Niveau : Licence pétrochimie – troisième
semestre
Université du 20 aout 55 – Skikda
Calcul vectoriel et matriciel
2.1. Introduction.
2.2. Les vecteurs : déclaration, accès a un élément, calculs
vectoriels.
...
2-1-Introduction :
Matlab était conçu à l’origine pour permettre aux
mathématiciens, scientifiques et ingénieurs d‘utilise...
2-2-Vecteur:
Un vecteur est une liste ordonnée d’éléments. Si les
éléments sont arrangés horizontalement on dit que
le vec...
2-2-Vecteur:
Pour créer un vecteur ligne il suffit d’écrire la liste de
ses composants entre crochets [ ] et de les séparé...
2-2-Vecteur:
Pour créer un vecteur colonne il est possible
d’utiliser une des méthodes suivantes :
écrire les composants ...
2-2-Vecteur:
écrire verticalement le vecteur :
>> U = [
4
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1

]
U=
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Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
2-2-Vecteur:
calculer le transposé d’un vecteur ligne :
>> U = [ 4 -2 1 ]'

% Création d’un vecteur colonne U

U=
4
-2

1...
2-2-Vecteur - calcul vectoriels :
Définition automatique d’un vecteur:
Si les composants d’un vecteur X sont ordonnés
avec...
2-2-Vecteur - calcul vectoriels :
Définition automatique d’un vecteur:
>> X = [0:2:10] % Les nombres pairs < 12 A = [1 2 3...
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Référencement
vecteur :

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accès

aux

éléments

d’un

nom_vecteur ( positions )

Les ...
2-2-Vecteur - calcul vectoriels :
Référencement
vecteur :

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d’un

>> V(2:4)
% de la 2ème position...
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Référencement
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et

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d’un

>> V(9) = 5
% ajouter un 9ème
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Les opérations sur les vecteurs :
Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des...
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Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des...
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Les opérations sur les vecteurs :
Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des...
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Les opérations sur les vecteurs :
Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des...
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Les opérations sur les vecteurs :
Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des...
2- 3- La fonction Linspace :
La fonction Linspace :
La création d’un vecteur dont les composants sont ordonnés
par interva...
2- 3- La fonction Linspace :
La fonction Linspace :
>> X = linspace(1,10,4)

% un vecteur de quatre élément de 1 à 10

X=
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2-4- Matrice :
Définition d’une matrice :
Une matrice est un tableau rectangulaire
d’éléments (bidimensionnels), pour crée...
2-4- Matrice :
Définition d’une matrice :
Pour illustrer, considérant la matrice suivante :
On peu écrire:
>> A = [1,2,3,4...
2-4- Matrice :
Référencement et accès aux éléments d’une
matrice :
nom_matrice ( numéro de ligne, numéro de colonne )
Numé...
2-4- Matrice :
Référencement
vecteur :

et

accès

aux

éléments

d’un

L’accès à un élément de la ligne i et la colonne ...
2-4- Matrice :
Référencement
vecteur :
>> A(2,3)
>> A(1,:)
>> A(:,2)
>> A(2:3,:)
>> A(1:2,3:4)

et

accès

aux

éléments

...
2-4- Matrice :
Référencement et accès aux éléments d’une
matrice :
>> A([1,3],[2,4])
>> A(:,3) = []
>> A(2,:) = []
>> A = ...
2-5- Instructions pour la génération
automatique de matrices spécifiques :
Définition automatique d’une matrice :
>> A = [...
2-6- Les opérations de base sur les
matrices :
Les opérations sur les matrices :
Entre deux matrice, il est possible de ré...
2-6- Les opérations de base sur les
matrices :
Les opérations sur les matrices :

Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
2-6- Les opérations de base sur les
matrices :
Les opérations sur les matrices :

Le produit matriciel est :
associatif : ...
2-6- Les opérations de base sur les
matrices :
Les opérations sur les matrices :
L’inverse d’une matrice carrée:

Le nombr...
2-6- Les opérations de base sur les
matrices :
Les opérations sur les matrices :
>> A=ones(2,3);
>> B=zeros(3,2)
>> B=B+3
...
2-6- Les opérations de base sur les
matrices :
Les opérations sur les matrices :
Concaténation de matrices:
>> A = [1,2,3,...
2-6- Les opérations de base sur les
matrices :
Les conditions des opérations sur les matrices :
‘ Le transposé : aucune co...
2-7- Quelques fonctions pour le
traitement des matrices :
Voici quelques fonctions pour le traitement de
Size
% La taille ...
2-8- Résolution d’un systèmes linéaires :
Tout système linéaire peut être représenté sous
forme matricielle. La résolution...
2-8- Résolution d’un systèmes linéaires :
Résoudre ce système d'équations, c'est trouver X
tel que:
AX = B
X = inv(A)*B ou...
2-8- Résolution d’un systèmes linéaires :
Soit le système d'équations paramétriques :

On cherche à exprimer x1, x2 et x3 ...
2-8- Résolution d’un systèmes linéaires :
Soit le système de 2 équations à 2 inconnues :
2x1 + 3x2 = 9
x1 - x2 = 2

Soit :...
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Cours 2 calcul numerique 2eme annees

  1. 1. Niveau : Licence pétrochimie – troisième semestre Université du 20 aout 55 – Skikda
  2. 2. Calcul vectoriel et matriciel 2.1. Introduction. 2.2. Les vecteurs : déclaration, accès a un élément, calculs vectoriels. 2.3. La fonction linspace. 2.4. Les matrices : déclaration, accès à un élément. 2.5. Instructions pour la génération automatique de matrices spécifiques. 2.6. Les opérations de base sur les matrices. 2.7. Quelques fonctions pour le traitement des matrices. 2.8. Résolution d'un système d'équations linéaires.
  3. 3. 2-1-Introduction : Matlab était conçu à l’origine pour permettre aux mathématiciens, scientifiques et ingénieurs d‘utiliser facilement les mécanismes de l’algèbre linéaire. Par conséquent, l’utilisation des vecteurs et des matrices est très intuitif et commode en Matlab. Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  4. 4. 2-2-Vecteur: Un vecteur est une liste ordonnée d’éléments. Si les éléments sont arrangés horizontalement on dit que le vecteur est un vecteur ligne, par contre si les éléments sont arrangés verticalement on dit que c’est un vecteur colonne. Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  5. 5. 2-2-Vecteur: Pour créer un vecteur ligne il suffit d’écrire la liste de ses composants entre crochets [ ] et de les séparés par des espaces ou des virgules comme suit : >> V = [ 5 , 2 , 13 , -6 ] % Création d’un vecteur ligne V V= 5 >> U = [ 4 -2 1 ] 2 13 -6 % Création d’un vecteur ligne U U= 4 -2 1 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  6. 6. 2-2-Vecteur: Pour créer un vecteur colonne il est possible d’utiliser une des méthodes suivantes : écrire les composants du vecteur entre crochets [ ] et de les séparés par des points-virgules (;) comme suit : >> U = [ 4 ; -2 ; 1 ] % Création d’un vecteur colonne U U= 4 -2 1 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  7. 7. 2-2-Vecteur: écrire verticalement le vecteur : >> U = [ 4 -2 1 ] U= 4 -2 1 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  8. 8. 2-2-Vecteur: calculer le transposé d’un vecteur ligne : >> U = [ 4 -2 1 ]' % Création d’un vecteur colonne U U= 4 -2 1 Donc, le transposé d’un vecteur colonne est de quelle dimension? >> U = [ 4 ; -2 ; 1 ]’ Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  9. 9. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Définition automatique d’un vecteur: Si les composants d’un vecteur X sont ordonnés avec des valeurs consécutives avec un pas (d’incrémentation/décrémentation), nous pouvons spécifier le pas avec la notation : X = [premier_élément : le_pas : dernier_élément] Le pas est facultatif: si il est égal et matriciel à 1. Cours 2 calcul vectoriel
  10. 10. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Définition automatique d’un vecteur: >> X = [0:2:10] % Les nombres pairs < 12 A = [1 2 3]; >> >> B = [A, 4, 5, 6] X= B= 0 2 4 6 8 10 1 >> V = [ 1:2:5 , -2:-3:-10 ] >> B = [A ; 4, 5, 6] V= B=? 1 3 5 -2 -5 -8 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel 2 3 4 5 6
  11. 11. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Référencement vecteur : et accès aux éléments d’un nom_vecteur ( positions ) Les parenthèses (et) sont utilisées ici (pour la consultation). Les crochets [et] sont utilisés uniquement pendant la création. positions : peut être un simple numéro, ou une liste de numéro (un vecteur de positions) Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  12. 12. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Référencement vecteur : et accès aux éléments d’un >> V(2:4) % de la 2ème position jusqu'au 4ème >> V = [5, -1, 13, -6, 7] ans = V= -1 13 -6 5 -1 13 -6 7 V(4:-2:1) % de la 4eme pos >> >> V(3) % la 3eme position jusqu‘au1ere avec pas-2 ans = ans = -6 -1 13 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  13. 13. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Référencement vecteur : et accès aux éléments d’un >> V(9) = 5 % ajouter un 9ème élément >> V(3:end) % de la 3eme position 8 -1 13 -6 7 -3 0 0 ans = 5 13 -6 7 >> V(2) = [ ] % Supprimer le deuxième >> V(1) = 8 % donner la valeur 8élément au 1er V= V= 8 13 -6 7 -3 0 0 8 -1 13 -6 7 5 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel eme
  14. 14. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Les opérations sur les vecteurs : Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des calcules élément par élément en utilisant les opérations suivantes : >> u = [-2, 6, 1] ; >> u+v ans = >> v = [ 3, -1, 4] ; 1 5 5 >> u+2 >> v(4) = 2; ans = >> u+v ??! 0 8 3 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  15. 15. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Les opérations sur les vecteurs : Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des calcules élément par élément en utilisant les opérations suivantes : >> u = [-2, 6, 1] ; >> u-v ans = >> v = [ 3, -1, 4] ; -5 7 -3 >> u-2 >> v(4) = 2; ans = >> u-v ??! -4 4 -1 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  16. 16. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Les opérations sur les vecteurs : Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des calcules élément par élément en utilisant les opérations suivantes : >> u = [-2, 6, 1] ; >> u.*v ans = >> v = [ 3, -1, 4] ; -6 -6 4 >> u * 2 >> u * v ??! ans = >> u * v’ ??! % ‘ le transposé -4 12 2 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  17. 17. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Les opérations sur les vecteurs : Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des calcules élément par élément en utilisant les opérations suivantes : >> u./v >> u = [-2, 6, 1] ; ans = >> v = [ 3, -1, 4] ; -0.6667 -6.0000 0.2500 >> u/2 >> u. v ??! ans = >> u /v ??! -1.0000 3.0000 0.5000 u /v’ ??! >> Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel >> u * v^-1 ??!
  18. 18. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Les opérations sur les vecteurs : Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des calcules élément par élément en utilisant les opérations suivantes : >> u = [-2, 6, 1] ; >> u.^v ans = >> v = [ 3, -1, 4] ; -8.0000 0.1667 >> u.^2 1.0000 >> u ^ v ??! ans = >> u ^ v’ ??! 4 36 1 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  19. 19. 2- 3- La fonction Linspace : La fonction Linspace : La création d’un vecteur dont les composants sont ordonnés par intervalle régulier et avec un nombre d’éléments bien déterminé peut se réaliser avec la fonction : Linspace (début, fin, nombre d’éléments). Le pas d’incrémentation est calculé automatiquement par Matlab selon la formule : Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  20. 20. 2- 3- La fonction Linspace : La fonction Linspace : >> X = linspace(1,10,4) % un vecteur de quatre élément de 1 à 10 X= 1 4 >> Y = linspace(13,40,4) 7 10 % un vecteur de quatre élément de 13 à 40 Y= 13 22 31 40 La taille d’un vecteur (le nombre de ses composants) peut être obtenue avec la fonction length comme suit : >> length(X) % la taille du vecteur X ans = Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel 4
  21. 21. 2-4- Matrice : Définition d’une matrice : Une matrice est un tableau rectangulaire d’éléments (bidimensionnels), pour créer une matrice, il faut respecter les règles suivantes : Les éléments doivent être mises entre des crochets [ ] Les espaces ou les virgules sont utilisés pour séparer les éléments dans la même ligne Un point virgule (ou la touche entrer) est utilisé pour séparer les lignes Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  22. 22. 2-4- Matrice : Définition d’une matrice : Pour illustrer, considérant la matrice suivante : On peu écrire: >> A = [1,2,3,4 ; 5,6,7,8 ; 9,10,11,12] ; >> A = [1 2 3 4 ; 5 6 7 8 ; 9 10 11 12] ; >> A=[[1;5;9] , [2;6;10] , [3;7;11] , [4;8;12]] ; Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  23. 23. 2-4- Matrice : Référencement et accès aux éléments d’une matrice : nom_matrice ( numéro de ligne, numéro de colonne ) Numéro : peut être un simple numéro, ou une liste de numéro (un vecteur de positions) Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  24. 24. 2-4- Matrice : Référencement vecteur : et accès aux éléments d’un L’accès à un élément de la ligne i et la colonne j se fait par : A(i , j) L’accès à toute la ligne numéro i se fait par : A(i , :) L’accès à toute la colonne numéro j se fait par : A(: , j) L’accès à une sous-matrice se fait par A(i1:i2 , j1:j2) Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  25. 25. 2-4- Matrice : Référencement vecteur : >> A(2,3) >> A(1,:) >> A(:,2) >> A(2:3,:) >> A(1:2,3:4) et accès aux éléments % l’élément sur la 2ème ligne à la 3ème colonne % tous les éléments de la 1ère ligne % tous les éléments de la 2ème colonne % tous les éléments de la 2ème et la 3ème ligne % La sous matrice supérieure droite Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel d’un
  26. 26. 2-4- Matrice : Référencement et accès aux éléments d’une matrice : >> A([1,3],[2,4]) >> A(:,3) = [] >> A(2,:) = [] >> A = [A , [0;0]] >> A = [A ; [1,1,1,1]] % la sous matrice : lignes(1,3) et colonnes (2,4) % Supprimer la troisième colonne % Supprimer la deuxième ligne % Ajouter une nouvelle colonne {ou A(:,4)=[0;0]} % Ajouter une nouvelle ligne {ou A(3,:)=[1,1,1,1]} Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  27. 27. 2-5- Instructions pour la génération automatique de matrices spécifiques : Définition automatique d’une matrice : >> A = [1 : 2 : 5; 6 : 8; ………] ; zeros(n) % Génère une matrice n × n avec tous les éléments = 0 zeros(m,n) % Génère une matrice m × n avec tous les éléments = 0 ones(n) % Génère une matrice n × n avec tous les éléments = 1 ones(m,n) % Génère une matrice m × n avec tous les éléments = 1 eye(n) % Génère une matrice identité de dimension n × n magic(n) % Génère une matrice magique de dimension n ×n rand(m,n) %Cours 2 :une matrice de dimension m × n de valeurs Génère calcul vectoriel et matriciel aléatoires
  28. 28. 2-6- Les opérations de base sur les matrices : Les opérations sur les matrices : Entre deux matrice, il est possible de réaliser les C’est quoi les opérations suivantes: conditions???? . La division inverse élément par ‘ Le transposé élément + L’addition .^ La puissance élément par élément - La soustraction * La .* La multiplication élément par élément multiplication matricielle / La ./ La division élément par 2 : calcul vectoriel division matricielle (A/B) = élément Cours et (A*inv(B)) matriciel
  29. 29. 2-6- Les opérations de base sur les matrices : Les opérations sur les matrices : Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  30. 30. 2-6- Les opérations de base sur les matrices : Les opérations sur les matrices : Le produit matriciel est : associatif : ABC = (AB)C = A(BC) distributif par rapport à l'addition : A(B + C) = AB + AC non commutatif : AB n'est pas égal à BA en général. Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  31. 31. 2-6- Les opérations de base sur les matrices : Les opérations sur les matrices : L’inverse d’une matrice carrée: Le nombre ad - bc est appelé déterminant de la matrice A, noté : La matrice inverse A-1 n'existe donc que si det A est différent de zéro. Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  32. 32. 2-6- Les opérations de base sur les matrices : Les opérations sur les matrices : >> A=ones(2,3); >> B=zeros(3,2) >> B=B+3 >> A*B >> B=[B , [3 3 3]'] >> B=B(1:2,:) >> A=A*2 >> A.*B >> A*eye(3) % ou bien B(3,:)=[] % ou bien B(:,3)=[3 3 3]’ Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  33. 33. 2-6- Les opérations de base sur les matrices : Les opérations sur les matrices : Concaténation de matrices: >> A = [1,2,3,4 ; 5,6,7,8 ; 9,10,11,12] ; >> B = [-1 -2 -3 -4 ; -5 -6 -7 -8] ; >> C = [-1 -2 -3 ; -5 -6 -8 ; -9 -11 -12] ; C’est quoi >> D = [A,B] ; conditions???? >> D = [A;B] ; les >> D = [A,C] ; >> D = [A;C] ; Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  34. 34. 2-6- Les opérations de base sur les matrices : Les conditions des opérations sur les matrices : ‘ Le transposé : aucune condition. + : A et B doivent être identique. - : A et B doivent être identique. .* , ./ , . , .^ : A et B doivent être identique. , /: il faut que les dimension de A(n,m) et B(m,f) (donc nombre de colonnes de A = nombre de linges de B). D = [A,B] : il faut que les dimension de A(n,m) et B(n,f). D = [A;B] : il faut que les dimension de A(n,m) et B(f,m). Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  35. 35. 2-7- Quelques fonctions pour le traitement des matrices : Voici quelques fonctions pour le traitement de Size % La taille d’une matrice matrices : Inv % Déterminant d’une matrice Cross Diag % L’inverse d’une matrice Rank % Rang d’une matrice Trace % Trace d’une matrice Eig % Valeurs propres Det Dot Norm % Produit vectoriel de 2 vecteurs % Diagonal d’une matrice diag(V) % Crée une matrice ayant le vecteur V dans le diagonal et 0 ailleurs. Tril % La partie triangulaire inferieure Triu % La partie % Produit scalaire de 2 vecteurs supérieure % Norme d’un vecteur calcul vectoriel et matriciel Cours 2 : triangulaire
  36. 36. 2-8- Résolution d’un systèmes linéaires : Tout système linéaire peut être représenté sous forme matricielle. La résolution d'un tel système fait appel à la notion d'inverse d'une matrice. Considérons le système d'équations suivant: Ce système peut être écrit sous une forme matricielle: AX = B, avec: Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  37. 37. 2-8- Résolution d’un systèmes linéaires : Résoudre ce système d'équations, c'est trouver X tel que: AX = B X = inv(A)*B ou X = A B La résolution du système précédent: >> A = [3 2 -1;-1 3 2;1 -1 -1]; >> B = [10 ;5 ;-1]; >> X = inv(A)*B >> X = AB Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
  38. 38. 2-8- Résolution d’un systèmes linéaires : Soit le système d'équations paramétriques : On cherche à exprimer x1, x2 et x3 en fonction de b1, b2 et b3 : >> A = [ -1 2 1 ; -1 1 2 ; 1 -2 1 ] >> format rational Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel >> inv(A)
  39. 39. 2-8- Résolution d’un systèmes linéaires : Soit le système de 2 équations à 2 inconnues : 2x1 + 3x2 = 9 x1 - x2 = 2 Soit : x1 = 3, x2 = 1. Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

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