physique 2

1. Chapitre 3 : Conducteurs en équilibre électrostatique
3.1- Conducteur en équilibre : Un conducteur est un assemblage d’atomes neutres, lesquels sont
constitués de noyaux contenant des protons et des neutrons et d’électrons . Les électrons des
couches périphériques appelés électrons libres peuvent se déplacer entre les atomes. A l’echelle
microscopique, suite à l’agitation thermique, les électrons libres se déplacent dans tous les sens.
Pour un élément de volume donné, tout se passe en moyenne (échelle macroscopique), comme si
rien ne sort ni rentre pour garder autant de charges positives que négatives , c’est-à-dire l’élément
de volume 𝑑𝕍 reste toujours électriquement neutre ( 𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝕍 = 0 ⟹ 𝜌 = 0)
Dans chaque élément de volume d’un conducteur en équilibre, à l’échelle macroscopique l’électron
libre est considéré comme immobile.
3.2- Propriétés d’un conducteur en équilibre électrostatique
1- L’équilibre de l’électron libre, 𝐹
⃗ = −𝑒𝐸 ⃗ = 0
⃗ ⟹ 𝐸 ⃗ = 0
⃗
1- Le conducteur constitue un volume équipotentiel : 𝐸
⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗𝑉 = 0
⃗ ⟹ 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒
2- Un conducteur en équilibre s’il est chargé, cette charge est en surface. En effet l’application
du théorème de Gauss à une surface quelconque à l’intérieur de l’enveloppe du conducteur :
𝐸
⃗𝑑𝑆
⃗ =
𝑄
𝜀
= 0 ⟹ 𝑄 = 𝑂
La charge d’un conducteur en équilibre se répartit sur sa
surface. En réalité la charge est répartie sur une mince
couche, appelée couche superficielle.
3.3- Conducteur creux chargé
Le conducteur creux a une surface interne 𝑆 et une autre externe 𝑆 . Lorsque la cavite ne contient pas
de charges, le théorème de Gauss appliqué à une surface Σ, qui enveloppe la cavité :
∯ 𝐸
⃗𝑑𝑆
⃗ =
( )
= 0 ⟹ 𝑄 = 0. La charge d’un conducteur creux se répartit uniquement sur la
surface externe.
- Le champ dans la cavité est nul, sinon la circulation de 𝐸
⃗ entre deux points A et B apprtenant
au conducteur ne serait pas nulle.
𝑉 − 𝑉 = − ∫ 𝐸
⃗ 𝑑𝑙
⃗ = 0; 𝑉 = 𝑉 = 𝑉 ⟹ 𝐸 ⃗ = 0 .
𝐸 ⃗ = 0 ⟹ 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑉 , par continuité du potentiel.
𝑫eux condcteurs identiques l’un plein et l’autre creux et vide de charges ont les mêmes propriétés
électriques.
Un conducteur creux , maintenu à un potentiel constant, joue le rôle d’un écran électrostatique. La
cavié et l’extérieur du conducteur n’ont aucune influence l’un sur l’autre . Les charges dans la cavité
n’ont pas d’effet électrique sur l’extérieur et également les conducteurs chargés qui sont à l’extérieur
du conducteur n’influencent nullement la cavité.
+
Σ
S
𝐸 = 0
𝐸
⃗
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

2. 3.4- Champ au voisinage d’un conducteur chargé: Théorème de Coulomb.
Choisissons une surface de Gauss cylindrique de base
dS passaant par un point M, l’autre base est en
profondeur dans le conducteur (E = 0). L’application du
théorème de Gauss donne :
𝐸
⃗ 𝑑𝑆⃗ + 𝐸⃗ 𝑑𝑆⃗ + 𝐸
⃗ 𝑑𝑆 ⃗ =
𝜎 𝑑𝑆
𝜀
Les surfaces 𝑑𝑆 , 𝑑𝑆 et 𝑑𝑆 , sont respectivement les
surfaces de base externe et interne et
latérale. 𝐸
⃗ 𝑑𝑆⃗ = 𝐸 𝑑𝑆 ; 𝐸⃗ 𝑑𝑆⃗ = 0 (E=0) et
𝐸
⃗ 𝑑𝑆 ⃗ = 0, 𝐸
⃗ ⊥ 𝑑𝑆 ⃗
D’où :
𝑬
⃗ =
𝝈
𝜺𝟎
𝒏
⃗
L’évolution du champ de l’intérieur vers l’extérieur immédiat est donnée par le graphe ci-contre,
représente la valeur du champ moyen dans la couche superficielle. Ce graphe montre une continuité
du champ au passage de la surface d’un conducteur. Mais l’épaisseur de la couche superficielle est
tellement très petite, on dit que le champ subit un saut à son passage par la surface du conducteur.
3.5- Pression électrostatique
Considérons un conducteur de densité surfacique 𝜎 > 0 et soit dS un élément de surface de charge
𝑑𝑞 = 𝜎 𝑑𝑆. Calculons la force exercée par les autres charges du conducteur 𝑄 = 𝑄 − 𝑑𝑞, 𝑄 étant la
charge du conducteur.
𝐸
⃗ = 0
𝜎 > 0
𝑛
⃗ dS
𝑀
𝐸
⃗ = 0
Intérieur Extérieur
𝐸
𝜎
𝜀
Couche superficielle
𝜎
2𝜀

3. Soit 𝑑𝑓
⃗ = 𝑑𝑞 𝐸⃗, 𝐸⃗, le champ créé par les autres charges 𝑄 . Pour calculer ce champ, on utilise
l’expression du champ à proximité immédiate du conducteur: 𝐸 ⃗ = 𝐸 ⃗ + 𝐸⃗ = 𝑛
⃗ et le champ à
l’intérieur du conducteur : 𝐸 ⃗ = 𝐸 ⃗ + 𝐸⃗ = 0
⃗, ceci nous conduit à : 𝐸⃗ = 𝑛
⃗.
Il s’ensuit que 𝑑𝑓
⃗ = 𝜎𝑑𝑆 𝑛
⃗ = 𝑑𝑆 𝑛
⃗ , est une force normale dirigée toujours vers l’extérieur,
indépendemment du signe de 𝜎, elle a le caractère d’une force de pression.
𝑑𝑓
𝑑𝑆
= 𝑝
𝑝 , appelé pression électrostatisique, sa tendance est la dilatation du corps.
3.6- Pouvoir des pointes
Les pointes sont les parties d’un conducteur qui ont un rayon de courbure très petit et qui ont une
densité de charge élevée. En ces endroits le chap est intense . Montrons ce résultat à l’aide de
l’exemple suivant.
On considère deux sphères de rayons 𝑅 et 𝑅 (𝑅 𝑅 ), de densités de charges 𝜎 et 𝜎 . Le
potentiel de chaque sphère seule est celui de son centre centre :
𝑑𝑉 = ⟹ 𝑉 = ,
𝑑𝑉 = ⟹ 𝑉 =
𝑁
𝑂
𝜎
𝑂
𝜎

4. On les relie par un fil conducteur mince.
Le fil mince signifie que sa charge est négligeable devant celles des sphères.
𝑉′ = + ,
𝑉′ =
𝐾 𝑄
𝑅
+
𝐾 𝑄
𝑑
La distance d entre les sphères est supposée grande, d≫ 𝑅 et 𝑅 .
Le fil et les deux sphères constituent un seul conducteur : 𝑉′ = 𝑉′
𝐾 𝑄
𝑅
+
𝐾 𝑄
𝑑
=
𝐾 𝑄
𝑅
+
𝐾 𝑄
𝑑
⟹ 𝐾 𝑄
𝑑 − 𝑅
𝑑𝑅
= 𝐾 𝑄
𝑑 − 𝑅
𝑑𝑅
⟹ 𝑄 𝑑
1 −
𝑅
𝑑
𝑅
= 𝑄 𝑑
1 −
𝑅
𝑑
𝑅
⟹
𝑄
𝑅
=
𝑄
𝑅
⟹ 𝜎
4𝜋𝑅
𝑅
= 𝜎
4𝜋𝑅
𝑅
⟹ 𝜎 𝑅 = 𝜎 𝑅
⟹ 𝜎 = 𝜎
𝑅
𝑅
> 𝜎
Ce résultat montre que la densité de charges est plus élevée dans les régions à faibles rayons de
courbure. L e pouvoir des pointes trouve son application dans le paratonnerre (une cornière qui se
termine par une pointe). Le paratonnerre relié à la terre priviligie la décharge de la foudre par la
pointe vers la terre et protège ainsi les édifices avoisinants.
Comme nous le constatons sur les figures ci-dessous, la répartition de charges est une uniforme sur
la surface de la sphère, tandis que sur l’autre conducteur, la densité de charges varie d’une zone à
une autre, elle est plus élevée aux pointes.
𝑂
𝜎 𝑂
𝜎
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

5. 3.7- Capcité d’un conducteur seul dans l’espace
Un conducteur en équilibre de densité de charge 𝜎 a une charge 𝑄 = ∬ 𝜎 𝑑𝑆 et un potentiel
𝑉 =
𝜎 𝑑𝑆
𝑟
Si on remplace la densité de charge 𝜎 par 𝜎 = 𝛼𝜎, la nouvelle charge du conduteur sera multipliée
par le même coefficient, 𝑄 = ∬ 𝛼𝜎 𝑑𝑆 = 𝛼𝑄 et le nouveau potentiel
𝑉′ = ∬ 𝛼 est aussi multiplié par 𝛼 . Les applications entre 𝑉, 𝜎 𝑒𝑡 𝑄 sont linéaires et par
conséquent, la charge 𝑄 est proportionnelle au potentiel :
⎩
⎨
⎧ 𝑄 = 𝛼𝜎 𝑑𝑆 = 𝛼𝑄
𝑉 = 𝛼
𝜎 𝑑𝑆
𝑟
= 𝛼
𝜎 𝑑𝑆
𝑟
= 𝛼𝑉
⟹
𝑄
𝑉
=
𝑄
𝑉
= 𝑐𝑡𝑒 = 𝐶
Le coefficient de proportionalité noté par C est appelé capacité du conduteur, il ne dépend que de la
géométrie du conducteur.
𝑄 = 𝐶. 𝑉
A titre d’exemple, calculons la capacité de la terre (R= 6400 km)
La terre est un conducteur, notons par V et Q le potentiel et la charge de la terre.
Le théorème de Gauus, aplliquée à la sphère Σ de rayon r, donne :
𝐸
⃗ 𝑑𝑆
⃗ =
𝑄
𝜀
= 𝐸. 4𝜋𝑟
𝐸 =
𝑄
4𝜋𝜀
1
𝑟
On déduit le potentiel en un point donné de l’espace à partir de :
𝑑𝑉 = −𝐸
⃗ 𝑑𝑙
⃗ = −𝐸 𝑑𝑟
𝑉(𝑟) =
𝑄
4𝜋𝜀 𝑟
Ce résultat correspond à celui qu’on a obtenu par un calcul direct (2.6)
Le potentiel de la terre 𝑉(𝑟 = 𝑅) =
𝑄 = 4𝜋𝜀 𝑅 𝑉 = 𝐶𝑉 ⟹ 𝐶 = 4𝜋𝜀 𝑅 = 710 𝜇𝐹
𝜎𝑑𝑆
𝑀
𝑟
𝑉 = 𝑐𝑡𝑒
r
Σ
O
𝑑𝑆
⃗
𝐸
⃗

6. Un corps de dimension de la terre a une capacité de l’ordre du milliFarad, le Farad apparait donc
comme une unité trop grande, c’est pourquoi on utilise les sous miltiples du Farad :
Le microFarad, 1 𝜇𝐹 = 10 𝐹
Le nanoFarad, 1𝑛𝐹 = 10 𝐹
Le picoFarad, 1𝑝𝐹 = 10 𝐹
3.8- Energie potentielle électrostatique d’un conducteur
C’est l’énergie que doit fournir un opérateur pour ramener les charges dq, dans un mouvement
quasistatique sur le conducteur, soit Q sa charge finale.
Initialement le conducteur déchargé, on ramène de l’infini des charges sur le conducteur, soit à
l’instant t, q sa charge et 𝑣 son potentiel. Entre t et t+dt on ramème une charge dq dans un
mouvement très lent pour la déposer sur le conducteur de potentiel 𝑣, le travail fourni est :
𝑑𝑊 = ∫ 𝐹 ⃗ 𝑑𝑙
⃗ = − ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑙
⃗ = − −𝑑𝐸 = 𝑑𝑞𝑣
Pour une charge totale du conduteur, l’opérateur doit fournir l’énergie :
𝑊(𝑜𝑝) = 𝑑𝑞𝑣 ; 𝑞 = 𝐶𝑣
⟹ 𝑊(𝑜𝑝) = 𝑑𝑞
𝑞
𝐶
=
1
2
𝑄
𝐶
=
1
2
𝐶𝑉
=
1
2
𝑄𝑉
Pour calculer l’énergie potentielle d’un conducteur on utilise l’une des trois formes selon les
données du problème.
3.9- Conducteurs en équilibre électrostatique : Phénomènes d’influence
3.9.1- Influence partielle
Deux conduteurs, ℂ et ℂ le premier porte une charge 𝑄 > 0 et le deuxième neutre (𝑄 = 0),
figure 1 . Ils sont par la suite (figure 2), placés à une distance l’un de l’autre, 𝑄 crée en tout point qui
l’entoure et en particulier sur le conducteur 2 un champ 𝐸⃗. Sous l’effet de ce champ, les électrons
Instant initial t=0
𝑞 =0
Instant tf final
𝑄, V
Instant t donné
𝑞, 𝑣
𝑑𝑞

7. libres de ℂ sont attirés vers le premier corps, laissant sur la face opposée autant de charges
positives. Le conducteur 2 est ainsi polarisé, faisant apparître un champ de polarisation 𝐸 ⃗ dont
l’intensité continue à croitre jusqu’à atteindre un nouveau état d’équilibre polarisé.
Les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants ( ou de charges positives
vers des charges négatives). Une ligne de champ partant d’un corps ne revient jamais sur le même
corps. Le corps1 par influence a polarisé le corps 2, sans que sa charge change (𝑄 + 𝑄 = 0). A
son tour, ℂ , par son état de polarisation crée un champ électrique sur le conducteur 1, qui se
manifeste par une nouvelle répartition de ses charges (𝑄 = 𝑐𝑡𝑒).
Si on réduit la distance entre les conducteurs, l’intensité du champ 𝐸⃗ augmente, provoquant le
déplacement de plus d’électrons à l’intérieur du conducteur 2, sa polarisation à l’équilibre est alors
intensifiée 𝐸 ⃗ + 𝐸⃗ = 0
⃗ .
Si on enlève , ℂ la polarisation du conducteur 2 disparait (𝑄 = 0). Par contre si on relie ℂ à la
terre (ℂ , non isolé électriquement, sa charge n’est plus conservée), les charges positives seront
neutraliées par le déplacement d’électrons de la terre vers le conducteur 2. La charge de ℂ n’est
plus nulle, elle vaut 𝑄 .
Figure 1
(2)
𝜎 = 0
+
+
(1)
𝜎 = 𝑐𝑡𝑒
+
+ +
+
+
+
+
+
(1)
𝜎 ≠ 𝑐𝑡𝑒
+
+
+
+
+
+
-
-
-
+
+
+
- +
𝐸 ⃗ + 𝐸⃗ = 0
Figure 2
+
+
1
𝜎 ≠ 𝑐𝑡𝑒
+
+
+
+
+
+
-
-
- -
𝐸 ⃗ + 𝐸⃗ = 0
⃗
Figure 3

8. Si on coupe la mise à la terre puis on éloige le conducteur ℂ du premier, les charges de ℂ se
répartissent sur sa surface externe (propriété d’un conducteur).
Notons que les interctions électrisques entre conducteurs se font
entre une partie de charges de ℂ et les charges de signes
opposés de ℂ , on parle d’influence partielle .
Lorsque les lignes de champ partant de ℂ n’aboutissent pas
toutes sur ℂ , l’influence est dite partielle.
L’influence partielle entre conducteurs est exprimée par le théorème des éléments correspondants.
3.9.2- Influence totale
L’influence entre conducteurs est dite totale losrsque toutes les lignes de champ issues dun
conducteur s’arrêtent sur le deuxième . Chaque charge de l’un a sa correspondante de signe oppsée
de l’autre. L’influence totale est réalisée lorsque un conducteur entoure l’autre et aussi lorsque les
faces en regard des conducteurs sont séparées par une petite distance comparée aux dimensions
des conducteurs. Considérons deux conduteurs ℂ et ℂ portant initialement les charges 𝑄 et 𝑄 . Le
conducteur ℂ entoure complètement ℂ . La surface de ℂ , en regard avec ℂ a une charge 𝑄 =
−𝑄 (influence totale). Ce résultat peut être auusi obtenu par application du théorème de Gauus à
une surface Σ, fermée et prise à l’intérieur du conducteur ℂ
𝐸
⃗ 𝑑𝑆
⃗ =
𝑄 + 𝑄
𝜀
= 0 ⟹ 𝑄 + 𝑄
= 0 ⟹ 𝑄 = −𝑄
La charge sur la surface externe de ℂ , vérifie le
principe de conservation de charge : 𝑄 = 𝑄 +
𝑄 ⟹
𝑄 = 𝑄 + 𝑄
𝐿e signe de 𝑄 dépend du signe de la somme
𝑄 + 𝑄 .
3.10- Condensateurs
Un condensateur est un assemblage de deux conducteurs ℂ et ℂ , en influence totale. Les surfaces
en regard 𝑆 et 𝑆 porteuses de charges 𝑄 et 𝑄 , vérifient : 𝑄 + 𝑄 = 0
-
-
-
-
𝐸
⃗
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
𝐸 = 0
+
𝑆
𝑆
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
𝐵
-
𝐴
Σ

9. Les conducteurs ℂ et ℂ sont appelés
armatures du condensateur. Désignons par 𝑉 et
𝑉 les potentiels de ℂ et ℂ
3.10.1 Capacité d’un condensateur
Pour un conducteur seul, sa charge 𝑄 est
proportionnelle à son potentiel𝑉 : 𝑄 = 𝐶𝑉
En présence d’un autre cndensateur, on a :
𝑄 = 𝐶 𝑉 + 𝐶 𝑉
𝑄 = 𝐶 𝑉 + 𝐶 𝑉
Les coefficients Cij ne dépendent que de la
géométrie des conducteurs, ils sont
indépendants des valeurs de 𝑉 et 𝑉 .
Cherchons les relations entre ces coefficients,
en se placant dans deux cas prticuliers.
- Cas 1 : Prenons 𝑉 = 0 ⟹ 𝑄 = 0
𝑄 = 𝐶 𝑉
𝑄 = 𝐶 𝑉 = 𝑄 + 𝑄 = 𝑄 = −𝑄
⟹ 𝐶 = −𝐶
- Cas 2 : 𝑉 = 𝑉 , les conducteurs forment un seul conducteur dont la charge est en surface
externe
-
𝑄 = (𝐶 + 𝐶 )𝑉 = 0
𝑄 = (𝐶 + 𝐶 )𝑉
⟹ 𝐶 = −𝐶
⟹ 𝐶 = −𝐶 = −𝐶 = 𝐶
Il en résulte que : 𝑄 = 𝐶 𝑉 + 𝐶 𝑉 = 𝐶(𝑉 − 𝑉 )
En posant 𝑄 = 𝑄, appelé charge du condensateur, 𝑉 − 𝑉 , sa différence de potentiel : Sa capacité
𝐶 est alors définie par :
𝐶 =
𝑄
𝑉 − 𝑉
La capacité 𝐶, dépend de la géométrie du condensateur et du milieu entre les conducteurs. Elle
caractérise le degré de stockage de la charge et de l’énergie.
On schématise un condensateur par :
Où A et B représentent ses armatures.
𝑪 =
𝑸
𝑽𝑨 − 𝑽𝑩
3.10.2- Méthode de calcul de la capacité
𝑉
𝐸
⃗
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
𝐸 = 0
+
+
𝑆
𝑆
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
ℂ
-
-
ℂ
-
Σ
𝑉
A
−𝑄
B
𝑄
° °
𝐶

10. - On calcule le champ 𝐸
⃗ entre les armatures
- A partir de la circulation du champ, 𝑑𝑉 = −𝐸
⃗ 𝑑𝑙
⃗, on détermine 𝑉 − 𝑉
- Enfin, on déduit 𝐶 = .
a)- Capacité d’un condensateur plan
Les armatures sont planes de dimensions suffisamment grandes par rapport à la distance e qui les
sépare. Les effets de bords sont négligeables , le champ est ainsi uniforme.
Les armatures apparaissent comme des plans infins, pour un point M entre les armatures.
Le champ en un point M est d’après le principe de superposition: 𝐸
⃗ = 𝐸 ⃗ + 𝐸⃗
𝜎 et – 𝜎, sont les densités surfaciques de charges des armatures A et B
Avec : 𝐸⃗ = (−𝚤)
⃗ et 𝐸 ⃗ = 𝚤
⃗
On tire le champ au point M :
𝐸
⃗ =
−𝜎
𝜀
𝚤
⃗
− 𝑑𝑉 = − 𝐸
⃗ 𝑑𝑙
⃗, 𝑑𝑙
⃗ = 𝑑𝑥𝚤
⃗ ⟹ 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥
L’intégration entre x = 0 et x = e, donne : 𝑉 − 𝑉 = 𝑒, (𝜎 = ; 𝑆 la surface des faces en
regrad)
𝐶 =
𝑄
𝑉 − 𝑉
=
𝜎𝑆
𝜎𝑒
𝜀
⟹ 𝑪 =
𝜺𝟎𝑺
𝒆
b)- Capacité d’un condensateur sphérique
Les armatures sont des sphères concentriques de rayons 𝑅 et 𝑅 et de densités 𝜎 et – 𝜎.
- L’application du théorème de Gauss à la sphère Σ permet de calculer le champ 𝐸
⃗ = 𝐸𝑢⃗
(symétrie sphérique).
𝐸
⃗ 𝑑𝑆
⃗ = 𝐸4𝜋𝑟 =
𝜎4𝜋𝑅
𝜀
⟹ 𝐸 =
𝜎𝑅
𝜀 𝑟
- L’intégration entre 𝑅 et 𝑅 de 𝑑𝑉 = −𝐸𝑑𝑟 conduit à :
𝑉 − 𝑉 =
𝜎𝑅
𝜀
−𝑑𝑟
𝑟
= −
𝜎𝑅
𝜀
(
𝑅 − 𝑅
𝑅 𝑅
)
𝑉 − 𝑉 =
𝜎𝑅
𝜀
𝑅 − 𝑅
𝑅 𝑅
- 𝐶 =
𝚤
⃗
𝑒
X
O
B
A
𝐸
⃗
𝜎
−𝜎
𝑑𝑆
⃗
𝐸
⃗
Σ
𝑟
𝑅
𝑅
𝑄
−𝑄

11. ⟹ 𝐶 =
𝜎4𝜋𝑅
𝜎𝑅
𝜀
𝑅 − 𝑅
𝑅 𝑅
⟹ 𝑪 = 𝟒𝝅𝜺𝟎
𝑹𝟐𝑹𝟏
𝑹𝟐 − 𝑹𝟏
3.10.3- Association de condensateurs
Pour simplifier le calcul on se limite au cas de deux condensateur de capacités 𝐶 et 𝐶 , le résultat
sera généralisé à un nombre quelconque de condensateurs.
a)- Association en série
Un condensateur équivalent à une association de condensateurs, a entre ses bornes une tension
égale à la somme des tensions de chaque condensateur et une même charge que chacun des
condensateurs de l’association. Les condensateurs en série ont la même charge.
𝑉 − 𝑉 = (𝑉 − 𝑉 ) + (𝑉 − 𝑉 )
𝑄
𝐶
=
𝑄
𝐶
+
𝑄
𝐶
⟹
1
𝐶
=
1
𝐶
+
1
𝐶
Pour un nombre n de condensateurs en série, la capacité éqivalente s’exprime par :
𝟏
𝑪
=
𝟏
𝑪𝒊
𝒏
𝒊 𝟏
b)- Association en parallèle
La charge transpotée par la source de tension se répartit entre les deux condensateurs :
𝑄 = 𝑄 + 𝑄
Les condensateurs en parallèle ont la même tension 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩.
A
−𝑄
M
𝑄
° °
𝐶
−𝑄
B
𝑄
°
𝐶
≡
𝐶
A
−𝑄
B
𝑄
° °
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡
≡
𝐶
A
−𝑄
B
𝑄
° °
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡
A
−𝑄
𝑄
° °
𝐶
−𝑄
B
𝑄
𝐶

12. 𝑉 − 𝑉 =
𝑄
𝐶
=
𝑄
𝐶
=
𝑄
𝐶
⟹ 𝐶(𝑉 − 𝑉 ) = 𝐶 (𝑉 − 𝑉 ) + 𝐶 (𝑉 − 𝑉 )
⟹ 𝐶 = 𝐶 + 𝐶
La généralisation à n condensateurs :
𝑪 = 𝑪𝒊
𝒏
𝒊 𝟏
3.10.4- Energie électrostatique d’un condensateur : Energie emmagasinée dans un condensateur.
L’énergie potentielle 𝐸 (𝑊 ) emmagasinée dans un condensateur est égale à l’énergie que l’on
récupère lorsqu’on relie l’armature intérieure à l’armature extérieure par un fil conducteur, après
avoir débranché l’armature intérieure de la source de tension.
L’énergie des deux conducteurs dans le cas de la figure a est : 𝐸 = 𝑄𝑉 − 𝑄𝑉 + 𝑄 𝑉
Dans le cas de la figure b, l’ensemble forme un seul conducteur d’énergie : 𝐸 = 𝑄 𝑉
L’énergie emmagasinée par un condensateur 𝐸 = 𝑊 = 𝐸 − 𝐸
𝑾𝑪 =
𝟏
𝟐
𝑸(𝑽𝟏 − 𝑽𝟐)
𝑉
𝑆
𝑄
𝑉
𝑄
𝑆
−𝑄
Figure a
𝑆
𝑄
𝑉
𝑄
𝑆
−𝑄
Figure b