Statique_des_solidesStatique_des_solidesStatique_des_solides

Etude statique du robot MaxPID
Etude statique du système Maxpid
Objectifs : Calcul du couple théorique du moteur pour maintenir l’ensemble en
équilibre.
Hypothèses :
• On est à l’équilibre
• On néglige l’action mécanique de la pesanteur sur l’ensemble des pièces
autres que les masses concentrées
• Toutes les liaisons sont considérées comme parfaites
• Le moteur exerce entre 4 et 3 un moment noté Cm, dirigé selon
#»
x1 . En
D, une masse ponctuelle est accrochée (masse m, direction de la
pesanteur −
#»
y0)
Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 9 CI-6 Modéliser, déterminer les actions mécaniques Année 2013 - 2014 58 / 74

Q - 7 : Tracer le graphe de structure du mécanisme
0
1
2
3
4
Pivot
(B,
#»
Z0)
Pivot glissant
(C,
#»
Z0)
hélicoïdale
(O,
#»
X1)
Pivot
(O,
#»
X1)
Sphérique à doigt
(0,
#»
X1)
Gravitation
#»
g = −
#»
Y0
#»
C4→3 = Cm.
#»
X1

Q - 8 : Donner les torseurs des actions mécaniques transmissibles par
chacune des liaisons présentes dans le schéma cinématique.
(
F1→0
)
=
B







X10 L10
Y10 M10
Z10 0







B1
=
B
(
X10.
#»
X1 + Y10.
#»
Y1 + Z10.
#»
Z1
L10.
#»
X1 + M10.
#»
Y1
)
(
F2→1
)
=
C







X21 L21
Y21 M21
0 0







B1
=
C
(
X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1
)
(
F3→2
)
=
O









X32
p
2.π
X32
Y32 M32
Z32 N32









B1
=
O







X32.
#»
X1 + Y32.
#»
Y1 + Z32.
#»
Z1
p
2.π
X32.
#»
X1 + M32.
#»
Y1 + N32.
#»
Z1







(
F4→3
)
=
O







X43 0
Y43 M43
Z43 N43







B1
=
O
(
X43.
#»
X1 + Y43.
#»
Y1 + Z43.
#»
Z1
L43.
#»
X1 + M43.
#»
Y1 + N43.
#»
Z1
)
(
F4→0
)
=
O







X40 L40
Y40 0
Z40 0







B1
=
O
(
X40.
#»
X1 + Y40.
#»
Y1 + Z40.
#»
Z1
L40.
#»
X1
)

Q - 9 : Proposer une méthodologie pour atteindre l’objectif : (isolements à
effectuer, équations à écrire,. . .)
Nous avons au total 23 inconnues d’efforts dans les liaisons et une inconnue
liée au couple moteur. Il nous faut donc 24 équations indépendantes pour
résoudre complètement le problème. Nous pouvons obtenir 24 équations, en
isolant 4 systèmes de solides indépendants et en leur appliquant le principe
fondamental de la statique.

Q - 10 : Déterminer l’expression de Cm en fonction de θ, de α et des para-
mètres géométriques constants.
−
→
x0
−
→
y0
−
→
z1
−
→
z0
−
→
x1
−
→
y1
α −
→
x0
−
→
y0
−
→
z2
−
→
z0
−
→
x2
−
→
y2
θ
−
→
x1
−
→
y1
−
→
z2
−
→
z1
−
→
x2
−
→
y2
θ − α

On isole la pièce 1
◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 1
◮ Efforts de liaisons
#»
F(0→1)
#»
F(2→1)
◮ Action mécanique de la gravitation :
(
Fg→1
)
=
D
n
−m.g.
#»
y0
o
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 1 dans le
repère supposé galiléen R (O,
#»
x0,
#»
y0,
#»
z0):
(
F0→1
)
+
(
F2→1
)
+
(
Fg→1
)
=
(
0
)

Exprimons alors cette égalité au point B:
(
Fg→1
)
=
D

−m.g.
#»
Y0

=
B









−m.g.
#»
Y0
# »
BD ∧

−m.g.
#»
Y0










=
B









−m.g.
#»
Y0
L.
#»
X2 ∧

−m.g.
#»
Y0










=
B









(
F2→1
)
=
C
(
X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1
)
=
B













X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1 +
# »
BC
|{z}
l.
#»
X 2
∧

X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1














(
F2→1
)
=
B
(
X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1 + l. (−X21. sin(θ − α) + Y21. cos(θ − α))
#»
Z0
)

ce qui nous conduit au système:































X10 = X21 − m.g. sin(α)
Y10 = Y21 − m.g. cos(α)
0 = Z21
L10 = L21
M10 = M21
0 = l. (−X21. sin(θ − α) + Y21. cos(θ − α)) − m.g.L

#»
F(1→2)
#»
F(3→2)
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 2 dans le
repère supposé galiléen R (O,
#»
x0,
#»
y0,
#»
z0):
(
F3→2
)
+
(
F1→2
)
=
(
0
)
⇒
(
F3→2
)
=
(
F2→1
)

Exprimons alors cette égalité au point O:
(
F2→1
)
=
C
(
X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1
)
=
O













X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1 +
# »
OC
|{z}
λ.
#»
X 1
∧

X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1














(
F2→1
)
=
O
(
X21.
#»
X1 + Y21.
#»
Y1
L21.
#»
X1 + M21.
#»
Y1 + λ.Y21
#»
Z0
)































X32 = X21
Y32 = Y21
Z32 = Z21
p
2.π
.X32 = L21
M32 = M21
N32 = λ.Y21

#»
F(4→3)

#»
F(4→3)
#»
F(2→3)

#»
F(4→3)
#»
F(2→3)
◮ Le couple moteur







FCm







=
O
( #»
0
Cm
#»
X1
)

#»
F(4→3)
#»
F(2→3)







FCm







=
O
( #»
0
Cm
#»
X1
)
◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 3 dans le repère supposé galiléen
R (O, #»
x0, #»
y0, #»
z0):
(
F4→3
)
+
(
F2→3
)
+







#»
F Cm







=
(
0
)

#»
F(4→3)
#»
F(2→3)







FCm







=
O
( #»
0
Cm
#»
X1
)
R (O, #»
x0, #»
y0, #»
z0):
(
F4→3
)
+
(
F2→3
)
+







#»
F Cm







=
(
0
)
◦ Exprimons alors cette égalité au point O:































X43 = X32
Y43 = Y32
Z43 = Z32
Cm =
p
2.π
X32
M43 = M32
N43 = N32

#»
F(0→4)

#»
F(0→4)
#»
F(3→4)

#»
F(0→4)
#»
F(3→4)
◮ Le couple moteur −







FCm







=
O
( #»
0
−Cm
#»
X1
)

#»
F(0→4)
#»
F(3→4)







FCm







=
O
( #»
0
−Cm
#»
X1
)
R (O, #»
x 0, #»
y 0, #»
z 0):
(
F0→4
)
+
(
F3→4
)
−







FCm







=
(
0
)
(
F4→0
)
+
(
F4→3
)
+







FCm







=
(
0
)

#»
F(0→4)
#»
F(3→4)







FCm







=
O
( #»
0
−Cm
#»
X1
)
R (O, #»
x 0, #»
y 0, #»
z 0):
(
F0→4
)
+
(
F3→4
)
−







FCm







=
(
0
)
(
F4→0
)
+
(
F4→3
)
+







FCm







=
(
0
)
◦ Exprimons alors cette égalité au point O:





























X40 + X43 = 0
Y40 + Y43 = 0
Z40 + Z43 = 0
L40 + Cm = 0
M43 = 0
N43 = 0

Nous obtenons alors un système de 24 équations à 24 inconnues. Le rang du
système est a priori de 24. Le système est donc isostatique: tous les actions
mécaniques sont donc déterminables. Reprenons le système global:









































X10 = X21 − m.g. sin(α)
Y10 = Y21 − m.g. cos(α)
0 = Z21
L10 = L21
M10 = M21
0 = l.

− X21. sin(θ − α)
+Y21. cos(θ − α)

− m.g.L































X32 = X21
Y32 = Y21
Z32 = Z21
p
2.π
.X32 = L21
M32 = M21
N32 = λ.Y21
































X43 = X32
Y43 = Y32
Z43 = Z32
Cm =
p
2.π
X32
M43 = M32
N43 = N32































X40 + X43 = 0
Y40 + Y43 = 0
Z40 + Z43 = 0
L40 + Cm = 0
M43 = 0
N43 = 0

On rappelle que le but est de trouver le couple moteur Cm en fonction des
masses m et des angles α et θ.































M43 = 0
N43 = 0
M32 = 0
N32 = 0
M21 = 0
M10 = 0































Y21 = 0
Z21 = 0
Y32 = 0
Z32 = 0
Y43 = 0
Z43 = 0






































Y40 = 0
Z40 = 0
Y10 = −m.g. cos(α)
X21 = −
m.g
sin(θ − α)
.L
l
X32 = −
m.g
sin(θ − α)
.L
l
X43 = −
m.g
sin(θ − α)
.L
l













































X10 = −m.g sin(α) + 1
sin(θ − α)
.L
l
!
X40 =
m.g
sin(θ − α)
.L
l
Cm = −
p
2.π
.
m.g
sin(θ − α)
.L
l
L21 = −
p
2.π
.
m.g
sin(θ − α)
.L
l
L10 = −
p
2.π
.
m.g
sin(θ − α)
.L
l
L40 =
p
2.π
.
m.g
sin(θ − α)
.L
l

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