l'Évangile de Jésus-Christ par la Physique/Terminales-Séries scientifiques

L’Évangile de
JÉSUS-CHRIST
par la Physique
Terminales – Séries scientifiques
Édité par Y. Aba’a

Première édition
Juillet 2023
ISBN 978-9956-16-794-4 (fourni par CAMEROON BARCODES)

PRÉFACE iii
Préface
Jésus leur dit : Je suis le pain de vie. Celui qui vient à moi n’aura jamais faim, et celui
qui croit en moi n’aura jamais soif.
Jean 6 : 35
En observant la première de couverture du présent document, plusieurs ont certainement été
très surpris par le titre. Aussi extraordinaires que peuvent être les découvertes et les inventions
de l’Homme, il ne sera cependant jamais supérieur à son Créateur, le Dieu Tout-Puissant qui
l’a créé à partir de la poussière de la terre. Dieu, afin de réconcilier l’Homme avec Lui-même,
a envoyé mourir sur la Terre son unique Fils Jésus-Christ, et désormais, quiconque croit au
Christ Jésus et le confesse comme son Seigneur et son Sauveur personnel ne périra plus, mais
est déjà passé de la mort à la vie.
Dans l’optique de Se faire connaître aux élèves d’une manière originale, le Seigneur Jésus-
Christ a choisi d’utiliser cette discipline scolaire qu’est la Physique, et Il a ainsi désigné l’un de
Ses plus misérables serviteurs (si ce n’est le plus misérable) pour éditer ce présent ouvrage qui
Le fera connaître auprès des élèves des classes de Terminales scientifiques, et qui leur permettra
également d’assimiler les différentes notions de leur programme annuel de Physique et de mieux
préparer ainsi l’examen de Baccalauréat en fin d’année scolaire. Au début de chaque chapitre
de ce livre figure un verset tiré de la version Louis Segond, 1910 du Nouveau Testament
de la Sainte Bible.
« L’Évangile de JÉSUS-CHRIST par la Physique » est destiné premièrement à
ramener les âmes à Jésus-Christ, Lui qui est le chemin, la vérité et la vie, Lui qui était, qui
est et qui vient très bientôt, Lui qui est le commencement et la fin, l’alpha et l’oméga.
Rien de ce que contient ce livre ne vient de l’éditeur lui-même, mais en vérité, en vérité, cet
ouvrage est l’œuvre du Seigneur Jésus-Christ, et ce n’est qu’à Lui et Lui seul que doivent
revenir l’honneur et la gloire.
Toutefois, ce document ne s’adresse pas uniquement aux élèves, mais aussi aux enseignants,
aux étudiants de l’enseignement supérieur, et à tous les passionnés de Physique. Par ailleurs,
les élèves ne devraient en aucun cas voir ce livre comme un remplaçant des cours dispensés par
leurs enseignants, mais devraient plutôt l’utiliser comme un manuel complémentaire.
L’éditeur et lui seul, est responsable de toutes les éventuelles erreurs qui seraient décelées
dans ce document, et d’avance, il s’en excuse très sincèrement auprès des lecteurs. Toutes ces
erreurs seraient dues au manque de vigilance et de concentration de sa part, et les lecteurs ne
devraient en aucun cas remettre en question l’œuvre du Seigneur Jésus-Christ. Tous ceux
GLOIRE AU SEIGNEUR JÉSUS-CHRIST !

PRÉFACE iv
qui rencontreront des problèmes ou qui détecteront des erreurs dans ce document sont priés de
bien vouloir les signaler à l’adresse e-mail evjesuschristphy@yahoo.com afin qu’ils soient
corrigés pour les prochaines éditions. Que toutes les personnes qui de près comme de loin ont
contribué à l’élaboration de ce document reçoivent leur salaire de la part du Dieu Très-Haut.
Pour finir, chers lecteurs, soyez abondamment bénis, que la paix et la grâce du Seigneur
et Sauveur Jésus-Christ vous accompagnent en tout temps et en tous lieux, et qu’Il vous
remplisse tous de Son Saint-Esprit !

TABLE DES MATIÈRES v
Table des matières
Préface iii
1 Grandeurs physiques 1
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Mesure d’une grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 Erreurs de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.3 Incertitudes de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3.1 Incertitude-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3.2 Incertitude absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3.3 Incertitude relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3.4 Propagation des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Qualités d’un instrument de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Dimension d’une grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Dimensions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Multiples et sous-multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Equations aux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4 Analyse dimensionnelle d’une grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Evaluations des compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Corrections des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Corrections des évaluations des compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Forces et champs 40
2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.1 Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.2 Champs de forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1 Forces gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2 Champs gravitationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.3 Gravitation dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Electricité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

TABLE DES MATIÈRES vi
2.3.1 Forces électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2 Champs électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3 Champ électrique à l’intérieur d’un condensateur . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Magnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.1 Champs magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.2 Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.3 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Généralités sur les mouvements 118
3.1 Caractéristiques des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.2 Mouvement d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2.1 Repérage d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2.2 Vitesse d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.2.3 Accélération d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2.4 Variation du mouvement d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2.5 Mouvement rectiligne d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2.6 Mouvement curvligne d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3 Mouvement d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.3.1 Points particuliers d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.3.2 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe . . . . . . . . . . . . . 126
3.3.3 Mouvement de translation d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.4 Mouvement de rotation d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.4 Lois de Newton sur le mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.4.1 Première loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.4.2 Deuxième loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.4.3 Troisième loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.5 Relations fondamentales de la dynamique d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.5.1 Relation fondamentale de la dynamique d’un solide en translation . . . . 131
3.5.2 Relation fondamentale de la dynamique d’un solide en rotation . . . . . . 132
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4 Mouvements à accélération constante 180
4.1 Caractéristiques des mouvements à accélération constante . . . . . . . . . . . . . 180
4.1.1 Mouvement de translation à accélération constante d’un solide . . . . . . 180

TABLE DES MATIÈRES vii
4.1.2 Mouvement de rotation à accélération constante d’un solide . . . . . . . 182
4.2 Applications des lois de Newton à quelques mouvements à accélération constante 183
4.2.1 Translation rectiligne d’un solide lié à une poulie . . . . . . . . . . . . . 184
4.2.2 Mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur uniforme . . . . 187
4.2.3 Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme . 190
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5 Mouvements circulaires uniformes 274
5.1 Caractéristiques d’un mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 274
5.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
5.1.2 Paramètres d’un mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . . . . . . 275
5.2 Application des lois de Newton à quelques mouvements circulaires uniformes . . 276
5.2.1 Pendule conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
5.2.2 Mouvement d’un satellite en orbite autour de la Terre . . . . . . . . . . . 277
5.2.3 Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique . . . . . 279
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6 Généralités sur les systèmes oscillants 316
6.1 Définitions et concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
6.2 Grandeur physique associée à un phénomène oscillatoire . . . . . . . . . . . . . 317
6.3 Comparaison de deux phénomènes oscillatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.4 Supperposition de deux phénomènes oscillatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
6.5 Observation stroboscopique des phénomènes périodiques . . . . . . . . . . . . . 323
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7 Oscillateurs mécaniques 356
7.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
7.2 Oscillations mécaniques harmoniques libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
7.2.1 Pendule élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
7.2.2 Pendule pesant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
7.2.3 Pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
7.2.4 Pendule de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

TABLE DES MATIÈRES viii
7.3 Oscillations mécaniques amorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
7.4 Oscillations mécaniques forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
8 Condensateurs 434
8.1 Description des condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
8.2 Alimentation des condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
8.3 Groupements de condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
8.3.1 Groupement en série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
8.3.2 Groupement en parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
8.3.3 Groupement mixte de condensateurs identiques . . . . . . . . . . . . . . 440
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
9 Oscillateurs électriques 468
9.1 Généralités sur les oscillateurs électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
9.2 Dipôles électriques de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
9.2.1 Générateurs électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
9.2.2 Récepteurs électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
9.2.2.1 Résistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
9.2.2.2 Bobines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
9.2.2.3 Condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
9.3 Régimes transitoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
9.3.1 Equations différentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
9.3.1.1 Cas particulier où ξ0 = 0 et β > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
9.3.1.2 Cas particulier où ξ0 > 0 et β = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
9.3.2 Circuit RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
9.4 Oscillations électriques libres : Circuit RLC série . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
9.4.1 Oscillations électriques harmoniques libres . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
9.4.2 Oscillations électriques amorties libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
9.5 Oscillations électriques forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
9.5.1 Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
9.5.2 Diagramme de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
9.5.3 Résonance d’intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
9.5.4 Bande passante à 3 décibels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
9.6 Analogies électromécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

TABLE DES MATIÈRES ix
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
10 Ondes mécaniques 529
10.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
10.2 Propagation des ondes mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
10.2.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
10.2.2 Ondes mécaniques transversales le long d’une corde . . . . . . . . . . . . 531
10.2.3 Ondes mécaniques à la surface d’un liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
10.2.4 Ondes mécaniques dans une chaîne de particules . . . . . . . . . . . . . . 535
10.2.5 Ondes sonores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
10.3 Superposition des ondes mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
10.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
10.3.2 Ondes mécaniques stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
11 Optique ondulatoire et corpusculaire 578
11.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
11.2 Optique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
11.2.1 Ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
11.2.2 Phénomène de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
11.2.3 Interférences lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
11.2.4 Effet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
11.3 Optique corpusculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
11.3.1 Niveaux d’énergie de l’atome d’Hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
11.3.2 Effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
11.3.3 Effet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
11.4 Dualité onde-corpuscule de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
12 Radioactivité 628
12.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
12.2 Noyau atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

TABLE DES MATIÈRES x
12.2.1 Constituants du noyau atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
12.2.2 Aspect énergétique du noyau atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
12.3 Réactions nucléaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
12.3.1 Réactions nucléaires spontannées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
12.3.2 Réactions nucléaires provoquées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
12.4 Décroissance radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
12.5 Interaction rayonnement-matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
12.6 Effets de la Radioactivité et Radioprotection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
Annexes − Dispositifs électroniques 666
A.1 Dipôles commandés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
A.1.1 Rhéostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
A.1.2 Dipôles commandés électriquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
A.1.2.1 Relais électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
A.1.2.2 VDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
A.1.2.3 Diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
A.1.2.4 Transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
A.1.2.5 Electrodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
A.2 Capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
A.2.1 Capteurs de température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
A.2.1.1 Thermistances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
A.2.1.2 KTY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
A.2.2 Capteurs de lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
A.2.2.1 Photorésistances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
A.2.2.2 Photodiodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
A.2.3 Capteurs d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
A.2.3.1 Antennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
A.2.3.2 Microphones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
A.2.4 Capteurs de force ou de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
A.3 Chaînes électroniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672

CHAPITRE 1. GRANDEURS PHYSIQUES 1
Chapitre 1
Grandeurs physiques
Il n’y a donc maintenant aucune condamnation pour ceux qui sont en Jésus-Christ. En effet,
la loi de l’esprit de vie en Jésus-Christ m’a affranchi de la loi du péché et de la mort.
Romains 8 : 1-2
1.1 Généralités
On appelle grandeur physique, ou tout simplement grandeur une propriété de la science
pouvant être mesurée ou calculée. En sciences expérimentales, on cherche très souvent à
déterminer la valeur d’une grandeur. Cette valeur est exprimée à l’aide d’un nombre, et est
dans la majorité des cas accompagnée par une unité. L’unité d’une grandeur correspond à
une référence permettant de la mesurer. La majorité des grandeurs s’expriment avec les unités
du Sytème International (Unités SI). Il s’agit d’un système adopté par la science pour
faciliter les calculs et les échanges.
1.2 Mesure d’une grandeur
1.2.1 Concepts
Mesurer une grandeur c’est la comparer à la grandeur de référérence de même nature,
considérée comme unité. Pour ce faire, on a recours à différents appareils ou instruments
de mesure. La grandeur à mesurer est appelée mesurande. Le mesurage est l’opération
permettant de déterminer expérimentalement l’intervalle de valeurs attribuées à la grandeur
mesurée. La valeur attribuée à une mesurande suite à un mesurage est appelée valeur mesurée.
Si le mesurage est parfait, la valeur obtenue est dite vraie ou exacte.
1.2.2 Erreurs de mesure
Aucune mesure n’est parfaite. En effet, les instruments de mesure utilisés pour déterminer
la valeur d’une grandeur sont toujours entachés d’erreurs. Ainsi, il n’est pas possible de déter-
miner la valeur exacte ou valeur vraie d’une grandeur. L’erreur de mesure correspond à
la différence entre la valeur mesurée et la valeur exacte d’une grandeur. Les erreurs de mesure

peuvent provenir de la qualité des instruments, de l’expérimentateur ou encore de la
variabilité de la grandeur mesurée. On distingue deux types d’erreurs de mesure :
— Les erreurs de mesure sytématiques : Elles sont généralement dues au mauvais état
de l’appareil de mesure ou à l’utilisation d’une mauvaise méthode de mesure. Pour les
éviter ou les corriger, on peut effectuer avant la mesure un contrôle des appareils, ou
employer successivement des méthodes différentes ;
— Les erreurs de mesure accidentelles ou aléatoires : Elles sont le plus souvent dues
à l’expérimentateur lui-même (mauvaise lecture de l’instrument, mauvais positionnement
de l’œil lors de la lecture...). Celui-ci peut les réduire en se plaçant correctement afin de
bien disposer ses sens pour une bonnne lecture des mesures.
1.2.3 Incertitudes de mesure
Bien que déterminer la valeur exacte d’une grandeur est impossible dans la pratique, on
peut toutefois déterminer un intervalle dans lequel on est sûr de trouver la valeur exacte de la
grandeur à mesurer. L’incertitude de mesure d’une grandeur est un paramètre positif per-
mettant de définir l’ensemble des valeurs raisonables pouvant être attribuées à cette grandeur.
On appelle intervalle de confiance l’intervalle dans lequel une mesure peut être effectuée
avec un probabilité de garantir une bonne mesure.
1.2.3.1 Incertitude-type
L’incertitude-type d’une grandeur G, notée u (G) est une incertitude de mesure exprimée
sous la forme d’un écart-type.
Lorsqu’on mesure plusieurs fois et dans les mêmes conditions une grandeur G, on est en
présence d’une évaluation de type A à laquelle est associée une incertitude de type A
ou incertitude de répétabilité. Soit n ∈ N∗
le nombre de mesures indépendantes effectuées.
Notons Gi la valeur obtenue lors de la i-ème mesure. La valeur vraie de la grandeur G peut être
estimée par la moyenne G des mesures exprimée selon la relation ci-dessous :
G =
Pn
i=1 Gi
n
=
G1 + G2 + · · · + Gn
n
(1.1)
On définit l’écart-type σ selon la relation :
σ =
ÊPn
i=1 Gi − G
2
n − 1
(1.2)
L’incertitude-type u(G) dans ce cas est donnée par :
u(G) =
σ
√
n
=
s
Pn
i=1 Gi − G
2
n (n − 1)
(1.3)

Lorsque pour une grandeur G on réalise une seule mesure, on est en présence d’une évalua-
tion de type B à laquelle est associée une incertitude de type B. Dans ce cas, l’incertitude
dépend des données liées à la construction de l’instrument de mesure et de l’hypothèse sur la
qualité de la mesure réalisée. Notons G la valeur affichée par l’instrument de mesure.
Soit un appareil gradué sans aucunes caractéristiques (une règle graduée par exemple). No-
tons d sa plus petite graduation. Si on effectue une lecture simple, l’incertitude-type u(G) de
la mesure s’exprimera par :
u(G) =
d
2
√
3
(1.4)
Si on effectue une lecture double, l’incertitude-type u(G) de la mesure s’exprimera dans ce
cas par :
u(G) =
d
√
2
2
√
3
(1.5)
Si l’instrument de mesure est un appareil analogique de classe et de calibre connus, l’incertitude-
type u(G) de la mesure s’exprimera par :
u(G) =
classe × calibre
100
√
3
(1.6)
Si sur la notice de l’instrument de mesure ne figure que la résolution a, l’incertitude-type
u(G) de la mesure s’exprimera par :
u(G) =
a
√
12
(1.7)
Si l’instrument de mesure possède une tolérance t % (où t est un nombre réel), l’incertitude-
type u(G) sera :
u(G) =
tG
100
√
3
(1.8)
Pour les appareils numériques à affichage digitale dont la précision est donnée sous la forme
« n % + m digit » où n et m sont des nombres positifs, l’incertitude-type u(G) sera :
u(G) =
nG + m
100
√
3
(1.9)
Dans le cas où une série de mesure est effectuée, et que chacune d’entre elles est affectée
d’une incertitude de type B, on obtient une incertitude-type composée u exprimée selon la
relation ci-dessous :
u =
p
uA
2 + uB
2 (1.10)
uA correspond à l’incertitude-type déterminée statistiquement sur la série des observations,
tandis que uB correspond à l’incertitude-type déterminée sur la justesse de l’instrument de
mesure et de l’expérimentateur.
D’une manière générale, si l’incertitude sur une grandeur G est due à n facteurs, et que à
chaque facteur i est associée une incertitude-type ui(G), alors, l’incertitude totale u(G) sur G

s’exprime selon la relation ci-dessous :
u (G) =
Ê n
X
i=1
ui (G)2
=
È
u1 (G)2
+ u2 (G)2
+ · · · + un (G)2
(1.11)
La relation ci-dessus traduit une sommation quadratique. Elle est beaucoup plus précise
qu’une sommation linéaire.
1.2.3.2 Incertitude absolue
L’incertitude absolue ou élargie d’une grandeur G, notée ∆G est l’erreur maximale
susceptible d’être commise dans la mesure de cette grandeur. Elle correspond à l’écart entre la
plus grande valeur qu’on peut trouver et la valeur exacte, ou entre la plus petite valeur qu’on
peut trouver et la valeur exacte. L’incertitude absolue dépend de la façon de mesurer. Elle a
la même unité que la grandeur mesurée. L’incertitude absolue ∆G s’exprime en fonction de
l’incertitude-type u(G) selon la relation ci-dessous :
∆G = ku (G) (1.12)
k est un réel positif appelé facteur d’élargissement. Il dépend du niveau de confiance.
Pour un niveau de confiance de 68 %, k = 1, pour un niveau de confiance de 95 %, k = 2 et
pour un niveau de confiance de 99 %, k = 3. Si G est la valeur obtenue lors de la mesure d’une
grandeur G, le résultat de la mesure s’écrira (sans oublier l’unité si elle existe) :
G = G ± ∆G (1.13)
Dans l’écriture ci-dessus, l’incertitude absolue doit être donnée avec au plus deux chiffres signifi-
catifs. Par prudence, elle sera arrondie par excès. La valeur de la mesure et l’incertitude absolue
doivent avoir le même nombre de chiffres après la virgule. La valeur exacte de G appartient à
l’intervalle de confiance

G − ∆G ; G + ∆G

.
1.2.3.3 Incertitude relative
L’incertitude relative ou la précision d’une grandeur G, notée ∆G
G
est le rapport entre
l’incertitude absolue ∆G et le résultat G de la mesure. Elle n’a pas d’unité et se donne la
plupart du temps en pourcentage (%) :
∆G
G
=
∆G
G
(1.14)
Plus la précision est faible, plus la mesure est précise.

1.2.3.4 Propagation des incertitudes
Lorsqu’une grandeur dépend d’autres grandeurs ayant été mesurées, cette grandeur est dite
composée. Les incertitudes sur ces grandeurs mesurées vont se combiner entre elles pour pro-
duire l’incertitude totale sur la grandeur composée : C’est la propagation des incertitudes.
Soient deux grandeurs A et B, et soit a un nombre réel. Posons :
S = A + B ; D = A − B ; P = AB ; Q =
A
B
; M = aA et G = Aa
On a :
u (S) = u (D) =
È
u (A)2
+ u (B)2
(1.15)
u (P)
P
=
u (Q)
Q
=
Ê
u (A)2
A
2 +
u (B)2
B
2 (1.16)
On a donc :
u (P) = P
Ê
u (A)2
A
2 +
u (B)2
B
2
= A B
Ê
u (A)2
A
2 +
u (B)2
B
2
=
s
A
2
B
2
–
u (A)2
A
2 +
u (B)2
B
2
™
D’où :
u (P) =
È
B
2
u (A)2
+ A
2
u (B)2
(1.17)
On a de même :
u (Q) = Q
Ê
u (A)2
A
2 +
u (B)2
B
2
=
A
B
Ê
u (A)2
A
2 +
u (B)2
B
2
=
s
A
2
B
2
–
u (A)2
A
2 +
u (B)2
B
2
™
D’où :
u (Q) =
s
1
B
2 u (A)2
+
A
2
B
4 u (B)2
(1.18)
On a également :
u (M) = |a| u (A) (1.19)
u (G)
G
=
|a| u (A)
A
(1.20)

Soit donc :
u (G) =
|a| Gu (A)
A
=
|a| A
a
u (A)
A
D’où :
u (G) = |a| A
a−1
u (A) (1.21)
La relation ci-dessus s’applique également aux expressions faisant intervenir les racines (carrées,
cubiques, etc.), en remarquant qu’une racine correspond encore à une élevation dont l’exposant
est un nombre rationnel.
1.2.4 Qualités d’un instrument de mesure
Qu’il soit analogique ou numérique, un instrument de mesure doit avoir les trois princi-
pales qualités ci-dessous :
— La justesse : C’est l’aptitude de l’instrument de mesure à donner des indications sans
commettre des erreurs systématiques. Un instrument de mesure est dit juste si la diffé-
rence entre la valeur qu’il donne et la valeur exacte ne dépasse pas l’incertitude prévue ;
— La sensibilité ou la résolution : Il s’agit de la plus petite variation de mesure que peut
déceler un instrument de mesure. Un instrument de mesure est sensible s’il est capable
de mesurer la valeur d’une grandeur, aussi faible soit-elle.
— La fidélité : C’est l’aptitude d’un instrument de mesure à donner des indications très
voisines lorsqu’on opère plusieurs fois le mesurage du même mesurande dans les mêmes
conditions. Si l’instrument mesure une même grandeur plusieurs fois et dans les mêmes
conditions, et que les valeurs obtenues sont sensiblement identiques à chaque fois, l’ins-
trument de mesure est dit fidèle. Un instrument de mesure à la fois juste et fidèle est dit
exact ou précis.
1.3 Dimension d’une grandeur
1.3.1 Dimensions fondamentales
Il existe une très grande varieté de grandeurs toutes caractérisées par leur dimension.
Cependant, sept de ces grandeurs sont considérées comme des grandeurs fondamentales
dont sont associées sept dimensions fondamentales. Ces grandeurs sont dites fondamentales
parce que toutes les autres grandeurs peuvent êtres exprimées à partir d’elles. Une grandeur non
fondamentale s’exprimant à partir d’au moins une grandeur fondamentale est une grandeur
dérivée. Les sept grandeurs fondamentales ont été regroupées avec leurs dimensions et leurs
unités SI dans le Tableau 1.1.

Tableau 1.1 – Grandeurs fondamentales.
Grandeur fondamentale Dimension Unité SI Symbole de l’unité
Longueur L mètre m
Masse M kilogramme kg
Temps T seconde s
Intensité du courant électrique I Ampère A
Température Θ Kelvin K
Quantité de matière N mole mol
Intensité luminieuse J Candela Cd
Les unités SI des sept grandeurs fondamentales forment le système MKSA (mètre, kilo-
gramme, seconde, Ampère).
1.3.2 Multiples et sous-multiples
Les unités des grandeurs sont souvent précédées de certains préfixes qui désignent leurs
multiples ou leurs sous-multiples. Les préfixes les plus usuels désignant les multiples et les sous-
multiples des unités des grandeurs ont été respectivement regroupés dans le Tableau 1.2 et le
Tableau 1.3.
Tableau 1.2 – Multiples des unités.
Préfixe Symbole Facteur de multiplication
Exa E 1018
Péta P 1015
Téra T 1012
Giga G 109
Méga M 106
kilo k 103
hecto h 102
déca da 10

Tableau 1.3 – Sous-multiples des unités.
Préfixe Symbole Facteur de multiplication
déci d 10−1
centi c 10−2
milli m 10−3
micro µ 10−6
nano n 10−9
pico p 10−12
femto f 10−15
atto a 10−18
On a par exemple :
1 cm = 10−2
m ; 2 ms = 2 × 10−3
s ; 5 TK = 5 × 1012
K
1.3.3 Equations aux dimensions
On appelle équation aux dimensions l’équation qui lie la dimension d’une grandeur dé-
rivée G aux sept dimensions fondamentales. La dimension d’une grandeur G est notée [G] ou
dim G. La forme générale d’une équation aux dimensions est la suivante :
[G] = La
.Mb
.Tc
.Id
.Θe
.Nf
.Jg
(1.22)
Il ne faudrait en aucun cas confondre la dimension d’une grandeur et son unité. L’unité dans le
système MKSA d’une grandeur s’exprime en remplaçant dans l’expression de sa dimension les
symboles des grandeurs fondamentales par leurs unités SI. L’unité de la grandeur G précédente
dans le système MKSA est donc ma
.kgb
.sc
.Ad
.Ke
.molf
.Cdg
. Les paramètres a, b, c, d, e, f et g
sont des nombres réels appelés exposants dimensionnels. Ils peuvent être positifs, négatifs
ou nuls. Une grandeur dont tous les exposants dimensionnels sont nuls est sans dimension.
Sa dimension est égale à 1. Tout nombre réel est sans dimension. La plupart des grandeurs sans
dimension n’ont pas d’unité. Cependant, les angles qui sont sans dimension ont une unité qui
est le radian (rad). L’équation aux dimensions d’une grandeur dérivée se détermine à partir
de la relation qui la lie à d’autres grandeurs dont les dimensions sont connues. Il faut noter que
dans une relation, deux grandeurs ne peuvent être additionnées ou soustraites que si elles ont
la même dimension. Soient deux grandeurs A et B, et soit a un nombre réel sans dimension.
Les dimensions respectives [A] et [B] de ces grandeurs vérifient les propriétés ci-après :
[A] = [B] ⇐⇒ [A + B] = [A − B] = [A] = [B] (1.23)
[AB] = [A] [B] (1.24)

•
A
B
˜
=
[A]
[B]
(1.25)
[aA] = [A] (1.26)
[Aa
] = [A]a
(1.27)
Il est important de préciser que l’argument des fonctions trigonométriques, logarithmiques et
exponentielles doit être sans dimension.
1.3.4 Analyse dimensionnelle d’une grandeur
L’analyse dimensionnelle permet de vérifier l’homogénéité d’une expression, c’est-à-dire
de vérifier que les deux membres de cette expression ont la même dimension. Une expression
dont les deux membres ont la même dimension est donc homogène. Toute expression non
homogène est nécessairement fausse. L’analyse dimensionnelle peut permettre dans certains
cas de déterminer la forme d’une équation en adoptant des hypothèses quant aux grandeurs
qui y entrent en jeu. Considérons une grandeur G dont on pense qu’elle dépend de n grandeurs
G1, G2, · · · et Gn selon l’expression ci-dessous, où α1, α2, · · · et αn sont des réels, et C une
constante sans dimension :
G = CG1
α1
G2
α2
· · · Gn
αn
Si l’on connait les dimensions de toutes ces grandeurs, il est possible de déterminer les valeurs
des réels α1, α2, · · · et αn :
[G] = [G1]α1
[G2]α2
· · · [Gn]αn
Par contre, il n’est pas possible de conaître la valeur de la constate C, car l’analyse dimension-
nelle ne prend pas en compte les nombres sans dimension.

Exercices
Exercice 1.1 :
Pour chacune des mesures ci-dessous, déterminer l’incertitude-type, l’incertitude absolue et
l’incertitude relative sur la grandeur mesurée, puis écrire le résultat de cette mesure. On se
placera dans un niveau de confiance de 99 %.
1- On mesure cinq fois de suite à l’aide d’un chronomètre la durée t que met un pendule simple
pour effectuer vingt oscillations. On obtient successivement les valeurs 280
23 s, 280
24 s, 280
22 s,
280
25 s et 280
27 s. Pour ce cas, déterminer d’abord la moyenne t des mesures de cette durée et
l’écart-type σ associé. Pour la conversion, on se servira de l’exemple ci-après :
100
15 s = 10 +
15
60
= 10 + 0, 25 = 10, 25 s
2- On mesure la longueur `b d’une branche de bois à l’aide d’une règle graduée par une lecture
simple. La valeur lue est de 25, 8 cm. La plus petite graduation de cette règle est de 1 mm.
3- On mesure la longueur `f d’un fil à l’aide de la règle graduée de la question précédente, mais
par une lecture double cette fois-ci. La valeur lue est de 19, 6 cm.
4- On mesure l’intensité B du champ magnétique
−
→
B créé entre les branches d’un aimant en U
à l’aide d’un teslamètre de tolérance 0, 5%, de classe 2 et de calibre 200 mT. La valeur lue est
de 340 mT.
5- On mesure à l’aide d’un multimètre de précision 3 % + 2 digit la tension U aux bornes d’un
dipôle. On lit la valeur 1, 58 V.
Exercice 1.2 :
Pour chacun des cas ci-après, on a exprimé une grandeur en fonction d’autres grandeurs dont
les valeurs et les incertitudes élargies sont connues. Pour chacun de ces cas, calculer la valeur
numérique de cette grandeur, son incertitude-type, son incertitude élargie pour un niveau de
confiance de 95 % et son incerturde relative. Ecrire enfin convenablement le résultat de cette
grandeur.
1- Un fil de cuivre de longueur ` = 98, 7 ± 0, 3 mm et de surface transversale S = 3, 1 ± 0, 2 mm2
est parcouru par un courant d’intensité I = 50 ± 4 mA. La tension aux bornes de l’élément vaut
U = 15, 4 ± 0, 5 V. La résistivité ρ de ce fil est donnée par la relation :
ρ =
US
I`
2- Un pendule élastique est constitué par un solide de dimensions négligeables de masse
m = 800 ± 5 g et par un ressort à spires non-jointives de raideur K = 20, 8 ± 1, 4 N.m−1
. La
période propre T de ce pendule est donnée par la relation :
T = 2π
É
m
K

3- Le volume V d’une sphère de rayon R = 6, 75 ± 0, 05 cm est donné par la relation :
V =
4
3
πR3
4- Une boule supposée ponctuelle placée à une altitude h = 1, 25 ± 0, 01 m du sol est lancée
vers le haut avec une vitesse verticale de module V = 5, 6 ± 0, 2 m.s−1
. L’intensité du champ de
pesanteur dans la région vaut g = 9, 7 ± 0, 3 m.s−2
. La résitance de l’air étant négligée, l’altitude
maximale H dont s’élève la boule par rapport au sol est donnée par la relation :
H =
V2
2g
+ h
5- Au point A d’un plan horizontal de longueur L = AB = 80 ± 1 cm, on communique une vi-
tesse horizontale VA = 3, 5 ± 0, 1 m.s−1
à une boule supposée ponctuelle de masse m = 600 ± 4 g.
Les forces s’opposant au mouvement de la boule sont équivalentes à une unique force de mo-
dule f = 1, 20 ± 0, 01 N. La vitesse VB avec laquelle la boule arrive au point B est donnée par
la relation :
VB =
É
VA
2
−
2fL
m
Exercice 1.3 :
1- La charge électrique q est liée au courant électrique i selon la relation :
i =
dq
dt
L’Unité SI de la charge électrique est le Coulomb (C). Déterminer la dimension [q] de la charge
électrique, ainsi que l’équivalent du Coulomb dans le système MKSA.
2- L’unité SI de l’énergie est le Joule (J). En se servant de la définition de l’énergie cinétique,
déterminer la dimension [E] de l’énergie, ainsi que l’équivalent du Joule dans le système MKSA.
3- L’unité SI de la force est le Newton (N). Le travail d’une force est une forme d’énergie. En
se servant de la définition du travail d’une force, déterminer la dimension [F] de la force, ainsi
que l’équivalent du Newton dans le système MKSA.
4- L’unité SI de l’intensité du champ magnétique est le Tesla (T). L’intensité F de la force
magnétique appliquée à une particule de charge électrique q animée d’une vitesse de module V
et plongée dans un champ magnétique d’intensité B est donnée par :
F = qVB
Déterminer la dimension [B] de l’intensité du champ magnétique, ainsi que l’équivalent du Tesla
dans le système MKSA.
5- L’unité SI de la tension électrique est le Volt (V). On considère une bobine constituée de
N (N ∈ N∗
) spires de surface S. Un champ magnétique perpendiculaire aux plans des spires et

de module variable B (t) est appliqué au centre de la bobine. Il se crée une f.é.m. (qui est une
tension) d’auto-induction e(t) dont l’expression est donnée par :
e(t) = −NS
dB
dt
Déterminer la dimension [U] de la tension électrique, ainsi que l’équivalent du Volt dans le
système MKSA.
Exercice 1.4 :
Les relations courant-tension d’une bobine d’inductance L et d’un condensateur de capacité C
sont respectivement données par les expressions ci-dessous :
uL = L
diL
dt
et iC = C
duC
dt
Pour chacun des cas suivants, déterminer les dimensions de toutes les grandeurs intervenant
dans la relation mathématique mentionnée puis vérifier l’homogénéité de cette relation.
1- La constante de temps (homogène à un temps) τRL d’un circuit RL constitué par un résistor
de résistance R et une bobine d’inductance L est donnée par la relation :
τRL =
L
R
2- La constante de temps (homogène à un temps) τRC d’un circuit RC constitué par un résistor
de résistance R et un condensateur de capacité C est donnée par la relation :
τRC = RC
3- Le facteur de qualité Q (grandeur sans dimension) d’un circuit RLC série constitué par un
résistor de résistance R, une bobine d’inductance L et un condensateur de capacité C est donné
par la relation :
Q =
1
R
É
L
C
4- La fréquence (inverse d’un temps) Nr à la résonance d’intensité dans un circuit RLC série
constitué par un résistor de résistance R, une bobine d’inductance L et un condensateur de
capacité C est donnée par la relation :
Nr =
1
2π
√
LC
5- L’énergie électromagnétique E emmagasinée dans un circuit comportant une bobine d’in-
ductance L et un condensateur de capacité C est donnée par la relation :
E =
1
2
LiL
2
+ CuC
2


Exercice 1.5 :
Pour chacun des cas ci-après, déterminer les valeurs des réels a, b, c et d puis réécrire l’expression
donnée. C est une constante sans dimension et g l’intensité de la pesanteur.
1- Une bille considérée comme ponctuelle de masse m est lâchée sans vitesse initiale à une
altitude h par rapport au sol. On exprime la vitesse V avec laquelle la bille arrive au sol selon
la relation ci-dessous :
V = Cma
gb
hc
2- Une boule de dimensions négligeables de masse m est accrochée à l’extrémité d’un fil inex-
tensible de longueur ` dont l’autre extrémité est accrochée à un support fixe. Le système est
écarté de la position d’équilibre d’un angle droit et lâché vers le bas avec une vitesse V. On
exprime le module T de la tension du fil lorsqu’il passe par sa position verticale selon la relation
ci-dessous :
T = Cma
Vb
`c
3- Un pendule simple est constitué par une boule ponctuelle de masse m accrochée à l’extrémité
d’un fil inextensible de longueur ` dont l’autre extrémité est accrochée à un support fixe. On
exprime la durée T mis par ce pendule pour effectuer une oscillation selon la relation ci-dessous :
T = Cma
gb
`c
4- Sur un plan horizontal, un solide ponctuel de masse m bute un ressort de raideur k avec une
vitesse V. On exprime le raccourcissement maximal ∆` du ressort selon la relation ci-dessous :
∆` = Cma
Vb
kc
5- Une particule de masse m et de charge électrique q est située à l’intérieur d’un condensateur
formé de deux armatures parallèles séparées par une distance D et entre lesquelles règne une
différence de potentiel U. On exprime la force électrostatique F s’exerçant sur la particule selon
la relation ci-dessous :
F = Cma
qb
Uc
Dd

Evaluations des compétences
Evaluation 1.1 :
La période propre d’un pendule simple comprenant un fil inextensible de longueur ` est donnée
par la relation :
T = 2π
Ê
`
g
g étant l’accélération de la pesanteur. Deux élèves Daniel et Jérémie décident de mesurer la
valeur de g dans leur laboratoire de physique en réalisant une expérience du pendule simple.
Daniel utilise un fil de longueur `1 = 60, 15 ± 0, 01 cm. La période des oscillations mesurée avec
son chronomètre indique T1 = 1, 55 ± 0, 02 s. Jérémie quant à lui utilise un fil de longueur
`2 = 115, 25 ± 0, 02 cm et la période des oscillations mesurée avec son chronomètre indique
T2 = 2, 15 ± 0, 01 s. Lequel des deux résultats sera le plus précis ?
Evaluation 1.2 :
Dans un document, des élèves ont trouvé un exercice dans lequel une grandeur G est exprimée
en fonction d’autres grandeurs α, β, γ, µ et λ selon la relation ci-dessous :
G =
αβ + γ2
√
µ2 − λ2
avec µ λ
Les valeurs numériques sont :
α = 2, 00 ± 0, 01 USI ; β = 3, 00 ± 0, 01 USI ; γ = 6, 00 ± 0, 01 USI
µ = 10, 00 ± 0, 01 USI ; λ = 8, 00 ± 0, 01 USI
A la suite de l’exercice, il est demandé de choisir l’écriture correcte du résultat de G parmi les
trois propositions ci-dessous, pour un même niveau de confiance :
a. G = 7, 00 ± 0, 03 USI ; b. G = 7, 00 ± 0, 04 USI ; c. G = 6, 00 ± 0, 04 USI
Paul est convaincu que c’est la propositon b qui est correcte, Pierre lui opte pour la propositon
c, et Jean pense que c’est la propositon a qui est valable. Lequel de ces trois élèves a raison ?
Evaluation 1.3 :
En lisant un livre de Physique, un élève a lu que l’intensité F de la force du vent soufflant
avec une vitesse V supposée constante sur une poutre cylindrique de masse volumique ρ et de
diamètre D s’exprime selon la relation :
F =
1
2
ρADV2
L’élève a également lu que A représente une constante aérodynamique dont l’unité SI est le m2
.
Une erreur a été commise dans ce livre concernant l’unité de cette constante. Laquelle ?

Corrections des exercices
Exercice 1.1 :
Le niveau de confiance étant de 99 %, le facteur d’élargissement vaut k = 3.
1- La moyenne t des mesures de la durée est donnée par :
t =
P5
i=1 ti
5
Application numérique :
t =
280
23 + 280
24 + 280
22 + 280
25 + 280
27
5
=
28 + 23
60
+ 28 + 24
60
+ 28 + 22
60
+ 28 + 25
60
+ 28 + 27
60
5
Soit :
t = 28, 4 s = 280
24 s
L’écart-type σ est donné par :
σ =
ÊP5
i=1 (ti − t)
2
4
σ =
s
28 + 23
60
− 28, 4
2
+ 28 + 24
60
− 28, 4
2
+ · · · + 28 + 27
60
− 28, 4
2
4
Soit :
σ = 0, 032 s
L’incertitude-type u(t) est donnée par :
u(t) =
σ
√
5
u(t) =
0, 032
√
5
Soit :
u(t) = 0, 014 s
L’incertitude absolue ∆t est donnée par :
∆t = ku(t)
∆t = 3 × 0, 014

D’où :
∆t = 0, 042 s
L’incertitude relative quant à elle est donnée par :
∆t
t
=
∆t
t
∆t
t
=
0, 042
28, 4
Soit :
∆t
t
= 1, 47 × 10−3
≡ 0, 147 %
Le résultat de la mesure de t s’écrit donc :
t = (28, 40 ± 0, 05) s
2- Soit d = 1 mm = 0, 1 cm la plus petite graduation de la règle graduée. La lecture étant
simple, l’incertitude-type u(`b) est donnée par :
u(`b) =
d
2
√
3
u(`b) =
0, 1
2 ×
√
3
Soit :
u(`b) = 0, 0288 cm
L’incertitue absolue ∆`b est donnée par :
∆`b = ku(`b)
∆`b = 3 × 0, 0288
Soit :
∆`b = 0, 0866 cm
L’incertitude relative est quant à elle donnée par :
∆`b
`b
=
∆`b
`b

∆`b
`b
=
0, 0866
25, 8
Soit :
∆`b
`b
= 3, 35 × 10−3
≡ 0, 335 %
Le résultat de la mesure de `b s’écrit donc :
`b = 25, 80 ± 0, 09 cm
3- Soit d = 1 mm = 0, 1 cm la plus petite graduation de la même règle graduée qu’à la question
précédente. La lecture étant double, l’incertitude-type u(`f) est donnée par :
u(`f ) =
d
√
2
2
√
3
u(`f ) =
0, 1 ×
√
2
2 ×
√
3
Soit :
u(`f ) = 0, 04 cm
L’incertitue absolue ∆`f est donnée par :
∆`f = ku(`f )
∆`f = 3 × 0, 04
Soit :
∆`f = 0, 122 cm
∆`f
`f
=
∆`f
`f
∆`f
`f
=
0, 122
19, 6
Soit :
∆`f
`f
= 6, 248 × 10−3
≡ 0, 624%

Le résultat de la mesure de `f s’écrit donc :
`f = 19, 6 ± 0, 2 cm
4- L’incertitude-type u(B) est donnée par :
u(B) =
Ì
‚
tB
100
√
3
Œ2
+

classe × calibre
100
√
3
‹2
D’où :
u(B) =
È
tB
2
+ (classe × calibre)2
100
√
3
u(B) =
È
(0, 5 × 340)2
+ (2 × 200)2
100
√
3
Soit :
u(B) = 2, 509 mT
L’incertitue absolue ∆B est donnée par :
∆B = ku(B)
∆B = 3 × 2, 509
Soit :
∆B = 7, 527 mT
∆B
B
=
∆B
B
∆B
B
=
7, 527
340
Soit :
∆B
B
= 0, 0221 ≡ 2, 21 %
Le résultat de la mesure de B s’écrit donc :
B = 340, 0 ± 7, 6 mT

5- Soient n = 3 et m = 2. L’incertitude-type u(U) sur la tension U est donnée par :
u(U) =
nU + m
100
√
3
u(U) =
3 × 1, 58 + 2
100 ×
√
3
Soit :
u(U) = 0, 0389 V
L’incertitue absolue ∆U est donnée par :
∆U = ku(U)
∆U = 3 × 0, 0389
Soit :
∆U = 0, 116 V
∆U
U
=
∆U
U
∆U
U
=
0, 116
1, 58
Soit :
∆U
U
= 0, 0738 ≡ 7, 38 %
Le résultat de la mesure de U s’écrit donc :
U = 1, 5 ± 0, 2 V
Exercice 1.2 :
Le niveau de confiance étant de 95 %, le facteur d’élargissement vaut k = 2.
1- La valeur numérique ρ de ρ est donnée par :
ρ =
U S
I `

ρ =
15, 4 × 3, 1 × 10−6
50 × 10−3 × 98, 7 × 10−3
Soit :
ρ = 9, 67 × 10−3
Ω.m = 9, 67 mΩ.m
L’incertitude-type u (ρ) sur ρ est donnée par :
u (ρ) =
s
1
I
2
`
2 u (US)2
+
U
2
S
2
I
4
`
4 u (I`)2
=
s
1
I
2
`
2
”
S
2
u (U)2
+ U
2
u (S)2
—
+
U
2
S
2
I
4
`
4
”
`
2
u (I)2
+ I
2
u (`)2
—
=
s
1
I
2
`
2
–
S
2 (∆U)2
k2
+ U
2 (∆S)2
k2
™
+
U
2
S
2
I
4
`
4
–
`
2 (∆I)2
k2
+ I
2 (∆`)2
k2
™
D’où :
u (ρ) =
1
k
s
1
I
2
`
2
”
S
2
(∆U)2
+ U
2
(∆S)2
—
+
U
2
S
2
I
4
`
4
”
`
2
(∆I)2
+ I
2
(∆`)2
—
u (ρ) =
1
2
Ð
1
(50×10−3×98,7×10−3)
2
”
(3, 1 × 10−6
× 0, 5)
2
+ (15, 4 × 0, 2 × 10−6
)
2
—
+
(15,4×3,1×10−6
)
2
(50×10−3×98,7×10−3)
4
”
(98, 7 × 10−3
× 4 × 10−3
)
2
+ (50 × 10−3
× 0, 3 × 10−3
)
2
—
Soit :
u (ρ) = 5, 21 × 10−4
Ω.m = 0, 521 mΩ.m
L’incertitude élargie ∆ρ sur ρ est donnée par :
∆ρ = ku (ρ)
∆ρ = 2 × 5, 21 × 10−4
Soit :
∆ρ = 1, 043 × 10−3
Ω.m = 1, 043 mΩ.m
L’incertitude relative ∆ρ
ρ
est donnée par :
∆ρ
ρ
=
∆ρ
ρ

∆ρ
ρ
=
1, 043
9, 67
Soit :
∆ρ
ρ
= 0, 1078 ≡ 10, 78 %
Finalement, le résultat de ρ s’écrit :
ρ = 9, 67 ± 1, 05 mΩ.m
2- La valeur numérique T de T est donnée par :
T = 2π
Ê
m
K
T = 2 × π ×
Ê
0, 8
20, 8
Soit :
T = 1, 23 s
L’incertitude-type u (T) sur T est donnée par :
u (T) = 2πu
É
m
K
‹
= 2πu
• m
K
1
2
˜
= 2π
–
1
2

m
K
‹− 1
2
u
m
K
™
=
πu m
K

È
m
K
=
π
q
1
K
2 u (m)2
+ m2
K
4 u (K)2
È
m
K
=
π
q
1
K
2
(∆m)2
k2 + m2
K
4
(∆K)2
k2
È
m
K
D’où :
u (T) =
π
q
1
K
2 (∆m)2
+ m2
K
4 (∆K)2
k
È
m
K

u (T) =
π ×
q€
5×10−3
20,8
Š2
+ (0,8×1,4)2
20,84
2
È 0,8
20,8
Soit :
u (T) = 0, 0208 s
L’incertitude élargie ∆T sur T est donnée par :
∆T = ku (T)
∆T = 2 × 0, 0208
Soit :
∆T = 0, 0416 s
L’incertitude relative ∆T
T
est donnée par :
∆T
T
=
∆T
T
∆T
T
=
0, 0416
1, 23
Soit :
∆T
T
= 0, 0338 ≡ 3, 38 %
Finalement, le résultat de T s’écrit :
T = 1, 23 ± 0, 05 s
3- La valeur numérique V de V est donnée par :
V =
4
3
πR
3
V =
4
3
× π × 6, 753
Soit :
V = 1288, 25 cm3

L’incertitude-type u (V) sur V est donnée par :
u (V) =
4
3
πu R3

=
4
3
π
”
3R
2
u (R)
—
D’où :
u (V) =
4π
k
R
2
∆R
u (V) =
4 × π
2
× 6, 752
× 0, 05
Soit :
u (V) = 14, 313 cm3
L’incertitude élargie ∆V sur V est donnée par :
∆V = ku (V)
∆V = 2 × 14, 313
Soit :
∆V = 28, 627 cm3
L’incertitude relative ∆V
V
est donnée par :
∆V
V
=
∆V
V
∆V
V
=
28, 627
1288, 25
Soit :
∆V
V
= 0, 0222 ≡ 2, 22 %
Finalement, le résultat de V s’écrit :
V = 1288, 2 ± 28, 7 cm3

4- La valeur numérique H de H est donnée par :
H =
V
2
2g
+ h
H =
5, 62
2 × 9, 7
+ 1, 25
Soit :
H = 2, 86 m
L’incertitude-type u (H) sur H est donnée par :
u (H) =
Ê
u

V2
2g
‹2
+ u (h)2
=
s
1
4g2
u (V2)2
+
V
4
16g4
u (2g)2
+ u (h)2
=
s
1
4g2

2Vu (V)
2
+
V
4
16g4
[2u (g)]2
+ u (h)2
=
s
V
2
g2
u (V)2
+
V
4
4g4
u (g)2
+ u (h)2
=
s
V
2
g2
(∆V)2
k2
+
V
4
4g4
(∆g)2
k2
+
(∆h)2
k2
D’où :
u (H) =
1
k
s
V
2
g2
(∆V)2
+
V
4
4g4
(∆g)2
+ (∆h)2
u (H) =
1
2
×
Ê
5, 6 × 0, 2
9, 7
‹2
+
1
4
×

5, 6
9, 7
‹4
× 0, 32 + 0, 012
Soit :
u (H) = 0, 063 m
L’incertitude élargie ∆H sur H est donnée par :
∆H = ku (H)
∆H = 2 × 0, 063

Soit :
∆H = 0, 126 m
L’incertitude relative ∆H
H
est donnée par :
∆H
H
=
∆H
H
∆H
H
=
0, 126
2, 86
Soit :
∆H
H
= 0, 044 ≡ 4, 4 %
Finalement, le résultat de H s’écrit :
H = 2, 8 ± 0, 2 m
5- La valeur numérique VB de VB est donnée par :
VB =
Ê
VA
2
−
2f L
m
VB =
Ê
3, 52 −
2 × 1, 2 × 0, 8
0, 6
Soit :
VB = 3 m.s−1
L’incertitude-type u (VB) sur VB est donnée par :
u (VB) = u
–
VA
2
−
2fL
m
‹ 1
2
™
=
1
2
‚
VA
2
−
2f L
m
Œ− 1
2
u

VA
2
−
2fL
m
‹
=
u VA
2
− 2fL
m

2
È
VA
2
− 2f L
m
=
È
u VA
2
2
+ u 2fL
m
2
2
È
VA
2
− 2f L
m

=
q
2VAu (VA)
2
+ 1
m2 u (2fL)2
+ 4f
2
L
2
m4 u (m)2
2
È
VA
2
− 2f L
m
=
q
4VA
2
u (VA)2
+ 4
m2 u (fL)2
+ 4f
2
L
2
m4 u (m)2
2
È
VA
2
− 2f L
m
=
q
4VA
2
u (VA)2
+ 4
m2
”
L
2
u (f)2
+ f
2
u (L)2
—
+ 4f
2
L
2
m4 u (m)2
2
È
VA
2
− 2f L
m
=
q
4VA
2 (∆VA)2
k2 + 4
m2
”
L
2 (∆f)2
k2 + f
2 (∆L)2
k2
—
+ 4f
2
L
2
m4
(∆m)2
k2
2
È
VA
2
− 2f L
m
D’où :
u (VB) =
q
VA
2
(∆VA)2
+ 1
m2
”
L
2
(∆f)2
+ f
2
(∆L)2
—
+ f
2
L
2
m4 (∆m)2
k
È
VA
2
− 2f L
m
u (VB) =
q
(3, 5 × 0, 1)2
+ 1
0,62 ×
”
(0, 8 × 0, 01)2
+ (1, 2 × 0, 01)2
—
+ (1,2×0,8×4×10−3)
2
0,64
2 ×
È
3, 52 − 2×1,2×0,8
0,6
Soit :
u (VB) = 0, 0583 m.s−1
L’incertitude élargie ∆VB sur VB est donnée par :
∆VB = ku (VB)
∆VB = 2 × 0, 0583
Soit :
∆VB = 0, 116 m.s−1
L’incertitude relative ∆VB
VB
est donnée par :
∆VB
VB
=
∆VB
VB
∆VB
VB
=
0, 116
3

Soit :
∆VB
VB
= 0, 0387 ≡ 3, 87 %
Finalement, le résultat de VB s’écrit :
VB = 3, 0 ± 0, 2 m.s−1
Exercice 1.3 :
1- On a :
[i] =
[dq]
[dt]
=⇒ [q] = [dq] = [i] [dt]
= [i] [t]
D’où :
[q] = T.I
L’équivalent du Coulomb dans le système MKSA est donc l’Ampère-Seconde (A.s).
2- L’énergie cinétique Ec d’un solide de masse m animé d’une vitesse V s’exprime par :
Ec =
1
2
mV2
On a donc :
[E] = [Ec]
= [m] [V]2
Or, on sait que la vitesse est le quotient d’une distance (homogène à une longueur) et d’un
temps. Soit :
[V] = L.T−1
D’où :
[E] = L2
.M.T−2
L’équivalent du Joule dans le système MKSA est donc le m2
.kg.s−2
.
3- Le travail W d’une force
−
→
F est le produit scalaire de cette force par le vecteur déplacement
−
→
d . Soient F et d les normes respectives de
−
→
F et
−
→
d . Soit θ l’angle entre
−
→
F et
−
→
d . On a :
W =
−
→
F ·
−
→
d
= Fd cos θ

On a ainsi :
[W] = [E] = [F] [d] [cos θ]
= [F] [d]
=⇒ [F] =
E
[d]
Or, le déplacement d a la dimension d’une longueur. On a ainsi :
=⇒ [F] =
L2
.M.T−2
L
D’où :
[F] = L.M.T−2
L’équivalent du Newton dans le système MKSA est donc le m.kg.s−2
.
4- On a :
B =
F
qV
=⇒ [B] =
[F]
[qV]
=
[F]
[q] [V]
=
L.M.T−2
I.T.L.T−1
D’où :
[B] = M.T−2
.I−1
L’équivalent du Tesla dans le système MKSA est donc le kg.s−2
.A−1
.
5- On a :
[U] = [e] =
[S] [dB]
[dt]
=
[S] [B]
[t]
=
L2
.M.T−2
.I−1
T
D’où :
[U] = L2
.M.T−3
.I−1
L’équivalent du Volt dans le système MKSA est donc le m2
.kg.s−3
.A−1
.

Exercice 1.4 :
1- La constante de temps τRL étant homogène à un temps, sa dimension vaut :
[τRL] = T
Pour que la relation courant-tension de la bobine soit homogène, on doit avoir :
[uL] =
[L] [diL]
[dt]
=⇒ [L] =
[uL] [dt]
[diL]
On a :
[diL] = [iL] = I ; [dt] = [t] = T
A l’exercice précédent, nous avons obtenu la dimension de la tension électrique. On a ainsi :
[uL] = L2
.M.T−3
.I−1
On a donc :
[L] =
L2
.M.T−3
.I−1
.T
I
D’où :
[L] = L2
.M.T−2
.I−2
On sait que la loi d’Ohm aux bornes d’un résistor de résistance R s’écrit :
uR = RiR
=⇒ R =
uR
iR
=⇒ [R] =
[uR]
[iR]
=
L2
.M.T−3
.I−1
I
D’où :
[R] = L2
.M.T−3
.I−2

On a ainsi :
•
L
R
˜
=
[L]
[R]
=
L2
.M.T−2
.I−2
L2.M.T−3.I−2
= T
On a donc :
[τRL] =
•
L
R
˜
La relation est donc homogène.
2- La constante de temps τRC étant homogène à un temps, sa dimension vaut :
[τRC] = T
Comme précédemment, on a :
[R] = L2
.M.T−3
.I−2
Pour que la relation courant-tension du condensateur soit homogène, on doit avoir :
[iC] =
[C] [duC]
[dt]
=⇒ [C] =
[iC] [dt]
[duC]
=
I.T
L2.M.T−3.I−1
D’où :
[C] = L−2
.M−1
.T4
.I2
On a ainsi :
[RC] = [R] [C]
= L2
.M.T−3
.I−2
.L−2
.M−1
.T4
.I2
= T
On a donc :
[τRC] = [RC]
3- Le facteur de qualité Q étant une grandeur sans dimension, sa dimension est égale à 1 :
[Q] = 1

[R] = L2
.M.T−3
.I−2
[L] = L2
.M.T−2
.I−2
[C] = L−2
.M−1
.T4
.I2
On a ainsi :
–
1
R
É
L
C
™
=


È
L
C
R


=

L
C
1
2
R
#
=
[L]
1
2
[R] [C]
1
2
=
L.M
1
2 .T−1
.I−1
L2.M.T−3.I−2.L−1.M− 1
2 .T2.I
=
L.M
1
2 .T−1
.I−1
L.M
1
2 .T−1.I−1
= 1
On a donc :
[Q] =
–
1
R
É
L
C
™
4- La fréquence Nr étant homogène à l’inverse d’un temps, sa dimension vaut :
[Nr] = T−1
[L] = L2
.M.T−2
.I−2
[C] = L−2
.M−1
.T4
.I2
On a ainsi :
•
1
2π
√
LC
˜
=
1
”√
LC
—
= [L]− 1
2 [C]− 1
2
= L−1
.M− 1
2 .T.I.L.M
1
2 .T−2
.I−1
= T−1

On a donc :
[Nr] =
•
1
2π
√
LC
˜
5- On a déterminé à l’exercice précédent la dimension de l’énergie. La dimension de l’énergie
électromagnétique E vaut donc :
[E] = L2
.M.T−2
On a de même :
[iL] = I
[uC] = L2
.M.T−3
.I−1
[L] = L2
.M.T−2
.I−2
[C] = L−2
.M−1
.T4
.I2
On a ainsi :
•
1
2
LiL
2
˜
= [L] [iL]2
= L2
.M.T−2
.I−2
.I2
= L2
.M.T−2
•
1
2
CuC
2
˜
= [C] [uC]2
= L−2
.M−1
.T4
.I2
.L4
.M2
.T−6
.I−2
= L2
.M.T−2
On a donc :
[E] =
•
1
2
LiL
2
˜
=
•
1
2
CuC
2
˜
Soit donc :
[E] =
•
1
2
LiL
2
+
1
2
CuC
2
˜
Exercice 1.5 :
1- Pour que la relation soit homogène, on doit avoir :
[V] = [m]a
[g]b
[h]c

On sait que :
[V] = L.T−1
; [m] = M ; [h] = L
Le module du poids d’un corps qui est une force est le produit de la masse m de ce corps et de
l’accélération de la pesanteur g. On a donc :
[F] = [m] [g]
=⇒ [g] =
[F]
[m]
=
L.M.T−2
M
= L.T−2
On a ainsi :
L.T−1
= Ma
.Lb
.T−2b
.Lc
= Lb+c
.Ma
.T−2b
Par identification, on a donc : 




b + c = 1
a = 0
−2b = −1
=⇒





a = 0
b = 1
2
c = 1
2
On a donc :
V = Cg
1
2 h
1
2
D’où :
V = C
p
gh
[T] = [m]a
[V]b
[`]c
On sait que :
[m] = M ; [V] = L.T−1
; [`] = L
La tension du fil ayant la dimension d’une force, on a :
[T] = L.M.T−2

On a ainsi :
L.M.T−2
= Ma
.Lb
.T−b
.Lc
= Lb+c
.Ma
.T−b




b + c = 1
a = 1
−b = −2
=⇒





a = 1
b = 2
c = −1
On a donc :
T = CmV2
`−1
D’où :
T =
CmV2
`
[T] = [m]a
[g]b
[`]c
On sait que :
[T] = T ; [m] = M ; [g] = L.T−2
; [`] = L
On a ainsi :
T = Ma
.Lb
.T−2b
.Lc
= Lb+c
.Ma
.T−2b




b + c = 0
a = 0
−2b = 1
=⇒





a = 0
b = − 1
2
c = 1
2
On a donc :
T = Cg− 1
2 `
1
2

D’où :
T = C
Ê
`
g
[∆`] = [m]a
[V]b
[k]c
On sait que :
[∆`] = L ; [m] = M ; [V] = L.T−1
On sait que la force de rappel F d’un ressort est le produit de sa raideur k et de la variation
de longueur ∆` :
F = k∆`
On a donc :
[F] = [k] [∆`]
=⇒ [k] =
[F]
[∆`]
=
L.M.T−2
L
= M.T−2
On a ainsi :
L = Ma
.Lb
.T−b
.Mc
.T−2c
= Lb
.Ma+c
.T−b−2c




b = 1
a + c = 0
−b − 2c = 0
=⇒





a = 1
2
b = 1
c = − 1
2
On a donc :
∆` = Cm
1
2 Vk− 1
2
D’où :
∆` = CV
É
m
k

[F] = [m]a
[q]b
[U]c
[D]d
On sait que :
[F] = L.M.T−2
; [m] = M ; [D] = L
Des exercices précédents, on a trouvé :
[q] = T.I ; [U] = L2
.M.T−3
.I−1
On a ainsi :
L.M.T−2
= Ma
.Tb
.Ib
.L2c
.Mc
.T−3c
.I−c
.Ld
= L2c+d
.Ma+c
.Tb−3c
.Ib−c










2c + d = 1
a + c = 1
b − 3c = −2
b − c = 0
=⇒











c = b
2b + d = 1
a + b = 1
b − 3b = −2
=⇒











a = 0
b = 1
c = 1
d = −1
On a donc :
F = CqUD−1
D’où :
F =
CqU
D

Corrections des évaluations des compétences
Evaluation 1.1 :
On a :
T2
= 4π2 `
g
Soit :
g =
4π2
`
T2
Soient u (g) l’incertitude-type sur G et ∆g l’incertitude absolue. On a :
u (g)
g
=
Ê•
u (4π2`)
4π2`
˜2
+
•
u (T2)
T
2
˜2
=
Ì
•
u (`)
`
˜2
+
–
2Tu (T)
T
2
™2
=
Ê•
u (`)
`
˜2
+
•
2u (T)
T
˜2
=
Ê
∆`
k`
‹2
+

2∆T
kT
‹2
=
1
k
Ê
∆`
`
‹2
+

2∆T
T
‹2
La précision sur g vaut donc :
∆g
g
=
∆g
g
=
ku (g)
g
D’où :
∆g
g
=
Ê
∆`
`
‹2
+

2∆T
T
‹2
On a donc :
∆g1
g1
=
s

∆`1
`1
‹2
+

2∆T1
T1
‹2
∆g2
g2
=
s

∆`2
`2
‹2
+

2∆T2
T2
‹2
Applications numériques :
∆g1
g1
=
Ê
0, 01
60, 15
‹2
+

2 × 0, 02
1, 55
‹2

∆g2
g2
=
Ê
0, 02
115, 25
‹2
+

2 × 0, 01
2, 15
‹2
Soit :
∆g1
g1
= 0, 0258 ≡ 2, 58 %
∆g2
g2
= 9, 3 × 10−3
≡ 0, 93 %
On se rend compte que :
∆g2
g2

∆g1
g1
C’est donc le résultat de Jérémie qui sera le plus précis.
Evaluation 1.2 :
La valeur numérique G de G est donnée par :
G =
α β + γ2
È
µ2
− λ
2
G =
2 × 3 + 62
√
102 − 82
Soit :
G = 7 USI
On a :
∆G = ku (G)
= k
Ì
1
µ2 − λ
2 u (αβ + γ2)2
+
α β + γ2
2
€
µ2 − λ
2
Š2 u
€p
µ2 − λ2
Š2
= k
Ì
1
µ2 − λ
2
”
u (αβ)2
+ u (γ2)2
—
+
α β + γ2
2
€
µ2 − λ
2
Š2 u
”
(µ2 − λ2)
1
2
—2
= k
Ì
1
µ2 − λ
2
”
β
2
u (α)2
+ α2u (β)2
+ 4γ2u (γ)2
—
+
α β + γ2
2
€
µ2 − λ
2
Š2
1
4
(µ2 − λ2)−1
u (µ2 − λ2)2
= k
Ì
1
µ2 − λ
2
”
β
2
u (α)2
+ α2u (β)2
+ 4γ2u (γ)2
—
+
α β + γ2
2
4
€
µ2 − λ
2
Š3
”
u (µ2)2
+ u (λ2)2
—
= k
Ì
1
µ2 − λ
2
”
β
2
u (α)2
+ α2u (β)2
+ 4γ2u (γ)2
—
+
α β + γ2
2
4
€
µ2 − λ
2
Š3
”
4µ2u (µ)2
+ 4λ
2
u (λ)2
—

D’où :
∆G =
Î
1
µ2
−λ
2
”
β
2
(∆α)2
+ α2
(∆β)2
+ 4γ2
(∆γ)2
—
+
(α β+γ2
)
2

µ2
−λ
2
3
”
µ2
(∆µ)2
+ λ
2
(∆λ)2
—
∆G =
Í
1
102−82 ×
”
(3 × 0, 01)2
+ (2 × 0, 01)2
+ (2 × 6 × 0, 01)2
—
+
(2×3+62
)
(102−82)
3 ×
”
(10 × 0, 01)2
+ (8 × 0, 01)2
—
Soit :
∆G = 0, 0325 USI
Le résultat de G s’écrit donc :
G = 7, 00 ± 0, 04 USI
C’est donc la proposition b qui est correcte. Par conséquent, c’est l’élève Paul qui a raison.
Evaluation 1.3 :
De l’expression de la force F du vent, on tire l’expression de la constante aérodynamique A :
A =
2F
ρDV2
On a ainsi :
[A] =
[2F]
[ρDV2]
=
[F]
[ρ] [D] [V]2
On sait que :
[F] = L.M.T−2
; [D] = L ; [V] = L.T−1
La masse volumique ρ étant égale au quotient d’une masse sur un volume (le cube d’une
longueur), on a :
[ρ] = L−3
.M
On a donc :
[A] =
L.M.T−2
L−3.M.L.L2.T−2
=
L.M.T−2
M.T−2
= L
La constante aérodynamique A a donc la dimension d’un longueur, et son unité SI est donc le
mètre (m). L’erreur qui a été commise dans le livre est donc d’avoir écrit m2
au lieu
de m.

CHAPITRE 2. FORCES ET CHAMPS 40
Chapitre 2
Forces et champs
Quand Christ, votre vie, paraîtra, alors vous paraîtrez aussi avec lui dans la gloire.
Colossiens 3 : 4
2.1 Généralités
2.1.1 Forces
Les systèmes physiques qui constituent l’univers tout entier peuvent être relativement au
repos ou animés de mouvements diverses. L’état de repos ou de mouvement relatif d’un système
dépend des forces auxquelles il est soumis. Une force est une grandeur physique permettant
de mettre un corps en mouvement, ou de modifier le mouvement de ce corps. Une force peut
avoir deux effets ; l’effet statique si elle permet de maintenir un corps au repos, ou l’effet
dynamique si elle permet de mettre un corps en mouvement. Lorsqu’un corps est soumis à
une force donnée, il existe toujours un autre corps responsable de cette force. On peut donc
encore définir une force comme étant une action physique qu’un corps exerce sur un autre corps.
Lorsqu’il existe un contact physique entre le corps qui exerce la force et le corps qui la subit, il
s’agit d’une force de contact. Dans le cas contraire où il ne nécessite aucun contact physique
entre le corps qui exerce et le corps qui subit la force, il s’agit d’une force à distance. Une
force est une grandeur vectorielle qu’on note généralement
−
→
F . Tout comme un vecteur, une
force est caractérisée par quatre paramètres :
— Son point d’application : Il s’agit du point où la force agit ;
— Sa direction : C’est la droite d’action passant par le vecteur force ;
— Son sens : C’est l’orientation du vecteur force sur sa droite d’action ;
— Son module (ou intensité, ou encore norme) : Il représente la longueur du vecteur
force. C’est encore la valeur de la force. Cette valeur s’accompagne toujours d’une unité.
L’unité de la force dans le Système International est le Newton (N). Le module d’une
force
−
→
F est généralement noté
−
→
F , ou plus simplement F. On peut définir un vecteur
unitaire −
→
u dirigé suivant la droite d’action de
−
→
F , orienté dans le même sens, et dont la

norme est égale à 1. On a la relation :
−
→
F =
−
→
F −
→
u (2.1)
Soit donc :
−
→
u =
1
−
→
F
−
→
F (2.2)
La Figure 2.1 ci-dessous illustre les caractéristiques d’une force quelconque
−
→
F .
Figure 2.1 – Caractéristiques d’une force.
Lorsqu’un corps exerce une force sur un autre corps, réciproquement, ce dernier exerce sur le
corps précédent une force de même direction, de même module, mais de sens contraire : C’est le
principe des actions réciproques. Dans le cas des forces à distances, les deux corps peuvent
s’attirer mutuellement (on parle de forces attractives) ou se repousser mutuellement (on
parle de forces répulsives). Pour un système quelconque, on appelle forces intérieures les
forces exercées par une partie de ce système sur une autre partie du même système. Les forces
extérieures quant à elles sont des forces exercées par une partie de l’environnement extérieur
au système sur une partie de ce système.
2.1.2 Champs de forces
Un champ de forces désigne une région donnée de l’espace dans laquelle un corps est
susceptible de subir des forces si ses propriétés physiques et les conditions dans lesquelles il se
trouve sont adéquates. On caractérise un champ de forces par un vecteur champ défini en
chaque point de la région. Le vecteur champ que nous notons
−
→
C est caractérisé tout comme un
vecteur par son point d’application, sa direction, son sens, et son module. Dans la majorité des
cas, les modules respectifs du vecteur champ
−
→
C en un point donné et de la force
−
→
F relative au
champ, subie par un corps en ce point sont liés par une relation faisant intervenir des paramètres
relatifs aux propriétés du corps, et aux conditions dans lesquelles il se trouve.
2.2 Gravitation
La gravitation est le phénomène d’attraction mutuelle entre des corps massifs. Du milieu
du XVIIème
siècle jusqu’à la fin du XIXème
siècle, la gravitation était perçue comme un phé-

nomène décrit par des forces à distance s’exerçant entre des corps massifs, appelées forces
gravitationnelles ou forces de gravitation. Cependant, au début du XXème
siècle est née
une nouvelle branche de la physique faisant intervenir des outils mathématiques complexes,
appelée relativité générale dans laquelle la gravitation est perçue plutôt comme une cour-
bure de l’espace-temps. Cette nouvelle modélisation est beaucoup plus réaliste, mais nous
ne l’aborderons pas dans ce cours. Toutefois, la description de la gravitation par des forces
gravitationnelles reste acceptable dans la majorité des cas.
2.2.1 Forces gravitationnelles
Le physicien anglais Isaac Newton est l’un des premiers scientifiques à décrire la gravi-
tation par des forces. En 1687, il énonce la loi de gravitation universelle de la manière
suivante :
≺≺ Deux corps ponctuels A et B de masses respectives mA et mB exercent l’un
sur l’autre des forces d’attraction directement opposées, dirigées suivant la droite
(AB), et d’intensités proportionnelles à leurs masses, et inversement proportion-
nelles au carré de la distance AB qui les sépare.
On écrit :
−
−
−
→
FA/B = −
−
−
−
→
FB/A = −
GmAmB
AB2
−
−
→
uAB (2.3)
Figure 2.2 – Attraction gravitationnelle entre deux corps ponctuels.
Si les corps ne sont pas ponctuels (Figure 2.3), la loi de gravitation universelle reste valable,
et les intensités des forces de gravitation s’exerçant entre ces corps seront inversement propor-
tionnelles au carré de la distance qui sépare leurs centres de gravités.
Figure 2.3 – Attraction gravitationnelle entre deux corps non ponctuels.
−
−
−
→
FA/B est la force d’attraction que le corps A exerce sur le corps B. Elle est appliquée au
point B, dirigée suivant la droite (AB) et orientée de B vers A.
−
−
−
→
FB/A quant à elle est la force
d’attraction que le corps B exerce sur le corps A. Elle est appliquée au point A, dirigée suivant
la droite (AB) et orientée de A vers B. Ces deux forces ont le même module. On a :
FA/B = FB/A =
GmAmB
AB2
(2.4)

Le paramètre G est une constante appelée constante de gravitation universelle dont la
valeur est G= 6, 67 × 10−11
N.m2
.kg−2
. −
−
→
uAB est un vecteur unitaire de même direction que la
droite (AB) et orienté de A vers B.
2.2.2 Champs gravitationnels
On appelle champ gravitationnel ou champ de gravitation toute région de l’espace
créé par un corps de masse donnée, et dans laquelle tout autre corps massif est soumis à une
force gravitationnelle. Une ligne de champ gravitationnel est une courbe orientée tangente
en chacun de ses points au vecteur champ gravitationnel. Le spectre gravitationnel est
l’ensemble formé par les lignes de champ gravitationnel. Les lignes de champ gravitationnel
créé par un corps de masse m donné sont des droites passant par ce corps et orientées vers lui
(Figure 2.4). On dit que le champ gravitationnel est centripète.
Figure 2.4 – Spectre gravitationnel.
Un corps ponctuel A de masse mA crée dans son voisinage un champ gravitationnel défini
en un point quelconque M par le vecteur champ gravitationnel −
−
−
→
gA/M dirigé suivant la
droite (AM) et orienté de M vers A (Figure 2.5). L’unité SI de l’intensité du vecteur champ
gravitationnel est le N.kg−1
. On peut aussi l’exprimer en m.s−2
. Soit −
−
−
→
uAM un vecteur unitaire
de même direction que la droite (AM) et orienté de A vers M. On a :
−
−
−
→
gA/M = −
GmA
AM2
−
−
−
→
uAM (2.5)
Le module de −
−
−
→
gA/M s’exprime donc par :
gA/M =
GmA
AM2
(2.6)
Si on place en M un corps de masse mM, il sera soumis à une force d’attraction gravitationnelle

−
−
−
→
FA/M de la part du corps A, telle que :
−
−
−
→
FA/M = −
GmAmM
AM2
−
−
−
→
uAM = −mM
GmA
AM2
−
−
−
→
uAM = mM
−
−
−
→
gA/M (2.7)
Figure 2.5 – Champ gravitationnel et force gravitationnelle en un point M.
La masse étant une grandeur scalaire toujours positive, le vecteur champ gravitationnel en un
point et la force gravitationnelle subie par un corps massif en ce point ont donc la même droite
d’action et sont orientés dans le même sens.
2.2.3 Gravitation dans l’espace
Dans l’espace, la plupart des planètes (comme la Terre sur laquelle nous habitons) et des
astres (le Soleil et la Lune par exemple) sont des ellipsoïdes applaties au niveau de leurs pôles.
Toutefois, on peut les assimiler à des sphères pleines dont toute la masse est concentrée en
leurs centres. Un corps à répartition sphérique de masse est un corps dont la matière est
répartie uniformément autour de lui ou en couches sphériques homogènes autour de son centre.
Les planètes du système solaire et les astres de l’univers sont considérés comme des corps à
répartition sphérique de masse. Considérons à la Figure 2.6 ci-dessous une planète ou un astre
en forme de sphère de centre I, de masse M et de rayon moyen R.
Figure 2.6 – Champs de gravitation créés par une sphère.
La sphère crée en un point P de sa surface un champ de gravitation −
→
g0 dirigé suivant la droite
(IP), orienté de P vers I, et dont l’intensité est donnée par :
g0 =
GM
R2
(2.8)
En un point H situé à une altitude h par rapport à la surface de la sphère, celle-ci crée un

champ gravitationnel −
→
gh dirigé suivant la droite (IH), orienté de H vers I, et dont l’intensité
est donnée par :
gh =
GM
(R + h)2 (2.9)
L’intensité du champ gravitationnel créé par une planète ou un astre est maximale à sa surface.
Elle diminue avec l’altitude, et devient quasiment nulle pour des altitudes très élevées. A la sur-
face des planètes ou des astres, il règne un champ appelé champ de pesanteur, correspondant
à une approximation locale du champ de gravitation créé à la surface de cette planète ou de
cet astre. A la surface de la Terre par exemple, on parle de champ de pesanteur terrestre,
et tout corps massif y est soumis à une force gravitationnelle verticale descendante que l’on
appelle le poids. L’intensité de la pesanteur encore appelée accélération de la pesanteur
correspond au module du champ de pesanteur à la surface de la Terre.
2.3 Electricité
Les phénomènes électriques observés dans la nature sont dûs à une propriété des corps ap-
pelée charge électrique, relative aux particules élémentaires chargées (l’électron et le proton)
que renferme ce corps. La charge électrique d’un corps, notée q est une grandeur algébrique,
ce qui signifie qu’elle peut avoir une valeur positive ou négative. L’unité SI de la charge élec-
trique est le Coulomb (C). L’électricité est l’ensemble des phénomènes physiques associés
aux charges électriques. Dans le cas particulier où ces charges électriques sont statiques, on
parle de l’électrostatique. L’électron a une charge électrique négative, tandis que le proton
a une charge électrique positive. Leur charge est égale en valeur absolue et correspond à la
charge élémentaire e de valeur e = 1, 6 × 10−19
C. Ainsi, toute charge électrique est un mul-
tiple entier de la charge élémentaire. L’électrisation d’un corps consiste à lui communiquer
une charge électrique. Elle se fait le plus souvent par frottement.
2.3.1 Forces électriques
Les forces électriques (et électrostatiques) ont été découvertes suite à des observations faites
quant aux interactions entres les particules chargées électriquement. En 1785, le physicien fran-
çais Charles-Augustin Coulomb énonce la loi de Coulomb comme suit :
≺≺ La force d’attraction ou de répulsion qui s’exerçe entre deux corps ponctuels
A et B de charges respectives qA et qB est dirigée suivant la droite (AB), pro-
portionnelle aux charges qA et qB et inversement proportionnelle au carré de la
distance AB qui les sépare.
On écrit :
−
−
−
→
FA/B = −
−
−
−
→
FB/A =
KqAqB
AB2
−
−
→
uAB (2.10)
La force électrique
−
−
−
→
FA/B que le corps A exerce sur le corps B et la force électrique
−
−
−
→
FB/A que
le corps B exerce sur le corps A sont dirigées suivant la droite (AB) et ont le même module.

On a :
FB/A = FA/B =
K |qA| |qB|
AB2
(2.11)
K est une constante appelée constante de Coulomb de valeur K = 9 × 109
N.m2
.C−2
. Les
orientations des forces
−
−
−
→
FA/B et
−
−
−
→
FB/A dépendent des signes des charges qA et qB. Deux charges
de même signe se repoussent (c’est la répulsion électrique), tandis que deux charges de signes
opposés s’attirent (c’est l’attraction électrique).
Figure 2.7 – Répulsion électrique entre deux charges de même signe.
Figure 2.8 – Attraction électrique entre deux charges de signes opposés.
En réalité, les orientations de
−
−
−
→
FA/B et
−
−
−
→
FB/A ne dépendent que du signe du produit des charges
qA et qB.
2.3.2 Champs électriques
On appelle champ électrique (ou champ électrostatique) toute région de l’espace créée
par une particule de charge électrique donnée, et dans laquelle toute autre particule chargée
est soumise à une force électrique (ou électrostatique). Une ligne de champ électrique est
une courbe orientée tangente en chacun de ses points au vecteur champ électrique. Le spectre
électrique est l’ensemble formé par les lignes de champ électrique. Les lignes de champ élec-
trique créé par un corps de charge électrique q positive sont des droites passant par ce corps,
orientées de telle sorte qu’elles fuient le corps, tandis que les lignes de champ électrique créé
par un corps de charge électrique q négative sont des droites passant par ce corps et orientées
vers le corps (Figure 2.9). On dit que le champ électrique créé par une charge positive est
centrifuge, alors que le champ électrique créé par une charge négative est centripète.

Figure 2.9 – Spectres électriques d’une charge positive et d’une charge négative.
Un corps ponctuel A de charge électrique qA crée dans son voisinage un champ électrique
défini en un point quelconque M par le vecteur champ électrique (ou vecteur champ
électrostatique)
−
−
−
−
→
EA/M dirigé suivant la droite (AM). L’unité SI de l’intensité du vecteur
champ électrique est le N.C−1
. On peut aussi l’exprimer en V.m−1
. Soit −
−
−
→
uAM un vecteur
unitaire de même direction que la droite (AM) et orienté de A vers M. On a :
−
−
−
−
→
EA/M =
KqA
AM2
−
−
−
→
uAM (2.12)
Le module de
−
−
−
−
→
EA/M s’exprime donc par :
EA/M =
K |qA|
AM2
(2.13)
Le champ électrique
−
−
−
−
→
EA/M est orienté de A vers M si qA est positive, et de M vers A si qA
est négative. Si en M est placé un corps de charge électrique qM, il sera soumis à une force
électrique
−
−
−
→
FA/M donnée par l’expression vectorielle ci-dessous :
−
−
−
→
FA/M = qM
−
−
−
−
→
EA/M (2.14)
Figure 2.10 – Champ et force électrique en un point M.
Ainsi,
−
−
−
→
FA/M et
−
−
−
−
→
EA/M ont la même droite d’action et la même orientation si la charge qM est
positive, mais si la charge qM est négative,
−
−
−
→
FA/M et
−
−
−
−
→
EA/M ont la même droite d’action, mais
des orientations contraires.

2.3.3 Champ électrique à l’intérieur d’un condensateur
Considérons un condensateur constitué de deux armatures (M) et (N) séparées par une
distance d. S’il règne entre elles une tension électrique (différence de potentiel) U = VM − VN,
alors il se crée à l’intérieur du condensateur un champ électrique uniforme
−
→
E perpendiculaire
aux armatures, et orienté de celle ayant le potentiel le plus élevé vers celle ayant le potentiel le
plus bas (Figure 2.11). Le champ électrique y est dit uniforme, car sa direction, son sens et
son module sont les mêmes en tout point situé à l’intérieur du condensateur.
Figure 2.11 – Champ électrique entre les armatures d’un condensateur.
Le module du champ électrique créé entre les armatures du condensateur est donné par :
E =
|U|
d
=
|VM − VN|
d
(2.15)
Si U = VM − VN 0, l’armature (M) est chargée positivement, et a le potentiel le plus élevé.
Par conséquent, le champ électrique
−
→
E est orienté de (M) vers (N). Si U = VM − VN 0,
l’armature (M) est chargée négativement et a le potentiel le plus bas. Par conséquent, le champ
électrique
−
→
E est orienté de (N) vers (M).
2.4 Magnétisme
Le magnétisme est l’ensemble des phénomènes qui étudient l’attraction ou la répulsion entre
des matériaux. La magnétite est l’élément de base responsable du magnétisme. Sa transfor-
mation aboutit à la fabrication des aimaints permanents, objets ayant la propriété d’attirer
certains métaux tels que le fer. Tout aimant est constitué par un pôle Nord (N) et un pôle
Sud (S). Il n’est pas possible d’obtenir un aimant avec un seul pôle. Chaque fois qu’on divise
un aimant en deux, on obtient deux aimants ayant chacun un pôle Nord et un pôle Sud. Deux
pôles de même nature se repoussent, tandis que deux pôles de natures différentes s’attirent. Un
matériau est dit ferromagnétique s’il est capable de s’aimanter, c’est-à-dire de se comporter
comme un aimant.

2.4.1 Champs magnétiques
Un champ magnétique désigne toute région de l’espace dans laquelle un matériau ferro-
magnétique est soumis à une force magnétique. Il est caractérisé en tout point par un vecteur
champ magnétique généralement noté
−
→
B . L’unité SI de l’intensité du champ magnétique est
le Tesla (T). Les principales sources de champ magnétique sont les aimants permanants, les
conducteurs parcourus par un courant électrique appelés électro-aimants et la Terre qui crée
son propre champ magnétique appelé champ magnétique terrestre. L’intensité du champ
magnétique créé par un aimant (aimant permanent ou électro-aimant) dépend de ses caracté-
ristiques. Une ligne de champ magnétique est une courbe orientée tangente en chacun de
ses points au vecteur champ magnétique. Le spectre magnétique est l’ensemble formé par
les lignes de champ magnétique.
Figure 2.12 – Spectre magnétique d’un aimant droit.
Figure 2.13 – Spectre magnétique d’un aimant en U.

Les lignes de champ magnétique créé par un aimant sortent toujours par le pôle Nord et
convergent vers le pôle Sud (Figure 2.12 et Figure 2.13). Entre les branches d’un aimant
en U, le champ magnétique est uniforme, et les lignes de champ sont perpendiculaires aux
branches.
2.4.2 Force de Laplace
La force de Laplace est la force magnétique subie par un conducteur traversé par un
courant électrique en présence d’un champ magnétique. Elle a été découverte par le physicien
français Pierre-Simon Laplace qui a énoncé la loi de Laplace de la manière suivante :
≺≺ Toute portion rectiligne de conducteur de longueur ` parcourue par un courant
électrique I et plongée dans un champ magnétique
−
→
B est soumise à une force
magnétique dite de Laplace, appliquée au milieu de la portion, et dont l’expression
est donnée par :
−
→
F = I
−
→
` ∧
−
→
B (2.16)
Le symbole ∧ désigne le produit vectoriel ou produit extérieur. Le vecteur I
−
→
` a la direction
de la portion rectiligne du conducteur et va dans le sens du courant I.
−
→
F est perpendiculaire
au plan formé par I
−
→
` et
−
→
B . Son sens est donné par la règle des trois doigts de la main
droite :
— L’index donne la direction et le sens de I
−
→
` ;
— Le majeur donne la direction et le le sens de
−
→
B ;
— Le pouce donne la direction et le le sens de
−
→
F .
Figure 2.14 – Règle des trois doigts de la main droite (Force de Laplace).
Si I
−
→
` et
−
→
B font entre eux un angle α, l’intensité de la force de Laplace
−
→
F est donnée par :
F = I`B sin α (2.17)
Si les directions du courant et du champ magnétique sont perpendiculaires, α = 90° et on a :
F = I`B (2.18)

Figure 2.15 – Force de Laplace appliquée à un conducteur.
En représentation plane, tout vecteur qui entre dans le plan de la feuille est dit entrant, et est
représenté par une croix entourée d’un cercle. Tout vecteur qui sort du plan de la feuille est dit
sortant, et est représenté par un point entouré d’un cercle.
2.4.3 Force de Lorentz
Un corps de charge électrique q se déplaçant à une vitesse
−
→
V dans un champ magnétique
−
→
B est soumise à une force magnétique
−
→
F appelée force de Lorentz donnée par :
−
→
F = q
−
→
V ∧
−
→
B (2.19)
−
→
F est perpendiculaire au plan formé par
−
→
V et
−
→
B . Son sens est donné par la règle des trois
doigts de la main droite :
— L’index donne la direction et le sens de q
−
→
V ;
— Le majeur donne la direction et le sens de
−
→
B ;
— Le pouce donne la direction et le sens de
−
→
F .
Figure 2.16 – Règle des trois doigts de la main droite (Force de Lorentz).
Si
−
→
V et
−
→
B font entre eux un angle α, l’intensité de la force de Lorentz
−
→
F est donnée par :
F = |q| VB sin α (2.20)
Si
−
→
V et
−
→
B sont orthogonaux, α = 90° et on a :
F = |q| VB (2.21)

Figure 2.17 – Force de Lorentz appliquée à une particule.
Pour trouver la direction et le sens de la force de Lorentz avec plus de facilité, lorsque la charge
est positive, il convient d’utiliser la main droite, dont l’index donne la direction et le sens de
−
→
V , et lorsque la charge est négative, il convient plutôt d’utiliser la main gauche, dont l’index
donne la direction et le sens de
−
→
V .

Exercices
On prendra partout où le besoin se présentera l’intensité de la pesanteur g = 9, 8 m.s−2
.
Exercice 2.1 :
A la Figure 2.18 ci-dessous, une bille de masse mA = 200 g est placée au point A sur le sol
horizontal. Une autre bille de masse mB = 450 g est posée sur le sommet B d’une pyramide de
hauteur h = OB = 1, 2 m et dont les faces BC et BD font l’angle α = 45° avec l’horizontale.
Les deux billes seront considérées comme étant pontuelles. On donne d = AC = 40 cm.
Figure 2.18 – Exercice 2.1.
1- Déterminer la distance D = AB qui sépare les deux billes.
2- Représenter les forces gravitationnelles qui s’exerçent entre les deux billes et donner leurs
caractéristiques.
3- Représenter les vecteurs champs gravitationnels −
−
−
→
gA/B créé en B par la bille située en A et
−
−
−
→
gB/A créé en A par la bille située en B puis donner leurs caractéristiques.
4- Représenter les vecteurs champs gravitationnels −
−
−
→
gA/I et −
−
→
gB/I créés au milieu I du segment
[AB] par les deux billes et donner leurs caractéristiques. En déduire les caractéristiques du
champ −
→
gI résultant en I.
5- Soit M le point du segment [AB] où les champs gravitationnels créés par les deux billes se
compensent. Déterminer les distances dA = AM et dB = BM.
Exercice 2.2 :
A la Figure 2.19, une boule sphérique de masse m1 = 2, 7 kg et de rayon r1 = 8 cm repose en
équilibre sur un poteau en forme de pavé, de hauteur h1 = A1B1 = C1D1 = 1, 3 m et de largeur
A1D1 = B1C1 = 2r1. Une autre boule de masse m2 = 1, 2 kg et de rayon r2 = 4 cm est placée
sur un poteau de hauteur h2 = A2B2 = C2D2 = 74 cm et de largeur A2D2 = B2C2 = 2r2. On
donne d = B1C2 = 92 cm.

1- Déterminer la distance D = O1O2 qui sépare les centres de gravité des deux boules.
2- Représenter les forces de gravitation s’exerçant entre les deux boules et donner leurs carac-
téristiques.
3- Représenter les champs de gravitation créés respectivement par chaque boule, sur le centre
de l’autre boule puis donner leurs caractéristiques.
4- Déterminer les distances d1 et d2 respectivement par rapport à O1 et O2 du point M du
segment [O1O2] où les champs gravitationnels créés par les deux boules se compensent.
Exercice 2.3 :
Lors d’une éclipse, les centres de gravité respectifs S, L et T du Soleil, de la Lune et de la
Terre sont alignés comme à la Figure 2.20 ci-dessous. On donne les masses de ces astres :
MS = 1, 989 × 1030
kg, ML = 7, 342 × 1022
kg et MT = 5, 972 × 1024
kg. Les distances Soleil-
Terre et Lune-Terre valent respectivement ST = 149 598 023 km et LT = 383 398 km.
1- Représenter les forces gravitationnelles que le soleil et la Terre exercent sur la Lune et donner
leurs caractéristiques.
2- En déduire les caractéristiques de la force résultante subie par la Lune.
3- Représenter les champs gravitationnels que le soleil et la Terre créent au centre de gravité
de la Lune et donner leurs caractéristiques.
4- En déduire les caractéristiques du champ résultant créé au centre de gravité de la Lune.

5- La distance Soleil-Terre restant inchangée, à quelles distances SL0
du soleil et TL0
de la Terre,
devrait se situer la Lune pour qu’elle soit en équilibre sous l’action des forces exercées par les
deux autres astres ?
Exercice 2.4 :
Un satellite se trouve à une altitude h de la surface de la Terre, considérée comme une planète
sphérique de rayon RT = 6378 km et de masse MT = 5, 972 × 1024
kg. La situation est illustrée
à la Figure 2.21 ci-dessous.
1- Donner l’expression puis la valeur numérique du module g0 du champ gravitationnel −
→
g0 créé
à la surface de la terre.
2- Donner l’expression du module gh du champ gravitationnel −
→
gh créé à l’endroit où se trouve
le satellite.
3- Montrer qu’on a la relation :
gh =
‚
1
1 + h
RT
Œ2
g0
4- On suppose que h est négligeable devant RT (h RT). Montrer qu’on peut avoir la relation :
gh =

1 −
2h
RT
‹
g0
On précise que si a et n sont deux réels avec a 1, alors :
(1 + a)n
' 1 + na
5- La masse du satellite vaut m = 60 t, et on donne h = 5 Km. Représenter le champ gravi-
tationnel −
→
gh et la force gravitationnelle
−
→
Fh subie par le satellite de la part de la Terre, puis
donner leurs caractéristiques. (On utilisera la relation obtenue à la question 4).
6- Comparer les valeurs numériques obtenues en utilisant la relation de la question 4 à celles
qu’on obtient en utilisant la relation de la question 3.

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