Analyse d’une 
structure tendue 
Un câble d’ascenseur 
Conception de structures 
Automne 2012 
R. Pleau 
École d’architect...
Définition du problème 2 
Considérons une structure très simple constituée 
d’une cabine d’ascenseur (2,5 x 2,5 x 2,5 m) 
...
Définition du problème 2 
Considérons une structure très simple constituée 
d’une cabine d’ascenseur (2,5 x 2,5 x 2,5 m) 
...
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Considérons une structure très simple constituée 
d’une cabine d’ascenseur (2,5 x 2,5 x 2,5 m) 
...
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Considérons une structure très simple constituée 
d’une cabine d’ascenseur (2,5 x 2,5 x 2,5 m) 
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3 
Estimation 
des charges 
vendredi 7 septembre 12
Nature des charges 4 
On distingue deux types de charges : 
1 - les charges réparties sont distribuées plus ou 
moins unif...
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On distingue deux types de charges : 
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Classification des charges 5 
Les charges peuvent aussi être classées en deux autres catégories 
selon leur caractère perm...
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Classification des charges 6 
Dans notre exemple, la charge vive est une charge d’utilisation qui 
correspond au poids des...
Majoration des charges 7 
Pour assurer la sécurité des usagers d’un bâtiment, le C.N.B. 
(comme tous les autres codes nati...
Majoration des charges 7 
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(comme tous les autres codes nati...
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(comme tous les autres codes nati...
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Majoration des charges 8 
La charge totale majorée est donc obtenue de la façon suivante : 
Pf = 1,25 Pd + 1,5 PL 
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Majoration des charges 8 
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Pf = 1,25 Pd + 1,5 PL 
Où : Pd...
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Pf = 1,25 Pd + 1,5 PL 
Où : Pd...
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Unité de mesure des forces 9 
Par définition, une force est égale à une masse multipliée par une 
accélération : 
F = m × ...
Unité de mesure des forces 9 
Par définition, une force est égale à une masse multipliée par une 
accélération : 
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Unité de mesure des forces 9 
Par définition, une force est égale à une masse multipliée par une 
accélération : 
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Unité de mesure des forces 10 
En structure, on préfère utiliser le 
kilonewton (kN) comme unité de 
mesure des forces (1 ...
Unité de mesure des forces 10 
En structure, on préfère utiliser le 
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En structure, on préfère utiliser le 
kilonewton (kN) comme unité de 
mesure des forces (1 kN = 1000 N). 
Comme le kN est ...
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environ 1 tonne (10 kN) 
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Équilibre 
statique 
des forces 
vendredi 7 septembre 12
Nature vectorielle des forces 12 
Le câble doit supporter une force qui est constituée du 
poids de la cabine ainsi que de...
Nature vectorielle des forces 12 
Le câble doit supporter une force qui est constituée du 
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Nature vectorielle des forces 12 
Le câble doit supporter une force qui est constituée du 
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Nature vectorielle des forces 12 
Le câble doit supporter une force qui est constituée du 
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Nature vectorielle des forces 12 
Le câble doit supporter une force qui est constituée du 
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Diagramme de corps libre (DCL) 13 
vendredi 7 septembre 12
13 
Diagramme de corps libre (DCL) 
Le diagramme de corps libre (DCL) est une représentation 
graphique de la structure, o...
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Diagramme de corps libre (DCL) 
Le diagramme de corps libre (DCL) est une représentation 
graphique de la structure, o...
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Diagramme de corps libre (DCL) 
Le diagramme de corps libre (DCL) est une représentation 
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Diagramme de corps libre (DCL) 
Le diagramme de corps libre (DCL) est une représentation 
graphique de la structure, ou d’...
Force résultante 14 
On peut simplifier la représentation 
graphique en remplaçant l’ensemble 
des forces qui sollicitent ...
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On peut simplifier la représentation 
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des forces qui sollicitent ...
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DCL de la 
cabine isolée 
On peut simplifier la représentation 
graphique en remplaçant l’ensemble 
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Force résultante 14 
DCL de la 
cabine isolée 
+ centre de gravité 
Force 
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cabine isolée 
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Équilibre statique des forces 15 
Pour que la structure soit en équilibre 
statique (i.e. pour qu’elle ne bouge pas), il 
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statique (i.e. pour qu’elle ne bouge pas), il 
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Nature dynamique des forces 16 
Jusqu’à maintenant nous avons traité la cabine d’ascenseur 
comme un élément statique c’es...
Nature dynamique des forces 16 
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17 
Résistance 
des matériaux 
vendredi 7 septembre 12
Notion de contrainte 18 
Par définition, une contrainte (σ) est une force (F) qui s’exerce par 
unité de surface (A) : 
σ ...
Notion de contrainte 18 
Par définition, une contrainte (σ) est une force (F) qui s’exerce par 
unité de surface (A) : 
σ ...
Notion de contrainte 18 
Par définition, une contrainte (σ) est une force (F) qui s’exerce par 
unité de surface (A) : 
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Astuce 19 
Lorsque l’on effectue des calculs de structure, une bonne 
façon d’éviter les erreurs d’unité consiste à ramene...
Résistance des matériaux 20 
Pour chaque matériau de construction, on peut définir une 
contrainte admissible qui correspo...
Résistance des matériaux 20 
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Résistance des matériaux 21 
Cette contrainte admissible est majorée par un coefficient de 
tenue (φ), un facteur de sécur...
Effort résistant 22 
À chaque élément structural, on peut associer un effort 
résistant (à la traction, à la compression o...
Effort résistant 22 
À chaque élément structural, on peut associer un effort 
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Dimensionnement du câble 23 
Le dimensionnement du câble consiste à calculer quel est le 
diamètre minimal requis afin que...
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Exemple introduisant les notions qui seront approfondies dans les deux premières sections du cours (équilibre des forces et résistance des matériaux)

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1 introduction

  1. 1. Analyse d’une structure tendue Un câble d’ascenseur Conception de structures Automne 2012 R. Pleau École d’architecture, Université Laval vendredi 7 septembre 12
  2. 2. Définition du problème 2 Considérons une structure très simple constituée d’une cabine d’ascenseur (2,5 x 2,5 x 2,5 m) suspendue à un câble. vendredi 7 septembre 12
  3. 3. Définition du problème 2 Considérons une structure très simple constituée d’une cabine d’ascenseur (2,5 x 2,5 x 2,5 m) suspendue à un câble. représentation schématique de l’ascenseur vendredi 7 septembre 12
  4. 4. Définition du problème 2 Considérons une structure très simple constituée d’une cabine d’ascenseur (2,5 x 2,5 x 2,5 m) suspendue à un câble. représentation schématique de l’ascenseur Le problème structural consiste à dimensionner le câble en acier qui supporte la cabine (i.e. à déterminer le diamètre minimal que le câble doit posséder pour éviter qu’il ne se rompe sous le poids de la cabine et de ses occupants). vendredi 7 septembre 12
  5. 5. Définition du problème 2 Considérons une structure très simple constituée d’une cabine d’ascenseur (2,5 x 2,5 x 2,5 m) suspendue à un câble. représentation schématique de l’ascenseur Le problème structural consiste à dimensionner le câble en acier qui supporte la cabine (i.e. à déterminer le diamètre minimal que le câble doit posséder pour éviter qu’il ne se rompe sous le poids de la cabine et de ses occupants). Cet exemple très simple nous fournira l’occasion d’introduire différents concepts structuraux qui seront repris et traités en détails ultérieurement. vendredi 7 septembre 12
  6. 6. 3 Estimation des charges vendredi 7 septembre 12
  7. 7. Nature des charges 4 On distingue deux types de charges : 1 - les charges réparties sont distribuées plus ou moins uniformément sur une grande surface 2 - les charges ponctuelles sont appliquées sur une très petite surface. vendredi 7 septembre 12
  8. 8. Nature des charges 4 On distingue deux types de charges : 1 - les charges réparties sont distribuées plus ou moins uniformément sur une grande surface 2 - les charges ponctuelles sont appliquées sur une très petite surface. Dans notre exemple le poids de la cabine constitue une charge répartie alors que le poids des occupants constitue une série de charges ponctuelles. Puisque ces charges sont des charges de gravité, elles sont orientées verticalement vers le bas. vendredi 7 septembre 12
  9. 9. Classification des charges 5 Les charges peuvent aussi être classées en deux autres catégories selon leur caractère permanent ou temporaire : vendredi 7 septembre 12
  10. 10. Classification des charges 5 Les charges peuvent aussi être classées en deux autres catégories selon leur caractère permanent ou temporaire : Les charges permanentes (ou charges mortes). Ces charges (essentiellement le poids propre de la structure) sollicitent la structure en permanence et peuvent être évaluées assez précisément. vendredi 7 septembre 12
  11. 11. Classification des charges 5 Les charges peuvent aussi être classées en deux autres catégories selon leur caractère permanent ou temporaire : Les charges permanentes (ou charges mortes). Ces charges (essentiellement le poids propre de la structure) sollicitent la structure en permanence et peuvent être évaluées assez précisément. Les surcharges (ou charges vives). Ces charges (charges d’utilisation, vent, neige, séisme, etc.) sont par nature variables en intensité et en durée et sont beaucoup plus difficiles à évaluer. vendredi 7 septembre 12
  12. 12. Classification des charges 5 Les charges peuvent aussi être classées en deux autres catégories selon leur caractère permanent ou temporaire : Les charges permanentes (ou charges mortes). Ces charges (essentiellement le poids propre de la structure) sollicitent la structure en permanence et peuvent être évaluées assez précisément. Les surcharges (ou charges vives). Ces charges (charges d’utilisation, vent, neige, séisme, etc.) sont par nature variables en intensité et en durée et sont beaucoup plus difficiles à évaluer. Dans notre exemple, la charge morte correspondrait au poids de la cabine et cette donnée nous serait fournie par le fabricant. Pour les besoins de l’exercice, nous estimerons qu’elle est égale à 15 kN (i.e. 1 500 kg). vendredi 7 septembre 12
  13. 13. Classification des charges 6 Dans notre exemple, la charge vive est une charge d’utilisation qui correspond au poids des occupants de la cabine. Cette charge nous est imposée par le Code National du Bâtiment du Canada (C.N.B.) qui stipule que, pour ce type d’utilisation, on doit prendre en compte une charge vive uniformément répartie de 4,8 kN/m2 (i.e. environ 480 kg/m2) ce qui constitue une estimation conservatrice. La charge vive totale sera donc égale à : Charge vive = 4,8 kN/m2 × 2,5 m × 2,5 m = 30 kN (i.e. 3000 kg) vendredi 7 septembre 12
  14. 14. Majoration des charges 7 Pour assurer la sécurité des usagers d’un bâtiment, le C.N.B. (comme tous les autres codes nationaux) exige que les charges soient majorées (ou pondérées) par un facteur de sécurité. Ce facteur tient compte de la probabilité que la charge puisse excéder la valeur estimée pour diverses raisons qui sont, par nature, imprévisibles comme par exemple : vendredi 7 septembre 12
  15. 15. Majoration des charges 7 Pour assurer la sécurité des usagers d’un bâtiment, le C.N.B. (comme tous les autres codes nationaux) exige que les charges soient majorées (ou pondérées) par un facteur de sécurité. Ce facteur tient compte de la probabilité que la charge puisse excéder la valeur estimée pour diverses raisons qui sont, par nature, imprévisibles comme par exemple : - un changement de vocation du bâtiment ou une utilisation abusive (par exemple une salle de classe que l’on utilise comme salle d’entreposage) vendredi 7 septembre 12
  16. 16. Majoration des charges 7 Pour assurer la sécurité des usagers d’un bâtiment, le C.N.B. (comme tous les autres codes nationaux) exige que les charges soient majorées (ou pondérées) par un facteur de sécurité. Ce facteur tient compte de la probabilité que la charge puisse excéder la valeur estimée pour diverses raisons qui sont, par nature, imprévisibles comme par exemple : - un changement de vocation du bâtiment ou une utilisation abusive (par exemple une salle de classe que l’on utilise comme salle d’entreposage) - une erreur de calcul vendredi 7 septembre 12
  17. 17. Majoration des charges 7 Pour assurer la sécurité des usagers d’un bâtiment, le C.N.B. (comme tous les autres codes nationaux) exige que les charges soient majorées (ou pondérées) par un facteur de sécurité. Ce facteur tient compte de la probabilité que la charge puisse excéder la valeur estimée pour diverses raisons qui sont, par nature, imprévisibles comme par exemple : - un changement de vocation du bâtiment ou une utilisation abusive (par exemple une salle de classe que l’on utilise comme salle d’entreposage) - une erreur de calcul - un événement exceptionnel et imprévisible (tempête de neige, ouragan, explosion, etc.) vendredi 7 septembre 12
  18. 18. Majoration des charges 8 La charge totale majorée est donc obtenue de la façon suivante : Pf = 1,25 Pd + 1,5 PL vendredi 7 septembre 12
  19. 19. Majoration des charges 8 La charge totale majorée est donc obtenue de la façon suivante : Pf = 1,25 Pd + 1,5 PL Où : Pd = charge morte (l’indice d signifie dead load) PL = charge vive (l’indice L signifie live load) Pf = charge totale majorée (l’indice f signifie factored load) vendredi 7 septembre 12
  20. 20. Majoration des charges 8 La charge totale majorée est donc obtenue de la façon suivante : Pf = 1,25 Pd + 1,5 PL Où : Pd = charge morte (l’indice d signifie dead load) PL = charge vive (l’indice L signifie live load) Pf = charge totale majorée (l’indice f signifie factored load) L’indice de majoration est plus élevé pour les charges vives que pour les charges mortes parce que ces charges sont plus difficiles à évaluer. vendredi 7 septembre 12
  21. 21. Majoration des charges 8 La charge totale majorée est donc obtenue de la façon suivante : Pf = 1,25 Pd + 1,5 PL Où : Pd = charge morte (l’indice d signifie dead load) PL = charge vive (l’indice L signifie live load) Pf = charge totale majorée (l’indice f signifie factored load) L’indice de majoration est plus élevé pour les charges vives que pour les charges mortes parce que ces charges sont plus difficiles à évaluer. Pour notre exemple on trouve que : Pf = (1,25 × 15) + (1,5 x 30) = 64 kN vendredi 7 septembre 12
  22. 22. Unité de mesure des forces 9 Par définition, une force est égale à une masse multipliée par une accélération : F = m × a vendredi 7 septembre 12
  23. 23. Unité de mesure des forces 9 Par définition, une force est égale à une masse multipliée par une accélération : F = m × a Dans le système international d’unités (S.I.), la masse s’exprime en kilogrammes (kg), l’accélération en mètres par secondes au carré (m/s2) et la force en Newtons (N). Par définition on a donc : 1 N = 1 kg m / s2 vendredi 7 septembre 12
  24. 24. Unité de mesure des forces 9 Par définition, une force est égale à une masse multipliée par une accélération : F = m × a Dans le système international d’unités (S.I.), la masse s’exprime en kilogrammes (kg), l’accélération en mètres par secondes au carré (m/s2) et la force en Newtons (N). Par définition on a donc : 1 N = 1 kg m / s2 L’accélération gravitationnelle étant égale à environ 10 m/s2 (la valeur exacte est 9,81 m/s2), une force de 1 N correspond approximativement à un poids de 100 g (1 N ≈ 0,1 kg × 10 m/s2) ce qui constitue une unité de mesure très faible. vendredi 7 septembre 12
  25. 25. Unité de mesure des forces 10 En structure, on préfère utiliser le kilonewton (kN) comme unité de mesure des forces (1 kN = 1000 N). Comme le kN est une unité de mesure abstraite, on peut mieux prendre conscience de sa signification en se rappelant que : vendredi 7 septembre 12
  26. 26. Unité de mesure des forces 10 En structure, on préfère utiliser le kilonewton (kN) comme unité de mesure des forces (1 kN = 1000 N). Comme le kN est une unité de mesure abstraite, on peut mieux prendre conscience de sa signification en se rappelant que : 1 kN ≈ 100 kg (i.e. le poids d’un joueur de football !) vendredi 7 septembre 12
  27. 27. En structure, on préfère utiliser le kilonewton (kN) comme unité de mesure des forces (1 kN = 1000 N). Comme le kN est une unité de mesure abstraite, on peut mieux prendre conscience de sa signification en se rappelant que : 10 environ 1 kN Unité de mesure des forces 1 kN ≈ 100 kg (i.e. le poids d’un joueur de football !) vendredi 7 septembre 12
  28. 28. En structure, on préfère utiliser le kilonewton (kN) comme unité de mesure des forces (1 kN = 1000 N). Comme le kN est une unité de mesure abstraite, on peut mieux prendre conscience de sa signification en se rappelant que : 10 environ 1 kN Unité de mesure des forces 1 kN ≈ 100 kg (i.e. le poids d’un joueur de football !) 10 kN ≈ 1000 kg ≈ 1 tonne (i.e. le poids d’une voiture compacte) vendredi 7 septembre 12
  29. 29. environ 1 tonne (10 kN) En structure, on préfère utiliser le kilonewton (kN) comme unité de mesure des forces (1 kN = 1000 N). Comme le kN est une unité de mesure abstraite, on peut mieux prendre conscience de sa signification en se rappelant que : 10 environ 1 kN Unité de mesure des forces 1 kN ≈ 100 kg (i.e. le poids d’un joueur de football !) 10 kN ≈ 1000 kg ≈ 1 tonne (i.e. le poids d’une voiture compacte) vendredi 7 septembre 12
  30. 30. 11 Équilibre statique des forces vendredi 7 septembre 12
  31. 31. Nature vectorielle des forces 12 Le câble doit supporter une force qui est constituée du poids de la cabine ainsi que de celui de ses occupants. vendredi 7 septembre 12
  32. 32. Nature vectorielle des forces 12 Le câble doit supporter une force qui est constituée du poids de la cabine ainsi que de celui de ses occupants. Une force est une entité vectorielle à laquelle on associe une intensité et une direction. vendredi 7 septembre 12
  33. 33. Nature vectorielle des forces 12 Le câble doit supporter une force qui est constituée du poids de la cabine ainsi que de celui de ses occupants. Une force est une entité vectorielle à laquelle on associe une intensité et une direction. Graphiquement elle est représentée par une flèche dont la pointe indique la direction de la force et dont la longueur est proportionnelle à son intensité. vendredi 7 septembre 12
  34. 34. Nature vectorielle des forces 12 Le câble doit supporter une force qui est constituée du poids de la cabine ainsi que de celui de ses occupants. Une force est une entité vectorielle à laquelle on associe une intensité et une direction. Graphiquement elle est représentée par une flèche dont la pointe indique la direction de la force et dont la longueur est proportionnelle à son intensité. vendredi 7 septembre 12
  35. 35. Nature vectorielle des forces 12 Le câble doit supporter une force qui est constituée du poids de la cabine ainsi que de celui de ses occupants. Une force est une entité vectorielle à laquelle on associe une intensité et une direction. Graphiquement elle est représentée par une flèche dont la pointe indique la direction de la force et dont la longueur est proportionnelle à son intensité. vendredi 7 septembre 12
  36. 36. Diagramme de corps libre (DCL) 13 vendredi 7 septembre 12
  37. 37. 13 Diagramme de corps libre (DCL) Le diagramme de corps libre (DCL) est une représentation graphique de la structure, ou d’une partie de la structure, avec toutes les forces qui la sollicitent. vendredi 7 septembre 12
  38. 38. 13 Diagramme de corps libre (DCL) Le diagramme de corps libre (DCL) est une représentation graphique de la structure, ou d’une partie de la structure, avec toutes les forces qui la sollicitent. DCL de la structure entière vendredi 7 septembre 12
  39. 39. 13 Diagramme de corps libre (DCL) Le diagramme de corps libre (DCL) est une représentation graphique de la structure, ou d’une partie de la structure, avec toutes les forces qui la sollicitent. DCL de la cabine isolée DCL de la structure entière vendredi 7 septembre 12
  40. 40. Diagramme de corps libre (DCL) Le diagramme de corps libre (DCL) est une représentation graphique de la structure, ou d’une partie de la structure, avec toutes les forces qui la sollicitent. DCL de l’appui au toit 13 DCL de la cabine isolée DCL de la structure entière vendredi 7 septembre 12
  41. 41. Force résultante 14 On peut simplifier la représentation graphique en remplaçant l’ensemble des forces qui sollicitent la cabine par une seule force résultante équivalente. vendredi 7 septembre 12
  42. 42. Force résultante 14 On peut simplifier la représentation graphique en remplaçant l’ensemble des forces qui sollicitent la cabine par une seule force résultante équivalente. Cette force résultante est obtenue en faisant l’addition des forces individuelles et elle est appliquée en un point appelé le centre de gravité (la notion de centre de gravité sera abordée dans un cours ultérieur). vendredi 7 septembre 12
  43. 43. Force résultante 14 DCL de la cabine isolée On peut simplifier la représentation graphique en remplaçant l’ensemble des forces qui sollicitent la cabine par une seule force résultante équivalente. Cette force résultante est obtenue en faisant l’addition des forces individuelles et elle est appliquée en un point appelé le centre de gravité (la notion de centre de gravité sera abordée dans un cours ultérieur). vendredi 7 septembre 12
  44. 44. Force résultante 14 DCL de la cabine isolée + centre de gravité Force résultante DCL de la cabine isolée On peut simplifier la représentation graphique en remplaçant l’ensemble des forces qui sollicitent la cabine par une seule force résultante équivalente. Cette force résultante est obtenue en faisant l’addition des forces individuelles et elle est appliquée en un point appelé le centre de gravité (la notion de centre de gravité sera abordée dans un cours ultérieur). vendredi 7 septembre 12
  45. 45. Équilibre statique des forces 15 Pour que la structure soit en équilibre statique (i.e. pour qu’elle ne bouge pas), il faut que la somme des forces qui s’exercent sur elle soit nulle (Σ F = 0). vendredi 7 septembre 12
  46. 46. Équilibre statique des forces 15 Pour que la structure soit en équilibre statique (i.e. pour qu’elle ne bouge pas), il faut que la somme des forces qui s’exercent sur elle soit nulle (Σ F = 0). 64 kN 64 kN DCL de la cabine isolée Puisque la cabine est soumise à une force de 64 kN vers le bas, le câble qui la soutient doit générer une force de 64 kN dirigée vers le haut. Le câble est donc soumis à une force de traction de 64 kN. vendredi 7 septembre 12
  47. 47. Nature dynamique des forces 16 Jusqu’à maintenant nous avons traité la cabine d’ascenseur comme un élément statique c’est-à-dire un corps rigide immobile. vendredi 7 septembre 12
  48. 48. Nature dynamique des forces 16 Jusqu’à maintenant nous avons traité la cabine d’ascenseur comme un élément statique c’est-à-dire un corps rigide immobile. Comme l’analyse des forces dynamiques est difficile, on remplace souvent ces forces par des forces statiques équivalentes en adoptant des hypothèses conservatrices (on préfère surestimer que sous-estimer les charges). vendredi 7 septembre 12
  49. 49. Nature dynamique des forces 16 Jusqu’à maintenant nous avons traité la cabine d’ascenseur comme un élément statique c’est-à-dire un corps rigide immobile. Comme l’analyse des forces dynamiques est difficile, on remplace souvent ces forces par des forces statiques équivalentes en adoptant des hypothèses conservatrices (on préfère surestimer que sous-estimer les charges). Dans le cas d’un câble d’ascenseur, les normes canadiennes recommandent de tripler les forces statiques pour prendre en compte les effets dynamiques (et l’usure possible des câbles) et assurer la sécurité des occupants. vendredi 7 septembre 12
  50. 50. Nature dynamique des forces 16 Jusqu’à maintenant nous avons traité la cabine d’ascenseur comme un élément statique c’est-à-dire un corps rigide immobile. Comme l’analyse des forces dynamiques est difficile, on remplace souvent ces forces par des forces statiques équivalentes en adoptant des hypothèses conservatrices (on préfère surestimer que sous-estimer les charges). Dans le cas d’un câble d’ascenseur, les normes canadiennes recommandent de tripler les forces statiques pour prendre en compte les effets dynamiques (et l’usure possible des câbles) et assurer la sécurité des occupants. Pour dimensionner notre câble nous prendrons donc en compte une force de tension de 192 kN (3 x 64 kN). vendredi 7 septembre 12
  51. 51. 17 Résistance des matériaux vendredi 7 septembre 12
  52. 52. Notion de contrainte 18 Par définition, une contrainte (σ) est une force (F) qui s’exerce par unité de surface (A) : σ = F / A vendredi 7 septembre 12
  53. 53. Notion de contrainte 18 Par définition, une contrainte (σ) est une force (F) qui s’exerce par unité de surface (A) : σ = F / A Dans le système international d’unités (S.I.), les forces sont exprimées en Newtons (N), les surfaces en mètres carré (m2) et les contraintes en Pascal (Pa). Par définition on a donc que: 1 Pa = 1 N/m2 (i.e. environ 100 g/m2) vendredi 7 septembre 12
  54. 54. Notion de contrainte 18 Par définition, une contrainte (σ) est une force (F) qui s’exerce par unité de surface (A) : σ = F / A Dans le système international d’unités (S.I.), les forces sont exprimées en Newtons (N), les surfaces en mètres carré (m2) et les contraintes en Pascal (Pa). Par définition on a donc que: 1 Pa = 1 N/m2 (i.e. environ 100 g/m2) Un Pa est donc une unité de mesure très faible et, en structure, on préfère utiliser le kiloPascal (kPa) ou le mégaPascal (MPa) : 1 kPa = 1000 Pa = 1000 N/m2 = 1 kN/m2 (100 kg/m2) 1 MPa = 1 000 000 Pa = 1 000 000 N/m2 = 1 N/mm2 (10 kg/cm2) vendredi 7 septembre 12
  55. 55. Astuce 19 Lorsque l’on effectue des calculs de structure, une bonne façon d’éviter les erreurs d’unité consiste à ramener toutes les forces en N, toutes les dimensions en mm et toutes les contraintes en MPa puisque 1 MPa = 1 N/mm2 vendredi 7 septembre 12
  56. 56. Résistance des matériaux 20 Pour chaque matériau de construction, on peut définir une contrainte admissible qui correspond à la contrainte maximale que le matériau peut supporter sans se rompre. Le tableau ci-dessous donne la valeur approximative de la contrainte admissible associée aux principaux matériaux de construction. vendredi 7 septembre 12
  57. 57. Résistance des matériaux 20 Pour chaque matériau de construction, on peut définir une contrainte admissible qui correspond à la contrainte maximale que le matériau peut supporter sans se rompre. Le tableau ci-dessous donne la valeur approximative de la contrainte admissible associée aux principaux matériaux de construction. Contrainte admissible (MPa) Matériau Compression Tension Acier de charpente Acier pour câbles Bois de sciage Bois lamellé-collé Béton armé 350 1000 13 30 20 à 40 350 1000 6 20 ≈ 0 vendredi 7 septembre 12
  58. 58. Résistance des matériaux 20 Pour chaque matériau de construction, on peut définir une contrainte admissible qui correspond à la contrainte maximale que le matériau peut supporter sans se rompre. Le tableau ci-dessous donne la valeur approximative de la contrainte admissible associée aux principaux matériaux de construction. Contrainte admissible (MPa) Matériau Compression Tension Acier de charpente Acier pour câbles Bois de sciage Bois lamellé-collé Béton armé 350 1000 13 30 20 à 40 350 1000 6 20 ≈ 0 Pour prévenir la rupture, il faut donc s’assurer que les contraintes qui sollicitent les divers éléments d’une structure n’excèdent jamais la contrainte admissible du matériau. vendredi 7 septembre 12
  59. 59. Résistance des matériaux 21 Cette contrainte admissible est majorée par un coefficient de tenue (φ), un facteur de sécurité qui tient compte de la variabilité associée aux propriétés du matériau : φ = 0,9 pour l’acier φ = 0,7 pour le bois φ = 0,6 pour le béton vendredi 7 septembre 12
  60. 60. Effort résistant 22 À chaque élément structural, on peut associer un effort résistant (à la traction, à la compression ou à la flexion) qui correspond à l’effort maximal que peut supporter l’élément avant que la contrainte maximale n’excède la contrainte admissible du matériau ce qui amènerait la rupture de l’élément. vendredi 7 septembre 12
  61. 61. Effort résistant 22 À chaque élément structural, on peut associer un effort résistant (à la traction, à la compression ou à la flexion) qui correspond à l’effort maximal que peut supporter l’élément avant que la contrainte maximale n’excède la contrainte admissible du matériau ce qui amènerait la rupture de l’élément. effort de traction (T) Si on admet que le câble est soumis à une contrainte d de traction uniforme (σ), l’effort résistant (Tr) est égal à : câble contrainte uniforme (σ) Diagramme de corps libre d’une section de câble vendredi 7 septembre 12
  62. 62. Effort résistant 22 À chaque élément structural, on peut associer un effort résistant (à la traction, à la compression ou à la flexion) qui correspond à l’effort maximal que peut supporter l’élément avant que la contrainte maximale n’excède la contrainte admissible du matériau ce qui amènerait la rupture de l’élément. Si on admet que le câble est soumis à une contrainte d de traction uniforme (σ), l’effort résistant (Tr) est égal à : Tr = φ σadm A où φ = coefficient de tenue du matériau σadm = contrainte admissible du matériau A = aire de la section du câble = π d2 / 4 d = diamètre du câble effort de traction (T) câble contrainte uniforme (σ) Diagramme de corps libre d’une section de câble vendredi 7 septembre 12
  63. 63. Dimensionnement du câble 23 Le dimensionnement du câble consiste à calculer quel est le diamètre minimal requis afin que l’effort de traction imposé au câble par les charges majorées (Tf) ne dépasse pas son effort résistant (Tr) d’où : vendredi 7 septembre 12
  64. 64. Dimensionnement du câble 23 Le dimensionnement du câble consiste à calculer quel est le diamètre minimal requis afin que l’effort de traction imposé au câble par les charges majorées (Tf) ne dépasse pas son effort résistant (Tr) d’où : Tf < Tr = φ σadm π d2 4 vendredi 7 septembre 12
  65. 65. Dimensionnement du câble Le dimensionnement du câble consiste à calculer quel est le diamètre minimal requis afin que l’effort de traction imposé au câble par les charges majorées (Tf) ne dépasse pas son effort résistant (Tr) d’où : Tf < Tr = φ σadm π d2 4 23 En isolant d, on obtient que : d > 4 Tf φ σadm π vendredi 7 septembre 12
  66. 66. Dimensionnement du câble Le dimensionnement du câble consiste à calculer quel est le diamètre minimal requis afin que l’effort de traction imposé au câble par les charges majorées (Tf) ne dépasse pas son effort résistant (Tr) d’où : Tf < Tr = φ σadm π d2 4 En admettant que φ = 0,9 et σadm = 1000 MPa pour l’acier utilisé, on trouve que : 23 En isolant d, on obtient que : d > 4 Tf φ σadm π vendredi 7 septembre 12
  67. 67. Dimensionnement du câble Le dimensionnement du câble consiste à calculer quel est le diamètre minimal requis afin que l’effort de traction imposé au câble par les charges majorées (Tf) ne dépasse pas son effort résistant (Tr) d’où : Tf < Tr = φ σadm π d2 4 En isolant d, on obtient que : d > 4 Tf φ σadm π En admettant que φ = 0,9 et σadm = 1000 MPa pour l’acier utilisé, on trouve que : 23 d > 4 x 192 000 N = 16.5 mm 0,9 x 1000 MPa x 3,1416 vendredi 7 septembre 12

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