Rapport de pfe buchi eric gc5

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Rapport de pfe buchi eric gc5

  1. 1. Projet de Fin d’Etudes : Interaction Sol-Structure : calcul des impédances et effets sur les fondations Auteur : BUCHI Eric, élève-ingénieur de 5ème année Section : Génie Civil, INSA de Strasbourg Tuteur entreprise : LAMBERT Serge Enseignant-superviseur : NOWAMOOZ Hossein Juin 2013
  2. 2. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 2 Résumé Ce Projet de Fin d’Etudes a pour objet l’étude de l’interaction entre le sol et la structure (ISS) afin de pouvoir la prendre en compte lors d’un dimensionnement parasismique. En effet, la prise en compte de l’ISS dans la modélisation d’une structure peut avoir des effets significatifs sur les efforts sismiques s’appliquant à la fondation. Généralement, les effets de l’Interaction Sol-Structure (ISS) sont favorables, c’est-à-dire qu’ils induisent une diminution des efforts sismiques. Il peut cependant arriver que ses effets soient défavorables dans certains cas particuliers. Afin de prendre en compte les effets de l’ISS une modélisation par ressorts amortis peut-être adoptée. Le but de ce rapport est de présenter les différentes formules qui existent dans la littérature traitant ce sujet. Il y a plusieurs formules de raideurs de sol pour les fondations superficielles. Notamment les formules de Gazetas qui ont l’avantage de prendre en compte l’encastrement de la fondation dans le sol et permettent également de modéliser le sol comme un bi- couche alors que la plupart des autres formules le modélisent uniquement en monocouche. Au vu d’un comparatif entre les formules on constate que la prise en compte d’un encastrement ainsi que la modélisation du sol en bi-couche, avec la couche inférieure plus raide, donne des raideurs de sol plus élevées que la modélisation par monocouche. Concernant les fondations profondes il n’existe pas beaucoup de formules permettant de calculer la raideur d’un pieu. On trouve cependant dans les règlements parasismiques tels que la norme NF P 94-262 fondations profondes des formules permettant de calculer des modules de réaction frontale du sol, ce qui permet de modéliser les pieux dans des logiciels tel que Foxta. Il est ensuite possible de déterminer le déplacement du pieu suite à l’application d’un effort. Ce qui permet de calculer la raideur en divisant l’effort appliqué par le déplacement obtenu. Un exemple a également été traité pour connaitre l’influence de ces paramètres sur les sollicitations dans la structure de l’ouvrage. Il a permis de constater qu’une diminution de la raideur du sol entrainait une diminution de la contrainte au sol sous un radier soumis à un chargement sismique. Mots clés : Interaction sol-structure (ISS), raideurs des sols, amortissements, fondations superficielles, fondations profondes.
  3. 3. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 3 Abstract This internship has for goal to study the soil-structure interaction (SSI) in order to take it into account for the seismic design. Indeed, the consideration of this interaction in the modeling of a structure can have significant effects on the seismic forces which are applied on the foundation. Generally, effects of the Soil-Structure Interaction (SSI) are favorable, which means that they induce a diminution of the seismic forces. However, in some particular cases, the effects of SSI are detrimental. In order to take the SSI into account a model with springs and dashpots can be used. The goal of this report is to present the different formulas which can be found in the scientific literacy. There are several formulas which give the soil stiffness of shallow foundations. Especially, Gazetas formulas which have the advantage to take the embedment of the foundation into account. Moreover these formulas also allow modeling the soil with two layers whereas the others use a homogenous half space. After a comparison between the different formulas we can see that the soil stiffness is higher when we take the embedment into account. Moreover the fact to take a model with two layers, with the deepest layer stiffer than the surface layer, give higher soil stiffness than with an homogenous half space. Concerning deep foundations there are few formulas to calculate the stiffness of a pile. However, some seismic rules, such as NF P 94-262 deep foundations, give formulas to calculate the frontal modulus of soil reaction. With these formulas it is possible to model the pile with software like Foxta. Thanks to that it is possible to determine the displacement of the soil under a load. So you can find the stiffness by dividing the load by the displacement. An example is also given in order to know how these parameters influence the stresses in the structure. Thanks to it, we saw that a diminution of the soil stiffness has for effect to decrease the stress under a raft with a seismic load. Key words: Soil-Structure Interaction (SSI), soil stiffness, damping, shallow foundations, deep foundations.
  4. 4. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 4 Remerciements Pour commencer je tiens à remercier M. LAMBERT Serge, directeur technique, pour m’avoir donné la possibilité d’effectuer mon PFE au sein de Keller Fondations Spéciales. Je le remercie également pour m’avoir guidé et pour avoir répondu à mes questions tout au long de mon stage. Je tiens ensuite à remercier M. QUIRIN Léo, M.VEERECKE Edouard et M. MULLER Stéphane, tous trois ingénieurs études au siège de Keller, pour m’avoir accueilli au sein de leur bureau. Je les remercie pour avoir répondu à mes interrogations, pour leurs explications et également pour m’avoir permis de découvrir un peu le métier d’ingénieur étude. Je les remercie également pour leur sympathie et pour leur bonne humeur qui m’ont permis d’effectuer mon stage dans une ambiance de travail chaleureuse. Je remercie également Mme. NARCY Estelle pour avoir pris le temps de lire certains de mes travaux et pour m’avoir fait part de ses remarques. Je souhaite remercier M. NOWAMOOZ Hossein pour avoir effectué mon suivi de PFE et pour avoir pris le temps de lire mes différents rapports que j’ai pu lui envoyer. Enfin je souhaite remercier tous les autres membres du personnel de Keller Fondations Spéciales que j’ai pu côtoyer au cours de ces 20 semaines, en particulier les membres de l’agence de Strasbourg et les dessinateurs.
  5. 5. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 5 Sommaire Résumé...............................................................................................................................................2 Abstract..............................................................................................................................................3 Remerciements...................................................................................................................................4 Sigles ..................................................................................................................................................7 Introduction........................................................................................................................................8 1. L’entreprise Keller Fondations spéciales......................................................................................9 1.1. Historique du groupe...........................................................................................................9 1.2. Le groupe Keller...................................................................................................................9 1.3. Keller France........................................................................................................................9 1.3.1. Le personnel ..............................................................................................................10 1.3.2. Le bureau d’étude......................................................................................................10 1.3.3. La cellule Développement..........................................................................................11 1.4. Les techniques proposées par Keller Fondations Spéciales.................................................11 1.4.1. Présentation générale................................................................................................11 1.4.2. La colonne ballastée ..................................................................................................12 1.4.3. Les inclusions rigides..................................................................................................14 1.4.4. La colonne à module mixte CMM...............................................................................17 2. Interaction sol-structure (ISS) [1],[2],[3],[4] et [5]......................................................................19 2.1. Généralités........................................................................................................................19 2.2. Les effets de l’ISS...............................................................................................................22 2.3. Modélisation de l’ISS *1+*2+................................................................................................23 2.4. Equation générale formulant un problème d’ISS *5+...........................................................24 2.5. Influence de l’amortissement ............................................................................................25 3. Fondations superficielles...........................................................................................................28 3.1. Inventaire des méthodes...................................................................................................28 3.1.1. Méthode de Newmark-Rosenblueth [1] .....................................................................28 3.1.2. Méthode de Deleuze [1] ............................................................................................29 3.1.3. Les formules de la norme NF P 94-261 Fondations superficielles [7]...........................32 3.1.4. Guide du SETRA pour les ponts en zone sismique [8]..................................................33 3.1.5. Méthode simplifiée de Veletsos [1]............................................................................35 3.1.6. Formule de Gazetas ...................................................................................................39 3.1.7. Recommandations pour les éoliennes [9]...................................................................44
  6. 6. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 6 3.2. Comparatif ........................................................................................................................45 3.2.1. Fondation circulaire ...................................................................................................45 3.2.2. Fondations rectangulaires..........................................................................................54 3.2.3. Calcul d’un module de cisaillement équivalent *3+, *13+..............................................57 3.3. Validité des formules.........................................................................................................57 3.3.1. Raideurs horizontales avec Piecoef+ ..........................................................................57 3.3.2. Modélisations aux éléments finis avec Plaxis 3D.........................................................58 3.4. Conclusion fondations superficielles..................................................................................59 4. Fondations profondes ...............................................................................................................62 4.1. Méthode de Winkler [5], [14] ............................................................................................62 4.2. Guide du SETRA [8]............................................................................................................64 4.3. Eurocode 8-5 [4]................................................................................................................66 4.4. Exemple de calcul de raideur de pieux...............................................................................67 4.4.1. Cas 1 : Monocouche...................................................................................................67 4.4.2. Cas 2 Bi-couche : 2 m de sol compact + sol mou.........................................................68 4.4.3. Cas 3 Bi-couche : 2 m de sol mou + sol compact.........................................................69 4.5. Conclusion fondations profondes ......................................................................................70 5. Mémorial ACTe Guadeloupe .....................................................................................................71 5.1. Présentation du projet.......................................................................................................71 5.2. Contexte géotechnique .....................................................................................................72 5.3. Calcul des raideurs et amortissements...............................................................................73 5.3.1. Raideurs.....................................................................................................................73 5.3.2. Amortissement..........................................................................................................75 5.4. Influence des raideurs sur les contraintes et le soulèvement du radier ..............................77 Conclusion........................................................................................................................................79 Liste des figures................................................................................................................................80 Liste des tableaux .............................................................................................................................81 Bibliographie ....................................................................................................................................82
  7. 7. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 7 Sigles AFPS : Association française de génie parasismique BET : Bureau d’étude technique CMM : Colonne à Module Mixte CFMS : Comité français de mécanique des sols et de géotechnique EC 8 : Eurocode 8 ISS : Interaction sol-structure NDC : Note de calcul NGG : Nivellement général de la Guadeloupe PF : Plateforme PS 92 : Règles de construction parasismique RDC : Rez-de-chaussée SETRA : Service d’études sur les transports, les routes et leurs aménagements TN : Terrain naturel
  8. 8. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 8 Introduction De nos jours, les pratiques standards pour le dimensionnement parasismique des fondations, consistent dans un premier temps à calculer les efforts sismiques s’appliquant sur la fondation et dans un second temps à vérifier la résistance des fondations à ces efforts. Dans la plupart des règlements de construction, la réponse de la structure et les charges arrivant sur la fondation sont calculées en négligeant les effets de l’Interaction Sol-Structure (ISS). En effet, ces derniers sont considérés comme ayant un rôle favorable en diminuant les efforts inertiels car ils ont tendances à allonger la période d’oscillation de la structure et ainsi déplacer la réponse vers des zones de plus faibles accélérations spectrales. Cependant certaines structures, fondées sur des sols inhabituels, peuvent être vulnérables aux effets de l’ISS. Des exemples, sont donnés par Gazetas et Mylonakis [11], notamment pour les séismes de Mexico (1985) et celui de Kobe (1995). Certains règlements reconnaissent les effets défavorables de l’ISS, notamment l’Eurocode 8. A la différence du PS92 le dimensionnement tenant compte de l’ISS est préconisé par l’Eurocode 8 qui sera d’usage systématique à partir de 2014. C’est pourquoi l’entreprise Keller fondations spéciales souhaite des informations sur l’Interaction Sol-Structure et en particulier sur la manière de modéliser celle-ci par le biais de ressorts et d’amortisseurs d’où l’objet de mon PFE. En effet, celui-ci a notamment pour but de faire un inventaire des formules donnant les raideurs et les amortissements de sol pour des fondations superficielles ainsi que pour des fondations profondes. Après une partie de présentation de l’entreprise Keller Fondations spéciales une seconde partie aborde le problème de l’interaction sol-structure. La troisième ainsi que la quatrième partie traite respectivement des fondations superficielles et profondes. Et enfin la dernière partie aborde un exemple basé sur un chantier de Keller qui est le mémorial ACTe en Guadeloupe.
  9. 9. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 9 1. L’entreprise Keller Fondations spéciales 1.1.Historique du groupe Les origines du groupe remontent à l’année 1860, date de la création de la société Johann Keller GmbH par Johann Keller dirigeant d’une chaudronnerie. Lors de la création du chemin de fer Francfort-Bâle, une forte demande de forage de puits se développa afin d’alimenter en eaux les châteaux d’eau pour le réapprovisionnement des locomotives à vapeur. Johann Keller se lança dans l’aventure et se fit rapidement un nom dans le forage d’eau. Voulant sans cesse innover, Johann Keller ne cessa de se tourner vers de nouvelles techniques afin d’améliorer les forages, par la suite il se spécialisa également dans l’amélioration de sol par aiguilles vibrantes électriques (système Torpédo). De nos jour Keller se fait fort de rester le spécialiste dans ce domaine, et ne cesse d’améliorer ses outils et ses techniques. 1.2.Le groupe Keller Keller Group plc, basé à Londres, est un des leaders mondiaux des fondations spéciales et des travaux géotechniques. Il est présent sur tous les continents, au travers de ses différentes filiales :  Amérique (Hayward Baker, Case Foundation)  Europe continentale (Keller Holding dont fait partie Keller France)  Royaume-Uni (Keller Ground Engineering, Frankipile)  Asie ( Keller, Resource Piling)  Australie (Frankipile)  Moyen et Extrême-Orient L’expérience, la taille et l’assise financière du groupe lui permettent d’apporter le plus large choix possible de solutions techniques, dans des domaines aussi variés que la réparation d’ouvrages béton, le renforcement de sol ou les fondations profondes. Cette diversification de métiers profite à l’ensemble des sociétés du groupe, qui peuvent ainsi enrichir leur savoir-faire et introduire dans leur pays respectif des techniques innovantes, et pourtant largement éprouvées ailleurs. Keller Group représente aujourd’hui près de 7000 employés avec des agences dans plus de 30 pays et un chiffre d’affaire supérieur à 1 milliard d’euros. Ses résultats la place au premier rang des entreprises de fondations spéciales à l’échelle mondiale, en termes d’activité. 1.3.Keller France Depuis 1991, Keller Fondations spéciales est présente en France. Avant cette date les chantiers réalisés au sein de l’hexagone étaient suivis par Keller Grundbau (Allemagne), ou étaient réalisés par des entreprises tierces exploitant une licence Keller. Société par Action Simplifiée, l’entreprise est en charge, au sein de Keller Holding, de la zone Sud-Ouest du continent (Portugal, Espagne, France). Depuis 2008 son siège social est installé à Duttlenheim dans le département du Bas-Rhin et est
  10. 10. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 10 présente au travers de 7 agences (v. Figure 1) sur l’ensemble du territoire français afin d’apporter au client des réponses rapides et au fait des spécificités locales. Une présentation des agences métropolitaines est présente en annexe 1. Figure 1 Implantation des agences Keller en France 1.3.1. Le personnel Keller Fondations Spéciales est en constante progression depuis sa création. Elle emploie aujourd’hui près de 170 personnes, dont une grande partie d’ingénieurs. Un détail plus précis sur les effectifs est présent en Annexe 2. Cette dernière annexe contient également la composition du parc matériel de Keller. 1.3.2. Le bureau d’étude Keller Fondations Spéciales a son propre bureau d’études et de recherches, qui effectue les études d’exécution et développe les méthodes de dimensionnement. Le service Etudes est réparti entre le siège et les agences, et se compose d’ingénieurs du BTP, de géotechniciens et de dessinateurs. Ceux- ci utilisent des logiciels de calculs béton armé, de modélisation de flexion de poutres ou d’écrans, avec comportement élastique ou élastoplastique du sol, logiciels de tassement et de capacité portante (Plaxis 3D et 2D, Vibro, Foxta, Greta, Kid), selon les méthodes de calculs validées par les bureaux de contrôle, logiciel dessin Autocad 2012, traceurs et imprimantes.
  11. 11. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 11 1.3.3. La cellule Développement L’entreprise Keller est depuis tout temps novatrice dans les procédés de fondations spéciales. La cellule Développement est aussi bien active sur le plan de la recherche de nouvelles techniques adaptées au marché en associant les experts nationaux de la géotechnique, que sur le plan du développement de nouveaux matériels associés à ces techniques. Au cours des trois dernières années, ces recherches ont permis d’aboutir sur :  La Colonne à Module Mixte CMM  La Colonnes CHAUX-CIMENT, consistant à renforcer les sols argileux saturés. Cette technique de renforcement de sol consiste à réaliser des inclusions par malaxage du sol avec un liant (chaux vive / ciment). 1.4.Les techniques proposées par Keller Fondations Spéciales 1.4.1. Présentation générale Keller a mis au point avec succès de nombreux procédés de fondations et de géotechnique, et ce afin de résoudre les problèmes de sol et de fondations. Ces procédés sont aujourd’hui largement reconnus dans le domaine du bâtiment et des travaux publics. Ainsi Keller propose une grande variété de techniques de fondations spéciales. En France, les principaux domaines d’activités sont :  Le renforcement de sol : dont le but est d’améliorer les caractéristiques mécaniques d’un sol (augmentation de la portance ; diminution des tassements) et ainsi de pouvoir fonder l’ouvrage superficiellement. Les procédés de Keller dans ce domaine sont nombreux, on peut notamment citer les Colonnes Ballastées, les Inclusions Rigides, les Colonnes à Module Mixte.  Les injections spéciales : qui permettent de renforcer des zones cibles dans le sol, de reprendre en sous oeuvre des fondations défaillantes, de mettre en place des soutènements ou d’installer des parois étanches. Keller propose de nombreuses techniques dans ce domaine notamment le Jet Grouting et le Compactage Horizontal Statique (CHS).  Fondations Profondes : consiste à réaliser des éléments de structure pour le transfert des charges de fondations vers des horizons porteurs. Il s’agit de procédés type pieux, micro pieux. En France, Keller réalise principalement des pieux à la tarière creuse et des micro- pieux. La part de chiffre d’affaire que représente chaque activité est donnée par le graphique de la Figure 2.
  12. 12. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 12 Figure 2 Part du chiffre d'affaire que représente chaque domaine d'activité de Keller Dans cette partie je détaillerai les principales méthodes mises en œuvre par Keller, les autres procédés sont cités en annexe 3. 1.4.2. La colonne ballastée La mise en œuvre de colonnes ballastées consiste à introduire et à compacter du ballast dans le sol afin de former une colonne destinée à renforcer le sol. Ce procédé est fréquemment utilisé pour des ouvrages où existent des dallages et radiers pour lesquels on cherche à réduire les tassements (hall de stockage, bâtiments industriels et commerciaux, silos et station d’épuration...). Cette méthode est également utilisée pour renforcer le sol au niveau des fondations superficielles de bâtiments dans les sols cohésifs (Figure 3). Figure 3 Colonnes ballastées sous semelle et sous dallage
  13. 13. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 13 La colonne ballastée, tout comme les autres procédés d’amélioration de sol, n’est ni un élément de fondation, ni une fondation profonde. Les fondations d’un ouvrage reposant sur un sol traité par colonnes ballastées sont toujours de type superficielles : semelle filante ou isolée, radier, dallage. Par ce type de procédé, on recherche essentiellement la maîtrise de la fondation superficielle, et ainsi obtenir un comportement prévisible, justifiable et compatible avec les charges et tolérances s’appliquant à la structure de l’ouvrage. L’amélioration de sol par colonnes ballastées repose sur la réalisation d’inclusions souples à module élevé (10 à 30 fois supérieur au module du sol), sans cohésion et à fort pouvoir drainant, qui par concentration et report de charges augmentent la capacité portante du sol en diminuant les tassements. Ces derniers sont homogénéisés de telle sorte que l’ouvrage à fonder ne subisse aucun tassement différentiel. Les colonnes ballastées ne constituent pas pour autant des points durs comme les inclusions rigides, et peuvent être sollicitées par l’intermédiaire d’un matelas d’épaisseur limitée (40cm) ou directement, pour les semelles de fondations.  Avantages du procédé La colonne ballastée, du fait qu’elle est constituée de matériau naturel dépourvu de liant, est régit par les mêmes lois de comportement mécanique que le sol en place. De ce fait, les travaux de gros œuvre se feront de la même manière que sur un sol possédant de bonnes caractéristiques mécaniques. Les principaux avantages de la colonne sont :  Pas de recépage nécessaire  Reprise aisée des sollicitations horizontales et des moments fléchissant  Pas de création de point dur, ainsi il n’est pas nécessaire d’adapter le ferraillage par rapport à un ouvrage réalisé traditionnellement avec des fondations superficielles  Pas de risque de cisaillement accidentel de la tête de la colonne en phase chantier.
  14. 14. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 14  Principe de réalisation : Figure 4 Principe de réalisation d'une colonne ballastée 1.4.3. Les inclusions rigides Les inclusions rigides sont des colonnes en béton (armées ou non) misent en place dans le sol soit directement sous la structure, c’est le cas pour les semelles mixtes, soit sous un matelas de répartition (Figure 5). Dans ce dernier cas les inclusions rigides, en général non armées, sont mises en place par Keller Fondations Spéciales avant que le terrassier vienne mettre en place un matelas de répartition sur lequel reposera l’ouvrage.
  15. 15. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 15 Figure 5 Inclusion rigide sous matelas de répartition (à gauche) et sous semelle mixte (à droite) Ce procédé d’inclusions rigides sur matelas se caractérise par l’absence de liaison structurelle entre les ouvrages et les inclusions et se distingue ainsi des fondations profondes. Le complexe inclusion- matelas permet de reprendre tout ou partie de la charge de l’ouvrage et de la transférer en profondeur par frottement latéral et effort de pointe. Le sol compressible ainsi déchargé engendrera des tassements absolus et différentiels réduits. Le procédé d’inclusions rigides a pour objet d’améliorer les performances du sol de fondation de remblais et de structure type dallage, fondations superficielles ou radier, en répondant aux spécifications suivantes :  Augmentation de la capacité portante du sol  Reprise des efforts horizontaux et des moments par l’intermédiaire d’un matelas intercalaire sous les semelles  Réduction des tassements  Avantages et limites des inclusions rigides : Le renforcement de sol par inclusions rigides présente l’avantage de diminuer de manière très efficace les tassements sous charge. Ce dernier, sous renforcement, peut être divisé par un facteur allant jusqu’à 10 sous de fortes charges. La contrepartie de cette efficacité est la nécessité de prendre en compte les effets des points durs créés par les inclusions sur la structure. Les semelles de fondations doivent alors être dimensionnées en conséquence. Les inclusions rigides fonctionnent en réseau. Il y a nécessairement un frottement négatif qui se développe dans la partie haute de l’inclusion jusqu’au point neutre (plan d’égal tassement intermédiaire selon la Figure 6). La contrainte appliquée sur l’inclusion est maximale au point neutre.
  16. 16. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 16 Figure 6 Fonctionnement d'une inclusion rigide avec matelas de répartitions sous dallage  Principe de réalisation : Figure 7 Principe de mise en œuvre d'une inclusion rigide
  17. 17. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 17 1.4.4. La colonne à module mixte CMM La Colonne à Module Mixte CMM est une technique de renforcement de sol combinant une inclusion rigide en partie inférieure et une colonne souple en gravier refoulé en partie supérieure, sur le ou les derniers mètres (voir Figure 8). Ce procédé, mis en œuvre par Keller, est l’aboutissement de plusieurs années de recherche et d’essais effectués en collaboration avec le Laboratoire Central des Ponts et Chaussées (L.C.P.C). Figure 8 Schéma d'une CMM En augmentant la capacité portante du sol et en réduisant sa compressibilité, la Colonne à Module Mixte CMM permet l’économie de pieux et de planchers portés. Ce renforcement de sol trouve une application dans tous les domaines de la construction (bâtiments de logements, industriels et commerciaux, ouvrage génie civil, remblais routiers et ferroviaires, plateformes portuaires). Le domaine d’application du procédé s’étend à l’ensemble des sols, y compris aux remblais et aux sols fortement organiques présents en profondeur au-delà de la partie supérieure en gravier.  Avantages de la CMM : Les CMM associent les avantages des colonnes ballastées et des inclusions rigides en en évitant les inconvénients. Par exemple, dans le cas d’une amélioration de sol par inclusions rigides, on a souvent l’obligation d’armer la partie haute afin de reprendre par cisaillement les sollicitations horizontales liées au vent et parfois aux séismes. Les massifs reposant sur plusieurs inclusions rigides doivent également être recépés, comme dans le cas de massifs sur pieux. Pour les dallages sur sol amélioré par inclusions rigides, l’obtention de moments fléchissant compatibles suppose bien souvent soit l’application d’un matelas de répartition de forte épaisseur, soit la mise en œuvre d’une double nappe d’armatures. Tous ces inconvénients sont évités grâce à la réalisation de la partie supérieure en gravier refoulé de la CMM (couramment de longueur 1,50 à 2,00m). De plus, en phase chantier, le risque de cisaillement accidentel de la tête de la colonne, dû à la circulation d’engin ou au creusement de tranchées, est supprimé avec la CMM.
  18. 18. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 18  Principe de réalisation : Figure 9 Principe de réalisation d'une CMM
  19. 19. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 19 2. Interaction sol-structure (ISS) [1],[2],[3],[4] et [5] La présente partie a pour but d’expliquer ce qu’est l’interaction sol-structure, quels en sont les effets ainsi que la manière de la modéliser. 2.1.Généralités Lors d’un séisme les charges appliquées sur une fondation proviennent des forces d’inerties se développant dans la superstructure et des déformations du sol, provoquées par le passage des ondes sismiques, imposées à la fondation. Ces deux types de chargement sont nommés:  Chargement inertielle  Chargement cinématique L’importance de ces chargements dépend des caractéristiques de la fondation ainsi que de la nature des ondes sismiques. Le terme générique englobant ces deux phénomènes est appelé Interaction Sol-Structure (ISS). Cependant le plus souvent les ingénieurs emploient ce terme pour désigner le chargement inertielle en ignorant la part du au chargement cinématique. Cela provient du fait que :  Dans certains cas l’interaction cinématique est négligeable  La plupart des règlements parasismiques, excepté certain dont l’Eurocode 8, ne le mentionne pas  Les effets de l’interaction cinématique sont plus difficiles à évaluer rigoureusement que les effets inertiels. La réponse d’une structure à une action sismique dépend de nombreux paramètres tels que :  La nature du mouvement sismique  Les propriétés dynamiques de l’ouvrage  Les propriétés dynamiques du sol. Il existe donc une interaction entre la structure et le milieu extérieur, c’est l’interaction sol-structure (ISS). La Figure 10 illustre bien le problème de l’ISS. Ce schéma montre le cas général d’une fondation, de type radier, encastrée dans le sol et supportée par des pieux traversant plusieurs couches de sol et se reposant sur une couche rigide ou rocheuse. Le problème de l’ISS reste cependant le même pour tous les types de fondations. La couche de sol autour de la structure est soumise à plusieurs types d’ondes sismiques :  des ondes de cisaillement : onde S  des ondes de dilatation : onde P  des ondes de surfaces : onde R ou L
  20. 20. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 20 La nature des ondes est dictée par des conditions sismologiques, cependant la géométrie, la raideur et l’amortissement du sol modifient le mouvement de ce dernier sous sollicitations sismiques. Ce mouvement modifié correspond au mouvement en champ libre dont la détermination est complexe. Figure 10 Illustration de l'ISS [5] Le mouvement des fondations est différent du mouvement du sol en champ libre. En effet, sous sollicitations sismiques, la déformation du sol va obliger les pieux et le radier à se déplacer et par conséquent entrainer la structure supportée. Même sans superstructure, le mouvement de la fondation sera différent de celui du sol en champ libre à cause de la différence de rigidité entre le sol d’une part et les pieux et radier d’autre part. Les ondes incidentes sont également reflétées et dispersées par la fondation et les pieux qui en retour développent des moments de flexion. C’est l’interaction cinématique. Le mouvement des fondations génère des oscillations dans la superstructure qui développe des efforts inertiels et des moments à sa base. Ainsi la fondation, les pieux et éventuellement le sol aux alentours subissent des forces dynamiques et des déplacements supplémentaires. C’est le phénomène d’interaction inertielle. Le moyen le plus radical pour s’affranchir du problème de l’ISS est de considérer que l’ouvrage que l’on cherche à dimensionner est parfaitement encastré dans le sol, cette hypothèse est d’autant plus valable que le sol de fondation est peu déformable vis-à-vis de la structure (Figure 11). Les bâtiments courants, réguliers et faisant l’objet des méthodes de calcul simplifiées sont en général considérés comme parfaitement encastrés dans le sol de fondation.
  21. 21. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 21 Figure 11 Sans ISS, bâtiment souple et sol de très bonne résistance mécanique [1] Il n’y a pas non plus d’interaction dans le cas d’un bâtiment rigide sur un sol rocheux. En effet, les déformations du sol au droit du bâtiment sont négligeables devant les déformations du bâtiment dues à l’action sismique (Figure 12). Figure 12 Sans ISS, bâtiment raide et sol de très bonne résistance mécanique [1] En général, et plus particulièrement dans le cas de bâtiments massifs sur des sols moyennement ou faiblement raides, les effets de l’ISS ne sont pas négligeables et modifient de façon considérable la réponse de la structure à une action sismique (Figure 13). Figure 13 Avec ISS, bâtiment raide et sol de faible ou moyenne résistance mécanique [1]
  22. 22. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 22 Il existe également de nombreuses situations intermédiaires pour lesquelles la prise en compte de l’ISS où non doit être choisit au cas par cas. Par exemple quand les niveaux supérieurs d’un ouvrage sont plus souples que les niveaux inférieurs. En effet, cette situation peut provoquer un effet « coup de fouet » qui sera amplifié par les mouvements du sol, la prise en compte de l’ISS est donc nécessaire dans la modélisation de ces ouvrages (Figure 14). Figure 14 Phénomène "coup de fouet" qui peut être amplifié par l'ISS [1] L’Eurocode 8-5 impose l’étude des effets de l’interaction dynamique sol-structure dans les cas suivants [4] :  Structures pour lesquelles les effets du P-δ (2e ordre) jouent un rôle significatif, ce qui est le cas pour les structures élancées, pour lesquelles l’excentrement du poids des masses par rapport à l’axe verticale induit un moment fléchissant supplémentaire  Structures avec fondations massives ou profondes, comme les piles de ponts, les silos ou tout ouvrage industriel équivalent  Structures hautes et élancées, comme les tours et les cheminées  Structures supportées par des sols très mous, sol de classe S1 avec des vitesses des ondes de cisaillement de Vs,max<100 m/s. 2.2.Les effets de l’ISS En général, l’ISS entraine [1],[2]:  Un allongement de la période de vibration du 1er mode notamment, qui peut provoquer une variation en plus ou en moins de la valeur de l’accélération selon la zone où l’on se situe sur le spectre élastique  Un amortissement non négligeable (amortissement radiatif + amortissement propre au matériau-sol) puisque toujours supérieur à celui des matériaux de la structure. Ne pas le prendre en compte conduit à surestimer la réponse  Une rotation de la fondation qui peut modifier sensiblement le calcul de la déformée modale et donc la répartition des accélérations sur la hauteur du bâtiment  Un mouvement du sol à la base du bâtiment supposé identique à celui du champ libre ; dans les cas courants cette approximation est considérée comme acceptable.
  23. 23. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 23 Pour la majorité des structures usuelles de bâtiments, les effets de l’ISS ont tendances à être bénéfiques puisqu’ils réduisent les moments fléchissants et les efforts tranchants dans les différents éléments de la structure. [3] Pour les structures pour lesquelles la prise en compte de l’ISS n’est pas imposée par l’EC 8-5, la prise en compte de l’ISS permet en général une réduction des sollicitations par une dissipation au niveau du sol et par une lecture spectrale plus favorable. En effet, on peut voir sur la Figure 15 que la prise en compte de l’ISS permet d’augmenter la période propre d’oscillation de la structure ce qui dans la plupart des cas diminue la valeur de la réponse sismique. De plus, sur cette même figure on peut voir qu’avec un amortissement plus important la réponse est également plus faible. Figure 15 Lecture spectrale montrant les effets de la prise en compte de l'ISS [12] Les effets favorables correspondent en moyenne à une réduction de la réponse de 10 à 12% et à une aggravation de quelques pour cent lorsqu’ils agissent dans un sens défavorable. [2] 2.3.Modélisation de l’ISS [1][2] L’interaction sol-structure est fréquemment modélisée par une structure fondée en surface sur un sol homogène (solide élastique) et horizontal dont les propriétés mécaniques sont connues et constantes au cours d’un séisme. Les mouvements sismiques qui sollicitent la structure sont des ondes de volume qui se propagent verticalement à partir d’un substratum horizontal. Or, en réalité le substratum possède un certain pendage, le sol lui est hétérogène et ses caractéristiques dynamiques varient au cours d’un séisme. De plus, la structure peut être sollicitée par des ondes de surface et la fondation ainsi qu’une partie de l’ouvrage se situent en général à une certaine profondeur. Enfin le solide élastique est supposé avoir le même module en traction qu’en compression ce qui se concilie très mal avec un sol. Ce module est également censé être le même en tout point d’un sol, notamment au centre et sous les bords d’un radier, ce qui est en contradiction avec la réalité. Le calcul de l’ISS, du fait de toutes ces incertitudes, reste donc un calcul approximatif et l’exploitation des résultats nécessite donc une certaine prudence notamment en prenant l’enveloppe de ceux-ci. La modélisation d’une structure ne doit pas se faire avec un encastrement parfait à sa base (Figure 16 a) si de grande déformation du sol son prévisibles. Cela est par exemple le cas de bâtiments très rigides fondés sur un sol de résistance mécanique moyenne, les déformations les plus importantes
  24. 24. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 24 pouvant alors se produire dans le sol plutôt que dans la structure. La modélisation est ainsi amenée à être faite en représentant le sol par des ressorts (Figure 16b) ou des éléments finis (Figure 16c). Figure 16 Modélisation de l'ISS [1] a) Encastrement parfait ; b) Ressorts ; c) Eléments finis La méthode la plus utilisée est la modélisation du sol par un système de ressorts amortis, dans ce cas on associe dans un même modèle la structure et le sol associé. C’est cette méthode qui intéresse la société KELLER Fondations spéciales. Il lui faut ainsi des méthodes permettant de calculer les raideurs et les amortissements du sol à prendre en compte dans les calculs. Les raideurs de sol sont aux nombres de quatre :  Raideur en translation verticale : kv  Raideur en translation horizontale : kh  Raideur en balancement (rocking): kΦ  Raideur en torsion autour d’un axe vertical : kR 2.4.Equation générale formulant un problème d’ISS [5] La formulation générale d’un problème d’ISS est présentée ci-dessous, cette formulation est celle utilisée dans le cadre d’une méthode aux éléments finis. La complexité d’un problème d’ISS se trouve dans la capacité à résoudre ces équations. Dans l’équation générale donnée ci-dessous, [M],[C] et [K] représentent respectivement la matrice des masses, celle d’amortissement et celle de raideur. ,𝑢}, {𝑢} et {𝑢} représentent les vecteurs accélération, vitesse et déplacement. {𝑄 𝑓} est le vecteur de chargement. 𝑀 𝑢 + 𝐶 𝑢 + 𝐾 𝑢 = 𝑄 𝑓
  25. 25. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 25 2.5.Influence de l’amortissement Les spectres de dimensionnement donnés dans les règlements parasismiques (PS 92 et Eurocode 8) sont donnés pour des amortissements relatifs de 5%. Pour des amortissements plus faibles ou plus élevés il convient donc de modifier ces spectres en appliquant un coefficient correctif aux ordonnés. Ces coefficients sont les suivants :  PS 92 : 𝜌 = 5 𝜁 0,4 avec ζ amortissement relatif différent de 5%.  EC 8 : 𝜂 = 10 (5 + 𝜁) ≥ 0,55. Excepté dans le cas d’utilisation de dispositifs mécaniques, la correction de l’amortissement est limitée à : 2% ≤ 𝜁 ≤ 30%. Pour les différentes valeurs d’amortissement correspondantes à la plage d’amortissements donnés ci-dessus on obtient les coefficients correctifs donnés dans le Tableau 1. PS 92 EC 8 Amortissement relatif 2% 1,443 1,195 3% 1,227 1,118 4% 1,093 1,054 5% 1,000 1,000 6% 0,930 0,953 7% 0,874 0,913 8% 0,829 0,877 9% 0,790 0,845 10% 0,758 0,816 11% 0,730 0,791 12% 0,705 0,767 13% 0,682 0,745 14% 0,662 0,725 15% 0,644 0,707 16% 0,628 0,690 17% 0,613 0,674 18% 0,599 0,659 19% 0,586 0,645 20% 0,574 0,632 21% 0,563 0,620 22% 0,553 0,609 23% 0,543 0,598 24% 0,534 0,587 25% 0,525 0,577 26% 0,517 0,568
  26. 26. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 26 27% 0,509 0,559 28% 0,502 0,550 29% 0,495 0,542 30% 0,488 0,535 Tableau 1 Coefficients correctifs dû à l'amortissement La valeur du coefficient correctif de l’EC 8 devant rester inférieur à 0,55 on constate que l’amortissement est limité à 28% contrairement au PS 92 qui lui autorisait 30%. Exemple : Afin de constater l’effet de la prise en compte d’un amortissement différent de 5%, nous allons prendre un exemple étudié en cours de parasismique avec M.GUTH. Il s’agissait d’un pont à trois travées de porté respective 9,72m – 16,19m – 9,72m. Le pont avait les caractéristiques suivantes :  Masse du tablier : M=819,5 tonnes  Raideur totale du tablier (culées et piles avec appuis en élastomère fretté) : K=50,64MN/m  𝑇 = 2𝜋 𝑀 𝐾 = 2𝜋 819,5 50,64.103 = 0,8𝑠 Caractéristiques sismiques :  agr=1,10 m/s²  Sol de classe C d’où S=1,50  γI=1,20  η=1 pour un amortissement de 5% Calcul sismique : 𝑆𝑒 𝑇 = 𝑎 𝑔𝑅 . 𝛾𝐼. 𝑆. 𝜂. 2,5. 𝑇𝐶 𝑇 𝑆𝑒 𝑇 = 1,10 × 1,50 × 1,20 × 1 × 2,5 × 0,40 0,80 = 2,475 𝑚/𝑠² D’où un effort sismique dans le sens longitudinal de : 𝐻𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖 = 𝑀. 𝑆𝑒 𝑇 = 819,5 × 2,475 = 2028 𝑘𝑁 En appliquant les coefficients d’amortissement de l’Eurocode 8 on obtient les résultats du Tableau 2 :
  27. 27. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 27 Amortissement relatif η Hlongi (kN) Ecart relatif par rapport à un amortissement de 5% 2% 1,195 2424 -20% 3% 1,118 2267 -12% 4% 1,054 2138 -5% 5% 1,000 2028 0% 6% 0,953 1934 5% 7% 0,913 1851 9% 8% 0,877 1779 12% 9% 0,845 1714 15% 10% 0,816 1656 18% 11% 0,791 1603 21% 12% 0,767 1555 23% 13% 0,745 1512 25% 14% 0,725 1471 27% 15% 0,707 1434 29% 16% 0,690 1399 31% 17% 0,674 1367 33% 18% 0,659 1337 34% 19% 0,645 1309 35% 20% 0,632 1283 37% 21% 0,620 1258 38% 22% 0,609 1234 39% 23% 0,598 1212 40% 24% 0,587 1191 41% 25% 0,577 1171 42% 26% 0,568 1152 43% 27% 0,559 1134 44% 28% 0,550 1116 45% Tableau 2 Exemple montrant l'influence de l'amortissement sur les efforts sismiques En analysant les résultats obtenus on constate que la prise en compte d’un amortissement relatif différent des 5% pris pour définir les spectres de dimensionnement modifie considérablement les efforts sismiques dans une structure. En effet, dans l’exemple utilisé on remarque qu’en passant d’un amortissement de 5% à un amortissement de 28% les efforts sismiques dans la structure diminue de 45%. Des amortissements de 28% semblent toutefois élevés, des amortissements de 10% à 15% sont cependant envisageables pour certaines structures en prenant en compte l’ISS. Il est donc possible de diminuer de l’ordre de 20 à 30% les efforts sismiques dans une structure ce qui n’est pas négligeable lors d’un dimensionnement.
  28. 28. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 28 3. Fondations superficielles Cette partie a pour but de résumer les différentes formules applicables pour déterminer les raideurs de fondations superficielles que l’on peut trouver dans les différents ouvrages abordant l’interaction sol-structure. Une première partie consiste à faire l’inventaire des différentes méthodes qui existent afin de déterminer les raideurs et amortissements des sols. La seconde partie contient un comparatif des différentes méthodes. On rappelle qu’une raideur est défini par 𝑘 = 𝐹 𝑥 avec F une force en Newton et x le déplacement engendré par la force en mètre. k est donc en (N/m) ce qui correspond également à des (Pa.m). Il ne faut pas confondre la raideur du sol avec le module de réaction du sol qui lui est déterminé à partir du tassement vertical s sous l’effet d’une pression uniforme q appliquée au sol : 𝑘 𝑣 = 𝑞 𝑠 en Pa/m. 3.1.Inventaire des méthodes 3.1.1. Méthode de Newmark-Rosenblueth [1] Cette méthode est indépendante de la fréquence de la structure et permet d’estimer et de contrôler les valeurs de raideurs et des amortissements du sol. Afin d’obtenir un meilleur ajustement dans la bande des basses et moyennes fréquences, qui sont celles présentant le plus d’intérêt en cas de séismes, Rosenblueth a introduit une masse virtuelle de sol, liée à la fondation du bâtiment. L’ajout de cette masse ne modifie pas radicalement la réponse dynamique de la structure. La masse de sol additionnelle est concentrée au nœud d’interface sol-fondation au niveau inférieur du radier. Les raideurs du sol ainsi que les amortissements sont donnés par le Tableau 3. Tableau 3 Formules de Newmark-Rosenblueth [1] Mouvement Hauteur du prisme de sol H Amortissement relatif ou critique η Raideurs k Fondation circulaire Fondation rectangulaire Vertical 0,27 𝐴 2,71 𝜌𝐻3 𝑀𝑏 + 𝑀𝑆 𝑘 𝑣 = 4𝐺. 𝑟0 1 − 𝜈 𝑘 𝑣 = 𝐺 1 − 𝜈 𝛽𝑧 𝐴 Horizontal 0,05 𝐴 20,55 𝜌𝐻3 𝑀𝑏 + 𝑀𝑆 𝑘 𝑕 = 32(1 − 𝜈)𝐺. 𝑟0 7 − 8𝜈 𝑘 𝑕 = 2(1 + 𝜈)𝐺𝛽𝑥 𝐴 Balancement 0,35 𝐴 0,485 𝜌𝐻5 𝐼𝑏 + 𝐼𝑆 𝑘 𝛷 = 8𝐺. 𝑟0 3 3 1 − 𝜈 𝑘 𝛷 = 𝐺 1 − 𝜈 𝛽 𝛷 𝑎²𝑏 Rotation autour de l’axe vertical 0,25 𝐴 1,88 𝜌𝐻5 𝐽𝑏 + 𝐽𝑆 𝑘 𝑅 = 16𝐺. 𝑟0 3 3 𝑘 𝑅 = 1 + 𝜈 4 𝐺𝛽𝑥 (𝑎2 + 𝑏2 ) 𝐴
  29. 29. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 29 Avec : A : aire de la fondation a : dimension parallèle à la direction du séisme b : dimension perpendiculaire à la direction du séisme Mb : masse du bâtiment Ms =A.H.ρ : masse de sol additionnelle ayant même aire que la fondation du bâtiment H : hauteur du prisme de sol Ib, Jb : inerties massiques du bâtiment par rapport à la fondation IS, JS : inerties massiques de la masse additionnelle de sol par rapport à la fondation r0 : rayon d’une fondation circulaire ν : coefficient de poisson 𝐺 = 𝐸 2(1+𝜈) : module de cisaillement dynamique du sol βz, βx et βΦ sont donnés par des abaques (Figure 17) 3.1.2. Méthode de Deleuze [1] Cette méthode est applicable dans les cas où les fondations sont circulaires ou assimilées circulaires. Elles doivent également être considérées comme superficielles et suffisamment rigides. Cette méthode contrairement à la méthode de Newmark-Rosenblueth tient compte de la fréquence du mode fondamental de l’ouvrage. L’ISS peut être modélisée de deux manières :  Par ressorts concentrés : plus simple pour l’analyse dynamique d’ensemble (hypothèse du radier rigide) mais nécessite une modélisation plus spécifique pour le radier  Par ressorts répartis : plus complexe mais les efforts obtenus sont directement exploitables pour le dimensionnement du radier. Cette représentation est admise en cas de sol homogène à l’échelle des dimensions en plan des fondations, c’est-à-dire en cas de sol stratifié dont les couches présentent des contrastes faibles de module G. Figure 17 Abaques donnant les coefficients de Newmark βz, βx et βΦ [1]
  30. 30. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 30 Deleuze a établi des tableaux donnant des coefficients de transmittance fV (translation verticale), fH (translation horizontale) et fΦ (rotation autour d’un axe horizontal, balancement). Pour établir ces coefficients Deleuze a utilisé les hypothèses suivantes :  Le sol est un solide semi-infini, élastique et homogène, isotrope et limité par un plan  La réaction de sol sous la fondation est linéaire. La surface d’appui n’est donc pas plane, elle est donnée par la résolution du second problème de Boussinesq. Les déplacements du nœud de la fondation sont assimilés à ceux du centre d’inertie de la fondation, la rotation de la fondation est celle du plan moyen de la surface d’appui  L’amortissement géométrique correspond au rayonnement des ondes dans le sol Lorsque les valeurs numériques des paramètres ne figurent pas dans les tableaux une interpolation linéaire est effectuée à partir des valeurs les plus proches. Les coefficients de raideurs et les amortissements géométriques en fonction des coefficients de transmittance f sont donnés dans Tableau 4. Raideurs Amortissements géométriques Vertical 𝐾𝑉 = 𝐺. 𝑟0 𝑓𝑉1 𝑓𝑉1 2 + 𝑓𝑉2 2 𝜂 𝑉 = − 1 2 𝑓𝑉2 𝑓𝑉1 Horizontal 𝐾 𝐻 = 𝐺. 𝑟0 𝑓𝐻1 𝑓𝐻1 2 + 𝑓𝐻2 2 𝜂 𝐻 = − 1 2 𝑓𝐻2 𝑓𝐻1 Rotation autour d’un axe horizontal, balancement 𝐾 𝛷 = 𝐺. 𝑟0 3 𝑓𝑅1 𝑓𝑅1 2 + 𝑓𝑅2 2 𝜂 𝛷 = − 1 2 𝑓𝑅2 𝑓𝑅1 Tableau 4 Formules de Deleuze [1] Avec r0 : rayon du cercle équivalent d’une fondation circulaire ; il est calculé comme suit :  Pour les raideurs en translation : l’aire du cercle équivalent est égale à l’aire de la surface d’appui : 𝑟0 = 𝑏𝑎 𝜋  Pour les raideurs en rotations (balancement) : le moment d’inertie de la surface du cercle équivalent est égal au moment d’inertie de la surface d’appui de la fondation, rapporté à l’axe perpendiculaire à la composante passant par le centre de gravité de la surface, soit o en balancement : 𝑟0 = 𝑏𝑎3 3𝜋 4 o en torsion : 𝑟0 = 𝑏𝑎(𝑏2+𝑎2) 6𝜋 4 Notations : a : dimension parallèle à la direction du séisme b : dimension perpendiculaire à la direction du séisme 𝐺 = 𝐸 2(1+𝜈) : module de cisaillement dynamique du sol ρ: masse volumique du sol
  31. 31. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 31 f : fréquence du mode de vibration fondamental dans la direction de séisme considérée, déterminée à l’aide d’un calcul modal préliminaire avec les coefficients et masses de sol de Rosenblueth 𝑎0 = 2𝜋𝑓𝑟0 𝜌 𝐺 : paramètre utilisé dans les tableaux des coefficients de transmittance En pratique cette méthode est applicable si a0<2. Celle-ci n’est applicable que si le rayon de fondation est suffisamment petit devant la longueur d’onde dans le sol. L’amortissement s’obtient avec les formules suivantes :  Vertical : 𝜻 𝑽 = 𝟏 𝟐 𝜼 𝑽 + 𝟓% ≤ 𝟑𝟎%  Horizontal : 𝜻 𝑯 = 𝟏 𝟐 𝜼 𝑯 + 𝟓% ≤ 𝟑𝟎%  Rotation : 𝜻 𝜱 = 𝟏 𝟐 𝜼 𝜱 + 𝟓% ≤ 𝟑𝟎% Ces formules donnent les raideurs et les amortissements réduits d’un ressort unique. Si le modèle ISS est celui des ressorts répartis, les raideurs correspondantes sont obtenues en privilégiant la direction horizontale et la direction verticale, dont les déplacements sont issus d’une rotation :  direction horizontale : 𝐾 𝐻 𝑆  direction verticale : 𝐾 𝛷 𝐼 Avec : S : surface de la fondation I : inertie de la fondation
  32. 32. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 32 3.1.3. Les formules de la norme NF P 94-261 Fondations superficielles [7] Dans la norme d’application française de l’Eurocode 7-Fondations superficielles (NF P 94-261) différents types de raideurs sont définis :  Raideur verticale : 𝐾𝑉 = 𝑉𝑑 𝑠 𝑉  Raideur en translation selon une direction parallèle à la largeur de la fondation : 𝐾𝐵 = 𝐻𝑑;𝐵 𝑠 𝑕;𝐵  Raideur en translation selon une direction parallèle à la longueur de la fondation : 𝐾𝐿 = 𝐻𝑑;𝐿 𝑠 𝑕;𝐿  Raideur en rotation autour de l’axe parallèle à la largeur de la fondation : 𝐾𝜃;𝐵 = 𝑀𝜃;𝐵 𝜃 𝐵  Raideur en rotation autour de l’axe parallèle à la longueur de la fondation : 𝐾𝜃;𝐿 = 𝑀𝜃;𝐿 𝜃𝐿 Avec : sV le tassement à la force verticale Vd appliquée à la fondation sh ;B et sH ;L les déplacements horizontaux à la force horizontale Hd dans les directions parallèle à la largeur et à la longueur de la fondation θB et θL les rotations au moment fléchissant MD autour de l’axe parallèle à la largeur et à la longueur de la fondation.  Calcul de la raideur verticale KV d’une fondation superficielle : Fondation circulaire (B) 𝐾𝑉 = 𝐸𝐵 1 − 𝜈2 Fondation rectangulaire (L > B) 𝐾𝑉 = 𝐸 2(1 − 𝜈2) 𝛽 𝑉 𝐵𝐿 𝛽 𝑉 = 1,55 𝐿 𝐵 0,25 + 0,8 𝐵 𝐿 0,5 Fondation filante (B) (par unité de longueur) 𝐾𝑉 ≈ 0,73𝐸 2(1 − 𝜈2) Tableau 5 Formules de raideurs verticales selon la norme NF P 94-261 Figure 18 Coefficient de transmittance de Deleuze [1]
  33. 33. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 33 B et L désignent respectivement la largeur et la longueur de la fondation. Pour une fondation circulaire, B désigne son diamètre.  Calcul des raideurs en translation KB et KL d’une fondation superficielle : Fondation circulaire (B*) 𝐾𝐵 = 𝐾𝐿 = 4𝐸𝐵 2 − 𝜈 (1 + 𝜈) Fondation rectangulaire (L > B) 𝐾𝐵 = 𝐸 2 2 − 𝜈 (1 + 𝜈) 𝛽 𝐵 𝐵𝐿 𝛽 𝐵 = 3,4 𝐿 𝐵 0,15 + 1,2 𝐵 𝐿 0,5 𝐾𝐿 = 𝐸 2 2 − 𝜈 (1 + 𝜈) 𝛽𝐿 𝐵𝐿 𝛽𝐿 = 3,4 𝐿 𝐵 0,15 + 0,4 𝐿 𝐵 0,5 + 0,8 𝐵 𝐿 0,5 Fondation filante (B) (par unité de longueur) 𝐾𝐵 ≈ 𝐸 2 − 𝜈 (1 + 𝜈) Tableau 6 Formules de raideurs horizontales selon la norme NF P 94-261 B et L désignent respectivement la largeur et la longueur de la fondation. Pour une fondation circulaire, B désigne son diamètre. *Note : au vu d’un comparatif avec les autres formules il semble que pour les raideurs en translation d’une fondation circulaire, B représente le rayon et non pas le diamètre.  Calcul des raideurs en rotations Kθ ;B et Kθ ;L : Ces raideurs sont déduites de la raideur verticale. Kθ ;B Kθ ;L Fondation circulaire (B) 𝐾𝜃;𝐵 = 𝐾𝜃;𝐿 = 𝐵² 6 𝐾𝑉 Fondation rectangulaire (L > B) 𝐾𝜃;𝐵 ≈ 𝐵² 0,4 𝐿 𝐵 0,5 + 0,1 𝐵 𝐿 0,5 𝛽 𝑉 𝐿 𝐵 𝐾𝑉 𝐾𝜃;𝐿 ≈ 𝐵² 0,4 𝐿 𝐵 1,9 + 0,034 𝐵 𝐿 0,5 𝛽 𝑉 𝐿 𝐵 𝐾𝑉 Fondation filante (B) (par unité de longueur) 𝐾𝜃;𝐿 ≈ 2,15𝐵²𝐾𝑉 Tableau 7 Formules de raideurs en rotation selon la norme NF P 94-261 B et L désignent respectivement la largeur et la longueur de la fondation. Pour une fondation circulaire, B désigne son diamètre. 3.1.4. Guide du SETRA pour les ponts en zone sismique [8] Pour des semelles superficielles, l’Eurocode 8-5 autorise, dans le cas de structures simples à peu de degrés de liberté et des sols de stratigraphie régulière, à modéliser l’interaction sol-structure à l’aide de raideurs (ressort K) et d’amortisseurs (amortisseurs C). Les raideurs et amortissement sont
  34. 34. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 34 calculés à fréquence nulle (pseudo statique) pour une fondation circulaire équivalente reposant sur un demi-espace élastique. Figure 19 Définition des paramètres utilisés dans les formules du guide SETRA [8] Les expressions de calcul sont données ci-dessous : Raideurs Amortissements (utilisation à éviter*) 𝐾𝑣 = 4𝐺𝑅 1 − 𝜈 𝐶𝑣 = 0,85𝐾𝑣 𝑅 𝑉𝑆 𝐾𝑥 = 8𝐺𝑅 2 − 𝜈 𝐶𝑥 = 0,576𝐾𝑥 𝑅 𝑉𝑆 𝐾 𝛷 = 8𝐺𝑅3 3(1 − 𝜈) 𝐶 𝛷 = 0,3 𝐵 𝛷 1+𝐵 𝛷 𝐾 𝛷 𝑅 𝑉 𝑆 avec 𝐵 𝛷 = 2𝐼 𝛷 8𝜌 𝑅5 𝐾𝜃 = 16𝐺𝑅3 3 𝐶𝜃 = 0,3 1+𝐵 𝜃 𝐾𝜃 𝑅 𝑉 𝑆 avec 𝐵 𝜃 = 3(1−𝜈)𝐼 𝜃 8𝜌 𝑅5 Tableau 8 Formules issus du guide du SETRA [8] *Note : Les formules d’amortissements données dans le guide du SETRA ne semblent pas valides, les résultats étant aberrants. Utilisations des formules d’amortissement à éviter. Avec :  Pour les raideurs en translation, la fondation circulaire offre la même section que la fondation réelle soit : 𝜋𝑅² = 𝑎 × 𝑏  Pour les raideurs en rotation, la fondation circulaire équivalente est celle qui présente la même inertie, soit : 𝜋 𝑅4 4 = 𝑎 × 𝑏3 12 pour la rotation autour de l’axe Ox et 𝜋 𝑅4 4 = 𝑏 × 𝑎3 12 pour la rotation autour de l’axe Oy  G le module de cisaillement  ν le coefficient de poisson
  35. 35. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 35  ρ la masse volumique du sol  IΦ et Iθ les moments d’inertie de l’ouvrage pour le balancement et la torsion respectivement  VS la vitesse des ondes de cisaillement Ces valeurs ne pourront être utilisées que lorsque les caractéristiques (Gmax, n) du sol varient faiblement sur une hauteur importante par rapport aux dimensions de la fondation. En l’absence de justifications particulières, le coefficient de Poisson du sol pourra prendre forfaitairement la valeur de 0,3. De plus l’EC8 précise que des formulations plus complètes peuvent être utilisées pour tenir compte de l’effet d’un encastrement de la fondation dans le terrain, la présence de sols stratifiés, ou la présence de l’effet d’une couche mince reposant sur un substratum rigide qui ont pour conséquence d’augmenter la raideur et l’amortissement par rapport aux formules reprises ici. 3.1.5. Méthode simplifiée de Veletsos [1] 3.1.5.1. Raideurs de Veletsos Veletsos donne les mêmes formules que le guide du SETRA (Eurocode 8) pour les raideurs en surface. Il apporte néanmoins des correctifs pours les fondations encastrées : Raideurs Vertical 𝐾𝑣 = 4𝐺𝑅 1 − 𝜈 1 + 2𝐷 5𝑅 Horizontal 𝐾𝑕 = 8𝐺𝑅 2 − 𝜈 1 + 2𝐷 3𝑅 Balancement 𝐾 𝛷 = 8𝐺𝑅3 3 1 − 𝜈 1 + 2𝐷 𝑅 Tableau 9 Formules de Veletsos [1]  G le module de cisaillement  ν le coefficient de poisson  R le rayon de la fondation circulaire ou le rayon équivalent  D la profondeur d’encastrement de la fondation Pour un radier rectangulaire Veletsos définie les rayons équivalent suivant :  En translation : 𝑟𝑎 = 𝐴0 𝜋  En rotation : 𝑟𝑚 = 4𝐼0 𝜋 4
  36. 36. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 36 3.1.5.2. Amortissements de Veletsos Veletsos donne la formule suivante pour l’amortissement équivalent : 𝜁∗ = 𝜁0 + 𝜁. 𝑇 𝑇∗ 3 Avec pour un radier rectangulaire de surface : 𝑇∗ 𝑇 = 1 + 1 − 𝛾 2 𝜋3 𝜌𝑒 𝑟𝑎 𝑉𝑠 2 𝐻𝑒 𝑇2 1 + 3 1 − 𝛾 2 − 𝛾 𝑟𝑎 𝐻𝑒 2 𝑟𝑚 3 > 1 Pour un radier de surface sensiblement carrée (ra≈rm≈r), ou pour un radier circulaire : 𝑇∗ 𝑇 = 1 + 1 − 𝛾 2 𝜋3 𝜌𝑒 𝑟 𝑉𝑠 2 𝐻𝑒 𝑇2 1 + 3 1 − 𝛾 2 − 𝛾 𝐻𝑒 𝑟 2 > 1 Avec :  H : hauteur de colonne égale à celle de la structure  He : hauteur efficace du bâtiment = 0,7H  B0 : longueur totale de la fondation  A0 : section égale à celle de la fondation  I0 : moment d’inertie de la fondation  γA0H : masse de la colonne  𝜌𝑒 = 𝑊 γA0H : densité équivalente du système sol-structure  W: masse du bâtiment  W0 : masse de la fondation, négligeable devant W  We : masse efficace du bâtiment =0,7W. Le spectre de dimensionnement est donné pour un amortissement de ζ= 5 % et l’amortissement total doit être inférieur à 30%. L’amortissement équivalent doit donc être compris entre : 30% ≥ 𝜁∗ ≥ 5% L’amortissement du sol ζ0 est égal à la somme de l’amortissement géométrique et de l’amortissement interne de frottement du sol. Veletsos fournit la valeur de ζ0 en fonction des rapports T*/T et He/r. Pour le rayon r deux cas se présentent :  𝐻 𝑒 𝐵0 ≤ 0,5 → 𝑟 = 𝑟𝑎 = 𝐴0 𝜋  𝐻 𝑒 𝐵0 ≤ 1 → 𝑟 = 𝑟𝑚 = 4𝐼0 𝜋 4
  37. 37. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 37 Figure 20 Courbes donnant l'amortissement du sol ζ0 (d’après Veletsos)*1+ : a) Cas de zones à faible sismicité : aN < 0,20 g b) Cas de zones à moyenne ou forte sismicité : aN > 0,20 g
  38. 38. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 38 Si on se trouve en présence d’une couche de sol de faible résistance surmontée d’une couche de sol de moyenne ou bonne résistance et si Ts/T*≤ 1, il faut réduire l’amortissement du sol ζ0 par l’application d’un coefficient : TS T∗ 2 Avec TS la période fondamentale du sol : 𝑇𝑆 = 4𝐻 𝑉 𝑆 = 4𝐻 𝜌 𝐺 . On obtient ainsi l’amortissement équivalent : 30% ≥ 𝜁∗ = TS T∗ 2 ζ0 + 0,05 TS T∗ 3 ≥ 5%
  39. 39. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 39 3.1.6. Formule de Gazetas Gazetas dans ses ouvrages rappelle un certain nombre de formules dont le but est de déterminer les raideurs de fondations de toutes formes. 3.1.6.1. Fondation circulaire sur une couche reposant sur une couche rocheuse ou plus raide [6] Il donne les formules suivantes, adaptées de Kausel et al., pour une fondation circulaire sur une couche de sol reposant sur une base rigide ; ainsi que pour une couche qui repose elle-même sur une couche plus raide (G2 ≥ G1), adaptées des travaux de Hadjian et Luco : Couche reposant sur un lit rocheux Couche reposant sur une couche plus raide Type de chargement Raideur statique Raideur statique Vertical 𝐾𝑣 = 4𝐺𝑅 1 − 𝜈 1 + 1,28 𝑅 𝐻 H/R > 2 𝐾𝑣 = 4𝐺1 𝑅 1 − 𝜈1 (1 + 1,28 𝑅 𝐻 ) (1 + 1,28 𝑅 𝐻 𝐺1 𝐺2 ) 1 ≤ 𝐻 𝑅 < 5 Horizontal 𝐾𝑕 = 8𝐺𝑅 2 − 𝜈 (1 + 𝑅 2𝐻 ) H/R > 1 𝐾𝑕 = 8𝐺1 𝑅 2 − 𝜈1 (1 + 𝑅 2𝐻 ) (1 + 𝑅 2𝐻 𝐺1 𝐺2 ) 1 ≤ 𝐻 𝑅 < 4 Balancement 𝐾 𝛷 = 8𝐺𝑅3 3 1 − 𝜈 (1 + 𝑅 6𝐻 ) 4 ≥ H/R > 1 𝐾 𝛷 = 8𝐺1 𝑅3 3 1 − 𝜈1 (1 + 𝑅 6𝐻 ) (1 + 𝑅 6𝐻 𝐺1 𝐺2 ) 0,75 ≤ 𝐻 𝑅 < 2 Torsion 𝑘 𝑅 = 16𝐺R3 3 H/R ≥ 1,25 / Tableau 10 Formules de Gazetas pour une fondation circulaire reposant une couche elle-même sur couche rocheuse ou plus raide [6] Pour H/R < 2 ou 1 ces expressions fournissent tout de même des estimations raisonnables pour les raideurs.
  40. 40. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 40 3.1.6.2. Semelle filante sur une couche reposant sur un lit rocheux [6] Pour une semelle filante sur une couche de sol reposant sur une base rigide il donne les formules suivantes : Type de chargement Raideur statique (par unité de longueur) Validité de la formule* Profil du sol Vertical 𝐾𝑣 = 1,23𝐺 1 − 𝜈 (1 + 3,5 𝐵 𝐻 ) 1 ≤ 𝐻 𝐵 ≤ 10 Horizontal 𝐾𝑕 = 2,1𝐺 2 − 𝜈 (1 + 2𝐵 𝐻 ) 1 ≤ 𝐻 𝐵 ≤ 8 Balancement 𝐾 𝛷 = 𝜋𝐺𝐵2 2 1 − 𝜈 (1 + 𝐵 5𝐻 ) 1 ≤ 𝐻 𝐵 ≤ 3 Tableau 11 Formules de Gazetas pour une semelle filante sur une couche reposant sur un lit rocheux [6] B représente la demi-largeur de la semelle filante. *en dehors de ces valeurs les expressions fournissent tout de même des estimations raisonnables pour les raideurs. 3.1.6.3. Fondation circulaire encastrée dans une couche sur lit rocheux [6] Pour une fondation circulaire parfaitement encastrée dans une couche de sol homogène reposant sur un lit rocheux, Gazetas donne les formules suivantes issues des travaux de Elsabee et al. ainsi que de Kausel et al. : Type de chargement Raideur statique Profil du sol Vertical 𝐾𝑣 = 4𝐺𝑅 1 − 𝜈 1 + 1,28 𝑅 𝐻 1 + 𝐷 2𝑅 1 + (0,85 − 0,28 𝐷 𝑅 ) 𝐷 𝐻 (1 − 𝐷 𝐻) Domaine de validité : 𝐷 𝑅 < 2 𝐷 𝐻 ≤ 0,5∗ Horizontal 𝐾𝑕 = 8𝐺𝑅 2 − 𝜈 1 + 𝑅 2𝐻 1 + 2𝐷 3𝑅 1 + 5𝐷 4𝐻 Balancement 𝐾 𝛷 = 8𝐺𝑅3 3 1 − 𝜈 1 + 𝑅 6𝐻 1 + 2𝐷 𝑅 1 + 0,7 𝐷 𝐻 Couplage horizontal et balancement 0,40𝐾𝑕 𝐷 Torsion 𝑘 𝑅 = 16𝐺R3 3 1 + 2,67 D R Tableau 12 Formules de Gazetas pour une fondation circulaire encastrée dans une couche sur lit rocheux
  41. 41. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 41 *pour des fondations avec des encastrements plus profond les formules sous estiment l’accroissement de la raideur. 3.1.6.4. Semelle filante encastrée dans une couche sur lit rocheux [6] Pour une semelle filante encastrée dans une couche homogène reposant sur un lit rocheux, Gazetas donne les formules suivantes, issues des travaux de Jakub et Roesset : Type de chargement Raideur statique Profil du sol Horizontal 𝐾𝑕 = 2,1𝐺 2 − 𝜈 1 + 2𝐵 𝐻 1 + 𝐷 3𝐵 1 + 4𝐷 3𝐻 H/B ≥ 2 D/B ≤ 2/3 Balancement 𝐾 𝛷 = 𝜋𝐺𝐵2 2 1 − 𝜈 1 + 𝐵 5𝐻 1 + 𝐷 𝐵 1 + 2𝐷 3𝐻 Tableau 13 Formules de Gazetas pour une semelle filante encastrée dans une couche sur lit rocheux [6] B représente la demi-largeur de la semelle filante. 3.1.6.5. Fondations rectangulaires sur une monocouche [10] Gazetas donne des formules pour des radiers de surface ou encastrés, de formes quelconques qu’il assimile à un radier de forme rectangulaire de longueur 2L et de largeur 2B comme présenté dans la Figure 21. Figure 21 Radier de surface (a) et radier encastré (b) sur un sol homogène
  42. 42. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 42 Les formules de raideurs pour un radier de surface sont les suivantes : Raideur statique Vertical (z) 𝐾𝑧,𝑠𝑢𝑟𝑓 = 2𝐺𝐿 1 − 𝜈 0,73 + 1,54𝜒0,75 Horizontal (y) (dans la direction de la largeur) 𝐾𝑦,𝑠𝑢𝑟𝑓 = 2𝐺𝐿 2 − 𝜈 (2 + 2,50𝜒0,85 ) Horizontal (x) (dans la direction de la longueur) 𝐾𝑥,𝑠𝑢𝑟𝑓 = 𝐾𝑦,𝑠𝑢𝑟𝑓 − 0,2 0,75 − 𝜈 × 𝐺𝐿(1 − 𝐵 𝐿 ) Balancement (rx) (autour de x) 𝐾𝑟𝑥 ,𝑠𝑢𝑟𝑓 = 𝐺𝐼𝑏𝑥 0,75 1 − 𝜈 𝐿 𝐵 0,25 2,4 + 0,5𝐵 𝐿 Balancement (ry) (autour de y) 𝐾𝑟𝑦 ,𝑠𝑢𝑟𝑓 = 3𝐺 1 − 𝜈 𝐼𝑏𝑦 0,75 𝐿 𝐵 0,15 Torsion 𝐾𝑡,𝑠𝑢𝑟𝑓 = 3,5𝐺𝐼𝑏𝑧 0,75 𝐵 𝐿 0,4 𝐼𝑏𝑧 𝐵4 0,2 Tableau 14 Formules de Gazetas pour un radier de forme quelconque [10] Avec :  G le module de cisaillement  L la demi-longueur  B la demi-largeur  ν le coefficient de Poisson  𝜒 = 𝐴 𝑏 4𝐿2  𝐴 𝑏 aire réelle du radier  𝐼𝑏𝑥 , 𝐼𝑏𝑦 𝑒𝑡 𝐼𝑏𝑧 les moments d’inertie du radier
  43. 43. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 43 Pour un radier encastré Gazetas donne les formules suivantes : Raideur statique Vertical (z) 𝐾𝑧,𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑧,𝑠𝑢𝑟𝑓 1 + 𝐷 21𝐵 1 + 1,3𝜒 1 + 0,2 𝐴 𝑤 𝐴 𝑏 2 3 Horizontal (y) (dans la direction de la largeur) 𝐾𝑦,𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑦,𝑠𝑢𝑟𝑓 1 + 0,15 𝐷 𝐵 0,5 1 + 0,52 𝑕 𝐵 𝐴 𝑤 𝐿2 0,4 Horizontal (x) (dans la direction de la longueur) 𝐾𝑥,𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑥,𝑠𝑢𝑟𝑓 . ( 𝐾𝑦,𝑒𝑛𝑐 𝐾𝑦,𝑠𝑢𝑟𝑓 ) Balancement (rx) (autour de x) 𝐾𝑟𝑥 ,𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑟𝑥,𝑠𝑢𝑟𝑓 1 + 1,26 𝑑 𝐵 1 + 𝑑 𝐵 𝑑 𝐷 −0,2 𝐵 𝐿 0,5 Balancement (ry) (autour de y) 𝐾𝑟𝑦,𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑟𝑦 ,𝑠𝑢𝑟𝑓 1 + 0,92 𝑑 𝐿 0,6 1,5 + 𝑑 𝐿 1,9 𝑑 𝐿 −0,6 Torsion 𝐾𝑡,𝑒𝑛𝑐 = 𝐾𝑡,𝑠𝑢𝑟𝑓 . 𝛤𝑤 . 𝛤𝑡 𝑟𝑒 Tableau 15 Formules de Gazetas pour un radier encastré de forme quelconque Avec :  Aw la surface du mur périphérique du radier en contact avec le sol, pour une hauteur de contact constante d, le long du périmètre on a : Aw=d x périmètre.  D est la hauteur d’encastrement  d est la hauteur de contact de sol sur le bord du radier (voir figure 1)  h=D-d/2  𝛤𝑡 𝑟𝑒 = 1 + 0,5 𝐷 𝐵 0,1 𝐵4 𝐼 𝑏𝑧 0,13  𝛤𝑤 = 1 + 0,4 𝐷 𝑑 0,5 𝑗 𝑆 𝑗 𝑟 𝐵 𝐷 0,6  𝑗𝑆 = 4𝑑 3 𝐵3 + 𝐿3 + 4𝐵𝐿𝑑 𝐿 + 𝐵  𝑗𝑟 = 4𝐵𝐿 3 (𝐵2 + 𝐿2 )
  44. 44. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 44 3.1.7. Recommandations pour les éoliennes [9] Pour le cas de déformation entre 10-3 et 10 -2 le CFMS indique que les valeurs du tassement w est déterminé à partir des méthodes habituelles de la mécanique des sols :  A partir de l’essai oedométrique  A partir de l’essai pressiométrique de Ménard  A partir de l’essai de pénétration statique CPT Il est ensuite possible de déterminer les raideurs statiques à court terme et à long terme Kvs=q/w. Pour des déformations entre 10-3 et 10-5 et un disque reposant sur un milieu élastique homogène semi-infini, le CFMS donne les formules suivantes : 𝐸𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 (𝑁/𝑚): 𝐾𝑣 = 4𝐺𝑅 1 − 𝜈 𝐸𝑛 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑀𝑁. 𝑚 𝑟𝑎𝑑 : 𝐾 𝛷 = 8𝐺𝑅3 3 1 − 𝜈 Ce modèle élastique ne s’applique strictement qu’au cas d’une semelle soumise à un moment sans décollement. Si on a un effort vertical excentré, la largeur de la zone comprimée est inférieure à 2r, il faut donc adopter un rayon équivalent r* correspondant à celui d’un disque de même inertie que la zone comprimée. Le CFMS donne également les formules suivantes pour les raideurs en rotation : Configurations Expressions de KΦNS (NS = Non Soulevé) Milieu infini 𝐾 𝛷𝑁𝑆 = 8𝐺𝑅3 3 1 − 𝜈 Cas du bicouche Couche 1 sur couche 2 H : épaisseur de la couche 1 𝐾 𝛷𝑁𝑆 = 8𝐺1 𝑅3 3 1 − 𝜈1 (1 + 𝑅 6𝐻 ) (1 + 𝑅 6𝐻 𝐺1 𝐺2 ) Vrai si : r < H < 2r Tableau 16 Formules du CFMS [9] Ces expressions ne sont valables que dans la mesure où le sol reste comprimé sous la totalité du massif circulaire de rayon R. Il est également rappelé que sous ELS quasi permanent le sol sous semelle doit toujours être entièrement comprimé. Sous sollicitations rare ELSrare le sol peut ne pas être entièrement comprimé, il faut alors pondérer KΦ d’un coefficient réducteur β1= KΦ/ KΦNS qui dépend du pourcentage de sol entièrement comprimé sous la semelle. En première approche les valeurs de β1 sont représentées dans le graphe ci-dessous en fonction du rapport Mxy/Fz et du diamètre de la fondation Φ.
  45. 45. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 45 Figure 22 Courbe permettant de déterminer le coefficient β1 [9] Les constructeurs imposent une valeur minimale de la raideur en rotation à petite déformation (de 10-5 à 10-3 ) pour éviter des phénomènes de couplage avec les parties mécaniques de la machine. 3.2.Comparatif 3.2.1. Fondation circulaire 3.2.1.1. Monocouche On a donc les formules suivantes pour le cas d’une fondation circulaire reposant sur un sol homogène (monocouche): Monocouche Vertical Horizontal Balancement Torsion Newmark-R. 𝑘 𝑣 = 4𝐺. 𝑟0 1 − 𝜈 𝑘 𝑕 = 32(1 − 𝜈)𝐺. 𝑟0 7 − 8𝜈 𝑘 𝛷 = 8𝐺. 𝑟0 3 3 1 − 𝜈 𝑘 𝑅 = 16𝐺. 𝑟0 3 3 NF P 94-261 𝐾𝑉 = 𝐸𝐵 1 − 𝜈2 𝐾𝐵 = 𝐾𝐿 = 4𝐸𝐵 2 − 𝜈 (1 + 𝜈) 𝐾𝜃;𝐵 = 𝐾𝜃;𝐿 = 𝐵² 6 𝐾𝑉 / Guide du SETRA 𝐾𝑣 = 4𝐺𝑅 1 − 𝜈 𝐾𝑥 = 8𝐺𝑅 2 − 𝜈 𝐾 𝛷 = 8𝐺𝑅3 3(1 − 𝜈) 𝐾𝜃 = 16𝐺𝑅3 3 Tableau 17 Formules utilisés pour le comparatif dans le cas d'une fondation circulaire sur un monocouche
  46. 46. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 46 Note : Pour la norme NF P 94-261 B désigne le diamètre, excepté pour le cas horizontal ou au vu des résultats B représente le rayon. Afin de comparer les formules nous ferons varier les modules de cisaillement et nous utiliserons les données constantes suivantes : Rayon 8 m Coefficient de Poisson ν 0,45 Figure 23 Raideurs verticales pour une fondation circulaire dans le cas d’un monocouche
  47. 47. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 47 Figure 24 Raideurs horizontales pour une fondation circulaire dans le cas d’un monocouche Figure 25 Raideurs en balancement pour une fondation circulaire dans le cas d’un monocouche
  48. 48. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 48 On constate que les formules données par Newmark-Rosenblueth, le guide du SETRA et la norme NF P 94-261 Fondations superficielles donnait les mêmes résultats pour une fondation circulaire reposant sur un sol homogène (mono couche). Ces formules semblent donc applicables. 3.2.1.2. Bi-couche Bi-couche Vertical Horizontal Balancement Torsion Gazetas avec couche reposant sur un lit rocheux 𝐾𝑣 = 4𝐺𝑅 1 − 𝜈 1 + 1,28 𝑅 𝐻 𝐾𝑕 = 8𝐺𝑅 2 − 𝜈 (1 + 𝑅 2𝐻 ) 𝐾 𝛷 = 8𝐺𝑅3 3 1 − 𝜈 (1 + 𝑅 6𝐻 ) 𝐾𝑅 = 16𝐺𝑅3 3 Gazetas avec une couche reposant sur une couche plus raide 𝐾𝑣 = 4𝐺1 𝑅 1 − 𝜈1 (1 + 1,28 𝑅 𝐻 ) (1 + 1,28 𝑅 𝐻 𝐺1 𝐺2 ) 𝐾𝑕 = 8𝐺1 𝑅 2 − 𝜈1 (1 + 𝑅 2𝐻 ) (1 + 𝑅 2𝐻 𝐺1 𝐺2 ) 𝐾 𝛷 = 8𝐺1 𝑅3 3 1 − 𝜈1 (1 + 𝑅 6𝐻 ) (1 + 𝑅 6𝐻 𝐺1 𝐺2 ) / Tableau 18 Formules utilisés pour le comparatif dans le cas d'une fondation circulaire sur un bi-couche Afin de comparer les formules nous ferons varier les modules de cisaillement et nous utiliserons les données constantes suivantes : Rayon 5 m Coefficient de Poisson ν 0,45 Hauteur de la couche la moins raide 5 m Module de cisaillement de la couche raide G2 400 MPa
  49. 49. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 49 Figure 26 Raideurs verticales pour une fondation circulaire dans le cas d'un bi-couche Figure 27 Raideurs horizontales pour une fondation circulaire dans le cas d'un bi-couche
  50. 50. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 50 Figure 28 Raideurs en balancement dans le cas d'un bi-couche Gazetas donne des formules permettant de calculer les raideurs dans le cas d’un bicouche, avec la couche la plus profonde qui est soit plus raide que la première, soit rocheuse. On constate que les raideurs obtenues sont plus élevées dans le cas d’une couche reposant sur un sol rocheux. Au vue des formules on note que plus le module de cisaillement G2 est élevé plus les courbes de Gazetas présentent sur les figures 26, 27 et 28 se rapprochent les une des autres. Cela provient du fait que plus le module de cisaillement est élevé plus le sol est rigide et ses caractéristiques se rapprochent d’un sol rocheux. On note également que si G2 est proche de G1 les raideurs obtenues sont les mêmes que celles pour un sol de type monocouche. Les formules de type bi-couche sont donc cohérentes avec celles données pour un monocouche. On remarque également que les écarts entre les courbes sont plus importants pour les raideurs en translation, que ce soit vertical ou horizontal, que pour la raideur en balancement. La présence d’une couche raide en profondeur a donc pour conséquence une augmentation des raideurs par rapport à un sol homogène, or c’est le cas que l’on rencontre habituellement dans la réalité.
  51. 51. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 51 3.2.1.3. Fondation encastrée Pour une fondation circulaire encastrée d’une profondeur D dans le sol on a les formules suivantes : Tableau 19 Formules utilisés pour le comparatif dans le cas d'une fondation circulaire encastrée Afin de comparer les formules nous ferons varier les modules de cisaillement et nous utiliserons les données constantes suivantes : Rayon 5 m Coefficient de Poisson ν 0,45 Hauteur de la couche la moins raide 10 m Hauteur d’encastrement de la fondation 1 m Figure 29 Raideurs verticales dans le cas d'une fondation circulaire avec encastrement
  52. 52. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 52 Figure 30 Raideurs horizontales dans le cas d'une fondation circulaire avec encastrement Figure 31 Raideurs en balancement dans le cas d'une fondation circulaire avec encastrement
  53. 53. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 53 A l’aide de courbes obtenues à partir des formules pour des fondations encastrées, on constate que les raideurs sont plus importantes que lorsque les fondations sont en surface or la plupart du temps les fondations présentent un encastrement plus ou moins important selon les cas. Il est donc préférable d’utiliser les formules prenant en compte un encastrement, car elles donnent des raideurs plus importantes et dans la réalité les fondations présentent dans la plupart des cas un encastrement plus ou moins important. De même, il est préférable d’utiliser les formules d’un bi-couche, donnant des raideurs plus élevées, étant donné que dans les cas réel il est très rare d’avoir un sol qui soit homogène sur toute la hauteur.
  54. 54. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 54 3.2.2. Fondations rectangulaires Monocouche Vertical Horizontal Balancement Torsion Newmark-R. 𝑘 𝑣 = 𝐺 1 − 𝜈 𝛽𝑧 𝐴 𝑘 𝑕 = 2(1 + 𝜈)𝐺𝛽𝑥 𝐴 𝑘 𝛷 = 𝐺 1 − 𝜈 𝛽 𝛷 𝑎²𝑏 𝑘 𝑅 = 1 + 𝜈 4 𝐺𝛽𝑥 (𝑎2 + 𝑏2 ) 𝐴 NF P 94-261 𝐾𝑉 = 𝐸 2(1 − 𝜈2) 𝛽 𝑉 𝐵𝐿 𝛽 𝑉 = 1,55 𝐿 𝐵 0,25 + 0,8 𝐵 𝐿 0,5 𝐾𝐵 = 𝐸 2 2 − 𝜈 (1 + 𝜈) 𝛽 𝐵 𝐵𝐿 𝛽 𝐵 = 3,4 𝐿 𝐵 0,15 + 1,2 𝐵 𝐿 0,5 𝐾𝜃;𝐵 ≈ 𝐵² 0,4 𝐿 𝐵 0,5 + 0,1 𝐵 𝐿 0,5 𝛽 𝑉 𝐿 𝐵 𝐾𝑉 / 𝐾𝐿 = 𝐸 2 2 − 𝜈 (1 + 𝜈) 𝛽𝐿 𝐵𝐿 𝛽𝐿 = 3,4 𝐿 𝐵 0,15 + 0,4 𝐿 𝐵 0,5 + 0,8 𝐵 𝐿 0,5 𝐾𝜃;𝐿 ≈ 𝐵² 0,4 𝐿 𝐵 1,9 + 0,034 𝐵 𝐿 0,5 𝛽 𝑉 𝐿 𝐵 𝐾𝑉 Tableau 20 Formules utilisés pour le comparatif dans le cas d'une fondation rectangulaire sur un monocouche Note : Les formules décrites dans les autres méthodes pour une fondation circulaire sont également applicables pour les fondations rectangulaires en adoptant un rayon équivalent. Afin de comparer les formules nous ferons varier les modules de cisaillement et nous utiliserons les données constantes suivantes : Longueur de la fondation 10 m Largeur de la fondation 6 m Coefficient de Poisson ν 0,45
  55. 55. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 55 Figure 32 Raideurs verticales dans le cas d'une fondation rectangulaire Figure 33 Raideurs horizontales dans le cas d'une semelle rectangulaire
  56. 56. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 56 Figure 34 Raideurs en balancement dans le cas d'une fondation rectangulaire Pour les fondations rectangulaires les résultats obtenus par les différentes formules sont similaires, exceptés pour les raideurs en balancement pour lesquelles les valeurs de la norme NF P 94-261 sont beaucoup plus faibles. Cette formule contient peut-être une erreur comme cela semble être le cas pour la formule de raideur horizontale d’une fondation circulaire donnée dans la même norme. On note également que les résultats des formules qui sont spécifiques aux fondations rectangulaires donnent des résultats similaires aux formules pour les fondations circulaires quand on adopte un rayon équivalent. Il semble donc qu’il est possible d’appliquer les formules de raideurs spécifiques aux fondations circulaires pour des fondations rectangulaires.
  57. 57. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 57 3.2.3. Calcul d’un module de cisaillement équivalent [3], [13] Au vu des formules celles-ci ne sont applicables que pour des monocouches ou des bicouches. Or dans la réalité il arrive très souvent que l’on ait affaire à un sol possédant plusieurs couches. Le PS 92 donne des formules pour calculer des caractéristiques équivalentes pour un profil stratifié dont les caractéristiques mécaniques varient peu d’une couche à l’autre. Pour la masse volumique du sol : 𝜌𝑆 = 𝜌𝑖. 𝐻𝑖 𝐻𝑖 Pour le module de cisaillement du sol : 𝐺𝑆 = 𝐺𝑖. 𝐻𝑖 𝐻𝑖 Avec Hi, ρi et Gi les paramètres relatifs à la couche i. D’après l’AFPS, les formules d’homogénéisation des couches de sol pour revenir à un modèle simple monocouche ou bicouche sont à utiliser avec précaution. En effet, ces méthodes sont limitées pour des profils de sols ou le contraste des propriétés au sein des différentes couches n’est pas important (rapport des Vs entre 2 couches compris entre 0,5 et 2). 3.3.Validité des formules Afin de vérifier la validité des formules trouvées lors de l’étude bibliographique, une détermination des raideurs avec l’aide des logiciels à disposition au sein de l’entreprise Keller a été effectuée. 3.3.1. Raideurs horizontales avec Piecoef+ Le module Piecoef+ est un module du logiciel Foxta développé par la société Terrasol, permettant de modéliser une fondation profonde avec un chargement horizontal. Une présentation du logiciel Foxta est donnée en annexe 11. Afin de déterminer une raideur horizontale de semelle superficielle le modèle utilisé est un pieu de même diamètre que la semelle et présentant les mêmes caractéristiques que le sol qui l’entoure. Deux modèles sont utilisés un monocouche et un bi-couche, les caractéristiques sont les suivantes : Modèle 1 (monocouche) Modèle 2 (bi-couche) Rayon de la semelle 1 m 1 m Nature des couches Une couche de limon Une couche de limon reposant sur une couche de sable Module pressiométrique EM 7 MPa Limons : 7 MPa Sables : 25 MPa Gmax= 7 .EM* 49 MPa Limons : 49 MPa Sables : 175 MPa Gsismique= 0,7. Gmax** 34,3 MPa Limons : 34,3 MPa Sables : 123 MPa Tableau 21 Modèles utilisées pour la validation des résultats
  58. 58. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 58 * Gmax est déterminé à partir des corrélations du pressiomètre Ménard, à savoir Gmax = (6 à 8) EM ** Gsismique/Gmax est tiré du Tableau 4.1 de l’EN 1998-5 Un effort horizontal de 200 kN est appliqué en tête de pieu. Les données d’entrées complètes utilisées pour la modélisation sous Piecoef+ ainsi que les déplacements obtenus sont données en annexe 4 et 5. Les résultats obtenus sont récapitulés dans le Tableau 22. La raideur Piecoef+ est déterminée à l’aide de la formule suivante : 𝑘 = 𝐹 𝑥 Modèle 1 (monocouche) Modèle 2 (bi-couche) Déplacement horizontal 2,72 mm 2,51 mm Raideur Piecoef + 73,5 MPa.m 79,7 MPa.m Formule de raideur utilisée 𝑘 𝑕 = 8𝐺𝑅 2 − 𝜈 𝐾𝑕 = 8𝐺1 𝑅 2 − 𝜈1 (1 + 𝑅 2𝐻 ) (1 + 𝑅 2𝐻 𝐺1 𝐺2 ) Raideurs obtenues 177 MPa.m 207 MPa.m Ecart relatif 58 % 61 % Tableau 22 Comparatif raideurs issues des formules et raideurs Piecoef+ Les écarts entre les résultats de la formule et les résultats de Piecoef+ sont importants. Cela provient sans doute du fait que Piecoef+ est un logiciel développé pour l’étude des fondations profondes. Une modélisation aux éléments finis est donc effectuée dans la partie suivante. 3.3.2. Modélisations aux éléments finis avec Plaxis 3D La modélisation aux éléments finis se fait à l’aide du logiciel Plaxis 3D. Les résultats Plaxis 3D sont donnés en annexe 6 pour un monocouche et en annexe 7 pour un bi-couche. Les caractéristiques des sols sont les mêmes que celles données au Tableau 21 pour un monocouche et un bi-couche avec une épaisseur H de limons de 3m. Tableau 23 Comparatif raideurs issues des formules et raideurs Plaxis 3D
  59. 59. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 59 3.4.Conclusion fondations superficielles Pour les semelles circulaires les différents ouvrages et règlements donnent des formules de raideurs qui sont identiques ou qui donnent des résultats similaires que ce soit en translation verticale, horizontale ou encore en rotation. Il faut cependant noter que toutes ces formules sont basées sur l’hypothèse que le sol est un milieu élastique et homogène ce qui est rarement le cas dans la réalité. En effet, le sol présente parfois un certain pendage et le sol est en général hétérogène avec des caractéristiques dynamiques qui varient au cours d’un séisme. Il est donc souvent nécessaire de faire des hypothèses et calculer des caractéristiques de sol équivalentes afin de se ramener à un monocouche ou un bi-couche. Ces approximations peuvent être source d’erreurs. Pour des fondations rectangulaires les mêmes formules sont applicables que pour les fondations circulaires en adoptant un rayon équivalent ou en prenant les raideurs de NEWMARK pour une fondation rectangulaire. Les résultats obtenus étant très proches. Si l’on est dans le cas d’un bicouche ou avec une fondation encastrée on pourra se reporter aux formules de Gazetas. On note que dans ces cas les raideurs calculées sont plus élevées que dans le cas d’un monocouche. Il est important de noter que la modélisation aux éléments finis a donné des résultats présentant des différences de raideurs par rapport aux formules, notamment dans le cadre des raideurs verticales pour un monocouche (de l’ordre de 30%). Cependant dans la réalité il est très rare d’avoir un sol homogène, on est le plus souvent dans le cadre d’un multicouche. L’emploi des formules pour bi- couche semble donc à privilégier. D’autant plus qu’on constate que pour les raideurs horizontales les formules donnent des résultats proches de ceux obtenus sous Plaxis 3D, notamment dans le cas d’un bi-couche (2%). Concernant les raideurs verticales, celles issus des formules sont plus élevées que celles issues de Plaxis 3D. Les résultats de ces formules sont donc à utiliser avec précaution et dans le cadre d’un projet pour lequel les effets de l’ISS peuvent être importants, nécessitant donc une grande précision, une modélisation aux éléments finis semble, dans ces cas, préférable.
  60. 60. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 60 Le tableau ci-dessous donne les avantages et inconvénients des différentes méthodes de calcul de raideurs: Avantages Inconvénients Newmark-Rosenblueth  Calcul simple et rapide  Fondation circulaire et rectangulaire  Monocouche Deleuze  Dépend de la fréquence du mode fondamental de l’ouvrage  Nécessite le calcul d’un rayon équivalent dans le cas d’une fondation rectangulaire  Calcul plus long car nécessite la détermination de coefficient de transmittance  𝑎0 = 2𝜋𝑓𝑟0 𝜌 𝐺 doit être inférieur à 2 ce qui limite l’utilisation de la méthode SETRA  Calcul simple et rapide  Monocouche  Nécessite le calcul d’un rayon équivalent dans le cas d’une fondation rectangulaire Veletsos  Calcul simple et rapide  Permet de prendre en compte l’encastrement de la fondation  Monocouche  Nécessite le calcul d’un rayon équivalent dans le cas d’une fondation rectangulaire NF P 94-261 Fondations superficielles  Calcul simple et rapide  Fondation circulaire, rectangulaire et filante  Monocouche Formules de Gazetas (1983)  Bi couche  Permet de prendre en compte l’encastrement de la fondation  Fondations circulaires et filantes  Nécessite le calcul d’un rayon équivalent dans le cas d’une fondation rectangulaire Gazetas pour radier de forme quelconque (1991)  Permet de calculer des raideurs pour des radiers de formes quelconques en assimilant à un radier rectangulaire  Permet de prendre en compte l’encastrement de la fondation  Monocouche  Nécessite de calculer les inerties de la fondation pour les raideurs en balancement et en torsion Tableau 24 Avantages et inconvénients des différentes formules de calcul de raideur
  61. 61. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 61 Le tableau ci-dessous donne les avantages et inconvénients des différentes méthodes de calcul d’amortissement : Avantages Inconvénients Newmark-Rosenblueth  Calcul simple et rapide  Nécessite de connaitre la masse et l’inertie de la structure Deleuze  Dépend de la fréquence du mode fondamental de l’ouvrage  Calcul plus long car nécessite la détermination de coefficient de transmittance  𝑎0 = 2𝜋𝑓𝑟0 𝜌 𝐺 doit être inférieur à 2 ce qui limite l’utilisation de la méthode Veletsos  Dépend de la période du mode fondamental de l’ouvrage  Nécessite de connaitre de nombreux paramètres : masse du bâtiment, période d’oscillation, hauteur du bâtiment, vitesse des ondes de cisaillement Tableau 25 Avantages et inconvénients des différentes formules de calcul d'amortissement
  62. 62. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 62 4. Fondations profondes 4.1.Méthode de Winkler [5], [14] Lorsque l’on a affaire à un sol hétérogène composé de plusieurs couches avec des caractéristiques variées la modélisation la plus adaptée pour le comportement d’un pieu est le modèle de Winkler (Figure 35). Ce modèle consiste à modéliser le pieu comme une poutre verticale reposant sur une série de ressorts indépendants horizontaux (latéral) ou verticaux (axial). L’annexe I, Modélisation du comportement transversal d’une fondation profonde à partir des essais au pressiomètre et au pénétromètre, de la norme NF P 94-262 Fondations profondes donne des formules permettant de déterminer les raideurs des ressorts à partir des résultats des essais au pressiomètre. La méthode décrite dans l’annexe considère que le sol exerce en chaque section de l’élément une réaction perpendiculaire à l’axe de celui-ci, qui est fonction du déplacement transversal relatif de la section. Cette réaction se compose de :  pressions frontales, modélisées par une pression uniforme s’exerçant sur la plus grande largeur de l’élément perpendiculairement au sens du déplacement  efforts de frottement transversaux s’exerçant sur les parties du périmètre parallèles au sens du déplacement Dans le cas de pieux circulaires on considère que la réaction se compose uniquement de pressions frontales. Le logiciel Foxta, développé par Terrasol, est basé sur la méthode de Winkler.
  63. 63. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 63 Figure 35 Modèle dynamique de Winkler pour la modélisation de l'intéraction sol-pieu [5] La loi de mobilisation de la réaction frontale est donnée en fonction du déplacement δ du pieu est définie par (Figure 36) :  un segment de droite passant par l’origine et de pente Kf  un palier r1 Figure 36 Loi de réaction frontale [14]
  64. 64. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 64 L’évaluation de Kf et de r1 sont obtenus à l’aide des formules suivantes :  Pour Kf qui est le module linéique de mobilisation de la pression frontale pour un élément de fondation profonde: 𝐾𝑓 = 12𝐸 𝑀 4 3 𝐵0 𝐵 2,65 𝐵 𝐵0 𝛼 + 𝛼 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐵 ≥ 𝐵0 𝐾𝑓 = 12𝐸 𝑀 4 3 2,65 𝛼 + 𝛼 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝐵 ≤ 𝐵0  Pour le palier r1 : 𝑟1 = 𝐵𝑝 𝑓 ∗ Avec : EM le module préssiométrique de Ménard B est la largeur de l’élément perpendiculaire au sens du déplacement B0 est une largeur de référence prise égal à 0,60m α est le coefficient rhéologique pf* est la pression de fluage nette Grâce à ces formules il est possible de déterminer les raideurs de chaque couche de sol. Il faut cependant noter que Kf est une raideur linéique, il est donc nécessaire de la multiplier par le diamètre du pieu pour obtenir une raideur. Cette formule est valable tant que l’on n’atteint pas le palier r1 car après il y a des déformations plastiques du sol. 4.2.Guide du SETRA [8] Le guide du SETRA donne la formule suivante pour le calcul de raideur : k=1,2 Es avec Es=2(1+γ)G Cette valeur est à multiplier par le diamètre du pieu pour obtenir une raideur par mètre linéaire de pieu. G est le module de cisaillement déterminé au niveau de déformation attendu pour l’action sismique de calcul. Un exemple a été pris afin d’avoir un ordre de grandeur des valeurs obtenus avec cette formule. Les données d’entrées sont les suivantes : Diamètre du pieu (m) 0,92 Coefficient de poisson du sol 0,33 Longueur du pieu (m) 10
  65. 65. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 65 Figure 37 Raideur d'un pieu selon le guide du SETRA Ces raideurs sont associées à des lois de comportement du sol de type élastoplastique présentant un palier plastique en compression et interdisant la traction dans le sol. Etant donné les incertitudes sur la détermination de ces modules, le guide du SETRA préconise d’effectuer les calculs en « fourchette ». Des modèles plus complexes couplant « ressorts » et « amortisseurs » peuvent être utilisés dans des cas dynamiques. De plus le guide cite également les expressions de rigidité statique en tête de pieux de l’annexe C de l’Eurocode 8-5 issus des formules d’impédance de Gazetas. Ces formules seront abordées au §4.3. Enfin, dans les zones de faible sismicité et pour les cas usuels, les valeurs des modules décrivant la mobilisation des efforts résistants en fonction du déplacement peuvent être prises égales à trois fois celles définies dans l'annexe C.5 du fascicule 62 titre V pour les sollicitations de courte durée d'application. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Raideur(MPa.m/ml) Modulede cisaillement G (MPa)
  66. 66. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 66 4.3.Eurocode 8-5 [4] L’annexe C de l’Eurocode 8-5 donne des formules de rigidités statiques en tête de pieu pour trois types de modèle de sol. Les formules de rigidité horizontale KHH, de rigidité à la flexion KMM et la rigidité de couplage KHM=KMH sont données dans le tableau ci-dessous : Modèle de sol 𝑲 𝑯𝑯 𝑲 𝑴𝑴 𝑲 𝑯𝑴 𝑬 = 𝑬 𝑺. 𝒛/𝒅 𝑑. 𝐸𝑆.0,60. 𝐸 𝑝 𝐸𝑆 0,35 𝑑3 . 𝐸𝑆.0,14. 𝐸𝑝 𝐸𝑆 0,80 −𝑑2 . 𝐸𝑆.0,17. 𝐸𝑝 𝐸𝑆 0,60 𝑬 = 𝑬 𝑺 𝒛 𝒅 𝑑. 𝐸𝑆.0,79. 𝐸 𝑝 𝐸𝑆 0,28 𝑑3 . 𝐸𝑆.0,15. 𝐸𝑝 𝐸𝑆 0,77 −𝑑2 . 𝐸𝑆.0,24. 𝐸𝑝 𝐸𝑆 0,53 𝑬 = 𝑬 𝑺 𝑑. 𝐸𝑆.1,08. 𝐸 𝑝 𝐸𝑆 0,21 𝑑3 . 𝐸𝑆.0,16. 𝐸𝑝 𝐸𝑆 0,75 −𝑑2 . 𝐸𝑆.0,22. 𝐸𝑝 𝐸𝑆 0,50 Tableau 26 Rigidité en tête de pieu selon l'EC 8-5 [4] Avec :  E le module d’Young du modèle de sol, égal à 3G  Ep le module d’Young du matériau constitutif du pieu  Es le module d’Young du sol à une profondeur égale au diamètre du pieu  d le diamètre du pieu  z la profondeur Ces rigidités sont données pour 3 modèles de sol :  un sol dont le module d’Young varie linéairement avec la profondeur  un sol dont le module d’Young varie avec la racine carrée de la profondeur  un sol dont le module d’Young reste constant avec la profondeur Un graphique montrant les 3 types de sol est donné Figure 38.
  67. 67. BUCHI Eric GC 5 Projet de Fin d’Etudes 67 Figure 38 Les 3 modèles de sols suivant l'EC8 [4] 4.4.Exemple de calcul de raideur de pieux 4.4.1. Cas 1 : Monocouche Pieux : diamètre 0,62 m en béton C25/30 avec un module sismique de 16082 MPa. Profondeur Faciès qc 𝑬𝑴 𝐪𝐜 * EM α Eoed EYoung [m] [-] [Mpa] [-] [Mpa] [-] [MPa] [MPa] - Limons argileux à argilo sableux fermes 1.0 2.0 2.0 1/2 4 2.7 4.4.1.1. Raideur selon l’EC 8 𝑲 𝑯𝑯 𝑲 𝑴𝑴 𝑲 𝑯𝑴 𝑬 = 𝑬 𝑺 𝑑. 𝐸𝑆.1,08. 𝐸 𝑝 𝐸𝑆 0,21 𝑑3 . 𝐸𝑆.0,16. 𝐸𝑝 𝐸𝑆 0,75 −𝑑2 . 𝐸𝑆.0,22. 𝐸𝑝 𝐸𝑆 0,50 𝑬 = 𝑬 𝑺 11,2 MPa.m 69,8 MPa.m3 -17,6 MPa.m² 0 2 4 6 8 10 12 14 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Profondeur(m) E (MPa) E=Es.z/d E=Es.(z/d)^(0,5) E=Es

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