Rapport_INRETS_R245.pdf

Jean Bernard AYASSE
Jean Louis MAUPU
Dynamique ferroviaire
en coordonnées curvilignes
et tracé de voie
Rapport INRETS n˚245
Janvier 2003

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Les auteurs :
Jean Bernard AYASSE, Docteur d’Etat, est Directeur de recherche au
Laboratoire des Technologies Nouvelles de l’INRETS (LTN).
mél : ayasse@inrets.fr
Jean Louis MAUPU, Ingénieur Arts et Métiers, est Chargé de recherche au
Laboratoire des Technologies Nouvelles de l’INRETS (LTN).
mél : maupu@inrets.fr
L’unité de recherche :
Laboratoire des Technologies Nouvelles (LTN),
2 avenue du Général Malleret-Joinville, F-94114 ARCUEIL
Cedex.
Tél. 33(01) 47 40 73 40
Cette recherche a bénéficié de remarques et commentaires de :
Philippe BOICHOT d’ALSTOM ACR.
N° ISBN : 2-85782-575-7 N˚ ISSN : 0768-9756
© Les collections de l’INRETS
PRIX : 15.24 € T.T.C. (T.V.A 5,5 %)
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Dynamique en coordonnées curvilignes
2 Rapport de recherche INRETS n° 245

Rapport de recherche INRETS n° 245 3
Fiche bibliographique
UR (1er auteur) Projet n° Rapport INRETS
Laboratoire des Technologies Nouvelles (LTN) 13 n˚ 245
Titre
Dynamique ferroviaire en coordonnées curvilignes et tracé de voie
Sous-titre Langue
F
Auteur(s) Rattachement ext.
Jean Bernard AYASSE, Jean-Louis MAUPU
Nom adresse financeur, co-éditeur N° contrat, conv.
Date de publication
Janvier 2003
Remarques
Résumé
Ce rapport présente un système de repérage utilisé depuis 1990 dans des logiciels de dynamique ferro-
viaire traitant la prise de courbe, comme VOCOLIN, VOCO, ou VOCODYM. Il s’inspire des représentations
de la géométrie différentielle et les dépasse en faisant des approximations permises par les fonctionnalités
du guidage des véhicules.
Ce système est compatible avec les repérages traditionnels des relevés de voie et du matériel roulant. Le
domaine de validité des simplifications apparaîtra avec les développements de l’analyse des caractéristiques
propres au ferroviaire.
Mots clés Diffusion
dynamique, ferroviaire, trajectoire, courbe, libre
guidage, repère.
Nombre de pages Prix Confidentiel Bibliographie
90 15,24 € non oui

UR (1st author) Projet n° INRETS report
Laboratoire des technologies nouvelles (LTN) n˚ 245
Title
Railway Dynamics in Curvilinear Coordinates and Track Layout Design
Subtitle Language
F
Author(s) Affiliation
Jean Bernard Ayasse, Jean-Louis Maupu
Sponsor, co-editor, name and address Contract, conv.
Date de publication
January 2003
Notes
Summary
This report presents a coordinate system used since 1990 for VOCO railway dynamics softwares simula-
ting curves (softwares such as VOCOLIN, VOCO, VOCODYM...). It is based on differential geometry repre-
sentations, but goes beyond this with approximations allowed with the vehicle guidance specificities.
The system is compatible with traditionnal track measurements and vehicle parameter description.
The simplification validity domain will be discussed with the analysis of the track layout specific
caracteristics.
Key words Distribution statement
dynamics, railway, layout, curve, free
guidance, coordinate
Nb of pages Price Declassification Bibliography
90 15.24 € no yes
Publication data form

Table des matières
Synthèse ............................................................................................................... 7
Introduction......................................................................................................... 9
Chapitre 1 :.......................................................................................................... 13
Alignement........................................................................................................... 13
1.1. Définition des repères........................................................................... 13
1.2. Cinématique du solide .......................................................................... 15
1.2.1. Vitesse et accélération du centre de gravité G ........................... 15
1.2.2. Déplacement, vitesse, accélération d’un point du solide........... 16
1.2.3. Mouvements relatifs de deux solides......................................... 18
1.2.4. Degrés de liberté des solides...................................................... 20
Chapitre 2 :.......................................................................................................... 21
Courbe gauche..................................................................................................... 21
2.1. Repère ferroviaire. Définitions............................................................. 21
2.2. Dérivées spatiales des vecteurs unités, courbures................................ 25
2.3. Changement de repère .......................................................................... 26
2.4. Vecteur rotation..................................................................................... 29
Chapitre 3 :.......................................................................................................... 31
Cinématique du solide........................................................................................ 31
3.1. Translation ............................................................................................ 32
3.1.1. Vitesse et accélération du repère................................................ 32
3.1.2. Centre de gravité G du solide..................................................... 32
3.2. Rotation................................................................................................. 34
3.2.1. Rotation du repère...................................................................... 34
3.2.2. Rotation du solide ...................................................................... 34
3.3. Déplacement, vitesse, accélération d’un point du solide ..................... 35
3.4. Mouvements relatifs ............................................................................. 37
3.4.1. Déplacement relatif entre deux solides S1 et S2 ....................... 37
3.4.2. Liaison point............................................................................... 39
3.4.3 Position d’un point par rapport au tracé de référence................. 41
Table des matières

Chapitre 4 :.......................................................................................................... 43
Fonctions auxiliaires Th (s), Tv (s).................................................................... 43
4.1. Définitions ............................................................................................ 43
4.2. Propriétés des fonctions Th, Tv............................................................ 44
4.2.1. Valeurs entre s et s+a.................................................................. 44
4.2.2. Dérivées par rapport au temps ................................................... 45
4.3. Grandeurs caractéristiques avec les fonctions Th(s) et Tv(s)............... 45
4.3.1. Degrés de liberté du solide......................................................... 45
4.3.2. Déplacement d’un point............................................................. 48
4.3.3. déplacement relatif de deux solides ........................................... 48
4.3.4. Position d’un point par rapport au tracé de référence................ 49
4.4. Formulaire récapitulatif ........................................................................ 50
4.5. Dynamique du solide............................................................................ 52
4.5.1. Mouvement du centre de gravité................................................ 53
4.5.2. Rotation du solide ...................................................................... 54
Chapitre 5 :.......................................................................................................... 57
Tracé de référence............................................................................................... 57
5.1. Définitions ............................................................................................ 57
5.2. Tracé horizontal et écartement des rails............................................... 60
5.3. Tracé vertical et dévers de voie ............................................................ 65
5.4. Expressions des dérivées secondes de Th(s) et Tv(s) en fonction des
flèches................................................................................................... 67
5.5. Exemples d’application des fonctions Ti(s) ......................................... 70
5.5.1. Tracé quelconque........................................................................ 71
5.5.2. Exemple numérique : Cas d’un cercle ....................................... 73
5.5.3. Pseudo glissements..................................................................... 74
Conclusion ........................................................................................................... 75
Bibliographie ....................................................................................................... 79
Annexes................................................................................................................ 81
A1 Rotation d’angles faibles dans la base t, uh, uv ..................................... 82
A2 Changement de base .............................................................................. 83
A3 Dérivées temporelles.............................................................................. 84
A3.1 Dérivées des vecteurs unités........................................................ 84
A3.2 Dérivées du vecteur Ao ............................................................... 85
A3.3. Dérivées du vecteur petit déplacement D................................... 86

Synthèse
L’analyse mécanique de l’interaction entre le véhicule et l’infrastructure forme la base
de la dynamique des véhicules guidés.
Celle-ci s’intéresse à la prévision des qualités d’usage, comme la sécurité au
déraillement, le confort et les nuisances, ainsi qu’à des paramètres plus techniques,
comme les sollicitations des composants du système : les efforts sur la voie, l’usure des
roues et des rails, la fatigue des attaches... Elle s’applique à des architectures éprouvées,
du wagon à deux essieux à la rame de TGV, ou à des solutions innovantes comme le bogie
à roues indépendantes des tramways à plancher bas et le guidage des systèmes
intermédiaires.
L’empirisme des essais, coûteux, s’est enrichi, ces dernières années d’outils de
simulations de plus en plus performants avec des modèles du contact entre roue et rail de
plus en plus précis. Leurs performances ne signifient pas que l’on peut prévoir, avec
précision, la trajectoire d’un essieu ou d’une caisse, et l’objectif n’est d’ailleurs pas de le
faire.
Avec beaucoup de degrés de liberté et des liaisons entre corps fortement non linéaires,
les phénomènes étudiés ne peuvent être que chaotiques et donc extrêmement sensibles
aux conditions initiales ou aux petites perturbations. Les modèles et simulations, qui se
veulent réalistes, reproduisent ce chaos de sorte qu’ils sont soumis au même « effet
papillon ». Les résultats des simulations, comme ceux des essais, doivent alors faire
l’objet de traitements mathématiques pour être mieux interprétés.
Parmi les nombreuses données sur les solides et les liaisons, nécessaires à la
construction du modèle, beaucoup sont incertaines parce qu’elles dépendent de cotes de
fabrication comprises dans des intervalles de tolérance assez larges et parfois même
oubliés. Elles résultent aussi de phénomènes comme le frottement, l’usure ou la
déformation des matériaux, eux mêmes si complexes qu’on ne peut qu’accepter leurs
aléas et espérer en la pertinence d’études de leur influence en attendant le jour où nous
pourrons les modéliser plus finement.
Le système constitué par l’essieu et la voie peut être perçu comme un asservissement
de position, purement mécanique, avec une consigne (le tracé de la voie), des
perturbations (défauts de voie), des comparateurs (conicité des roues, empattement), des
gains d’amplificateurs (coefficients de proportionnalité des forces tangentielles de
contact), des saturations d’amplificateurs (coefficient de frottement), des butées (boudin
des roues)... [AYASSE 2], [CHOLLET], [SOUA]. Connaître toutes ces données avec la
précision nécessaire à la prévision d’une trajectoire serait encore une illusion, d’autant
que tout est d’une certaine variabilité : les gains liés aux géométries des profils de rails et
de roues, les jeux entre butées liés à l’usure, les seuils d’adhérence liés aux pollutions et
intempéries...
Synthèse

Enfin, l’interaction entre roue et rail, qui constitue le cœur de l’asservissement, est
compliquée par la multiplicité quasi permanente des points de contact et par leur rigidité
extrême, de sorte que la répartition des charges et son évolution, malgré leur importance,
ne peuvent donner lieu qu’à une image stylisée. Cette image est toujours plus
représentative du réel que le mono contact, lui-même plus pertinent en non linéaire que
l’hypothèse de la conicité constante.
Par ailleurs, pour limiter le nombre de degrés de liberté du mécanisme, il faut bien
supposer divers corps indéformables. Pourtant leurs modes vibratoires peuvent influencer
les liaisons entre solides et rendre illusoires certaines raideurs d’attache.
Pour arriver à des modèles de dimension maîtrisable et par suite à des temps de calcul
réalistes, une multitude d’approximations sont donc nécessaires. Il est très difficile
d’expliquer avec rigueur que l’ensemble de toutes les hypothèses et approximations
simplificatrices que nous avons admises, forme, comme nous l’espérons, un système
cohérent et pertinent : « self consistant ».
Nos divers modèles, et donc l’ensemble des hypothèses, ont été construits en
référence à des expériences maîtrisées et bien instruites, en laboratoire sur la roue de
Grenoble, puis sur voies réelles à la RATP et la SNCF, avec toujours une progression dans
la complexité des phénomènes observés puis modélisés.
Ils ont été validés par un faisceau rassurant de correspondances entre des essais et des
calculs, l’un et l’autre significatifs, surtout moins chaotiques que d’autres : essieu seul à
roue cylindrique en dérive fixée, maquette de bogieY25 sur voie parfaite, passage lent de
voiture corail sur voie des gauches, certaines instabilités périodiques du MF77,
déraillement d’un wagon céréalier, confort du TGV, guidage du VAL 208...
C’est dans ce contexte qu’a été imaginée la modélisation de la dynamique d’un
véhicule guidé en coordonnées curvilignes.

Introduction
La prise de courbe mérite fortement d’être étudiée. Sur certains réseaux, les courbes
constituent les trois quarts des coûts de maintenance de la voie. Elles induisent des
problèmes d’usure de boudins de roues, de fatigue de champignons de rails ou de ripage
de voie, des risques de déraillement, des nuisances sonores et vibratoires, des mises en
butées des suspensions ou des instabilités inconfortables... Elles conduisent à des
difficultés de réalisations de leurs entrées et sorties ou de l’installation du dévers.
Les solutions ne sont pas sans conséquences : le graissage en courbe n’est pas
toujours compatible avec l’adhérence nécessaire à la motricité ni avec la propreté du site
(plate-forme de tramway) ; l’usinage fréquent des profils de roues ou rails a un coût, ainsi
que le recalage de la voie ; les bogies orientables ne sont pas très stables à grande vitesse ;
La suspension pendulaire peut indisposer certains voyageurs... Les courbes pèsent donc
lourdement sur le cahier des charges des systèmes guidés, véhicules et voies, puis sur
l’efficacité de leur exploitation.
La description des mécanismes et l’écriture des forces de liaison ou de celles du
contact entre essieu et voie, se font plus aisément dans des repères liés aux solides, tandis
que la loi de Newton donne des accélérations en repère Galiléen.
Le présent rapport décrit un sous-ensemble d’approximations concernant le repérage
lors de la prise de courbe, sans lequel tous les changements de repères auraient alourdi
considérablement les calculs, en particulier ceux qui concernent une rame articulée
comme le TGV. La puissance de calcul est alors consacrée à la description plus précise
du mécanisme, aux calculs des forces de liaison entre solides et de celles du contact entre
roue et rail ou entre pneu et chaussée, en tenant compte de toutes leurs diverses non-
linéarités1.
Plusieurs éléments déterminent la pertinence des approximations retenues quant à
l’étendue du champ d’application, la signification des résultats de calcul ou leur
comparaison avec des résultats expérimentaux.
Tout d’abord certaines caractéristiques de la cinématique d’un véhicule de transport
guidé ont des origines fonctionnelles. Pour satisfaire certains critères concernant le
confort, la vitesse commerciale, la stabilité de la voie ou le respect d’un gabarit limite et
simplement pour respecter les lois de la mécanique comme celles du contact entre roue
et rail (adhérence, déraillement, renversement, usure...), la pose de la voie, qui matérialise
la trajectoire de consigne, se doit de suivre certaines règles géométriques : pas de courbes
Introduction
1 Les butées de suspension, les fronts raides des amortisseurs, les frottements secs, les efforts saturables, la
géométrie complexe des profils de la roue et du rail, la multiplicité des ellipses de contact, leurs raideurs de
contact ou rigidités de dérive, leurs lois de transfert de charge, les limites d’adhérence, les corrections
d’assiette...

serrées ni de variation brusque de courbure, faible pente, faible jeu, faible dévers... Il en
est de même pour le véhicule : petits débattements de suspension, petites variations de
cap, petits braquages de roues, faibles hauteurs des centres de gravité par rapport à la
voie, empattements réduits, longueur de caisse limitée, faible accélération longitudinale
du convoi...
Ensuite l’instrumentation des essais confirme cette vision des choses et s’appuie sur
les mêmes remarques et mêmes hypothèses. Les véhicules sont équipés essentiellement
d’accéléromètres selon des directions privilégiées et de capteurs mesurant non pas des
mouvements absolus, mais des déplacements relatifs entre corps : flèche de suspension,
débattement angulaire d’articulation... Les données brutes de la voie sont toutes des
relevés de petites variations en fonction du point kilométrique : les mesures de dévers et
d’écartement des rails ainsi que les mesures de flèches dont sont déduites les courbures,
dressages et pentes.
Le repérage traditionnel d’un véhicule sur la voie se résume au point kilométrique,
atteint selon une loi de vitesse donnée, autrement dit à son abscisse curviligne. La notion
même de guidage, qui implique l’idée de suivre la courbe gauche d’un tracé, conduit
assez naturellement à adopter un paramétrage intrinsèque et à s’inspirer de la géométrie
différentielle pour la description des mouvements.
Le repérage proposé utilise un trièdre mobile différent de celui du repère de Frénet
[DARIES] parce que, la gravité jouant un rôle fondamental, la notion de verticalité
l’emporte fonctionnellement sur celle de torsion de courbe. Le vecteur tangent est malgré
tout conservé ; la normale principale qui porte le vecteur de courbure est abandonnée au
profit d’une normale contenue dans un plan vertical et une normale horizontale complète
le trièdre : les composantes du vecteur de courbure dans la base de ce trièdre donnent
deux courbures, l’une verticale et l’autre pseudo horizontale, à la pente près du tracé
toujours faible (en ferroviaire inférieure à 4 %).
Il est possible dans ce repère mobile tangent à un tracé de référence, implicite et
idéalisé, de calculer aisément toutes les forces d’interaction entre corps et d’en déduire
tout aussi facilement l’accélération approximative du centre de gravité de chaque solide
ou d’un autre de ses points (formule du champ des accélérations des points d’un solide et
celles de changement de repères).
Il est également possible de négliger d’abord Coriolis [QUILLET], ensuite certains
termes de la dérivée de la vitesse d’entraînement, comme ceux qui comprennent le
produit d’un écart transversal par la courbure, ou la dérivée de la courbure, parce qu’il
existe toujours un tracé idéal proche du tracé réel répondant à ce critère de faible variation
de courbure et pouvant servir de référence à la caractérisation des défauts de voie.
Les simplifications ne s’arrêtent pas là. Dans certaines conditions, la linéarisation
classique du champ des déplacements pour un solide en petits mouvements angulaires
peut se généraliser aux grands mouvements de lacet. Le calcul du déplacement relatif de
deux points appartenant à deux solides peut se satisfaire de ces approximations pourvu
qu’ils soient confondus au repos et que la position angulaire relative des deux solides
reste petite. La liaison viscoélastique dont les déformations se ramènent à ce type de
déplacements est appelée « liaison point ». Pour les autres liaisons, des corrections
connues sont nécessaires.

Si nous intégrons les accélérations, c’est toujours pour connaître les vitesses et
positions relatives parce qu’elles conditionnent les paramètres des contacts du guidage ou
la déformation des liaisons, dont les forces redonneront ces mêmes accélérations. Le
choix des degrés de liberté simplifie les intégrations vectorielles dans le repère fixe,
exprimées dans les repères mobiles.
L’intégration de petites différences toutes imprécises ne peut conduire à une
divergence (irréaliste) du mécanisme, qui rendrait les hypothèses caduques, parce que le
contact entre roue et rail et toutes les liaisons entre corps sont des dispositifs de rappel
vers une position d’équilibre et surtout parce qu’il existe toujours des butées mécaniques
au-delà d’un certain écart de position.
Rappelons que ces butées font l’essence même du guidage mécanique par opposition
au guidage immatériel, en fondant la garantie du fameux gabarit limite d’obstacles d’un
système guidé, en particulier en courbe. Les dépasser signifie la perte du guidage et
l’engagement du gabarit, par déraillement ou rupture, et pour nous l’arrêt de la
simulation. Les butées n’empêchent pas les instabilités, voire même parfois les
provoquent, et détériorent souvent le confort. C’est d’ailleurs l’un des premiers objectifs
des simulations de retrouver leurs effets.
La notion de « direction transversale » a beaucoup d’importance dans la description
d’un système guidé qui doit respecter un gabarit limite. Elle est définie en tout point de
la trajectoire par le repère mobile et donc par rapport au tracé de référence. Les positions
relatives qui représentent les petits écarts transversaux par rapport à la trajectoire de
consigne permettent une première vérification du gabarit dynamique, autrement dit de
valider les choix des butées mécaniques selon ce critère.2
Le traitement du relevé de la voie donne un tracé proche du tracé théorique et les
défauts de courte longueur d’onde qui sont des écarts par rapport à ce tracé. De sorte qu’il
existe une cohérence entre le rendu des mesures en coordonnées curvilignes et notre
mode de calcul dans le repérage choisi. Ne pas décrire la voie en tenant compte de toutes
les remarques sur les hypothèses du modèle introduit inévitablement des imprécisions de
calcul, mais le plus souvent celles ci n’ont guère d’impact sur la signification attendue
des simulations (stabilité, sécurité, confort...)
Si le calcul d’une note de confort paraît crédible parce qu’il s’appuie sur des
moyennes d’accélérations filtrées d’une caisse, elle-même équipée d’une suspension à
deux étages qui veut être un filtre mécanique performant, il faudra être plus prudent pour
retenir quelques indications sur les sollicitations mécaniques réelles des composants les
moins bien suspendus du système : contraintes alternées, pressions de contact, puissances
de dissipation ou d’usure... Pourtant, avec la séparation de la gestion des infrastructures
et de l’exploitation, il deviendra de plus en plus important de se faire une idée, au-delà de
la faisabilité technique traditionnelle, sur les agressivités réciproques des véhicules et des
voies, sur leur durée de vie, sur leur maintenance ou leur compatibilité.
Introduction
2 Les suspensions transversales dites actives ou pendulaires recherchent une situation de meilleurs compromis
entre les deux critères antinomiques de confort et de respect de gabarit.

Ce rapport généralise à une courbe gauche les résultats obtenus pour une courbe plane
d’une précédente étude [AYASSE 1].
Le premier chapitre se consacre à la mise en place des notations et des premières
approximations en partant du cas simple du véhicule en alignement et analyse la
cinématique de ses solides.
Le chapitre suivant aborde la courbe gauche en introduisant une décomposition de la
courbure dans deux plans tangents au tracé de référence.
Le troisième chapitre traite de la cinématique des solides suivant cette courbe.
Le chapitre quatre présente deux fonctions auxiliaires qui traduisent la généralisation
à la prise de courbe du formalisme simplifié de l’alignement.
Le dernier chapitre est consacré à l’analyse du tracé de voie avec ce même
formalisme.
Dans les annexes, nous établissons les relations utiles pour ce formalisme et montrons
les limites numériques dans le cadre des hypothèses et approximations retenues.
Comme ces approximations, qui mènent à d’importantes simplifications, n’ont pas la
même signification dans toutes les directions, il ne sera pas fait usage d’une écriture
synthétique. D’autre part, comme leurs justifications se basent beaucoup sur les
fonctionnalités du guidage mécanique, l’écriture des équations de dynamique restera
élémentaire. Enfin, dans la mesure du possible, le choix des paramètres a été guidé par le
souci de rester proche du « terrain » plus que par celui d’une écriture élégante.

Alignement

Courbe gauche

Courbe gauche
:

Courbe gauche

’

Courbe gauche

Cinématique du solide

:

3 Pour caractériser chaque liaison, il peut exister une base dans laquelle la matrice des raideurs et des viscances
est diagonale. Comme on a considéré trois points confondus au repos, il est possible de considérer trois bases
confondues au repos : une pour chacun des deux solides et celle de la liaison qui pourra rester bissectrice entre
les deux bases liées aux solides. Le point d’application de la force et la base de la matrice diagonale constituent
un repère de définition de la liaison. Pour des raisons purement fonctionnelles, ou par manque de données, sa
base au repos est souvent confondue avec celle du repère mobile (et même celles des solides) et son origine est
prise le plus souvent au milieu du composant.

Fonctions auxiliaires

4 Ils sont tous nuls si le solide est un corps homogène ayant la symétrie du parallépipède rectangle bien orienté
dans Rf.

Tracé de référence

Conclusion

5 Ainsi la vitesse angulaire de lacet engendre un transfert de charge d’une roue sur l’autre, mais cette vitesse
reste toujours faible et la plus grande part de charge est liée à des éléments non roulants. Une vitesse de roulis
liée au tracé de la voie ou à une montée dans le boudin peut engendrer un moment de lacet, mais elle ne peut
prendre une valeur importante et le moment reste petit devant ceux des suspensions et du contact qui pilotent
ou contrôlent l’orientation de l’essieu et couplent déjà fortement ses divers degrés de liberté.

Conclusion

Bibliographie

Annexes

Imprimé en France – JOUVE, 11 bd Sébastopol, 75001 Paris –
N° 321530F - Dépôt légal : Mars 2003

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