Dans l’enseignement des mathématiques, on utilise de plus en plus des simulations d’expériences aléatoires, mais on se limite généralement à l'utilisation de simulateurs probabilistes "tout faits". Or, depuis quelques années, on trouve à travers le monde un regain d'initiatives autour de l’introduction à la programmation : nous n’avons qu’à penser aux 135 millions d’élèves de tous âges qui ont participé à l’évènement «Une heure de code» (https://hourofcode.com/fr). Que penser de l'idée de faire programmer des logiciels/interfaces de simulations par des apprenants? On peut se demander si le fait de leur faire programmer de telles simulations porterait en soi les germes d’une compréhension plus grande que lorsqu’on les limite à être de simples spectateurs/expérimentateurs. Dans cette communication, je présente les résultats d'une étude auto­ethnographique dans le cadre de laquelle je me suis moi­-même livré, comme apprenant, à l'expérience de programmation de simulateurs dans un tableur. Mon objectif est de mettre en lumière d’éventuels apports et obstacles d’une telle démarche pour faire des probabilités avec des enseignants de mathématiques en formation et même avec des élèves du secondaire.

1. Quelques apports et obstacles liés à la
programmation de simulateurs pour
l’apprentissage des probabilités
Présentation au colloque international en éducation
Mathieu Thibault
Doctorant en éducation, UQAM
uqammathieuthibault@gmail.com
@ThibaultMat
Présentation disponible à l’URL : http://monurl.ca/416

2. Plan
2
● Programmation… une nouvelle tendance?
● Mise en contexte de cette démarche
● Méthodologie
● Résultats (3 défis en plusieurs phases)
● Quelques apports et quelques obstacles
● Conclusion
Wordle selon la fréquence d’apparition
des mots du journal de bord

3. L’initiative «Hour of code»…
une pratique répandue!
C’était plutôt 135 millions d’élèves
en novembre dernier! 3

4. Une tendance mondiale?
4
Près de 200 000 évènements «Une heure de Code» dans le monde (plus de 4 000 au Canada)

5. Twitter
5

6. Défi Star Wars
Pour m'amuser un peu... j'ai fait l’«heure
de code», puis j’ai conçu deux jeux en
quelques minutes à peine.
6

7. Certificat
Au delà du certificat à mon nom et de l'aspect de ludification qui est
certainement bénéfique pour la motivation, quel apprentissage peut être
exploité dans cette approche de programmation?
7

8. État de la question… par où commencer?
Dossier de ressources autour de la programmation : médias, recherches et
pratiques d’enseignement
Idée de poursuivre ma propre démarche avec ces objectifs :
● Programmer moi-même certains simulateurs qui pourraient me servir dans la formation à
l’apprentissage/enseignement des probabilités ;
● Faire ressortir quelques apports et obstacles liés à la programmation de simulateurs.
8

9. Mise en contexte
● Objet d’étude complémentaire à mon sujet doctoral
● Programmation de simulateurs dans un tableur (Excel)
● Mon expérience : baccalauréat, maitrise et charges de cours
● Rôles d’André Boileau :
○ Me proposer des défis que je ne connais pas ;
○ Me relancer ;
○ M’assister en informatique ;
○ Fournir un regard extérieur sur ma démarche.
9
« Enjeux pour la formation à
l’enseignement des probabilités
du secondaire avec des outils
technologiques »

10. Méthodologie
● Inspiré d’une démarche auto-ethnographique (Gattuso, 2007 ; Rondeau, 2011)
● Réalisation d’une série de défis
○ Par moi et pour moi ;
○ Quelques heures par semaine depuis novembre 2015.
● Journal de bord (50 pages de remarques cognitives, métacognitives… et affectives!)
● Rencontres avec André (en personne et à distance)
Représentativité et généralisation ne sont pas visées… plutôt faire ressortir un certain
«potentiel» de la programmation pour faire des probabilités
10

11. Défi #1 : Les deux enfants
Dans une famille, il y a 2 enfants. Si une fille vous ouvre la
porte, quelle est la probabilité que l’autre soit une fille?
Intuition de départ :
(FF, FG, GF)
⅓
11
Existe-t-il un
simulateur de cette
situation?
Flexibilité de la
programmation

12. Défi #1
● Travail dans les cellules directement
● 2 approches différentes donnent une probabilité expérimentale qui oscille autour de ½
● Calculs de 2 façons différentes pour valider ma démarche
● Confusion avec le langage formel
12
● Me force à faire une analyse théorique :
devient évident avec une représentation mentale très
claire du diagramme en arbre
Sexe de
l’autre
enfant
Sexe de
l’enfant qui
ouvre
Résultats
Quelques commentaires d’André et
conseils pour raffiner mes techniques

13. Défi #2 : Aiguilles
de Buffon
En 1733, Buffon se pose la
question suivante : si on jette au
hasard une aiguille sur un
parquet, quelle est la probabilité
qu’elle chevauche une rainure
séparant deux lattes adjacentes ?
13
Simulateur en ligne

14. Défi #2 : Phase 1
● Utilisation de Visual Basic (VB) avec LangageGraphique conçu par André
● Comment générer la position aléatoire de l’aiguille?
Position aléatoire du point milieu de l’aiguille avec un angle (il faut enlever celles
qui dépassent)
● Frustration reliée à la programmation, mais aussi à des erreurs conceptuelles
● Rapports semblent converger autour de la valeur de π… pourquoi?
● Est-ce que je fais réellement des probabilités?
14

15. Défi #2 : Intervention d’André
● Choix visent à modéliser la façon dont les aiguilles sont lancées... c’
est réellement faire des probabilités!
● Quand on connait la réponse VS quand on ne la connait pas…
confiance!
● André me propose de laisser tomber l’affichage des aiguilles, mais
de réfléchir à d’autres représentations probabilistes
15

16. Défi #2 :
Phase 2
● Beaucoup plus simple si on ne représente pas les aiguilles
● Loi des grands nombres : oscillation assez marquée pour les premières
aiguilles, mais ensuite une certaine stabilisation autour de la droite rouge
(valeur de π)
● Autres représentations pour éclairer cette situation?
16

17. Défi #2 : Intervention d’André (phases 3 et 4)
Comment peut-on calculer la valeur de π
en choisissant au hasard des points dans
un carré, dans lequel est inscrit un cercle?
17

18. Défi #2 : Phase 5
Est-il possible de représenter le lancer d’une aiguille comme
la position d’un point pour pouvoir faire un rapport des aires?
● Arc de cercle?
● Changer les paramètres (longueur aiguille et largeur
latte)... cas limites
● Représentation d’un «arc de cercle» déformé et tronqué
18

19. Défi #2 : Phase 5 (suite et fin)
● Relation théorique :
○ : angle de l’aiguille par rapport à l’horizontale
○ d : distance entre le milieu de l’aiguille et la latte la plus proche
○ l : longueur d’une aiguille
○ L : largeur d’une latte
● Pour voir l’allure de cette courbe, j’ai d’abord voulu utiliser Excel, mais celui-ci ne
collaborait pas avec la fonction arccos en degrés, alors j’ai effectué le tracé de la
courbe avec Desmos
● Difficultés informatiques et géométriques, mais pas de travail en probabilités!
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20. Défi #3 : Les cordes
* À nouveau un problème de probabilités en géométrie continue.
On trace un cercle dans lequel on inscrit un triangle équilatéral. Si on prend une corde
aléatoire du cercle, quelle est la probabilité que la longueur de la corde soit inférieure
à la longueur du côté du triangle équilatéral?
Comment choisir une corde au hasard?
À partir de deux valeurs d’angles aléatoires entre 0° et 360°.
Je tiens à le faire avec une représentation visuelle,
même si ce n’est pas nécessaire. 20

21. Défi #3 : Phase 1
● Prédiction initiale (√3/2 ≈ 0,87) ne concorde
pas avec la probabilité expérimentale
(autour de ⅔)
● Explication du ⅔
● Aurait été moins évident si j’avais
programmé sans représentation visuelle
21

22. Défi #3 : Intervention d’André
Autre façon de procéder :
une corde sera déterminée par un point P dans le
disque ; en effet si O est le centre du cercle et si P est
le point dans le disque, il existe une et une seule corde
passant par P et perpendiculaire à OP
22
O
P

23. Défi #3 :
Phases
2 et 3
23
Façons de générer des cordes aléatoires dans un
cercle
P(corde soit plus courte
qu’un côté du triangle
équilatéral inscrit dans le
cercle)
Par deux points aléatoires (par un angle) sur le cercle ⅔
Par une distance aléatoire au centre du cercle (qui
serait la distance entre le centre le milieu de la corde)
½
Par un point aléatoire dans le cercle (qui sera le point
milieu de la corde perpendiculaire au segment OP)
¾
Est-il possible qu’il existe 3 solutions,
selon la façon dont on génère une corde aléatoire?
Surprenant!

24. Exemple
du code
24

25. Défi #3 : Conclusion avec André
● Explications supplémentaires et traitements mathématiques
● Calculs d’intégrales pour les aiguilles de Buffon
● Paradoxe de Bertrand pour les cordes :
● Défi #3 plus complexe que le défi #2… pourtant résolu en moins d’efforts
apprentissage?
25
En grande
cohérence avec ma
démarche!

26. Quelques apports VS quelques obstacles
26
André
Manifestations
d’un apprentissage?
d’une compréhension?
Réactions émotionnelles fortes («Hourra!», «je suis fier»,
«éprouvé du plaisir», etc.)
Réactions émotionnelles fortes («frustration»,
«parfois pénible», «perd un peu d’intérêt», etc.)
Bonne rétention du processus (expériences antérieures) Confusion avec le langage formel
Résolution de problèmes (régler les «bugs») Problèmes techniques avec Excel
Meilleure anticipation des erreurs en peu de temps Expérience de base requise en programmation
Accroissement de confiance Pas toujours conscient de la portée des choix
Aspect visuel est aidant Aspect visuel demande plus de temps
Compréhension plus profonde Éloignement occasionnel des probabilités

27. Retour sur la démarche auto-ethnographique
● Rôle primordial d’André
● Difficile de compléter le journal de bord pendant l’action de la
démarche
● Le temps de réflexion pourrait influencer les résultats…
enregistrements audio?
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28. Conclusion
Recommandations pour la recherche
● Étudier plus en profondeur les apports et les obstacles de la programmation chez
des apprenants de divers niveaux, en comparant avec l’utilisation de simulateurs
● Commencer des études longitudinales pour voir les apports à moyen/long terme
Recommandations pour l’enseignement
● Primaire : initiatives de programmation avec des blocs (sans langage formel), mais
utilisation de simulateurs en probabilités
● Secondaire : en option, programmation plus avancée et conception de simulateurs
en probabilités 28

29. Merci pour votre attention!
Courriel : uqammathieuthibault@gmail.com
Twitter : @ThibaultMat
Présentation disponible à l’URL : http://monurl.ca/416
Merci à André Boileau (boileau.andre@uqam.ca)
pour sa précieuse collaboration.
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