My maternal grandfather, Pastor Khang Kiat Tien, published this book in 1984 which "was the direct response to the challenge of an educated evolutionist who thought the book of Genesis was 'a very fine Fairy tale for children but hardly worth an adult's time!' The author sincerely hopes that as you see the beauty of the Chinese Characters, the truth found hidden there will inspire you and bring you closer to the Creator, our Lord, and our God." I quote this quote from my cousin Ida Kh'ng Wu's introducation to the book. May you also be convinced that the book of Genesis in the Bible is not a fairy tale at all but the revealed and inspired account of the Creation Fiat of the ever existed God who was and who is and who will. He is love and out of His characteristic of love He created the heavens and the Earth. And He made Adam and Eve out of love as well.
Copies CAPEPS Major 2010 Écrit 1 & Écrit 2Cyril Schmit
- E1 (histoire) : "Depuis 1945, dans les textes officiels comme dans les pratiques d'enseignement, l'EPS s'est souvent préoccupée de la distinction des filles et des garçons. Les différentes mesures prises et leurs conséquences ont-elles influencé la construction de la masculinité et de la féminité des élèves ?"
-E2 (péda & dida) : "La contribution de l'EPS à la santé des élèves constitue un des objectifs que se fixe cette discipline d'enseignement. La question se pose-t-elle de la même manière au collège et au lycée ? Vous le justifierez et montrerez comment l'enseignant d'EPS peut répondre à la question tant dans la conception que dans la mise en oeuvre de ses enseignements.
My maternal grandfather, Pastor Khang Kiat Tien, published this book in 1984 which "was the direct response to the challenge of an educated evolutionist who thought the book of Genesis was 'a very fine Fairy tale for children but hardly worth an adult's time!' The author sincerely hopes that as you see the beauty of the Chinese Characters, the truth found hidden there will inspire you and bring you closer to the Creator, our Lord, and our God." I quote this quote from my cousin Ida Kh'ng Wu's introducation to the book. May you also be convinced that the book of Genesis in the Bible is not a fairy tale at all but the revealed and inspired account of the Creation Fiat of the ever existed God who was and who is and who will. He is love and out of His characteristic of love He created the heavens and the Earth. And He made Adam and Eve out of love as well.
Copies CAPEPS Major 2010 Écrit 1 & Écrit 2Cyril Schmit
- E1 (histoire) : "Depuis 1945, dans les textes officiels comme dans les pratiques d'enseignement, l'EPS s'est souvent préoccupée de la distinction des filles et des garçons. Les différentes mesures prises et leurs conséquences ont-elles influencé la construction de la masculinité et de la féminité des élèves ?"
-E2 (péda & dida) : "La contribution de l'EPS à la santé des élèves constitue un des objectifs que se fixe cette discipline d'enseignement. La question se pose-t-elle de la même manière au collège et au lycée ? Vous le justifierez et montrerez comment l'enseignant d'EPS peut répondre à la question tant dans la conception que dans la mise en oeuvre de ses enseignements.
Musique Cubaine - Tableau généalogique (Daniel Chatelain)
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3.
4. I
a
LycéesTahar Sfar et @ebùif ùe g-*.F'*n flo I Classe: 4à* Sc exp
Ibn Sirn MaMia
a9 /12 / 2009 Profs : Mme Turki etMrs Baccar, Hamm etMeddeb
Ex.qcice nol : (3pts)
justification.
Pour clmcunedespropositionsxtivantes, rëporùe par woi oufaux sans
(Ine rfrTnnseexncterqporte 0,51nint, une ré7nnseinexacteenlè've 0,257nint, l'abserrce réponse est
de
comfiée 0 point. Si le total est négstif, Ia tnte sera rwwrÉe à zéro.
1) Soit f une foqctiondeux fois dérivablezur [0,+æ[.
La courbereprésentative safonction dérivéef'
de
dansun repère(O,i,i) estdonnee le graphique
par
ci-contre.
Soit4lacouôereprésentative de f .
a/ f estdecroissante [1, +æ[.
zur
b/ I-epoint d'abscisse estun point d'inflexion de€.
I
c| ? aunç demi-tangeûte horizontaleau point d'abscisse0.
_? 1
2) Soit g une fonctiondérivablezur IR* telle que,pourtout x E IR+, i = g'(r) <;
On a alors,pour tout x E lR*
.-2 1
al
Trsg ( x) s 3x .
bl lg(x)-s(o)l
=I,
c/ Si gt(O) : 0, alors la couôe représentative g est compriseentreles droites d'fuuations :
de
-2 1
Y -Tx d Y :î' -
Exæcice noZ : (5,5.pts)
Le plan complexe muni d'un repere
est direct (O,û,i). unitégraphique
orthonormé :2cm.
1) Onrappelleque,poûrtousnombrescomplexesdetb'.as = tq*b)(az +ab +b2).
-bs
Résoudre I'ensemble nombres
darns des complexes l'équation: 23 = 8.
2) On désignepN A, B â C les points d'afiixes respec{ivÊs et c définiespar :
a,b
a =2 , b =-1 +6f3 etc= ;1- iJ3.
al Détennirrerla forme exponentielle chacundesnombrescomplexesù et c.
dc
b/ Plaærlespoints,4 Ea C dansle repère(O,û,ù).
,
3) SoitB'le point d'affixeb' = 2 + 1Æ+ 3i .
o/ Montrer quele triangle ABB'estrectangle isocèl enA.
et e
b/ Placerle point B' dansIe repère{O,û,û).
per
4) SoitMle milieu de IBB'), on désigne m l'affixe deM.
a/ Montrer m :ry(r
que + irfrJ.
b/ En deduirequeles pointsO, C *M sontalignés.
5. ElSsqlcg .n'4 : ft,s Fs)
Soit/ la fonction définiesur [-1 , 1] par : f (x) - (1 - ù:..Gî' '
l'l a/ Etudier la derivabiliæde ;r à gaucheen 1 et à droite en (-1)'
b/ lnterpréltergeometriquement résultats.
les
et
2) e/ Montrer quef estdérivable J-l , 1[ et calcul f '(x).
sur
b/ F-tudier signede f ' (x) et dresser tableaude variationsde f .
le le
3) Montrer que l'équationf(r) = x odrnetdansJ0,1[ unesolutionuniquea.
Exqclce no4 : (7 Fs)
Qn considère zuites(I çtY défrnies IN pat :
les sur
u'.+Yn
Uo= 2 et pourtouta€ I/V U^-h et Un+r:
r) Calculer ,U2 etVz,
:Va,U1,V1
{ l< Un <
2) Montrer par récdrrenceque,pour tout n €. IN , on a : 1 s Y , ,<
[1
",
(un-vn)'
3) Montrer que, pourtout n € IN, on a : Un+t -Vn+t = z(un+v,.) t1] (On pourraremarquer
q u e : U r r . V n =2 ).
4) Montrer par réorrrence,quepour tout n € ItV, on a : Un ) Vn
5) Mcntrer cpe [/ est deeroissante que V est croissante.
et
6) Montrer que,pour tout n € I/V, on a : Un -- Vn1 l.
En déduireque (Ur, -Vn)' = IIn -Yn. tzl
7) Enutilisant les relations[1] et [2], montrer que,pour tout n € /JV,on a :
(Jn+r
-Vn+r lltU"-V).
En deduireque,pourtout n € //V,on a : Un - Vn= (;)".
8) Montrer que les deuxsuitesIl etV sont convergentes la mêmelimite I qu'-oncalculera.
vers
&o#e ciâûæ
6. n
_-
a
fuebgit ùegpntf;a^ n" I Classe.:4"-" Sc exp
Date : 08/12 / 2010 Prafs : Mme Turki et Mrs Hamzaet Meddeb
ExæcÎce nol : (5pts)
Sur la figurecidessousest tracéela courbereprésentative d'unefonction
Cy dérivable
sur
par dérivée f .
[$,,+f [. On désigne /' la fonction de
On saitque :
- L'axedes abscisses uneasymptote Ç au voisinage +æ.
est à de
- La courbeÇ admetunetangente parallèle I'axedes abscisses.au
à pointA.
- La tangente Csau pointB passeparA.
à
1) A partirdu graphique des renseignements
et fournis:
a/ Dêterminer (x), f'(l) et f'(2)
,liml
b/ Déterminer signede f '(x) suivantles valeurs x.
le de
2) Soitg la fonctiohdéfiniesur l0 , +*[ par: g(x) = + .
f(x)'
a/ Calculer lim e(x ) , 1im g(x , g'(1")et g'(2).
:
les de g
b/ Etudier variations la fonction sur 10,+co[.
3) Soit h la fonctiondéfinie 10,+æ[ par: h(x) = / x /lj
sur " f
a/ Calculer: nt'l
,tT. et,l j g/t(x )
b/ Çalculer /,'l-l-
t al
l.
-***_-l
7. ExercÎçe, no2 : (7Pæ)
complexe que lal=Z '
Soit a un nombre tel
complexes
dansI'ensemble de nombres
c :
l'équation
1) Résoudre
z2 +2iz -l-uz =0 '
2| Leplancomplexe rapporté un repèreorthonormé
est à direct(O,i,i) '
.s soientA, M etN lespoints
d'affixes respectives -i - a et -i + d
2i,
I'affixe point/ milieu lUt't I et calculer distance
du ae la MN'
o/Déterminer
déterminera centreet
le
b/ ÊndéduirequeM et N appartiennent un cercle'€ donton
à
le raYon.
complexe, montrer suivant
l'équivalence :
3) a/soit ,t un nombre
z.t -z u : k (zN -z u) si et seulement (zk -ta:li '
si
b/ En déduire que :
( M, N et,4 sontalignés si et seulement ( a est un imaginaire
) si )'
Déterminerdansceæslesvaleurspossib|esdea'
4) Danscettequestion, suppose
on que les pointsM, N etl ne sontpas alignés'
AMN'
que o est le centrede gravitédu triangle
a/ Montrer
AMNsoit isocèle sommet
bl Dêtermrner valeurs a pourque le triangle
les de de
princiPall'
Exæci€e n"3 : (8Pts)
L
1) a/Vérifierque,pourtoutx ) 0, on a " l7q - x --
{11+t+x
b/ Endéduire pourtoutx > 0, 'lm
que, - x ) 0'
=;(.F' .l -t
2) on considère fonction définie [0, +*[ par. f(r )
ta f sur )
a/ Calculer (x
,lim/ )
-f
b/ Montrer / estdérivable [0, +æ[et quef '(x) = J x!*)t '
que sur
z+ l
c/ Etablir tableau variation f et déterminer( [0, +æ;;.
le de de f
3) On pose: g{x) = f (x) - x, x E [0, +oo['
c/ Etudier ses de variation g'
le de
unique et que
a
b/ Montrer |'équationg(x): 0, admetdans[0 , +æ1uneso|ution
que :
0,3< a 1O,4.
.rt
tat
!* ' -f - -r' -
8. =o
4) Soit la suiteU définiesur I/Vpar : { t o
lU,u =f (U,), n e N
L
al Montrerpar récurrence
que,pour tout n € I/V, 0 S Iln
-2
b/ Calculer et vérifierqueUr> a .
U,
que Uz 1d. Quepeut-on
c/ Sanscalculer , montrer
U, déduire la monotonie U ?
de de
pourtoutr 20, lf'{el =; .
5) al Montrerque,
En déduire, utilisant
en I'inégalité accroissements que :
des finis,
I u,*,-alsll u,-al, Pour n € //v.
tout
'b/ Endéduire
que: lu,-ol=r*l', pourtoutn
€ /N.
z)
c/ Montrer alors que la suite U est convergenteet déterminer sa limite.
&oræte
c/tartæ
9. Série d'exercices
( 4 tu Sc æp
)
FortcrTofis
*sctpaoqa&
1) So i t / t a f o n c t i o n d é f i n ie su r ]l,**[
('r)' *+P. p a r :f( x) = t
" ,*& ,
:ii;::::;;::ï::ïiJ:':î::::l **
b/ Montrer
précisera.
que/ réarise une biject,* j" r
z--ù'v. rrsl1 , +æ1sur un ,_.
J ' +æl .._ *'*,,,#, .
%
.inleweruq ri'r$$
on désisn par
e f-t h fonctionréciproque
de f .
c/M ontrergue:f -r(x )=r * #
Ç*,; i: :"'
p o u r t o ux F I , ,
t
{x --"U:, ,rr"ffi,
, . , , , , ,,., , " ' , , '
2) So i tp (r)= I - ;,
''/; r. I,f
r -r -.6 - , x eJt, .
--_r , +æ[.
'
-,{|""ir*,'
a/ Etudier fes variations "'i
de g . $Fii:t+;.,.
b/ illontrerqu'il existe
un
c/ itlontrer (a) =]*.:'1'""= t".ï:"-,fls Jl ' 2[ tefquew@)= s.
guef
Exgclce no2 :
Soit/ fa :tl
o' o"':'f(x):-+
o=f I -t a n x '
r_ +L
(t_tunr)t
de variation
de f .
f-, la fonctionréciproque
de f .
2) a/ Catcufer n(r),
.f f "(&) j*t- ' ( t) '
b/, ^, --. que.f-t
L Montrer t v 3 - l / "n
estjer,u"J,"rr,
/; cafcr ' r ler ( f- .) ' ( t) .
c// M o n t r a r^,,^:. r,
e Àliontrer que Vr e-/, ( _,(x)=
f -rËr ''
__]-'
Fon.rionr@
Page1 sur 2
10. Lycée TahæSfarMahdia Prof : MeddebTarak
Exsclce no3 :
définie [0,+æ[ par f(r)=l+]#F
A- Soit/ lafonction sur :
de
1) Etudier variations f.
les
que
2 a/ Montrer l'équation :/(r) : r, admet unique
dans[0 , +æ[ unesolution a.
3)
On désigne f -'la fonction
par réciproque f .
de
que
b/ Montrer : f '(x)=# pour x e J.
tout
de
c/ Etablirle tableaude variations /-1.
3)
4',)
zxJxt'
@)***ry
Fonctionsréciproques[4 a-" Scexp ) Page2 sur 2
11. F
_
LycéesTaharSfar el
Ibn Sina Mahdia
Eeboir ùennt$Ie no2 Classe ,l*" Scexp
:
Date : 05/02 / 2010 Profs : Mæ Turki et MT Baccar. Hamzs etMeddeb
Exscbe n"I : {6fi}
(*_F*,
u;-
| x s i r € lo , 1 [
définie 10,+*[ par : /(r) = {
Soitf la fonction sur
t
L1F-r sf r € [1,+oo1
par dansun repèreorthonorm (o,i,î ).
On désigne € sa courbereprésentative ê
1) a/ Vérifierque f est continueen 1.
la de en graphiquement
b/ Etudier dérivabilité f à droiteet à gauclre 1. Interpréter les
résultatsobtenus.
2) a/ Etudier variations /.
les de
b/ Montrer que la droiteD:y - r est une asymptole
à€
c/ Préciser position E parrapport D sur [1, **[.
la de à
dl Traw D et€.
g a/ Montrerque,f est une bijection 10,+-[ surIR.
de
b/ An notef-l la fonctionréciproque T.
de
Montrerquet-1 est dérivable 0.
en
t
c/ Ondésignepar € la courbereprésentative f-l dansle repère{o,î,1).
de
Tracer
€'.
quê, toutre l-æ,01,f-'(x) =
d/ Montrer pour
;;fuo
Exæcîce no2 : (4Fs)
Soitf la fonctifi définie [0,1] par : f (x) -]rorl
sur r,
1) Dresser tableaude variations f.
le de
2) al Montrerque/ est une biiection [0,1] .ut
de [0, ] l.
bl On désignepart-l la fonctionréciproque f.
de
quef-1 est dérivable
Montrer sur [0, ] [.
i) " (f-')'(ï)
c/catcuterf-'(
d/ Montrer pour r e [0, â [, t f-')'(x)=
que, tout
#
12. .h._
Exqclce no3 : (4 pts)
direct(O,ï,,y',Ê
L'espaceest rapportéà un repèreorthonormé ).
On considère points
les â(3,0,0) , B(0,1,1), C(-1 ,L,2) et D(3,L,I).
1'l al Calculer composantes vecteurû.
les du =TE nfr.
b/ Dêduire I'airedu triangle
ABC.
c/ Montrerque les pointsA, B, C et D sont non coplanaires.
2 o/ On noteV le volumedu tétraèdre âBCD.Montrerque : 7 = â .
- orthogonal D sur le plan(CBC).Calculer
b/ Soit H le projeté de DH.
3) a/ Calculer distance pointD à la droite(âC).
la du
b/ On note H' le projetéorthogonal D sur la droite(âC), montrerque le triangleDHH'
de
est rectangle en déduireHH'.
et
Exæclce no4 : (6F9
direct(O,i,;, Ë ).
L'espaceest rapportéà un repèreorthonormé
On considère points
les A(-3,0 ,0) , B(0 , 3 , 0) et C(-3 ,3 , -3).
' 1) o/ Montrer que les pointsl4,B et C déterminent planP.
un
b/ Montrerqu'uneéquationcartésienne P est : r * y - z * 3 = O.
de
c/ Soit le pointH(-2,2,-L), montrer que H est le centredu cercle€csrennscrit au
triangle ABC.
2) Soit l'ensemble d'équation'. + yz + zz - 2x + 2y * Bz- 15 = 0.
5 x2
c/ Montrerque S est une sphèredont-onpréciserale centreI er la rayonR.
b/ Vênfiæque,4,I et C appartiennent S. à
c/ Vêrifierque (IH) est I'axede E.
d/ Dêterminer l'intersection S et P.
de
3) Soitle point D(L,0,0).
al Vêrlfierque D est à I'intérieur S, et que les pointsA, B, C et D sont non coplanaires.
de
b/ SoitQ le Pland'équation * 1 = 0,
:r
Montrer que 0 est le plan médiateurdu segment[^4D1.
c/ Déterminer centreO et le rayonR ' de la sphèreS' circonscrite tétraèdreABCD.
le au
Sootaeûaræz
13. Lycées Tahar Sfar
Mahdia
tr.vçuu. - +em e
l d
^Ë,,^_^. , >Ce t p
D qte:12 /02 /2011 Profs : M* Turki et M,' Hamza et Meddeb
Exqcice not : (Zpts)
| . So i t 9 | a f o n c t i o n d é fi n i e su r1 R p a r:9@) = I3+ 3xI4.
's 1) Etudierle sens
de variatio de ç.
n
2) Carcurer çeL), en déduire,suivantres vareurs de r_,fe signede ç@).
ff. On considèrela fonction
/ définiesur IR par: f (x) =t1,-2. .
' x2+ l'
on désignepar Tsacourbe représentative
dans un repère:orthonorm(o,
é î,i).
1) Montrer que, pour tout réelr, on a
: f,(x) = ,x.?(x)=
--l
(x2+112
2) Etabtirle tableaude variations l
de /.
3) a/ Montrerque ra droitea:y -x
est une asymptote 3 .de
b/ Etudierla position de Spar
rapport à A. .
4) Tracer 3et A' ( on précisera
l'intersection ?avecl,axe
de
5) Soit g fa restriction des abscisses).
de / à f,intervalfe *oo[ .
[0,
a/ Montrer g estunebijection
que
ge'to,*;i surun
b/ on désigne s-r tafonctionrre"iËloqr",i" intervafre/
gu,onprécisera.
par
n.
Tracer lacourbe
?' représentativeg-1 dans même
de le repère î,ï).
(O,
Exqcice no2 : (Spts)
Soit fafonction
/ définie fo,1f par f (x) : tanz(x).
:
"rI' L ' 2 1
1) a/ Montrer
que,fréafise bijection
une de fo,firrr. [0,**[.
b/ Ondésigne y-ttafonction
par ,e"iproql"'ol,
Cafculer:
f-r(o), /-1(r) et _llT- f-r(x).
2)Mont rerqUe / - 1 e s t d é r i v a b | e s ur ]o ,+ *[e tq u e ( f- ,( x) = #
3) Onpose, pourï e -- '|*''l'Y'
]0,+æ[ s(x) = f-t1yz1+
, f_l(#)
a/ Catcuteî
s(1).
b/ Montrer g est dérivable
gue sur ]0,+*[ et queg,(x) = 0.
c/ Endéduire
gue,pourtoutr e
10,+æ[, g(ù =î
[']
14. ExqcÎce no3 : (8pts)
par
représenté la figurecidessous.
Soitle cubeOABCDEFG
L'espace rapporté repère
est au orthonormé (o
direct ,oÂ,oe,ffi).
Soit a un réelsuPérieur égal à 1.
ou
L, M et K sont les PointsdéfinisPar:
ofr = o6Â, oi' = aoe et Ert= oEF.
'F
1l a/ Déterminer composantes vecteur - Drt n oE -
tes du û
b/ Endéduire, fonction s, l'airedu triangle
en de DMI
c/ Calculer, fonction a, le votume tétraèdre
en de du DMLK.
d/ Calculer volumedu tétraèdre
le ACDF- I
2) a/ Démontrer la droite(oI0 est perpendiculaire plan(DMD.
que au
bl La droite(OK)coupele plan(DML)en H.
que
Démontrer oû.oR- ort.oÊ.
onnote.l le réeltelqueOÊ = Oft.
c/ Lesvecteurs etDPétantcolinéaires,
oÊ
=+.
Montrerque.l.
d.'+z
, a 2 -a + 2
d/ Dêmontrer Hft = G - DOR, déduire.que = 7;6
que en HK -
e/ Retrouver levolume tétraèd DMLK
ators du re '
Sootnee/anæ
I'a
Ë2ï
tJ
15. iycée Tahar Siar iie fufahiiia ilassès: 4è'u Sc i.zets
Date:04/ 03/ 2009 Durée:2 heures
Discipline:Mathéma ues
tiq
Dîro& 08 arfirvîgt f,â
Proposé par: TArk Na1ou4Hamza RachecietMericieb Tarek
Exercicen" I: (4s4s)
.* Ctwrye questioncomporte trois affirmations a, b et c. On indiEtera poùr elncune d'elles si elle
wate oujausse.Aucune justtJtcalun n'esi demuraiee.
Soit/une fonctionimpairedéfinieet dérivable [-5,5], on désigne
sur parF'une primitive def A
parf'safonction dérivæ sur cet intervalle.
Sur les graphiques ci-apres,le repere(O,i,i) est orthogonal.
La courbe (C) estla représentation graphiquede la fonctionl La droite (OA) estla tangenteen
û à iC). Â(-2,8j, B(*2,t5, ûi et Ci2^11,ûi. .Bei C sonide-.ix poinlsde iCi.
f.a. (C) est la courbereprésentative F' .
de
d |
t.ri. j ^t/^
(ur=-2.^
l.c. lfest négative nulle sur [-1, 1J.
ou
2. Soit ,Sl"airg orynméeen unité d'airg de ia
portion du plandélimitée (C),1'a:re(O,i) et les
par
droitesd'équations: = -2 st r = 0.
x
2-a.4<.5<12.
z.u.
t'zut<xW=0.
2.c. FQ)-^F(O)< 0.
3. parmi les courbes ) et (Cz) t'une représente/' et I'autrereprésente Surla courbe'(Cz),le
(Cr F.
pointD a pour abscisse
1JT et b point^Ea pour abscisse .
ZJT
3.a, Uneéquationde(Cr)est:y--rc2-2. !.
3.b. (C2) est la courbereprésentative
deF.
^, ta
r... j o""î{'}*--12
Page1 sur 3
16. Exercice n" 2: (s p*l)
A- Soit/la fonction
définie io,
,u,
$lnar:f(x)= sinx.
l) Montrerque/realise bfeaionOe
une
[0, â] *, tq rl.
Ondésigne -rlafonction
pat.f réciproquede/
r(l) erl-r(O).
2) Calcuter"f
que,f*r estdérivable [0, t [ * gue(y-r;,(r) = _!
3) Montrer sur .
'!t J | -xz
" B- onpose: I:-#,
1= t=[ltT_x, æ etK=f] _=-r__-ar
J0'-
'"J1-x2 . t o rf lp
l) alMontrerque:
I=1.
ô/ CalculerK.
2) al Montrer
que:J = I - ï -L* *'
o ifl]fr
bl Enutilisant intégration parties,
une par montrer
qu.' Jj #*
-
- l.
| -xt
"l
c/En déduire valeurdel
la
Exercice n" 3i çs,sp*1
A- Soit la foncrion/définie zur.IRpar:/(x) =
##,
on désigne
parK sacourbereprésentative
dansun repèreorthonormé(o,7,ï) untté:
zcm.
l) Etudier lesvariationsde/et dresser tableau
son de variations.
2) alBaireune équation la tangent T à€
de e aupointd,abscisse 0.
, :
ô/Etudier ra position de ra courbepar rapport
à ra tangente?r
3) Tracer
Tet6
B- Soit.F'laprimitivede/sur [0, +*[ teileque
F(0) = 0.
l) Etudierle sens variæionde.Fzur +*1.
de [0,
2) al Montrerque,pour tout r ) 0, on a.
? =f@) =,.
blEndeduire que,pour tout x ) 0, on
<r.
^, !*<F(x)
c/ Calculeralorsla limite de.Florsque tendvers+æ.
x
3) allvlantrer quel'équation: F(x) = 2 admetdans +æ[
[0, solutionuniquea.
à / M o n tre rq u e : <3 . 'n
2 <a
4) On désigne il,atrede la
par irarriedu planlimitéepar la courbeCr dans repere(O,i,j)
le a"U
fonction I'ore desabscisses lesdroitesd,equatiors:
et
-d =
.tr 0 et r = r.
Montrerqu., <r(<2.
f
Page2 sur 3
17. Exercicen" 4: (sFs)
Dans wbeABCDEFGH, désigne
un on respectifs segments et
par.Iet,Ilesmilieux des [rltrJ
IGH}K estle centre la faceBCGF. calculs
de Les effectués le repère
seront dans orthonormé
/ --+ --+ --+
v,AB,AD,AE).
Etablir queDIFJ estenfait un
DIFJ estun parallélo1amme.
l) a/ Démontrerque le quadrilatère
losange montrerque l'aire de ce losange égale+
et est
( z
ô/ Vérifierquele vecteur?l normal plan(DIJ). En déduire
f I estun vecteur au une
[-r j
équationcartésienne ce Plan.
de
cl Déterminerla distaoce point E au plan(DIJ),puis calculerle volumede la pyramide
du
EDIFJ On rappelleque le volume Zd'une pyramidede hauteurh et debasecorrespondanteB
est donnee la formule: fl = + xB xh.
par
2) Soit A la droitepassant E et o'rthogonale plan (DIJ).
pæ au
paramétrique  et montrerqueK e A.
a/ Donnerune représentation de
ô/ Déterrniner coordonnées point d'irfersectionI de L et (DIJ).
les du
clYénfrerque L estle centrede gravitédu triangleBEG.
d'equation + yz + z2- 2x - y * z +f = O.
3) Soit I'ensemble,S :.x2
dont on precisera centre,! lr ruyoo.
alYénfrerque,Sestune sphère le
relativeà S et au plan (DIJ) peut-ot déduire
blVénfrer que.t e ,S.Quellepropriétégeométrique
de ce dernierrésultæ.
Page3 sur 3
18. L),céesTaharSfar et
Ibn Sina Mahdia
funboi, g' '-:''' nô2
ùn Classe 4"^' Sc exp
:
Date:03 l2UA
103 Profs: Mme Turki et Mrs Baccar,Hamzaet Meddeb
Exercicenol : epts)
()nerëponse exacterapporte0,5poinl, unerëponse enlève0,25point, l'absencede réponse
tnexacte est
congtré point, Si le total estnégatif,alors la noteseraramenëe zéro'
0 à
1) pour chacune des propositionssuivantes,répondre par vrai ou faux sans iustification.
Pr : On donne les fonctionsF et G définiessur IR par :
2 x*I 4x2+6x+9
F(x) = e I u txr = -
xz+ x( + 2
x2 +x+2
d'unemêrnefonction.
F el G sontdeux primitives
Pr: fi"lx ax = f - I] *t a*.
Pg: Soitf unefonction sur
continue [0 ,1].
lavaleurmoyenne sur[0,1]estégale 1'
$i f( f (ù -L)dt - 0. alors, de/ à
2) pourchacune questions
des suivantes, seule
une proposées
parmilesréponses est
Indiquer lettrequi correspond la bonneréponse.
corregte. la à
soit ABCD EFGH cube,I el J sontles milieux
un des
respectifs
arêtes[Er] et [FC],L est le pointdéfini par: ALZiæ.
On considère repère(A ,AÊ,m , AË).
le
SoitP le pland'équation4x - 4y * 3z- 3 = 0'
:
Qr : Le plan P est le Plan:
al (GLE) b/ (LEt) c/ ( GFA)
Qz : Le planparallèle P passant / coupela droite(FB)
à par
en M de coordonnées :
o t (r , o, l) blU, o, i ) ,t(1 ,0 ,:)
paramétrique la droite(Gt) est:
Qs : Unê représentation de
( x= I*a
" , z =4* 4a "
{; : i : î , , { ; = ='o *T o cl lv- - L *a
z= 1*4a
l "r=o
19. Exerciceno2 : gpts)
2'
L'espace estrapporté un repère
à orthonor (o ,î,i ,Ê).
nê
On co n si dèrel es poi nts /(
1",-L,1 ) e t B ( - 1 , 2 , - Z ) e t le p la n P d ' é q u a t io n : r * y* z*2 = 0 .
1) Montrer que la droite(,48)est parallèle p. à
2) soit a un réel,on désigne so I'ensemble points de l. tels que :
par des M .
x2 + y2 + zz + 2x - Zay* Zaz+ az + a = 0.
a/ Montrer que, pourtout réela,.9o une sphèrede centreI|?L , a , -a) et de rayon
est
Ï;ffiF; e@8,
c/ Déterminer pourqueSosoittangente p.
a à
3) SoitQ le pland'équationy - z - 4 = 0.
I
que
ai Vérifier Q est perpendiculaireà (AB).
b/ Déterminer pourque so coupeQ suivantun cercle7'oerayon rÆ .
a
c/ Déterminer
dansce cas les coordonnées centrede z' .
du
Exercicenoî : gpts),
Soit (/n) la suitedéfiniesur IN par: I, = Sila xnsin|x d.x.
1) a/ Montrer
que,pourtoutn € 11V,/r, à 0.
b/ Montrer
que la suite(I,r) est décroissante.
c/ En déduiregue (/rr)est convergente.
2) a/ Montrergue,pourtoutn e IN, In = J:/, xn d"x.
b/ Détermineralorsla limite la suite(In).
de
3) al Calculer .
Io
b/ Enutilisant intégration parties,
une par que : t, =*
montrer
c/ En effectuant
deuxintégrations parties,
par que :
montrer
pour n E rN, =ry ((;)".' - (n+ rll")
rout rn+z
ù d/ on a représenté ci-contreles courbesreprésentatives
k dansun repère orthonormé, fonctions et g définies
des f
par. f (x) = x2sin3x et g(x) = sin3x.
,'
Calculer I'aire la partie
de grise.
20. r'
"ff 'Iahar Sfar - Mahdia
Devoir de Mathémati ues
Année Scolaire 2go7 - 2008
Niveau : 4tu.Sc .Exp
Propæé : par: Ivl*Î-rrki , lvl" Hamza
ercice : n"1( 3 points )
chacunedes questionszuivantesrépondre pa.rwai ou faux san^s
justification
nPour
c Une réponsejuste rapporte 0.5 point
r Une absence reponse rapporte pas de poiat
dg ne
. une réponsefausseest saoctionnépaf
-0:15
Si [e totale d,esnotesattribué ar:x questionsde I'exereice néeatiye
est ,
, la note est raroen-é zéro
à
.., ,,,,.,:,:::
Soit la fonction déffnls sur R. par /(r) : à' + 3c + l Poul tout r-' e lR
. _,j,! ç
1A
'rJ -r. ? vateur moyenne r /| sur r[0,2] est
. t
La
t
de - .. - ^ ]
t ' ''
16' ---'': -- - ^ '::'..., '*'*:"t:-'.:..",,
,.-,."*'
f z. l- t("1* estI'aired.'un rectangle longueur
de Ë .t de laiEèum'z ,.,
Jo- ,.,,o,.,:,,'.i*-r,-
... r1.a,rr.:ç;,,.*.;"a.g.*,,i*ft::if,ii'.i'''{,',ffr;..,,.*,..,
'.1 3. II queF(0) : T
lrimttive F de / sur [0,2]telle ,- '!
.;,. i.,r..-r-],.
'n9
",<iste
sur
6 4. I existeune primitiveF de / sur [0,2] décroissante [û,1]'
, b. Ir existe'ne primiriræ F de / sur [0,z] teltequeF(0) - F(z) > 0
queF(r) ( 0 pour tout c € [0'2]'
V 6. Il existe uneprimitiveF de / sur [0,2] telle
Exercice TL-2 7 Poirrts )
(
g définies lRpar
sur
on considèJ;;; forictionsr eb
g3
,'., ,
J(t): Tæ et e(r): æ
(lnitg glaphiqu' 3 cm)
e
Le plar érantrapporté ua repêr (O,1 ,?) n'tU'oormé et de I dans ce 'plan '
à ê
de i
Ë:;ËL=tàptâ"ttoti"o
On designe parCtet par C,
1 . a ) Et u d i e rIæl i g ri te se n *co e te n_oodeJ.Inter pr éter cesr esultats
de /
b) Etablir Ie tableau de variation
c) Tracer C1
pr
d) On poseI = Ï@)dt'
Jo
Utillserlamét}rodedesrectarrBl6,enp.artagearrtl,intervalle[0,llencinqinter-
d'onnerun encadlementde '['
valles d'a'mplitude0'2 pour
que f =' in(tÆ)'
Dans Ia suite on admet
21. 2 . a) E-tablirle tableau des ra,riationsde g
b) TFacerCo
f
On poseJ : I g@)h. Calculer I + J . En d&uire. J.
JO
?Ê
4. Calcutrer.@@w1J'aiæ domainedu plan limites,gaa.r courbes et cn et les droiÈ*s
du les cy
d'équationsî'* -7 et z = 1
&rnrcice,ngS(spoiurs)
1r 'rn
un.po€e r '-'- l
..,
..,:''- Jo *d 3 p o *r o u r n € N
L + a + t,
, .',
1 . bfonterque,$-< <
.ro r
, Monher qru".&t h* 11.: ! .'1. i
:a
q!ÉJrsrÉt ê (1") est décroissaate
3. a) lvfonf--ær
1T' i
b) Ivloutlnrqrrc;;--:-:il < l, ç - .Bn déduire lim Io .+'
é!.n.|.'L) n+ I " :
n-*eo
'i.
. " a) A l'aidedbeiotéSraËorr;êr partie, nontrer que pour tout n € N* on a
. T I f' l+2t alr
r
.,x n* J i | ' n * L J s ( 1 + o + * ) 2 *
-7--tt|
- n :T - =
.,. . ;
b) t;n d€durrÊ$leDotir touû n € N. on a
t,
1q
j ,t+31;];,(3(r+t).r,<t+ #
e) Ea déduire;euela suite (3n.I.) est coavergenteet donaer sa limite.
.]
:.i.
â
,,
F-,>cercice:rl'4.( 5 points )
L'espaæétantrapporté un repèreorthonorrné
à direct (O,?, 1 ,,T).
On doa-ue points
les B(0,2"0)'et
-ÊJ1,0,0); C(0,0,3)
1. a) JustiûerquelespointsA ; B et Cne sontpasalignés
/6
': '.b) Montrerryo ?
| s f est orthogonale ræcieurs "tfr
aux Æ
2/
c) Donneruneéquationcartésienne plan(ABC).Vériûerque t É (ABC)
du
dont uneéquationcartésienne :
2. Soit S la sphère est
r'2 +y2 +2 2+ aî+ W + cz+ d:A
"ek,C
a) Tbouvera, b et c pour que S soit circonscriteau-tébraèdre
OABC.
b) Montrer queS est la sphèrede centrer{*,t, jt * a" ,rvoo
$.
au
3. Donner le centreet le rayon du cercle circopgÔrit triangle .4,8C.
22. LycéeTaharSfar Mahdia Prof : MEDDEB
Tarak
g@MWWTflEWMUfl
@eq9rea co@plesea
Exqrcîce nol :
1) Soit0 un réelde I'intervalle , n[.
l0
'r :i l t '
Li
rL!ll,-. ::..r
R é s o u d rea n sI'e n se mb lC l 'équation: - 2i.2 - 1- e2ig
d e z2 :0. . . :'..],
.::
2) Le plancomplexe rapporté un repèreorthonormé û,û);: On considère
est à (O, les '1"è! .
a
points M etN d'affixes
A,, respective z4 = -1 + i, zu = i * eiT et-zp=i-etu.
s'. ,
a/ Montrerque les droites(AM) et (AN ) son perpendiculaires.
.
que les pointsM et N sontsymétriques rapport un pointfixe 1 que
b/ Montrer par a
l'on précisera.
'':
que M et N appartiennent un cercle7
c/ Montrer à queI'onprécisera.
*.
3) a/ Déterminer, fonction 0,l'aire/4 (0) Outriangte
en de AMN.
=,:: '
b/ Déien-niner valeurde É poui:
la iâqueiie (û) est maximale.
,,/ Piaceicjans cas
ce
les point
A,M etN sur la figur:e.
Exercïce nu2 :
1) a/ Ecriresousla formealgébrique + t'11)'
(t .
Gffiriràtion : (E) :L22 4z r 3 - iV5 = 0.
b/ Résoudfe,"od.9,,,,,.!j -
c/ Mettre|e,,.!Jo onSî$tgl sousla formeexponentielle.
2) Le plan.com'pi é$t rapporté un repèreorthonormê
à (o,û.,û). On considère
les
l- iJj _L ^ 3+ iJi
points et C d'atfixes
A respectives =ïa et P:
z
a/ Montrer que OACest un triangle rectangle.
b/ Délèrminer I'affixe pointB tel que OABCest un rectangle.
du
3) S=Oitun réelde l'intervalle z[. On considère
I 10, l'équation.
(E): z2 - 2z - 2isinïeio = o.
q .Z =
a / M o n tre r u e i si n 0 e t0 e2i0 1.
-
b/ Résoudre (Ëo).On désignera z' la solution
dansC l'équation par ayantune
partie imaginaire négative parz " l'aulresolution.
et
g
c / D éte rmi n e rp o u rq u eI'o naitz' : d etz" = F.
gç
Nombrescomplexes[Révision){. ème sxp Page1-sur 2
23. LycéeToharSfar Mahdia Prof : MEDDEBTarok
Exercice
__'
n"3 :
'^...
.
Soitm un nombrecomplexe. .
. o n p o Se f(z)=z3 -4 mz2 +(5 m2 +4) z_2m v_B*....]
.' t..
oet^erminer
I'ensembledesnombres
E complexes pourquel'onait/(0) = 0
m
]J
2) a/ Calculer(2m).
f
, , f(" )=(z-2 m)(2 2 *az*b) . ,,
,,
*
c/ RésoudredansC l'équationf (z) = g.
u,.*.i
','
Dansla suitede llexercice, supposequem Ç.
on E. :'+4$1u,'.,,
3) Le plancomplexe rapporté un repère
est à orthonormê (O,û,ù). On considere'tes
p o i nts Mte t M2 d 'a ffi xe s
M, respectives' = Zm , z1= m lZi el,,r )= m - Zi.
z.
- m-)i
O n p o sez'=" " ' .
' m+2 i
a/ Montrer queI z 'est imaginaire si et seulement lml = 2
pur si
. - 'l r
b/ Onsupposedansla suite m = zeiï où I estun reài'oe||1,"1
que
" )2 J
que
Montrer le quadrilatèr
e OM1tt4 estun l.""t.ng|".
M,
c/ DéterminerpourqueOMTMM2 uncarré.
0 soit
$
Exercïce n"4 : jr:
è""'='ii1i''' -l;
1) a/ Ecrire
sousla formeexponentielle nombre
le complexe +i ).
]1(r
' 2 /
b/ Montrerque,pourtoutréélï on a:
l= ,,
-..,-,.-..-="=- v
- -co S l e : et eu - l :2sin' " e 'l -l z )
X
oi, tl- .,
2)
2 ) a / Ré so u d re d a n sl 'é q u a tion : z2- ^12( t*i) z- 1+ r = 0.
C ( E)
b/ Mettreles solutiôns 1r'; sousla formeexponentielle.on pourrautiliser
de ( les
résultats la première
de question ).
1T
82
'lz*Ji
S)r S;it 9"unréelde l'intervalle z[. On considère
10, l'équation:
n l fi e )rz2e i o z *2 i si n o e i o= 0.
-Z
a,/Montrer que'.e2i0 2i sinTeie: 7 .
-
b / R é so u d rea n sC l 'é q u a tion
d ( Eù.
4) Le plancomplexe rapporté un repèreorthonormé
est à (0,û.,r7).on désigneparM,
N e t A l e sp o i n td 'a ffi xe sspectiveszy:1* eig' ,zN= - ' J.* eil et zs- I.
re
a/ calculerlzu - 11, g
quelest I'ensemble pointsM lorsque décritl0 , nl'l
des
b/ Montrer que le triangleOMNest rectangle O. en
g
c/ Déterminer pourque le triangle OMNsoitisocèle.
gç
Nombrescomplexes(Révision){. ème sxp Page2 sur 2
24. Lycée Thhar Sfar - Mahdia Année S'colaire zOtL - 2OI.2
Devoir de srrnthèsen"2
ffi
Niveau t 4h"Sc.Exp
Proposés par: M*ftrki et M'Ilamza
Exerciæ n"l ( 4 potnûe
)
Pour chacunedes queotionspo6éec une eeuledes réponsesest er(âcte
,
Rryopier le numéro de chaquegueotionet indique la réponsechoisie.
Aucune jrutification n'est demandée.
Une réponseexact rapporte 1 point
Une réponsefausseou I'absencede réponsene rapporte ni n'enlèrreaucun point .
1. On donne Ie tableau de variation dounefonction / définie est continue sur [-5;12]
nI, f(r)da :7
b) l'équation î(x):0 admet exartementder:x splutionssur [-5; t2] .
c) Pour tout c e [-5;8] on a /(r) < 0
2. Ia courbe ( donnéecidessous est ls repr@ntation graphique d'une fonction g
définie et dénivablesur R. .La droite (ÂB),tracée sur la graphique, est.
la tangente à la courbe ( au point A.
.; ; ; ; ; ; ;
'l | | | | | |
tr r tltl
l- - L- - r - - J- _l- _1__L
Ittr tlt
r ttl' ttt
.t' - - r - - - l- - J- - l- - a_- L
tlttltl
r tttttl
+ Ê- F- - È- { - - { - - } - - ts
r r tlttl
ttttttl
_- . -_. -_. : :_r,:-:r
:!. -:. T -'':. r": ;'r':.,:-f
llliltl
ttttttl
lrttttt
!-
I ll I I
t. .t. .t. t t t
I ll I I I
I || I
r-
t tl I
t -''f- -
I tl I fl
On poseg' la fonctiondfuivêede g sur R.
a) g'(0): -t b) s'(0): 1 c) 9'(0):2
3. Une seuledestrois courbes
ci-après l,areprésentation
est graphiqued'uneprimitive de
25. la fonction g sur R.Preciser la quelle.
I - - - f'- 1- - " !- - r - - r -
I ttttl
--|-- I - - - r - l r ttl- l - - l _- !_-
--r-
I ,, l r tl
--L-
I
- - - L- J - - l - - r - - L-
tl ttt
I r tttl
---tr-il--{--+r-F-
I ttttl
! ltttt
I tttl
I rttl
I rttt
o | !' i iz
- J - - r - -L -, | * -
r ttl
r ttl
- l - - f- r a - --F _
r ttl
tttl
4, Soit h la fonction définie sur Ri par : h(r) :
f- t
g2
la primitirre H de h qui s'annuleen L est
é+zr-g 2# - 3 r * l s3-3x+2
a) Il(r): b) I/(c): c) .F/(u):
2r 2x ?Æ
Exercice n"2 ( 6 poinrs)
Soit la fonction / définie sur R. par :
f@):* +r
{îr12' '
On dfuigne pu" (f la courbe représentativede / dans un repène
(l"ll : llTll
(o,?,7)o'tu""ormé. :2u,).
L. a) Calculerles limites de /(r) en *æ et en -æ.
b) Soit /' la fonction dfuivéede /, montrer que 0 < .f'(") <.1 pour tout n € R.
c) Etablir le tableau de variation de f sur R.
2. a) Montrer que [e poi4t / (0; 1) est un centre de s]'métrie 6s (f .
b) Donner l'équation de la tangenteT à {y en f.
c) Déduireque.I est un point d'inflepcion Cr.
6s
3. Soit g la fonction définie,*'h par : g(c) : f (r) - r.
a) Montrer que l'équation g(r) :0 admet de.ns une unique solution a
R.
et quea e ]1.7;1.8[.
i b) Etudier la position de'(r et de la droite A d'équation y : s
L
"-*."-4*ftsçerl'g-A-.--* -*
--È'*
I f. a) Montrer que t réaliseune bijection de lR, J0;2[.
sur
b) Soit (' Ia courbe représentativede la fonction /-1réciproque de /
ii
Tbacer ('.dans le mêmerepère(O;7;7) .
6. on pose [" $@) - s)tu.
.I:
Jo
26. Correction du de"-oir de
Lycée Tahar Sf,ar Synthèse noZ Scolaire
$.nnée :2017 -2012
Nit'eau a 4é^* Sc. Exn
Exercicc: nol théor'ènie V.l et cicce qr"ri
des précècl':
c re l1 . 7 ; 1 . 8 [ .
b ) s o it x e I R o n a / (x )-x ( 0 s ig g (x )< 0
r. b) 2. c) 3. b) 4. c)
or 0 - g(cr) on auraalorsg(x) < g(a) et
Exercice: no2 comme g est strictementdécroissante IR. sur on
aurar > 0, .
1. a) limf(*) = ri- r i ii^ *t = 2 ûn aura si x < cr €1 est au dessusde Â
r++s r - r + æ Ï' fl
s l x > c [ €1 est au dessous Â.
de
4Df -)
# l i m / ( x ) = l i m-r
r-+-@ r+ - @
/ I ' + z : *l =0 .
i
v
b) f estdérivable R et on a
sur
-f' (x) >o v x eR .
( x'+z) {x2 +z '
De plus on a pour toutx elR
. .,. _:
_..
x2+2)2 d'o ù /'( x )* **t.
!2
Conclusion: </'(x) < I pourtoutx eR..
0
c) Tableau de variation de f, 5. a) Puisque/est continue et strictement
croissantesur R. donc/réalise une bijection de 1R
sur{R) c .à. d surJ0;2[
ùe'- so(€i.
6. a)I- l"ç$)-x)dï
' Js""
=[.tr.t-*"*'],
2. a) Pour toutxelR.on a -xelR et
f,J
= 1cr- -r-l - I f=
^ "* a-_"rl -
/
f(-x)+f{x) = 2 donc 1(0 ; l) est un cenrrede ro.
symétrie de€1. O n a p o u rt o u t x e [ 0 ; c t ] f (x )-x ) 0 d o n c I
e s t é g a le à ll4 d e I ' a ire e x p rimé e e n cm 2
b) T:y = 1 équation T à€1enl.
de
*r* d e la ré g io n d u p la n limit é e p a r le s
vz
c) PuisqueI est un centrede symétriede€1,|a droites x - 0; x = !,la courbe €letl' axedes
tangente àÇlenl traverser€JdoncI est un point abscisses.
b ) O n n o t e & . la ré g io n d u p la n
d'inflexion de€1.
on a fr. = DtU Dz ou D2= ,Sa(Dl)avec
3, a) g est dérivable sur R et on a
g'(x) -.f'(x)-1 < 0 V relR D1 est la region du plan indiquée dans la
questionprécédente. sait que 56 conserveles
On
-.donc g est confinuç et stictement décroissante
sur IR.
dgncg réaliseunebijectionde lR surg(lR) mesuresd'aires donc
a ir e (R) - 2 a ir e (Dr)x4 cm2.
= 8 I c mz -
vérifiant E x e f c ic e : n o 3
1. a) M(x ; y) eE sig OI'P = 1
n
27. , _-__jr _--J
Ce qui prouve que E est un de centreO et t -->
a)M eQ sie( BCA BS) .SM = 0
de rayon l. ""r"1"
b) On note F I'ensemble pointsM(* ;y) du
des
sigdet(Ed;F; s#): o,
plan vérifiant :y = f/ 1-"' ou x € [0 ; 1] sig Me Q ou Q est 'n plan définipar le point S
M ( x ; y) e F sig M(x;y)eE et x et ye[0 ; 1 ]
etlesvecte,rrc
Bdet BS
On remarque lesdeuxvecteurtEd et Bd
que
sig F est le quart du cercle€ oux et y e[0; l]. ne sontpascolinéaires car
c) J6est l'aire de la région du plan limitée par les
_-_*r0.) 2
---.--(-2
droites Jc= 0 , x = 1, l'axe desabscisses la
et -( r l
BClr l^8s l1l= r / 8l
courbedont une équationest y -r/1-r, r"ri z ) +/ l-z)
r--"-'= Ontrouve Q:x*4y-z -3 = 0.
étgrtcar{l -"' ) 0 pourtoutx e[0 ; 1].
b) D'après quiprécède
ce Pn8:@C).
Dlprès ce qui précède aura
on lo= = I-2a
î. {x
Onaur a6= ( BC) :J.y= 0+ a a e lR
z. t ,= { o ' r { t -*d ,=[- lz = -2+2a
]{ r-" ,)t],=+ estunereprésentationparamétrique Â.
de
= = ll;E
nrdll
Ir- Io'l-"hn- dx Jo-Jr i -+ c) d(A; A) = -l:f,--
llBTll
3. a) Soitne N
llÉnzdll
J,*t- Jn= x" (x -ry,[-74r.
[ o' -2.
llu?ll
O n a po u r to u t xe [0;1]
3 . a ) S f P d o n c S A B C e s t u n t é t ra è d r e .
------+
,"t[1] 2o etx-l ( o donc | |
AS| -r.
------ii
b) 1/(sABc1 lÆ ^ 4c )'
-
=
la-sulte(J,) est décrqissante- 6
* ----)rl
b ) On a d'a p r è s ce qui précède ll ë
u
b),uire(sAc1= !4ll =^l?o=^le
J,> 0 pour tout n eN donc la suiteest 22
décroissante minoré par 0 donc elle est
et On sait que
convergente.
1/(SABC) _
4. a) On a pour tout x e [0 ; 1]
d'où d(B ; (,S,,a = 1F.
C)
0 < 1-x2 ( ldonc C<F7 ( 1 donc
; r)"t
0 < x ' {t - x' ( xn pour tout n e N.
d o n c 0 <- r ,( ['x'dx V neN
4. a) f est une sphèrede centre
a".uroof .
'0'1
Jo
r::
b)On a 0 ( /,<-L V neN donc
n *l b) On aIA = IB = IC= /S = doncf est
$
lim J n = 0 e t l i m I,= L . au
circonscrite téfaèdreSABC.
n-r+ û n++@ + r-
c) d( I;P) = 0.Idoncf fiP= € ou€es t
Exercice: no4.
€t
14 | +r
o | +t
(2 I un cerclede ravon r = P- r e = ïo
ABIo In,tCIIl= N, l-4l.
-ù 0/ +/ circonscrit au triangle ABC.
-+ -}
AB A AC + o-donclespoints , B et C
A
déterminent plan P dontfrr estun vecteur
un
d'oir F: Lr -4y * 4z* d = 0.
norrnal
Et comnreAcP onawad = 6 donc
P:x-21t*22*3=0.
28. Niltedu Réyi,sioncomotexe
r >t- Belkocem Tahar
Bac et tec
sc /L
Tél: 9a 28 2820
lE4-V r ç r ç e n - l
t,' tÈ:,
E.
lonconsidèrel'équation: z1-(1+i)ehz+ieilo=O ce[0;2n]
avec uë,
I
lflSoit/ et/'les sotution E. on pose = t +/, .
de U
I
le
la)Déterminermodule un argument U .
et de
I
q = S.Ecrire sous
u formecartésienneexponentielle déduire
et en costf;
lutsoit
I
crsachant U estréel
que
lc)Déterminer
I t+-
2)Résoudre C l'équation .
dans E
#"
Exercice
n"2
Soita un réeldel-n;nl
On poseu=3cos
a-Sisinfl et v = 5cos - 3isin
a cr
1)Montrer vz-uz unecon$tânte
que est
2)Soit
f'équation : Zz2+(3cos
E q-Sisina
)z-Z=0,
On notez' etz" lessolutiondè (E)
a)Sans
calculer et t, montrerqr" rrgil; + arg{/,) = n[2n] .
t
rl:
;7'.
''i i
b)Résoudi'e c t'équation et donner solution
dans E les ,"r.r.ËintÀ:t'lionentieye
.
' .:'r'
3) Dans.le complexe
plan rqpporté un repèreorthonorrqlé,
à lb'Tr;i) .on considère pointsM, et M,, d,affixe
les
respectives et 2,,
z' l'i1- tr'
Trouver vateurs crpour res
les de quers
otrlM,t èha)lir,""grerectangte o .
----"o'-en
' 'i'i':-iiiz
Exercrce X
n3 ' il',t'ttl
' t,...11';
:1 ,
il::, .-
1)Résoudredans
Cl,équation : Zzr-z(g+i);i=O
iri,"
i;, .
i1.. 2) Résoudre Cl'équution-llTlf
dans
3)5oitl'équation 2iz2+z{r-Si)+3i-1
(E) =0
a)Vérifier 1 estsotution Eet déduir l'autreracine
que de e
b)En
déduire solution t,équation r + I )t+(z+ 1
les de 2i( = o,
Xr-si)+3i-1
Onconsidère points A(-1) ; nA,1I'*:; et It4"11=Il)
les
É Montrerque AM,M,,est un triangleéquilatéral
.
4)On
prend pointsM(z)et N(2,)
les ,/=z+ i
telque
alMontrer si r * ets , 0Ê[0 ;Zn]; alors N appartient
que à la droite des abscisses
.
fhr
!
b)Montrer z' estimaginaire ssi (z+zllz-!iu + 1 ) = g
que pur z
c)En
déduire
l'ensemble points
des rur
M(z)pc qu ez ' s o itima g in a ire r .
pu
29. Exerckeno4
1)a)Résoudre =
z2+z+1 0
l'équation
,- ,
.2 .4,
que
b)vérifier: lessolutions l'équation s'écrit
de E sousforme; zç s 3et Zz= e3
2)Ondonne l'équation : z6+23+1=.
E' 0
a) Résoudre
l'équation .
E'
b)Montrer la somme solutions t,équationestégale 0 .
que des de E, à
2* + 4r +
b)oéduire que o s l _ co sl _ co, 9" = o.
alors
" 9
dorfredansC l'équation : z2-(1+i)erez+iel'e=0 € [0 ;n]
E ou ê
l)alVérifier et estunesolution E.
que de
b)En
déduire
l'autreracine E.
de
2)On pose Zr = elê , lz = iele et z, = 1.1*1.2.
a)vérifiereu€ 23=&/@+f,i
b)Déterminerla valeurde € pour Quez3soit un réet .
3) Dans plancomplexe
le rapporté'à repère
u4 (o;i;i)
orthonormé .on considère points N , p et e
les
d'affixesrespectives , zz et z3 .
zr
A{i), e(1I };
p
l,ialDéterminer{ M(z)e / lz,l = Ztilf'
E=
i:)onsupposeque 2= liuiÊ, o € [0;n].Déterminersuivantlesvaleurs g laforrnetrigonométrique
de de z,
2)a)S oM i ÈB . M o n r r eru e(i ;Z D -)= -
it q
++ çi ,îi | 1lzr )
b) En é d u i r e'en se m b le=t M(z)ep/z,eR: )
d l F
3)a)M É A .Montrer le triangle
que AMM' estrectangle lvlet déduirè mesure
en une de
B// soite a li l'équation : z3-(i+2eio)22+(1+e2te+2iere)z-i(1+"r,u)
E =0
#f "*
i)a)Vérifier
Queze= i est une solutionde E . b)Résoudre
alorsE
c) Donner solutions formeexponentielle
les sous .
ûn désignepar tr4ret Mz d'affixesrespectives +3ê et zr= sre-1
zr=i
+
,.'i,":ntrer OM, LOM2
que
lll[g:!:gnstruire l'ensemble
des pointsM1 puisl'ensemble pointsM2lorsque varie.
des €
30. le cerclede centre O et de layon 2
Dansla figure (0, d, û) est repère orthonormédirect du plan,e est
et I est un point d'affixezu'(voirfigure)
zs'
1/ Déterminerpar une teôuie gl"pttiqu" le moduieet un argumentde
En déduire Qve = -1 * iVT
zs
:
2/ a)Placersur la figurele point C d'affixezc 1+ tV3'
'
bj Uontrer quele quadrilatère OAË&est-un losange'
B/ On se proposede déterminerI'ensemble E des pointsM d'affixe tels quez3 soit un réel
z
pobitifou nul.
a) Vérifier queles points O,'4et B appartiennent f ;à
b) Prouverque tout point M de la demi-droite[OB) appartientà E'
8'
.j Soitz un nombreiomplexenon nul,de moduler et d'argument
= ?!! ; k ê V''
Montrer que z3 est un réel positif si et seulement'i 6
quel'on déterminera. Représenter sur la figure.
E
d) En déduireque E est la réunionde trois demi droites
Une absencede répon:e est comptée 0 point'
justification n'est d'':nandée'
.p Si le total est négatif. .a note est rarnenéeà z,ero- Aucune
on pose -G;-+iJz:æ
z:
l.La forme algébriqr-ude Z2æt
a)zJi w{6A *&"tù Q 2+ rt+iQ - f) ù 2rt+2iJ2
2. Z2s'æit sous la f.rme exponentielle
'3t '3t
a) 4e'd c) 4e'7 d) 4e-' a,
3. Z s'ecrit sous la f rrne exponontielle
.}
.,-
'5r -3lr.
a(Q,eti/ b) 2eiii c) ze'E d)2e''8
Jr+n .,F,/t sont les cæinus et simrs de
n.- e r--={-
Z
")+ b)T d)i
Exe r cice N"2(6P crats
1 . Calculer (2 - 3i)2
, Résoudredans C l'e:-uation, (1 - i)"' - (2 - i)z * 2i :0
On notera z1 la solrrjon dont ta partie réel est négatiræ
m
pur
fg.)Oo""ur un arggme* de zr.En déduire que zf@e$ imaginaire
Le planP étant rapFrté è un repère(O,7'?) orthînorf:
Soient ; B et C les:ointsd'affxes
A ze:2 i zB: -;+ "ri a' zc
4. a) Calcuter pou que I'on u ?- " : i
zc
zs- zA
b) Quelle est la ûlrure du triangte ABC ?
c) Placerdans le:lan les PointsA , B et C
que le quadrilatère ABCD soir un carré-
fJ; iffo,r"o l,a.fâr du point D du plan pour
-r