Le document présente des exercices sur les suites numériques, abordant des concepts tels que la définition d'une suite, le calcul de termes, les relations de récurrence, ainsi que l'étude de la monotonie des suites. Chaque exercice est corrigé et offre des exemples précis pour le calcul et l'analyse des suites. Les méthodes pour déterminer le sens de variation des suites sont également expliquées.

1. Suites numériques : généralités – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche :
 Exercice 1 : définition d’une suite, notion de rang et termes d’une suite
 Exercice 2 : calcul avec les termes d’une suite
 Exercice 3 : relation de récurrence
 Exercice 4 : sens de variation d’une suite (monotonie : croissance ou décroissance)
Pour chacune des suites suivantes de terme général , indiquer à partir de quel rang elles sont définies puis
calculer la somme des 3 premiers termes.
1) 2)
Rappel : Définition d’une suite numérique
Une suite numérique est une fonction définie sur (ou un intervalle de ) et à valeurs dans . Elle
peut être définie :
 par une formule explicite :
 par récurrence :
désigne l’ensemble des entiers naturels :
1) Soit la suite définie par :
est définie si et seulement si existe, c’est-à-dire si et seulement . Or, cette condition est vérifiée
pour tout .
est donc définie pour tout entier naturel .
Calculons désormais , et , les 3 premiers termes de :
Suites numériques – Généralités
Exercices corrigés
Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1
Par convention, pour tout réel,

2. Suites numériques : généralités – Exercices corrigés
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2) Soit la suite définie par :
est définie si et seulement si . Or, avec, d’une part, pour tout
entier naturel et, d’autre part, pour tout entier naturel .
est donc définie pour tout entier naturel .
Calculons désormais , et , les 3 premiers termes de :
3) Soit la suite définie par :
est définie si et seulement si . Or, . Seul le facteur peut être
nul dans puisque, pour tout entier naturel , .
est donc définie pour tout entier naturel .
Remarque : Même si existe a priori, comme n’est pas définie pour , alors la suite n’est définie
qu’à partir du rang 2.
Calculons désormais , et , les 3 premiers termes de :
Remarque : On peut observer que, pour tout entier naturel , on a :
A l’aide de cette expression, on calcule rapidement les différents termes de la suite : ; etc.
4) Soit la suite définie par :
est définie si et seulement si .
On dit aussi que la
suite est définie à
partir du rang 4.

3. Suites numériques : généralités – Exercices corrigés
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est donc définie sur .
Calculons désormais et , les 3 premiers termes de :
Soit la suite définie pour tout entier naturel par :
Vérifier que le rapport est indépendant de n.
est la suite définie pour tout entier naturel n par :
Ainsi :
D’où :
Le
rapport
est donc constant.
Montrer que la suite définie pour tout entier naturel par vérifie la relation de récurrence
.
Soit la suite définie pour tout entier naturel par .
Alors,
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 2
Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 3

4. Suites numériques : généralités – Exercices corrigés
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Autrement dit,
Remarque : Il était également possible de comparer et après avoir calculé ces deux
expressions séparément.
Etudier le sens de variation des suites suivantes.
1) 2)
Rappel : Sens de variation d’une suite
Uns suite est croissante (respectivement décroissante) si et seulement si on a pour tout entier naturel où la
suite est définie : (respectivement ).
Point méthode : Monotonie d’une suite (croissance ou décroissance)
Pour montrer qu’une suite est monotone, c’est-à-dire croissante ou décroissante, on peut opter pour
l’une des méthodes suivantes :
1- étudier le signe de la différence
 si , la suite est croissante
 si , la suite est croissante
2- étudier le signe du quotient à condition que les termes de la suite soient strictement positifs
 si , la suite est croissante
 si , la suite est croissante
3- si la suite est de la forme et si est monotone sur , alors la suite est monotone à
partir du rang .
Remarque : Ces résultats sont identiques avec des inégalités strictes ; on parle alors de stricte croissance ou de
stricte décroissance.
Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 4

5. Suites numériques : généralités – Exercices corrigés
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1) Soit la suite définie par :
Etudions le sens de variation de la suite , définie pour tout .
Or, pour tout entier naturel , donc .
Par conséquent, la suite est croissante pour tout .
2) Soit la suite définie par :
Etudions le sens de variation de , définie pour tout .
Pour tout entier naturel , donc .
Par conséquent, la suite est croissante pour tout .
3) Soit la suite définie par :
est définie si et seulement si (condition vérifiée pour tout entier naturel ) et (condition
également vérifiée car pour tout entier naturel ).
Etudions le sens de variation de , définie pour tout .
Etudions le signe de ce quotient pour tout .
D’une part, . D’autre part, .
Enfin, pour tout entier naturel , et (car la fonction est strictement
croissante sur donc sur ). Ainsi, .
Par conséquent, . Autrement dit, la suite est croissante pour tout .

6. Suites numériques : généralités – Exercices corrigés
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4) Soit la suite définie par :
est définie pour tout et, par définition de cette suite, .
Or,
Le signe de dépend donc du signe de . Comme , alors pour
tout entier naturel .
En conclusion, est croissante à partir du rang .