Cours 2 calcul numerique 2eme annees

Niveau : Licence pétrochimie – troisième
semestre
Université du 20 aout 55 – Skikda

Calcul vectoriel et matriciel
2.1. Introduction.
2.2. Les vecteurs : déclaration, accès a un élément, calculs
vectoriels.
2.3. La fonction linspace.
2.4. Les matrices : déclaration, accès à un élément.
2.5. Instructions pour la génération automatique de
matrices spécifiques.
2.6. Les opérations de base sur les matrices.
2.7. Quelques fonctions pour le traitement des matrices.
2.8. Résolution d'un système d'équations linéaires.

2-1-Introduction :
Matlab était conçu à l’origine pour permettre aux
mathématiciens, scientifiques et ingénieurs d‘utiliser
facilement les mécanismes de l’algèbre linéaire. Par
conséquent, l’utilisation des vecteurs et des
matrices est très intuitif et commode en Matlab.

Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel

2-2-Vecteur:
Un vecteur est une liste ordonnée d’éléments. Si les
éléments sont arrangés horizontalement on dit que
le vecteur est un vecteur ligne, par contre si les
éléments sont arrangés verticalement on dit que
c’est un vecteur colonne.


2-2-Vecteur:
Pour créer un vecteur ligne il suffit d’écrire la liste de
ses composants entre crochets [ ] et de les séparés
par des espaces ou des virgules comme suit :
>> V = [ 5 , 2 , 13 , -6 ]

% Création d’un vecteur ligne V

V=
5
>> U = [ 4 -2 1 ]

2

13

-6

% Création d’un vecteur ligne U

U=
4

-2

1


2-2-Vecteur:
Pour créer un vecteur colonne il est possible
d’utiliser une des méthodes suivantes :
écrire les composants du vecteur entre crochets [ ]
et de les séparés par des points-virgules (;) comme
suit :
>> U = [ 4 ; -2 ; 1 ]

% Création d’un vecteur colonne U

U=
4

-2
1


2-2-Vecteur:
écrire verticalement le vecteur :
>> U = [
4
-2
1

]
U=
4
-2
1


2-2-Vecteur:
calculer le transposé d’un vecteur ligne :
>> U = [ 4 -2 1 ]'

% Création d’un vecteur colonne U

U=
4
-2

1

Donc, le transposé d’un vecteur colonne est de
quelle dimension?
>> U = [ 4 ; -2 ; 1 ]’


2-2-Vecteur - calcul vectoriels :
Définition automatique d’un vecteur:
Si les composants d’un vecteur X sont ordonnés
avec des valeurs consécutives avec un pas
(d’incrémentation/décrémentation), nous pouvons
spécifier le pas avec la notation :
X = [premier_élément : le_pas : dernier_élément]
Le pas est facultatif: si il est égal et matriciel
à 1.
Cours 2 calcul vectoriel

Définition automatique d’un vecteur:
>> X = [0:2:10] % Les nombres pairs < 12 A = [1 2 3];
>>
>> B = [A, 4, 5, 6]
X=
B=
0 2 4 6 8 10
1
>> V = [ 1:2:5 , -2:-3:-10 ]
>> B = [A ; 4, 5, 6]
V=
B=?
1 3 5 -2 -5
-8

2

3

4 5 6

Référencement
vecteur :

et

accès

aux

éléments

d’un

nom_vecteur ( positions )

Les parenthèses (et) sont utilisées ici (pour la
consultation).
Les crochets [et] sont utilisés uniquement pendant la
création.

positions : peut être un simple
numéro, ou une liste de numéro
(un vecteur de positions)


Référencement
vecteur :

et

accès

aux

éléments

d’un

>> V(2:4)
% de la 2ème position
jusqu'au 4ème
>> V = [5, -1, 13, -6, 7]
ans =
V=
-1 13 -6
5 -1 13 -6 7 V(4:-2:1) % de la 4eme pos
>>
>> V(3)
% la 3eme position
jusqu‘au1ere avec pas-2
ans =
ans =
-6 -1
13

Référencement
vecteur :

et

accès

aux

éléments

d’un

>> V(9) = 5
% ajouter un 9ème
élément
>> V(3:end) % de la 3eme position
8 -1 13 -6 7 -3 0 0
ans =
5
13 -6 7
>> V(2) = [ ]
% Supprimer le deuxième
>> V(1) = 8 % donner la valeur 8élément
au 1er
V=
V=
8 13 -6 7 -3 0 0
8 -1 13 -6 7
5
eme

Les opérations sur les vecteurs :
Avec deux vecteurs et, il est possible de réaliser des calcules élément
par élément en utilisant les opérations suivantes :
>> u = [-2, 6, 1] ;
>> u+v
ans =
>> v = [ 3, -1, 4] ;
1 5 5
>> u+2
>> v(4) = 2;
ans =
>> u+v ??!
0 8 3

>> u = [-2, 6, 1] ;
>> u-v
ans =
>> v = [ 3, -1, 4] ;
-5 7 -3
>> u-2
>> v(4) = 2;
ans =
>> u-v ??!
-4 4 -1

>> u = [-2, 6, 1] ;
>> u.*v
ans =
>> v = [ 3, -1, 4] ;
-6 -6 4
>> u * 2
>> u * v ??!
ans =
>> u * v’ ??! % ‘ le transposé
-4 12 2

>> u./v
>> u = [-2, 6, 1] ;
ans =
>> v = [ 3, -1, 4] ;
-0.6667 -6.0000
0.2500
>> u/2
>> u. v ??!
ans =
>> u /v ??!
-1.0000 3.0000 0.5000 u /v’ ??!
>>
>> u * v^-1 ??!

>> u = [-2, 6, 1] ;
>> u.^v
ans =
>> v = [ 3, -1, 4] ;
-8.0000 0.1667
>> u.^2
1.0000 >> u ^ v ??!
ans =
>> u ^ v’ ??!
4 36 1

2- 3- La fonction Linspace :
La fonction Linspace :
La création d’un vecteur dont les composants sont ordonnés
par intervalle régulier et avec un nombre d’éléments bien
déterminé peut se réaliser avec la fonction :
Linspace (début, fin, nombre d’éléments).
Le pas d’incrémentation est calculé automatiquement par
Matlab selon la formule :

2- 3- La fonction Linspace :
La fonction Linspace :
>> X = linspace(1,10,4)

% un vecteur de quatre élément de 1 à 10

X=
1

4

>> Y = linspace(13,40,4)

7

10
% un vecteur de quatre élément de 13 à 40

Y=
13

22

31

40

La taille d’un vecteur (le nombre de ses composants) peut être obtenue avec la fonction length comme
suit :
>> length(X)

% la taille du vecteur X

ans =

4

2-4- Matrice :
Définition d’une matrice :
Une matrice est un tableau rectangulaire
d’éléments (bidimensionnels), pour créer une
matrice, il faut respecter les règles suivantes :
Les éléments doivent être mises entre des crochets [ ]
Les espaces ou les virgules sont utilisés pour séparer les éléments

dans la même ligne
Un point virgule (ou la touche entrer) est utilisé pour séparer les lignes

2-4- Matrice :
Définition d’une matrice :
Pour illustrer, considérant la matrice suivante :
On peu écrire:
>> A = [1,2,3,4 ; 5,6,7,8 ; 9,10,11,12] ;
>> A = [1 2 3 4 ; 5 6 7 8 ; 9 10 11 12] ;
>> A=[[1;5;9] , [2;6;10] , [3;7;11] , [4;8;12]] ;

2-4- Matrice :
Référencement et accès aux éléments d’une
matrice :
nom_matrice ( numéro de ligne, numéro de colonne )
Numéro : peut être un simple
numéro, ou une liste de numéro
(un vecteur de positions)


2-4- Matrice :
Référencement
vecteur :

et

accès

aux

éléments

d’un

L’accès à un élément de la ligne i et la colonne j se fait par : A(i , j)
L’accès à toute la ligne numéro i se fait par : A(i , :)
L’accès à toute la colonne numéro j se fait par : A(: , j)
L’accès à une sous-matrice se fait par A(i1:i2 , j1:j2)


2-4- Matrice :
Référencement
vecteur :
>> A(2,3)
>> A(1,:)
>> A(:,2)
>> A(2:3,:)
>> A(1:2,3:4)

et

accès

aux

éléments

% l’élément sur la 2ème ligne à la 3ème colonne
% tous les éléments de la 1ère ligne
% tous les éléments de la 2ème colonne
% tous les éléments de la 2ème et la 3ème ligne
% La sous matrice supérieure droite

d’un

2-4- Matrice :
Référencement et accès aux éléments d’une
matrice :
>> A([1,3],[2,4])
>> A(:,3) = []
>> A(2,:) = []
>> A = [A , [0;0]]
>> A = [A ; [1,1,1,1]]

% la sous matrice : lignes(1,3) et colonnes (2,4)
% Supprimer la troisième colonne
% Supprimer la deuxième ligne
% Ajouter une nouvelle colonne {ou A(:,4)=[0;0]}
% Ajouter une nouvelle ligne {ou A(3,:)=[1,1,1,1]}


2-5- Instructions pour la génération
automatique de matrices spécifiques :
Définition automatique d’une matrice :
>> A = [1 : 2 : 5; 6 : 8; ………] ;
zeros(n)
% Génère une matrice n × n avec tous les
éléments = 0
zeros(m,n)
% Génère une matrice m × n avec tous les éléments = 0
ones(n)
% Génère une matrice n × n avec tous les éléments = 1
ones(m,n)
% Génère une matrice m × n avec tous les éléments = 1
eye(n)
% Génère une matrice identité de dimension n × n
magic(n)
% Génère une matrice magique de dimension n
×n
rand(m,n)
%Cours 2 :une matrice de dimension m × n de valeurs
Génère calcul vectoriel et matriciel
aléatoires

2-6- Les opérations de base sur les
matrices :
Les opérations sur les matrices :
Entre deux matrice, il est possible de réaliser les
C’est
quoi
les
opérations suivantes:
conditions????

. La division inverse élément par
‘ Le transposé
élément
+ L’addition
.^ La puissance élément par élément
- La soustraction
* La
.* La multiplication élément par élément multiplication matricielle
/ La
./ La division élément par 2 : calcul vectoriel division matricielle (A/B) =
élément
Cours
et
(A*inv(B)) matriciel

matrices :


matrices :

Le produit matriciel est :
associatif : ABC = (AB)C = A(BC)
distributif par rapport à l'addition : A(B + C) = AB + AC
non commutatif : AB n'est pas égal à BA en général.

matrices :
L’inverse d’une matrice carrée:

Le nombre ad - bc est appelé déterminant de la matrice A, noté :

La matrice inverse A-1 n'existe donc que si det A est différent de zéro.

matrices :
>> A=ones(2,3);
>> B=zeros(3,2)
>> B=B+3
>> A*B
>> B=[B , [3 3 3]']

>> B=B(1:2,:)
>> A=A*2
>> A.*B
>> A*eye(3)

% ou bien B(3,:)=[]

% ou bien B(:,3)=[3 3 3]’


matrices :
Concaténation de matrices:
>> A = [1,2,3,4 ; 5,6,7,8 ; 9,10,11,12] ;
>> B = [-1 -2 -3 -4 ; -5 -6 -7 -8] ;

>> C = [-1 -2 -3 ; -5 -6 -8 ; -9 -11 -12] ;
C’est
quoi
>> D = [A,B] ;
conditions????
>> D = [A;B] ;

les

>> D = [A,C] ;

>> D = [A;C] ;


matrices :
Les conditions des opérations sur les matrices :
‘ Le transposé : aucune condition.
+ : A et B doivent être identique.
- : A et B doivent être identique.

.* , ./ , . , .^ : A et B doivent être identique.
, /: il faut que les dimension de A(n,m) et B(m,f) (donc nombre de colonnes de A =
nombre de linges de B).
D = [A,B] : il faut que les dimension de A(n,m) et B(n,f).
D = [A;B] : il faut que les dimension de A(n,m) et B(f,m).


2-7- Quelques fonctions pour le
traitement des matrices :
Voici quelques fonctions pour le traitement de
Size
% La taille d’une matrice
matrices :
Inv

% Déterminant d’une matrice Cross
Diag
% L’inverse d’une matrice

Rank

% Rang d’une matrice

Trace

% Trace d’une matrice

Eig

% Valeurs propres

Det

Dot

Norm

% Produit vectoriel de 2 vecteurs
% Diagonal d’une matrice

diag(V) % Crée une matrice ayant le
vecteur V dans le diagonal et 0 ailleurs.

Tril

% La partie triangulaire inferieure

Triu
%
La
partie
% Produit scalaire de 2 vecteurs
supérieure
% Norme d’un vecteur calcul vectoriel et matriciel
Cours 2 :

triangulaire

2-8- Résolution d’un systèmes linéaires :
Tout système linéaire peut être représenté sous
forme matricielle. La résolution d'un tel système fait
appel à la notion d'inverse d'une matrice.
Considérons le système d'équations suivant:
Ce système peut être écrit sous
une forme matricielle: AX = B,
avec:


Résoudre ce système d'équations, c'est trouver X
tel que:
AX = B
X = inv(A)*B ou X = A B
La résolution du système précédent:
>> A = [3 2 -1;-1 3 2;1 -1 -1];
>> B = [10 ;5 ;-1];
>> X = inv(A)*B
>> X = AB

Soit le système d'équations paramétriques :

On cherche à exprimer x1, x2 et x3 en fonction de b1,
b2 et b3 :
>> A = [ -1 2 1 ; -1 1 2 ; 1 -2 1 ]
>> format rational
>> inv(A)

Soit le système de 2 équations à 2 inconnues :
2x1 + 3x2 = 9
x1 - x2 = 2

Soit : x1 = 3, x2 = 1.

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