1. Perspectives interculturelles sur
l’apprentissage des mathématiques
Susanne Prediger
Séminaire Didatech, Laboratoire Leibniz, Grenoble, 7 avril 2004

2. 2
Conflits culturels comme thème de recherche
I: Can you tell me what you think about the way your father did the
sums, is it the same or is it different from the way you learned in
school?
S: It is a different way, he does it in his head, mine is with the pen.
I: Which do you think is the proper way?
S: School.
I: Which do you think gives a correct result?
S: My father.
I: Why?
S: Because I just think so.” (De Abreu/Bishop/Pompeu 1992, p. 27)
0.1 Introduction

3. 3
Conflits culturels comme thème de recherche
„For focusing on research ideas, however, I believe it
is important to make a more radical assumption,
namely that all formal mathematics education is a
process of cultural interaction, and that every child
experiences some degree of cultural conflict in that
process.“
Alan J. Bishop (1994): Cultural conflicts in mathematics
education: developing a research agenda, p.16
0.2 Introduction

4. 4
Mon thème de recherche : L’interaction culturelle
0.2 Introduction
mon approche théorique est concentrée sur une vue horizontale
sur l‘apprentissage des mathématiques au lieu d‘une vue verticale
vue verticale :
• processus de développement
partant des conceptions courantes et des concepts intuitifs
pour arriver aux conceptions et compréhensions mathématiques
vue horizontale :
• coexistence de différentes cultures de pensée

5. 5
La métaphore de départ : Rencontre interculturelle
0.3 Introduction
Quel but:
Mathematical Enculturation (Alan Bishop)
ou compétence interculturelle?
La rencontre des mathématiques est comme...
.... un échange interculturel

6. 6
Sujets de recherche issus de différentes approches
0.4 Introduction
Approche de la philosophie des mathématiques
Approche descriptive
Approche normative
Approche constructive
Comment doivent être conçus les processus d’apprentissage des mathématiques
dans lesquels ceux-ci seraient sérieusement considérés comme apprentissage
interculturel ?
Comment peut on appliquer à l’apprentissage des mathématiques les
connaissances et les concepts de la psychologie et de la pédagogie de
l’interculturalité ?
Qu’est-ce que cela signifie de considérer le processus d’apprentissage dans une
perspective interculturelle, et quels aspects sont alors mis au premier plan ?
Quelles sont les positions philosophiques qui se cachent derrière
cette affirmation de la dimension culturelle des mathématiques ?
Dans quel sens est le développement d’une compétence interculturelle en
mathématiques un but important de la formation mathématique ?

7. 7
Langage technique des mathématiques
comme langue étrangère
• vue linguistique : un langage technique se base sur la
langue courante et n’est pas une langue différente
• vue des écoliers : le langage technique se présente
comme un langage autonome :
– pour pouvoir l’appliquer et le comprendre,
il faut l’acquérir explicitement
– grands déficits dans la perception aussi bien que
dans la production du langage
– cause importante pour beaucoup de problèmes de
communication
1.1 Aspects interculturels de l’apprentissage des mathématiques – considérations descriptives

8. 8
Un épisode illustratif : Katharina et la division
2 : ¼ = 8
Pourquoi le résultat peut-il être plus grand que
le nombre à diviser ? Malgré que j‘ai divisé !
...
Ok, je sais maintenant comment on doit calculer
ces choses. Mais tu ne me fera pas croire qu'on
pense logiquement en Maths !
(Heymann 1996, p. 206)
1.1 Aspects interculturels de l’apprentissage des mathématiques – considérations descriptives

9. 9
Effets d’interférence
• des termes linguistiques
(p.e. diviser, similarité, senkrecht)
• des méthodes de calcul
• des conceptions
• des façons de penser
1.2 Aspects interculturels de l’apprentissage des mathématiques – considérations descriptives

10. 10
Buts et types d’interprétation divergents
• derrière les significations différentes:
buts et types d‘interprétation divergents
 barrières de communication les plus importantes
entre des membres des cultures différentes
(d’après les recherches sur la
communication interculturelle)
1.3 Aspects interculturels de l’apprentissage des mathématiques – considérations descriptives

11. 11
Étrangeté comme catégorie subjective
1.4 Aspects interculturels de l’apprentissage des mathématiques – considérations descriptives
« Mais tu ne me fera pas croire qu'on pense logiquement en Maths ! »
• Katharina sent de l’étrangeté
• psychologie de l’interculturalité:
• l’étrangeté est un motif central
• pas comme caractéristique de la culture,
mais comme mode de relation des personnes
à une culture

12. 12
Résumé
1.5 Aspects interculturels de l’apprentissage des mathématiques – considérations descriptives
• Langage technique des mathématiques
comme langue étrangère
• Effets d‘interférence
• Buts et types d’interpretation divergents
• Étrangeté comme catégorie subjective

13. 13
Mathématiques comme produit culturel
2.1. Aspects philosophiques: La dimension culturelle des mathématiques
Reuben Hersh et autres:
• mathématiques comme phénomène historico-socio-
culturel
• on ne le peut comprendre que par la prise en compte
de l’environnement culturel existant
mais:
• pas seulement un produit (= théorie finie),
mais quelque chose de vivant

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Les cultures disciplinaire des sciences
2.2. Aspects philosophiques: La dimension culturelle des mathématiques
Roland Fischer et al. 2001 : projet „Science as Culture“:
„Une culture disciplinaire comprend toutes les
connaissances explicites et les aspects implicites qui
imprègnent une discipline et qui influent sur la
production de nouveaux savoirs et sur la
communication sur les connaissances existantes.“

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Éléments essentiels d'une culture disciplinaire
2.2. Aspects philosophiques: La dimension culturelle des mathématiques
1. Transmission des connaissances, y compris
- notions et théorèmes acceptées
- manières de raisonner et argumentation
- significations et références communes
2. Langage avec ses notions et ses significations
3. Façon de travailler avec ses techniques et ses outils
4. Normes, valeurs et convictions, y compris
- questions considérées comme importantes
- intentions, définition des buts
- jugements sur l’importance et la beauté
des résultats et des théories scientifiques
- normes pour les justifications, les définitions
et les formations de nouvelles notions
5. organisation sociale, rôles, et règles du jeu
6. Mécanismes de l'initiation et de l’exclusion

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Culture disciplinaire des mathématiques scolaires
2.3. Aspects philosophiques: La dimension culturelle des mathématiques
• la culture disciplinaire des mathématiques scolaires
se différencie de la culture scientifique
• néanmoins, elle a les même constituants importants
• exemples de la recherche interpretative montrent l’importance
– des routines et schémas d’interaction (Voigt 1984)
– des normes mathématiques (Voigt 1994)
– des questions et significations considérées comme
importantes (Neth/Voigt 1991)
– des formes d’argumentation acceptées (Krummheuer 1989)
• culture scolaire ou cultures scolaires ?

17. 17
Localisation

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Rencontre authentique
3.1 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives
• Condition nécessaire mais non suffisante
à la construction d’une compétence interculturelle :
rendre possible une rencontre authentique
avec les mathématiques
• mais cela ne suffit pas!
• psychologie de l’interculturalité:
il est nécessaire de guider explicitement
le développement de cet apprentissage interculturel
en utilisant les situations d’interférences existantes

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Un exemple illustratif
Tom : Que constate-t-on ?
Jörg : Les médiatrices se coupent toutes à
peu près au centre .
Tom (écrit écrit au tableau ) :
Supposition : Les médiatrices du triangle ABC se coupent en un
point.
Jörg : Mais ce n’est pas une supposition, c’est vrai. La seule
supposition est qu’elles se coupent au centre.
Tom : Les droites tracées sont d’un trait plutôt épais. Donc il n’est
pas possible de savoir si elles se coupent réellement.
Que peut-on faire pour voir que cela est toujours le cas ?
(Hefendehl-Hebeker 1995, p.87)
3.2 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

20. 20
Intérêts divergents de Tom et Jörg
• Tom : problème du manque de besoin de preuves chez
les écoliers
• Jörg: ne considère pas l’existence d’un point commun
comme le phénomène fondamental,
mais son emplacement au centre
„As in cross-cultural processes of understanding, challenges
arise for making sense of why people of a foreign culture do
what they do. […] The cross-cultural nature of what is taken
to be ‘problematic’ and what is considered ‘explanatory’
among teachers and students is often observed as
important source of educational problems.”
(Hawkins/Pea 1987, pp. 297f)
3.2 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

21. 21
Arrière-plan de cette divergence :
divergence de l’interprétation de la fonction d’une preuve :
• Jörg : fonction d’une preuve est d’arriver
à la conviction de la validité du résultat trouvé
→ on n’a pas besoin de preuve dans le cas
où déjà convaincu
(compréhension de preuve de tous les jours)
• Tom : preuves ont aussi la fonction d’arriver à
un ordre logique local à l’aide des hypothèses
→ demander pourquoi
(compréhension mathématique)
3.2 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

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Faire faces aux malentendus: approche de conflits
• Les malentendus ne sont pas des perturbations
dérangeantes pour l’apprentissage
• mais une composante normale et faisant partie
intégrante de chaque confrontation avec une culture
disciplinaire
→ l’approche de conflit :
« Le point de départ d’une situation d’apprentissage
interculturel est l’irritation. […] Si on arrive à laisser
le conflit lui même pour s’intéresser à ses
fondements, alors un apprentissage interculturel peut
commencer. » (Haumersen/Liebe 1990, p.25f)
3.3 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

23. 23
L’approche de conflit pour Tom et Jörg
Tom :
« Et bien, si tu crois que les médiatrices se coupent en
un point, alors appelons cela une observation plutôt
qu’une supposition.
Quand même, moi, je voudrais bien savoir aussi
pourquoi cela est vrai et pas seulement si c’est vrai. »
3.3 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives
Jörg :
« Moi personnellement, je ne veux pas savoir pourquoi
cela est toujours vrai. Il me suffit de voir que cela est
vrai. Par contre, les profs de math et les
mathématiciens s’intéressent aussi au pourquoi des
choses et leurs relations entre elles et c’est pourquoi
ils font des démonstrations. »

24. 24
Comment faire avec les interférences:
Lancer des ponts
• Holzbrecher (1997) :
l’apprentissage interculturel a toujours lieu entre deux
cultures
• Approche de changement conceptuel
(Conceptual Change) :
construction des conceptions scientifique stables en
partant des conceptions courantes et en utilisant des
étapes intermédiaires
3.4 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

25. 25
Du centre du triangle aux points d’intersection des transversales
• De quelles figures peut-on dire du premier coup qu'elles
ont un centre ?
3.4 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

26. 26
Du centre du triangle aux points d’intersection des transversales
3.4 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives
Différentes caractérisations mathématiques
possibles du « centre »:
• un point équidistant de tous ses points
• un point équidistant de tous les sommets
• centre de symétrie
• un point équidistant de tous les cotés
Quels sont les critères adéquats pour un triangle?

27. 27
Du centre du triangle aux points d’intersection des transversales
3.4 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

28. 28
Facit idéale d’un Jörg possedant une compétence interculturelle
« Je m’intéresse au phénomène « être au centre » dans le triangle
qui peut être défini en langage mathématique de plusieurs
manières différentes, par exemple
– Comme point d’intersection des médiatrices,
alors ce centre a la même distance à tous sommets
– Comme point de balance, sur laquelle on pourrait
équilibrer le triangle coupé.
On l’obtient comme point d’intersection des medianes.
Peut-être, cela donne mon idée du centre le plus proche.
– Comme le point qui a la même distance de tous les cotés,
on l’obtient par les bissectrices.
– etc.
Aucun de ces critères ne coïncide précisément avec ce que je
voulais dire au début, car le centre est finalement une catégorie
esthétique qui ne peut être fixée uniformément pour tous les
triangles par des règles simples. »
3.4 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

29. 29
Du centre du triangle aux points d’intersection des transversales
• lancer un tel pont permettrait
– de thématiser les différences entre les approches
mathématiques et celles de tout les jours
– expliciter le coût et l’utilisation de concepts
mathématiques précis, par opposition aux
concepts intuitifs (ici : centre)
∀ ← réflexion sur les mathématiques
3.4 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

30. 30
L’importance de la réflexion
• princip général:
– reprendre les irritations interculturelle dans les
situations
– les exploiter comme chances pour réfléchir les
particularités typiques de la culturel disciplinaire
de mathématiques
• changements de contenus : plus de discussion
3.5 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

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Conséquences
• pour les cours:
L’explication situative des choses implicites donne
d’intéressantes possibilités de formation.
• pour la formation des enseignants:
Comment former les enseignants comme médiateurs
interculturels?
• pour la recherche didactique:
On doit beaucoup mieux analyser la culture
disciplinaire des mathématiques scolaires !
4. Remarques finales