Cours automatique

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  1. 1. Table des matières • Introduction à la régulation automatique (notes de cours) o Régulation automatique: tentative de définition o Exemples introductifs Régulation automatique de température Régulation automatique de la vitesse dun moteur DC à excitation séparée constante o Eléments et signaux caractéristiques dun système de régulation automatique Blocs fonctionnels et sous-systèmes Signaux Entrées/sorties Unités physiques des signaux o Régulation de correspondance et régulation de maintien o Problèmes fondamentaux des systèmes de régulation automatique Stabilité Précision et rapidité Dilemme stabilité-précision o Principe de la régulation numérique o Généralités sur les systèmes Comportement dynamique Comportement statique Système statique Système dynamique Système linéaireRégulation automatique: tentative dedéfinitionLa régulation automatique est la technique de lingénieur offrant les méthodes/outilsnécessaires à la prise de contrôle dun système physique (installation de production, robot,alimentation électronique stabilisée, etc) en vue den imposer le comportement. Cette prise decontrôle seffectue par lintermédiaire de certains signaux (grandeurs physiques) quil est alorsnécessaire de mesurer afin de déterminer laction à entreprendre sur le système. Le contrôleest automatique, i.e. aucune intervention humaine nest nécessaire.Le comportement des grandeurs contrôlées peut/doit en général satisfaire plusieurscritères: • on souhaite quune certaine grandeur physique (vitesse, courant, température) ait une valeur moyenne donnée en régime permanent • cette même grandeur physique doit passer dune valeur à une autre en un temps donné, voire avec un profil de variation imposé.
  2. 2. Les méthodes de lautomatique offrent donc la possibilité de modifier le comportementstatique et dynamique dune grandeur physique, afin quelle évolue conformément auxexigences de lapplication.Figure: Régulation de la température dun processus industriel: en haut, la réponse indicielle du système seul, en bas la réponse indicielle en régulation automatique. On voit que lon arrive à rendre le système beaucoup plus rapide (mes_10_01_2001.m).En sappuyant notamment sur la technique de la contre-réaction, les méthodes delautomatique permettent de traiter des situations où interviennent des systèmes • intrinsèquement lents devant être rendus plus rapides (figure 1.1); • difficilement contrôlables manuellement (sustentation et lévitation magnétique, avion de chasse à voilure inversée) devant être rendus stables afin dêtre utilisables.Les applications de la régulation automatique se trouveront donc dans tous lessystèmes dont une (ou plusieurs) grandeur physique doit correspondre à une valeurprescrite (température, pH, débit, pression, courant, vitesse, force, altitude,profondeur, orientation, etc), laquelle pouvant être variable, et cela sans interventionhumaine, i.e. de manière complètement automatique.Exemples introductifs
  3. 3. On présente ci-dessous quelques exemples de systèmes de régulation automatique, que lonappelle aussi systèmes asservis.Régulation automatique de températureRégulation manuelle de température: schéma technologiqueLa figure 1.2 représente schématiquement une installation permettant de faire une régulationmanuelle de température. Lopérateur agit sur un potentiomètre pour ajuster la tension decommande de lamplificateur de puissance, lequel alimente un corps de chauffe électrique.Comme les éléments dessinés représentent assez explicitement des dispositifs dépendant de laréalisation technique de linstallation (par exemple corps de chauffe électrique et non à gaz),on parle de schéma technologique. Figure: Régulation manuelle de température: est la température de consigne, i.e. la température souhaitée, la température effective en . Lopérateur souhaite que , dumoins la température quil perçoit sensoriellement, coïncide avec . Il agit pour cela surle potentiomètre afin dajuster la puissance thermique dissipée dans la résistance du corps de chauffe (f_01.dsf).
  4. 4. Régulation manuelle de température: repésentation par schéma fonctionnelOn peut représenter le principe de la régulation manuelle de température par un schémafonctionnel, i.e. découper logiquement la fonction globale "régulation manuelle detempérature" en une série de fonctions plus simples, en indiquant également la nature delinformation (signal) entrant et sortant de chacune dentre-elles.En se livrant à cet exercice pour le schéma technologique de la figure 1.2, on peut apriori identifier les fonctions suivantes: • volume dair du local (entrée puissance de chauffage, sortie température) • corps de chauffe (entrée tension, sortie puissance) • amplificateur de puissance (entrée commande de tension, sortie tension amplifiée en puissance) • mesure de température (entrée température, sortie estimation de température) • traitement de la mesure et action sur le potentiomètreGraphiquement, le schéma fonctionnel peut donc prendre la forme de la figure 1.3. Figure: Repésentation par schéma fonctionnel du mode de fonctionnement de lopérateur en cas de régulation manuelle: lopérateur compare la température de consigne , i.e. la température souhaitée, avec la température mesurée (perçue) , image aussi fidèle que possible de la température réelle (cela dépend de la qualité du capteur). En fonction du résultat de la comparaison, lopérateur agit sur le potentiomètre, ce qui modifie la tension aux bornes du corps de chauffe, la puissance dissipée et finalement la température du local.On observe que le schéma fonctionnel de la figure 1.3 fait déjà apparaître uneboucle: la température mesurée apparaît en effet • au départ de laction sur le potentiomètre; • également comme conséquence de cette action.On dit que la température mesurée est contre-réactionnée. Le système de la figure 1.3présente donc une contre-réaction (feedback, Rückführung).
  5. 5. Adaptation du principe de régulation manuelle en vue dune automatisationIl y a plusieurs raisons justifiant lintérêt à remplacer lopérateur par un système entièrementautomatique: • coût • fiabilité • rapidité • sécurité/confort de lopérateur (atmosphère de travail par exemple explosive, toxique, etc) • sécurité de linstallation elle-mêmeSe basant sur les schémas technologique et fonctionnel des figures 1.2 et 1.3, on lestransforme en vue de rendre la régulation de température complètement automatique (figures1.4 et 1.5). Figure: Schéma technologique dune régulation automatique de température: le rôle delopérateur se limite maintenant à fixer la consigne de température , la comparaison avec la température mesurée par un capteur ad hoc (ici un bilame) étant effectuée par undispositif appelé régulateur qui se charge dagir sur le corps de chauffe. Ici le régulateur a un comportement de type tout-ou-rien, que lon nomme parfois régulateur à action à deux
  6. 6. positions: si lerreur de température est en-dessous dune certaine limite, on impose aux bornes du corps de chauffe, sinon, sil fait trop froid, on applique la tension maximale.Figure: Représentation par schéma fonctionnel du mode de fonctionnement dune régulation automatique de température.Régulation automatique de la vitesse dun moteur DC àexcitation séparée constanteRégulation manuelleLe but de la régulation de vitesse, manuelle ou automatique, est de garantir que la vitessecorresponde à la vitesse de consigne, i.e. la vitesse souhaitée, malgré la présence de couplerésistant . Figure: Régulation manuelle de la vitesse dun moteur DC: lopérateur estime (mesure) la vitesse de rotation , la compare avec la vitesse de consigne et ajuste la tension aux bornes de linduit par le biais du potentiomètre. Pour la mesure de vitesse, il peut bien sûr disposer dune appareil ad hoc.
  7. 7. Figure: Caractéristique couple ( )-vitesse ( ), régime permanentconstant, dun moteur DC à excitation séparée constante: on observe que la vitesse de rotation peut être ajustée en modifiant la tension aux bornes de linduit. Pour quelle corresponde à , il faut que la tension soit ajustée à des valeurs différentes selon le niveau de couple résistant (frottement sec et visqueux, etc): ici sont illustrés les cas où et . Le symbole est utilisé ici comme étant la première lettre de "torque", i.e. couple en anglais.Régulation automatique
  8. 8. Figure: Régulation automatique de la vitesse dun moteur DC: lopérateur est remplacé par un régulateur, ici de type à action à deux positions. La mesure de la vitesse de rotation est réalisée au moyen dun capteur (ici une dynamo-tachymétrique). La mesure estcontre-réactionnée et comparée à la consigne , lerreur est construite et détermine laction, i.e. la commande que le régulateur va entreprendre en vue de lannuler.Figure: Régulation automatique de la vitesse dun moteur DC, avec régulateur à action à deuxpositions (Demo_03.mdl, cal_Demo_03.m). La mesure de vitesse de rotation coïncide, en
  9. 9. régime permanent constant, avec la consigne , qui a ici la forme dun saut unité, mais au prix dune commande commutant à une fréquence tendant vers l .La dérivée de la vitesse, i.e. laccélération, changeant de signe à fréquence élevée, lamécanique peut en souffrir (usure prématurée, augmentation des jeux de transmissions, etc).Une alternative au régulateur à action à deux positions consiste à utiliser unrégulateur à action proportionnelle, lequel applique une commandeproportionnelle à lerreur . On lappelle régulateur P:Figure: Schéma fonctionnel dun régulateur P et schéma de principe (schéma technologique) de sa réalisation électronique.
  10. 10. Figure: Régulation automatique de la vitesse dun moteur DC: le régulateur est ici de type proportionnel, ce qui signifie que la commande délivrée par le régulateur est proportionnelle à lerreur .Figure: Régulation automatique de la vitesse dun moteur DC, avec régulateur P, (Demo_02.mdl, cal_Demo_02.m). La commande ne varie pas aussi brutalement quavec un régulateur à action à deux positions, mais la grandeur réglée (mesure) ne coïncide pasparfaitement avec la consigne en régime permanent constant. Il subsiste ce quon appelle une erreur statique de valeur .Eléments et signaux caractéristiques dunsystème de régulation automatiqueFigure: Schéma fonctionnel mettant en évidence les éléments et signaux caractéristiques dun système de régulation automatique.
  11. 11. Blocs fonctionnels et sous-systèmes Tableau: Blocs fonctionnels et sous-systèmes. Elément Fonction Comparateur Construit le signal derreur Régulateur Traite le signal derreur et en déduit le signal de commande destinée à diminuer Amplificateur Amplifie en puissance le signal de de puissance commande de façon à ce quil soit applicable au processus Processus Installation à asservir Capteur Forme une image aussi fidèle que possible de la grandeur réglée bruteOn note quavec le schéma adopté, le système à régler comprend tous les éléments(actionneur, processus, capteur, etc) se trouvant entre la commande délivrée par lerégulateur et la grandeur réglée (mesurée) , y compris le capteur (figure 1.14).
  12. 12. Figure: Système à régler.Signaux Tableau: Signaux principaux dun système de régulation automatique. Signal Notation Remarques Consigne Signal à poursuivre, à caractère généralement déterministe, par opposition à aléatoire: ce signal est défini pour une application donnée Grandeur Image de la "vraie" grandeur réglée réglée fournie par le capteur, i.e. image de la mesurée grandeur réglée brute . Cest la seule information dont dispose le régulateur, lequel asservit donc en réalité la grandeur réglée mesurée et non directement la grandeur réglée brute . Cest pourquoi la qualité de la mesure (capteur et traitement) est primordiale en automatique Grandeur Grandeur physique réglée, dans son unité réglée brute physique propre ( , , etc).
  13. 13. Seule une image peut en être obtenue, par lintermédiare dun capteur Commande Signal délivré par le régulateur au système à régler. Ce signal doit normalement tendre à faire diminuer lerreur Pertubation Signal aléatoire représentant les perturbations intervenant sur le système à régler Bruit sur la Signal aléatoire représentant le bruit mesure intervenant sur la mesure Erreur ou écart Différence entre consigne et grandeur régléeEntrées/sortiesSignaux dentrée du système de régulation automatique: • consigne (plusieurs en régulation multivariable) • perturbation (perturbation de charge, pouvant être de différentes natures et intervenant à plusieurs endroits dans le système) • bruit de mesure (perturbation de signal), voir figure 1.15Signaux de sortie du système de régulation automatique: • grandeur réglée (plusieurs en régulation multivariable)
  14. 14. Figure: Visualisation du bruit de mesure dans le cas dun asservissement de vitesse(bruit_01.m). La consigne de vitesse a la forme dun triangle (accélération puis freinage-arrêt).On compare ici la vitesse réglée effective et sa simulation de façon à bien mettre en évidence le bruit.Unités physiques des signauxTableau: Unités physiques des principaux signaux dun système de régulation automatique.Par unité physique, on entend celle du signal lui-même, définie par la réalisation du système, et non celle de linformation quil porte.Signal Notation Unités physique Foehn Régulation de vitesseConsigne Correspond à lunité physique de la grandeur réglée fournie par le capteur. Typiquement des ou des
  15. 15. Grandeur Correspond à laréglée nature du signal demesurée sortie du capteur. Typiquement desGrandeur Grandeur physiqueréglée réglée, dans sonbrute unitéCommande Correspond à lunité physique du signal de sortie du régulateur, tel quil est réalisé. Typiquement desPertubation Dépend de lendroit où la perturbation intervientBruit sur la Correspond à lunitémesure deErreur Correspond à la nature du signal de sortie du capteur. Typiquement desRégulation de correspondance etrégulation de maintienOn peut envisager deux modes de régulation: • la régulation de correspondance ("tracking"), où le but essentiel est de poursuivre une consigne variable;
  16. 16. Figure: Régulation de correspondance. • la régulation de maintien, où le régulateur a pour tâche principale de maintenir la grandeur réglée égale à la consigne malgré la présence de perturbations . Figure: Régulation de maintien.Problèmes fondamentaux des systèmesde régulation automatiqueStabilitéLa stabilité dun système de régulation automatique (cf chap.5) est une condition impérative.Or, tout système contre-réactionné est potentiellement instable. La cause en est due au retardparfois trop importants que peut subir un signal (ou certaines de ses composantes spectrales)se propageant à travers la boucle. Lexemple de la douche illustre cela de manière intuitive(figure 1.18).
  17. 17. Figure: Régulation manuelle de la température dune douche: schéma technologique. Pour lexemple, on suppose que le débit est constant et que seule la répartition chaud-froid est modifiée. Figure: Régulation manuelle de la température dune douche: schéma fonctionnel.En négligeant les pertes thermiques dans le tuyau, on a:où est le temps nécessaire à leau pour se propager à travers le tuyau de douche. Dans lejargon des systèmes asservis, on lappelle retard pur.
  18. 18. Figure: Régulation manuelle de la température dune douche (Demo_05.mdl, cal_Demo_05.m): cas de lopérateur "pressé", i.e. dun régulateur à gain élevé.Il y a donc dans cet exemple un retard pur entre laction entreprise par lopérateur surla vanne pour modifier la température et leffet résultant. Cest le cas de lopérateur"pressé" (figure 1.20) qui met en évidence le phénomène dinstabilité: 1. lopérateur commence sa douche et désire que leau soit à la température ; 2. lopérateur saperçoit que la température de leau est bien inférieure à la valeur souhaitée ; 3. lopérateur ouvre modérément la vanne mélangeuse; 4. lopérateur saperçoit que louverture de la vanne mélangeuse est sans effet notable; 5. lopérateur ouvre davantage la vanne mélangeuse; 6. la température de leau directement à lentrée du tuyau est alors à une valeur élevée; 7. leau de température élévée parvient à lopérateur: la température de leau dépasse alors largement la consigne ; 8. lopérateur réagit en tournant la vanne dans lautre sens.
  19. 19. Et le pire est à venir: leau beaucoup trop chaude parvient au bout du tuyau, provoquant uneréaction vive de lopérateur. Si celui-ci se comporte de manière symétrique (que leau soit tropchaude ou trop froide), leau va devenir exagérément froide et une oscillation de plus oumoins longue durée peut prendre naissance. Le système observé ici nest pas instable, maisprésente des signes alarmants de tendance vers linstabilité: il peut devenir incontrôlable si unopérateur encore plus pressé prend sa douche... Figure: Régulation manuelle de la température dune douche(cal_Demo_04.m): cas de lopérateur "calme".Précision et rapiditéLexemple de la régulation de vitesse (figure 1.12) avec régulateur P montre que même enrégime permament constant (consigne constante, etc), un erreur subsiste: ce phénomène estmalheureusement normal puisquen effet, pour que le moteur DC tourne, même à vide, à unevitesse non-nulle correspondant si possible à la consigne, il faut lalimenter par une tensionaux bornes de linduit que lon se représesente facilement différente de zéro. Or: • dans le cas dun amplificateur de puissance idéal; • ;
  20. 20. • ;Lerreur observée sappelle erreur statique. On dit que le système asservi a du statisme.Dans le cas simple du moteur à vide, la tension doit équilibrer la FEM . On en déduit la valeur de lerreur :Pour diminuer la valeur de lerreur statique , il faut logiquement augmenter le gainproportionnel du régulateur. Ce faisant, laction entreprise par le régulateur en présencederreur est de plus en plus énergique et la rapidité du système est également améliorée (figure1.22). Figure: Régulation automatique de la vitesse dun moteur DC, avec régulateur P,(Demo_02.mdl, cal_Demo_06.m). Lerreur statique est inférieure à celle de la figure 1.12 et le système est plus rapide.
  21. 21. Dilemme stabilité-précisionSi, appliquant les conclusions du paragraphe précédent, on tente daméliorer encore laprécision et la rapidité en augmentant encore le gain du régulateur proportionnel à , unphénomène analogue à celui observé avec la douche (figure 1.20) apparaît (figure 1.22): lesystème asservi oscille de manière apparemment entretenue à une fréquence voisine de , lamplitude de loscillation ayant tendance à croître indéfiniment: le système estpratiquement instable. Figure: Régulation automatique de la vitesse dun moteur DC, avec régulateur P, (Demo_02.mdl, cal_Demo_07.m). Le système asservi est quasi instable.On peut comprendre intuitivement la cause de cette instabilité en examinant la réponsefréquentielle du système asservi en boucle ouverte, i.e. le comportement fréquentiel de lachaîne déléments (figure 1.24) allant de lentrée du régulateur (lerreur ) à la sortie ducapteur (la grandeur réglée ). Le diagramme de Bode la figure 1.25 montre en effetquun signal derreur:
  22. 22. • ne subit, la fréquence denviron , aucune atténuation ou amplification, le gain de boucle à cette fréquence étant de dB ; • est déphasé, i.e. retardé, dexactement à cette même fréquence.Figure: Obtention de la réponse harmonique en boucle ouverte: le signal dentrée est lerreur et celui de sortie la grandeur réglée . Le résultat est donné sur la figure 1.25. Figure: Réponse fréquentielle du système de régulation de vitesse en boucle ouverte (Demo_02.mdl, cal_Demo_07.m, ).
  23. 23. En conséquence, la composante spectrale à du signal derreur voittout simplement son signe inversé, ce qui implique quà cette fréquence, il nest pascontre-réactionné, mais réactionné (figure 1.26): du fait de la structure bouclée, uneaugmentation de la grandeur de commande provoque une augmentation de lagrandeur réglée qui provoque à son tour une augmentation de lerreur etpar suite de la grandeur de commande. Le système semballe, nest plus souscontrôle, ce qui peut aboutir à sa destruction si des limites physiques ninterviennentpas suffisamment tôt.Figure: Régulation automatique de vitesse (Demo_02.mdl, cal_Demo_07.m): pour , la composante spectrale à du signal derreur voit tous les éléments de la boucle quelle traverse comme un simple gain . La contre- réaction devient, pour cette fréquence, de la réaction.Les exemples de la douche (§1.5.1) et de la régulation de vitesse montrent que pluslaction du régulateur est violente (cas de lopérateur "pressé", respectivement cas du
  24. 24. régulateur P de vitesse avec ), i.e. plus le gain du régulateur est élevé, plusil y a risque dinstabilité. Pour des raisons de stabilité, et par suite de sécurité delinstallation, il y a donc en principe intérêt à travailler avec des gains modestes.Mais lamélioration de la précision et de la rapidité de la régulation de vitesseévoquée au §1.5.2 montre au contraire tout le bénéfice quil y a à augmenter lesgains du régulateur, i.e. la raideur de lasservissement.Ces intérêts contraires constituent ce qui est communément appelé le dilemmestabilité-précision. Tout lart de lingénieur automaticien consiste à trouver unesolution satisfaisant simultanément les exigences de stabilité et de précision.En pratique, un autre dilemme rend le travail de lingénieur-automaticien pluscomplexe: on pourrait lappeler dilemme précision-bruit, lequel se manifeste souventbien avant celui de stabilité-précision. En effet, les performances des systèmesasservis sont souvent limitées non par par des questions de stabilité, mais par desproblèmes de bruit sur la commande, qui est en fait dû essentiellement àlamplification (par exemple par le gain dun régulateur P) du bruit de mesure. Si est ce bruit, sa propagation au travers du régulateur le transforme en un bruit devaleur de valeur dautant plus élevée que le gain est élevé, i.e. que lesperformances exigées sont de haut niveau (figure 1.27). Dans le cas ou lacommande a une influence directe sur une grandeur mécanique, le bruit quellecontient devient même audible et peut par exemple accélérer des phénomènesdusure. Pour des système 100% électriques, le bruit de la commande peutprovoquer un échauffement supplémentaire.Figure: Influence du bruit de mesure dun asservissement de vitesse (bruit_02.m). Bien que la consigne de vitesse soit à zéro, la vitesse mesurée sen écarte continuellement, le régulateur réagissant au bruit de mesure.Principe de la régulation numérique
  25. 25. Figure: Principe de la régulation numérique: le régulateur prend la forme dun algorithme programmé sur microprocesseur et exécuté en temps réel, i.e. impérativement à chaquepériode déchantillonnage . Les valeurs typiques de vont de pour des systèmes de régulation de température à pour des asservissements de courants dans les entraînements réglés. Pour ces derniers, un implantation du régulateur en assembleur sur processeur de signal (DSP) est quasi indispensable.Généralités sur les systèmes
  26. 26. Dun point de vue technique, tout ensemble déléments, de composants, dispositifs, etcassociés un but spécifié constitue un système (figure 1.29). Un système peut être simple oucomplexe. Figure: Système quelconque, multi-variables.Afin de pouvoir contrôler (régler, asservir) un système, il est nécessaire de connaîtreun certain nombre de ses propriétés: • nombre et nature des entrées et des sorties; • comportement statique; • comportement dynamique (temps de montée, nombre et période des oscillations, etc); • linéarité ou non-linéarités; • stabilité; • etcOn se limite ci-après à létude de systèmes mono-variable (1 entrée , 1 sortie ,figure 1.30)Figure: Système monovariable. Dans un contexte général, le signal dentrée est appelé et celui de sortie .Comportement dynamique
  27. 27. Figure: Exemple de réponse indicielle dun système dynamique complexe.Le comportement dynamique, i.e. en régime transitoire, est souvent difficile àqualifier (quantifier) sur la base de lanalyse temporelle seule. Il faut des outilsspécifiques tel que les transformations de Fourier et de Laplace.Comportement statiqueOn conssidère le système étudié en régime permanent constant, i.e. lorsque const. etque . On peut alors calculer le gain statique :Système statiqueUn système est statique si sa sortie à linstant ne dépend que de lentrée au mêmeinstant .Un tel système réagit donc instantanément, sans retard, sans régime transitoire outemps détablissement. Il est sans mémoire puisque le passé ninfluence pas sasortie présente. Un exemple de système statique est la résistance électrique idéale(figure 1.32).
  28. 28. Figure: Exemple de système statique.Du point de vue de lautomaticien, un système statique peut sans autre être décrit, i.e.représenté par son gain statique .Système dynamiqueUn système est dynamique si sa sortie peut dépendre non seulement de lentrée présente mais aussi des entrées (sorties) passées.Un exemple est la capacité électrique: définissant le courant de charge commesignal dentrée et la tension aux bornes comme signal de sortie, on a: Figure: Exemple de système dynamique.Un système dynamique est représentable mathématiquement par équations différentiellesdordre 1, linéaires ou non. Dans le cas ou des paramètres tels que la résistance, linertie, etcpeuvent être définis sans trop séloigner de la réalité physique, le système est à constanteslocalisées et les équations différentielles sont aux dérivées totales.
  29. 29. Dans la négative (propagation de la chaleur, lignes de transmission, mécanique des fluides,etc), on a affaire à un système à paramètres distribués et sa représentation doit se faire par deséquations aux dérivées partielles.Système linéaireUn système est linéaire sil obéit au principe de superposition: • additivité: les causes ajoutent leurs effets (si et , alors ); • homogénéité: il y a proportionnalité de leffet à la cause (si alors .On se limitera, dans le cadre de ce cours, essentiellement aux systèmes linéaires,dynamiques, à constantes localisées, représentables dans le cas général paréquations différentielles linéaires dordre 1:Ces équations peuvent être présentées sous la forme dune seule équation différentielledordre :Des exemples de non-linéarités se trouvent dans des cas de figures tels que:
  30. 30. • la saturation magnétique provoquant une variation de linductance en fonction du courant: (figure 1.34); Figure: Non-linéarité dune inductance consécutive à la saturation magnétique.• le frottement sec ou visqueux agissant sur larbre dun moteur électrique dépend typiquement de la vitesse de rotation (figure 1.35); Figure: Non-linéarité due au frottement sec.• la limitation de la grandeur de commande est nécessaire pour protéger le système à régler: dans le cas où entre en limitation, le système de régulation devient non-linéaire (figure 1.34); Figure: Non-linéarité due à la limitation nécessaire du signal de commande.
  31. 31. • un bras articulé de robot se déployant voit son inertie varier en fonction de la position: .Dans tous ces cas, on vérifie en effet que le principe de superposition ne sapplique pas.Une méthode de linéarisation de tels systèmes sera présentée au chap.2.Régulateur PID analogiqueIntroductionLe régulateur, de fonction de transfert (s), est situé en amont du système à régler, defonction de transfert (s). Figure: Schéma fonctionnel dun système asservi mono-variable. On distingue le régulateur et le système à régler .Le système à régler (s) comprend, outre le processus, lamplificateur de puissance,lactionneur, le capteur et lélectronique de traitement de la mesure associée.
  32. 32. Figure: Schéma fonctionnel universel dun système asservi.Lentrée du régulateur comprend forcément la consigne et la mesure de lagrandeur réglée. Le plus souvent la comparaisondirecte est effectuée, appelée écart ou erreur.Le régulateur a pour charge de maintenir le signal derreur aussi proche de zéroque possible; dans ce but, il fournit au système à régler la commande telle quelimage de la grandeur réglée obtenue par mesure corresponde à la consigne .La commande est construite sur la base des signaux de consigne et demesure de la grandeur réglée selon la loi de commandeCette commande est en général dun faible niveau de puissance, raison pour laquelle unamplificateur de puissance est normalement intercalé entre le régulateur et le système à réglerà proprement parler.Appliquée au système à régler, la commande provoque donc une modificationde la grandeur réglée . Le régulateur en tenant compte pour former , onconstate que apparaît: • à lorigine de laction entreprise par le régulateur; • comme conséquence de cette action.
  33. 33. Représenté graphiquement sous forme de schéma fonctionnel, le système présentedonc une boucle.La loi de commande du régulateur peut être très simple (régulateur tout-ou-rien) si siou beaucoup plus compliquée (régulateurs flous, réseaux de neurones).Régulateurs non-linéairesSi lon imagine vouloir régler la température dune salle et la maintenir aux environsde , on se dit quil suffit denclencher ou déclencher le chauffage selon que latempérature ambiante est plus petite ou plus grande que la température souhaitée(figure 4.8).Avec ce régulateur, appelé tout-ou-rien, ou encore à action à deux positions, latempérature oscillera légèrement autour de et cela à satisfaction desutilisateurs de la salle. Cependant, le chauffagiste risque dêtre très mécontent car ilverra la chaudière senclencher et déclencher sans cesse pour de courts instants.Cette situation nest pas acceptable pratiquement.
  34. 34. Figure: Régulation automatique de la température dun local.Pour éviter cela, on lui préfère un autre régulateur à deux niveaux avec hystérèse(figure 4.9). Figure: Régulateur à action à deux position avec hytérèse.
  35. 35. Dans ce cas, on verra la température osciller avec plus damplitude autour de et cela sans gêne pour le confort des personnes présentes. De son côté, lechauffagiste sera satisfait, car la chaudière senclenchera et déclenchera pour desdurées raisonnables préservant ainsi sa durée de vie. Figure: Allure de la grandeur réglée (température mesurée) lors dun asservissement par régulateur à action à deux position avec hytérèse.Il faut cependant noter que la non-linéarité de ces régulateurs simples rend difficileleur synthèse sur la base dun cahier des charges fixant les performances dusystème asservi. Malgré cela, ils sont fréquemment utilisés pour des applicationsdont lactionneur supporte une forte sollicitation et pour lesquelles une oscillationconstante de la grandeur réglée autour de la consigne est admissible. Unexemple dapplication est le réglage de courant fournit par une alimentation àdécoupage.Dans ce qui suit, on se contentera détudier le régulateur standard PID, de loin lerégulateur le pus utilisé en pratique.Régulateur à action proportionnelle (P)
  36. 36. Loi de commande, fonction de transfert, réponses indicielle et harmoniquedu régulateur PLe régulateur à action proportionnelle, ou régulateur P, a une action simple etnaturelle, puisquil construit une commande proportionnelle à lerreur .Cette action sapparente à un effet ressort (ressort de rappel). • Loi de commande du régulateur P: • Fonction de transfert du régulateur P: • Schéma fonctionnel du régulateur P: Figure 4.11: • Réponse indicielle du régulateur P: Figure: Réponse indicielle du régulateur P (idéal). La réponse en traitillé rappelle quaucun système physique ne peut réagir statiquement, i.e. sans retard. Dans le cas dune réalisation électronique (à amplificateurs opérationnels par exemple) du régulateur P, il est clair que le temps de montée esquissé est négligeable par rapport aux constantes de temps du système à régler. • Réponse harmonique du régulateur P:
  37. 37. Figure: Réponse harmonique du régulateur P.Latténuation esquissée en traitillé à partir de la pulsation rappelle que lacaractéristique entrée-sortie de tout élément physiquement réalisable tend toujoursvers 0 lorsque la fréquence tend vers linfini. Dans le cas du régulateur P, elle est parexemple due aux limites en fréquence de lamplificateur opérationnel utilisé pour saréalisation électronique:
  38. 38. Figure 4.14:Les inductance et capacité parasites des résistances pourraient également intervenir,certes à plus haute fréquence.Avantages et inconvénients de laction proportionnelleOn voit que le régulateur P assure une transmission instantanée du signal derreur;dans ce sens, son action est relativement dynamique: sa commande ne dépend pasdu passé, ni dune tendance, mais simplement de ce qui se passe à linstant présent.Une limitation du régulateur P est son incapacité à annuler notamment lerreurstatique en régulation de maintien, i.e. celle qui apparaît consécutivement àlintervention dune perturbation constante. En effet, si la commande à appliquerau système doit être non-nulle afin que celui-ci puisse retrouver son état déquilibre, ilest dans le même temps nécessaire que lerreur soit non-nulle puisque:La figure ci-dessous illustre le phénomène pour le système à réglercontre-réactionné par un régulateur P de gain .
  39. 39. Figure: Réponse indicielle en boucle fermée avec asservissement par régulateur P: une erreurstatique subsiste car le signal de commande à appliquer au système à régler doit être dans ce cas non-nul pour que atteigne un niveau différent de zéro.Régulateur à action intégrale (I)Le problème de lerreur statiqueLes exemples des asservissements de vitesse et de température vus au chapitre 1ont montré quun système, même contre-réactionné par un régulateur P, pouvaitprésenter une erreur permanente en régime permanent constant. Cette erreurintervenant alors que les signaux dentrée (consigne ou perturbation) sont constants,on la désigne par erreur statique.Dans le cas de la régulation de vitesse, ce phénomène sexplique par le fait quemême dans un cas aussi banal que lorsque le moteur est à vitesse constante (
  40. 40. const.) et à vide ( ), le moteur DC doit être alimenté par une tensionaux bornes de linduit égale à la tension induite : Figure: Asservissement de vitesse dun moteur DC. La tension aux bornes de linduit doit être non-nulle si la vitesse est différente de zéro, ne serait-ce que pour équilibrer (au moins) la FEM .Ainsi, même en régulation de correspondance, soit sans couple résistant, lerreurstatique est non nulle:Il faut donc que le système présente une erreur pour quune tension dalimentation non-nulle soit appliquée aux bornes de linduit.Il nen va pas autrement en régulation de maintien: si des perturbations de coupleinterviennent, telles que les frottements sec ou visqueux ou plus généralement uncouple résistant agissant sur son arbre, le moteur doit fournir du couple pour
  41. 41. les compenser afin de se maintenir en état déquilibre. Ce couple (moteur) ne peutalors être fourni que si la tension aux bornes de linduit est supérieure à latension induite :Celle-ci étant positive différente de zéro puisque le moteur tourne, doit doncêtre positive différente de zéro. Avec un régulateur de type P, lerreur ne peut doncquêtre différente de zéro et le système asservi présente donc ce quon appelle dustatisme.Annulation de lerreur statiquePour remédier au problème du statisme, on pourrait dans un premier tempsaugmenter la consigne de la valeur de lerreur statique constatée (figure 4.17). Figure: Annulation manuelle de lerreur statique par décalage de la consigne.Sur cette lancée, on pourrait décider dagir directement sur la commande enprocédant comme suit (figure 4.18): • ajouter à la commande issue du régulateur P la quantité ajustable ;
  42. 42. • augmenter ou diminuer progressivement jusquà ce que soit nulle; • est alors nulle ( ) et est exactement égale à la valeur nécessaire à la compensation de lerreur statique, et bien que lerreur soit nulle, la commande est bel et bien non-nulle. Figure 4.18: Annulation manuelle de lerreur statique par augmentation du signal de commande.En vue dautomatiser cette procédure, on la transcrit sur le diagramme suivant: Figure: Annulation manuelle de lerreur statique par augmentation du signal de commande: suite des opérations effectuées.On voit quil sagit de trouver un élément, complétant laction P, qui accumule le signaldentrée et se maintient à son dernier niveau lorsque lerreur est nulle: la solutionconsiste à intégrer lerreur. La loi de commande est donc:
  43. 43. La commande proposée est formée des deux contributions et , contributionsproportionnelle (P) et intégrale (I). Le régulateur est donc à actions proportionnelle etintégrale: cest un régulateur PI. Figure: Asservissement par régulateur PI.Loi de commande, fonction de transfert, réponses indicielle et harmoniquedu régulateur PI • Loi de commande du régulateur PI: • Fonction de transfert du régulateur PI: • Schéma fonctionnel du régulateur PI: Figure: Schéma fonctionnel du régulateur PI.
  44. 44. • Réponse indicielle du régulateur PI: Figure: Réponse indicielle du régulateur PI.• Réponse harmonique du régulateur PI: Figure: Réponse harmonique du régulateur PI.• Réalisation électronique de principe:
  45. 45. Figure: Réalisation électronique de principe dun régulateur PI. • A la mise sous tension de linstallation, il faut veiller à ce que la capacité soit initialisée à une valeur correcte (en principe déchargée), sans quoi le système risque demblée de recevoir un saut de commande . Un dispositif de décharge de est donc à prévoir.Régulateur I purLaction P du régulateur PI nest pas utile du point de vue de la précision en régimepermanent; cependant, le fait que laction P permette la transmission instantanée dusignal derreur rend le régulateur PI plus dynamique que le régulateur I pur, mis enoeuvre dans quelques cas particuliers où la vitesse nest pas importante et où lonsouhaite avoir une action relativement ``molle sur le système à régler. • Loi de commande du régulateur I: • Fonction de transfert du régulateur I:
  46. 46. Le régulateur PI est le régulateur le plus utilisé en pratique où ses contributions à laprécision mais aussi à la robustesse du système asservi sont particulièrementappréciées.Avantages et inconvénients de laction intégraleLa réponse harmonique du régulateur PI (figure 4.23) montre que celui-ci est à actionplutôt intégrale à basse fréquence et plutôt proportionnelle à haute fréquence. Cecomportement intégrateur à basse fréquence fait lavantage du principal durégulateur PI, son action I permettant dannuler une erreur statique. Cela peutégalement se comprendre en observant sur la réponse harmonique quà bassefréquence, le gain de lintégrateur tend vers linfini: en dautres termes, le gain deboucletend vers linfini et lon a, en régulation de correspondance dune partet en régulation de maintien dautre partLexamen de ces deux fonctions de transfert en boucle fermée, évaluées en basses fréquences,peut montrer un autre avantage du terme intégrateur: si le gain varie quelque peu,les performances en boucle fermée du système ne sen ressentent que faiblement puisque lona approximativement:
  47. 47. On dit que le régulateur à action intégrale améliore la robustesse du système,rendant en particulier ses performances de précision peu dépendantes des variationsdes paramètres (notamment du gain permanent ) du système à régler .Linconvénient du régulateur PI peut se déduire directement de sa réponsefréquentielle (figure 4.23), laquelle montre quà basse fréquence, tous les signauxsont déphasés de : laction intégrale est lente et ralentit ainsi la propagationdes signaux dans la boucle. Elle augmente ainsi le risque dinstabilité inhérent à toutsystème contre-réactionné. Il faut donc être sur ses gardes lorsque lon sapprête àmettre en oeuvre un régulateur comprenant un action intégrale. Dans le meilleur descas, la stabilité du système est maintenue grâce au talent de lingénieur automaticienmais ses performances dynamiques (rapidité) sont forcément dégradées encomparaison des résultats obtenus avec un régulateur P. On obtient donc unsystème asservi plus précis mais moins rapide.De plus, la commande intégrale atteignant son maximum lorsque lerreur est nulle, ilest vraisemblable que la réponse indicielle (en régulation de correspondance) dusystème asservi présente un dépassement plus important quavec un régulateur P.En effet, en se plaçant dans la situation où le système asservi reçoit un saut de
  48. 48. consigne , on comprend dune manière intuitive que la contributionintégrale ne cesse de croître que lorsque lerreur sannule. Ainsi, laction I "pousse"de plus en plus le système tout pendant que lerreur est de même signe et lentraînedautant plus violemment que le gain sur cette action est élevé. Si, au moment où lerreur sannule pour la première fois, la commande est trop élevée, lesystème dépasse la consigne et lerreur change de signe: il y a dépassement. Ceciest en fait nécessaire pour que la commande atteigne son niveau final, lerreurdevant forcément changer de signe afin de diminuer le contenu de lintégrateur,lequel devant trouver le niveau requis pour maintenir le système à son nouvel étatdéquilibre déterminé par la consigne.La figure 4.25 illustre le phénomène pour le système à réglercontre-réactionné de trois manières différentes: • régulateur P de gain ; • régulateur I pur de gain ; • régulateur I pur de gain ;
  49. 49. Figure: Réponses indicielles en boucle fermée, régulateur P pur avec , I pur avec et .On observe quen , pour , lerreur sannule mais les commandes sontrespectivement nulle et maximale pour les régulateurs P et I. De plus, lorsque le gainsur laction intégrale est trop élevé, un comportement oscillatoire mal amorti estobservable. Enfin, il vaut la peine de remarquer quavec le régulateur P, une erreurstatique subsiste alors quen revanche, le système est beaucoup plus rapide.Régulateur à action proportionnelle (P) et dérivée (D)Considérons les deux situations suivantes (figure 4.26), où lerreur ) a la mêmeamplitude, mais où • elle croît dans le premier cas; • elle décroît dans le second cas.
  50. 50. Figure: Présentation de situations dasservissement identiques en pour un régulateur P.Intuitivement, on conçoit quil serait illogique dappliquer dans ces deux situations lamême commande ), bien que ce soit bel et bien laction quentreprendrait unrégulateur de type P!Il vient alors lidée de former la commande ) non pas en tenant compteexclusivement de lamplitude de lerreur (action P), mais aussi de son évolution, dansle but de savoir quelle est la tendance du signal derreur et den quelque sorte de laprévoir. Un bon moyen consiste à évaluer son taux de variation, à savoir sa pente encalculant la dérivée de lerreur en .Pour ce faire, la dérivée par rapport au temps du signal derreur est calculéeau moyen dun bloc fonctionnel. Multipliée par un gain ajustable , cettecontribution est ensuite ajoutée à celle de laction P. La loi de commande durégulateur PD obtenu est alors:Loi de commande, fonction de transfert, réponses indicielle et harmoniquedu régulateur PD • Loi de commande du régulateur PD:
  51. 51. • Fonction de transfert du régulateur PD:• Schéma fonctionnel du régulateur PD: Figure: Schéma fonctionnel du régulateur PD.• Réponse indicielle du régulateur PD: Figure: Réponse indicielle du régulateur PD.• Réponse harmonique du régulateur PD:
  52. 52. Figure: Réponse harmonique du régulateur PD.Avantages: effet stabilisant et amélioration de la rapiditéLaction D apporte une amélioration notable du comportement dynamique, accélérantla vitesse de réaction du régulateur aux moindres variations de lerreur. Ainsi, unsignal derreur, si faible que soit son amplitude, pourra générer une réaction trèsénergique du régulateur si son taux de croissance est élevé. Laction D anticipedonc lévolution du système et a tendance à accélérer la propagation des signauxdans la boucle, comme le confirme la réponse harmonique ci-dessus, laquellemontre que les signaux de haute fréquence subissent une avance de phase tendantasymptotiquement vers . On peut dores et déjà déduire de cette constatation
  53. 53. que laction D a un effet plutôt favorable sur la stabilité du système asservi: il estdonc important de réaliser que laction D est plutôt stabilisante et améliore la rapiditédes systèmes. La figure 4.30 compare les réponses indicielles en boucle fermée,régulation de correspondance, avec des régulateurs P et PD de même gainproportionnel ; • Système à régler: • Régulateur P: • Régulateur PD:
  54. 54. Figure: Réponses indicielles en boucle fermée, pour un même système système asservi par un régulateur P puis un régulateur PD. Ce dernier offre, avec la même action proportionnelle ( dans les 2 cas) un comportement mieux amorti et tout à la fois plus dynamique.Outre le comportement moins oscillatoire du système asservi par un régulateur PD,on remarque que le système est plus rapide. Quant à la commande, on vérifie sur lafigure 4.31 quaprès une impulsion de grande amplitude suivant immédiatementlapplication du saut unité de consigne, elle change de signe pour "freiner" lesystème, lerreur étant déjà en train de décroître. Elle est par dailleurs en avance sur , contrairement à la commande purement proportionnelle.
  55. 55. Figure: Réponse indicielle en boucle fermée avec régulateur PD. La décomposition de la commande en ses contributions proportionnelle ( ) et dérivée ( ) montre bien leffet danticipation ("freinage") de laction D.Des contre-exemples démentant cette affirmation peuvent cependant être trouvés enrelevant que si que leffet davance de phase de laction D est favorable par le faitquil facilite la propagation des signaux dans la boucle, cette avance est néanmoinslimitée à la valeur (respectable) de , alors que le gain continue à croître sanslimite au rythme de . Il est donc plausible de se retrouver dans unesituation ou les davance que subit un signal haute fréquence sont en partie outotalement compensés par les retards propres au système à régler (par exempledans le cas dun système possédant un retard pur) alors que le gain reste à unevaleur élevée. Les méthodes danalyse harmonique étudiées ultérieurement (chap.6)permettront de quantifier précisément ce problème.Une conséquence directe de leffet danticipation de laction D est quil est a prioriplus facile de limiter les dépassements de la réponse indicielle avec un régulateur PDquavec un régulateur P ou PI: laction D apporte une contribution allant diminuant
  56. 56. dès le moment où lerreur décroît, introduisant ainsi un effet de freinage lors delapproche de la consigne. Dans ce sens, laction D est une commandeparticulièrement ``intelligente.Inconvénients: sensibilité aux bruits et précision statiqueUn inconvénient majeur de laction D est à rechercher au niveau de leffet des bruitsintervenant sur la mesure. Le dérivateur amplifie leffet des bruits et ceci dautant plusque ceux-ci se situent par nature dans une gamme de fréquences relativementélevées. On a en effet, dans le cas dun bruit sinusoïdal de fréquence : Figure: Prise en compte de la présence bruit sur la mesure.En conséquence, la commande peut être savérer inutilisable, malmenant le système àrégler et notamment lactionneur par des à-coups très violents. Il sagit là dun problème trèsimportant auquel on se heurte presque toujours en pratique. Une ébauche de remède seraproposée au paragraphe 4.4.5.Un problème lié à la très grande dynamique de la réaction du terme D apparaîtégalement lorsque la consigne varie brutalement; le système à régler ayant toujoursde linertie, i.e. son temps de réaction nétant pas infiniment court, la variation brutalede la consigne se reflète instantanément sur lerreur, dont la dérivée peut amener la
  57. 57. commande à des valeurs très élevées, comme le montre la réponse indicielle durégulateur PD. Pratiquement, lamplitude de la commande est toujours limitée, neserait-ce que • naturellement, car la puissance disponible bien sûr elle aussi limitée, ou encore • artificiellement à des fins de protection de lactionneur. Figure 4.33: Limitation volontaire de la grandeur de commande.En conséquence, il est très vraisemblable quà la suite dune variation trop rapide dela consigne, une saturation de la commande u(t) intervienne, faisant ainsi travailler lesystème en régime non-linéaire. Outre le fait quune telle situation est anormale et nedevrait pas se prolonger, cela signifie que le modèle du système à régler necorrespond plus à celui adopté. Lanalyse et la prédiction de comportement, si ellereste possible, devient néanmoins plus difficile. En pratique, on évite donc dexciterun système asservi avec des signaux à flancs abrupts comme le saut unité en est unexemple. Ce dernier est et reste donc plutôt un signal danalyse réservé àlidentification de la fonction de transfert du système à régler ou plussimplement aux études théoriques. Une alternative consiste à filtrer la consigne afinde limiter ses variations (figure 4.34). Figure: Filtrage de la consigne afin déviter les saturations de la commande.
  58. 58. Dautre part, si laction D est particulièrement bénéfique en régime transitoire, lorsquela consigne et/ou la grandeur réglée évoluent, offrant une meilleure précisiondynamique, il nen va pas de même en régime permanent où la contribution dérivéeest dautant plus faible que lerreur varie peu: elle est même nulle lorsque lerreur estconstante! De ce fait, il est exclu, dans le contexte dun système asservi, de mettreen oeuvre un régulateur à action D seule. Un tel régulateur serait très efficace enrégime dynamique mais savérerait bien sûr totalement inopérant en régimepermanent constant, incapable de réagir dans le cas pourtant le plus facile, i.e. celuiou lerreur est constante. Pour lexemple de la régulation de vitesse de moteur DCprécédemment étudié, cela signifie quune erreur de vitesse constante ne généreraitaucune tension aux bornes de linduit: !Laction D naméliore donc pas directement la précision en régime permanent, cettetâche étant à la charge de laction P voire de laction I si un régulateur comprenantles trois types dactions P, I et D est mis en oeuvre. En conséquence, on notera quelaction D ne permettant pas la transmission dun signal constant, elle doit donctoujours saccompagner au moins dune action P en parallèle (régulateur PD).Toutefois, par le fait que laction D est plutôt stabilisante, le gain de laction P peutparfois être ajusté à une valeur plus élevée en minimisant le risque dinstabilité: laprécision en régime permanent peut être ainsi améliorée indirectement par lactiondérivée.Régulateur PD réalisableLopérateur effectuant la dérivée du signal derreur nest pas réalisable physiquement; en effet,lexamen de son lieu de Bode montre que son gain tend vers linfini en même tempsque la fréquence du signal. La puissance de celui-ci est alors, dans le cas dun signalsinusoïdal damplitude unitaire:Cette puissance tend vers linfini lorsque en fait autant, ce qui rend caduque laréalisation dun dérivateur pur. Il faut donc sattendre à ce quà partir dune certaine
  59. 59. fréquence, le gain du dérivateur réel cesse daugmenter au rythme de et se stabilise à une valeur constante avant même de décroître. Lesfréquences caractéristiques correspondantes sont liées aux imperfections inévitablesde la réalisation, telle que par exemple la bande passante finie des amplificateursopérationnels, les capacités parasites des étages amplificateurs ou plus simplementdes résistances, tout autant déléments qui provoquent une atténuation du gain àpartir dune fréquence plus ou moins élevée.En pratique, les conséquences sont négligeables, eu égard à la gamme desfréquences auxquelles ces phénomènes parasites interviennent. Qui plus est, onsouhaitera même dans certains cas amplifier leur effet en complétant délibérémentlaction D par un filtrage passe-bas de pulsation caractéristique nettement plusbasse. La raison à cela est dordre essentiellement pratique: on souhaite par ce biaisatténuer leffet des bruits. Aussi le régulateur PD réalisé a-t-il souvent pour fonctionde transfert:où est un coefficient ajustable nommé facteur davance de phase valant en général à . Figure: Schéma fonctionnel dun régulateur PD réalisable.Ce régulateur est parfois appelé régulateur à avance de phase, en raison de lavanceprovisoire quil apporte à la phase, comme le montre sa réponse harmonique:
  60. 60. Figure: Réponse harmonique dun régulateur PD réalisable.Le calcul et le tracé de la réponse indicielle de ce régulateur sont faits en exercice.Régulateur industriel PIDLe régulateur Proportionnel-Intégral-Dérivée est la combinaison des trois actions debase P, I et D. Grâce au terme I, il permet lannulation dune erreur statique tout enautorisant des performances de rapidité supérieures à un régulateur PI. • Loi de commande du régulateur PID:
  61. 61. • Fonction de transfert du régulateur PID:• Schéma fonctionnel du régulateur PID: Figure: Schéma fonctionnel du régulateur PID.• Réponse indicielle du régulateur PID: Figure: Réponse indicielle du régulateur PID.• Réponse harmonique du régulateur PID:
  62. 62. Figure: Réponse harmonique du régulateur PID.Pour établir les fonctions de transfert des régulateurs PD et PID, on a supposé que ledérivateur pur était réalisable. Ceci explique pourquoi les expressions deobtenuespossèdent plus de zéros que de pôles ( ). Cette supposition se justifie pourautant que les phénomènes parasites qui interdisent la construction dun dérivateur purinterviennent à des fréquences nettement supérieures à la zone de travail du régulateur, ce quiest en principe le cas. On peut donc souvent les prendre telles quelles pour les tracés deréponses indicielles ou harmoniques.
  63. 63. En réalité, tout système physiquement réalisable possède plus de pôles que dezéros ( ), ce qui se traduit concrètement par le fait que le gain detout système finit par décroître et déphaser les signaux lorsque la fréquence estsuffisamment élevée. Notons que cette affirmation rend également impossible laréalisation dun gain pur ( )! Figure: Allures générales des gains de systèmes à degré relatif , et . Seul ce dernier est physiquement réalisable.Le calcul suivant montre cela pour un système dynamique linéaire dordre , ayant zéros et de type (i.e. ayant pôles en ):"Hit parade" des régulateurs classiques
  64. 64. Figure: "Hit parade" des régulateurs classiques. Tableau: Résumé des effets respectifs des actions P, I, et D. Action Avantage Désavantage P dynamique ne permet pas dannuler une erreur statique I annulation derreur action lente, ralentit le statique, amélioration de système (effet la robustesse déstabilisant) D action très dynamique, sensibilité aux bruits améliore la rapidité forte sollicitation de (effet stabilisant) lorgane de commandeMéthodes empiriques de synthèse (selon[1])En 1942, Ziegler et Nichols ont proposé deux approches expérimentales destinées à ajusterrapidement les paramètres des régulateurs P, PI et PID. La première nécessite lenregistrementde la réponse indicielle du système à régler seul ( ), alors que la deuxième demandedamener le système en boucle fermée à sa limite de stabilité.Il est important de souligner que ces méthodes ne sappliquent en général quà dessystèmes sans comportement oscillant et dont le déphasage en hautes fréquencesdépasse . Ces systèmes possèdent souvent un retard pur et/ou plusieurs
  65. 65. constantes de temps. On les rencontre surtout dans les processus physico-chimiques tels que les réglages de température, de niveau, de pression, etc.Méthode de Ziegler-Nichols en boucle ouverte (premièreméthode de Ziegler-Nichols)Sur lenregistrement de la réponse indicielle du seul système à régler (cest-à-dire sans lerégulateur), on trace la tangente au point dinflexion Q de la courbe. On mesure ensuite lestemps correspondant au point dintersection entre labscisse et la tangente ainsi que letemps . Figure: Réponse indicielle du système à régler seul: on mesure les temps et .On peut alors calculer les coefficients du régulateur choisi à laide du tableau 4.5.1:Tableau: Ajustage de gains de régulateur P, PI et PID selon la première méthode de Ziegler- Nichols. Type P - -
  66. 66. PI - PIDGénéralement les gains proportionnels ( ) proposés par Ziegler-Nichols sont trop élevés etconduisent à un dépassement supérieur à . Il ne faut donc pas craindre de réduire cesgains dun facteur pour obtenir une réponse satisfaisante. Une illustration de cette démarcheest donnée ci-dessous.ExempleConsidérant la réponse indicielle dun système apériodique (figure 4.42), on peut y mesurer: • la pente: • le temps :Du tableau de Ziegler-Nichols, on tire les trois paramètres du régulateur • , réduit de , ce qui donne • •La division par de la valeur du gain proportionnel permet dobtenir une réponse indicielletout à fait satisfaisante (deuxième graphe).
  67. 67. Figure: Réponse indicielle en boucle fermée, régulateur PID ajusté selon la première méthode de Ziegler Nichols.Méthode de Ziegler-Nichols en boucle fermée (secondeméthode de Ziegler-Nichols)Cette méthode nécessite de boucler le système sur un simple régulateur proportionnel dont onaugmente le gain jusquà amener le système à osciller de manière permanente (figure 4.44);on se trouve ainsi à la limite de stabilité du système. Après avoir relevé le gain critiqueet la période doscillation de la réponse, on peut calculer les paramètres du régulateurchoisi à laide du tableau 4.5.2: Tableau: Ajustage de gains de régulateur P, PI et PID selon la seconde méthode de Ziegler- Nichols. Type P - - PI -
  68. 68. PID Figure: Mise en oscillation dun système par contre-réaction.Les valeurs proposées par Ziegler et Nichols ont été testées dans de très nombreuses situationset il faut souligner quici également elles conduisent à un temps de montée relativement courtassorti dun dépassement élevé.Cette situation nétant pas toujours satisfaisante, on est amené à corriger légèrementles coefficients proposés et, en particulier, à diminuer le gain . Une modificationpossible est proposée ci-dessous. Tableau: Ajustage de gains de régulateur P, PI et PID selon la seconde méthode de Ziegler- Nichols. Type P - - PI - PIDIl est important de remarquer que les paramètres et proposés dans les méthodes deZiegler-Nichols ont été fixés dans un rapport constant égal à . Cela conduit, pour lerégulateur, à zéros confondus en
  69. 69. Auto-ajustement dun régulateur PIDUne expérience telle que celle proposée ci-dessus nest généralement pas admise en milieuindustriel car la maîtrise de lamplitude des oscillations est délicate et le risque dune perte destabilité est trop grand. Afin de contourner ce problème, on préfère créer les oscillationsentretenues à laide dun régulateur tout-ou-rien. Par le fait que lamplitude du signal decommande est limitée à , loscillation de la grandeur réglée sera également limitée(figure 4.45). Figure: Mise en oscillation contrôlée dun système asservi au moyen dun élément non- linéaire (caractéristique de relais).On notera quen régime permanent, le signal de commande est un signal carrédamplitude et que le signal réglé est périodique damplitude , mais nonsinusoïdal. Considérant, dans une première approximation, que cette amplitude nestpas très éloignée de celle du premier harmonique ( ) (on rappelle que lesystème à régler est typiquement de nature filtre passe-bas) et sachant quecelle dun signal carré vaut , on détermine le gain du système pour cettefréquence en effectuant le rapport des harmoniques dordre 1.Linverse de ce gain nest autre que le gain critique quil faut placer dansle régulateur pour transformer lensemble en un système oscillant de manière
  70. 70. permanente. On se trouve alors dans la situation décrite par Ziegler-Nichols dans laméthode en boucle fermée. Alors :En saidant du tableau de Ziegler-Nichols, on a ainsi la possibilité dobtenirexpérimentalement et automatiquement les paramètres dun régulateur PID.Il est intéressant de souligner que cette méthode ne nécessite aucune connaissancepréalable de linstallation à régler. Il suffit de lancer linstallation avec le régulateurtout-ou-rien puis, une fois les paramètres trouvés, de le commuter en réglageautomatique. Cette approche, dénommée méthode du relais, a été proposée en1984 par Äström et Hägglünd de luniversité de Lund en Suède.ExempleUne illustration de ces possibilités est donnée ci-dessous avec un système possédant 3constantes de temps et un retard pur dont la fonction de transfert vaut:
  71. 71. Figure: Méthode du relais: on mesure la période doscillation et son amplitude .Pour ce système, la méthode du relais nous donne une période de et un gaincritiqueA partir de là et du tableau de Ziegler-Nichols modifié, on en tire: • • •Lintroduction de ces paramètres dans le régulateur conduit à la réponse indicielle en bouclefermée illustrée sur la figure 4.46.Figure: Réponse indicielle en boucle fermée, régulateur PID ajusté selon la seconde méthode de Ziegler Nichols, avec laide de la technique du relais.Cette réponse est pratiquement optimale et est donc tout à fait satisfaisante. Il est intéressantde comparer les réponses indicielles obtenues par les 2 méthodes de Ziegler-Nichols. Dans les2 cas, le système était le même et on peut constater que les résultats sont assez proches malgrédes paramètres PID légèrement différents.
  72. 72. Enfin, il est important dinsister sur le fait que la méthode de Ziegler-Nichols enboucle fermée fonctionne relativement bien pour des systèmes sans comportementoscillant et dont le déphasage en hautes fréquences franchit les et quellenest pas applicable dans dautres situations.

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