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Universit´e Claude Bernard Lyon 1 UE Analyse I - Printemps 2012
Licence Math-Info 1`ere ann´ee http ://math.univ-lyon1.fr/∼frabetti/AnalyseI/
Resum´e sur les structures alg´ebriques des ensembles avec op´erations
Groupes
Groupe = ensemble G muni d’une op´eration ◦ : G × G −→ G, not´ee (x, y) → x ◦ y, telle que :
• ◦ est associative : (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) pour tout x, y ∈ G ;
• il existe un (unique) ´el´ement neutre e ∈ G tel que x ◦ e = e ◦ x = x pour tout x ∈ G ;
• tout ´el´ement x ∈ G a un (unique) inverse x−1
∈ G tel que x ◦ x−1
= x−1
◦ x = e.
Un groupe (G, ◦) s’appelle ab´elien si l’op´eration ◦ est commutative : x ◦ y = y ◦ x pour tout x, y ∈ G.
Exemples
1. Nombres :
• (N, +) et (N, ·) ne sont pas des groupes car l’oppos´e et l’inverse d’un nombre naturel ne sont pas des nombres naturels ;
• (Z, +), (Q, +), (R, +) et (C, +) sont des groupes ab´eliens avec ´el´ement neutre = z´ero 0 ;
• si on note Z∗
= Z  {0} (et mˆeme chose pour Q, R et C), l’ensemble (Z∗
, ·) n’est pas un groupe, alors que (Q∗
, ·),
(R∗
, ·) et (C∗
, ·) sont des groupes ab´eliens avec ´el´ement neutre = unit´e 1.
• (Q, ·), (R, ·) et (C, ·) ne sont pas des groupes car 0 n’est pas inversible.
2. Polynˆomes : pour K = Z, Q, R et C,
• les ensembles (K[x], +) sont des groupes ab´eliens avec ´el´ement neutre = polynˆome nul 0 ;
• si on note K[x]∗
= K[x]  {0}, aucun des ensembles (K[x]∗
, ·) n’est un groupe.
3. Matrices : pour K = Z, Q, R et C,
• les ensembles (Matmn(K), +) sont des groupes ab´eliens avec ´el´ement neutre = matrice nulle 0 ;
• si on note Matmn(K)∗
= Matmn(K)  {0}, aucun des ensembles (Matmn(K)∗
, ·) n’est un groupe.
4. Fonctions :
• L’ensemble des fonctions d’une variable r´eelle F(R) = { f :R→R, x → f(x) | fonction avec domaine Df ⊂ R } est
un groupe avec l’addition (f + g)(x) := f(x) + g(x) et l’´el´ement neutre = fonction nulle 0(x) = 0.
• L’ensemble des fonctions F(R)∗
= F(R){0} est un groupe avec la multiplication (f ·g)(x) := f(x)·g(x) et l’´el´ement
neutre = fonction constante 1(x) = 1.
N.B. La fonction inverse f−1
est d´efinie par f−1
(x) = 1
f(x) sur le domaine Df−1 = {x ∈ Df | f(x) = 0 }.
Anneaux
Anneau = ensemble A muni de deux op´erations +, ◦ : A × A −→ A telles que :
• (A, +) est un groupe ab´elien, avec ´el´ement neutre not´e 0 ∈ A et appell´e z´ero de l’anneau ;
• ◦ est associative : (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), pour tout x, y ∈ A ;
• l’op´eration ◦ est distributive par rapport `a l’op´eration + :
(x + y) ◦ z = x ◦ z + y ◦ z
x ◦ (y + z) = x ◦ y + x ◦ z
, pour tout x, y, z ∈ A.
Un anneau (A, +, ◦) s’appelle commutatif si l’op´eration ◦ est commutative.
Un anneau (A, +, ◦) s’appelle unitaire si l’op´eration ◦ a un ´el´ement neutre not´e 1 ∈ A et appell´e unit´e de l’anneau.
Exemples Pour K = Z, Q, R et C :
1. Nombres : les ensembles (K, +, ·) sont des anneaux commutatifs et unitaires.
2. Polynˆomes : les ensembles (K[x], +, ·) sont des anneaux commutatifs et unitaires.
3. Matrices : les ensembles (Matmn(K), +, ·) sont des anneaux unitaires non commutatifs.
4. Fonctions : (F(R), +, ·) est un anneau commutatif unitaire avec unit´e = fonction constante 1(x) = 1.
Corps
Corps = anneau unitaire (K, +, ◦) tel que si on note K∗
= K  {0}, alors (K∗
, ◦) est un groupe.
Un corps (K, +, ◦) s’appelle commutatif si l’op´eration ◦ est commutative.
Exemples
1. Nombres :
• l’anneau (Z, +, ·) n’est pas un corps ;
• pour K = Q, R et C, les anneaux (K, +, ·) sont des corps commutatifs.
2. Polynˆomes : pour K = Q, R et C, aucun des anneaux (K[x], +, ·) n’est un corps.
3. Matrices : pour K = Q, R et C, aucun des anneaux (Matmn(K), +, ·) n’est un corps.
4. Fonctions : l’anneau (F(R), +, ·) est un corps.
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  • 1. Universit´e Claude Bernard Lyon 1 UE Analyse I - Printemps 2012 Licence Math-Info 1`ere ann´ee http ://math.univ-lyon1.fr/∼frabetti/AnalyseI/ Resum´e sur les structures alg´ebriques des ensembles avec op´erations Groupes Groupe = ensemble G muni d’une op´eration ◦ : G × G −→ G, not´ee (x, y) → x ◦ y, telle que : • ◦ est associative : (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) pour tout x, y ∈ G ; • il existe un (unique) ´el´ement neutre e ∈ G tel que x ◦ e = e ◦ x = x pour tout x ∈ G ; • tout ´el´ement x ∈ G a un (unique) inverse x−1 ∈ G tel que x ◦ x−1 = x−1 ◦ x = e. Un groupe (G, ◦) s’appelle ab´elien si l’op´eration ◦ est commutative : x ◦ y = y ◦ x pour tout x, y ∈ G. Exemples 1. Nombres : • (N, +) et (N, ·) ne sont pas des groupes car l’oppos´e et l’inverse d’un nombre naturel ne sont pas des nombres naturels ; • (Z, +), (Q, +), (R, +) et (C, +) sont des groupes ab´eliens avec ´el´ement neutre = z´ero 0 ; • si on note Z∗ = Z {0} (et mˆeme chose pour Q, R et C), l’ensemble (Z∗ , ·) n’est pas un groupe, alors que (Q∗ , ·), (R∗ , ·) et (C∗ , ·) sont des groupes ab´eliens avec ´el´ement neutre = unit´e 1. • (Q, ·), (R, ·) et (C, ·) ne sont pas des groupes car 0 n’est pas inversible. 2. Polynˆomes : pour K = Z, Q, R et C, • les ensembles (K[x], +) sont des groupes ab´eliens avec ´el´ement neutre = polynˆome nul 0 ; • si on note K[x]∗ = K[x] {0}, aucun des ensembles (K[x]∗ , ·) n’est un groupe. 3. Matrices : pour K = Z, Q, R et C, • les ensembles (Matmn(K), +) sont des groupes ab´eliens avec ´el´ement neutre = matrice nulle 0 ; • si on note Matmn(K)∗ = Matmn(K) {0}, aucun des ensembles (Matmn(K)∗ , ·) n’est un groupe. 4. Fonctions : • L’ensemble des fonctions d’une variable r´eelle F(R) = { f :R→R, x → f(x) | fonction avec domaine Df ⊂ R } est un groupe avec l’addition (f + g)(x) := f(x) + g(x) et l’´el´ement neutre = fonction nulle 0(x) = 0. • L’ensemble des fonctions F(R)∗ = F(R){0} est un groupe avec la multiplication (f ·g)(x) := f(x)·g(x) et l’´el´ement neutre = fonction constante 1(x) = 1. N.B. La fonction inverse f−1 est d´efinie par f−1 (x) = 1 f(x) sur le domaine Df−1 = {x ∈ Df | f(x) = 0 }. Anneaux Anneau = ensemble A muni de deux op´erations +, ◦ : A × A −→ A telles que : • (A, +) est un groupe ab´elien, avec ´el´ement neutre not´e 0 ∈ A et appell´e z´ero de l’anneau ; • ◦ est associative : (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), pour tout x, y ∈ A ; • l’op´eration ◦ est distributive par rapport `a l’op´eration + : (x + y) ◦ z = x ◦ z + y ◦ z x ◦ (y + z) = x ◦ y + x ◦ z , pour tout x, y, z ∈ A. Un anneau (A, +, ◦) s’appelle commutatif si l’op´eration ◦ est commutative. Un anneau (A, +, ◦) s’appelle unitaire si l’op´eration ◦ a un ´el´ement neutre not´e 1 ∈ A et appell´e unit´e de l’anneau. Exemples Pour K = Z, Q, R et C : 1. Nombres : les ensembles (K, +, ·) sont des anneaux commutatifs et unitaires. 2. Polynˆomes : les ensembles (K[x], +, ·) sont des anneaux commutatifs et unitaires. 3. Matrices : les ensembles (Matmn(K), +, ·) sont des anneaux unitaires non commutatifs. 4. Fonctions : (F(R), +, ·) est un anneau commutatif unitaire avec unit´e = fonction constante 1(x) = 1. Corps Corps = anneau unitaire (K, +, ◦) tel que si on note K∗ = K {0}, alors (K∗ , ◦) est un groupe. Un corps (K, +, ◦) s’appelle commutatif si l’op´eration ◦ est commutative. Exemples 1. Nombres : • l’anneau (Z, +, ·) n’est pas un corps ; • pour K = Q, R et C, les anneaux (K, +, ·) sont des corps commutatifs. 2. Polynˆomes : pour K = Q, R et C, aucun des anneaux (K[x], +, ·) n’est un corps. 3. Matrices : pour K = Q, R et C, aucun des anneaux (Matmn(K), +, ·) n’est un corps. 4. Fonctions : l’anneau (F(R), +, ·) est un corps. 1