Séminaires DEMa, Montpellier, quelques question sur le modèle cKȼ

origine, cadrage théorique, et questions
cK¢
conception – connaissance -- concept
1Nicolas Balacheff, séminaire DEMa, IMAG Montpellier -mai 2019 / 32

Une problématique de modélisation
« modéliser c’est-à-dire trouver une représentation, constituée
d’explications compréhensibles par les ingénieurs concernés et
incluant des symbolisations mathématiques le plus souvent
programmées sur des ordinateurs. Une telle représentation est
donc une interprétation des mesures qui permet d’envisager
des prédictions » […] « Les modélisations sont partiellement
formalisées. Elles doivent être comprises et sont donc
constituées de langage ordinaire et de symboles chargés de
sens. »
Nicolas Bouleau in « Enquête sur le concept de modèle » (PUF 2002)
En perspective : l’ingénierie didactique comme support de la
démarche expérimentale en didactique, outil professionnel,
cadre de design de technologies pour l’enseignement.

Une problématique de modélisation
• Théorie 1 … Théorie n
Problématique/Théorie
• Modèle
Ingénierie didactique
• Dispositif expérimental
• Dispositif d’observation
• Dispositif d’enseignement
Analyse a priori
Théories
Modèle
outil de
médiation
sémiotique
Phénomènes
Nicolas Balacheff, séminaire DEMa, IMAG Montpellier -mai 2019 / 323

Conception
un concept didactique en acte
• Analogue sujet, à un moment donné, du concept
(Vergnaud 1982)
• Connaissances locales, opérantes sur des sous-clans du
champ conceptuel, et pour certaines valeurs des
variables des situations concernées, c’est ce savoir local
que nous appelons conception (Duroux 1982)
• Dans les recherches, apparaissent sous le nom de
modèle des conceptions du sujet, des objets divers qui
vont de la construction axiomatique à la technique de
résolution d’un problème précis. (Artigue 1991)

Conception
Les connaissances locales sont des connaissances
limitées. Au titre de connaissances elles sont valides,
cohérentes et efficaces […]
• Validité : « mathématiquement correctes, vraies, valides », le
« domaine de validité coïncide avec la majorité des questions
posées en classe »
• Cohérence : « organisation psychologiquement nécessaire »
• Efficacité : « adaptation à la situation scolaire »
(Léonard et Sackur 1991)

Conception
Le terme «conception» répond à deux nécessités :
• « mettre en évidence la pluralité des points de vue possibles sur un
même objet mathématique, différencier les représentations et
modes de traitement qui lui sont associés, mettre en évidence leur
adaptation plus ou moins bonne à la résolution de problèmes. »
• « aider le didacticien à […] différencier le savoir que
l’enseignement veut transmettre et les connaissances
effectivement construites par l’élève »
(Artigue 1991)

cK¢ un outil pour la TSD
Rappel …
La Théorie des situations didactiques (TSD) est construite
sur un ensemble de postulats :
• La connaissance est le produit de l’adaptation à une situation.
• chaque savoir peut être caractérisé par une situation adidactique
qui en préserve la signification.
• L’enseignant est engagé dans un jeu déterminé par un système
d’interactions qui implique l’élève et l’environnement social et
matériel dans la classe, cette situation est la situation didactique.

Connaissance
moyen de comprendre les règles fondatrices du jeu et les stratégies
… et plus tard les moyens d’élaborer les stratégies gagnantes et
d’obtenir les résultats recherchés
Situation d'enseignement
 jeu spécifique du savoir visé, entre différents sous-systèmes : le
système didactique, le système élève, le milieu, etc.
Décrire ces sous-systèmes par le seul recours aux
relations qu'ils entretiennent.
« en dernier ressort, c’est l’action du sujet en situation qui constitue la
source et le critère de la conceptualisation » (Vergnaud 1991 p.166)

Enjeu
 dévolution d’une
situation adidactique et le
rattachement de ses
produits à des savoirs par
un processus
d’institutionnalisation
 caractérisation des
systèmes, des conditions de
leur évolution et du contrôle
de cette évolution
Nicolas Balacheff, séminaire DEMa, IMAG Montpellier -mai 2019 9 / 32

Enjeu
 dévolution d’une
situation adidactique et le
rattachement de ses
produits à des savoirs par
un processus
d’institutionnalisation
 caractérisation des
systèmes, des conditions de
leur évolution et du contrôle
de cette évolution
Problème
Action
Représentation
Contrôle
Nicolas Balacheff, séminaire DEMa, IMAG Montpellier -mai 2019 10 / 32

Provoquer les adaptations
 les problèmes
 Le milieu : système
antagoniste du système
enseigné
 la réponse de l'élève doit
être motivée par les
nécessités de ses
relations avec le milieu.
Les relations entre l’élève et
le milieu appartiennent à
trois catégories
Action
Formulation
Validation

Dans une problématique épistémologique et didactique
 le sujet et le milieu se définissent mutuellement et
dialectiquement dans le jeu de leurs actions et
rétroactions.
La connaissance est « attribuée » à l’élève
dans le cadre de l’interaction
relativement aux caractéristiques de la situation
 propriété de l’interaction entre l’élève et le milieu
La construction d’une situation repose sur
un raisonnement sur les comportements de l’élève (analyse a priori)
 hypothèse d’adéquation du milieu
 caractérisation de l’interaction entre le milieu et l’élève.
L’évaluation d’une situation (apprentissage résultant) repose sur
l’observation des actions et des productions
de l’élève actant et du milieu réactant
le milieu peut être matériel, social ou symbolique

cK¢ construction du modèle
Conception
 propriété du système S/M
 état d'équilibre de la boucle action/rétroaction
S /M sous des contraintes proscriptives de viabilité
13
S M
rétroaction
contraintes
action
Pour mémoire : organiser les
relations entre les notions de
- Savoir
- Connaissance
- Concept
- Conception

cK¢ construction du modèle
Point de départ, formalisation de
Vergnaud (1991 p.145)
- situations qui donnent du sens au concept
(la référence)
- invariants sur lesquels repose
l’opérationnalité des schèmes (le signifié)
- formes qui permettent de représenter
symboliquement le concept, ses propriétés,
les situations et les procédures de traitement
(le signifiant)
En référence à un concept donné, la
connaissance d’un sujet peut
s’actualiser en des conceptions
distinctes, selon les caractéristiques
des situations
Les éléments de caractérisation sont…
Les problèmes liés à des situations
Les systèmes de représentation
Les moyens de traitement
actions
décisions
14
S M
rétroaction
contraintes
action

C = (P, R, L, ∑)
Pensemble de problèmes
décrit le domaine de validité de la
conception, sa sphère de pratique.
Problèmes comme perturbation du
système.
R ensemble d’opérateurs
ils permettent la transformation des
problèmes
ils sont attestés par des productions
et des comportements
L système de représentation
représentation langagière ou non
expression des éléments de P et de R
Σstructure de contrôle
détermine la légitimité des décisions,
la validité des actions et leur
adéquation, l’évaluation de l’état
d’une résolution
assure la non contradiction
15
S M
rétroaction
contraintes
action

C = (P, R, L, ∑)
Problèmes
perturbation du système S/M
- capacité de S à identifier la
perturbation,
- capacité de M à manifester la
perturbation
Nécessité de la situation comme
source de la perturbation et
justification de l’intérêt qui lui est
porté (elle permet la dévolution)
Difficulté
Caractérisation d’une conception par
les problèmes dans lesquels elle est
impliquée versus les problèmes
générateurs ou caractéristiques de
sa sphère de pratique
16
S M
rétroaction
contraintes
action

C = (P, R, L, ∑)
Système de représentation
(Duval)
(i) des traces identifiables
(ii) règles de transformation pour produire
d'autres représentations
(iii) règles de conversion vers un autre
système de représentation,
(iv) règles de conformité pour la
constitution des unités de niveau
supérieur.
17
signifié
signifiant
signification
référence
représentation
objet
S M
rétroaction
contraintes
action

Duval, organiser les registres
signifié
signifiant
signification
référence
représentation
objet
signifié
signifiant
signification
objet

C = (P, R, L, ∑)
Les contrôles rassemblent
• des jugements, les décisions, les
outils du choix
• des méthodes
 méta-connaissances —
(Rogalski, Robert et al.)
ils permettent les anticipations et
la construction éventuelle de
plans
Deux difficultés méthodologique
et théorique
• ils sont le plus souvent
implicites
• la distinction entre contrôle et
opérateur n’est pas absolue
mais relative à une conception
19
S M
rétroaction
contraintes
action
(a+b)² = a²+2ab+b²
 opérateur de réécriture
 identité remarquable

Addition, de la main au clavier
C1: Dénombrement-comptage IIIII & III
P – quantification de l’union de deux ensembles,
les objets sont physiquement présents, les nombres
sont petits.
R – pointer les objets, les associer au nom des
nombres, compter sur les doigts
L – langage corporelle, langue naturelle
Σ – ne pas compter deux fois le même objet, les
compter tous, comptine
20
C 2: Surcomptage 15+8
P – Les nombres sont donnés, les collections ne
sont pas présentes, l’un des nombres est assez
petit
R – Choisir le plus grand des deux nombres,
surcomptage pour déterminer le résultat.
L – Langage corporel (compter sur les doigts),
nommer les nombres
Σ – veiller à l’appariement doigts–nombre,
comptine
C3: adition “posée” 381+97
P – additionner deux nombres
quelconques
R – algorithme de l’adition en colonne
L – représentation décimale des
nombres
Σ – vérifier les mise en œuvre de
l’algorithme, vérifier la mise ne page de
l’addition
C4: Calculatrice
P – additionner deux nombres
R – saisir les nombres au clavier, lancer
l’addition
L – langage corporel (saisie),
représentation décimale des nombres
Σ – vérification de la saisie, ordre de
grandeur

21
C4: Calculatrice
opérateurs  actions à l’interface du système
sujet<>milieu ;
système de représentation  myens de
représenter les problèmes, support de
l’interaction et représentation des opérateurs ;
ensemble de problèmes  problèmes pour
lesquels la conception donne les moyens
efficients de résolution ;
structure de contrôle  choisir, évaluer action
et rétroaction, prendre des décisions, juger
l’avancement de la résolution ou de la tâche

22
C est plus générale du C’ s’il existe
une fonction de représentation
ƒ: L’→L telle que ∀p ∈P’, ƒ(p)∈P

La convergence uniforme, Cauchy
1821/1853
23
Fonction
• un et x sont deux variables
• x variable indépendante dont dépend un
• f(x) est disponible ailleurs dans le cours.
Continuité
• au voisinage d’un point
• continuité physique de la courbe
• comportement dynamique d’une quantité
Principe de conservation par passage à la limite (Leibniz)
P – Propriété des séries de fonctions
R – Les opérateurs de l’expérience mentale sur des référents
incarnés (quantités, courbe), opérateurs analytiques sur les
fonctions
L – Langue naturelle, graphisme, formalisme algébrique
élémentaire
∑ – théorèmes sur les fonctions continues, lois régissant les
objets (quantité, courbe), principe de conservation par passage à
la limite
Cauchy ne prétend pas qu’il s’agisse d’une démonstration
 La forme de cette remarque n’est pas
représentative des mathématiques de Cauchy mais
d’un état des mathématiques elles-mêmes.
D’après Arsac 2013 Nicolas Balacheff, séminaire DEMa, IMAG Montpellier -mai 2019 / 32

24
x
1821/1853
1821/1853
Fonction
• un et x sont deux variables
• x variable indépendante dont dépend un
Continuité
• au voisinage d’un point
• Le terme « quantité » a disparu
Le contenu du texte exprime que n dépend de ε et non de x
∀ ε ∃ N ∀ x
mais l’ordre n’est pas congruent à l’ordre logique qui le sous-
tend
∀ ε ∃ N ∀ x ∀ n>N ∀ n’>n |sn-s n’ |< ε
R – Les opérateurs sur les nombres et les fonctions
L – Langue naturelle, formalisme algébrique élémentaire
∑ – théorèmes sur les fonctions continues
 La notation algébrique de la valeur absolue est manquante
 La continuité est définie sur un intervalle et non en un point
 Les quantificateurs ne sont pas disponibles rendant difficile
l’identification des dépendances et la négation des énoncés
qui les impliquent (e.g. la discontinuité comme négation de
la continuité)
Nicolas Balacheff, séminaire DEMa, IMAG Montpellier -mai 2019D’après Arsac 2013 / 32

25
x
1821/1853
1821/1853
R – Les opérateurs sur les nombres et les fonctions
L – Langue naturelle, formalisme algébrique élémentaire
∑ – théorèmes sur les fonctions continues
C’ est fausse au sens de C s’il existe une fonction de représentation
ƒ : L’→L, p de P’, r de R’, s‘ de ∑’ et s de ∑ tels que s‘(r(p))=vrai et
s(ƒ(r(p))=faux. En d’autres termes, p admet une solution au sens de C’
qui est fausse au sens de C
R – Les opérateurs de l’expérience mentale sur des référents incarnés
(quantités, courbe), opérateurs analytiques sur les fonctions
L – Langue naturelle, graphisme, formalisme algébrique élémentaire
∑ – théorèmes sur les fonctions continues, lois régissant les objets
(quantité, courbe), principe de conservation par passage à la limite
 La notation algébrique de la valeur absolue est manquante
 La continuité est définie sur un intervalle et non en un point
 Les quantificateurs ne sont pas disponibles rendant difficile l’identification
des dépendances et la négation des énoncés qui les impliquent (e.g. la
discontinuité comme négation de la continuité)
Nicolas Balacheff, séminaire DEMa, IMAG Montpellier -mai 2019D’après Arsac 2013 / 32

Un problème d’approximation
Ci-dessous des valeurs yi, entachées d'erreurs aléatoires pouvant aller jusqu'à 10 %. Ces valeurs
sont issues d'un polynôme P de degré 3 de coefficients inconnus, évalué en xi.
On propose cinq approximations de ce polynôme. Choisissez celle qui approche au mieux ce
polynôme :
• sur l'intervalle [0;20]
• sur [0 ; +∞ [
Vous expliquerez les raisons pour lesquelles vous retenez ou vous refusez chacune des
approximations.
26
f1(x) = 1.2310 + 0.0752 x + 1.789 × 10-3 x2
f2(x) = 1.2429 + 0.06706 x + 2.833×10-3x2 – 3.48 ×10-5x3
f3(x) = 1.2712 + 0.0308 x + 0.0115 x2 – 7.1626 × 10-4x3 + 1.704 × 10-5x4
f4 définie par :
• elle passe par chacun des points (xi, yi)
• sur chaque intervalle [xi ; yi], f4 est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3
• elle est deux fois dérivable et sa dérivée seconde est continue
• sa représentation algébrique est la suivante (sur chaque intervalle [xi, yi]) :
[polynômes de degré 3 par intervalles)
Maple
N. Gaudin (2005) Nicolas Balacheff, séminaire DEMa, IMAG Montpellier -mai 2019 / 32

27
RÉMI : [Donc le polynôme est quelque part là dedans.]
OLIVIER : [Ouais. La meilleure approximation a le droit d’en sortir.]. [donc on est pas bien avancé]
RÉMI : [Ca dépend comment on définit meilleure. Ca dépend si tu considères si un point sort c’est pas bien
ou si c’est une moyenne… si c’est l’ensemble des points qui soit bien…]
Les contrôles référents
- Forme de la courbe d’un polynôme du 3ième degré
- Proximité des 𝑓𝑖 𝑥𝑗 et 𝑦𝑗
- Position de la courbe par rapport à (xi, yi)
guident la recherche d’une solution
Les contrôles d’instrumentation
- Distance entre la courbe d’approximation et les points (xi, yi)
- Critère de la meilleure approximation
guident le choix des opérateurs
en cohérence avec les contrôles
référent.
Les contrôles locaux
garantissent la bonne mise en
œuvre d’un opérateur.
Nicolas Balacheff, séminaire DEMa, IMAG Montpellier -mai 2019N. Gaudin (2005) / 32

28
Les contrôles référents sont nécessaires pour assurer la pertinence et la validité des
procédures de résolution engagées , ils anticipent la validation finale.
Nicolas Balacheff, séminaire DEMa, IMAG Montpellier -mai 2019N. Gaudin (2005) / 32

Conception – connaissance – concept
Conception et objet
Les conceptions identifiées renvoient-elles au même objet mathématique ?
 Difficile en mathématiques alors que les seuls entités tangibles que l’on manipule
sont des représentations
 Le postulat de Gérard Vergnaud donne une solution :
Les problèmes sont la source et le critère de la connaissance
Le système de représentation est le pivot :
Soit C, C’ et Ca trois conceptions telles qu’il existe des fonctions de représentations
ƒ: L→La et ƒ’: L’→La
[C et C’ ont le même objet relativement à Ca si pour tout p de P il existe p’ de P’
tel que ƒ(p)=ƒ’(p’) et réciproquement]
Deux conceptions ont le même objet si leurs sphères de pratique peuvent être
assimilées l’une à l’autre du point de vue d’une conception plus générale
 Le plus souvent Ca est la conception de l’observateur

Conception – connaissance – concept
Conception et objet
30
Soit Ca , « avoir le même objet relativement à Ca » définit une relation
d’équivalence dans l’ensemble des conceptions.
Postulons l’existence d’une conception Cµ plus générale que tout
autre conception qui puisse lui être comparée.
Un « concept » est l’ensemble de toutes les conception ayant le
même objet relativement à Cµ.
(en pratique, c’est le rôle d’une théorie
mathématique de référence)
Cette définition est cohérente avec la position épistémologique selon laquelle la
signification d’un concept mathématique dépasse le texte de sa définition formelle, elle
est le produit de son histoire et de ses usages.
Une « connaissance » est un ensemble de conceptions
En d’autres termes, une conception…
… est l’instanciation d’une connaissance par une situation
(elle caractérise le système sujet<>milieu en situation)
… est l’instanciation d’un concept par le couple (sujet/situation)

Conclusion : cadre de modélisation
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cK¢ propose…
… un moyen d’analyse
• de l’activité mathématique
• de la complexité de la prise en compte
 des connaissances des élèves,
 des enseignants et des chercheurs,
 des savoirs à enseigner
 et de leurs relations
… un formalisme unificateur
• pour l’ingénierie de situations didactiques
• pour le design d’environnements informatiques pour l’apprentissage des
mathématiques (EIAH & didactique des mathématiques)

Le projet : lier preuve et connaissance
32
Théorème = {Théorie, énoncé, démonstration}
Conjecture = {Conception, énoncé, argumentation}
Fait = {Répertoire structuré, énoncé, argumentation mathématique}
P
R
L
∑ Valeur épistémique des énoncés & contrôles …/..
Unitéépistémique
Unitécognitive-Boero
P
R Permis d’inférer et schémas d’action
L Vocabulaire et règles de bonne forme normalisés
∑ Valeur probatoire (ontique) des faits & contrôles …/..
P
R Règles et procédures formalisées, valeur instrumentale des théorèmes
L Registre sémiotique formel (sens de Duval)
∑ Valeur prédicative des théorèmes & contrôles …/…
Nicolas Balacheff, séminaire DEMa, IMAG Montpellier -mai 2019
Mariotti et al
/ 32

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