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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Mesure de Probabilité
Distribution ou loi
Processus Stochastiques & Applications
Financières
Chapitre 2
Espace Probabilisé
OUESLATI Amor
Université de la Manouba
École Nationale des Sciences de L’Informatique
2 février 2022
Omar OUESLATI 1 / 69 Processus Stochastiques & Applications Financières

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Sommaire
1 Introduction
2 Tribu
3 Variable aléatoire
4 Mesure de Probabilité
5 Distribution ou loi

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition
On appelle expérience aléatoire ou épreuve aléatoire toute sorte
d’opération dont le résultat ne peut pas être prévu d’avance avec certitude.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple
L’opération qui consiste :
à jeter un dé,
à jeter une pièce de monnaie,
de prendre une carte parmi un jeu de 32 cartes, ...
chacune d’elles représente une expérience aléatoire.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition
L’ensemble fondamental ou l’espace fondamental ou univers des
possibles ou états du monde = {wi : i ∈ I} est l’ensemble de tous les
résultats possibles associés à une expérience aléatoire.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Remarque
I représente un ensemble d’indices.
Par exemple,
I = {0, 1, 2, ..., T},
I = N,
I = Z,
I = [0, ∞), etc.
On constate que selon les cas, est fini, infini, dénombrable ou non
dénombrable.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple
On jette un dé une fois :
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Deux tirages successifs à Pile ou Face :
= {(P, P) , (P, F) , (F, P) , (F, F)}
ou
= {(x1, x2) /x1 = P ou F; x2 = P ou F}

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple (Suite)
Tirage de deux dés :
= {(i, j) |1 ≤ i ≤ 6; 1 ≤ j ≤ 6}
Durée de vie d’une ampoule électrique :
= R+
Nombre de pannes d’une machine :
= N

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition
Un évènement est une propriété dont on peut dire si elle est vraie ou non,
une fois l’expérience est réalisée.
En terme mathématique, un évènement E est un sous-ensemble ou une
partie de .

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
L’évènement certain :
L’évènement impossible : ∅
Un évènement est dit élémentaire s’il est composé d’un seul élément :
{w}.
L’évènement "A et B" : A ∩ B
L’évènement "A ou B" : A ∪ B
L’évènement contraire ou complémentaire de A : Ac
ou A
Deux évènements A et B sont dits distincts ou disjoints si leurs
éléments sont tous différents : A ∩ B = ∅

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple
Soit l’espace fondamental = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Chacun des ensembles associées aux évènements suivants :
Obtenir le nombre 1 : A = {1}
Obtenir un nombre pair : B = {2, 4, 6}
Obtenir un nombre premier : C = {1, 3, 5}

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Remarque
L’èvènement A est appelée évènement élémentaire car cet ensemble
est réduit à un seul élément.
Les ensembles B et C sont des évènements distincts (A et C le sont
aussi) car B ∩ C = ∅ et A ∩ B = ∅.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple
On jette deux dés, un rouge et un noir.
L’espace fondamental associé à cette expérience aléatoire est :
= {(x1, x2) /x1 = 1, 2, ..., 6; x2 = 1, 2, ..., 6}

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple (Suite)
Considérons les évènements suivants :
A : la somme des chiffres obtenus sur les deux dés est égale à 3
A = {(1, 2) , (2, 1)}
B : la somme des chiffres obtenus sur les deux dés est égale à 7
B = {(1, 6) , (6, 1) , (2, 5) , (5, 2) , (4, 3) , (3, 4)}
C : les deux dés présentent le même nombre.
C = {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) , (5, 5) , (6, 6)}

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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Sommaire
1 Introduction
2 Tribu

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Question Si Card( ) = n < ∞
Combien y a-t-il d’évènements distincts?
Réponse 2n
.
Un évènement est un sous-ensemble de
= {ω1, ..., ωn}.
Lorsque nous créons un évènement A ⊆ , nous avons,
pour chacun des ωi , deux choix possibles : soit ωi ∈ A
où bien ωi /
∈ A.

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple
Si n = 3, alors :
F = {∅, {ω1} , {ω2} , {ω3} , {ω1, ω2} , {ω1, ω3} , {ω2, ω3} , }

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Remarque
Généralement, nous n’avons pas besoin de connaitre les probabilités
associées à chacun des évènements de .
Cela est particulièrement fréquent lorsque Card( ) est grand ou infini.

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple
Soit = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Supposons qu’on s’intéresse uniquement à la variable aléatoire X définie
par :
ω 1 2 3 4 5 6
X (ω) 0 0 1 1 2 2

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Alors, les évènements qui caractérisent la distribution de X sont :
{X = 0} = {1, 2}
{X = 1} = {3, 4}
{X = 2} = {5, 6} .

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Par conséquent, pour déterminer la distribution de X, nous avons besoin
seulement que des probabilités associées aux évènements {1, 2}, {3, 4} et
{5, 6}.

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Ainsi, la connaissance de la probabilité de l’évènement {1} ne nous apporte
aucune information supplémentaire sur la distribution de la variable
aléatoire X.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Les propriétés d’une mesure de probabilité font en sorte que si on
connait la probabilité d’un évènement A, alors on connait aussi celle
associée à son complément Ac
car P(Ac
) = 1 − P(A).
On est aussi capable de déterminer la probabilité associée à l’union
d’un certain nombre d’évènements caractérisant la distribution de X à
cause des propriétés de la mesure de probabilité.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition
Une tribu (ou σ−algèbre) F est une famille de sous-ensemble d’évènements
de , tel que :
1 ∈ F.
2 A ∈ F =⇒ Ac
∈ F.
3 Si (Ai )∞
i=1 ∈ F =⇒ ∪∞
i=1Ai ∈ F.
Dans le cas où Card( ) < ∞, (Ai )n
i=1 ∈ F =⇒ ∪n
i=1Ai ∈ F
Intuitivement, la tribu est l’ensemble des évènements auxquels on s’intéresse
toujours.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Remarque
En particulier :
A, B ∈ F =⇒

A ∪ B ∈ F
A ∩ B ∈ F
.
Omar OUESLATI 25 / 69 Processus Stochastiques Applications Financières

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple
La tribu complète, c’est la plus grande tribu :
F = P( ) = {∅, {1} , {2} , ..., }

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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple (Suite)
La tribu triviale :
{∅, }

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple (Suite)
La plus petite tribu contenant l’évènement A est :

∅, A, Ac
, .

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple (Suite)
Soit = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La plus petite tribu contenant les évènements {1, 2},
{3, 4} et {5, 6} est :
F = {∅, {1, 2} , {3, 4} , {5, 6} , {1, 2, 3, 4} , {1, 2, 5, 6} , {3, 4, 5, 6} , }

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple (Suite)
Soit = [0, 1] et I1, ..., In une famille d’intervalles formant une partition de .
La famille des sous-ensembles définie par :
G = {∅, I1, I2, ..., I1 ∪ I2, ..., I1 ∪ I2 ∪ I3, ..., }
est une tribu sur .

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition
Soit A = {Ai ; i ∈ I} une famille de sous-ensembles de .
Alors la tribu engendrée par A est la plus petite tribu sur qui contient
tous les sous-ensembles Ai ; i ∈ I.
Elle est notée σ(A) ou A.
Les éléments de A sont appelés les atomes de A.
N.B. : l’ensemble I n’est pas forcément dénombrable.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple
Soit = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
La plus petite tribu engendrée par l’évènement
A = {{1, 2} , {3, 4} , {5, 6}}
est donnée par :
σ(A) = {∅, {1, 2} , {3, 4} , {5, 6} , {1, 2, 3, 4} ,
{1, 2, 5, 6} , {3, 4, 5, 6} , }

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition
Une famille P = {A1, ..., An} d’évènements de est appelée une partition finie
de si :
1 ∀i ∈ {1, ..., n}, Ai 6= ∅
2 ∀i ∈ {1, ..., n} tels que : i 6= j, Ai ∩ Aj = ∅
3 ∪n
i≥1Ai = .

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
On note par P ( ), l’ensemble de toutes les parties de .
Définition
Une tribu F est dite engendrée par la partition finie P si elle est la plus petite
tribu contenant les éléments de P. On la dénote aussi par σ(P).

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple
Soit = {1, ..., 6}.
Si A1 = {{1}}, alors :
σ(A1) = {∅, {1} , {2, ..., 6} , }
Si A2 = {1, 3, 5}, alors :
σ(A2) = {∅, {1, 3, 5} , {2, 4, 6} , }
Soit = [0, 1]. Si A = {I1, ..., In}, alors :
σ(A) = G

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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exercice
Si A = {{1, 3, 5} , {1, 2, 3}}.
Déterminer σ(A) =?.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition
Soit = R.
La tribu borélienne sur R est la tribu engendrée par la famille des
sous-ensembles
A = {]a; b[: 0 ≤ a b ≤ 1}
= {intervalles ouverts dans R}
Elle est notée par B(R).
Elle contient un très grand nombre de sous-ensembles.

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Remarque
Pour un ensemble fini, on choisit souvent F = P( ).
Pour ⊂ R ou ⊂ Rn
, on choisit souvent F = B( )

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition
Une sous-tribu de F est une tribu G telle que si A ∈ G alors A ∈ F. On note
G ⊂ F.

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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition
Le couple ( , F), formé d’un ensemble fondamental et d’une tribu est appelé
Espace Probabilisable.

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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Sommaire
1 Introduction
2 Tribu

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition
Une variable aléatoire X, construite sur l’espace probabilisable ( , F), est
une fonction à valeurs réelles ayant comme domaine l’ensemble fondamental
telle que :
X : → A ⊆ R
∀x ∈ A, {ω ∈ |X(ω) ≤ x} ∈ F (1)

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Attention! Il ne faut pas confondre les concepts d”ensemble
fondamental’ et de ’variable aléatoire’

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Remarque
Contrairement à ce qu’on pense, l’appellation variable aléatoire n’est pas :
une variable, mais c’est une application de −→ A
aléatoire, mais c’est un élément déterminé de ( , F)

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple
Si l’expérience aléatoire consiste à choisir une carte au hasard parmi un jeu
de 52 cartes,
Alors, l’évènement tirer un roi de coeur n’est pas une variable
aléatoire car, entre autres, roi de coeur n’est pas un nombre réel.
Cependant, si l’on associe 10 points au fait de tirer une figure et la
valeur de la carte autrement, alors cette relation est une variable
aléatoire.

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple
Soient X, Y, Z et W des variables aléatoires :
ω X(ω) Y(ω) Z(ω) W(ω)
1 0 0 0 5
2 0 5 0 5
3 5 5 0 5
4 5 5 5 5
5 10 5 10 0
6 10 10 10 10

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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Remarque
Si Card( ) ∞, alors la condition [1] est équivalente à :
∀x ∈ A, {ω ∈ |X(ω) = x} ∈ F
Il s’en suit alors que :
X : → A est une variable aléatoire sur l’espace probabilisable ( , F) si et
seulement si :
les évènements qui caractérisent sa distribution sont des éléments de
F

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Remarque
1 X est aussi dite une fonction (ou v.a.) F−mesurable
2 Si F = P( ), alors X est toujours F−mesurable.
3 Si = R et F = B(R), alors X est dite une fonction Borélienne.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Si F et G sont deux tribus de alors :
Il est possible que X soit une variable aléatoire sur l’espace
probabilisable ( , F)
Mais qu’elle n’en soit pas une sur l’espace ( , G).
Pour bien exprimer que la tribu F contient les évènements
caractérisant la distribution de X, on dit que X est F−mesurable.

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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple
Soient = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et F = {∅, {1, 3, 5} , {2, 4, 6} , }
La fonction
X : → R
ω 7→

1 si le résultat est pair
0 sinon
est une variable aléatoire sur ( , F).
En effet,
{ω ∈ |X (ω) = x} =
(
{1, 3, 5} ∈ F si x = 0
{2, 4, 6} ∈ F si x = 1
∅ ∈ F sinon

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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Tandis que la fonction
Y : → R
ω 7→

1 si le résultat est inférieur à 4
0 sinon
n’est est pas une variable aléatoire sur ( , F).
En effet,
{w ∈ |Y (w) = y} =
(
{4, 5, 6} /
∈ F si y = 0
{1, 2, 3} /
∈ F si y = 1
∅ ∈ F sinon
On dit que X est F−mesurable tandis que Y ne l’est pas.

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Par contre X et Y sont G− mesurables où :
G = σ {{2} , {5} , {1, 3} , {4, 6}}
=





∅, {2} , {5} , {1, 3} , {4, 6} , {2, 5} , {1, 2, 3} ,
{1, 3, 5} , {2, 4, 6} , {4, 5, 6} , {1, 2, 3, 5} ,
{1, 3, 4, 6} , {2, 4, 5, 6} , {1, 3, 4, 5, 6} ,
{1, 2, 3, 4, 6} ,






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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Les prochains résultats nous permettront de déterminer la plus petite tribu
qui permet à une ou plusieurs variables aléatoires d’être mesurables.

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Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Théorème
Soient,
( , F), Card( ) ∞, un espace probabilisable
et P = {A1, ..., An} , la partition finie de engendrant F.
La fonction X : → R est une variable aléatoire sur cet espace (X est
F−mesurable) si et seulement si X est constante sur les atomes de F.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Corollaire
1 Toute variable aléatoire sur un espace probabilisable muni de la tribu
triviale est constante.
2 Si F = P( ) alors toute fonction à valeurs réelles sur (X : → R) est
F−mesurable.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition
Soit X : → R.
La plus petite tribu F qui fait en sorte que X soit une variable aléatoire sur
l’espace probabilisable ( , F), est appelée la tribu engendrée par X et notée
σ(X).

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Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Remarque
Si Card( ) ∞ alors X ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs,
soient x1, ..., xm ; ∀i ∈ {1, ..., m}
Posons Ai = {ω ∈ |X(ω) = xi }.
Alors, P = {A1, ..., Am} est une partition finie de et σ {X} = σ {P}.

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Théorème
Supposons que Card( ) ∞.
Si X : → R et Y : → R sont F−mesurables alors :
∀a, b ∈ R, aX + bY
est aussi F−mesurable

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Introduction
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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Preuve.
Comme Card( ) ∞, les variables aléatoires X et Y ne peuvent prendre
qu’un nombre fini de valeurs, disons x1 ... xm et y1 ... yn
respectivement.
∀z ∈ R, {ω ∈ |aX(ω) + bY(ω) z}
= ∪
axi +byj z
{ω ∈ |X(ω) = xi et Y(ω) = yj }
= ∪
axi +byj z
{ω ∈ |X(ω) = xi }
| {z }
∈F
∩ {ω ∈ |Y(ω) = yj }
| {z }
∈F
∈ F

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Remarque
Ce théorème indique que toute combinaison linéaire de variables aléatoires
construites sur le même espace probabilisable est une variable aléatoire de
cet espace.

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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Proposition
Si g : R −→ R est Borélienne et X : −→ R est une v.a., alors g(X) est une
v.a.

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Variable aléatoire
Distribution ou loi
Sommaire
1 Introduction
2 Tribu

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition (Mesure de Probabilité)
Soit l’espace probabilisable ( , F). La fonction P : F → [0, 1] est une mesure
de probabilité sur ( , F) si :
1 P( ) = 1, P (∅) = 0.
2 ∀A ∈ F, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
3 ∀A1, A2, ... ∈ F tels que Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j, alors P (∪i≥1Ai ) =
X
i≥1
P(Ai ) .

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Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
En particulier :
A, B ∈ F et A ∩ B = ∅ alors :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
De plus :
Si (Ai )∞
i=1 ⊂ F ;Ai ⊂ Ai+1 et ∪∞
i=1Ai = A; alors :
lim
n−
→∞
P(Ai ) = P(A)
Si (Ai )∞
i=1 ⊂ F ;Ai ⊃ Ai+1 et ∩∞
i=1Ai = A; alors :
lim
n−
→1
P(Ai ) = P(A)

D
R
A
F
T
e
r
s
i
o
n
Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Exemple (dé)
On considère le lancer d’un dé.
La mesure de probabilité P représente la situation où le dé est bien
balancé
Tandis que la mesure de probabilité Q modélise un cas où le dé est
pipé.
ω P(ω) Q(ω)
1
1
6
1
12
2
1
6
1
12
3
1
6
4
12
4
1
6
1
12
5
1
6
1
12
6
1
6
4
12

D
R
A
F
T
e
r
s
i
o
n
Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition (Espace Probabilisé)
Le triplet ( , F, P) composé d’un ensemble fondamental, d’une tribu sur et
d’une mesure de probabilité construite sur ( , F) est appelé Espace
Probabilisé.

D
R
A
F
T
e
r
s
i
o
n
Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Sommaire
1 Introduction
2 Tribu

D
R
A
F
T
e
r
s
i
o
n
Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Définition (Distribution ou Loi)
La distribution ou la loi d’une variable aléatoire X est caractérisée par sa
fonction de répartition : probabilité que la v.a. X soit inférieure à x.
Par conséquent, si P est la mesure de probabilité qui prévaut sur alors :
FX : R → [0, 1]
x → P [X x]
∀x ∈ R, FX (x) = P {ω ∈ |X(ω) x}

D
R
A
F
T
e
r
s
i
o
n
Introduction
Tribu
Variable aléatoire
Distribution ou loi
Théorème
Dans le cas où Card( ) ∞, la distribution d’une variable aléatoire est aussi
caractérisée par sa fonction de masse :probabilité que la v.a. X égale à
x,c’est-à-dire que :
fX : R → [0, 1]
x → P [X = x]
∀x ∈ R, fX (x) = P {ω ∈ |X(ω) = x}

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