede ces fonctions lorsqu’on les consid`re sur des intervalles compacts. e2.1 La continuit´ uniforme e Dire d’une fonction f : (a, b) → R qu’elle est continue, c’est dire qu’elleest continue en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire qu’` chaque point x0 a aet ` chaque > 0 correspond δ > 0 tel que a |x − x0 | < δ et x ∈ (a, b) impliquent |f (x) − f (x0 )| < .Le nombre δ d´pend ` la fois de x0 et de e a : δ = δ(x0 , ).Lorsqu’il peut ˆtre choisi ind´pendamment du point x0 , e e δ = δ( ),on dit que la fonction est uniform´ment continue sur l’intervalle (a, b). e En d’autres termes, une fonction f : (a, b) → R est uniform´ment econtinue sur (a, b) si ` chaque > 0 correspond δ > 0 tel que a |x − y| < δ et x, y ∈ (a, b) impliquent |f (x) − f (y)| < . Exemples. – La fonction f (x) = x2 est uniform´ment continue sur [0, 1] puisque : e |x2 − y 2 | = |(x + y)(x − y)| ≤ 2|x − y|. √ – La fonction f (x) = x est uniform´ment continue sur [1, +∞[ ; en e vertu du th´or`me des accroissements finis en effet, il existe z entre x e e et y tel que : √ √ |x − y| |x − y| | x − y| = √ ≤ . 2 z 2 – La fonction f (x) = x2 n’est pas uniform´ment continue sur [1, +∞[ ; e soient en effet xn = (n + 1/n) et yn = n. On a toujours 1 |f (xn ) − f (yn )| = 2 + >2 n2 bien que 1 |xn − yn | = . n Aucun nombre δ ne peut correspondre ` = 2. a 7
  9. 9. √ – La fonction f (x) = x est uniform´ment continue sur l’intervalle [0, 1], e en vertu du th´or`me suivant. e eTh´or`me 1 Une fonction f : [a, b] → R continue sur un intervalle com- e epact y est uniform´ment continue. eD´monstration. Supposons que le th´or`me est faux. Il existe alors > 0 tel e e eque, quelque soit δ > 0, on peut trouver deux points x, y de l’intervalle [a, b]pour lesquels : |x − y| < δ et |g(x) − g(y)| > .Choisissons successivement δ = 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . On obtient deux suitesde points xn et yn de [a, b] tels que 1 |xn − yn | < et |g(xn ) − g(yn )| > . nPar compacit´, la suite {xn }n≥1 contient une suite partielle {xnk }k≥1 qui econverge vers un point z de [a, b]. Comme 1 |xnk − ynk | < , nkla suite partielle {ynk }k≥1 correspondante converge aussi vers z. Par conti-nuit´, on a donc e lim (g(xnk ) − g(ynk )) = g(z) − g(z) = 0 k→+∞ce qui est absurde puisque l’on a toujours |g(xnk ) − g(ynk )| > .C.Q.F.D.2.2 D´finition de l’int´grale e e ` Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur un intervalle compact. Achaque partition P de l’intervalle, P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } o` a = x0 < x1 < · · · < xn = b, uassocions avec Riemann une somme sup´rieure S(P, f ), e n S(P, f ) = sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }(xk − xk−1 ), k=1 8
  10. 10. et une somme inf´rieure s(P, f ), e n s(P, f ) = inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }(xk − xk−1 ). k=1 Lorsque la fonction est positive, ces sommes majorent et minorent respec-tivement l’aire d´termin´e par l’axe des abscisses, les droites x = a et x = b e eet le graphe de la fonction (figure (1) — les points de la partition ne sontpas n´cessairement ´quidistants). e e y y f x x a b Fig. 1 – Sommes de Riemann Il est clair que l’on ainf{f (x) | a ≤ x ≤ b}(b−a) ≤ s(P, f ) ≤ S(P, f ) ≤ sup{f (x) | a ≤ x ≤ b}(b−a)pour toute partition P. Observons maintenant que, si Q est une partitionplus fine que P, c’est-`-dire si P ⊆ Q, on a a S(Q, f ) ≤ S(P, f ) , s(P, f ) ≤ s(Q, f ). (1)En effet, il suffit de v´rifier ces in´galit´s lorsque Q s’obtient de P par adjonc- e e etion d’un seul point, Q = P ∪{x∗} ; or si j est l’indice tel que xj−1 < x∗ < xj ,on a sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(xj − xj−1 )= sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(xj − x∗) + sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(x ∗ −xj−1 )≥ sup{f (x) | x∗ ≤ x ≤ xj }(xj − x∗) + sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ x∗}(x ∗ −xj−1 )et les autres termes de la somme S(P, f ) restent inchang´s. De ceci d´coule e ela premi`re des in´galit´s (1). L’autre in´galit´ s’obtient de fa¸on similaire. e e e e e c 9
  11. 11. On d´duit de ces relations que, quelles que soient les partitions P et Q, on ea s(P, f ) ≤ s(P ∪ Q, f ) ≤ S(P ∪ Q, f ) ≤ S(Q, f ),c’est-`-dire que toute somme inf´rieure est plus petite que toute somme a esup´rieure. Ainsi e sup s(P, f ) ≤ inf S(P, f ). P PEn fait, on a toujours sup s(P, f ) = inf S(P, f ). (2) P PCela est une cons´quence de la continuit´ uniforme d’une fonction continue e esur un intervalle compact. D´montrons la relation (2). Soit > 0 arbitraire. eSoit δ > 0 un nombre tel que |x − y| < δ et x, y ∈ [a, b] impliquent |f (x) − f (y)| < . b−aSoit aussi P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn }une partition pour laquelle xk − xk−1 < δ pour tout k.Soient enfin uk , vk ∈ [xk−1 , xk ] tels que, pour tout k, f (uk ) = inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk } , f (vk ) = sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }(propri´t´ des valeurs extrˆmes). Alors ee e S(P, f ) − s(P, f ) n= (sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk } − inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk })(xk − xk−1 ) k=1 n n = (f (vk ) − f (uk ))(xk − xk−1 ) ≤ (xk − xk−1 ) = b−a k=1 k=1ce qui d´montre la relation (2). e On exprime l’´quation (2) en disant que la fonction f est int´grable sur e el’intervalle [a, b], d’int´grale : e b f (x) dx = sup s(P, f ) = inf S(P, f ). a P P 10
  12. 12. Lorsque f est positive, l’int´grale est donc exactement le nombre qui donne el’aire d´termin´e par l’axe des abscisses, les droites x = a et x = b et le e egraphe de la fonction. La signification de l’int´grale ayant ´t´ bien ´tablie, nous pouvons main- e ee etenant donner avec Darboux une fa¸on plus commode de la calculer (fi- cgure (2) — les points o` la fonction est ´valu´e ne sont pas n´cessairement u e e e´quidistants).e y y f x x a b Fig. 2 – Sommes de DarbouxTh´or`me 2 (Darboux) Quels que soient les nombres e e k−1 k xk,n ∈ [a + (b − a), a + (b − a)], n non a b n b−a f (x) dx = lim f (xk,n ). a n→+∞ n k=1D´monstration. Soit e 1 2 Pn = {a, a + (b − a), a + (b − a), . . . , b} n nla partition uniforme de [a, b]. On a n b−a s(Pn , f ) ≤ f (xk,n ) ≤ S(Pn , f ) n k=1et b s(Pn , f ) ≤ f (x) dx ≤ S(Pn , f ). a 11
  13. 13. Ainsi b n b−a f (x) dx − f (xk,n ) ≤ S(Pn , f ) − s(Pn , f ). a n k=1Or, en utilisant la continuit´ uniforme de la fonction f et la propri´t´ des e eevaleurs extrˆmes, on voit comme pr´c´demment que e e e lim (S(Pn , f ) − s(Pn , f )) = 0. n→+∞C.Q.F.D. Exemple. On a 1 n 1 k n+1 1 x dx = lim = lim = . 0 n→+∞ n n n→+∞ 2n 2 k=12.3 Propri´t´s de l’int´grale e e e Les trois propri´t´s essentielles de l’int´grale d’une fonction continue sont ee ela lin´arit´, la positivit´ et l’additivit´. e e e eTh´or`me 3 (Lin´arit´ de l’int´grale) Soient f1 , f2 : [a, b] → R des e e e e efonctions continues et c1 , c2 ∈ R des nombres. Alors b b b (c1 f1 (x) + c2 f2 (x)) dx = c1 f1 (x) dx + c2 f2 (x) dx. a a aD´monstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient : e b (c1 f1 (x) + c2 f2 (x)) dx a n b−a k k = lim c1 f1 a + (b − a) + c2 f2 a + (b − a) n→+∞ n n n k=1 n n b−a k b−a k= c1 lim f1 a + (b − a) + c2 lim f2 a + (b − a) n→+∞ n n n→+∞ n n k=1 k=1 b b = c1 f1 (x) dx + c2 f2 (x) dx. a aC.Q.F.D. 12
  14. 14. Th´or`me 4 (Positivit´ de l’int´grale) Soient f1 , f2 : [a, b] → R des e e e efonctions continues telles que f1 (x) ≤ f2 (x) pour a ≤ x ≤ b.Alors b b f1 (x) dx ≤ f2 (x) dx. a aD´monstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient : e b n b−a k f1 (x) dx = lim f1 a + (b − a) a n→+∞ n n k=1 n b b−a k ≤ lim f2 a + (b − a) = f2 (x) dx. n→+∞ n n a k=1C.Q.F.D. L’application de ce th´or`me aux fonctions f1 = ±f et f2 = |f | conduit e ea` l’in´galit´ du triangle pour les int´grales : e e e b b f (x) dx ≤ |f (x)| dx. a aTh´or`me 5 (Additivit´ de l’int´grale) Soient f : [a, b] → R une fonc- e e e etion continue et a < c < b. Alors b c b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a a cD´monstration. Soient P, P et P des partitions des intervalles [a, b], [a, c] et [c, b] erespectivement. On a donc : P ∪ {c} = P ∪ P .En utilisant les in´galit´s (1), on voit d’une part que e e b f (x) dx = sup s(P, f ) ≤ sup s(P ∪ {c}, f ) = sup (s(P , f ) + s(P , f )) a P P P ∪P c b ≤ sup s(P , f ) + sup s(P , f ) = f (x) dx + f (x) dx P P a c 13
  15. 15. (exercice (11)) et d’autre part que b f (x) dx = inf S(P, f ) ≥ inf S(P ∪ {c}, f ) = inf (S(P , f ) + S(P , f )) a P P P ∪P c b ≥ inf S(P , f ) + inf S(P , f ) = f (x) dx + f (x) dx. P P a cC.Q.F.D. Il commode de poser a b f (x) dx = − f (x) dx. b aL’int´grale e b f (x) dx aest ainsi d´finie quelle que soit la position relative des bornes d’int´gration e ea et b — mais la propri´t´ de positivit´ ne vaut que si a < b. ee e Exemple. Si f : [0, +∞[→ R est continue et limx→+∞ f (x) = L, x 1 lim f (t) dt = L. x→+∞ x 0En effet, quelque soit > 0, x 1 1 x f (t) dt − L = (f (t) − L) dt x 0 x 0 1 y 1 x ≤ |f (t) − L| dt + |f (t) − L| dt x 0 x y y x−y ≤ sup |f (t) − L| + sup |f (t) − L| x t≥0 x t≥y y x−y < sup |f (t) − L| + x t≥0 x 2d`s que y = y est assez grand puis, y ainsi fix´, e e x 1 f (t) dt − L < + < x 0 2 2d`s que e 2 y supt≥0 |f (t) − L| x> . 14
  16. 16. 2.4 Exercices 2 Justifier compl`tement toutes ses affirmations. e 1. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → R admettant une d´riv´e born´e e e e est uniform´ment continue. e 2. En d´duire qu’une fonction rationnelle R : R → R born´e est uni- e e form´ment continue sur R. e 3. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → R qui est uniform´ment continue e sur (a, c] et sur [c, b) l’est aussi sur (a, b). √ 4. En d´duire que la fonction f (x) = 3 x est uniform´ment continue sur e e R. 5. La fonction f (x) = 1/x est-elle uniform´ment continue sur l’intervalle e ]0, 1] ? sur l’intervalle [1, +∞[ ? 6. Les sommes sup´rieures et les sommes inf´rieures de Riemann peuvent e e ˆtre calcul´es pour toute fonction born´e f : [a, b] → R mais il n’est e e e plus certain que la fonction soit int´grable, c’est-`-dire que l’´quation e a e (2) soit vraie. Consid´rer avec Dirichlet la fonction indicatrice des e nombres rationnels : 1 si x ∈ Q f (x) = IQ (x) = 0 sinon . Montrer qu’elle n’est int´grable sur aucun intervalle. e 7. D´montrer l’in´galit´ de Cauchy-Schwarz : si f, g : [a, b] → R sont e e e continues, alors b b b f (x)g(x) dx ≤ f 2 (x) dx g 2 (x) dx. a a a (Suggestion : choisir le nombre λ de fa¸on optimale dans l’in´galit´ : c e e b 0≤ (f (x) + λg(x))2 dx.) a 8. En d´duire l’in´galit´ de Minkowski : e e e b b b (f (x) + g(x))2 dx ≤ f (x)2 dx + g(x)2 dx. a a a 15
  17. 17. 9. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que b f (x) dx = f (c)(b − a). a (Premier th´or`me de la moyenne). e e10. Soit f : [a, b] → [0, +∞[ une fonction continue et positive telle que b f (x) dx = 0. a Montrer qu’elle est identiquement nulle.11. V´rifier les relations suivantes : e sup (a + b) ≤ sup a + sup b, a∈A, b∈B a∈A b∈B inf (a + b) ≥ inf a + inf b. a∈A, b∈B a∈A b∈B12. Soient f : [a, b] → R une fonction continue et {an }n≥1 une suite de nombres convergeant vers a, an > a. Montrer que b b f (x) dx = lim f (x) dx. a n→+∞ a n 16
  18. 18. 3 ´ ` THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL Le th´or`me fondamental du calcul constitue la fa¸on habituelle d’´valuer e e c eune int´grale. Il en fait aussi apparaˆ des propri´t´s suppl´mentaires. e ıtre ee e3.1 Le th´or`me fondamental du calcul e e Faisant le lien entre le calcul diff´rentiel et le calcul int´gral en montrant e eque la d´rivation et l’int´gration sont les op´rations inverses l’une de l’autre, e e ele th´or`me fondamental du calcul a deux facettes. e eTh´or`me 6 (Th´or`me fondamental du calcul I) Soit f : [a, b] → R e e e eune fonction continue. Alors, pour tout x ∈ [a, b], x d f (t) dt = f (x). dx aD´monstration. Posons e x I(x) = f (t) dt. aSoient a < x < b et h > 0 assez petit pour que les points x ± h soient dans[a, b]. On a, en vertu des propri´t´s de lin´arit´ et d’additivit´ de l’int´grale, ee e e e eque I(x + h) − I(x) 1 x+h − f (x) = (f (t) − f (x)) dt h h xet que x I(x − h) − I(x) 1 − f (x) = (f (t) − f (x)) dt −h h x−hde telle sorte que, en vertu cette fois de la positivit´, e I(x + h) − I(x) − f (x) ≤ sup{|f (t) − f (x)| | x ≤ t ≤ x + h} het que I(x − h) − I(x) − f (x) ≤ sup{|f (t) − f (x)| | x − h ≤ t ≤ x}. −hEn utilisant la continuit´ de la fonction f au point x, on voit donc que e I(x + h) − I(x) lim = f (x). h→0 h 17
  19. 19. Les cas o` x = a et o` x = b sont similaires. C.Q.F.D. u u Remarque. Puisque b x b f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt, a a xon a aussi b d f (t) dt = −f (x). dx xTh´or`me 7 (Th´or`me fondamental du calcul II) Soit F : [a, b] → R e e e eune fonction continˆment d´rivable. Alors u e b F (x) dx = F (b) − F (a). aD´monstration. Consid´rons la fonction e e x J(x) = F (t) dt. aEn vertu du th´or`me pr´c´dent, on a e e e e J (x) = F (x).Les fonction J(x) et F (x) − F (a) admettent donc la mˆme d´riv´e sur l’in- e e etervalle [a, b]. Comme elles s’annulent toutes les deux pour x = a, ellesco¨ ıncident partout sur l’intervalle [a, b] : J(b) = F (b) − F (a).C.Q.F.D. En vertu de ce th´or`me, il suffit donc, pour ´valuer e e e b f (x) dx, ade trouver une fonction F (x) telle que F (x) = f (x). On a alors tout sim-plement b f (x) dx = F (b) − F (a). a(Pour abr´ger l’´criture, on ´crit e e e b F (b) − F (a) = F (x) . ) a 18
  20. 20. Une telle fonction F se nomme primitive de f (puisque que f est sa d´riv´e) e eou encore int´grale ind´finie de f . On la d´note par e e e f (x) dx.En d’autres mots, F (x) = f (x) dx ⇔ F (x) = f (x).Une primitive n’est d´finie qu’` l’addition d’une constante pr`s. e a e Toute fonction continue f admet une primitive, nomm´ment la fonction ed´finie par l’´quation e e x F (x) = f (t) dt a(en vertu du th´or`me (6)) mais si cela s’av`re ˆtre la seule repr´sentation e e e e edisponible de F , elle n’est gu`re utile pour ´valuer l’int´grale « d´finie » de e e e ef . Cette situation se pr´sente cependant quelquefois. Et, en r`gle g´n´rale, e e e ele calcul des primitives est beaucoup plus difficile que le calcul des d´riv´es. e e Exemple. Si p ∈ Q, p = −1, xp+1 xp dx = p+1puisque d p+1 x = (p + 1)xp . dxOn a donc, si 0 < a < b, b bp+1 − ap+1 xp dx = . a p+13.2 Propri´t´s suppl´mentaires de l’int´grale e e e e Le th´or`me fondamental du calcul met en lumi`re deux autres propri´t´s e e e eede l’int´grale : l’int´gration par parties qui correspond a la r`gle de d´rivation e e ` e ed’un produit et la formule de changement de variable qui correspond ` la ar`gle de d´rivation en chaˆ (exercice (7)). e e ıne 19
  21. 21. Th´or`me 8 (Int´gration par parties) Soient F, G : [a, b] → R des fonc- e e etions continˆment d´rivables. Alors u e b b b F (x)G (x) dx = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx. (3) a a aD´monstration. Puisque e d F (x)G(x) = F (x)G(x) + F (x)G (x), dxon a F (x)G(x) = F (x)G(x) dx + F (x)G (x) dxc’est-`-dire a F (x)G (x) dx = F (x)G(x) − F (x)G(x) dxdonc b b b b F (x)G (x) dx = F (x)G (x) dx = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx a a a a b b = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx. a aC.Q.F.D. L’utilisation de la formule (3) pour ´valuer une int´grale e e b h(x) dx arepose sur une factorisation judicieuse de la fonction h(x) sous la formeh(x) = F (x)G (x). Exemple. Soit ` ´valuer ae 1 √ x x + 1 dx. 0 √Posant F (x) = x et G (x) = x + 1, on a F (x) = 1 et G(x) = 2(x + 1)3/2 /3.Ainsi √ 2 2 x x + 1 dx = x(x + 1)3/2 − (x + 1)3/2 dx 3 3 2 4 2 = x(x + 1)3/2 − (x + 1)5/2 = (x + 1)3/2 (3x − 2) 3 15 15 20
  22. 22. et √ 1 √ 2 3/2 4( 2 + 1) x x + 1 dx = 2 +2 = . 0 15 15Th´or`me 9 (Changement de variable) Soit φ : [c, d] → R une fonc- e etion continˆment d´rivable strictement monotone et telle que φ([c, d]) = u e[a, b]. Pour toute fonction continue f : [a, b] → R, on a b d f (x) dx = f (φ(t))|φ (t)| dt. (4) a cD´monstration. Soit F une primitive de f . Alors e f (φ(t))φ (t) dt = F (φ(t)).La fonction φ effectue une bijection de l’intervalle [c, d] sur l’intervalle [a, b]. Si φ est croissante (c’est-`-dire si φ > 0), on a a d d b f (φ(t))φ (t) dt = F (φ(t)) = F (b) − F (a) = f (x) dx c c aalors que si φ est d´croissante (c’est-`-dire si φ < 0), on a e a d d b f (φ(t))(−φ (t)) dt = −F (φ(t)) = −F (a) + F (b) = f (x) dx. c c aC.Q.F.D. L’utilisation de la formule (4) pour ´valuer une int´grale e e b f (x) dx arepose sur sur un choix appropri´ de la nouvelle variable t = φ−1 (x). e Exemple. Soit ` ´valuer ae 1 x x2 + 1 dx. 0On pose t = x2 + 1 de telle sorte que dt = 2x ≥ 0, dxl’intervalle 0 ≤ x ≤ 1 correspondant ` l’intervalle 1 ≤ t ≤ 2. On a a 1 2√ √ 2 + 1 dx = 1 1 3/2 2 2 2 − 1 x x t dt = t = . 0 1 2 3 1 3 21
  23. 23. 3.3 Exercices 3 Justifier compl`tement toutes ses affirmations. e 1. D´duire le th´or`me fondamental du calcul (th´or`me (6)) du premier e e e e e th´or`me de la moyenne (exercice (9) du chapitre 2). e e 2. Soient f : R → R une fonction continue et a, b : R → R des fonctions d´rivables telles que a(x) < b(x). Calculer e b(x) d f (t) dt. dx a(x) 3. Soit f : R → R une fonction continue. Calculer 1 d f (x + t) dt. dx 0 4. Soit f : R → R une fonction continue et p´riodique de p´riode 2p e e (f (t + 2p) = f (t) pour tout t). Montrer que, quel que soit le nombre x, x+2p 2p f (t) dt = f (t) dt. x 0 5. Soit f : [0, +∞[→ R une fonction continue. Posons x 1 φ(x) = f (t) dt. x 0 Montrer que φ est croissante si f l’est. 6. Soit p > 0. Calculer n kp lim . n→+∞ np+1 k=1 7. D´duire la r`gle de d´rivation d’un quotient de la r`gle de d´rivation e e e e e d’un produit. 8. Soit p > 2. Calculer n knp−2 lim . n→+∞ (k + n)p k=1 9. Soit f : [−A, A] → R une fonction continue. Montrer que si f est impaire (c’est-`-dire f (−x) = −f (x) pour tout x), a A f (x) dx = 0 −A 22
  24. 24. et que si f est paire (c’est-`-dire f (−x) = f (x) pour tout x), a A A f (x) dx = 2 f (x) dx. −A 010. Soit f : [0, a] → R une fonction continˆment d´rivable. Montrer que u e a a af (a) = f (x) dx + xf (x) dx. 0 0 Donner une interpr´tation g´om´trique de cette relation dans le cas e e e o` f (x) > 0 et f (0) = 0. u11. Soient F : [a, b] → R une fonction continˆment d´rivable, positive et u e d´croissante et g : [a, b] → R une fonction continue. Montrer qu’il e existe c ∈ [a, b] tel que b c F (x)g(x) dx = F (a) g(x) dx. a a (Deuxi`me th´or`me de la moyenne — comparer avec le premier (exer- e e e cice (9) du chapitre 2)). (Suggestion : introduire la fonction x G(x) = g(t) dt a et int´grer par parties.) e12. Soit p > 0. Montrer qu’il existe un nombre c ∈ [0, 1] tel que 1 xp cp+1 dx = . 0 x2p + 1 p+1 23
  25. 25. 4 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE Les fonctions logarithmique et exponentielle sont ´troitement associ´es e ea e` l’´tude des ph´nom`nes de croissance. e e4.1 Le logarithme On sait que la fonction x → 1/x n’admet pas de primitive rationnelle.Le logarithme est la fonction log : ]0, +∞[→ R d´finie par e x dt log x = . 1 t(figure (3)). En vertu du th´or`me fondamental du calcul (th´or`me (6)), le e e e elogarithme est une fonction d´rivable et e d 1 log x = . dx xAutre notation : ln x. y 2 1.5 y 1 x 1 0.5 x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Fig. 3 – D´finition du logarithme e ´Th´or`me 10 (Equation fonctionnelle du logarithme) On a e e log xy = log x + log y (5)et si f : ]0, +∞[→ R est une fonction d´rivable telle que e f (xy) = f (x) + f (y), (6)il existe un nombre c ∈ R tel que f (x) = c log x. 24
  26. 26. D´monstration. Pour d´montrer la premi`re affirmation, introduisons la e e efonction φ(x) = log xy − log y(en fixant arbitrairement y > 0). Comme 1 d φ (x) = = log x x dxet comme φ(1) = 0 = log 1,on doit avoir φ(x) = log x.Si, d’autre part, f satisfait l’´quation fonctionnelle (6), on aura, en d´rivant e epar rapport ` x que, quelque soit y > 0, a yf (xy) = f (x)donc yf (y) = f (1).En passant aux primitives, f (y) = f (1) log y + Ko` K est une constante. Puisque l’´quation fonctionnelle entraˆ que f (1) = 2f (1), u e ınef (1) = 0 donc K = 0 et on a bien f (x) = c log xen posant c = f (1). C.Q.F.D. Comme cons´quences de l’´quation (5), on a e e 1 log = − log x, xet log xn = n log x pour tout n ∈ Ndonc aussi 1 log x1/m = log x pour tout m ∈ N mc’est-`-dire a log xp = p log x quelque soit p ∈ Q. 25
  27. 27. Puisque, de plus, d2 1 log x = − 2 < 0, dx2 xle logarithme est une fonction strictement concave qui croˆ (stricte- ıtment) de −∞ ` +∞ lorsque son argument croˆ de 0 ` +∞. Ces donn´es a ıt a epermettent de tracer son graphe (figure (4)). La concavit´ d’une fonction entraˆ pour cette fonction d’importantes e ınecons´quences. (Exercices (7), (8), (9)). e 2 1 2 4 6 8 10 -1 -2 Fig. 4 – Graphe du logarithme Remarque. Le logarithme tend vers +∞ avec son argument mais plus lentement quetoute puissance (si petite soit-elle) de cet argument. En vertu de la r`gle de el’Hospital, on a en effet, que quel que soit p > 0 : log x x−1 1 limp = lim p−1 = lim = 0. x→+∞ x x→+∞ px x→+∞ pxp Exemple. On estime le nombre N d’atomes dans l’univers visible ` a N = 10000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000. Le logarithme de ce nombre est log N < 240. 26
  28. 28. Th´or`me 11 e e log e = 1.D´monstration. Le nombre e est d´fini par e e n 1 e = lim 1+ . n→+∞ nEn utilisant les propri´t´s du logarithme, on obtient : ee n 1 1 n log e = log lim 1+ = lim log 1 + n→+∞ n n→+∞ n 1 1 log 1 + n − log 1 = lim n log 1 + = lim n→+∞ n n→+∞ 1/n d = log x = 1. dx x=1C.Q.F.D.4.2 La fonction exponentielle La fonction exponentielle est la fonction inverse du logarithme, exp : R →]0, +∞[,d´finie par la relation e exp x = y ⇔ x = log y,autrement dit exp(log y) = y si y > 0, log(exp x) = x pour tout x ∈ R.L’´quation fonctionnelle (5) du logarithme se traduit donc par l’´quation e efonctionnelle suivante pour l’exponentielle : exp(x1 + x2 ) = exp x1 exp x2 . e e ´Th´or`me 12 (Equation diff´rentielle de l’exponentielle) On a e d exp x = exp x dxet si f : R → R est une fonction d´rivable telle que e f (x) = af (x)avec a ∈ R, il existe un nombre c ∈ R tel que f (x) = c exp(ax). 27
  29. 29. D´monstration. En vertu de la r`gle pour d´river une fonction inverse, on a e e ebien d 1 1 exp x = d = = y = exp x. dx dy log y 1/yD’autre part, introduisant la fonction g(x) = f (x) exp(−ax),on ag (x) = f (x) exp(−ax) − af (x) exp(−ax) = (f (x) − af (x)) exp(−ax) = 0ce qui entraˆ ıne g(x) = cpour une constante c appropri´e. C.Q.F.D. e Comme pour toute fonction inverse, le graphe de la fonction exponen-tielle (figure (5)) est le sym´trique de celui du logarithme relativement ` la e abissectrice y = x. Il s’agit d’une courbe strictement convexe qui croˆ ıt(strictement) de 0 ` +∞ lorsque l’abscisse croˆ de −∞ ` +∞ et ce, plus a ıt arapidement que toute puissance de cette abscisse (exercice (13)). 20 15 10 5 -3 -2 -1 1 2 3 Fig. 5 – Graphe de l’exponentielle 28
  30. 30. 4.3 Exposants irrationnels Si n ∈ N est un entier naturel, xn est ´gal au produit de x par lui-mˆme e en fois et, lorsque x = 0, x−n est ´gal ` celui de x−1 par lui-mˆme n fois. Si e a em ∈ N, la fonction x → x1/m est la fonction inverse de xm (elle est d´finie epour tout x ∈ R si m si impair et pour tout x ≥ 0 si m est pair). On convientenfin de poser x0 = 1 lorsque x > 0. La fonction x → xp est donc bien d´finie sur l’intervalle ]0, +∞[ pour etout exposant p ∈ Q. Observons que l’on a exp(p log x) = exp(log xp ) = xp .Cette propri´t´ permet d’introduire des exposants irrationnels. ee Soit a ∈ R un nombre r´el quelconque. La fonction x → xa est la fonction e]0, +∞[ → ]0, +∞[ d´finie par l’´quation e e xa = exp(a log x). Observons que, en vertu du th´or`me (11), l’on a en particulier : e e ea = exp a pour tout a ∈ R.Les r`gles de calcul avec les exposants restent encore vraies. eTh´or`me 13 (R`gles des exposants) Soient a, a1 , a2 ∈ R et x, y > 0. e e eAlorsa) (xy)a = xa y ab) xa1 +a2 = xa1 xa2c) xa1 a2 = (xa1 )a2D´monstration. En vertu de la d´finition que nous avons pos´e, on a succes- e e esivementa) (xy)a = ea log xy = ea log x+a log y = ea log x ea log y = xa y a ;b) xa1 +a2 = e(a1 +a2 ) log x = ea1 log x+a2 log x = ea1 log x ea2 log x = xa1 xa2 ;c) (xa1 )a2 = exp(a2 log xa1 ) = exp(a2 log(exp(a1 log x))) = exp(a2 a1 log x) = xa1 a2 .C.Q.F.D. Une cons´quence en est que la formule de d´rivation e e d a x = axa−1 dx 29
  31. 31. reste toujours valable. Fixons maintenant b > 0, b = 1, et consid´rons la fonction g : R →]0, +∞[ ed´finie par e g(x) = bx .Puisque d g(x) = bx log b, dxelle est strictement monotone (croissante si b > 1, d´croissante si b < 1). eSon inverse est le logarithme de base b, d´not´ par logb . Autrement dit e e x = logb y ⇔ y = bx .4.4 Les fonctions hyperboliques Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique sont les fonctions R → Rd´finies par les relations e ex + e−x ex − e−x cosh x = , sinh x = 2 2respectivement.Th´or`me 14 Les fonctions hyperboliques jouissent des propri´t´s suivantes : e e eea) cosh2 x − sinh2 x = 1 ;b) cosh x = sinh x , sinh x = cosh x ;c) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x. D´monstration. En vertu des d´finitions que nous avons pos´es, on a e e esuccessivementa) e2x + 2 + e−2x e2x − 2 + e−2x cosh2 x − sinh2 x = − = 1; 4 4b) ex − e−x ex + e−x cosh x = = sinh x , sinh x = = cosh x; 2 2 30
  32. 32. c) cosh x cosh y + sinh x sinh y ex+y + ex−y +e−x+y + e−x−y ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y = + 4 4 ex+y + e−x−y = = cosh(x + y), 2 sinh x cosh y + sinh y cosh x ex+y + ex−y −e−x+y − e−x−y ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y = + 4 4 ex+y − e−x−y = = sinh(x + y). 2C.Q.F.D. Les graphes des fonctions hyperboliques se d´duisent de celui de l’expo- enentielle. 15 10 cosh x 5 -4 -2 2 4 sinh x -5 Fig. 6 – Les fonctions hyperboliques Sa d´riv´e ´tant strictement positive, le sinus hyperbolique est une fonc- e e etion strictement croissante et admet une fonction inverse partout d´rivable, el’arcsinus hyperbolique, arcsinh : R → R. En r´solvant l’´quation quadratique e e e2x − 1 = 2 y exa` l’aide de la formule de Vi`te, on trouve e ex = y + 1 + y2 31
  33. 33. c’est-`-dire a arcsinh y = log(y + 1 + y 2 ).En d´rivant cette derni`re relation ou en utilisant la formule pour la d´riv´e e e e ed’une fonction inverse, on obtient enfin d 1 arcsinh y = . dy 1 + y2Le graphe de l’arcsinus hyperbolique s’en d´duit. e 3 2 1 -10 -5 5 10 -1 -2 -3 Fig. 7 – L’arcsinus hyperbolique4.5 Exercices 4 Justifier compl`tement toutes ses affirmations. e 1. Soit n 1 xn = − log n. k k=1 Montrer que la suite {xn }n∈N est d´croissante et minor´e par 1 − log 2 e e — sa limite est la constante d’Euler-Mascheroni, d´not´e γ. e e 2. D´terminer toutes les fonctions ]0, +∞, [ → ]0, +∞[ d´rivables qui sa- e e tisfont l’´quation fonctionnelle e f (xy) = f (x)f (y). 3. Tracer le graphe de la fonction log x f (x) = . x 32
  34. 34. 4. Calculer les limites suivantes : a) lim xa log x x→0 b) lim xx x→0 c) lim x1/x x→0 d) lim x1/x . x→+∞5. Soient 0 < a < b. Lequel des deux nombres suivants est le plus grand : ab ou ba ?6. Calculer x n lim 1+ . n→+∞ n7. Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´rivable et telle que f (x) ≥ 0. e Montrer qu’elle satisfait l’in´galit´ de convexit´ suivante : e e e x2 − x3 x3 − x1 x1 < x3 < x2 ⇒ f (x3 ) ≤ f (x1 ) + f (x2 ) x2 − x1 x2 − x1 qui exprime que son graphe est situ´ sous n’importe laquelle de ses e s´cantes (figure (8)). (Suggestion : utiliser le th´or`me des accroisse- e e e ments finis.)8. V´rifier que l’in´galit´ pr´c´dente peut s’´crire e e e e e e f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) avec λ1 > 0, λ2 > 0 et λ1 + λ2 = 1 (une combinaison convexe de deux nombres). La g´n´raliser ` une e e a combinaison convexe de n nombres n n f λk xk ≤ λk f (xk ) k=1 k=1 par r´currence sur n (in´galit´ de Jensen). e e e 33
  35. 35. 9. Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´rivable et telle que f (x) ≥ 0. e Montrer que quel que soit x0 ∈]a, b[, le graphe de f est situ´ au-dessus e de sa tangente en x0 : f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) (figure (8)).(Suggestion : utiliser le th´or`me fondamental du calcul.) e e le graphe de f une sécante une tangente Fig. 8 – Une fonction convexe10. D´montrer l’in´galit´ entre la moyenne arithm´tique et la moyenne e e e e g´om´trique de n nombres positifs x1 , x2 , . . . , xn : e e √ 1 n x1 x2 · · · xn ≤ (x1 + x2 + · · · + xn ). n11. D´montrer l’in´galit´ entre la moyenne g´om´trique et la moyenne e e e e e harmonique de n nombres strictement positifs x1 , x2 , . . . , xn : n √ ≤ n x1 x2 · · · xn . 1/x1 + 1/x2 + · · · + 1/xn12. Montrer que log x ≤ x − 1.13. Montrer que ex ≥ x + 1. En d´duire directement (c’est-`-dire sans utiliser la r`gle de l’Hospital) e a e que, quel que soit n ∈ N, xn lim = 0. x→+∞ ex 34
  36. 36. (Suggestion : x x/2 1 = 2 x/2 x/2 ; ex e e raisonner par r´currence sur n.) e14. D´terminer toutes les fonctions R → R qui satisfont l’´quation diff´rentielle e e e f (x) = −xf (x).15. D´terminer la solution de l’´quation logistique : e e f (x) = af (x)(b − f (x)) , x > 0 o` a > 0 et b > 0 si 0 < f (0) < b. u16. Montrer que log y logb y = . log b17. La fonction tangente hyperbolique est d´finie par e sinh x tanh x = . cosh x V´rifier qu’elle satisfait l’´quation diff´rentielle e e e f (x) = 1 − f 2 (x). Exprimer tanh(x+y) en terme de tanh x et de tanh y. Tracer le graphe.18. V´rifier que la tangente hyperbolique admet une fonction inverse, l’arc- e tangente hyperbolique, arctanh : ] − 1, 1[ → R. Montrer que 1 1+y arctanh y = log . 2 1−y Calculer la d´riv´e de cette fonction et tracer son graphe. e e 35
  37. 37. 5 ´ FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES Les fonctions trigonom´triques sont ´troitement associ´es ` l’´tude des e e e a eph´nom`nes p´riodiques. e e e5.1 D´finition des fonctions trigonom´triques e e Le nombre π est, par d´finition, ´gal ` l’aire du disque de rayon unit´ : e e a e 1 π=2 1 − x2 dx. −1Pour −1 ≤ y ≤ 1, posons 1 arccos y = 2 1 − t2 dt + y 1 − y2 y(figure (9) — arccos y repr´sente l’aire du secteur (pour v´rifier cette affir- e emation, distinguer suivant que y est positif ou n´gatif)). e y 1 Fig. 9 – D´finition de l’arccosinus e La fonction ainsi d´finie est continue sur [−1, 1] mais d´rivable seulement e esur ] − 1, 1[ o` u d −1 arccos y = . dy 1 − y2 36
  38. 38. Elle est strictement d´croissante, de π ` 0 lorsque son argument y croˆ de e a ıt−1 ` 1. Donn´ 0 ≤ x ≤ π, il existe donc un et un seul nombre −1 ≤ y ≤ 1 a etel que arccos y = x.Les fonctions trigonom´triques cosinus et sinus sont d´finies pour 0 ≤ x ≤ π e epar les relations cos x = y , sin x = 1 − y 2 . Elles sont prolong´es ` l’axe r´el R tout entier en posant d’abord, pour e a e−π < x < 0, cos x = cos(−x) , sin x = − sin(−x)et ensuite, pour n ∈ Z, cos(x + 2πn) = cos x , sin(x + 2πn) = sin x.Observons les valeurs remarquables π 1 π 3π 1 cos 0 = 1 , cos = √ , cos = 0 , cos = − √ , cos π = −1 4 2 2 4 2et π 1 π 3π 1 sin 0 = 0 , sin= √ , sin = 1 , sin = √ , sin π = 0. 4 2 2 4 2Observons aussi que la relation cos2 x + sin2 x = 1reste valable sur tout l’axe r´el. e Les fonctions p´riodiques de p´riode 2π ainsi obtenues sont continues : e eainsi, pour le cosinus, lim cos x = lim cos(−x) = lim cos z = cos 0 x→0− x→0− z→0+et lim cos x = lim cos(x − 2π) = lim cos z x→π+ x→π+ z→−π+ = lim cos(−z) = lim cos w = cos π. z→−π+ w→π− Elles sont mˆme d´rivables et satisfont les relations e e d d cos x = − sin x , sin x = cos x. (7) dx dx 37
  39. 39. 1 sinus 0.5 -6 -4 -2 2 4 6 -0.5 cosinus -1 Fig. 10 – Le sinus et le cosinus V´rifions par exemple, la premi`re de ces relations. Lorsque 0 < x < π e etout d’abord, on a : d 1 1 cos x = d = −1 = − 1 − y 2 = − sin x. dx dy arccos y √ 1−y 2Consid´rons ensuite les points de raccordement. En x = 0, on a, en utilisant ele th´or`me des accroissement finis — dans ce qui suit 0 < h1 < h, e e cos h − 1 lim = lim − sin h1 = − sin 0 h→0+ h h→0+et cos(−h) − 1 cos h − 1 lim = lim = lim sin h1 = sin 0 = − sin 0. h→0+ −h h→0+ −h h→0+En x = π : cos(π − h) − cos π lim = lim − sin(π − h1 ) = − sin π h→0+ −h h→0+et cos(π + h) − cos π cos(−π + h) − cos π lim = lim h→0+ h h→0+ h cos(π − h) − cos π = lim = lim sin(π − h1 ) = sin π = − sin π. h→0+ h h→0+ 38
  40. 40. Ces diverses relations permettent de tracer les graphes des fonctionstrigonom´triques sinus et cosinus (figure (10)). e La fonction tangente est la fonction d´finie par la relation e sin x (2n + 1)π tan x = si x = , n ∈ Z. cos x 2 Son domaine de d´finition « naturel » est l’intervalle ] − π/2, π/2[. Elle esatisfait la relation d tan x = 1 + tan2 x (8) dxcomme il est ais´ de le v´rifier ` partir de la d´finition. On en d´duit l’allure e e a e ede son graphe (figure (11)). 7.5 5 2.5 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -2.5 -5 -7.5 Fig. 11 – La tangente5.2 Propri´t´s des fonctions trigonom´triques e e e e e ´Th´or`me 15 (Equation diff´rentielle de sinus et cosinus) Les fonc- etions sinus et cosinus sont deux solutions de l’´quation diff´rentielle e e f (x) + f (x) = 0. (9)Si, r´ciproquement f : R → R est une fonction deux fois d´rivable qui e esatisfait l’´quation pr´c´dente, il existe deux nombres a, b ∈ R tels que e e e f (x) = a cos x + b sin x. 39
  41. 41. D´monstration. La premi`re affirmation suit des relations (7). Pour d´montrer e e ela seconde, posons a = f (0), b = f (0) et consid´rons la fonction e g(x) = f (x) − a cos x − b sin x.Elle satisfait l’´quation diff´rentielle e e g (x) + g(x) = 0sous les conditions initiales g(0) = g (0) = 0.Introduisons alors la fonction h(x) = g 2 (x) + g 2 (x).Comme h (x) = 2g (x)(g(x) + g (x)) = 0,on doit avoir h(x) = h(0) = 0 pour tout xc’est-`-dire que a g(x) = 0 pour tout x.C.Q.F.D.Th´or`me 16 (Formules d’addition) Quelques soient x, y ∈ R, on a : e e sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y.D´monstration. La fonction f (x) = sin(x + y), (y fix´), satisfait l’´quation e e ediff´rentielle (9) et est donc de la forme f (x) = a cos x + b sin x. Puisque ef (0) = sin y et que f (0) = cos y, il faut que a = sin y et que b = cos y ce quid´montre la premi`re formule. e e La d´monstration de la seconde est similaire. C.Q.F.D. e Les relations suivantes sont un cas particulier fr´quemment utilis´ : e e cos 2x = cos2 x − sin2 x , sin 2x = 2 sin x cos x. La formule d’addition pour la tangente suit du th´or`me : si x, y et x + e ey = (2k + 2)π/2 avec k ∈ Z, tan x + tan y tan(x + y) = . 1 + tan x tan y 40
  42. 42. Th´or`me 17 (Relations d’orthogonalit´) Quelques soient m, n ∈ N0 , e e eon a : +π cos mx sin nx dx = 0 −π +π 0 si m = n cos mx cos nx dx = −π π si m = n +π 0 si m = n sin mx sin nx dx = −π π si m = n.D´monstration. En vertu des formule d’addition, on a, par exemple, e +π +π cos(m − n)x + cos(m + n)x cos mx cos nx dx = dx. −π −π 2Si m = n, on en tire +π 1 sin(m − n)x sin(m + n)x π cos mx cos nx dx = + =0 −π 2 m−n m+n −πalors que si m = n, on obtient +π 1 sin 2mx π cos2 mx dx = x+ = π. −π 2 2m −πLes autres cas sont similaires. C.Q.F.D.5.3 Les fonctions trigonom´triques inverses e La fonction arccosinus (figure (12)), arccos : [−1, 1] → [0, π], est d´finie epar la relation 1 arccos y = 2 1 − t2 dt + y 1 − y2 y comme nous l’avons vu. Elle est continue sur [−1, 1] et d´rivable sur ]−1, 1[, eavec d −1 arccos y = . dy 1 − y2 41

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