Suites numeriques-generalites

1. Suites numériques : généralités – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche :
 Exercice 1 : définition d’une suite, notion de rang et termes d’une suite
 Exercice 2 : calcul avec les termes d’une suite
 Exercice 3 : relation de récurrence
 Exercice 4 : sens de variation d’une suite (monotonie : croissance ou décroissance)
Pour chacune des suites suivantes de terme général , indiquer à partir de quel rang elles sont définies puis
calculer la somme des 3 premiers termes.
1) 2)
Rappel : Définition d’une suite numérique
Une suite numérique est une fonction définie sur (ou un intervalle de ) et à valeurs dans . Elle
peut être définie :
 par une formule explicite :
 par récurrence :
désigne l’ensemble des entiers naturels :
1) Soit la suite définie par :
est définie si et seulement si existe, c’est-à-dire si et seulement . Or, cette condition est vérifiée
pour tout .
est donc définie pour tout entier naturel .
Calculons désormais , et , les 3 premiers termes de :
Suites numériques – Généralités
Exercices corrigés
Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1
Par convention, pour tout réel,

2. Suites numériques : généralités – Exercices corrigés
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2) Soit la suite définie par :
est définie si et seulement si . Or, avec, d’une part, pour tout
entier naturel et, d’autre part, pour tout entier naturel .
est donc définie pour tout entier naturel .
Calculons désormais , et , les 3 premiers termes de :
3) Soit la suite définie par :
est définie si et seulement si . Or, . Seul le facteur peut être
nul dans puisque, pour tout entier naturel , .
est donc définie pour tout entier naturel .
Remarque : Même si existe a priori, comme n’est pas définie pour , alors la suite n’est définie
qu’à partir du rang 2.
Calculons désormais , et , les 3 premiers termes de :
Remarque : On peut observer que, pour tout entier naturel , on a :
A l’aide de cette expression, on calcule rapidement les différents termes de la suite : ; etc.
4) Soit la suite définie par :
est définie si et seulement si .
On dit aussi que la
suite est définie à
partir du rang 4.

3. Suites numériques : généralités – Exercices corrigés
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est donc définie sur .
Calculons désormais et , les 3 premiers termes de :
Soit la suite définie pour tout entier naturel par :
Vérifier que le rapport est indépendant de n.
est la suite définie pour tout entier naturel n par :
Ainsi :
D’où :
Le
rapport
est donc constant.
Montrer que la suite définie pour tout entier naturel par vérifie la relation de récurrence
.
Soit la suite définie pour tout entier naturel par .
Alors,
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 2
Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 3

4. Suites numériques : généralités – Exercices corrigés
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Autrement dit,
Remarque : Il était également possible de comparer et après avoir calculé ces deux
expressions séparément.
Etudier le sens de variation des suites suivantes.
1) 2)
Rappel : Sens de variation d’une suite
Uns suite est croissante (respectivement décroissante) si et seulement si on a pour tout entier naturel où la
suite est définie : (respectivement ).
Point méthode : Monotonie d’une suite (croissance ou décroissance)
Pour montrer qu’une suite est monotone, c’est-à-dire croissante ou décroissante, on peut opter pour
l’une des méthodes suivantes :
1- étudier le signe de la différence
 si , la suite est croissante
 si , la suite est croissante
2- étudier le signe du quotient à condition que les termes de la suite soient strictement positifs
 si , la suite est croissante
 si , la suite est croissante
3- si la suite est de la forme et si est monotone sur , alors la suite est monotone à
partir du rang .
Remarque : Ces résultats sont identiques avec des inégalités strictes ; on parle alors de stricte croissance ou de
stricte décroissance.
Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 4

5. Suites numériques : généralités – Exercices corrigés
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1) Soit la suite définie par :
Etudions le sens de variation de la suite , définie pour tout .
Or, pour tout entier naturel , donc .
Par conséquent, la suite est croissante pour tout .
2) Soit la suite définie par :
Etudions le sens de variation de , définie pour tout .
Pour tout entier naturel , donc .
Par conséquent, la suite est croissante pour tout .
3) Soit la suite définie par :
est définie si et seulement si (condition vérifiée pour tout entier naturel ) et (condition
également vérifiée car pour tout entier naturel ).
Etudions le sens de variation de , définie pour tout .
Etudions le signe de ce quotient pour tout .
D’une part, . D’autre part, .
Enfin, pour tout entier naturel , et (car la fonction est strictement
croissante sur donc sur ). Ainsi, .
Par conséquent, . Autrement dit, la suite est croissante pour tout .

6. Suites numériques : généralités – Exercices corrigés
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4) Soit la suite définie par :
est définie pour tout et, par définition de cette suite, .
Or,
Le signe de dépend donc du signe de . Comme , alors pour
tout entier naturel .
En conclusion, est croissante à partir du rang .