1. ENIGME SCIENTIFIQUE CDI / SEMAINE DU 05 MARS
SOMME OU DIFFERENCE ?
Fabrice et Clément parlent souvent de leurs cours :
- Aujourd'hui Clément, j'ai montré aux élèves comment Gauss,
enfant très précoce, a calculé la somme 1 + 2 + ... + 100 .
- Je parie qu'ensuite tu leur as montré la formule
n(n + 1)
1 + 2 + ... + n = .
2
- Bien sûr ! Par contre, un élève m'a demandé si l'on pouvait
remplacer les signes + par des signes - ! Du coup, je leur ai
proposé cette petite énigme : remplacer toutes les étoiles par un
+ ou par un – pour que l'égalité ∗1∗ 2 ∗ ... ∗100 = 2012 soit vraie.
- Très bien…! Et tu pourras même leur demander ensuite quel
est le plus petit entier naturel que l'on ne peut pas obtenir avec
un calcul du type ∗1∗ 2 ∗ ... ∗100 , où toutes les étoiles désignent C.F.GAUSS (1777 / 1855)
des + ou des -.
1) Et vous, saurez-vous remplacer judicieusement les étoiles par des signes
+ ou – pour obtenir l'égalité ∗1∗ 2∗...∗100 = 2012 ?
2) Quel est le plus petit entier naturel E que l'on ne peut pas obtenir avec
un calcul du type ∗1∗ 2 ∗...∗100 ?

2. CORRECTION : SOMME OU DIFFERENCE ?
Question1)
100(100 + 1)
1 + 2 + ... + 100 = = 5050
2
Pour obtenir 2012, on doit donc soustraire 5050 − 2012 = 3038 .
Tous les entiers sont pour l'instant ajoutés. Si l'on change un signe + en signe -, le nombre qui le
suit est soustrait 2 fois. Par exemple, 1 + 2 + ... + 99 − 100 = 5050 − 100 × 2 = 4850 .
3038
On va donc chercher à soustraire 3038 , donc à changer les signes sur une somme de = 1519 .
2
55(55 + 1)
Alors 1 + 2 + ... + 55 = = 1540 .
2
Donc −1 − 2 − ... − 55 + 56 + ... + 100 = 5050 − 2 ×1540 = 1970 .Reste à ajouter 42 .
Alors −1 − 2 − ... − 20 + 21 − 22 − ... − 55 + 56 + ... + 100 = 2012 .
Question2)
La somme est paire. Mais en changeant un + en – ou un – en +, cela revient à soustraire ou à
ajouter un nombre pair (du type 2 × entier ).
Donc un changement de signe ne change jamais la parité du résultat…
Il est donc impossible d'obtenir un nombre impair ! Il est donc impossible d'obtenir 1.
De plus, (−1 + 2) − 3 + 4 − 5 + 6 − ... − 99 + 100 = 50 donc en changeant les signes devant le 1 et le
26, on obtient une somme de 0 : +1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − ... − 25 − 26 − 27... − 99 + 100 = 0 .
Conclusion : Le plus petit entier naturel E que l'on ne peut pas obtenir avec un calcul du type
∗1∗ 2∗...∗100 est 1.