1. LINIVERSITE IBN TOFAIL
Facult6 des Sciences
Ddpartement de Math6matique
Et d'Informatique
Filidre : SMI - Semestre 3
Ff
+
#"d,-.r;i;;i
Module : Architecture des ordinateurs et Langage
Assembleur
Compldment du Cours
Algdbre de Boole
Auteur: Hatim KHAfuRAZ AROUSSI
Annde (Iniversitaire : 201 2 / 201 3
2. Architecture des ordinateurs Annde (Jniversitaire 2012/2013
TABLE DES MATIERES
ALGEBRE BOOLEE
1. Introduction
2. Principes de loalgibre de boole ------- 2
3. L'algibre de boole appliqu6es aux circuits 6lectriques
3.1. Circuits d'intemrpteurs en s6ries : Fonction ET --------- ------- 4
3.2. Circuits d'intemrpteurs en paralldles : Fonction OU--------- --------------- 4
3.3. Utilisation.du relais thermique : Fonction NoN (N6gation ou Barre)----------------- 5
3.4. Commutativit6 ------- -----r------- --------- 5
3.5. Associativit6---------- ----------- 6
3.6. Distributivit6-----
3.7. El6ments neutres---- ---------- l
3.8. Compl6mentarit6 --------- l
3. Architecture des ordinateurs Annde (Jniversitqire 2012/201 3
Algibre booldenne
1. Introduction
Les outils de traitement automatique de I'information tels que les ordinateurs utilisent des
composants 6lectroniques (transistors) qui traitent des informations qui sont sous forme
binaire. Dans un transistor, le courant passe ou ne passe pas, Ces composants sont appelds
eircuits logiques. Les systdmes qui utilisent ces composants sont appel6s systimes logiques.
La nature binaire de ces informations n6cessite de disposer d'un outil math6matique
appropri6. C'est I'algibre de bool6enne ou appel6 algibre de boole.
2. Principes de I'algibre de boole
Soit I'ensemble E constitu6 de deux 6l6ments :
,/ L'un est appeld 6l6ment nul et est not6 : 0
,/ L'autre est appeld 6l6ment unit6 et est notd : I
On a donc : E: {0,1}.
Un 6l6ment quelconque de E est d6sign6 par un symbole, par exemple une lettre A, B, C ...
qui peut prendre la valeur 0 ou 1. Ces symboles sont appelds des variables logiques.
On d6frnit sur cet ensemble E les lois suivantes :
A Ndgation (Compldmentation)
C'est une loi unaire (elle ne concerne qu'une seule variable) not6e : barre telle que :
VAeE,A-1<+ A=0
B Somme logique @a)
C'est une loi de composition inteme (elle ne fait intervenir que des 6l6ments de Q qui se note
'*' et qui se lit Otl telle que :
v(A,B) e E2,(A+ B:1) <+ (A =I)OU(B = 1)
4. Architecture des ordinateurs Ann6e (Jniversitaire 2012/2013
C Produitlogique (ET)
C'est une loi de composition interne (elle ne fait intervenir que des 6l6ments de,fl qui se note
o.'
et qui se lit ET telle que :
V(A,B). E2,(A.B :I) e (A:I)ET(B :I)
D. Rdgles de I'algDbre de boole
I'ensemble E muni des lois (+, .) satisfait aux propri6t6s suivantes, quels que soient A et B
appartenant d E :
On dit alors que {E,+,.} est une algibreo appelde algibre binaire, boolrEenne ou de boole.
3. L'algibre de boole appliqu6es aux circuits 6lectriques
On convient que quand le courant passe, on dit qu'il est repr6sent6 par le chiffre 1, et quand il
ne passe pas c'est le chiffre 0.
En 6lectricit6, imaginons deux intemrpteurs a et b :
./ dans un premier cas ils sont en s6rie,
,/ dans un deuxidme cas en paralldle,
'/ puis'un autre cas ou il y a un relais thermique qui ouvre ou ferme un autre intemrpteur
selon l'6tat d'un intemrpteur a.
Dans les trois cas, une lampe t6moin Z sera plac6e en sdrie avec le circuit d'intemrpteurs pour
montrer que le courant dlectrique passe ou ne passe pas.
S:tmboles d'interrupteurs utilisds dans cette partie :
I
-----{ : intemrpteur ouvert, le courant ne passe pas (dtat 0)
Somme (+) : OU Produit (.) : ET
Commutativitd A+B:B+A A.B:B.A
El6ments neutres A+O:A A.l:A
Compl6mentarit6 A+A=7 A.A=0
Distributivit6 A+(B.Q:(A+B).@+q A.@+q4.8+U.A
Associativit6 A+(fi+91:U+B+C A.G.A:U.B,C
# : intemrpteur ferm6, le courant passe (6tat 1)
5. Architecture des ordinateurs Annde Universitaire 2012/2013
3.1. Circuits d'interrupteurs en s6ries : Fonction ET
Il faut que les deux intemrpteurs soient ferm6s tout les deux en mOme temps pour que le
courant passe et que la lampe s'allume, si I'un des deux intemrptews au moins (ou m6me les
deux d la fois) est ouvert, le courant ne passe pas, la lampe reste 6teinte.
Circuits en sdries
---l ---J Lampe dteinte
---l --J-
: Lampe dteinte
Lampe 6teinte
: Lampe allumee
Cela signifie que f intemrpteur a ET f intemrpteur b soient 6gaux i 1 pour que la lampe Z soit
6gale i 1. Le courant 6lectrique doit obligatoirement passer par les deux intemrpteurs pour
allumer cette lampe I. Ainsi, selon la notation de l'algdbre de boole : L:a.b
3.2. Circuits d'interrupteurs en paralliles : Fonction OU
Il faut que l'un des deux intemrpteurs a ou b au moins, soit fermd pour que le courant passe, et
que la lampe tdmoin I s'allume.
Circuits en paralldles
b
Lampe 6teinte Lampe allum6e
6. Architecture des ordinatetqs Annde (Jniversitaire 2012/2013
Lampe allumde Lampe allumde
Cela signifie que si I'un des deux intemrpteurs au moins (a OU b) est 6gal d 1, alors la lampe
Z sera 6gale d l. C'est-dL-dire que le courant doit passer pa.r au moins un des deux intemrpteurs
pour allumer la lampe L. Ainsi, on 6crit : L:a*b
3.3. Utilisation du relais thermique : Fonction NON (N6gation ou
Barre)
Si f intemrpteur a est d l'6tat ouvert (c'est-d-dire que le courant ne passe pas), grdce au relais
thermique, la connexion sera ferm6 (lampe allum6e). Ou vice versa, si le courant passe dans a,
le relais thermique ouvrira la connexion et la lampe s'etteind.
: Lampe allumde
Relais
thermique
: Lampe 6teinte
Math6matiquement on note L =7
3.4. Commutativit6
La loi de composition interne '*' est commutative, ainsi, les deux circuits paralldles suivants
des deux intemrpteurs sont 6quivalents :
____|'
a
# aLl
Relais
thermique
b
Circuit l
a
Circuit 2
7. Architecture des ordinateurs Annde Universitaire 2012/2013
La loi de composition interne '*' est commutative, ainsi, les deux circuits en s6ries suivants
des deux intemrpteurs sont dquivalents :
-
-
a
Circuit l
3.5. Associativit6
La loi de composition interne '*'
des intemrpteurs sont 6quivalents :
Circuit 2
est associative, ainsi, les deux circuits paralldles suivants
I
t
Circuit l
c
Circuit 2
La loi de composition interne '.
intemrpteurs sont dquivalents :.
' est associative, ainsi, les deux circuits en sdries suivants des
b
Circuit l Circuit 2
3.6. Distributivit6
La loi de composition interne '+' est distributive par rapport d la loi '.', ainsi, les deux circuits
paralldles suivants des intemrpteurs sont 6quivalents :
-- c
{17c
Circuit 2Circuit l
8. Architecture des ordinateurs Annde [Jniversitaire 20]2/2013
La loi de composition interne '.' est distributive par rapport d la loi '+', ainsi, les deux circuits
paralldles suivants des intemrpteurs sont 6quivalents :
Circuit 2
L'6l6ment 0 (l'intemrpteur ouvert) est l'6l6ment neutre pour la loi de composition interne '+'.
0
Circuit I Circuit 2
L'6l6ment 1 (l'intemrpteur ferm6) est 1'6ldment neutre pour la loi de composition interne ,.'.
ol o
Circuit 2Circuit I
3.8. Compl6mentarit6
Les lois de composition interne '* et .' sont compl6mentaire, et le compl6ment de chaque
bc
Circuit l
3.7. El6ments neutres
616ment a de F est a de E. En terme de circuit dlectrique ie compidment d'un intemrpteur
ouvert est un intemrpteur ouvert.
