Rapport de pfe buchi eric gc5

Projet de Fin d’Etudes :
Interaction Sol-Structure : calcul des impédances
et effets sur les fondations
Auteur : BUCHI Eric, élève-ingénieur de 5ème
année
Section : Génie Civil, INSA de Strasbourg
Tuteur entreprise : LAMBERT Serge
Enseignant-superviseur : NOWAMOOZ Hossein
Juin 2013

BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 2
Résumé
Ce Projet de Fin d’Etudes a pour objet l’étude de l’interaction entre le sol et la structure (ISS) afin de
pouvoir la prendre en compte lors d’un dimensionnement parasismique. En effet, la prise en compte
de l’ISS dans la modélisation d’une structure peut avoir des effets significatifs sur les efforts
sismiques s’appliquant à la fondation. Généralement, les effets de l’Interaction Sol-Structure (ISS)
sont favorables, c’est-à-dire qu’ils induisent une diminution des efforts sismiques. Il peut cependant
arriver que ses effets soient défavorables dans certains cas particuliers.
Afin de prendre en compte les effets de l’ISS une modélisation par ressorts amortis peut-être
adoptée. Le but de ce rapport est de présenter les différentes formules qui existent dans la
littérature traitant ce sujet. Il y a plusieurs formules de raideurs de sol pour les fondations
superficielles. Notamment les formules de Gazetas qui ont l’avantage de prendre en compte
l’encastrement de la fondation dans le sol et permettent également de modéliser le sol comme un bi-
couche alors que la plupart des autres formules le modélisent uniquement en monocouche. Au vu
d’un comparatif entre les formules on constate que la prise en compte d’un encastrement ainsi que
la modélisation du sol en bi-couche, avec la couche inférieure plus raide, donne des raideurs de sol
plus élevées que la modélisation par monocouche.
Concernant les fondations profondes il n’existe pas beaucoup de formules permettant de calculer la
raideur d’un pieu. On trouve cependant dans les règlements parasismiques tels que la norme NF P
94-262 fondations profondes des formules permettant de calculer des modules de réaction frontale
du sol, ce qui permet de modéliser les pieux dans des logiciels tel que Foxta. Il est ensuite possible de
déterminer le déplacement du pieu suite à l’application d’un effort. Ce qui permet de calculer la
raideur en divisant l’effort appliqué par le déplacement obtenu.
Un exemple a également été traité pour connaitre l’influence de ces paramètres sur les sollicitations
dans la structure de l’ouvrage. Il a permis de constater qu’une diminution de la raideur du sol
entrainait une diminution de la contrainte au sol sous un radier soumis à un chargement sismique.
Mots clés : Interaction sol-structure (ISS), raideurs des sols, amortissements, fondations
superficielles, fondations profondes.

Abstract
This internship has for goal to study the soil-structure interaction (SSI) in order to take it into account
for the seismic design. Indeed, the consideration of this interaction in the modeling of a structure can
have significant effects on the seismic forces which are applied on the foundation. Generally, effects
of the Soil-Structure Interaction (SSI) are favorable, which means that they induce a diminution of
the seismic forces. However, in some particular cases, the effects of SSI are detrimental.
In order to take the SSI into account a model with springs and dashpots can be used. The goal of this
report is to present the different formulas which can be found in the scientific literacy. There are
several formulas which give the soil stiffness of shallow foundations. Especially, Gazetas formulas
which have the advantage to take the embedment of the foundation into account. Moreover these
formulas also allow modeling the soil with two layers whereas the others use a homogenous half
space. After a comparison between the different formulas we can see that the soil stiffness is higher
when we take the embedment into account. Moreover the fact to take a model with two layers, with
the deepest layer stiffer than the surface layer, give higher soil stiffness than with an homogenous
half space.
Concerning deep foundations there are few formulas to calculate the stiffness of a pile. However,
some seismic rules, such as NF P 94-262 deep foundations, give formulas to calculate the frontal
modulus of soil reaction. With these formulas it is possible to model the pile with software like Foxta.
Thanks to that it is possible to determine the displacement of the soil under a load. So you can find
the stiffness by dividing the load by the displacement.
An example is also given in order to know how these parameters influence the stresses in the
structure. Thanks to it, we saw that a diminution of the soil stiffness has for effect to decrease the
stress under a raft with a seismic load.
Key words: Soil-Structure Interaction (SSI), soil stiffness, damping, shallow foundations, deep
foundations.

Remerciements
Pour commencer je tiens à remercier M. LAMBERT Serge, directeur technique, pour m’avoir donné la
possibilité d’effectuer mon PFE au sein de Keller Fondations Spéciales. Je le remercie également pour
m’avoir guidé et pour avoir répondu à mes questions tout au long de mon stage.
Je tiens ensuite à remercier M. QUIRIN Léo, M.VEERECKE Edouard et M. MULLER Stéphane, tous trois
ingénieurs études au siège de Keller, pour m’avoir accueilli au sein de leur bureau. Je les remercie
pour avoir répondu à mes interrogations, pour leurs explications et également pour m’avoir permis
de découvrir un peu le métier d’ingénieur étude. Je les remercie également pour leur sympathie et
pour leur bonne humeur qui m’ont permis d’effectuer mon stage dans une ambiance de travail
chaleureuse.
Je remercie également Mme. NARCY Estelle pour avoir pris le temps de lire certains de mes travaux
et pour m’avoir fait part de ses remarques.
Je souhaite remercier M. NOWAMOOZ Hossein pour avoir effectué mon suivi de PFE et pour avoir
pris le temps de lire mes différents rapports que j’ai pu lui envoyer.
Enfin je souhaite remercier tous les autres membres du personnel de Keller Fondations Spéciales que
j’ai pu côtoyer au cours de ces 20 semaines, en particulier les membres de l’agence de Strasbourg et
les dessinateurs.

Sommaire
Résumé...............................................................................................................................................2
Abstract..............................................................................................................................................3
Remerciements...................................................................................................................................4
Sigles ..................................................................................................................................................7
Introduction........................................................................................................................................8
1. L’entreprise Keller Fondations spéciales......................................................................................9
1.1. Historique du groupe...........................................................................................................9
1.2. Le groupe Keller...................................................................................................................9
1.3. Keller France........................................................................................................................9
1.3.1. Le personnel ..............................................................................................................10
1.3.2. Le bureau d’étude......................................................................................................10
1.3.3. La cellule Développement..........................................................................................11
1.4. Les techniques proposées par Keller Fondations Spéciales.................................................11
1.4.1. Présentation générale................................................................................................11
1.4.2. La colonne ballastée ..................................................................................................12
1.4.3. Les inclusions rigides..................................................................................................14
1.4.4. La colonne à module mixte CMM...............................................................................17
2. Interaction sol-structure (ISS) [1],[2],[3],[4] et [5]......................................................................19
2.1. Généralités........................................................................................................................19
2.2. Les effets de l’ISS...............................................................................................................22
2.3. Modélisation de l’ISS *1+*2+................................................................................................23
2.4. Equation générale formulant un problème d’ISS *5+...........................................................24
2.5. Influence de l’amortissement ............................................................................................25
3. Fondations superficielles...........................................................................................................28
3.1. Inventaire des méthodes...................................................................................................28
3.1.1. Méthode de Newmark-Rosenblueth [1] .....................................................................28
3.1.2. Méthode de Deleuze [1] ............................................................................................29
3.1.3. Les formules de la norme NF P 94-261 Fondations superficielles [7]...........................32
3.1.4. Guide du SETRA pour les ponts en zone sismique [8]..................................................33
3.1.5. Méthode simplifiée de Veletsos [1]............................................................................35
3.1.6. Formule de Gazetas ...................................................................................................39
3.1.7. Recommandations pour les éoliennes [9]...................................................................44

3.2. Comparatif ........................................................................................................................45
3.2.1. Fondation circulaire ...................................................................................................45
3.2.2. Fondations rectangulaires..........................................................................................54
3.2.3. Calcul d’un module de cisaillement équivalent *3+, *13+..............................................57
3.3. Validité des formules.........................................................................................................57
3.3.1. Raideurs horizontales avec Piecoef+ ..........................................................................57
3.3.2. Modélisations aux éléments finis avec Plaxis 3D.........................................................58
3.4. Conclusion fondations superficielles..................................................................................59
4. Fondations profondes ...............................................................................................................62
4.1. Méthode de Winkler [5], [14] ............................................................................................62
4.2. Guide du SETRA [8]............................................................................................................64
4.3. Eurocode 8-5 [4]................................................................................................................66
4.4. Exemple de calcul de raideur de pieux...............................................................................67
4.4.1. Cas 1 : Monocouche...................................................................................................67
4.4.2. Cas 2 Bi-couche : 2 m de sol compact + sol mou.........................................................68
4.4.3. Cas 3 Bi-couche : 2 m de sol mou + sol compact.........................................................69
4.5. Conclusion fondations profondes ......................................................................................70
5. Mémorial ACTe Guadeloupe .....................................................................................................71
5.1. Présentation du projet.......................................................................................................71
5.2. Contexte géotechnique .....................................................................................................72
5.3. Calcul des raideurs et amortissements...............................................................................73
5.3.1. Raideurs.....................................................................................................................73
5.3.2. Amortissement..........................................................................................................75
5.4. Influence des raideurs sur les contraintes et le soulèvement du radier ..............................77
Conclusion........................................................................................................................................79
Liste des figures................................................................................................................................80
Liste des tableaux .............................................................................................................................81
Bibliographie ....................................................................................................................................82

Sigles
AFPS : Association française de génie parasismique
BET : Bureau d’étude technique
CMM : Colonne à Module Mixte
CFMS : Comité français de mécanique des sols et de géotechnique
EC 8 : Eurocode 8
ISS : Interaction sol-structure
NDC : Note de calcul
NGG : Nivellement général de la Guadeloupe
PF : Plateforme
PS 92 : Règles de construction parasismique
RDC : Rez-de-chaussée
SETRA : Service d’études sur les transports, les routes et leurs aménagements
TN : Terrain naturel

Introduction
De nos jours, les pratiques standards pour le dimensionnement parasismique des fondations,
consistent dans un premier temps à calculer les efforts sismiques s’appliquant sur la fondation et
dans un second temps à vérifier la résistance des fondations à ces efforts. Dans la plupart des
règlements de construction, la réponse de la structure et les charges arrivant sur la fondation sont
calculées en négligeant les effets de l’Interaction Sol-Structure (ISS). En effet, ces derniers sont
considérés comme ayant un rôle favorable en diminuant les efforts inertiels car ils ont tendances à
allonger la période d’oscillation de la structure et ainsi déplacer la réponse vers des zones de plus
faibles accélérations spectrales. Cependant certaines structures, fondées sur des sols inhabituels,
peuvent être vulnérables aux effets de l’ISS. Des exemples, sont donnés par Gazetas et Mylonakis
[11], notamment pour les séismes de Mexico (1985) et celui de Kobe (1995). Certains règlements
reconnaissent les effets défavorables de l’ISS, notamment l’Eurocode 8.
A la différence du PS92 le dimensionnement tenant compte de l’ISS est préconisé par l’Eurocode 8
qui sera d’usage systématique à partir de 2014. C’est pourquoi l’entreprise Keller fondations
spéciales souhaite des informations sur l’Interaction Sol-Structure et en particulier sur la manière de
modéliser celle-ci par le biais de ressorts et d’amortisseurs d’où l’objet de mon PFE. En effet, celui-ci
a notamment pour but de faire un inventaire des formules donnant les raideurs et les
amortissements de sol pour des fondations superficielles ainsi que pour des fondations profondes.
Après une partie de présentation de l’entreprise Keller Fondations spéciales une seconde partie
aborde le problème de l’interaction sol-structure. La troisième ainsi que la quatrième partie traite
respectivement des fondations superficielles et profondes. Et enfin la dernière partie aborde un
exemple basé sur un chantier de Keller qui est le mémorial ACTe en Guadeloupe.

1. L’entreprise Keller Fondations spéciales
1.1.Historique du groupe
Les origines du groupe remontent à l’année 1860, date de la création de la société Johann Keller
GmbH par Johann Keller dirigeant d’une chaudronnerie. Lors de la création du chemin de fer
Francfort-Bâle, une forte demande de forage de puits se développa afin d’alimenter en eaux les
châteaux d’eau pour le réapprovisionnement des locomotives à vapeur. Johann Keller se lança dans
l’aventure et se fit rapidement un nom dans le forage d’eau.
Voulant sans cesse innover, Johann Keller ne cessa de se tourner vers de nouvelles techniques afin
d’améliorer les forages, par la suite il se spécialisa également dans l’amélioration de sol par aiguilles
vibrantes électriques (système Torpédo).
De nos jour Keller se fait fort de rester le spécialiste dans ce domaine, et ne cesse d’améliorer ses
outils et ses techniques.
1.2.Le groupe Keller
Keller Group plc, basé à Londres, est un des leaders mondiaux des fondations spéciales et des travaux
géotechniques. Il est présent sur tous les continents, au travers de ses différentes filiales :
 Amérique (Hayward Baker, Case Foundation)
 Europe continentale (Keller Holding dont fait partie Keller France)
 Royaume-Uni (Keller Ground Engineering, Frankipile)
 Asie ( Keller, Resource Piling)
 Australie (Frankipile)
 Moyen et Extrême-Orient
L’expérience, la taille et l’assise financière du groupe lui permettent d’apporter le plus large choix
possible de solutions techniques, dans des domaines aussi variés que la réparation d’ouvrages béton,
le renforcement de sol ou les fondations profondes.
Cette diversification de métiers profite à l’ensemble des sociétés du groupe, qui peuvent ainsi
enrichir leur savoir-faire et introduire dans leur pays respectif des techniques innovantes, et pourtant
largement éprouvées ailleurs. Keller Group représente aujourd’hui près de 7000 employés avec des
agences dans plus de 30 pays et un chiffre d’affaire supérieur à 1 milliard d’euros. Ses résultats la
place au premier rang des entreprises de fondations spéciales à l’échelle mondiale, en termes
d’activité.
1.3.Keller France
Depuis 1991, Keller Fondations spéciales est présente en France. Avant cette date les chantiers
réalisés au sein de l’hexagone étaient suivis par Keller Grundbau (Allemagne), ou étaient réalisés par
des entreprises tierces exploitant une licence Keller. Société par Action Simplifiée, l’entreprise est en
charge, au sein de Keller Holding, de la zone Sud-Ouest du continent (Portugal, Espagne, France).
Depuis 2008 son siège social est installé à Duttlenheim dans le département du Bas-Rhin et est

présente au travers de 7 agences (v. Figure 1) sur l’ensemble du territoire français afin d’apporter au
client des réponses rapides et au fait des spécificités locales. Une présentation des agences
métropolitaines est présente en annexe 1.
Figure 1 Implantation des agences Keller en France
1.3.1. Le personnel
Keller Fondations Spéciales est en constante progression depuis sa création. Elle emploie aujourd’hui
près de 170 personnes, dont une grande partie d’ingénieurs. Un détail plus précis sur les effectifs est
présent en Annexe 2. Cette dernière annexe contient également la composition du parc matériel de
Keller.
1.3.2. Le bureau d’étude
Keller Fondations Spéciales a son propre bureau d’études et de recherches, qui effectue les études
d’exécution et développe les méthodes de dimensionnement. Le service Etudes est réparti entre le
siège et les agences, et se compose d’ingénieurs du BTP, de géotechniciens et de dessinateurs. Ceux-
ci utilisent des logiciels de calculs béton armé, de modélisation de flexion de poutres ou d’écrans,
avec comportement élastique ou élastoplastique du sol, logiciels de tassement et de capacité
portante (Plaxis 3D et 2D, Vibro, Foxta, Greta, Kid), selon les méthodes de calculs validées par les
bureaux de contrôle, logiciel dessin Autocad 2012, traceurs et imprimantes.

1.3.3. La cellule Développement
L’entreprise Keller est depuis tout temps novatrice dans les procédés de fondations spéciales. La
cellule Développement est aussi bien active sur le plan de la recherche de nouvelles techniques
adaptées au marché en associant les experts nationaux de la géotechnique, que sur le plan du
développement de nouveaux matériels associés à ces techniques. Au cours des trois dernières
années, ces recherches ont permis d’aboutir sur :
 La Colonne à Module Mixte CMM
 La Colonnes CHAUX-CIMENT, consistant à renforcer les sols argileux saturés. Cette technique
de renforcement de sol consiste à réaliser des inclusions par malaxage du sol avec un liant
(chaux vive / ciment).
1.4.Les techniques proposées par Keller Fondations Spéciales
1.4.1. Présentation générale
Keller a mis au point avec succès de nombreux procédés de fondations et de géotechnique, et ce afin
de résoudre les problèmes de sol et de fondations. Ces procédés sont aujourd’hui largement
reconnus dans le domaine du bâtiment et des travaux publics. Ainsi Keller propose une grande
variété de techniques de fondations spéciales. En France, les principaux domaines d’activités sont :
 Le renforcement de sol : dont le but est d’améliorer les caractéristiques mécaniques d’un sol
(augmentation de la portance ; diminution des tassements) et ainsi de pouvoir fonder
l’ouvrage superficiellement. Les procédés de Keller dans ce domaine sont nombreux, on peut
notamment citer les Colonnes Ballastées, les Inclusions Rigides, les Colonnes à Module Mixte.
 Les injections spéciales : qui permettent de renforcer des zones cibles dans le sol, de
reprendre en sous oeuvre des fondations défaillantes, de mettre en place des soutènements
ou d’installer des parois étanches. Keller propose de nombreuses techniques dans ce
domaine notamment le Jet Grouting et le Compactage Horizontal Statique (CHS).
 Fondations Profondes : consiste à réaliser des éléments de structure pour le transfert des
charges de fondations vers des horizons porteurs. Il s’agit de procédés type pieux, micro
pieux. En France, Keller réalise principalement des pieux à la tarière creuse et des micro-
pieux.
La part de chiffre d’affaire que représente chaque activité est donnée par le graphique de la Figure 2.

Figure 2 Part du chiffre d'affaire que représente chaque domaine d'activité de Keller
Dans cette partie je détaillerai les principales méthodes mises en œuvre par Keller, les autres
procédés sont cités en annexe 3.
1.4.2. La colonne ballastée
La mise en œuvre de colonnes ballastées consiste à introduire et à compacter du ballast dans le sol
afin de former une colonne destinée à renforcer le sol. Ce procédé est fréquemment utilisé pour des
ouvrages où existent des dallages et radiers pour lesquels on cherche à réduire les tassements (hall
de stockage, bâtiments industriels et commerciaux, silos et station d’épuration...). Cette méthode est
également utilisée pour renforcer le sol au niveau des fondations superficielles de bâtiments dans les
sols cohésifs (Figure 3).
Figure 3 Colonnes ballastées sous semelle et sous dallage

La colonne ballastée, tout comme les autres procédés d’amélioration de sol, n’est ni un élément de
fondation, ni une fondation profonde. Les fondations d’un ouvrage reposant sur un sol traité par
colonnes ballastées sont toujours de type superficielles : semelle filante ou isolée, radier, dallage. Par
ce type de procédé, on recherche essentiellement la maîtrise de la fondation superficielle, et ainsi
obtenir un comportement prévisible, justifiable et compatible avec les charges et tolérances
s’appliquant à la structure de l’ouvrage.
L’amélioration de sol par colonnes ballastées repose sur la réalisation d’inclusions souples à module
élevé (10 à 30 fois supérieur au module du sol), sans cohésion et à fort pouvoir drainant, qui par
concentration et report de charges augmentent la capacité portante du sol en diminuant les
tassements. Ces derniers sont homogénéisés de telle sorte que l’ouvrage à fonder ne subisse aucun
tassement différentiel. Les colonnes ballastées ne constituent pas pour autant des points durs
comme les inclusions rigides, et peuvent être sollicitées par l’intermédiaire d’un matelas d’épaisseur
limitée (40cm) ou directement, pour les semelles de fondations.
 Avantages du procédé
La colonne ballastée, du fait qu’elle est constituée de matériau naturel dépourvu de liant, est régit
par les mêmes lois de comportement mécanique que le sol en place. De ce fait, les travaux de gros
œuvre se feront de la même manière que sur un sol possédant de bonnes caractéristiques
mécaniques. Les principaux avantages de la colonne sont :
 Pas de recépage nécessaire
 Reprise aisée des sollicitations horizontales et des moments fléchissant
 Pas de création de point dur, ainsi il n’est pas nécessaire d’adapter le ferraillage par
rapport à un ouvrage réalisé traditionnellement avec des fondations superficielles
 Pas de risque de cisaillement accidentel de la tête de la colonne en phase chantier.

 Principe de réalisation :
Figure 4 Principe de réalisation d'une colonne ballastée
1.4.3. Les inclusions rigides
Les inclusions rigides sont des colonnes en béton (armées ou non) misent en place dans le sol soit
directement sous la structure, c’est le cas pour les semelles mixtes, soit sous un matelas de
répartition (Figure 5). Dans ce dernier cas les inclusions rigides, en général non armées, sont mises en
place par Keller Fondations Spéciales avant que le terrassier vienne mettre en place un matelas de
répartition sur lequel reposera l’ouvrage.

Figure 5 Inclusion rigide sous matelas de répartition (à gauche) et sous semelle mixte (à droite)
Ce procédé d’inclusions rigides sur matelas se caractérise par l’absence de liaison structurelle entre
les ouvrages et les inclusions et se distingue ainsi des fondations profondes. Le complexe inclusion-
matelas permet de reprendre tout ou partie de la charge de l’ouvrage et de la transférer en
profondeur par frottement latéral et effort de pointe. Le sol compressible ainsi déchargé engendrera
des tassements absolus et différentiels réduits.
Le procédé d’inclusions rigides a pour objet d’améliorer les performances du sol de fondation de
remblais et de structure type dallage, fondations superficielles ou radier, en répondant aux
spécifications suivantes :
 Augmentation de la capacité portante du sol
 Reprise des efforts horizontaux et des moments par l’intermédiaire d’un matelas intercalaire
sous les semelles
 Réduction des tassements
 Avantages et limites des inclusions rigides :
Le renforcement de sol par inclusions rigides présente l’avantage de diminuer de manière très
efficace les tassements sous charge. Ce dernier, sous renforcement, peut être divisé par un facteur
allant jusqu’à 10 sous de fortes charges.
La contrepartie de cette efficacité est la nécessité de prendre en compte les effets des points durs
créés par les inclusions sur la structure. Les semelles de fondations doivent alors être dimensionnées
en conséquence.
Les inclusions rigides fonctionnent en réseau. Il y a nécessairement un frottement négatif qui se
développe dans la partie haute de l’inclusion jusqu’au point neutre (plan d’égal tassement
intermédiaire selon la Figure 6). La contrainte appliquée sur l’inclusion est maximale au point neutre.

Figure 6 Fonctionnement d'une inclusion rigide avec matelas de répartitions sous dallage
Figure 7 Principe de mise en œuvre d'une inclusion rigide

1.4.4. La colonne à module mixte CMM
La Colonne à Module Mixte CMM est une technique de renforcement de sol combinant une inclusion
rigide en partie inférieure et une colonne souple en gravier refoulé en partie supérieure, sur le ou les
derniers mètres (voir Figure 8). Ce procédé, mis en œuvre par Keller, est l’aboutissement de plusieurs
années de recherche et d’essais effectués en collaboration avec le Laboratoire Central des Ponts et
Chaussées (L.C.P.C).
Figure 8 Schéma d'une CMM
En augmentant la capacité portante du sol et en réduisant sa compressibilité, la Colonne à Module
Mixte CMM permet l’économie de pieux et de planchers portés. Ce renforcement de sol trouve une
application dans tous les domaines de la construction (bâtiments de logements, industriels et
commerciaux, ouvrage génie civil, remblais routiers et ferroviaires, plateformes portuaires). Le
domaine d’application du procédé s’étend à l’ensemble des sols, y compris aux remblais et aux sols
fortement organiques présents en profondeur au-delà de la partie supérieure en gravier.
 Avantages de la CMM :
Les CMM associent les avantages des colonnes ballastées et des inclusions rigides en en évitant les
inconvénients. Par exemple, dans le cas d’une amélioration de sol par inclusions rigides, on a souvent
l’obligation d’armer la partie haute afin de reprendre par cisaillement les sollicitations horizontales
liées au vent et parfois aux séismes. Les massifs reposant sur plusieurs inclusions rigides doivent
également être recépés, comme dans le cas de massifs sur pieux. Pour les dallages sur sol amélioré
par inclusions rigides, l’obtention de moments fléchissant compatibles suppose bien souvent soit
l’application d’un matelas de répartition de forte épaisseur, soit la mise en œuvre d’une double
nappe d’armatures. Tous ces inconvénients sont évités grâce à la réalisation de la partie supérieure
en gravier refoulé de la CMM (couramment de longueur 1,50 à 2,00m). De plus, en phase chantier, le
risque de cisaillement accidentel de la tête de la colonne, dû à la circulation d’engin ou au
creusement de tranchées, est supprimé avec la CMM.

Figure 9 Principe de réalisation d'une CMM

2. Interaction sol-structure (ISS) [1],[2],[3],[4] et [5]
La présente partie a pour but d’expliquer ce qu’est l’interaction sol-structure, quels en sont les effets
ainsi que la manière de la modéliser.
2.1.Généralités
Lors d’un séisme les charges appliquées sur une fondation proviennent des forces d’inerties se
développant dans la superstructure et des déformations du sol, provoquées par le passage des ondes
sismiques, imposées à la fondation. Ces deux types de chargement sont nommés:
 Chargement inertielle
 Chargement cinématique
L’importance de ces chargements dépend des caractéristiques de la fondation ainsi que de la nature
des ondes sismiques.
Le terme générique englobant ces deux phénomènes est appelé Interaction Sol-Structure (ISS).
Cependant le plus souvent les ingénieurs emploient ce terme pour désigner le chargement inertielle
en ignorant la part du au chargement cinématique. Cela provient du fait que :
 Dans certains cas l’interaction cinématique est négligeable
 La plupart des règlements parasismiques, excepté certain dont l’Eurocode 8, ne le mentionne
pas
 Les effets de l’interaction cinématique sont plus difficiles à évaluer rigoureusement que les
effets inertiels.
La réponse d’une structure à une action sismique dépend de nombreux paramètres tels que :
 La nature du mouvement sismique
 Les propriétés dynamiques de l’ouvrage
 Les propriétés dynamiques du sol.
Il existe donc une interaction entre la structure et le milieu extérieur, c’est l’interaction sol-structure
(ISS). La Figure 10 illustre bien le problème de l’ISS. Ce schéma montre le cas général d’une
fondation, de type radier, encastrée dans le sol et supportée par des pieux traversant plusieurs
couches de sol et se reposant sur une couche rigide ou rocheuse. Le problème de l’ISS reste
cependant le même pour tous les types de fondations.
La couche de sol autour de la structure est soumise à plusieurs types d’ondes sismiques :
 des ondes de cisaillement : onde S
 des ondes de dilatation : onde P
 des ondes de surfaces : onde R ou L

La nature des ondes est dictée par des conditions sismologiques, cependant la géométrie, la raideur
et l’amortissement du sol modifient le mouvement de ce dernier sous sollicitations sismiques. Ce
mouvement modifié correspond au mouvement en champ libre dont la détermination est complexe.
Figure 10 Illustration de l'ISS [5]
Le mouvement des fondations est différent du mouvement du sol en champ libre. En effet, sous
sollicitations sismiques, la déformation du sol va obliger les pieux et le radier à se déplacer et par
conséquent entrainer la structure supportée. Même sans superstructure, le mouvement de la
fondation sera différent de celui du sol en champ libre à cause de la différence de rigidité entre le sol
d’une part et les pieux et radier d’autre part. Les ondes incidentes sont également reflétées et
dispersées par la fondation et les pieux qui en retour développent des moments de flexion. C’est
l’interaction cinématique. Le mouvement des fondations génère des oscillations dans la
superstructure qui développe des efforts inertiels et des moments à sa base. Ainsi la fondation, les
pieux et éventuellement le sol aux alentours subissent des forces dynamiques et des déplacements
supplémentaires. C’est le phénomène d’interaction inertielle.
Le moyen le plus radical pour s’affranchir du problème de l’ISS est de considérer que l’ouvrage que
l’on cherche à dimensionner est parfaitement encastré dans le sol, cette hypothèse est d’autant plus
valable que le sol de fondation est peu déformable vis-à-vis de la structure (Figure 11). Les bâtiments
courants, réguliers et faisant l’objet des méthodes de calcul simplifiées sont en général considérés
comme parfaitement encastrés dans le sol de fondation.

Figure 11 Sans ISS, bâtiment souple et sol de très bonne résistance mécanique [1]
Il n’y a pas non plus d’interaction dans le cas d’un bâtiment rigide sur un sol rocheux. En effet, les
déformations du sol au droit du bâtiment sont négligeables devant les déformations du bâtiment
dues à l’action sismique (Figure 12).
Figure 12 Sans ISS, bâtiment raide et sol de très bonne résistance mécanique [1]
En général, et plus particulièrement dans le cas de bâtiments massifs sur des sols moyennement ou
faiblement raides, les effets de l’ISS ne sont pas négligeables et modifient de façon considérable la
réponse de la structure à une action sismique (Figure 13).
Figure 13 Avec ISS, bâtiment raide et sol de faible ou moyenne résistance mécanique [1]

Il existe également de nombreuses situations intermédiaires pour lesquelles la prise en compte de
l’ISS où non doit être choisit au cas par cas. Par exemple quand les niveaux supérieurs d’un ouvrage
sont plus souples que les niveaux inférieurs. En effet, cette situation peut provoquer un effet « coup
de fouet » qui sera amplifié par les mouvements du sol, la prise en compte de l’ISS est donc
nécessaire dans la modélisation de ces ouvrages (Figure 14).
Figure 14 Phénomène "coup de fouet" qui peut être amplifié par l'ISS [1]
L’Eurocode 8-5 impose l’étude des effets de l’interaction dynamique sol-structure dans les cas
suivants [4] :
 Structures pour lesquelles les effets du P-δ (2e
ordre) jouent un rôle significatif, ce qui est le
cas pour les structures élancées, pour lesquelles l’excentrement du poids des masses par
rapport à l’axe verticale induit un moment fléchissant supplémentaire
 Structures avec fondations massives ou profondes, comme les piles de ponts, les silos ou tout
ouvrage industriel équivalent
 Structures hautes et élancées, comme les tours et les cheminées
 Structures supportées par des sols très mous, sol de classe S1 avec des vitesses des ondes de
cisaillement de Vs,max<100 m/s.
2.2.Les effets de l’ISS
En général, l’ISS entraine [1],[2]:
 Un allongement de la période de vibration du 1er
mode notamment, qui peut provoquer une
variation en plus ou en moins de la valeur de l’accélération selon la zone où l’on se situe sur
le spectre élastique
 Un amortissement non négligeable (amortissement radiatif + amortissement propre au
matériau-sol) puisque toujours supérieur à celui des matériaux de la structure. Ne pas le
prendre en compte conduit à surestimer la réponse
 Une rotation de la fondation qui peut modifier sensiblement le calcul de la déformée modale
et donc la répartition des accélérations sur la hauteur du bâtiment
 Un mouvement du sol à la base du bâtiment supposé identique à celui du champ libre ; dans
les cas courants cette approximation est considérée comme acceptable.

Pour la majorité des structures usuelles de bâtiments, les effets de l’ISS ont tendances à être
bénéfiques puisqu’ils réduisent les moments fléchissants et les efforts tranchants dans les différents
éléments de la structure. [3]
Pour les structures pour lesquelles la prise en compte de l’ISS n’est pas imposée par l’EC 8-5, la prise
en compte de l’ISS permet en général une réduction des sollicitations par une dissipation au niveau
du sol et par une lecture spectrale plus favorable. En effet, on peut voir sur la Figure 15 que la prise
en compte de l’ISS permet d’augmenter la période propre d’oscillation de la structure ce qui dans la
plupart des cas diminue la valeur de la réponse sismique. De plus, sur cette même figure on peut voir
qu’avec un amortissement plus important la réponse est également plus faible.
Figure 15 Lecture spectrale montrant les effets de la prise en compte de l'ISS [12]
Les effets favorables correspondent en moyenne à une réduction de la réponse de 10 à 12% et à une
aggravation de quelques pour cent lorsqu’ils agissent dans un sens défavorable. [2]
2.3.Modélisation de l’ISS [1][2]
L’interaction sol-structure est fréquemment modélisée par une structure fondée en surface sur un
sol homogène (solide élastique) et horizontal dont les propriétés mécaniques sont connues et
constantes au cours d’un séisme. Les mouvements sismiques qui sollicitent la structure sont des
ondes de volume qui se propagent verticalement à partir d’un substratum horizontal. Or, en réalité le
substratum possède un certain pendage, le sol lui est hétérogène et ses caractéristiques dynamiques
varient au cours d’un séisme. De plus, la structure peut être sollicitée par des ondes de surface et la
fondation ainsi qu’une partie de l’ouvrage se situent en général à une certaine profondeur.
Enfin le solide élastique est supposé avoir le même module en traction qu’en compression ce qui se
concilie très mal avec un sol. Ce module est également censé être le même en tout point d’un sol,
notamment au centre et sous les bords d’un radier, ce qui est en contradiction avec la réalité.
Le calcul de l’ISS, du fait de toutes ces incertitudes, reste donc un calcul approximatif et l’exploitation
des résultats nécessite donc une certaine prudence notamment en prenant l’enveloppe de ceux-ci.
La modélisation d’une structure ne doit pas se faire avec un encastrement parfait à sa base (Figure 16
a) si de grande déformation du sol son prévisibles. Cela est par exemple le cas de bâtiments très
rigides fondés sur un sol de résistance mécanique moyenne, les déformations les plus importantes

pouvant alors se produire dans le sol plutôt que dans la structure. La modélisation est ainsi amenée à
être faite en représentant le sol par des ressorts (Figure 16b) ou des éléments finis (Figure 16c).
Figure 16 Modélisation de l'ISS [1]
a) Encastrement parfait ; b) Ressorts ; c) Eléments finis
La méthode la plus utilisée est la modélisation du sol par un système de ressorts amortis, dans ce cas
on associe dans un même modèle la structure et le sol associé. C’est cette méthode qui intéresse la
société KELLER Fondations spéciales. Il lui faut ainsi des méthodes permettant de calculer les raideurs
et les amortissements du sol à prendre en compte dans les calculs. Les raideurs de sol sont aux
nombres de quatre :
 Raideur en translation verticale : kv
 Raideur en translation horizontale : kh
 Raideur en balancement (rocking): kΦ
 Raideur en torsion autour d’un axe vertical : kR
2.4.Equation générale formulant un problème d’ISS [5]
La formulation générale d’un problème d’ISS est présentée ci-dessous, cette formulation est celle
utilisée dans le cadre d’une méthode aux éléments finis. La complexité d’un problème d’ISS se trouve
dans la capacité à résoudre ces équations.
Dans l’équation générale donnée ci-dessous, [M],[C] et [K] représentent respectivement la matrice
des masses, celle d’amortissement et celle de raideur. ,𝑢}, {𝑢} et {𝑢} représentent les vecteurs
accélération, vitesse et déplacement. {𝑄 𝑓} est le vecteur de chargement.
𝑀 𝑢 + 𝐶 𝑢 + 𝐾 𝑢 = 𝑄 𝑓

2.5.Influence de l’amortissement
Les spectres de dimensionnement donnés dans les règlements parasismiques (PS 92 et Eurocode 8)
sont donnés pour des amortissements relatifs de 5%. Pour des amortissements plus faibles ou plus
élevés il convient donc de modifier ces spectres en appliquant un coefficient correctif aux ordonnés.
Ces coefficients sont les suivants :
 PS 92 : 𝜌 =
5
𝜁
0,4
avec ζ amortissement relatif différent de 5%.
 EC 8 : 𝜂 = 10 (5 + 𝜁) ≥ 0,55.
Excepté dans le cas d’utilisation de dispositifs mécaniques, la correction de l’amortissement est
limitée à : 2% ≤ 𝜁 ≤ 30%.
Pour les différentes valeurs d’amortissement correspondantes à la plage d’amortissements donnés
ci-dessus on obtient les coefficients correctifs donnés dans le Tableau 1.
PS 92 EC 8
Amortissement
relatif
2% 1,443 1,195
3% 1,227 1,118
4% 1,093 1,054
5% 1,000 1,000
6% 0,930 0,953
7% 0,874 0,913
8% 0,829 0,877
9% 0,790 0,845
10% 0,758 0,816
11% 0,730 0,791
12% 0,705 0,767
13% 0,682 0,745
14% 0,662 0,725
15% 0,644 0,707
16% 0,628 0,690
17% 0,613 0,674
18% 0,599 0,659
19% 0,586 0,645
20% 0,574 0,632
21% 0,563 0,620
22% 0,553 0,609
23% 0,543 0,598
24% 0,534 0,587
25% 0,525 0,577
26% 0,517 0,568

27% 0,509 0,559
28% 0,502 0,550
29% 0,495 0,542
30% 0,488 0,535
Tableau 1 Coefficients correctifs dû à l'amortissement
La valeur du coefficient correctif de l’EC 8 devant rester inférieur à 0,55 on constate que
l’amortissement est limité à 28% contrairement au PS 92 qui lui autorisait 30%.
Exemple :
Afin de constater l’effet de la prise en compte d’un amortissement différent de 5%, nous allons
prendre un exemple étudié en cours de parasismique avec M.GUTH.
Il s’agissait d’un pont à trois travées de porté respective 9,72m – 16,19m – 9,72m. Le pont avait les
caractéristiques suivantes :
 Masse du tablier : M=819,5 tonnes
 Raideur totale du tablier (culées et piles avec appuis en élastomère fretté) : K=50,64MN/m
 𝑇 = 2𝜋
𝑀
𝐾
= 2𝜋
819,5
50,64.103 = 0,8𝑠
Caractéristiques sismiques :
 agr=1,10 m/s²
 Sol de classe C d’où S=1,50
 γI=1,20
 η=1 pour un amortissement de 5%
Calcul sismique :
𝑆𝑒 𝑇 = 𝑎 𝑔𝑅 . 𝛾𝐼. 𝑆. 𝜂. 2,5.
𝑇𝐶
𝑇
𝑆𝑒 𝑇 = 1,10 × 1,50 × 1,20 × 1 × 2,5 ×
0,40
0,80
= 2,475 𝑚/𝑠²
D’où un effort sismique dans le sens longitudinal de :
𝐻𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖 = 𝑀. 𝑆𝑒 𝑇 = 819,5 × 2,475 = 2028 𝑘𝑁
En appliquant les coefficients d’amortissement de l’Eurocode 8 on obtient les résultats du Tableau 2 :

Amortissement
relatif
η Hlongi (kN)
Ecart relatif par rapport
à un amortissement de
5%
2% 1,195 2424 -20%
3% 1,118 2267 -12%
4% 1,054 2138 -5%
5% 1,000 2028 0%
6% 0,953 1934 5%
7% 0,913 1851 9%
8% 0,877 1779 12%
9% 0,845 1714 15%
10% 0,816 1656 18%
11% 0,791 1603 21%
12% 0,767 1555 23%
13% 0,745 1512 25%
14% 0,725 1471 27%
15% 0,707 1434 29%
16% 0,690 1399 31%
17% 0,674 1367 33%
18% 0,659 1337 34%
19% 0,645 1309 35%
20% 0,632 1283 37%
21% 0,620 1258 38%
22% 0,609 1234 39%
23% 0,598 1212 40%
24% 0,587 1191 41%
25% 0,577 1171 42%
26% 0,568 1152 43%
27% 0,559 1134 44%
28% 0,550 1116 45%
Tableau 2 Exemple montrant l'influence de l'amortissement sur les efforts sismiques
En analysant les résultats obtenus on constate que la prise en compte d’un amortissement relatif
différent des 5% pris pour définir les spectres de dimensionnement modifie considérablement les
efforts sismiques dans une structure. En effet, dans l’exemple utilisé on remarque qu’en passant d’un
amortissement de 5% à un amortissement de 28% les efforts sismiques dans la structure diminue de
45%. Des amortissements de 28% semblent toutefois élevés, des amortissements de 10% à 15% sont
cependant envisageables pour certaines structures en prenant en compte l’ISS. Il est donc possible
de diminuer de l’ordre de 20 à 30% les efforts sismiques dans une structure ce qui n’est pas
négligeable lors d’un dimensionnement.

3. Fondations superficielles
Cette partie a pour but de résumer les différentes formules applicables pour déterminer les raideurs
de fondations superficielles que l’on peut trouver dans les différents ouvrages abordant l’interaction
sol-structure.
Une première partie consiste à faire l’inventaire des différentes méthodes qui existent afin de
déterminer les raideurs et amortissements des sols. La seconde partie contient un comparatif des
différentes méthodes.
On rappelle qu’une raideur est défini par 𝑘 =
𝐹
𝑥
avec F une force en Newton et x le déplacement
engendré par la force en mètre. k est donc en (N/m) ce qui correspond également à des (Pa.m).
Il ne faut pas confondre la raideur du sol avec le module de réaction du sol qui lui est déterminé à
partir du tassement vertical s sous l’effet d’une pression uniforme q appliquée au sol : 𝑘 𝑣 =
𝑞
𝑠
en
Pa/m.
3.1.Inventaire des méthodes
3.1.1. Méthode de Newmark-Rosenblueth [1]
Cette méthode est indépendante de la fréquence de la structure et permet d’estimer et de contrôler
les valeurs de raideurs et des amortissements du sol. Afin d’obtenir un meilleur ajustement dans la
bande des basses et moyennes fréquences, qui sont celles présentant le plus d’intérêt en cas de
séismes, Rosenblueth a introduit une masse virtuelle de sol, liée à la fondation du bâtiment. L’ajout
de cette masse ne modifie pas radicalement la réponse dynamique de la structure. La masse de sol
additionnelle est concentrée au nœud d’interface sol-fondation au niveau inférieur du radier.
Les raideurs du sol ainsi que les amortissements sont donnés par le Tableau 3.
Tableau 3 Formules de Newmark-Rosenblueth [1]
Mouvement
Hauteur du
prisme de sol H
Amortissement
relatif ou
critique η
Raideurs k
Fondation circulaire Fondation rectangulaire
Vertical 0,27 𝐴 2,71
𝜌𝐻3
𝑀𝑏 + 𝑀𝑆
𝑘 𝑣 =
4𝐺. 𝑟0
1 − 𝜈
𝑘 𝑣 =
𝐺
1 − 𝜈
𝛽𝑧 𝐴
Horizontal 0,05 𝐴 20,55
𝜌𝐻3
𝑀𝑏 + 𝑀𝑆
𝑘 𝑕 =
32(1 − 𝜈)𝐺. 𝑟0
7 − 8𝜈
𝑘 𝑕 = 2(1 + 𝜈)𝐺𝛽𝑥 𝐴
Balancement 0,35 𝐴 0,485
𝜌𝐻5
𝐼𝑏 + 𝐼𝑆
𝑘 𝛷 =
8𝐺. 𝑟0
3
3 1 − 𝜈
𝑘 𝛷 =
𝐺
1 − 𝜈
𝛽 𝛷 𝑎²𝑏
Rotation
autour de l’axe
vertical
0,25 𝐴 1,88
𝜌𝐻5
𝐽𝑏 + 𝐽𝑆
𝑘 𝑅 =
16𝐺. 𝑟0
3
3
𝑘 𝑅 =
1 + 𝜈
4
𝐺𝛽𝑥 (𝑎2
+ 𝑏2
) 𝐴

Avec :
A : aire de la fondation
a : dimension parallèle à la direction du séisme
b : dimension perpendiculaire à la direction du séisme
Mb : masse du bâtiment
Ms =A.H.ρ : masse de sol additionnelle ayant même aire que la fondation du bâtiment
H : hauteur du prisme de sol
Ib, Jb : inerties massiques du bâtiment par rapport à la fondation
IS, JS : inerties massiques de la masse additionnelle de sol par rapport à la fondation
r0 : rayon d’une fondation circulaire
ν : coefficient de poisson
𝐺 =
𝐸
2(1+𝜈)
: module de cisaillement dynamique du sol
βz, βx et βΦ sont donnés par des abaques (Figure 17)
3.1.2. Méthode de Deleuze [1]
Cette méthode est applicable dans les cas où les fondations sont circulaires ou assimilées circulaires.
Elles doivent également être considérées comme superficielles et suffisamment rigides. Cette
méthode contrairement à la méthode de Newmark-Rosenblueth tient compte de la fréquence du
mode fondamental de l’ouvrage.
L’ISS peut être modélisée de deux manières :
 Par ressorts concentrés : plus simple pour l’analyse dynamique d’ensemble (hypothèse du
radier rigide) mais nécessite une modélisation plus spécifique pour le radier
 Par ressorts répartis : plus complexe mais les efforts obtenus sont directement exploitables
pour le dimensionnement du radier.
Cette représentation est admise en cas de sol homogène à l’échelle des dimensions en plan des
fondations, c’est-à-dire en cas de sol stratifié dont les couches présentent des contrastes faibles de
module G.
Figure 17 Abaques donnant les coefficients de Newmark βz, βx et βΦ [1]

Deleuze a établi des tableaux donnant des coefficients de transmittance fV (translation verticale), fH
(translation horizontale) et fΦ (rotation autour d’un axe horizontal, balancement). Pour établir ces
coefficients Deleuze a utilisé les hypothèses suivantes :
 Le sol est un solide semi-infini, élastique et homogène, isotrope et limité par un plan
 La réaction de sol sous la fondation est linéaire. La surface d’appui n’est donc pas plane, elle
est donnée par la résolution du second problème de Boussinesq. Les déplacements du nœud
de la fondation sont assimilés à ceux du centre d’inertie de la fondation, la rotation de la
fondation est celle du plan moyen de la surface d’appui
 L’amortissement géométrique correspond au rayonnement des ondes dans le sol
Lorsque les valeurs numériques des paramètres ne figurent pas dans les tableaux une interpolation
linéaire est effectuée à partir des valeurs les plus proches.
Les coefficients de raideurs et les amortissements géométriques en fonction des coefficients de
transmittance f sont donnés dans Tableau 4.
Raideurs Amortissements géométriques
Vertical 𝐾𝑉 = 𝐺. 𝑟0
𝑓𝑉1
𝑓𝑉1
2
+ 𝑓𝑉2
2 𝜂 𝑉 = −
1
2
𝑓𝑉2
𝑓𝑉1
Horizontal 𝐾 𝐻 = 𝐺. 𝑟0
𝑓𝐻1
𝑓𝐻1
2
+ 𝑓𝐻2
2 𝜂 𝐻 = −
1
2
𝑓𝐻2
𝑓𝐻1
Rotation autour d’un axe
horizontal, balancement
𝐾 𝛷 = 𝐺. 𝑟0
3
𝑓𝑅1
𝑓𝑅1
2
+ 𝑓𝑅2
2 𝜂 𝛷 = −
1
2
𝑓𝑅2
𝑓𝑅1
Tableau 4 Formules de Deleuze [1]
Avec r0 : rayon du cercle équivalent d’une fondation circulaire ; il est calculé comme suit :
 Pour les raideurs en translation : l’aire du cercle équivalent est égale à l’aire de la surface
d’appui : 𝑟0 =
𝑏𝑎
𝜋
 Pour les raideurs en rotations (balancement) : le moment d’inertie de la surface du cercle
équivalent est égal au moment d’inertie de la surface d’appui de la fondation, rapporté à
l’axe perpendiculaire à la composante passant par le centre de gravité de la surface, soit
o en balancement : 𝑟0 =
𝑏𝑎3
3𝜋
4
o en torsion : 𝑟0 =
𝑏𝑎(𝑏2+𝑎2)
6𝜋
4
Notations :
a : dimension parallèle à la direction du séisme
b : dimension perpendiculaire à la direction du séisme
𝐺 =
𝐸
2(1+𝜈)
: module de cisaillement dynamique du sol
ρ: masse volumique du sol

f : fréquence du mode de vibration fondamental dans la direction de séisme considérée, déterminée
à l’aide d’un calcul modal préliminaire avec les coefficients et masses de sol de Rosenblueth
𝑎0 = 2𝜋𝑓𝑟0
𝜌
𝐺
: paramètre utilisé dans les tableaux des coefficients de transmittance
En pratique cette méthode est applicable si a0<2. Celle-ci n’est applicable que si le rayon de
fondation est suffisamment petit devant la longueur d’onde dans le sol.
L’amortissement s’obtient avec les formules suivantes :
 Vertical : 𝜻 𝑽 =
𝟏
𝟐
𝜼 𝑽 + 𝟓% ≤ 𝟑𝟎%
 Horizontal : 𝜻 𝑯 =
𝟏
𝟐
𝜼 𝑯 + 𝟓% ≤ 𝟑𝟎%
 Rotation : 𝜻 𝜱 =
𝟏
𝟐
𝜼 𝜱 + 𝟓% ≤ 𝟑𝟎%
Ces formules donnent les raideurs et les amortissements réduits d’un ressort unique. Si le modèle ISS
est celui des ressorts répartis, les raideurs correspondantes sont obtenues en privilégiant la direction
horizontale et la direction verticale, dont les déplacements sont issus d’une rotation :
 direction horizontale :
𝐾 𝐻
𝑆
 direction verticale :
𝐾 𝛷
𝐼
Avec :
S : surface de la fondation
I : inertie de la fondation

3.1.3. Les formules de la norme NF P 94-261 Fondations superficielles [7]
Dans la norme d’application française de l’Eurocode 7-Fondations superficielles (NF P 94-261)
différents types de raideurs sont définis :
 Raideur verticale : 𝐾𝑉 = 𝑉𝑑 𝑠 𝑉
 Raideur en translation selon une direction parallèle à la largeur de la fondation : 𝐾𝐵 =
𝐻𝑑;𝐵 𝑠 𝑕;𝐵
 Raideur en translation selon une direction parallèle à la longueur de la fondation :
𝐾𝐿 = 𝐻𝑑;𝐿 𝑠 𝑕;𝐿
 Raideur en rotation autour de l’axe parallèle à la largeur de la fondation : 𝐾𝜃;𝐵 = 𝑀𝜃;𝐵 𝜃 𝐵
 Raideur en rotation autour de l’axe parallèle à la longueur de la fondation : 𝐾𝜃;𝐿 = 𝑀𝜃;𝐿 𝜃𝐿
Avec :
sV le tassement à la force verticale Vd appliquée à la fondation
sh ;B et sH ;L les déplacements horizontaux à la force horizontale Hd dans les directions parallèle à la
largeur et à la longueur de la fondation
θB et θL les rotations au moment fléchissant MD autour de l’axe parallèle à la largeur et à la longueur
de la fondation.
 Calcul de la raideur verticale KV d’une fondation superficielle :
Fondation circulaire (B) 𝐾𝑉 =
𝐸𝐵
1 − 𝜈2
Fondation rectangulaire
(L > B)
𝐾𝑉 =
𝐸
2(1 − 𝜈2)
𝛽 𝑉 𝐵𝐿
𝛽 𝑉 = 1,55
𝐿
𝐵
0,25
+ 0,8
𝐵
𝐿
0,5
Fondation filante (B)
(par unité de longueur)
𝐾𝑉 ≈
0,73𝐸
2(1 − 𝜈2)
Tableau 5 Formules de raideurs verticales selon la norme NF P 94-261
Figure 18 Coefficient de transmittance de Deleuze [1]

B et L désignent respectivement la largeur et la longueur de la fondation. Pour une fondation
circulaire, B désigne son diamètre.
 Calcul des raideurs en translation KB et KL d’une fondation superficielle :
Fondation circulaire (B*) 𝐾𝐵 = 𝐾𝐿 =
4𝐸𝐵
2 − 𝜈 (1 + 𝜈)
Fondation rectangulaire
(L > B)
𝐾𝐵 =
𝐸
2 2 − 𝜈 (1 + 𝜈)
𝛽 𝐵 𝐵𝐿
𝛽 𝐵 = 3,4
𝐿
𝐵
0,15
+ 1,2
𝐵
𝐿
0,5
𝐾𝐿 =
𝐸
2 2 − 𝜈 (1 + 𝜈)
𝛽𝐿 𝐵𝐿
𝛽𝐿 = 3,4
𝐿
𝐵
0,15
+ 0,4
𝐿
𝐵
0,5
+ 0,8
𝐵
𝐿
0,5
𝐾𝐵 ≈
𝐸
2 − 𝜈 (1 + 𝜈)
Tableau 6 Formules de raideurs horizontales selon la norme NF P 94-261
*Note : au vu d’un comparatif avec les autres formules il semble que pour les raideurs en
translation d’une fondation circulaire, B représente le rayon et non pas le diamètre.
 Calcul des raideurs en rotations Kθ ;B et Kθ ;L :
Ces raideurs sont déduites de la raideur verticale.
Kθ ;B Kθ ;L
Fondation circulaire
(B) 𝐾𝜃;𝐵 = 𝐾𝜃;𝐿 =
𝐵²
6
𝐾𝑉
Fondation
rectangulaire
(L > B)
𝐾𝜃;𝐵 ≈ 𝐵²
0,4
𝐿
𝐵
0,5
+ 0,1
𝐵
𝐿
0,5
𝛽 𝑉 𝐿 𝐵
𝐾𝑉 𝐾𝜃;𝐿 ≈ 𝐵²
0,4
𝐿
𝐵
1,9
+ 0,034
𝐵
𝐿
0,5
𝛽 𝑉 𝐿 𝐵
𝐾𝑉
(par unité de
longueur)
𝐾𝜃;𝐿 ≈ 2,15𝐵²𝐾𝑉
Tableau 7 Formules de raideurs en rotation selon la norme NF P 94-261
3.1.4. Guide du SETRA pour les ponts en zone sismique [8]
Pour des semelles superficielles, l’Eurocode 8-5 autorise, dans le cas de structures simples à peu de
degrés de liberté et des sols de stratigraphie régulière, à modéliser l’interaction sol-structure à l’aide
de raideurs (ressort K) et d’amortisseurs (amortisseurs C). Les raideurs et amortissement sont

calculés à fréquence nulle (pseudo statique) pour une fondation circulaire équivalente reposant sur
un demi-espace élastique.
Figure 19 Définition des paramètres utilisés dans les formules du guide SETRA [8]
Les expressions de calcul sont données ci-dessous :
Raideurs Amortissements (utilisation à éviter*)
𝐾𝑣 =
4𝐺𝑅
1 − 𝜈
𝐶𝑣 = 0,85𝐾𝑣
𝑅
𝑉𝑆
𝐾𝑥 =
8𝐺𝑅
2 − 𝜈
𝐶𝑥 = 0,576𝐾𝑥
𝑅
𝑉𝑆
𝐾 𝛷 =
8𝐺𝑅3
3(1 − 𝜈)
𝐶 𝛷 =
0,3 𝐵 𝛷
1+𝐵 𝛷
𝐾 𝛷
𝑅
𝑉 𝑆
avec 𝐵 𝛷 =
2𝐼 𝛷
8𝜌 𝑅5
𝐾𝜃 =
16𝐺𝑅3
3
𝐶𝜃 =
0,3
1+𝐵 𝜃
𝐾𝜃
𝑅
𝑉 𝑆
avec 𝐵 𝜃 =
3(1−𝜈)𝐼 𝜃
8𝜌 𝑅5
Tableau 8 Formules issus du guide du SETRA [8]
*Note :
Les formules d’amortissements données dans le guide du SETRA ne semblent pas valides, les
résultats étant aberrants. Utilisations des formules d’amortissement à éviter.
Avec :
 Pour les raideurs en translation, la fondation circulaire offre la même section que la
fondation réelle soit : 𝜋𝑅² = 𝑎 × 𝑏
 Pour les raideurs en rotation, la fondation circulaire équivalente est celle qui présente la
même inertie, soit : 𝜋 𝑅4
4 = 𝑎 × 𝑏3
12 pour la rotation autour de l’axe Ox et 𝜋 𝑅4
4 =
𝑏 × 𝑎3
12 pour la rotation autour de l’axe Oy
 G le module de cisaillement
 ν le coefficient de poisson

 ρ la masse volumique du sol
 IΦ et Iθ les moments d’inertie de l’ouvrage pour le balancement et la torsion respectivement
 VS la vitesse des ondes de cisaillement
Ces valeurs ne pourront être utilisées que lorsque les caractéristiques (Gmax, n) du sol varient
faiblement sur une hauteur importante par rapport aux dimensions de la fondation. En l’absence de
justifications particulières, le coefficient de Poisson du sol pourra prendre forfaitairement la valeur
de 0,3.
De plus l’EC8 précise que des formulations plus complètes peuvent être utilisées pour tenir compte
de l’effet d’un encastrement de la fondation dans le terrain, la présence de sols stratifiés, ou la
présence de l’effet d’une couche mince reposant sur un substratum rigide qui ont pour conséquence
d’augmenter la raideur et l’amortissement par rapport aux formules reprises ici.
3.1.5. Méthode simplifiée de Veletsos [1]
3.1.5.1. Raideurs de Veletsos
Veletsos donne les mêmes formules que le guide du SETRA (Eurocode 8) pour les raideurs en surface.
Il apporte néanmoins des correctifs pours les fondations encastrées :
Raideurs
Vertical 𝐾𝑣 =
4𝐺𝑅
1 − 𝜈
1 +
2𝐷
5𝑅
Horizontal 𝐾𝑕 =
8𝐺𝑅
2 − 𝜈
1 +
2𝐷
3𝑅
Balancement 𝐾 𝛷 =
8𝐺𝑅3
3 1 − 𝜈
1 +
2𝐷
𝑅
Tableau 9 Formules de Veletsos [1]
 ν le coefficient de poisson
 R le rayon de la fondation circulaire ou le rayon équivalent
 D la profondeur d’encastrement de la fondation
Pour un radier rectangulaire Veletsos définie les rayons équivalent suivant :
 En translation : 𝑟𝑎 =
𝐴0
𝜋
 En rotation : 𝑟𝑚 =
4𝐼0
𝜋
4

3.1.5.2. Amortissements de Veletsos
Veletsos donne la formule suivante pour l’amortissement équivalent :
𝜁∗
= 𝜁0 + 𝜁.
𝑇
𝑇∗
3
Avec pour un radier rectangulaire de surface :
𝑇∗
𝑇
= 1 + 1 −
𝛾
2
𝜋3 𝜌𝑒
𝑟𝑎
𝑉𝑠
2
𝐻𝑒
𝑇2
1 +
3 1 − 𝛾
2 − 𝛾
𝑟𝑎 𝐻𝑒
2
𝑟𝑚
3 > 1
Pour un radier de surface sensiblement carrée (ra≈rm≈r), ou pour un radier circulaire :
𝑇∗
𝑇
= 1 + 1 −
𝛾
2
𝜋3 𝜌𝑒
𝑟
𝑉𝑠
2
𝐻𝑒
𝑇2
1 +
3 1 − 𝛾
2 − 𝛾
𝐻𝑒
𝑟
2
> 1
Avec :
 H : hauteur de colonne égale à celle de la structure
 He : hauteur efficace du bâtiment = 0,7H
 B0 : longueur totale de la fondation
 A0 : section égale à celle de la fondation
 I0 : moment d’inertie de la fondation
 γA0H : masse de la colonne
 𝜌𝑒 =
𝑊
γA0H
: densité équivalente du système sol-structure
 W: masse du bâtiment
 W0 : masse de la fondation, négligeable devant W
 We : masse efficace du bâtiment =0,7W.
Le spectre de dimensionnement est donné pour un amortissement de ζ= 5 % et l’amortissement total
doit être inférieur à 30%. L’amortissement équivalent doit donc être compris entre :
30% ≥ 𝜁∗
≥ 5%
L’amortissement du sol ζ0 est égal à la somme de l’amortissement géométrique et de
l’amortissement interne de frottement du sol. Veletsos fournit la valeur de ζ0 en fonction des
rapports T*/T et He/r. Pour le rayon r deux cas se présentent :

𝐻 𝑒
𝐵0
≤ 0,5 → 𝑟 = 𝑟𝑎 =
𝐴0
𝜋

𝐻 𝑒
𝐵0
≤ 1 → 𝑟 = 𝑟𝑚 =
4𝐼0
𝜋
4

Figure 20 Courbes donnant l'amortissement du sol ζ0 (d’après Veletsos)*1+ :
a) Cas de zones à faible sismicité : aN < 0,20 g
b) Cas de zones à moyenne ou forte sismicité : aN > 0,20 g

Si on se trouve en présence d’une couche de sol de faible résistance surmontée d’une couche de sol
de moyenne ou bonne résistance et si Ts/T*≤ 1, il faut réduire l’amortissement du sol ζ0 par
l’application d’un coefficient :
TS
T∗
2
Avec TS la période fondamentale du sol : 𝑇𝑆 =
4𝐻
𝑉 𝑆
= 4𝐻
𝜌
𝐺
.
On obtient ainsi l’amortissement équivalent :
30% ≥ 𝜁∗
=
TS
T∗
2
ζ0 + 0,05
TS
T∗
3
≥ 5%

3.1.6. Formule de Gazetas
Gazetas dans ses ouvrages rappelle un certain nombre de formules dont le but est de déterminer les
raideurs de fondations de toutes formes.
3.1.6.1. Fondation circulaire sur une couche reposant sur une couche rocheuse
ou plus raide [6]
Il donne les formules suivantes, adaptées de Kausel et al., pour une fondation circulaire sur une
couche de sol reposant sur une base rigide ; ainsi que pour une couche qui repose elle-même sur une
couche plus raide (G2 ≥ G1), adaptées des travaux de Hadjian et Luco :
Couche reposant sur un
lit rocheux
Couche reposant sur une couche
plus raide
Type de chargement Raideur statique Raideur statique
Vertical
𝐾𝑣 =
4𝐺𝑅
1 − 𝜈
1 + 1,28
𝑅
𝐻
H/R > 2
𝐾𝑣 =
4𝐺1 𝑅
1 − 𝜈1
(1 + 1,28
𝑅
𝐻
)
(1 + 1,28
𝑅
𝐻
𝐺1
𝐺2
)
1 ≤ 𝐻 𝑅 < 5
Horizontal
𝐾𝑕 =
8𝐺𝑅
2 − 𝜈
(1 +
𝑅
2𝐻
)
H/R > 1
𝐾𝑕 =
8𝐺1 𝑅
2 − 𝜈1
(1 +
𝑅
2𝐻
)
(1 +
𝑅
2𝐻
𝐺1
𝐺2
)
1 ≤ 𝐻 𝑅 < 4
Balancement
𝐾 𝛷 =
8𝐺𝑅3
3 1 − 𝜈
(1 +
𝑅
6𝐻
)
4 ≥ H/R > 1
𝐾 𝛷 =
8𝐺1 𝑅3
3 1 − 𝜈1
(1 +
𝑅
6𝐻
)
(1 +
𝑅
6𝐻
𝐺1
𝐺2
)
0,75 ≤ 𝐻 𝑅 < 2
Torsion
𝑘 𝑅 =
16𝐺R3
3
H/R ≥ 1,25
/
Tableau 10 Formules de Gazetas pour une fondation circulaire reposant une couche elle-même sur couche rocheuse ou
plus raide [6]
Pour H/R < 2 ou 1 ces expressions fournissent tout de même des estimations raisonnables pour les
raideurs.

3.1.6.2. Semelle filante sur une couche reposant sur un lit rocheux [6]
Pour une semelle filante sur une couche de sol reposant sur une base rigide il donne les formules
suivantes :
Type de chargement
Raideur statique
Validité de la formule* Profil du sol
Vertical 𝐾𝑣 =
1,23𝐺
1 − 𝜈
(1 + 3,5
𝐵
𝐻
) 1 ≤ 𝐻 𝐵 ≤ 10
2,1𝐺
2 − 𝜈
(1 +
2𝐵
𝐻
) 1 ≤ 𝐻 𝐵 ≤ 8
𝜋𝐺𝐵2
2 1 − 𝜈
(1 +
𝐵
5𝐻
) 1 ≤ 𝐻 𝐵 ≤ 3
Tableau 11 Formules de Gazetas pour une semelle filante sur une couche reposant sur un lit rocheux [6]
B représente la demi-largeur de la semelle filante.
*en dehors de ces valeurs les expressions fournissent tout de même des estimations raisonnables
pour les raideurs.
3.1.6.3. Fondation circulaire encastrée dans une couche sur lit rocheux [6]
Pour une fondation circulaire parfaitement encastrée dans une couche de sol homogène reposant
sur un lit rocheux, Gazetas donne les formules suivantes issues des travaux de Elsabee et al. ainsi que
de Kausel et al. :
Type de
chargement
Raideur statique Profil du sol
Vertical
𝐾𝑣 =
4𝐺𝑅
1 − 𝜈
1 + 1,28
𝑅
𝐻
1 +
𝐷
2𝑅
1 + (0,85
− 0,28
𝐷
𝑅
)
𝐷 𝐻
(1 − 𝐷 𝐻)
Domaine de
validité :
𝐷
𝑅
< 2
𝐷
𝐻
≤ 0,5∗
8𝐺𝑅
2 − 𝜈
1 +
𝑅
2𝐻
1 +
2𝐷
3𝑅
1 +
5𝐷
4𝐻
8𝐺𝑅3
3 1 − 𝜈
1 +
𝑅
6𝐻
1 +
2𝐷
𝑅
1 + 0,7
𝐷
𝐻
Couplage
horizontal et
balancement
0,40𝐾𝑕 𝐷
Torsion 𝑘 𝑅 =
16𝐺R3
3
1 + 2,67
D
R
Tableau 12 Formules de Gazetas pour une fondation circulaire encastrée dans une couche sur lit rocheux

*pour des fondations avec des encastrements plus profond les formules sous estiment
l’accroissement de la raideur.
3.1.6.4. Semelle filante encastrée dans une couche sur lit rocheux [6]
Pour une semelle filante encastrée dans une couche homogène reposant sur un lit rocheux, Gazetas
donne les formules suivantes, issues des travaux de Jakub et Roesset :
Type de
chargement
Raideur statique Profil du sol
2,1𝐺
2 − 𝜈
1 +
2𝐵
𝐻
1 +
𝐷
3𝐵
1 +
4𝐷
3𝐻
H/B ≥ 2
D/B ≤ 2/3
𝜋𝐺𝐵2
2 1 − 𝜈
1 +
𝐵
5𝐻
1 +
𝐷
𝐵
1 +
2𝐷
3𝐻
Tableau 13 Formules de Gazetas pour une semelle filante encastrée dans une couche sur lit rocheux [6]
B représente la demi-largeur de la semelle filante.
3.1.6.5. Fondations rectangulaires sur une monocouche [10]
Gazetas donne des formules pour des radiers de surface ou encastrés, de formes quelconques qu’il
assimile à un radier de forme rectangulaire de longueur 2L et de largeur 2B comme présenté dans la
Figure 21.
Figure 21 Radier de surface (a) et radier encastré (b) sur un sol homogène

Les formules de raideurs pour un radier de surface sont les suivantes :
Raideur statique
Vertical (z) 𝐾𝑧,𝑠𝑢𝑟𝑓 =
2𝐺𝐿
1 − 𝜈
0,73 + 1,54𝜒0,75
Horizontal (y) (dans la direction de la largeur) 𝐾𝑦,𝑠𝑢𝑟𝑓 =
2𝐺𝐿
2 − 𝜈
(2 + 2,50𝜒0,85
)
Horizontal (x) (dans la direction de la longueur) 𝐾𝑥,𝑠𝑢𝑟𝑓 = 𝐾𝑦,𝑠𝑢𝑟𝑓 −
0,2
0,75 − 𝜈
× 𝐺𝐿(1 −
𝐵
𝐿
)
Balancement (rx) (autour de x) 𝐾𝑟𝑥 ,𝑠𝑢𝑟𝑓 =
𝐺𝐼𝑏𝑥
0,75
1 − 𝜈
𝐿
𝐵
0,25
2,4 +
0,5𝐵
𝐿
Balancement (ry) (autour de y) 𝐾𝑟𝑦 ,𝑠𝑢𝑟𝑓 =
3𝐺
1 − 𝜈
𝐼𝑏𝑦
0,75 𝐿
𝐵
0,15
Torsion 𝐾𝑡,𝑠𝑢𝑟𝑓 = 3,5𝐺𝐼𝑏𝑧
0,75 𝐵
𝐿
0,4
𝐼𝑏𝑧
𝐵4
0,2
Tableau 14 Formules de Gazetas pour un radier de forme quelconque [10]
Avec :
 L la demi-longueur
 B la demi-largeur
 ν le coefficient de Poisson
 𝜒 =
𝐴 𝑏
4𝐿2
 𝐴 𝑏 aire réelle du radier
 𝐼𝑏𝑥 , 𝐼𝑏𝑦 𝑒𝑡 𝐼𝑏𝑧 les moments d’inertie du radier

Pour un radier encastré Gazetas donne les formules suivantes :
Raideur statique
Vertical (z) 𝐾𝑧,𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑧,𝑠𝑢𝑟𝑓 1 +
𝐷
21𝐵
1 + 1,3𝜒 1 + 0,2
𝐴 𝑤
𝐴 𝑏
2 3
Horizontal (y) (dans la direction
de la largeur)
𝐾𝑦,𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑦,𝑠𝑢𝑟𝑓 1 + 0,15
𝐷
𝐵
0,5
1 + 0,52
𝑕
𝐵
𝐴 𝑤
𝐿2
0,4
Horizontal (x) (dans la direction
de la longueur)
𝐾𝑥,𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑥,𝑠𝑢𝑟𝑓 . (
𝐾𝑦,𝑒𝑛𝑐
𝐾𝑦,𝑠𝑢𝑟𝑓
)
Balancement (rx) (autour de x) 𝐾𝑟𝑥 ,𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑟𝑥,𝑠𝑢𝑟𝑓 1 + 1,26
𝑑
𝐵
1 +
𝑑
𝐵
𝑑
𝐷
−0,2
𝐵
𝐿
0,5
Balancement (ry) (autour de y) 𝐾𝑟𝑦,𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑟𝑦 ,𝑠𝑢𝑟𝑓 1 + 0,92
𝑑
𝐿
0,6
1,5 +
𝑑
𝐿
1,9
𝑑
𝐿
−0,6
Torsion 𝐾𝑡,𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑡,𝑠𝑢𝑟𝑓 . 𝛤𝑤 . 𝛤𝑡 𝑟𝑒
Tableau 15 Formules de Gazetas pour un radier encastré de forme quelconque
Avec :
 Aw la surface du mur périphérique du radier en contact avec le sol, pour une hauteur de
contact constante d, le long du périmètre on a : Aw=d x périmètre.
 D est la hauteur d’encastrement
 d est la hauteur de contact de sol sur le bord du radier (voir figure 1)
 h=D-d/2
 𝛤𝑡 𝑟𝑒 = 1 + 0,5
𝐷
𝐵
0,1 𝐵4
𝐼 𝑏𝑧
0,13
 𝛤𝑤 = 1 + 0,4
𝐷
𝑑
0,5 𝑗 𝑆
𝑗 𝑟
𝐵
𝐷
0,6
 𝑗𝑆 =
4𝑑
3
𝐵3
+ 𝐿3
+ 4𝐵𝐿𝑑 𝐿 + 𝐵
 𝑗𝑟 =
4𝐵𝐿
3
(𝐵2
+ 𝐿2
)

3.1.7. Recommandations pour les éoliennes [9]
Pour le cas de déformation entre 10-3
et 10 -2
le CFMS indique que les valeurs du tassement w est
déterminé à partir des méthodes habituelles de la mécanique des sols :
 A partir de l’essai oedométrique
 A partir de l’essai pressiométrique de Ménard
 A partir de l’essai de pénétration statique CPT
Il est ensuite possible de déterminer les raideurs statiques à court terme et à long terme Kvs=q/w.
Pour des déformations entre 10-3
et 10-5
et un disque reposant sur un milieu élastique homogène
semi-infini, le CFMS donne les formules suivantes :
𝐸𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 (𝑁/𝑚): 𝐾𝑣 =
4𝐺𝑅
1 − 𝜈
𝐸𝑛 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
𝑀𝑁. 𝑚
𝑟𝑎𝑑
: 𝐾 𝛷 =
8𝐺𝑅3
3 1 − 𝜈
Ce modèle élastique ne s’applique strictement qu’au cas d’une semelle soumise à un moment sans
décollement. Si on a un effort vertical excentré, la largeur de la zone comprimée est inférieure à 2r, il
faut donc adopter un rayon équivalent r* correspondant à celui d’un disque de même inertie que la
zone comprimée.
Le CFMS donne également les formules suivantes pour les raideurs en rotation :
Configurations
Expressions de KΦNS
(NS = Non Soulevé)
Milieu infini 𝐾 𝛷𝑁𝑆 =
8𝐺𝑅3
3 1 − 𝜈
Cas du bicouche
Couche 1 sur couche 2
H : épaisseur de la couche 1
𝐾 𝛷𝑁𝑆 =
8𝐺1 𝑅3
3 1 − 𝜈1
(1 +
𝑅
6𝐻
)
(1 +
𝑅
6𝐻
𝐺1
𝐺2
)
Vrai si : r < H < 2r
Tableau 16 Formules du CFMS [9]
Ces expressions ne sont valables que dans la mesure où le sol reste comprimé sous la totalité du
massif circulaire de rayon R.
Il est également rappelé que sous ELS quasi permanent le sol sous semelle doit toujours être
entièrement comprimé. Sous sollicitations rare ELSrare le sol peut ne pas être entièrement comprimé,
il faut alors pondérer KΦ d’un coefficient réducteur β1= KΦ/ KΦNS qui dépend du pourcentage de sol
entièrement comprimé sous la semelle.
En première approche les valeurs de β1 sont représentées dans le graphe ci-dessous en fonction du
rapport Mxy/Fz et du diamètre de la fondation Φ.

Figure 22 Courbe permettant de déterminer le coefficient β1 [9]
Les constructeurs imposent une valeur minimale de la raideur en rotation à petite déformation (de
10-5
à 10-3
) pour éviter des phénomènes de couplage avec les parties mécaniques de la machine.
3.2.Comparatif
3.2.1. Fondation circulaire
3.2.1.1. Monocouche
On a donc les formules suivantes pour le cas d’une fondation circulaire reposant sur un sol
homogène (monocouche):
Monocouche Vertical Horizontal Balancement Torsion
Newmark-R. 𝑘 𝑣 =
4𝐺. 𝑟0
1 − 𝜈
𝑘 𝑕 =
32(1 − 𝜈)𝐺. 𝑟0
7 − 8𝜈
𝑘 𝛷 =
8𝐺. 𝑟0
3
3 1 − 𝜈
𝑘 𝑅 =
16𝐺. 𝑟0
3
3
NF P 94-261 𝐾𝑉 =
𝐸𝐵
1 − 𝜈2
𝐾𝐵 = 𝐾𝐿
=
4𝐸𝐵
2 − 𝜈 (1 + 𝜈)
𝐾𝜃;𝐵 = 𝐾𝜃;𝐿 =
𝐵²
6
𝐾𝑉 /
Guide du
SETRA 𝐾𝑣 =
4𝐺𝑅
1 − 𝜈
𝐾𝑥 =
8𝐺𝑅
2 − 𝜈
𝐾 𝛷 =
8𝐺𝑅3
3(1 − 𝜈)
𝐾𝜃 =
16𝐺𝑅3
3
Tableau 17 Formules utilisés pour le comparatif dans le cas d'une fondation circulaire sur un monocouche

Note : Pour la norme NF P 94-261 B désigne le diamètre, excepté pour le cas horizontal ou au vu des
résultats B représente le rayon.
Afin de comparer les formules nous ferons varier les modules de cisaillement et nous utiliserons les
données constantes suivantes :
Rayon 8 m
Coefficient de Poisson ν 0,45
Figure 23 Raideurs verticales pour une fondation circulaire dans le cas d’un monocouche

Figure 24 Raideurs horizontales pour une fondation circulaire dans le cas d’un monocouche
Figure 25 Raideurs en balancement pour une fondation circulaire dans le cas d’un monocouche

On constate que les formules données par Newmark-Rosenblueth, le guide du SETRA et la norme NF
P 94-261 Fondations superficielles donnait les mêmes résultats pour une fondation circulaire
reposant sur un sol homogène (mono couche). Ces formules semblent donc applicables.
3.2.1.2. Bi-couche
Bi-couche Vertical Horizontal Balancement Torsion
Gazetas avec
couche reposant
sur un lit rocheux
𝐾𝑣 =
4𝐺𝑅
1 − 𝜈
1 + 1,28
𝑅
𝐻
𝐾𝑕 =
8𝐺𝑅
2 − 𝜈
(1 +
𝑅
2𝐻
) 𝐾 𝛷 =
8𝐺𝑅3
3 1 − 𝜈
(1 +
𝑅
6𝐻
)
𝐾𝑅
=
16𝐺𝑅3
3
Gazetas avec une
couche reposant
sur une couche
plus raide
𝐾𝑣 =
4𝐺1 𝑅
1 − 𝜈1
(1 + 1,28
𝑅
𝐻
)
(1 + 1,28
𝑅
𝐻
𝐺1
𝐺2
)
𝐾𝑕 =
8𝐺1 𝑅
2 − 𝜈1
(1 +
𝑅
2𝐻
)
(1 +
𝑅
2𝐻
𝐺1
𝐺2
)
𝐾 𝛷
=
8𝐺1 𝑅3
3 1 − 𝜈1
(1 +
𝑅
6𝐻
)
(1 +
𝑅
6𝐻
𝐺1
𝐺2
)
/
Tableau 18 Formules utilisés pour le comparatif dans le cas d'une fondation circulaire sur un bi-couche
Rayon 5 m
Hauteur de la couche la moins raide 5 m
Module de cisaillement de la couche raide G2 400 MPa

Figure 26 Raideurs verticales pour une fondation circulaire dans le cas d'un bi-couche
Figure 27 Raideurs horizontales pour une fondation circulaire dans le cas d'un bi-couche

Figure 28 Raideurs en balancement dans le cas d'un bi-couche
Gazetas donne des formules permettant de calculer les raideurs dans le cas d’un bicouche, avec la
couche la plus profonde qui est soit plus raide que la première, soit rocheuse. On constate que les
raideurs obtenues sont plus élevées dans le cas d’une couche reposant sur un sol rocheux.
Au vue des formules on note que plus le module de cisaillement G2 est élevé plus les courbes de
Gazetas présentent sur les figures 26, 27 et 28 se rapprochent les une des autres. Cela provient du
fait que plus le module de cisaillement est élevé plus le sol est rigide et ses caractéristiques se
rapprochent d’un sol rocheux.
On note également que si G2 est proche de G1 les raideurs obtenues sont les mêmes que celles pour
un sol de type monocouche.
Les formules de type bi-couche sont donc cohérentes avec celles données pour un monocouche.
On remarque également que les écarts entre les courbes sont plus importants pour les raideurs en
translation, que ce soit vertical ou horizontal, que pour la raideur en balancement.
La présence d’une couche raide en profondeur a donc pour conséquence une augmentation des
raideurs par rapport à un sol homogène, or c’est le cas que l’on rencontre habituellement dans la
réalité.

3.2.1.3. Fondation encastrée
Pour une fondation circulaire encastrée d’une profondeur D dans le sol on a les formules suivantes :
Tableau 19 Formules utilisés pour le comparatif dans le cas d'une fondation circulaire encastrée
Rayon 5 m
Hauteur de la couche la moins raide 10 m
Hauteur d’encastrement de la fondation 1 m
Figure 29 Raideurs verticales dans le cas d'une fondation circulaire avec encastrement

Figure 30 Raideurs horizontales dans le cas d'une fondation circulaire avec encastrement
Figure 31 Raideurs en balancement dans le cas d'une fondation circulaire avec encastrement

A l’aide de courbes obtenues à partir des formules pour des fondations encastrées, on constate que
les raideurs sont plus importantes que lorsque les fondations sont en surface or la plupart du temps
les fondations présentent un encastrement plus ou moins important selon les cas.
Il est donc préférable d’utiliser les formules prenant en compte un encastrement, car elles donnent
des raideurs plus importantes et dans la réalité les fondations présentent dans la plupart des cas un
encastrement plus ou moins important.
De même, il est préférable d’utiliser les formules d’un bi-couche, donnant des raideurs plus élevées,
étant donné que dans les cas réel il est très rare d’avoir un sol qui soit homogène sur toute la
hauteur.

3.2.2. Fondations rectangulaires
Monocouche Vertical Horizontal Balancement Torsion
Newmark-R. 𝑘 𝑣 =
𝐺
1 − 𝜈
𝛽𝑧 𝐴 𝑘 𝑕 = 2(1 + 𝜈)𝐺𝛽𝑥 𝐴 𝑘 𝛷 =
𝐺
1 − 𝜈
𝛽 𝛷 𝑎²𝑏 𝑘 𝑅 =
1 + 𝜈
4
𝐺𝛽𝑥 (𝑎2
+ 𝑏2
) 𝐴
NF P 94-261
𝐾𝑉 =
𝐸
2(1 − 𝜈2)
𝛽 𝑉 𝐵𝐿
𝛽 𝑉 = 1,55
𝐿
𝐵
0,25
+ 0,8
𝐵
𝐿
0,5
𝐾𝐵 =
𝐸
2 2 − 𝜈 (1 + 𝜈)
𝛽 𝐵 𝐵𝐿
𝛽 𝐵 = 3,4
𝐿
𝐵
0,15
+ 1,2
𝐵
𝐿
0,5
𝐾𝜃;𝐵 ≈ 𝐵²
0,4
𝐿
𝐵
0,5
+ 0,1
𝐵
𝐿
0,5
𝛽 𝑉 𝐿 𝐵
𝐾𝑉
/
𝐾𝐿 =
𝐸
2 2 − 𝜈 (1 + 𝜈)
𝛽𝐿 𝐵𝐿
𝛽𝐿 = 3,4
𝐿
𝐵
0,15
+ 0,4
𝐿
𝐵
0,5
+ 0,8
𝐵
𝐿
0,5
𝐾𝜃;𝐿 ≈ 𝐵²
0,4
𝐿
𝐵
1,9
+ 0,034
𝐵
𝐿
0,5
𝛽 𝑉 𝐿 𝐵
𝐾𝑉
Tableau 20 Formules utilisés pour le comparatif dans le cas d'une fondation rectangulaire sur un monocouche
Note : Les formules décrites dans les autres méthodes pour une fondation circulaire sont également applicables pour les fondations rectangulaires en
adoptant un rayon équivalent.
Afin de comparer les formules nous ferons varier les modules de cisaillement et nous utiliserons les données constantes suivantes :
Longueur de la fondation 10 m
Largeur de la fondation 6 m

Figure 32 Raideurs verticales dans le cas d'une fondation rectangulaire
Figure 33 Raideurs horizontales dans le cas d'une semelle rectangulaire

Figure 34 Raideurs en balancement dans le cas d'une fondation rectangulaire
Pour les fondations rectangulaires les résultats obtenus par les différentes formules sont similaires,
exceptés pour les raideurs en balancement pour lesquelles les valeurs de la norme NF P 94-261 sont
beaucoup plus faibles. Cette formule contient peut-être une erreur comme cela semble être le cas
pour la formule de raideur horizontale d’une fondation circulaire donnée dans la même norme.
On note également que les résultats des formules qui sont spécifiques aux fondations rectangulaires
donnent des résultats similaires aux formules pour les fondations circulaires quand on adopte un
rayon équivalent. Il semble donc qu’il est possible d’appliquer les formules de raideurs spécifiques
aux fondations circulaires pour des fondations rectangulaires.

3.2.3. Calcul d’un module de cisaillement équivalent [3], [13]
Au vu des formules celles-ci ne sont applicables que pour des monocouches ou des bicouches. Or
dans la réalité il arrive très souvent que l’on ait affaire à un sol possédant plusieurs couches. Le PS 92
donne des formules pour calculer des caractéristiques équivalentes pour un profil stratifié dont les
caractéristiques mécaniques varient peu d’une couche à l’autre.
Pour la masse volumique du sol :
𝜌𝑆 =
𝜌𝑖. 𝐻𝑖
𝐻𝑖
Pour le module de cisaillement du sol :
𝐺𝑆 =
𝐺𝑖. 𝐻𝑖
𝐻𝑖
Avec Hi, ρi et Gi les paramètres relatifs à la couche i.
D’après l’AFPS, les formules d’homogénéisation des couches de sol pour revenir à un modèle simple
monocouche ou bicouche sont à utiliser avec précaution. En effet, ces méthodes sont limitées pour
des profils de sols ou le contraste des propriétés au sein des différentes couches n’est pas important
(rapport des Vs entre 2 couches compris entre 0,5 et 2).
3.3.Validité des formules
Afin de vérifier la validité des formules trouvées lors de l’étude bibliographique, une détermination
des raideurs avec l’aide des logiciels à disposition au sein de l’entreprise Keller a été effectuée.
3.3.1. Raideurs horizontales avec Piecoef+
Le module Piecoef+ est un module du logiciel Foxta développé par la société Terrasol, permettant de
modéliser une fondation profonde avec un chargement horizontal. Une présentation du logiciel
Foxta est donnée en annexe 11.
Afin de déterminer une raideur horizontale de semelle superficielle le modèle utilisé est un pieu de
même diamètre que la semelle et présentant les mêmes caractéristiques que le sol qui l’entoure.
Deux modèles sont utilisés un monocouche et un bi-couche, les caractéristiques sont les suivantes :
Modèle 1 (monocouche) Modèle 2 (bi-couche)
Rayon de la semelle 1 m 1 m
Nature des couches Une couche de limon
Une couche de limon reposant
sur une couche de sable
Module pressiométrique EM 7 MPa
Limons : 7 MPa
Sables : 25 MPa
Gmax= 7 .EM* 49 MPa
Limons : 49 MPa
Sables : 175 MPa
Gsismique= 0,7. Gmax** 34,3 MPa
Limons : 34,3 MPa
Sables : 123 MPa
Tableau 21 Modèles utilisées pour la validation des résultats

* Gmax est déterminé à partir des corrélations du pressiomètre Ménard, à savoir Gmax = (6 à 8) EM
** Gsismique/Gmax est tiré du Tableau 4.1 de l’EN 1998-5
Un effort horizontal de 200 kN est appliqué en tête de pieu. Les données d’entrées complètes
utilisées pour la modélisation sous Piecoef+ ainsi que les déplacements obtenus sont données en
annexe 4 et 5.
Les résultats obtenus sont récapitulés dans le Tableau 22.
La raideur Piecoef+ est déterminée à l’aide de la formule suivante : 𝑘 =
𝐹
𝑥
Modèle 1 (monocouche) Modèle 2 (bi-couche)
Déplacement horizontal 2,72 mm 2,51 mm
Raideur Piecoef + 73,5 MPa.m 79,7 MPa.m
Formule de raideur utilisée 𝑘 𝑕 =
8𝐺𝑅
2 − 𝜈
𝐾𝑕 =
8𝐺1 𝑅
2 − 𝜈1
(1 +
𝑅
2𝐻
)
(1 +
𝑅
2𝐻
𝐺1
𝐺2
)
Raideurs obtenues 177 MPa.m 207 MPa.m
Ecart relatif 58 % 61 %
Tableau 22 Comparatif raideurs issues des formules et raideurs Piecoef+
Les écarts entre les résultats de la formule et les résultats de Piecoef+ sont importants. Cela provient
sans doute du fait que Piecoef+ est un logiciel développé pour l’étude des fondations profondes.
Une modélisation aux éléments finis est donc effectuée dans la partie suivante.
3.3.2. Modélisations aux éléments finis avec Plaxis 3D
La modélisation aux éléments finis se fait à l’aide du logiciel Plaxis 3D. Les résultats Plaxis 3D sont
donnés en annexe 6 pour un monocouche et en annexe 7 pour un bi-couche.
Les caractéristiques des sols sont les mêmes que celles données au Tableau 21 pour un monocouche
et un bi-couche avec une épaisseur H de limons de 3m.
Tableau 23 Comparatif raideurs issues des formules et raideurs Plaxis 3D

3.4.Conclusion fondations superficielles
Pour les semelles circulaires les différents ouvrages et règlements donnent des formules de raideurs
qui sont identiques ou qui donnent des résultats similaires que ce soit en translation verticale,
horizontale ou encore en rotation.
Il faut cependant noter que toutes ces formules sont basées sur l’hypothèse que le sol est un milieu
élastique et homogène ce qui est rarement le cas dans la réalité. En effet, le sol présente parfois un
certain pendage et le sol est en général hétérogène avec des caractéristiques dynamiques qui varient
au cours d’un séisme. Il est donc souvent nécessaire de faire des hypothèses et calculer des
caractéristiques de sol équivalentes afin de se ramener à un monocouche ou un bi-couche. Ces
approximations peuvent être source d’erreurs.
Pour des fondations rectangulaires les mêmes formules sont applicables que pour les fondations
circulaires en adoptant un rayon équivalent ou en prenant les raideurs de NEWMARK pour une
fondation rectangulaire. Les résultats obtenus étant très proches.
Si l’on est dans le cas d’un bicouche ou avec une fondation encastrée on pourra se reporter aux
formules de Gazetas. On note que dans ces cas les raideurs calculées sont plus élevées que dans le
cas d’un monocouche.
Il est important de noter que la modélisation aux éléments finis a donné des résultats présentant des
différences de raideurs par rapport aux formules, notamment dans le cadre des raideurs verticales
pour un monocouche (de l’ordre de 30%). Cependant dans la réalité il est très rare d’avoir un sol
homogène, on est le plus souvent dans le cadre d’un multicouche. L’emploi des formules pour bi-
couche semble donc à privilégier. D’autant plus qu’on constate que pour les raideurs horizontales les
formules donnent des résultats proches de ceux obtenus sous Plaxis 3D, notamment dans le cas d’un
bi-couche (2%).
Concernant les raideurs verticales, celles issus des formules sont plus élevées que celles issues de
Plaxis 3D.
Les résultats de ces formules sont donc à utiliser avec précaution et dans le cadre d’un projet pour
lequel les effets de l’ISS peuvent être importants, nécessitant donc une grande précision, une
modélisation aux éléments finis semble, dans ces cas, préférable.

Le tableau ci-dessous donne les avantages et inconvénients des différentes méthodes de calcul de
raideurs:
Avantages Inconvénients
Newmark-Rosenblueth  Calcul simple et rapide
 Fondation circulaire et
rectangulaire
 Monocouche
Deleuze  Dépend de la fréquence du
mode fondamental de
l’ouvrage
 Nécessite le calcul d’un
rayon équivalent dans le
cas d’une fondation
rectangulaire
 Calcul plus long car
nécessite la détermination
de coefficient de
transmittance
 𝑎0 = 2𝜋𝑓𝑟0
𝜌
𝐺
doit être
inférieur à 2 ce qui limite
l’utilisation de la méthode
SETRA  Calcul simple et rapide  Monocouche
rectangulaire
Veletsos  Calcul simple et rapide
 Permet de prendre en
compte l’encastrement de
la fondation
 Monocouche
rectangulaire
NF P 94-261 Fondations
superficielles
 Calcul simple et rapide
 Fondation circulaire,
rectangulaire et filante
 Monocouche
Formules de Gazetas (1983)  Bi couche
la fondation
 Fondations circulaires et
filantes
rectangulaire
Gazetas pour radier de forme
quelconque (1991)
 Permet de calculer des
raideurs pour des radiers
de formes quelconques en
assimilant à un radier
rectangulaire
la fondation
 Monocouche
 Nécessite de calculer les
inerties de la fondation
pour les raideurs en
balancement et en torsion
Tableau 24 Avantages et inconvénients des différentes formules de calcul de raideur

Le tableau ci-dessous donne les avantages et inconvénients des différentes méthodes de calcul
d’amortissement :
Avantages Inconvénients
Newmark-Rosenblueth  Calcul simple et rapide  Nécessite de connaitre la
masse et l’inertie de la
structure
Deleuze  Dépend de la fréquence du
mode fondamental de
l’ouvrage
 Calcul plus long car
nécessite la détermination
de coefficient de
transmittance
 𝑎0 = 2𝜋𝑓𝑟0
𝜌
𝐺
doit être
inférieur à 2 ce qui limite
l’utilisation de la méthode
Veletsos  Dépend de la période du
mode fondamental de
l’ouvrage
 Nécessite de connaitre de
nombreux paramètres :
masse du bâtiment,
période d’oscillation,
hauteur du bâtiment,
vitesse des ondes de
cisaillement
Tableau 25 Avantages et inconvénients des différentes formules de calcul d'amortissement

4. Fondations profondes
4.1.Méthode de Winkler [5], [14]
Lorsque l’on a affaire à un sol hétérogène composé de plusieurs couches avec des caractéristiques
variées la modélisation la plus adaptée pour le comportement d’un pieu est le modèle de Winkler
(Figure 35). Ce modèle consiste à modéliser le pieu comme une poutre verticale reposant sur une
série de ressorts indépendants horizontaux (latéral) ou verticaux (axial). L’annexe I, Modélisation du
comportement transversal d’une fondation profonde à partir des essais au pressiomètre et au
pénétromètre, de la norme NF P 94-262 Fondations profondes donne des formules permettant de
déterminer les raideurs des ressorts à partir des résultats des essais au pressiomètre.
La méthode décrite dans l’annexe considère que le sol exerce en chaque section de l’élément une
réaction perpendiculaire à l’axe de celui-ci, qui est fonction du déplacement transversal relatif de la
section. Cette réaction se compose de :
 pressions frontales, modélisées par une pression uniforme s’exerçant sur la plus grande
largeur de l’élément perpendiculairement au sens du déplacement
 efforts de frottement transversaux s’exerçant sur les parties du périmètre parallèles au sens
du déplacement
Dans le cas de pieux circulaires on considère que la réaction se compose uniquement de pressions
frontales.
Le logiciel Foxta, développé par Terrasol, est basé sur la méthode de Winkler.

Figure 35 Modèle dynamique de Winkler pour la modélisation de l'intéraction sol-pieu [5]
La loi de mobilisation de la réaction frontale est donnée en fonction du déplacement δ du pieu est
définie par (Figure 36) :
 un segment de droite passant par l’origine et de pente Kf
 un palier r1
Figure 36 Loi de réaction frontale [14]

L’évaluation de Kf et de r1 sont obtenus à l’aide des formules suivantes :
 Pour Kf qui est le module linéique de mobilisation de la pression frontale pour un élément de
fondation profonde:
𝐾𝑓 =
12𝐸 𝑀
4
3
𝐵0
𝐵
2,65
𝐵
𝐵0
𝛼
+ 𝛼
𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐵 ≥ 𝐵0
𝐾𝑓 =
12𝐸 𝑀
4
3
2,65 𝛼 + 𝛼
𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐵 ≤ 𝐵0
 Pour le palier r1 :
𝑟1 = 𝐵𝑝 𝑓
∗
Avec : EM le module préssiométrique de Ménard
B est la largeur de l’élément perpendiculaire au sens du déplacement
B0 est une largeur de référence prise égal à 0,60m
α est le coefficient rhéologique
pf* est la pression de fluage nette
Grâce à ces formules il est possible de déterminer les raideurs de chaque couche de sol. Il faut
cependant noter que Kf est une raideur linéique, il est donc nécessaire de la multiplier par le
diamètre du pieu pour obtenir une raideur.
Cette formule est valable tant que l’on n’atteint pas le palier r1 car après il y a des déformations
plastiques du sol.
4.2.Guide du SETRA [8]
Le guide du SETRA donne la formule suivante pour le calcul de raideur :
k=1,2 Es avec Es=2(1+γ)G
Cette valeur est à multiplier par le diamètre du pieu pour obtenir une raideur par mètre linéaire de
pieu.
G est le module de cisaillement déterminé au niveau de déformation attendu pour l’action sismique
de calcul.
Un exemple a été pris afin d’avoir un ordre de grandeur des valeurs obtenus avec cette formule. Les
données d’entrées sont les suivantes :
Diamètre du pieu (m) 0,92
Coefficient de poisson du sol 0,33
Longueur du pieu (m) 10

Figure 37 Raideur d'un pieu selon le guide du SETRA
Ces raideurs sont associées à des lois de comportement du sol de type élastoplastique présentant un
palier plastique en compression et interdisant la traction dans le sol. Etant donné les incertitudes sur
la détermination de ces modules, le guide du SETRA préconise d’effectuer les calculs en
« fourchette ». Des modèles plus complexes couplant « ressorts » et « amortisseurs » peuvent être
utilisés dans des cas dynamiques. De plus le guide cite également les expressions de rigidité statique
en tête de pieux de l’annexe C de l’Eurocode 8-5 issus des formules d’impédance de Gazetas. Ces
formules seront abordées au §4.3.
Enfin, dans les zones de faible sismicité et pour les cas usuels, les valeurs des modules décrivant la
mobilisation des efforts résistants en fonction du déplacement peuvent être prises égales à trois fois
celles définies dans l'annexe C.5 du fascicule 62 titre V pour les sollicitations de courte durée
d'application.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Raideur(MPa.m/ml)
Modulede cisaillement G (MPa)

4.3.Eurocode 8-5 [4]
L’annexe C de l’Eurocode 8-5 donne des formules de rigidités statiques en tête de pieu pour trois
types de modèle de sol. Les formules de rigidité horizontale KHH, de rigidité à la flexion KMM et la
rigidité de couplage KHM=KMH sont données dans le tableau ci-dessous :
Modèle de sol 𝑲 𝑯𝑯 𝑲 𝑴𝑴 𝑲 𝑯𝑴
𝑬 = 𝑬 𝑺. 𝒛/𝒅 𝑑. 𝐸𝑆.0,60.
𝐸 𝑝
𝐸𝑆
0,35
𝑑3
. 𝐸𝑆.0,14.
𝐸𝑝
𝐸𝑆
0,80
−𝑑2
. 𝐸𝑆.0,17.
𝐸𝑝
𝐸𝑆
0,60
𝑬 = 𝑬 𝑺 𝒛 𝒅 𝑑. 𝐸𝑆.0,79.
𝐸 𝑝
𝐸𝑆
0,28
𝑑3
. 𝐸𝑆.0,15.
𝐸𝑝
𝐸𝑆
0,77
−𝑑2
. 𝐸𝑆.0,24.
𝐸𝑝
𝐸𝑆
0,53
𝑬 = 𝑬 𝑺 𝑑. 𝐸𝑆.1,08.
𝐸 𝑝
𝐸𝑆
0,21
𝑑3
. 𝐸𝑆.0,16.
𝐸𝑝
𝐸𝑆
0,75
−𝑑2
. 𝐸𝑆.0,22.
𝐸𝑝
𝐸𝑆
0,50
Tableau 26 Rigidité en tête de pieu selon l'EC 8-5 [4]
Avec :
 E le module d’Young du modèle de sol, égal à 3G
 Ep le module d’Young du matériau constitutif du pieu
 Es le module d’Young du sol à une profondeur égale au diamètre du pieu
 d le diamètre du pieu
 z la profondeur
Ces rigidités sont données pour 3 modèles de sol :
 un sol dont le module d’Young varie linéairement avec la profondeur
 un sol dont le module d’Young varie avec la racine carrée de la profondeur
 un sol dont le module d’Young reste constant avec la profondeur
Un graphique montrant les 3 types de sol est donné Figure 38.

Figure 38 Les 3 modèles de sols suivant l'EC8 [4]
4.4.Exemple de calcul de raideur de pieux
4.4.1. Cas 1 : Monocouche
Pieux : diamètre 0,62 m en béton C25/30 avec un module sismique de 16082 MPa.
Profondeur Faciès qc
𝑬𝑴
𝐪𝐜
* EM α Eoed EYoung
[m] [-] [Mpa] [-] [Mpa] [-] [MPa] [MPa]
-
Limons argileux à argilo sableux
fermes
1.0 2.0 2.0 1/2 4 2.7
4.4.1.1. Raideur selon l’EC 8
𝑲 𝑯𝑯 𝑲 𝑴𝑴 𝑲 𝑯𝑴
𝑬 = 𝑬 𝑺 𝑑. 𝐸𝑆.1,08.
𝐸 𝑝
𝐸𝑆
0,21
𝑑3
. 𝐸𝑆.0,16.
𝐸𝑝
𝐸𝑆
0,75
−𝑑2
. 𝐸𝑆.0,22.
𝐸𝑝
𝐸𝑆
0,50
𝑬 = 𝑬 𝑺 11,2 MPa.m 69,8 MPa.m3
-17,6 MPa.m²
0
2
4
6
8
10
12
14
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Profondeur(m) E (MPa)
E=Es.z/d
E=Es.(z/d)^(0,5)
E=Es

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