1. Généralités sur les ensembles 2. Fonctions réelles d’une variable 3. Calcul intégral 4. Calcul matriciel 5. Fonctions réelles à deux variables Mathématiques

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1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
Mathématiques
Mohamed El Omari
Enseignant Chercheur,
Spécialité : Statistique et Probabilités
Ancien Inspecteur Pédagogique
Faculté Polydisciplinaire de Sidi Bennour.
7 novembre 2023
Faculté Polydisciplinaire de Sidi Bennour.

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1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
Outline
1 1. Généralités sur les ensembles
1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
2 2. Fonctions réelles d’une variable
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
3 3. Calcul intégral
3.1. Primitives et intégrales
3.2. Propriétés de l’intégrale
3.3. Techniques de calcul des intégrales
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3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
1. Généralités sur les ensembles
1.1. Ensembles
Définition 1.
On appelle ensemble une collection des objets. Ces objets sont
appelés les éléments de l’ensemble.
Terminologie de la théorie des ensembles
- Si x est un élément d’un ensemble A, on écrit x ∈ A. Si non,
on écrit x /
∈ A.
- Le symbole ∅ désigne l’ensemble vide qui ne contient aucun
élément.
- Un ensemble peut être défini en extension, c’est-à-dire en
donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en
compréhension c’est-à-dire par une propriété caractérisant
ses éléments. T.A.F : Donner des exemples.
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3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
- Lorsque a et b désignent un même élément d’un ensemble E,
on dit que a et b coïncident et on écrit : a = b (a égale b).
Dans le cas contraire on écrit : a 6= b (a différent de b).
- Si deux ensembles A et B sont formés des mêmes éléments,
c’est-à-dire, si tout élément de chacun d’eux appartient à
l’autre, ces deux ensembles sont dits identiques. On écrit
A = B.
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1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
Exemples
1) N = l’ensemble de tous les nombres entiers naturels.
2) Z = l’ensemble de tous les nombres entiers relatifs.
3) D = l’ensemble des nombres Décimaux.
4) Q = l’ensemble des nombres rationnels.
Propriétés de l’ensemble des rationnels (Q, +, ×, ≤)
- Stabilité pour l’addition “+ ”et la multiplication “× ”,
commutativité, associativité, distributivité, etc.
- L’ensemble des rationnels (Q, ≤) est totalement ordonné.
- Compatibilité de la relation d’ordre “≤ ”avec l’addition “+ ”et la
multiplication “× ”, c’est-à-dire que :
(i) Pour tous réels x, y, z, si x ≤ y, alors x + z ≤ y + z.
(ii) Pour tous réels x, y, z avec z > 0, si x ≤ y, alors x × z ≤ y × z.
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5. Fonctions réelles à deux variables
1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
Opérations sur les ensembles
- Inclusion : Tout ensemble A, composé d’éléments d’un
ensemble donné B, est dit inclus dans B et constitue un
sous-ensemble ou une partie de B. On écrit A ⊂ B.
- Intersection : L’intersection de deux ensembles A et B est
l’ensemble I des éléments communs à A et B. On écrit
I = A ∩ B
- Réunion : La réunion de deux ensembles A et B est
l’ensemble J formé par les éléments appartenant à l’un au
moins des ensembles A et B. On écrit J = A ∪ B
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1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
1. Généralités sur les ensembles
1.2. La droite réelle R
• Pour simplifier l’exposé on admet que l’ensemble R des
“réels”existe et contient deux parties essentielles : Q et R Q
l’ensemble des irrationnels.
• On attribue généralement la découverte des irrationnels à
Pythagore et son école, en observant que
√
2 est irrationnel.
T.A.F : Prouver que
√
2 /
∈ Q.
• Pour les pythagoriciens, un nombre a une nature
essentiellement géométrique (longueur d’un segment, aire
d’une figure plane, volume d’un corps).
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1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
• Contrairement à Q, l’ensemble R Q des irrationnels ne se
comporte pas bien vis-à-vis des opérations : il n’est pas stable
par l’addition et la multiplication.
• Par exemple, nous savons que
√
2 est irrationnel, alors que
√
2 −
√
2 = 0 et
√
2 ×
√
2 = 2 sont entiers.
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1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
1.2.1. Propriétés de la droite réelle (R, +, ×, ≤).
1) Comme dans Q, les propriétés (stabilité, associativité,
commutativité, distributivité, etc) des opérations + et × sont
encore valables dans R. On résume ces propriétés en disant
que : (R, +, ×) est un corps commutatif.
2) La relation ≤ est une relation d’ordre, qui prolonge celle de Q.
3) La relation ≤ est compatible avec les lois + et ×.
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1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
1.2.2. Valeur absolue
On définit la valeur absolue d’un réel x par |x| = max(x, −x). Cette
valeur absolue vérifie les propriétés suivantes : Pour tous x, y ∈ R
et r > 0 on a :
(1) 0 ≤ |x|, x ≤ |x|, −x ≤ |x| et |xy| = |x| |y|.
(2) |x + y| ≤ |x| + |y|.
(3) ||x| − |y|| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y|.
(4) |x| ≤ r ⇐⇒ −r ≤ x ≤ r.
(5) |x| ≥ r ⇐⇒ x ≥ r ou x ≤ −r.
T.A.F : Résoudre sur leur domaine de validité les équations suivantes :
a) |x + 2| =
3
4
b) |5 − 4x| = 3x − 2
c)
3
x − 1
−
2
x + 1
=
1
x
d)
√
x2 − x + 2 = 2x − 5
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1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
1.2.3. Intervalles de R
Définition 2.
Une partie I de R est dite intervalle si pour tous x, y dans I avec
x < y, on a [x, y] ⊂ R.
Soient a et b deux réels vérifiant a < b. Les parties suivantes de R sont
des intervalles :
• [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (intervalle fermé) et
]a, b[= {x ∈ R : a < x < b} (intervalle ouvert).
• ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} et [a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b}
(intervalles semi-ouverts).
• ] − ∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} et [a, +∞[= {x ∈ R : x ≥ a}.
• ] − ∞, b[= {x ∈ R : x < b}, ]a, +∞[= {x ∈ R : x > a} et
R =] − ∞, +∞[ (intervalles ouverts).
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1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
T.A.F :
1. Parmi les ensembles suivants lesquels sont intervalles :
I = {x ∈ R : −2 < 2x + 7 ≤ 3}, E = {x ∈ R : |x| > 1/2}
J = {x ∈ R : |x + 5| ≤ 7}, F = {x ∈ R : 2 ≤ |x − 1| ≤ 3}.
2. Tracer le graphe de la fonction f : x 7−→ 2 |x| + |x − 3|.
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1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
1.2.4. Majorant et minorant d’une partie de R
Définition 3.
Soient A une partie de non vide de R et a ∈ R. On dit que
1) a est un majorant de A (ou a majore A) lorsque
∀x ∈ A, x ≤ a.
2) a est un minorant de A (ou a minore A) lorsque
∀x ∈ A, a ≤ x.
3) a est un plus grand élément de A lorsque a est un
majorant de A et a ∈ A. On note a = max(A).
4) a est un plus petit élément de A lorsque a est un
minorant de A et a ∈ A. On note a = min(A)
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1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
1.2.5. Borne supérieure et borne inférieure d’une partie de R
Définition 4.
Soit A partie non vide de R.
1) On dit que A admet une borne supérieure notée sup(A)
lorsque l’ensemble MA des majorants de A est non vide et
admet un plus petit élément. On écrit sup(A) = min(MA).
2) On dit que A admet une borne inférieure notée inf(A) lorsque
l’ensemble mA des minorants de A est non vide et admet un
plus grand élément. On écrit inf(A) = max(mA).
Théorème 5 (Propriété de la borne sup).
Toute partie A non vide majorée de R admet une borne supérieure.
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1.1. Ensembles
1.2. La droite réelle R
1.2.6. La partie entière d’un réel
Définition 6.
Soit x un réel. Il existe un entier E(x), appelé la partie entière de x,
qui est caractérisé par les propriétés : E(x) ∈ Z et
E(x) ≤ x < E(x) + 1. Le réel [x] = x − E(x) est dit partie
fractionnaire de x.
T.A.F : Étudier et représenter graphiquement les deux fonctions suivantes :
x 7−→ E(x) et x 7−→ [x] = x − E(x), où E(x) désigne la partie entière du réel x.
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3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
2. Fonctions réelles d’une variable
Image, antécédent, graphe
Définition 7.
Soient E et F deux parties non vides de R. Une fonction f de E
vers F est un “procédé ”qui permet d’associer à chaque réel x ∈ E
au plus un réel y ∈ F. Cet élément y est alors noté y = f(x), on
l’appelle l’image de x et on dit que x est un antécédent de y par f.
Remarques.
- L’image d’un élément x par f, si elle existe, est unique.
- L’ensemble Gf = {(x, y) ∈ E × F : y = f(x)} ⊂ R2
est appelé
le graphe de f.
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3. Calcul intégral
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5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Travaux Dirigés
Exercice 1.
1. On considère la fonction f : R −→ R définie par
f(x) = x2
− 3x + 2
- Déterminer l’image de chacun des nombres suivants : −3/7 et
(
√
2 − 1)
- Déterminer les antécédents des nombres suivants : 3/2, 2 et
−1/4.
2. Préciser le domaine de définition de la fonction g définie par
g(x) =
2x
√
x − 3
,
puis tracer son graphe.
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2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
2. Fonctions réelles d’une variable
2.2. Limite, continuité
Définition et Proposition 8 (Limite finie).
Soient U ⊂ R un ouvert et f : U −→ R une fonction. On dit que f
admet l comme limite en a ∈ U si
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ U, x ∈ ]a − η, a + η[ {a} =⇒ |f(x) − l| < ε.
On note lim
x→a
f(x) = l. Cette limite (si elle existe) est unique.
Remarque.
Lorsqu’on remplace ]a − η, a + η[ {a} par l’intervalle ]a, a + η[ (resp.
]a − η, a[) dans la définition ci-dessus, on dit que l est une limite à droite
(resp. à gauche) de f en a. Dans ce cas on note lim
x→a+
f(x) = l (resp.
lim
x→a−
f(x) = l).
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5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Définition 9 (Fonction continue).
Soient U ⊂ R un ouvert et f : U −→ R une fonction.
On dit que f continue en a ∈ U si lim
x→a
f(x) = f(a).
On dit que f continue sur U si elle est continue en tout point
de U.
Remarque.
De même on parle de continuité à droite (resp. à gauche) lorsque
lim
x→a+
f(x) = f(a) (resp. lim
x→a−
f(x) = f(a)).
La fonction f est dite continue sur l’intervalle fermé [c, d] si elle
continue sur ]c, d[, continue à droite en c et continue à gauche en d.
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2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
En pratique, on admet que toutes les fonctions de référence
suivantes sont continues, c’est-à-dire continues en tout point de
leur ensemble de définition :
• les fonctions polynômes.
• les fonctions rationnelles (qui sont des quotients de deux
polynômes).
• les fonctions trigonométriques sin, cos, tan.
• la fonction exponentielle x 7−→ ex
, la fonction logarithme x 7−→ ln(x)
• la fonction valeur absolue x 7−→ |x|.
• la fonction puissance p : x 7−→ xr
, avec r ∈ Q+ et r /
∈ N (pour cette
dernière fonction, la continuité en 0 n’est qu’une continuité à droite,
car xr
n’est pas défini à droite de 0).
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2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Travaux Dirigés
Exercice 2.
1. Préciser le domaine de définition de f : R −→ R et étudier sa
continuité, dans les cas suivants :
a) f(x) =
p
1 − x2 b) f(x) = x3
− 2
√
x + 7
c) f(x) =
3x + 2
|x − 1| − 2
d) f(x) = ln(x3
− 2)
j)



f(x) =
x3
− 2
x − 3
√
2
, si x 6=
3
√
2,
f(
3
√
2) = 1
2. Déterminer le domaine de définition de la fonction h définie
par h(x) = ln(ln(x)), puis préciser l’antécédent de 1/2.
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2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
2. Fonctions réelles d’une variable
2.3. Dérivation et monotonie
Définition et Proposition 10 (Dérivabilité d’une fonction).
Soient f une fonction réelle définie sur un intervalle ouvert U et
a ∈ U.
1. On dit que f est dérivable en a si la limite lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
existe dans R. On note f ′
(a) cette limite.
2. On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) en a si la
limite lim
x→a+
f(x) − f(a)
x − a
(resp. lim
x→a−
f(x) − f(a)
x − a
) existe dans R.
On note f ′
d(a) (resp. f ′
g(a)) cette limite.
3. f est dérivable en a si elle dérivable à droite et à gauche en a
et f ′
d(a) = f ′
g(a).
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2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Exemples.
• La fonction f : x 7−→ |x| est-elle dérivable en a = 0 ?
• On considère la fonction g définie par



g(x) =
sin(x)
x
, si x 6= 0,
g(0) = 1
Étudier la continuité et la dérivabilité de g en a = 0.
Proposition 11.
Soient f une fonction réelle définie sur un ouvert U et a ∈ U. Si f
est dérivable en a, alors f est continue en a.
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2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Définition 12 (Fonction dérivée).
Si f : U −→ R est dérivable en tout point de l’intervalle ouvert U,
On dit alors f est dérivable sur U et on définit sa fonction dérivée
f ′
par f ′
: x 7−→ f ′
(x)
Opérations sur les fonctions dérivées.
Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle ouvert U.
• On peut vérifier que f + g et fg sont dérivables sur U et que
(f + g) ′
= f ′
+ g ′
et (fg) ′
= f ′
g + fg ′
.
• De même, si g ne s’annule pas sur U, on peut vérifier que 1/g
et f/g sont dérivables sur U et
1
g
′
=
−g ′
g2
et
f
g
′
=
f ′g − fg ′
g2
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* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Définition 13 (Monotonie d’une fonction).
Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle U ⊆ R.
1. On dit que f est croissante (resp. strictement croissante) sur U
si : ∀x, y ∈ U, x y =⇒ f(x) ≤ f(y) (resp.
∀x, y ∈ U, x y =⇒ f(x) f(y) )
2. On dit que f est décroissante (resp. strictement décroissante)
sur U si : ∀x, y ∈ U, x y =⇒ f(x) ≥ f(y) (resp.
∀x, y ∈ U, x y =⇒ f(x) f(y) )
3. On dit que f est constante sur U si : ∀x, y ∈ U, f(x) = f(y)
Remarque.
• f est monotone sur U si elle est croissante ou décroissante sur U.
• L’étude des variations d’une fonction réelle consiste à préciser la
monotonie de cette fonction sur des intervalles.
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2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Exemples. Etudier la monotonie des fonctions suivantes.
• f : x 7−→ E(x), où E(x) désigne la partie entière du réel x.
• g : x 7−→ 2 − 3x et h : x 7−→ |x + 2| + |1 − x|.
Proposition 14.
Soit f : U −→ R une fonction dérivable sur l’intervalle U. Alors :
1. f est constante sur U si et seulement si f ′
(x) = 0 pour tout
x ∈ U.
2. f est croissante (resp. décroissante) sur U si et seulement si
f ′
(x) ≥ 0 (resp. f ′
(x) ≤ 0) pour tout x ∈ U.
3. Si f (x) 0 (resp. f (x) 0) pour tout x ∈ U, alors f est
strictement croissante (resp. strictement décroissante).
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27. 27/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
2. Fonctions réelles d’une variable
2.4. Formules de Taylor et développements limités
Définition 15 (Fonction de classe Cn
).
Soit D ⊆ R un intervalle. Pour tout entier n ∈ N, on définit Cn
(D) comme
l’ensemble des fonctions f : D −→ R tel que f peut être dérivée n fois et sa
dérivée n − ième, notée f(n)
est continue.
T.A.F : Donner des exemples.
Définition et Proposition 16 (Formule de Taylor-Young).
Soient D, a ∈ D et f ∈ Cn
(D). Alors f admet un développement limité d’ordre
n, c’est-à-dire, pour tout x ∈ D on a :
f(x) = f(a)+(x−a)f ′
(a)+
(x − a)2
2!
f ′′
(a)+· · · +
(x − a)n
n!
f(n)
(a)+o ((x − a)n
) ,
où o ((x − a)n
) = (x − a)n
h(x) avec lim
x→a
h(x) = 0.
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28. 28/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Application : Calcul des limites
Exercice 3.
Trouver le développement limité d’ordre 3 en 0 de la fonction f
dans les cas suivants :
f(x) = ex
; f(x) = ln(1 + x) ; f(x) = sin(x) ; f(x) = (1 + x)α
,
avec α 0.
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29. 29/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
2. Fonctions réelles d’une variable
2.5. Fonctions convexes
Définition 17 (Fonction convexe).
Une fonction f :]a, b[−→ R est convexe si elle satisfait l’inégalité
suivante : Pour tous u, v ∈]a, b[ et t ∈ [0, 1], on a :
f(tu + (1 − t)v) ≤ tf(u) + (1 − t)f(v)
Remarques.
• Géométriquement, toute corde reliant deux points du graphe de f
est située au dessus du graphe de f.
• La fonction f est strictement convexe si l’inégalité précédente est
stricte (pour 0 t 1), concave si −f est convexe et strictement
concave si −f est strictement convexe.
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30. 30/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Théorème 18.
Soit f :]a, b[−→ R une fonction convexe. Alors f est continue sur
]a, b[.
Théorème 19.
Soit f :]a, b[−→ R une fonction dérivable. Elle est convexe sur
]a, b[ si et seulement si sa dérivée est croissante (ou si f ′′
≥ 0 sur
]a, b[ quand f est deux fois dérivable).
Remarques.
Si f est une fonction dérivable convexe sur ]a, b[, alors son graphe est
situé au dessus de n’importe laquelle de ses tangentes, c’est-à-dire :
f(x) ≥ f ′
(x0)(x − x0) + f(x0), pour tous x, x0 ∈]a, b[
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31. 31/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
T.A.F.G : Étudier les fonctions suivantes :
• La fonction puissance : x 7−→ xα
, où α 0.
• La fonction exponentielle x 7−→ ex
et sa réciproque
x 7−→ ln(x).
• f : x 7−→
ax + b
cx2 + d
.
• g : x 7−→ ax3
+ bx + c.
• h : x 7−→
p
ax2 + bx + c.
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32. 32/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
L’optimisation est au cœur de la modélisation d’un grand nombre
de problèmes auxquels font face les gestionnaires : allocation
optimale des ressources, maximisation du bénéfice, minimisation
des coûts, maximisation de la satisfaction des clients, etc.
Mathématiquement, l’optimisation se traduit par la recherche
des points du domaine en lesquels la fonction étudiée prend une
valeur maximale ou minimale.
(
f(x0) ≤ f(x), ∀x ∈ D,
x0 ∈ D, x0 =??
ou
(
f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ D,
x0 ∈ D, x0 =??
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33. 33/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Définition 20.
Soit f une fonction réelle et D son domaine de définition, et a ∈ D.
• f admet un maximum global (resp. strict) en a si
f(x) ≤ f(a), ∀x ∈ D (resp. f(x) f(a), ∀x ∈ D {a}).
• f admet un minimum global (resp. strict) en a si
f(a) ≤ f(x), ∀x ∈ D (resp. f(a) f(x), ∀x ∈ D {a}).
• Un extremum de f est une valeur f(a) qui est soit minimum ou
maximum.
• Un extremum est dit local s’il existe un ouvert I (contenant a)
sur lequel f(a) est un extremum.
T.A.F. Déterminer les extremums des fonctions suivantes :
• f : x 7−→ |x − 1| + |x + 1|
• f : x 7−→
p
4 − x2
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34. 34/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Proposition 21 (Condition suffisante).
Si f : [a, b] −→ R est continue dans [a, b], alors f admet un maximum
global et un minimum global dans [a, b].
Définition et Proposition 22 (Condition nécessaire du 1er
ordre).
Soit I un ouvert contenant a.
• Si f est dérivable en a ∈ I et si f admet un extremum local en a,
alors f ′
(a) = 0.
• Un point a en lequel f est dérivable et f ′
(a) = 0 est appelé point
critique.
T.A.F. Préciser les points critiques de la fonction f : x 7−→ x3
+ 2x, puis
discuter l’existence des extremums de f.
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35. 35/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Proposition 23 (Condition suffisante du second ordre).
Soit I un ouvert contenant a. Si f est deux fois dérivable en a ∈ I et
si f ′
(a) = 0, f ′′
(a) 6= 0, alors f admet un maximum local (resp.
minimum local) en a si f ′′
(a) 0 (resp. f ′′
(a) 0).
Remarques.
• S’il existe η 0 tel que f est décroissante sur ]a − η, a] et
croissante sur [a, a + η[, alors f admet un minimum local en a.
• Toute fonction convexe (resp. concave) admet un minimum
(resp. maximum) global au point critique.
• Toute fonction f continue sur R telle que lim
|x|→+∞
f(x) = +∞
admet un minimum global.
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36. 36/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
2.1. Image, antécédent, graphe
2.2. Limite et continuité
2.3. Dérivation et monotonie
2.4. Formules de Taylor et développements limités
2.5. Fonctions convexes
* Travaux Dirigés (Étude de fonctions)
** Travaux Dirigés (Problèmes d’optimisation)
Exercice 4.
La firme X fabrique des boîtes métalliques (sans couvercle) à partir
de plaques carrées dont la surface mesure 4 dm². Les boîtes sont
obtenues en ôtant en chaque coin de la plaque des pièces carrées
identiques, puis en pliant les morceaux restants.
Quelles sont les dimensions des boîtes ainsi construites qui
présentent un volume maximal ?
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37. 37/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
3.1. Primitives et intégrales
3.2. Propriétés de l’intégrale
3.3. Techniques de calcul des intégrales
*** Travaux Dirigés (Calcul des intégrales)
3. Calcul intégral
3.1. Primitives et intégrales
Théorème et Définition 24.
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a, b ∈ I.
• On dit qu’une fonction dérivable F est une primitive de f sur I, si
elle vérifie F ′
(t) = f(t) pour tout t ∈ I.
• Toute fonction f continue sur I admet une primitive. Son intégrale
sur [a, b] ⊆ I est définie par
Z b
a
f(x)dx = F(b) − F(a).
T.A.F. Calculer les intégrales suivantes :
•
Z 1
0
(x3
+ 2x)dx,
Z 1
−1
x(1 − x)3
dx,
Z 0
− π
12
sin(3x + π)dx
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38. 38/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
3.1. Primitives et intégrales
3.2. Propriétés de l’intégrale
3.3. Techniques de calcul des intégrales
*** Travaux Dirigés (Calcul des intégrales)
Remarque.
• Le symbole
Z b
a
f(x)dx est une notation. On peut aussi écrire
Z b
a
f(t)dt,
Z b
a
f(ξ)dξ, etc.
• Le nombre
Z b
a
f(x)dx est indépendant de choix de la primitive
lors du calcul.
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39. 39/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
3.1. Primitives et intégrales
3.2. Propriétés de l’intégrale
3.3. Techniques de calcul des intégrales
*** Travaux Dirigés (Calcul des intégrales)
Interprétation d’une intégrale
• L’intégrale d’une fonction f est bien un nombre réel qui
mesure l’aire algébrique (c-à-d avec signe) entre la courbe de f
et l’axe des abscisses.
Intégrale d’une fonction continue par morceaux
• On dit que f est continue par morceaux sur I, si elle est
continue sauf en un nombre fini de points où elle a une limite
à droite et une limite à gauche.
• En utilisant la relation de Chasles on peut calculer l’intégrale
d’une fonction continue par morceaux.
T.A.F. Calculer l’intégrale suivante :
Z 2
−1
E(x)dx, où E(x)
désigne la partie entière du réel x.
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40. 40/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
3.1. Primitives et intégrales
3.2. Propriétés de l’intégrale
3.3. Techniques de calcul des intégrales
*** Travaux Dirigés (Calcul des intégrales)
3. Calcul intégral
3.2. Propriétés de l’intégrale
Proposition 25.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et
a, b, c ∈ I avec a ≤ b. Alors on a :
• Relation de Chasles :
Z b
a
f(x)dx =
Z c
a
f(x)dx +
Z b
c
f(x)dx.
•
Z a
a
f(x)dx = 0 et
Z b
a
f(x)dx = −
Z a
b
f(x)dx.
• Linéarité : Pour tous λ, µ ∈ R
Z b
a
(λf + µg)(x)dx = λ
Z b
a
f(x)dx + µ
Z b
a
g(x)dx.
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41. 41/46
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2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
3.1. Primitives et intégrales
3.2. Propriétés de l’intégrale
3.3. Techniques de calcul des intégrales
*** Travaux Dirigés (Calcul des intégrales)
Proposition 26.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et
[a, b] ⊆ I.
• Croissance : Si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], alors
Z b
a
f(x)dx ≤
Z b
a
g(x)dx.
• Majoration :
Z b
a
f(x)dx ≤
Z b
a
|f(x)| dx.
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42. 42/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
3.1. Primitives et intégrales
3.2. Propriétés de l’intégrale
3.3. Techniques de calcul des intégrales
*** Travaux Dirigés (Calcul des intégrales)
3. Calcul intégral
3.3. Techniques de calcul des intégrales
Théorème 27 (Intégration par parties).
Soient f une fonction dérivable et g une fonction qui admet une primitive
G, alors
Z b
a
f(x)g(x)dx = [f(x)G(x)]
b
a −
Z b
a
f ′
(x)G(x)dx.
Théorème 28 (Changement de variable).
Soient f : [a, b] −→ R une fonction continue et ϕ : [α, β] −→ R est de
classe C1
, avec ϕ([α, β]) ⊆ [a, b], alors
Z ϕ(β)
ϕ(α)
f(x)dx =
Z β
α
f(ϕ(t))ϕ ′
(t)dt.
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43. 43/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
3.1. Primitives et intégrales
3.2. Propriétés de l’intégrale
3.3. Techniques de calcul des intégrales
*** Travaux Dirigés (Calcul des intégrales)
*** Travaux Dirigés (Calcul des intégrales)
1. Calculer les intégrales suivantes : I =
Z 1
−1
x
p
2 − x2dx,
J =
Z e
2
dx
x(1 − x)
, K =
Z
dx
1 + e−x
, L =
Z e
1
ln(x)dx
M =
Z 2
−1
E(x)dx, où E(x) désigne la partie entière du réel x.
2. Calculer les limites suivantes :
(i) lim
n→+∞
Z 1
0
xn
sin(nx)dx (ii) lim
n→+∞
Z 1
0
r
x2 +
1
n2
dx
Hint : Utiliser le fait que : a ≤
p
a2 + b2 ≤ a + b, ∀a, b ≥ 0, et les
propriétés de majoration et de croissance de l’intégrale.
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44. 44/46
1. Généralités sur les ensembles
2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
3.1. Primitives et intégrales
3.2. Propriétés de l’intégrale
3.3. Techniques de calcul des intégrales
*** Travaux Dirigés (Calcul des intégrales)
3. Calculer les intégrales suivantes : E =
Z 0
−π
sin(t)e−2t
dt,
F =
Z π
−π
sin(x)
x4 + 2 |x| + 3
dx, G =
Z 1
−1
ex
(x3
− x + 1)dx,
H =
Z 1
0
dx
√
x + 1 +
√
x
, K =
Z π/2
0
sin2
(y) cos5
(y)dy.
4. On pose U =
Z π/4
0
sin2
(x)dx et V =
Z π/4
0
cos2
(x)dx
a) Calculer V + U et V − U.
b) En déduire les valeurs de U et V.
Hint : Utiliser le fait que : cos2
(x) − sin2
(x) = sin(2x), ∀x ∈ R.
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45. 45/46
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2. Fonctions réelles d’une variable
3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
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46. 46/46
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3. Calcul intégral
4. Calcul matriciel
5. Fonctions réelles à deux variables
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