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Université de Grenoble Année 2014-2015
Master M1 Biologie
BIO4221 Bioinformatique
Méthodes d’Euler et de Runge-Kutta
Principe général : Il s’agit de méthodes de résolution numérique d’équations diffé-
rentielles du premier ordre avec condition initiale. Pour un système de deux équations
différentielles
x0
(t) = F(x(t), y(t)), y0
(t) = G(x(t), y(t)),
et des conditions initiales
x(0) = x0, y(0) = y0,
on choisit l’intervalle de longueur T sur lequel on veut approcher (x(t), y(t)) et un nombre
de pas n > 1, on subdivise l’intervalle [0, T] en n > 1 sous-intervalles de longueur
h = T/n, et on approche la solution (x(t), y(t)) de l’équation différentielle sur l’intervalle
[0, T] = [0, nh] par des vecteurs
(Xk)06k6n, (Yk)06k6n,
avec l’idée que, pour tout k,
Xk ≈ x(kh), Yk ≈ y(kh),
ou bien de façon équivalente, que pour tout temps t dans [0, nh],
x(t) ≈ Xbt/hc, y(t) ≈ Xbt/hc.
Méthode d’Euler : Appelée aussi « méthode de la tangente », c’est la plus simple
des méthodes de résolution numérique des équations différentielles, on considère que, h
étant petit,
x(t + h) ≈ x(t) + hx0
(t) = x(t) + hF(x(t), y(t)),
et de même pour y(t + h). On considère donc le schéma
X0 = x0, Y0 = y0, Xk+1 = Xk + hF(Xk, Yk), Yk+1 = Yk + hG(Xk, Yk).
Méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 (RK4) : la méthode d’Euler n’utilise que la
dérivée au début de chaque intervalle [kh, (k+1)h] pour déduire les valeurs Xk+1 et Yk+1
à la fin de l’intervalle à partir des valeurs Xk et Yk au début de l’intervalle. À présent
on va calculer des valeurs de la dérivée en 4 points de l’intervalle, afin d’atteindre une
plus grande précision.
Dans le détail, on modifie seulement l’étape itérative de la méthode d’Euler, qui devient
Xk+1 = Xk + 1
6h(K1 + 2K2 + 2K3 + K4), Yk+1 = Yk + 1
6h(L1 + 2L2 + 2L3 + L4),
avec
K1 = F(Xk, Yk), L1 = G(Xk, Yk),
puis
K2 = F(Xk + 1
2hK1, Yk + 1
2hL1), L2 = G(Xk + 1
2hK1, Yk + 1
2hL1),
K3 = F(Xk + 1
2hK2, Yk + 1
2hL2), L3 = G(Xk + 1
2hK2, Yk + 1
2hL2),
et enfin,
K4 = F(Xk + hK3, Yk + hL3), L4 = G(Xk + hK3, Yk + hL3).
Erreurs : La méthode d’Euler est une méthode d’ordre 1 au sens où l’erreur commise à
chaque étape (Xk, Yk) → (Xk+1, Yk+1) est de l’ordre de h2, donc l’erreur totale accumulée
est de l’ordre de h.
La méthode RK4 est une méthode d’ordre 4 au sens où l’erreur commise à chaque étape
(Xk, Yk) → (Xk+1, Yk+1) est de l’ordre de h5, donc l’erreur totale accumulée est de l’ordre
de h4.
Exemple : On cherche à tester les deux méthodes sur l’équation différentielle
x0
= x, x(0) = 1,
dont on connaı̂t la solution
x(t) = et
.
Montrer que la méthode d’Euler de pas h revient à approcher x(t) par
xh
E(t) = (1 + h)t/h
,
et que la méthode RK4 de pas h revient à approcher x(t) par
xh
RK4(t) = (1 + h + 1
2h2
+ 1
6h3
+ 1
24h4
)t/h
.
Le développement de l’exponentielle en série entière affirme que, quand h → 0,
eh
= 1 + h + Θ(h2
), eh
= 1 + h + 1
2h2
+ 1
6h3
+ 1
24h4
+ Θ(h5
).
En utilisant ce résultat n = t/h fois, on peut en déduire que
xh
E(t) = x(t) + Θ(h), xh
RK4(t) = x(t) + Θ(h4
).

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  • 1. Université de Grenoble Année 2014-2015 Master M1 Biologie BIO4221 Bioinformatique Méthodes d’Euler et de Runge-Kutta Principe général : Il s’agit de méthodes de résolution numérique d’équations diffé- rentielles du premier ordre avec condition initiale. Pour un système de deux équations différentielles x0 (t) = F(x(t), y(t)), y0 (t) = G(x(t), y(t)), et des conditions initiales x(0) = x0, y(0) = y0, on choisit l’intervalle de longueur T sur lequel on veut approcher (x(t), y(t)) et un nombre de pas n > 1, on subdivise l’intervalle [0, T] en n > 1 sous-intervalles de longueur h = T/n, et on approche la solution (x(t), y(t)) de l’équation différentielle sur l’intervalle [0, T] = [0, nh] par des vecteurs (Xk)06k6n, (Yk)06k6n, avec l’idée que, pour tout k, Xk ≈ x(kh), Yk ≈ y(kh), ou bien de façon équivalente, que pour tout temps t dans [0, nh], x(t) ≈ Xbt/hc, y(t) ≈ Xbt/hc. Méthode d’Euler : Appelée aussi « méthode de la tangente », c’est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles, on considère que, h étant petit, x(t + h) ≈ x(t) + hx0 (t) = x(t) + hF(x(t), y(t)), et de même pour y(t + h). On considère donc le schéma X0 = x0, Y0 = y0, Xk+1 = Xk + hF(Xk, Yk), Yk+1 = Yk + hG(Xk, Yk). Méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 (RK4) : la méthode d’Euler n’utilise que la dérivée au début de chaque intervalle [kh, (k+1)h] pour déduire les valeurs Xk+1 et Yk+1 à la fin de l’intervalle à partir des valeurs Xk et Yk au début de l’intervalle. À présent on va calculer des valeurs de la dérivée en 4 points de l’intervalle, afin d’atteindre une plus grande précision.
  • 2. Dans le détail, on modifie seulement l’étape itérative de la méthode d’Euler, qui devient Xk+1 = Xk + 1 6h(K1 + 2K2 + 2K3 + K4), Yk+1 = Yk + 1 6h(L1 + 2L2 + 2L3 + L4), avec K1 = F(Xk, Yk), L1 = G(Xk, Yk), puis K2 = F(Xk + 1 2hK1, Yk + 1 2hL1), L2 = G(Xk + 1 2hK1, Yk + 1 2hL1), K3 = F(Xk + 1 2hK2, Yk + 1 2hL2), L3 = G(Xk + 1 2hK2, Yk + 1 2hL2), et enfin, K4 = F(Xk + hK3, Yk + hL3), L4 = G(Xk + hK3, Yk + hL3). Erreurs : La méthode d’Euler est une méthode d’ordre 1 au sens où l’erreur commise à chaque étape (Xk, Yk) → (Xk+1, Yk+1) est de l’ordre de h2, donc l’erreur totale accumulée est de l’ordre de h. La méthode RK4 est une méthode d’ordre 4 au sens où l’erreur commise à chaque étape (Xk, Yk) → (Xk+1, Yk+1) est de l’ordre de h5, donc l’erreur totale accumulée est de l’ordre de h4. Exemple : On cherche à tester les deux méthodes sur l’équation différentielle x0 = x, x(0) = 1, dont on connaı̂t la solution x(t) = et . Montrer que la méthode d’Euler de pas h revient à approcher x(t) par xh E(t) = (1 + h)t/h , et que la méthode RK4 de pas h revient à approcher x(t) par xh RK4(t) = (1 + h + 1 2h2 + 1 6h3 + 1 24h4 )t/h . Le développement de l’exponentielle en série entière affirme que, quand h → 0, eh = 1 + h + Θ(h2 ), eh = 1 + h + 1 2h2 + 1 6h3 + 1 24h4 + Θ(h5 ). En utilisant ce résultat n = t/h fois, on peut en déduire que xh E(t) = x(t) + Θ(h), xh RK4(t) = x(t) + Θ(h4 ).