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Etude statique du robot MaxPID
Etude statique du système Maxpid
Objectifs : Calcul du couple théorique du moteur pour maintenir l’ensemble en
équilibre.
Hypothèses :
• On est à l’équilibre
• On néglige l’action mécanique de la pesanteur sur l’ensemble des pièces
autres que les masses concentrées
• Toutes les liaisons sont considérées comme parfaites
• Le moteur exerce entre 4 et 3 un moment noté Cm, dirigé selon
#»
x1 . En
D, une masse ponctuelle est accrochée (masse m, direction de la
pesanteur −
#»
y0)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 58 / 74
Etude statique du robot MaxPID
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 59 / 74
Etude statique du robot MaxPID
Q - 7 : Tracer le graphe de structure du mécanisme
0
1
2
3
4
Pivot
(B,
#»
Z0)
Pivot glissant
(C,
#»
Z0)
hélicoïdale
(O,
#»
X1)
Pivot
(O,
#»
X1)
Sphérique à doigt
(0,
#»
X1)
Gravitation
#»
g = −
#»
Y0
#»
C4→3 = Cm.
#»
X1
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 60 / 74
Etude statique du robot MaxPID
Q - 8 : Donner les torseurs des actions mécaniques transmissibles par
chacune des liaisons présentes dans le schéma cinématique.
(
F1→0
)
=
B







X10 L10
Y10 M10
Z10 0







B1
=
B
(
X10.
#»
X1 + Y10.
#»
Y1 + Z10.
#»
Z1
L10.
#»
X1 + M10.
#»
Y1
)
(
F2→1
)
=
C







X21 L21
Y21 M21
0 0







B1
=
C
(
X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1
)
(
F3→2
)
=
O









X32
p
2.π
X32
Y32 M32
Z32 N32









B1
=
O







X32.
#»
X1 + Y32.
#»
Y1 + Z32.
#»
Z1
p
2.π
X32.
#»
X1 + M32.
#»
Y1 + N32.
#»
Z1







(
F4→3
)
=
O







X43 0
Y43 M43
Z43 N43







B1
=
O
(
X43.
#»
X1 + Y43.
#»
Y1 + Z43.
#»
Z1
L43.
#»
X1 + M43.
#»
Y1 + N43.
#»
Z1
)
(
F4→0
)
=
O







X40 L40
Y40 0
Z40 0







B1
=
O
(
X40.
#»
X1 + Y40.
#»
Y1 + Z40.
#»
Z1
L40.
#»
X1
)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 61 / 74
Etude statique du robot MaxPID
Q - 9 : Proposer une méthodologie pour atteindre l’objectif : (isolements à
effectuer, équations à écrire,. . .)
Nous avons au total 23 inconnues d’efforts dans les liaisons et une inconnue
liée au couple moteur. Il nous faut donc 24 équations indépendantes pour
résoudre complètement le problème. Nous pouvons obtenir 24 équations, en
isolant 4 systèmes de solides indépendants et en leur appliquant le principe
fondamental de la statique.
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 62 / 74
Etude statique du robot MaxPID
Q - 10 : Déterminer l’expression de Cm en fonction de θ, de α et des para-
mètres géométriques constants.
−
→
x0
−
→
y0
−
→
z1
−
→
z0
−
→
x1
−
→
y1
α −
→
x0
−
→
y0
−
→
z2
−
→
z0
−
→
x2
−
→
y2
θ
−
→
x1
−
→
y1
−
→
z2
−
→
z1
−
→
x2
−
→
y2
θ − α
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 63 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 1
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 1
◮ Efforts de liaisons
#»
F(0→1)
◮ Efforts de liaisons
#»
F(2→1)
◮ Action mécanique de la gravitation :
(
Fg→1
)
=
D
n
−m.g.
#»
y0
o
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 1 dans le
repère supposé galiléen R (O,
#»
x0,
#»
y0,
#»
z0):
(
F0→1
)
+
(
F2→1
)
+
(
Fg→1
)
=
(
0
)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 64 / 74
Etude statique du robot MaxPID
Exprimons alors cette égalité au point B:
(
Fg→1
)
=
D

−m.g.
#»
Y0

=
B









−m.g.
#»
Y0
# »
BD ∧

−m.g.
#»
Y0










=
B









−m.g.
#»
Y0
L.
#»
X2 ∧

−m.g.
#»
Y0










=
B









(
F2→1
)
=
C
(
X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1
)
=
B













X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1 +
# »
BC
|{z}
l.
#»
X 2
∧

X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1














(
F2→1
)
=
B
(
X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1 + l. (−X21. sin(θ − α) + Y21. cos(θ − α))
#»
Z0
)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 65 / 74
Etude statique du robot MaxPID
ce qui nous conduit au système:































X10 = X21 − m.g. sin(α)
Y10 = Y21 − m.g. cos(α)
0 = Z21
L10 = L21
M10 = M21
0 = l. (−X21. sin(θ − α) + Y21. cos(θ − α)) − m.g.L
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 66 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 2
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 2
◮ Efforts de liaisons
#»
F(1→2)
◮ Efforts de liaisons
#»
F(3→2)
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 2 dans le
repère supposé galiléen R (O,
#»
x0,
#»
y0,
#»
z0):
(
F3→2
)
+
(
F1→2
)
=
(
0
)
⇒
(
F3→2
)
=
(
F2→1
)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 67 / 74
Etude statique du robot MaxPID
Exprimons alors cette égalité au point O:
(
F2→1
)
=
C
(
X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1
)
=
O













X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1 +
# »
OC
|{z}
λ.
#»
X 1
∧

X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1














(
F2→1
)
=
O
(
X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1 + λ.Y21
#»
Z0
)
ce qui nous conduit au système:































X32 = X21
Y32 = Y21
Z32 = Z21
p
2.π
.X32 = L21
M32 = M21
N32 = λ.Y21
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 68 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 3
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 69 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 3
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3
◮ Efforts de liaisons
#»
F(4→3)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 69 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 3
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3
◮ Efforts de liaisons
#»
F(4→3)
◮ Efforts de liaisons
#»
F(2→3)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 69 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 3
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3
◮ Efforts de liaisons
#»
F(4→3)
◮ Efforts de liaisons
#»
F(2→3)
◮ Le couple moteur







FCm







=
O
( #»
0
Cm
#»
X1
)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 69 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 3
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3
◮ Efforts de liaisons
#»
F(4→3)
◮ Efforts de liaisons
#»
F(2→3)
◮ Le couple moteur







FCm







=
O
( #»
0
Cm
#»
X1
)
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 3 dans le repère supposé galiléen
R (O, #»
x0, #»
y0, #»
z0):
(
F4→3
)
+
(
F2→3
)
+







#»
F Cm







=
(
0
)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 69 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 3
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3
◮ Efforts de liaisons
#»
F(4→3)
◮ Efforts de liaisons
#»
F(2→3)
◮ Le couple moteur







FCm







=
O
( #»
0
Cm
#»
X1
)
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 3 dans le repère supposé galiléen
R (O, #»
x0, #»
y0, #»
z0):
(
F4→3
)
+
(
F2→3
)
+







#»
F Cm







=
(
0
)
◦ Exprimons alors cette égalité au point O:
ce qui nous conduit au système:































X43 = X32
Y43 = Y32
Z43 = Z32
Cm =
p
2.π
X32
M43 = M32
N43 = N32
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 69 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 4
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 70 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 4
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4
◮ Efforts de liaisons
#»
F(0→4)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 70 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 4
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4
◮ Efforts de liaisons
#»
F(0→4)
◮ Efforts de liaisons
#»
F(3→4)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 70 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 4
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4
◮ Efforts de liaisons
#»
F(0→4)
◮ Efforts de liaisons
#»
F(3→4)
◮ Le couple moteur −







FCm







=
O
( #»
0
−Cm
#»
X1
)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 70 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 4
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4
◮ Efforts de liaisons
#»
F(0→4)
◮ Efforts de liaisons
#»
F(3→4)
◮ Le couple moteur −







FCm







=
O
( #»
0
−Cm
#»
X1
)
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 4 dans le repère supposé galiléen
R (O, #»
x 0, #»
y 0, #»
z 0):
(
F0→4
)
+
(
F3→4
)
−







FCm







=
(
0
)
(
F4→0
)
+
(
F4→3
)
+







FCm







=
(
0
)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 70 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On isole la pièce 4
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4
◮ Efforts de liaisons
#»
F(0→4)
◮ Efforts de liaisons
#»
F(3→4)
◮ Le couple moteur −







FCm







=
O
( #»
0
−Cm
#»
X1
)
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 4 dans le repère supposé galiléen
R (O, #»
x 0, #»
y 0, #»
z 0):
(
F0→4
)
+
(
F3→4
)
−







FCm







=
(
0
)
(
F4→0
)
+
(
F4→3
)
+







FCm







=
(
0
)
◦ Exprimons alors cette égalité au point O:
ce qui nous conduit au système:





























X40 + X43 = 0
Y40 + Y43 = 0
Z40 + Z43 = 0
L40 + Cm = 0
M43 = 0
N43 = 0
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 70 / 74
Etude statique du robot MaxPID
Nous obtenons alors un système de 24 équations à 24 inconnues. Le rang du
système est a priori de 24. Le système est donc isostatique: tous les actions
mécaniques sont donc déterminables. Reprenons le système global:









































X10 = X21 − m.g. sin(α)
Y10 = Y21 − m.g. cos(α)
0 = Z21
L10 = L21
M10 = M21
0 = l.

− X21. sin(θ − α)
+Y21. cos(θ − α)

− m.g.L































X32 = X21
Y32 = Y21
Z32 = Z21
p
2.π
.X32 = L21
M32 = M21
N32 = λ.Y21
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 71 / 74
Etude statique du robot MaxPID































X43 = X32
Y43 = Y32
Z43 = Z32
Cm =
p
2.π
X32
M43 = M32
N43 = N32































X40 + X43 = 0
Y40 + Y43 = 0
Z40 + Z43 = 0
L40 + Cm = 0
M43 = 0
N43 = 0
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 72 / 74
Etude statique du robot MaxPID
On rappelle que le but est de trouver le couple moteur Cm en fonction des
masses m et des angles α et θ.































M43 = 0
N43 = 0
M32 = 0
N32 = 0
M21 = 0
M10 = 0































Y21 = 0
Z21 = 0
Y32 = 0
Z32 = 0
Y43 = 0
Z43 = 0
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 73 / 74
Etude statique du robot MaxPID





































Y40 = 0
Z40 = 0
Y10 = −m.g. cos(α)
X21 = −
m.g
sin(θ − α)
.L
l
X32 = −
m.g
sin(θ − α)
.L
l
X43 = −
m.g
sin(θ − α)
.L
l













































X10 = −m.g sin(α) + 1
sin(θ − α)
.L
l
!
X40 =
m.g
sin(θ − α)
.L
l
Cm = −
p
2.π
.
m.g
sin(θ − α)
.L
l
L21 = −
p
2.π
.
m.g
sin(θ − α)
.L
l
L10 = −
p
2.π
.
m.g
sin(θ − α)
.L
l
L40 =
p
2.π
.
m.g
sin(θ − α)
.L
l
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 74 / 74

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  • 1. Etude statique du robot MaxPID Etude statique du système Maxpid Objectifs : Calcul du couple théorique du moteur pour maintenir l’ensemble en équilibre. Hypothèses : • On est à l’équilibre • On néglige l’action mécanique de la pesanteur sur l’ensemble des pièces autres que les masses concentrées • Toutes les liaisons sont considérées comme parfaites • Le moteur exerce entre 4 et 3 un moment noté Cm, dirigé selon #» x1 . En D, une masse ponctuelle est accrochée (masse m, direction de la pesanteur − #» y0) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 58 / 74
  • 2. Etude statique du robot MaxPID Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 59 / 74
  • 3. Etude statique du robot MaxPID Q - 7 : Tracer le graphe de structure du mécanisme 0 1 2 3 4 Pivot (B, #» Z0) Pivot glissant (C, #» Z0) hélicoïdale (O, #» X1) Pivot (O, #» X1) Sphérique à doigt (0, #» X1) Gravitation #» g = − #» Y0 #» C4→3 = Cm. #» X1 Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 60 / 74
  • 4. Etude statique du robot MaxPID Q - 8 : Donner les torseurs des actions mécaniques transmissibles par chacune des liaisons présentes dans le schéma cinématique. ( F1→0 ) = B        X10 L10 Y10 M10 Z10 0        B1 = B ( X10. #» X1 + Y10. #» Y1 + Z10. #» Z1 L10. #» X1 + M10. #» Y1 ) ( F2→1 ) = C        X21 L21 Y21 M21 0 0        B1 = C ( X21. #» X1 + Y21. #» Y1 L21. #» X1 + M21. #» Y1 ) ( F3→2 ) = O          X32 p 2.π X32 Y32 M32 Z32 N32          B1 = O        X32. #» X1 + Y32. #» Y1 + Z32. #» Z1 p 2.π X32. #» X1 + M32. #» Y1 + N32. #» Z1        ( F4→3 ) = O        X43 0 Y43 M43 Z43 N43        B1 = O ( X43. #» X1 + Y43. #» Y1 + Z43. #» Z1 L43. #» X1 + M43. #» Y1 + N43. #» Z1 ) ( F4→0 ) = O        X40 L40 Y40 0 Z40 0        B1 = O ( X40. #» X1 + Y40. #» Y1 + Z40. #» Z1 L40. #» X1 ) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 61 / 74
  • 5. Etude statique du robot MaxPID Q - 9 : Proposer une méthodologie pour atteindre l’objectif : (isolements à effectuer, équations à écrire,. . .) Nous avons au total 23 inconnues d’efforts dans les liaisons et une inconnue liée au couple moteur. Il nous faut donc 24 équations indépendantes pour résoudre complètement le problème. Nous pouvons obtenir 24 équations, en isolant 4 systèmes de solides indépendants et en leur appliquant le principe fondamental de la statique. Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 62 / 74
  • 6. Etude statique du robot MaxPID Q - 10 : Déterminer l’expression de Cm en fonction de θ, de α et des para- mètres géométriques constants. − → x0 − → y0 − → z1 − → z0 − → x1 − → y1 α − → x0 − → y0 − → z2 − → z0 − → x2 − → y2 θ − → x1 − → y1 − → z2 − → z1 − → x2 − → y2 θ − α Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 63 / 74
  • 7. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 1 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 1 ◮ Efforts de liaisons #» F(0→1) ◮ Efforts de liaisons #» F(2→1) ◮ Action mécanique de la gravitation : ( Fg→1 ) = D n −m.g. #» y0 o ◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 1 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x0, #» y0, #» z0): ( F0→1 ) + ( F2→1 ) + ( Fg→1 ) = ( 0 ) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 64 / 74
  • 8. Etude statique du robot MaxPID Exprimons alors cette égalité au point B: ( Fg→1 ) = D −m.g. #» Y0 = B          −m.g. #» Y0 # » BD ∧ −m.g. #» Y0          = B          −m.g. #» Y0 L. #» X2 ∧ −m.g. #» Y0          = B          ( F2→1 ) = C ( X21. #» X1 + Y21. #» Y1 L21. #» X1 + M21. #» Y1 ) = B              X21. #» X1 + Y21. #» Y1 L21. #» X1 + M21. #» Y1 + # » BC |{z} l. #» X 2 ∧ X21. #» X1 + Y21. #» Y1              ( F2→1 ) = B ( X21. #» X1 + Y21. #» Y1 L21. #» X1 + M21. #» Y1 + l. (−X21. sin(θ − α) + Y21. cos(θ − α)) #» Z0 ) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 65 / 74
  • 9. Etude statique du robot MaxPID ce qui nous conduit au système:                                X10 = X21 − m.g. sin(α) Y10 = Y21 − m.g. cos(α) 0 = Z21 L10 = L21 M10 = M21 0 = l. (−X21. sin(θ − α) + Y21. cos(θ − α)) − m.g.L Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 66 / 74
  • 10. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 2 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 2 ◮ Efforts de liaisons #» F(1→2) ◮ Efforts de liaisons #» F(3→2) ◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 2 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x0, #» y0, #» z0): ( F3→2 ) + ( F1→2 ) = ( 0 ) ⇒ ( F3→2 ) = ( F2→1 ) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 67 / 74
  • 11. Etude statique du robot MaxPID Exprimons alors cette égalité au point O: ( F2→1 ) = C ( X21. #» X1 + Y21. #» Y1 L21. #» X1 + M21. #» Y1 ) = O              X21. #» X1 + Y21. #» Y1 L21. #» X1 + M21. #» Y1 + # » OC |{z} λ. #» X 1 ∧ X21. #» X1 + Y21. #» Y1              ( F2→1 ) = O ( X21. #» X1 + Y21. #» Y1 L21. #» X1 + M21. #» Y1 + λ.Y21 #» Z0 ) ce qui nous conduit au système:                                X32 = X21 Y32 = Y21 Z32 = Z21 p 2.π .X32 = L21 M32 = M21 N32 = λ.Y21 Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 68 / 74
  • 12. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 3 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3 Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 69 / 74
  • 13. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 3 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3 ◮ Efforts de liaisons #» F(4→3) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 69 / 74
  • 14. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 3 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3 ◮ Efforts de liaisons #» F(4→3) ◮ Efforts de liaisons #» F(2→3) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 69 / 74
  • 15. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 3 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3 ◮ Efforts de liaisons #» F(4→3) ◮ Efforts de liaisons #» F(2→3) ◮ Le couple moteur        FCm        = O ( #» 0 Cm #» X1 ) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 69 / 74
  • 16. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 3 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3 ◮ Efforts de liaisons #» F(4→3) ◮ Efforts de liaisons #» F(2→3) ◮ Le couple moteur        FCm        = O ( #» 0 Cm #» X1 ) ◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 3 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x0, #» y0, #» z0): ( F4→3 ) + ( F2→3 ) +        #» F Cm        = ( 0 ) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 69 / 74
  • 17. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 3 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3 ◮ Efforts de liaisons #» F(4→3) ◮ Efforts de liaisons #» F(2→3) ◮ Le couple moteur        FCm        = O ( #» 0 Cm #» X1 ) ◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 3 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x0, #» y0, #» z0): ( F4→3 ) + ( F2→3 ) +        #» F Cm        = ( 0 ) ◦ Exprimons alors cette égalité au point O: ce qui nous conduit au système:                                X43 = X32 Y43 = Y32 Z43 = Z32 Cm = p 2.π X32 M43 = M32 N43 = N32 Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 69 / 74
  • 18. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 4 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4 Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 70 / 74
  • 19. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 4 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4 ◮ Efforts de liaisons #» F(0→4) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 70 / 74
  • 20. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 4 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4 ◮ Efforts de liaisons #» F(0→4) ◮ Efforts de liaisons #» F(3→4) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 70 / 74
  • 21. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 4 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4 ◮ Efforts de liaisons #» F(0→4) ◮ Efforts de liaisons #» F(3→4) ◮ Le couple moteur −        FCm        = O ( #» 0 −Cm #» X1 ) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 70 / 74
  • 22. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 4 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4 ◮ Efforts de liaisons #» F(0→4) ◮ Efforts de liaisons #» F(3→4) ◮ Le couple moteur −        FCm        = O ( #» 0 −Cm #» X1 ) ◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 4 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x 0, #» y 0, #» z 0): ( F0→4 ) + ( F3→4 ) −        FCm        = ( 0 ) ( F4→0 ) + ( F4→3 ) +        FCm        = ( 0 ) Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 70 / 74
  • 23. Etude statique du robot MaxPID On isole la pièce 4 ◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4 ◮ Efforts de liaisons #» F(0→4) ◮ Efforts de liaisons #» F(3→4) ◮ Le couple moteur −        FCm        = O ( #» 0 −Cm #» X1 ) ◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 4 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x 0, #» y 0, #» z 0): ( F0→4 ) + ( F3→4 ) −        FCm        = ( 0 ) ( F4→0 ) + ( F4→3 ) +        FCm        = ( 0 ) ◦ Exprimons alors cette égalité au point O: ce qui nous conduit au système:                              X40 + X43 = 0 Y40 + Y43 = 0 Z40 + Z43 = 0 L40 + Cm = 0 M43 = 0 N43 = 0 Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 70 / 74
  • 24. Etude statique du robot MaxPID Nous obtenons alors un système de 24 équations à 24 inconnues. Le rang du système est a priori de 24. Le système est donc isostatique: tous les actions mécaniques sont donc déterminables. Reprenons le système global:                                          X10 = X21 − m.g. sin(α) Y10 = Y21 − m.g. cos(α) 0 = Z21 L10 = L21 M10 = M21 0 = l. − X21. sin(θ − α) +Y21. cos(θ − α) − m.g.L                                X32 = X21 Y32 = Y21 Z32 = Z21 p 2.π .X32 = L21 M32 = M21 N32 = λ.Y21 Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 71 / 74
  • 25. Etude statique du robot MaxPID                                X43 = X32 Y43 = Y32 Z43 = Z32 Cm = p 2.π X32 M43 = M32 N43 = N32                                X40 + X43 = 0 Y40 + Y43 = 0 Z40 + Z43 = 0 L40 + Cm = 0 M43 = 0 N43 = 0 Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 72 / 74
  • 26. Etude statique du robot MaxPID On rappelle que le but est de trouver le couple moteur Cm en fonction des masses m et des angles α et θ.                                M43 = 0 N43 = 0 M32 = 0 N32 = 0 M21 = 0 M10 = 0                                Y21 = 0 Z21 = 0 Y32 = 0 Z32 = 0 Y43 = 0 Z43 = 0 Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 73 / 74
  • 27. Etude statique du robot MaxPID                                      Y40 = 0 Z40 = 0 Y10 = −m.g. cos(α) X21 = − m.g sin(θ − α) .L l X32 = − m.g sin(θ − α) .L l X43 = − m.g sin(θ − α) .L l                                              X10 = −m.g sin(α) + 1 sin(θ − α) .L l ! X40 = m.g sin(θ − α) .L l Cm = − p 2.π . m.g sin(θ − α) .L l L21 = − p 2.π . m.g sin(θ − α) .L l L10 = − p 2.π . m.g sin(θ − α) .L l L40 = p 2.π . m.g sin(θ − α) .L l Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 74 / 74