Mmc art et métier pari tech

Ecole Nationale Supérieure d’Arts et Métiers, CER de Bordeaux – Talence
Esplanade des Arts et Métiers, F-33405 Talence Cedex
MECANIQUE DES SOLIDES
DEFORMABLES
(A L’USAGE DE L’INGENIEUR)
Thierry PALIN-LUC
Novembre 2007

Thierry PALIN-LUC
Arts et Métiers ParisTech
ENSAM CER de Bordeaux
Esplanade des Arts et Métiers
33405 Talence Cedex
Tél. 05 56 84 53 60, Fax. 05 56 84 53 66
e-mail : thierry.palin-luc@bordeaux.ensam.fr
version 2007

Préambule
Ce cours de Mécanique des Solides Déformables constitue la première des trois parties du cours du
même nom dispensé à l’E.N.S.A.M. en première année dans le cadre de l’Unité d’Enseignement
Disciplinaire « Mécanique ».
Après les cours de mécanique du point matériel, des solides rigides (ou indéformables) vus dans les
classes antérieures, ce cours a pour objectif de donner aux élèves ingénieurs les bases de la
mécanique des solides déformables (mécanique des milieux continus) pour des matériaux
homogènes isotropes à comportement élastique linéaire.
Nous présenterons le formalisme mathématique utilisé pour représenter les champs de déformations
et de contraintes et trouver les corrélations entre le champ des déplacements des points constituant
le milieu, les efforts intérieurs et extérieurs. Ceci permettra de mettre en place les bases du
dimensionnement des organes mécaniques au travers des critères de plasticité.
Nota : Tous les commentaires permettant de faire évoluer ce document peuvent être envoyés à :
thierry.palin-luc@bordeaux.ensam.fr

Table des matières
Préambule...........................................................................................................................................3
Chapitre I : Introduction - Notion de continuité.............................................................................6
1. Hypothèse de continuité du milieu ...............................................................................................6
2. Hypothèses de continuité des transformations............................................................................6
3. Exemples de cas ne vérifiant pas les hypothèses de continuité ..................................................7
Chapitre II : Cinématique du milieu continu - Déformations autour d'un point........................8
1. Définitions.......................................................................................................................................8
2. Variables de Lagrange et variables d'Euler ................................................................................8
2.1. Variables de Lagrange..............................................................................................................8
2.2. Variables d'Euler ......................................................................................................................9
3. Trajectoires, Dérivée particulaire et Lignes de courant.............................................................9
3.1. Trajectoire.................................................................................................................................9
3.2. Notion de dérivée particulaire................................................................................................10
3.3. Lignes de courant à un instant donné.....................................................................................10
4. Eléments d'algèbre et d'analyse tensorielle ...............................................................................11
5. Tenseur de GREEN .....................................................................................................................13
6. Hypothèse des Petites Perturbations (H.P.P.)............................................................................15
7. Déplacement, Déformation et Rotation......................................................................................16
8. Interprétation des termes du tenseur de déformation pure.....................................................19
8.1. Dilatation et glissement ..........................................................................................................19
8.2. Interprétation des termes du tenseur des déformations..........................................................20
8.3. Distorsion, variation d'angle ..................................................................................................20
9. Quadriques des déformations .....................................................................................................21
10. Directions principales ................................................................................................................22
11. Diagramme de MOHR des déformations ................................................................................24
11.1. Cas particulier PLAN ...........................................................................................................25
11.2. Application à l'extensométrie................................................................................................27
12. Conditions de compatibilité des déformations ........................................................................30
Chapitre III : Distribution des contraintes autour d'un point ....................................................35
1. Equilibre d'un milieu continu solide..........................................................................................35
2. Notion de vecteur contrainte.......................................................................................................36
3. Tenseur des contraintes...............................................................................................................37
3.1. Notion de matrice des contraintes ..........................................................................................37
3.2. Tenseur des contraintes ..........................................................................................................38
4. Réciprocité des contraintes (Relation de Cauchy) ....................................................................40
5. Contraintes principales et directions principales des contraintes...........................................41
6. Ellipsoïde de Lamé des contraintes ............................................................................................41
7. Invariants du tenseur des contraintes........................................................................................42
8. Partie sphérique et déviateur des contraintes ...........................................................................42
9. Tension et cission octoaédrales en un point...............................................................................43
10. Représentation de Mohr............................................................................................................44
11. Cas particulier du diagramme de Mohr dans un plan principal...........................................46
12. Equations générales de l'équilibre local...................................................................................48
Chapitre IV : Loi de Comportement : Isotrope, Elastique, Linéaire..........................................50
1. Expérience de traction.................................................................................................................50
2. Loi de Hooke (élasticité linéaire isotrope)..................................................................................55

3. Energie potentielle élastique (ou énergie de déformation élastique).......................................59
4. Etats particuliers de contraintes et de déformations ................................................................60
4.1. Déformations planes ...............................................................................................................60
4.2. Contraintes planes ..................................................................................................................60
Chapitre V : Résolution d’un problème d’élasticité .....................................................................62
1. Présentation du problème d’élastostatique................................................................................62
2. Méthode des déplacements (ou méthode de Lamé et Clapeyron)............................................63
3. Méthode des contraintes (ou des conditions de compatibilité) ................................................65
4. Cas des problèmes plans..............................................................................................................67
4.1.1. Méthode des déplacements ..............................................................................................67
4.1.2. Méthode des forces ..........................................................................................................68
4.2.1. Méthode des déplacements ..............................................................................................69
4.2.2. Méthodes des forces.........................................................................................................69
Chapitre VI : Quelques états de contraintes et déformations particuliers.................................70
1. Problèmes axisymétriques méridiens .........................................................................................70
2. Problèmes plans en coordonnées cylindriques..........................................................................71
Chapitre VII : Méthodes énergétiques...........................................................................................74
1. Energie de déformation élastique...............................................................................................74
1.1. Hypothèses ..............................................................................................................................74
1.2. Energie de déformation élastique par unité de volume ..........................................................75
1.3. Théorème de Clapeyron..........................................................................................................76
1.4. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti...........................................................................77
2. Théorème des Travaux virtuels, des Puissances virtuelles et leurs applications ...................77
2.1. Définitions...............................................................................................................................77
2.2. Etude des champs de déplacements virtuels cinématiquement admissibles ...........................78
2.3. Etude des champs de contraintes statiquement admissibles...................................................82
3. Corrélation entre les états cinématiquement admissibles et ceux statiquement admissibles.
............................................................................................................................................................83
Chapitre VIII: Critères de limite d’élasticité ................................................................................84
1. Critère de Von Mises ...................................................................................................................84
2. Critère de Tresca..........................................................................................................................86
Références bibliographiques...........................................................................................................88
Formulaire ........................................................................................................................................89
Module d'Young E et coefficient de Poisson νννν pour quelques matériaux usuels.......................95
Synoptique de la « Méthode des DEPLACEMENTS » ou de Lamé – Clapeyron .....................96
Synoptique de la « Méthode des FORCES » ou de Beltrami.......................................................97

Introduction - Notion de continuité Chapitre I
- 6 -
Chapitre I : Introduction - Notion de continuité
1. Hypothèse de continuité du milieu
Un milieu continu est un milieu dans lequel les propriétés physiques au repos (on ne
s’intéressera pas aux ondes de chocs) varient de façon continue d'un point à un autre.
En particulier la distribution de la masse est supposée continue. Un élément de volume dv
renferme une masse élémentaire dm dv= ρ , où ρ désigne la masse volumique, fonction continue
des coordonnées ( )x x x1 2 3, , et du temps t.
( )
dm
dv
x x x t= ρ 1 2 3, , ,
Nous serons amenés à supposer que ρ est continûment différentiable, au moins dans
certains domaines. Toutes les propriétés physiques qui interviendront seront supposées continues
et différentiables.
Remarque : A l'échelle moléculaire ou même à une échelle plus grande, celle des cristaux,
la matière est discontinue (joints de grains dans les métaux par exemple). Mais la mécanique des
milieux continus se place à l'échelle macroscopique. A cette échelle la matière (le milieu)
apparaît comme continue, sauf éventuellement en certaines surfaces de discontinuité.
Ceci implique qu'un élément de volume dv doit être considéré comme assez petit pour
qu'on puisse le traiter mathématiquement comme un infiniment petit, mais cependant assez
grand pour qu'il renferme un très grand nombre de molécules ou de cristaux. On parle alors
de volume élémentaire représentatif.
2. Hypothèses de continuité des transformations
Nous admettrons que deux points matériels infiniment voisins à l'instant t=0 restent
infiniment voisins à tout instant suivant. De plus, deux points matériels infiniment voisins à
l'instant t proviennent de deux points infiniment voisins à l'instant t=0. Cette hypothèse exclut la
possibilité de mélange de deux portions du milieu initialement distinctes.
Traduction mathématique :
Soit ( )M a a a0 1 2 3, , un point matériel à l'instant t=0, soit ( )M x x x1 2 3, , la position du même
point à l'instant t, t > 0. On admettra la continuité de la transformation par rapport au temps.
Si ( )x f a a a t ii i= ∀ =1 2 3 1 2 3, , , , , , formules définissant la transformation du milieu entre 0
et t ou bien si ( )a x x x t ii i= ∀ =ϕ 1 2 3 1 2 3, , , , , , formules définissant la transformation inverse,
alors nous admettrons que les fonctions fi et ϕi sont toutes continues par rapport à toutes leurs

Introduction - Notion de continuité Chapitre I
- 7 -
variables. De plus, nous admettrons qu'elles ont des dérivées partielles premières continues
par rapport à ces variables.
3. Exemples de cas ne vérifiant pas les hypothèses de continuité
D'après les hypothèses précédentes l'étude des phénomènes suivants sort du cadre de ce
cours.
- formation de trous (Figure 1a) :
- fissures dans les solides
- cavitation dans les fluides
- glissement relatif de deux parties du milieu (Figure 1b) :
- faille dans les solides
- sillage dans les fluides
- choc de deux veines fluides (Figure 1c)
- ondes de choc dans les solides (impacts)
Figure 1 : exemples sortant du cadre de la mécanique des milieux continus
M
M'
M
M'
Fig. 1a
M
M'
Fig. 1b
M
M'
Fig. 1c

Cinématique du milieu continu - Déformations autour d'un point Chapitre II
- 8 -
Chapitre II : Cinématique du milieu continu - Déformations autour
d'un point
1. Définitions
Un solide passant d'un état A à un état B est dit déformé quand les distances séparant
certains couples de points de ce solide ont varié.
M0
N0
-A- -B-
N
M
On applelle dilatation relative ou dilatation linéïque la quantité ε :
ε =
−ds ds
ds
0
0
En raisonnant non plus sur une distance mais sur un volume élémentaire passant de la
valeur dv0 pour l'état A à la valeur dv pour l'état B, on appelle dilatation cubique relative la
quantité e définie par :
e
dv dv
dv
=
− 0
0
2. Variables de Lagrange et variables d'Euler
L'étude du mouvement d'un milieu déformable peut se faire en utilisant 2 systèmes de
variables indépendantes.
2.1. Variables de Lagrange
Les variables indépendantes sont les coordonnées d'un point matériel M dans un état
initial choisi comme référence ( )a a a1 2 3, , et le temps t.
Il est alors commode de définir le mouvement en considérant, qu'à chaque instant t, les
coordonnées xi du point matériel M sont des fonctions des coordonnées initiales ai .
( )x x a a a t
i
i i=
=



1 2 3, , ,
pour 1,2,3
(II.1)
Nota : Les équations (II.1) définissent les trajectoires des points matériels du milieu, nous
y reviendrons.
A un instant t donné, les coordonnées du champ des vitesses
r
V sont alors données par
r r
V
dx
dt
= où
r
x désigne le vecteur position de la particule considérée, ( )
r
x a a a t= 1 2 3, , , , à un instant
t donné.
ds M N
ds MN
0 0 0=
=
∩
∩

- 9 -
( )
( )
( )
r
V
v
x
t
a a a t
v
x
t
a a a t
v
x
t
a a a t
1
1
1 2 3
2
2
1 2 3
3
3
1 2 3
=
=
=









∂
∂
∂
∂
∂
∂
, , ,
, , ,
, , ,
2.2. Variables d'Euler
Les variables indépendantes sont les coordonnées d'un point géométrique ( )x x x1 2 3, , ,
point fixe par rapport au repère du mouvement, et le temps t.
L'état cinématique du milieu est ici défini par le champ des vitesses
r
V dépendant des
coordonnées du point géométrique ( )x x x1 2 3, , et du temps t.
On considère alors que la masse volumique et toutes les autres propriétés physiques du
milieu sont des fonctions de ( )x x x1 2 3, , et t.
Intérêt de cette description : Dans le cas général on ne connait pas d'état initial
remarquable, de plus les forces qui s'exercent sur le milieu sont souvent exprimées comme des
fonctions des coordonnées actuelles ( )x x x1 2 3, , à l'instant t. On considère alors que la masse
volumique et toutes les autres propriétés physiques du milieu sont des fonctions de ( )x x x1 2 3, , et
t. En général on utilise la description lagrangienne pour les solides et la description eulérienne
pour les fluides (sauf pour la propagation d'ondes).
3. Trajectoires, Dérivée particulaire et Lignes de courant.
3.1. Trajectoire
Définition : On appelle trajectoire d'un point matériel, situé en
r
x à l'instant t, le lieu des
positions successives de ce point matériel quand le temps varie.
- En variables Lagrangiennes nous avons vu que les équations (II.1) définissent
directement les trajectoires des points matériels du milieu.
- En variables Eulériennes les coordonnées vi du vecteur vitesse
r
V sont telles que :
v
dx
dt
i
i
= pour i=1, 2, 3. On obtient les équations des trajectoires des points matériels en intégrant
le sytème différentiel suivant :
( ) ( ) ( )
dx
v x x x t
dx
v x x x t
dx
v x x x t
dt1
1 1 2 3
2
2 1 2 3
3
3 1 2 3, , , , , , , , ,
= = =

- 10 -
Ce système est formé de trois équations du premier ordre dans lesquelles les fonctions vi
sont supposées connues. De façon générale, ce sytème a pour solution :
( )
( )
( )
x x C C C t
x x C C C t
x x C C C t
1 1 1 2 3
2 2 1 2 3
3 3 1 2 3
=
=
=





, , ,
, , ,
, , ,
où C1, C2 et C3 sont trois constantes d'intégration qui peuvent être prises égales aux coordonnées
initiales à t=0. Les équations ci-dessus sont donc une réprésentation paramétrique de la
trajectoire d'un point matériel.
REMARQUE : Par un point géométrique passent en général une infinité de trajectoires (les
différents éléments matériels qui se succèdent en ce point géométrique ont généralement des
trajectoires différentes).
3.2. Notion de dérivée particulaire
Définition : On appelle dérivée particulaire (par rapport au temps) d'une fonction ( )f x t
r
, ,
la dérivée de f par rapport au temps t lorsque le rayon vecteur
r
x est celui d'un point matériel
(particule) animé de la vitesse
r
V , donc fonction du temps. On dit que l'on suit la particule dans
son mouvement.
- En variables de Lagrange :
r
x est fonction des coordonnées initiales
r
x0 ( )a a a1 2 3, , et de t. La dérivée particulaire n'est
autre que la dérivée partielle
∂
∂t
de la fonction f.
- En variables d'Euler :
df
dt
f
t
f
x
x
t
f
x
x
t
f
x
x
t
= + ⋅ + ⋅ + ⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂1
1
2
2
3
3
On retrouve dans l'expression ci-dessus les composantes du vecteur vitesse : v
x
t
i
i
=
∂
∂
.
3.3. Lignes de courant à un instant donné
Définition : A un instant donné, les lignes de courant sont les lignes tangentes en chacun
de leurs points au vecteur vitesse.
REMARQUES :
a./ Il ne faut pas confondre les trajectoires et les lignes de courant à un instant donné.
Généralement les trajectoires sont différentes des lignes de courant à un instant donné.
b./ En général, les lignes de courant ne sont pas les mêmes à deux instants différents.

- 11 -
Pour le champ des vitesses ( )
r r
V x t, à t=constante, les lignes de courant sont définies par le
système différentiel de deux équations à trois inconnues x x x1 2 3, , :
( ) ( ) ( )
dx
v x x x t
dx
v x x x t
dx
v x x x t
1
1 1 2 3
2
2 1 2 3
3
3 1 2 3, , , , , , , , ,
= = pour t=constante.
4. Eléments d'algèbre et d'analyse tensorielle
Définition : Un tenseur du second ordre est un opérateur linéaire, notons le T , qui fait
correspondre à tout vecteur
r
Y de l'espace euclidien un vecteur
r
B de ce même espace, soit :
( )
v r
B Y= T
REMARQUE : Dans le cadre de ce cours nous nous limiterons à un espace euclidien à trois
dimensions.
Dans l'espace euclidien à trois dimensions que nous considérons, le caractère linéaire de
l'opérateur T permet immédiatement d'énoncer :
Un tenseur du second ordre est déterminé de façon unique si l'on connait les valeurs
prises par ( )T
r
Y pour trois vecteurs
r
Y linéairement indépendants, c'est-à-dire pour une base de
l'espace considéré.
Cas particulier :
Si
r
ni désignent les vecteurs unitaires d'un repère orthonormé (i=1, 2, 3), le tenseur est
parfaitement défini par les 3 vecteurs : ( )T
r r
n t nj ij i= ⋅
c'est-à-dire par les 9 nombres tij que l'on appelle composantes du tenseur dans le système
d'axes ( )
r r r
n n n1 2 3, , . Ainsi, ( )T
r r r r
n t n t n t nj j j j= ⋅ + ⋅ + ⋅1 1 2 2 3 3
On remarquera qu'il n'y a aucun inconvénient à utiliser la même notation pour désigner un
tenseur du second ordre et la matrice carrée formée par ses composantes dans un repère
orthonormé donné.
D'autre part, on peut noter un tenseur soit par une seule lettre, T par exemple, soit plus
simplement par ses composantes dans un système d'axes déterminé.
Ainsi, le tenseur défini par l'opérateur linéaire T sera désigné soit par T, soit par tij .
Si










=
333231
232221
131211
ttt
ttt
ttt
T et
r
Y
y
y
y
1
2
3










dans ( )
r r r
n n n1 2 3, , alors,
( ) BnBnyt
y
y
y
ttt
ttt
ttt
YTY jijjij
rrrrr
===




















=⋅=
3
2
1
333231
232221
131211
T

- 12 -
Convention de notation : La notation t yij j est celle introduite par Einstein ; lorsqu'un indice
apparait plus d'une fois dans un terme produit il faut faire la somme du terme produit sur toutes
les valeurs de l'indice multiple. Ainsi t y t y t y t y t yij j ij j
j
j
i i i= = + +
=
=
∑1
3
1 1 2 2 3 3, ce qui permet d'éviter
d'écrire les signes somme. Autre exemple : ( )t t t t t trace Tkk kk
k
k
= = + + =
=
=
∑
1
3
11 22 33 .
Tenseur unité : On appelle tenseur unité l'opérateur identité qui fait correspondre à tout
vecteur
r
Y ce même vecteur
r
Y .
Les composantes de ce tenseur unité sont les nombres δij , tels que δij
i j
i j
=
≠


0
1
si
si =
. Le
symbole δij est appelé symbole de Kronecker.
On peut par exemple noter le tenseur unité I , ainsi : I =










1 0 0
0 1 0
0 0 1
et
( )I
r r
Y y y Yij j j= = =δ .
Tenseur symétrique : Soit par définition la forme bilinéaire ( )F X Y
r r
, associée au tenseur
du second ordre T par : ( ) ( )F X Y X Y
r r r r
, T= ⋅ . Notons que ( )F n n ti j ij
r r
, = dans la base ( )
r r r
n n n1 2 3, , .
Soit un autre tenseur T*, également du second ordre, défini à partir de F par la relation :
( ) ( )F X Y Y X
r r r r
, T*= ⋅
Par définition T est dit symétrique si T et T* sont des opérateurs identiques ; alors :
( ) ( )F X Y F Y X
r r r r
, ,≡ .
Nota : T* s'appelle le tenseur adjoint de T.
Condition nécessaire et suffisante : Pour qu'un tenseur du second ordre T soit symétrique
il faut et il suffit que t t i jij ji= ∀, , .
Nota : Dans le cadre de ce cours nous ne manipulerons que des tenseurs symétriques sauf
spécification particulière.
REMARQUE sur les tenseurs en général :
- La notion de tenseur du second ordre apparait comme une généralisation de la notion de
vecteur, un vecteur étant considéré comme un opérateur linéaire faisant correspondre à un
vecteur
r
X un scalaire réel. Un vecteur peut donc être considéré comme un tenseur du premier
ordre.

- 13 -
- Un tenseur du troisième ordre est un opérateur linéaire qui, à tout vecteur
r
Z , fait
correspondre un tenseur du second ordre T.
5. Tenseur de GREEN
N0
M0
M1
N1
(r0) (r)
U
ds0
ds
y
z
x
k
ji
O
Soit un élément linéaire de longueur ds M N0 0 0= (infinitésimale, i.e. M0 et N0 sont
infiniment proches) dans l'état initial (r0). Les coordonnées du vecteur ds
→
0 sont dai dans le repère
( )O i j k, , ,
r r r
: ds da i da j da k
→
= ⋅ + ⋅ + ⋅0 1 2 3
r r r
Après transformation (passage de l'état (r0) à l'état (r)) la longueur de cet élément est
ds M N= 1 1, l'élément est déformé : ds dx i dy j dz k
→
= ⋅ + ⋅ + ⋅
r r r
D'où :
ds da da da
ds dx dy dz
0
2
1
2
2
2
3
2
2 2 2 2
= + +
= + +




Or, les coordonnées ( )x y z, , du point M1 dépendent de celle du point M0 ( )a a a1 2 3, , . En
supposant que les fonctions x, y et z sont différentiables (cf. chapitre 1) on a :
dx
x
a
da
x
a
da
x
a
da
dy
y
a
da
y
a
da
y
a
da
dz
z
a
da
z
a
da
z
a
da
= + +
= + +
= + +









∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
OM a i a j a k
OM x i y j z k
U u i v j w k
0 1 2 3
1
→
= + +
→
= + +
→
= + +
r r r
r r r
r r r

- 14 -
Ainsi :
ds ds
x
a
y
a
z
a
da
x
a
y
a
z
a
da
x
a
y
a
z
a
da
x
a
x
a
y
a
2
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1 2 1
1 1 1
2
− =





 +





 +





 −








+





 +





 +





 −








+





 +





 +





 −








+ +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂y
a
z
a
z
a
dada
x
a
x
a
y
a
y
a
z
a
z
a
dada
x
a
x
a
y
a
y
a
z
a
z
a
da da
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂2 1 2
1 2
1 3 1 3 1 3
1 3
2 3 2 3 2 3
2 32 2+





 + + +





 + + +






On pose alors :
ds ds E da E da E da G da da G da da G da da2
0
2
1 1
2
2 2
2
3 3
2
1 2 3 2 3 1 3 1 22 2 2 2− = + + + + +
Que l'on peut aussi écrire sous forme matricielle :
[ ]ds ds da da da
E G G
G E G
G G E
da
da
da
2
0
2
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 1 3
1
2
3
2− =




















Définition :
E G G
G E G
G G E
1 3 2
3 2 1
2 1 3










est la matrice associée au tenseur de GREEN dans la base ( )
r r r
i j k, , .
Ce tenseur est noté ∆, c'est le tenseur des déformations.
Exprimons le tenseur de GREEN ∆ en fonction des dérivées partielles du champ des
déplacements :
( ) kaaawjaaaviaaauMMaaaMoU
rrrr
⋅+⋅+⋅==
→
),,(),,(),,(),,( 32132132110321 .
D'après l'expression de
r
U on a immédiatement : OM OM U1 0
→ → →
= + d'où :





+=
+=
+=
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
3213321
3212321
3211321
aaawaaaaz
aaavaaaay
aaauaaaax
Ainsi en différenciant x, y et z nous obtenons :
∂
∂
∂
∂
x
a
u
a1 1
1= +
∂
∂
∂
∂
x
a
u
a2 2
=
∂
∂
∂
∂
x
a
u
a3 3
=
∂
∂
∂
∂
y
a
v
a1 1
=
∂
∂
∂
∂
y
a
v
a2 2
1= +
∂
∂
∂
∂
y
a
v
a3 3
=
∂
∂
∂
∂
z
a
w
a1 1
=
∂
∂
∂
∂
z
a
w
a2 2
=
∂
∂
∂
∂
z
a
w
a3 3
1= +
Or E
x
a
y
a
z
a
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1=





 +





 +





 −








∂
∂
∂
∂
∂
∂
donc E
u
a
v
a
w
a
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1= +





 +





 +





 −








∂
∂
∂
∂
∂
∂

- 15 -
De même, G
x
a
x
a
y
a
y
a
z
a
z
a
1
2 3 2 3 2 3
1
2
= + +






∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
donc,
G
u
a
u
a
v
a
v
a
w
a
w
a
1
2 3 2 3 2 3
1
2
1 1= + +





 + +












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
En procédant de façon analogue pour les autres termes du tenseur de GREEN on obtient :
E
u
a
v
a
w
a
u
a
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2=





 +





 +





 +








∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
G
u
a
u
a
v
a
v
a
w
a
w
a
v
a
w
a
1
2 3 2 3 2 3 3 2
1
2
= + + + +






∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
E
u
a
v
a
w
a
v
a
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2=





 +





 +





 +








∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
G
u
a
u
a
v
a
v
a
w
a
w
a
u
a
w
a
2
1 3 1 3 1 3 3 1
1
2
= + + + +






∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
E
u
a
v
a
w
a
w
a
3
3
2
3
2
3
2
3
1
2
2=





 +





 +





 +








∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
G
u
a
u
a
v
a
v
a
w
a
w
a
u
a
v
a
3
1 2 1 2 1 2 2 1
1
2
= + + + +






∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
- Signification des termes Ei.
Nous avons vu que [ ]ds ds da da da
E G G
G E G
G G E
da
da
da
2
0
2
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 1 3
1
2
3
2− =




















Soit ε la dilatation linéïque de l'élément linéaire ds M N0 0 0
→ →
= de cosinus directeurs α β γ, , .
da ds1 0= α da ds2 0= β da ds3 0= γ
Pour un élément parallèle à l'axe ( )O i,
r
: α β γ= 1, = = 0 donc ds ds E ds2
0
2
1 0
2
2− = d'où :
E
ds ds
ds
ds ds ds
ds
ds ds ds ds
ds
1
2
0
2
0
2
0 0
2
0
2
2
0 0
2
0
2
1
2
2 2
2
2
2
=
−
=
−
+
− +
Or par définition ε =
−ds ds
ds
0
0
, on a donc E1
2
2
= +ε
ε
.
Ainsi, il y a coïncidence entre E1 et ε au second ordre près si ε est infiniment petite.
6. Hypothèse des Petites Perturbations (H.P.P.)
On supposera dans la suite de ce cours que les composantes des vecteurs déplacements et
leurs dérivées partielles sont infiniment petites et du même ordre de grandeur (1er ordre). On
peut alors négliger les termes du second degré (second ordre) par rapport à ceux du premier.
On obtient ainsi les termes linéarisés ei et gi d'après les termes Ei et Gi .

- 16 -
e
u
a
1
1
=
∂
∂
g
v
a
w
a
1
3 2
1
2
= +






∂
∂
∂
∂
e
v
a
2
2
=
∂
∂
g
u
a
w
a
2
3 1
1
2
= +






∂
∂
∂
∂
e
w
a
3
3
=
∂
∂
g
u
a
v
a
3
2 1
1
2
= +






∂
∂
∂
∂
Ces termes sont les composantes du tenseur de GREEN en petites perturbations, le
tenseur se note alors ε , c'est le tenseur des déformations.
ε =










e g g
g e g
g g e
1 3 2
3 2 1
2 1 3
que l'on note aussi généralement ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
=










11 12 13
21 22 23
31 32 33
avec ε εij ji=
En notation indicielle cela se note : ε
∂
∂
∂
∂ij
i
j
j
i
u
a
u
a
= +






1
2
7. Déplacement, Déformation et Rotation
Soit ( )O i j k, , ,
r r r
un repère orthonomé direct lié à un solide. Isolons par la pensée, au sein de
ce solide, un domaine élémentaire . Considérons une particule M qui, dans l'état initial (r0)
occupe la position ( )M a a a0 1 2 3, , et dans l'état final (r) occupe la position ( )M x y z1 , , .
Soient u, v, w les coordonnées du vecteur déplacement M M U0 1
→ →
= de la particule M.
La particule courante N de , infiniment voisine de M occupe la position
( )N a da a da a da0 1 1 2 2 3 3+ + +, , dans l'état initial (r0) et la position N1 dans l'état (r).
Le vecteur déplacement N N0 1
→
de la particule N a pour coordonnées u+du, v+dv, w+dw,
d'où les égalités suivantes :
N N
u du u
u
a
da
u
a
da
u
a
da
v dv v
v
a
da
v
a
da
v
a
da
w dw w
w
a
da
w
a
da
w
a
da
0 1
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
→
+ = + + +
+ = + + +
+ = + + +









∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

- 17 -
Ceci peut donc s'écrire : N N U S M N0 1 0 0
→ → →
= + ⋅ où S est le tenseur du second ordre de
matrice associée :
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
u
a
u
a
u
a
v
a
v
a
v
a
w
a
w
a
w
a
1 2 3
1 2 3
1 2 3
















. On remarquera que S grad M M=
→
0 1 .
Comme tout tenseur du second ordre, S peut se décomposer en une partie symétrique,
notons la ε , et une partie anti-symétrique que nous noterons Ω : S = +ε Ω
avec
ε = +






= −













→ →
→ →
1
2
1
2
0 1 0 1
0 1 0 1
grad M M grad M M
grad M M grad M M
T
T
Ω
S
u
a
u
a
v
a
u
a
w
a
u
a
v
a
v
a
v
a
w
a
u
a
w
a
v
a
w
a
w
a
u
a
v
a
u
a
w
=
+





 +






+





 +






+





 +
























+
−





 −
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂1 2 1 3 1
2 1 2 3 2
3 1 3 2 3
2 1 3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
2
1
2 a
u
a
v
a
v
a
w
a
u
a
w
a
v
a
w
a
1
2 1 3 2
3 1 3 2
1
2
0
1
2
1
2
1
2
0






− −





 −






− −





 − −
























∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
On obtient donc : N N M M M N M N0 1 0 1 0 0 0 0
→ → → →
= + ⋅ + ⋅ε Ω (II.2)
Supposons maintenant que le solide considéré soit peu déformable, c'est-à-dire que deux
particules voisines aient nécessairement des déplacements très peu différents : c'est l'hypothèse
des Petites Perturbations (H.P.P.) encore appelée hypothèse des petits gradients de
déplacement. Alors, les 9 composantes du tenseur S sont petites devant l'unité en module.
REMARQUE : Cette hypothèse est valable pour les verres, les métaux et les roches en
général. Dans la pratique l'ordre de grandeur des composantes est 10-6 à 10-3.
Attention,ces grandeurs sont sans unité.
D'après (II.2) la transformation générale qui fait passer la particule N de la position N0
dans l'état initial (r0) à la position N1 dans l'état (r) se décompose en trois transformations :
- une translation,
- une déformation pure,
- une rotation.

- 18 -
a./ Si ε = =Ω 0 : alors N N M M0 1 0 1
→ →
=
Cette transformation est une translation de vecteur M M0 1
→
.
b./ Si M M0 1 0
→ →
= et Ω = 0 : alors N N M N0 1 0 0
→ →
= ⋅ε
Il s'agit d'une déformation pure.
c./ Si M M0 1 0
→ →
= et ε = 0 : N N M N0 1 0 0
→ →
= ⋅Ω
On peut aussi écrire cette relation : N N M N0 1 0 0
→ ← →
= ∧ω où ω
←
est le pseudo-vecteur adjoint
du tenseur anti-symétrique Ω.
ω
←
étant petit devant l'unité cette seconde transformation est une rotation d'angle ω = ω
←
autour de l'axe portant ω
←
et issu de M.
ω
← →
=
←





1
2
0 1rot M M
En résumé : Au cours de la déformation quelconque d'un solide, tout domaine élémentaire,
isolé par la pensée en son sein subit :
- une translation de vecteur M M0 1
→
- une déformation pure, caractérisée par le tenseur symétrique ε :
ε = +





→ →1
2
0 1 0 1grad M M grad M MT
- une rotation autour de M d'angle ω = ω
←
tel que ω
← →
=
←





1
2
0 1rot M M
M
ω
←
ω
N0
N 1
H
M0
M1
Translation
M0
M1
Rotation
M0
M1
Déformation
N0
N1
N1
N0 N0
N1

- 19 -
8. Interprétation des termes du tenseur de déformation pure
La translation et la rotation sont des transformations qui engendrent un déplacement du
domaine élémentaire , c'est-à-dire une transformation ponctuelle conservant les distances et les
angles. Nous allons maintenant étudier séparément la déformation pure de .
Pour cela, plaçons nous dans un repère local { }M i j k; , ,
r r r
entrainé dans la translation et la
rotation. Par rapport à ce repère, M M0 1
→
et ω
←
sont nuls ; la formule (1) se réduit à
N N M N0 1 0 0
→ →
= ⋅ε .
8.1. Dilatation et glissement
Isolons un élément MN du domaine , que nous appellerons une fibre, tube infiniment fin
de longueur l. Pendant la déformation sa longueur varie de l0 (état r0) à l1 (état r) et sa direction
change, le vecteur unitaire passe de
r
n0 à
r
n1.
n0M N0
N1
n1
g
g
n1
n0
Par définition, la dilatation linéïque relative ε est égale à : ε
δ
=
−
=
l l
l
MN
M N
1 0
0 0 0
(sans unité)
Le vecteur glissement, noté
r
g, est défini par :
r r r r
g n n n= − =1 0 δ
Le module de
r
g est appelé taux de glissement et noté g, c'est la mesure en radian (sans
unité) de l'angle ( )
r r
n n0 1, .
δ δ δMN MN n MN n
→
= ⋅ +
r r
. c'est-à-dire N N MN n MN g0 1
→
= ⋅ +ε. .
r r
or N N M N0 1 0 0
→ →
= ⋅ε si on ne considère que la déformation pure (ce qui est le cas ici par
hypothèse). Ainsi, ε ε⋅ = ⋅ +
→
M N
MN
MN
MN
n
MN
MN
g0 0
. .
r r
d'où : ε ε⋅ = ⋅ +
r r r
n n g (II.3)
On appelle vecteur déformation en M relativement à la direction
v
n , le vecteur
r
d défini
par :
r r
d n= ⋅ε
La composante axiale selon
v
n du vecteur
r
d est
r r
ε ε= ⋅n , sa composante transversale est
r
g, d'où :
r r r
d g= +ε
Nota : Par convention le signe de ε est tel que : la dilatation linéïque relative ε est positive
si la fibre considérée s'allonge, négative si elle se raccourcit.

- 20 -
M
r
n
Nr r
ε ε= ⋅n
r
g
r r
d n= ⋅ε
D'après ce qui précède nous voyons que :
-
r
ε est la projection orthogonale de
r
d sur
v
n donc : ε = ⋅
r r
n d et ε ε= ⋅ ⋅
r r
n n
soit sous forme matricielle : { } [ ]{ }ε ε=
r r
n n
T
- Dans la rotation M,ω
←





 le vecteur unitaire
v
n voit son extrémité se déplacer de
r r
g nrot = ∧
←
ω .
8.2. Interprétation des termes du tenseur des déformations
Soit MN l'élément fibre de vecteur unitaire nx
→
orienté selon l'axe x
→
,
soit :n i j kx
→
= ⋅ + ⋅ + ⋅1 0 0
r r r
. Le vecteur déformation de cet élément fibre est noté dx
→
, il vaut :
d nx x
→
= ⋅ =










⋅










ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
r
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
0
0
dans la base ( )
r r r
i j k, ,
d i j kx
→
= + +ε ε ε11 21 31
r r r
d'où g j kx
→
= ⋅ + ⋅ε ε21 31
r r
.
Remarques : - on peut aussi noter ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
=










xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
- On a toujours ε εij ji= ∀i j,
Ainsi :
- ε11 (ou bien εxx ) est la dilatation linéïque relative, en M, dans la direction de l'axe x
→
.
- ε21 (ou bien εyx ) est la composante suivant (M, y
→
) du vecteur glissement gx
→
relatif à la
direction (M, x
→
).
Il en est de même pour les autres termes en permutant les indices et les axes.
8.3. Distorsion, variation d'angle
Soient dans le domaine élémentaire deux éléments fibres d'origine commune M et de
vecteurs unitaires
r
n1 et
r
n2 faisant l'angle ϕ entre eux.

- 21 -
M r
n1
r
n2
ϕ
Au cours de la déformation, l'angle ϕ subit la variation δϕ appelée distorsion en M,
relativement aux directions
r
n1 et
r
n2 .
Calculons la variation δϕ
r r
n n1 2⋅ = cosϕ, d'où en différentiant cette expression :
( ) ( )δ δ δ ϕ δϕ
r r r r r r
n n n n n n1 2 1 2 1 2⋅ = ⋅ + ⋅ = − sin
Ainsi : δϕ
δ δ
ϕ
= −
⋅ + ⋅
r r r r
n n n n1 2 1 2
sin
Or nous avons vu que δ
r r
n g1 1= et δ
r r
n g2 2= , d'après (II.3) nous avons alors
δ ε ε
δ ε ε
r r r r
r r r r
n g n n
n g n n
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
= = ⋅ − ⋅
= = ⋅ − ⋅




D'où :
( )
( ) ( )
12
12
12
12 2
sin
cos
..
sin
2
sin
cos
ε−
ϕ
ϕε−ε
=ε
ϕ
−
ϕ
ϕε+ε
=δϕ nn
rr
• Si
r
n1 et
r
n2 sont initialement orthogonaux, ϕ
π
=
2
, on a : δϕ ε= −2 12
ε12 est donc, au signe près, la demi-variation de l'angle ( )
r r
n n1 2, , ε12 s'appelle aussi le
demi-glissement.
Nota : il en est de même pour ε13 et ε23 relativement aux angles ( )
r r
n n1 3, et ( )
r r
n n2 3, .
9. Quadriques des déformations
Nous avons vu que ε ε= ⋅ ⋅
r r
n n . Si
r
n a pour coordonnées (α,β,γ) dans la base ( )
r r r
i j k, , on
obtient :
( )ε ε α ε β ε γ ε γβ ε αγ ε αβ φ α β γ= + + + + + =11
2
22
2
33
2
23 13 122 2 2 , ,
Notons ( )φ α β γ, , l'expression précédente.
Définition : On appelle quadriques des déformations, les quadriques d'équations :

- 22 -
( )φ α β γ, , = ±1 dans le repère ( )O i j k; , ,
r r r
.
Le signe ±1 est choisi de manière à ce que les quadriques soient réelles.
Un point M appartenant à ces quadriques est tel :
si OM r n
→
= ⋅
r
alors : ( )r r2
1
1
⋅ = ± ⇔ =
±
φ α β γ
ε
, , = ±1
Si le signe de ±1 est toujours le même, la quadrique est un ellipsoïde de révolution, si il
faut prendre tantôt le signe + tantôt le signe -, on obtient deux hyperboloïdes conjugués.
10. Directions principales
Définition :
On appelle directions principales de la transformation en M0 (état initial) les 3 directions
orthogonales qui restent orthogonales après la transformation. Ceci est une condition
nécessaire et suffisante.
Ces directions principales s'obtiennent en diagonalisant la matrice associée au tenseur des
déformations, elles coïncident avec les vecteurs propres de la matrice dans la base où la matrice
est écrite.
Propriété : Les valeurs propres de la matrice associée au tenseur ε sont toujours réelles
car ce tenseur est symétrique par définition. Il existe donc toujours au moins un repère
orthonormé dans lequel la matrice qui lui est associée est diagonale.
ε
ε
ε
ε
=










X
Y
Z
0 0
0 0
0 0
dans la base ( )M X Y Z0; , ,
r r r
formée par les trois directions principales.
REMARQUE : les glissements relatifs aux directions principales sont nuls.
• Conséquences :
La particule N au voisinage de M a pour vecteur translation N N0 1
→
de coordonnées
ε ε εX Y ZdX dY dZ, , dans ( )M X Y Z0; , ,
r r r
.
Supposons tout d'abord que ε εX Y= = 0 et εZ ≠ 0. On passe alors de N0 à N1 par une
affinité orthogonale de plan (XMY) et de rapport ( )1+ εZ .

- 23 -
En général, ε ε εX Y, et Z ≠ 0. La déformation pure du domaine élémentaire est donc le
produit de 3 affinités orthogonales de plans (YMZ), (XMZ) et (XMY) et de rapports respectifs
( )1+ ε X , ( )1+ εY et ( )1+ εZ .
→→→→ Par conséquent, les fibres élémentaires portées par les axes principaux conservent
leurs directions.
→→→→ Les fibres situées dans un plan principal restent dans ce plan.
- Dilatation volumique ou cubique relative
La sphère élémentaire de rayon r, centrée sur M devient après déformation un ellipsoïde
dont les demis-axes sont portés par les directions principales. Ils ont pour longueurs ( )r X⋅ +1 ε ,
( )r Y⋅ +1 ε et ( )r Z⋅ +1 ε , voir figure suivante.
On peut alors calculer la variation relative de volume : e
V V
V
=
−1 0
0
.
V r0
34
3
= π ( )( )( )V r X Y Z1
34
3
1 1 1= + + +π ε ε ε
or, les déformations principales ε ε εX Y Z, , et sont très petites devant 1 en module
(H.P.P.), d'où :
M
X
Z
YdX
dY
H
N 0
N 1
dX
dY
dZ
dX
dY
( )1 + ε Z d ZdZ
X
Z
Y
( )r Z1 + εM
r
( )r X1 + ε
( )r Y1 + ε

- 24 -
( )e
V V
V
traceX Y Z=
−
≈ + + =1 0
0
ε ε ε ε
REMARQUE :
La trace d'un tenseur du second ordre est un invariant dans tout changement d'axes
orthogonaux.
11. Diagramme de MOHR des déformations
Le but de ce diagramme est de représenter graphiquement l'état de déformation en un
point du domaine élémentaire .
Nous avons vu qu'en un point M de , nous pouvons associer à toute fibre élémentaire issue
de M et de vecteur unitaire
r
n un couple de valeurs ( )ε, g qui sont respectivement la dilatation
linéïque relative dans la direction
r
n et le glissement associé, ici on suppose g ≥ 0.
Nous nous proposons de chercher le domaine engendré par un point A de coordonnées
( )ε, g lorsque le vecteur unitaire ( )
r
n α β γ, , varie dans toutes les directions de l'espace
autour du point matériel M.
D'après les 3 équations déjà vues
ε ε
ε
= ⋅ ⋅
= +
=





r r
v
n n
d g
n
2 2 2
2
1
, nous obtenons en développant ces
expressions :
ε α ε β ε γ ε
ε α ε β ε γ ε
α β γ
X Y Z
X Y Z g
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
+ + =
+ + = +
+ + =






Ce système est linéaire d'ordre 3 par rapport à α β γ2 2 2
, , . Si les déformations principales
ε ε εX Y Z, , et sont distinctes deux à deux on obtient :
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
α
ε ε ε ε
ε ε ε ε
β
ε ε ε ε
ε ε ε ε
γ
ε ε ε ε
ε ε ε ε
2
2
2
2
2
2
=
+ − −
− −
=
+ − −
− −
=
+ − −
− −











g
g
g
Y Z
X Y X Z
Z X
Y Z Y X
X Y
Z X Z Y
Pour fixer les idées on peut choisir de noter ε ε εX Y Z, , tels que ε ε εX Y Z> > . De plus, par
hypothèse on a α2
0≥ , β2
0≥ , γ2
0≥ , alors compte-tenu du choix précédent sur l'ordre de
ε ε εX Y Z, , on obtient :

- 25 -
( )
( )
( )
ε ε ε ε ε ε
ε ε ε ε ε ε
ε ε ε ε ε ε
2 2
2 2
2 2
0
0
0
+ − + + ≥
+ − + + ≤
+ − + + ≥





g
g
g
Y Z Y Z
X Z X Z
X Y X Y
Par conséquent le point A de coordonnées ( )ε, g solutions du système ci-dessus appartient
au domaine non hachuré de la figure suivante, limité par 3 demis-cercles.
De même, à tout point A( )ε, g du domaine de Mohr correspond une valeur du triplet
( )α β γ2 2 2
, , soient huit valeurs du triplet ( )α β γ, , , donc huit vecteurs
r
n deux à deux opposés en
M. Quatre fibres se trouvent donc dans le même état de déformation ( )ε, g .
Nota : Le taux de glissement a pour valeur maximale : g X Z
max =
−ε ε
2
Dans le cas où 2 déformations principales sont égales et différentes de la troisième, le
diagramme de Mohr se réduit à un demi-cercle ; si les trois déformations propres sont égales à
e / 3, il se réduit à un seul point de coordonnées (e / 3, 0) dans la représentation de Mohr ; l'état
de déformation autour du point matériel considéré est alors isotrope.
L'état non déformé est caractérisé par une dilatation volumique nulle (e=0) c'est-à-dire
ε = =0 0, g .
11.1. Cas particulier PLAN
Plaçons-nous dans le plan principal (XMY) contenant le point M du milieu considéré et
cherchons le domaine de Mohr correspondant à toutes les fibres ( )M n,
r
du plan principal
(XMY).
εY
Ο
ε Z ε X
ε
ε
g
g
A

- 26 -
M
r
Y
r
X
r
n
dn
d
r
ϕ
r
g
( )
r
rd n
r
ε ϕ
De façon générale
r
n
α ϕ
β ϕ
γ
=
=
=





cos
sin
0
dans le repère principal ( )M X Y Z; , ,
r r r
.
Nous avons vu que le vecteur déformation ( )
r
rd n de la fibre orientée selon
r
n s'exprime de la
façon suivante : ( )
r r r r
rd n n gn = ⋅ = ⋅ +ε ε , soit dans ( )M X Y Z; , ,
r r r
:
( )d n X Yn
X
Y
Z
X Y
r
r r r→
= ⋅ =










⋅










= +ε
ε
ε
ε
ϕ
ϕ ε ϕ ε ϕ
0 0
0 0
0 0 0
cos
sin .cos .sin
Or
r r
r
r r
r
X n
n
d
Y n
n
d
= −
= +






cos sin
sin cos
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
d
d
d'où
( ) ( )
r r
r
rd n
dn
dn X Y
X Y
= + −
−
ε ϕ ε ϕ
ε ε
ϕ
ϕ
cos sin sin2 2
2
2 soit en simplifiant et en factorisant
( ) ( )
r r
r
rd n
dn
dn
X Y X Y X Y
=
+
+
−




 ⋅ +
−




 −
ε ε ε ε
ϕ
ε ε
ϕ
ϕ2 2
2
2
2cos sin
En notant g la mesure algébrique de
r
g sur l'axe de vecteur unitaire
dn
d
r
ϕ
on obtient :
( )
r r
r
rd n g
dn
dn = +ε
ϕ
avec
( )
ε
ε ε ε ε
ϕ
ε ε
ϕ
=
+
+
−





=
−
−






X Y X Y
X Y
g
2 2
2
2
2
cos
sin

- 27 -
g
εO
ε εX
−2ϕg
εY
C
( )ε εX Y+
2
( )Cercle de rayon r =
ε εX Y−
2
A
Ainsi le domaine de Mohr, ensemble des points A( )ε, g représentatifs du point matériel M,
est le cercle de centre C
ε εX Y+





2
0; et de rayon r =
ε εX Y−
2
dans le diagramme ( )ε, g .
- L'angle polaire du vecteur CA
→
, c'est-à-dire l'angle orienté ε C A
∧





 , est égal à −2ϕ, où
ϕ désigne l'angle orienté ( )
r r
X n, .
- La correspondance entre fibres et points A du diagramme de Mohr est bijective.
- Le glissement maximal se produit dans les fibres bissectrices de l'angle XMY
∧
.
11.2. Application à l'extensométrie
Expérimentalement on ne sait pas mesurer des contraintes (notion introduite au chapitre
suivant), seules les déformations sont mesurables directement pas les méthodes de
l'extensométrie.
A la surface d'un solide, en un point où aucune sollicitation extérieure n'est appliquée,
le plan tangent à cette surface est plan principal de déformation. Attention, cela ne signifie
pas forcément que la déformation dans la direction normale au plan tangent est nulle.
Nous pouvons donc utiliser la méthode du cercle de Mohr des déformations pour une
direction se déplaçant dans un plan principal.
Il est courant d'utiliser des jauges de déformation (jauges d'extensométrie utilisées en TP) à
résistance électrique variable pour mesurer les déformations. Ces jauges mesurent seulement des
allongements ou des raccourcissements ; elles ne mesurent pas des glissements par rapport à leur
direction longitudinale.

- 28 -
Nous venons de voir qu'en un point M d'un solide la dilatation linéïque dans une direction
r
n est donnée par :
ε ε ε ε
ϕX Y X Y+
+
−
2 2
2cos (II.4)
Ainsi, si l'on colle sur le solide étudié 3 jauges de déformation, comme indiqué sur la figure
ci-dessous, faisant deux à deux un angle α, nous disposons de trois relations dépendant des deux
déformations principales εX et εY (que nous recherchons) et de la position ϕ de ces directions
principales par rapport aux trois jauges.
( )
( )
ε
ε ε ε ε
ϕ
ε
ε ε ε ε
ϕ α
ε
ε ε ε ε
ϕ α
a
X Y X Y
b
X Y X Y
c
X Y X Y
=
+
+
−
=
+
+
−
+
=
+
+
−
+









2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
cos
cos
cos
εX , εY et ϕ sont solutions du système précédent.
Dans la pratique, on utilise des jauges disposées selon les angles remarquables α égaux à
45°, 60° ou 120°, nous allons examiner dans ce cours un exemple de disposition.
Pour tracer le cercle de Mohr des déformations nous avons besoin de connaître son rayon r
et l'abscisse c de son centre C.
Par habitude nous noterons εX la plus grande des deux déformations principales cherchées,
nous avons alors :
r X Y
=
−ε ε
2
et c X Y
=
+ε ε
2

- 29 -
Exemple : Rosette de 3 jauges à 45°
Dans cette configuration les trois équations générales précédentes deviennent :
ε
ε ε ε ε
ϕ
ε
ε ε ε ε
ϕ
ε
ε ε ε ε
ϕ
a
X Y X Y
b
X Y X Y
c
X Y X Y
=
+
+
−
=
+
−
−
=
+
−
−









2 2
2
2 2
2
2 2
2
cos
sin
cos
On obtient donc c X Y a c
=
+
=
+ε ε ε ε
2 2
et
( )
( )
( ) ( )
ε ε
ε ε
ϕ ϕ
ε ε
ε ε
ϕ ϕ
ε ε ε ε
a b
X Y
b c
X Y
a b b cr
− =
−
+
− =
−
−






⇒ = − + −
2
2 2
2
2 2
1
2
2 2
cos sin
cos sin
On peut alors d'après εa , εb et εc tracer le cercle de Mohr des déformations et en déduire
ϕ, εX et εY .

- 30 -
g
ε
O ε a εX
−2ϕ
εY
C
( )ε εa c+
2
ε b
ε c
Ac
Ab
Aa
Après avoir placé sur l'axe ε les trois résultats de mesure εa , εb et εc , on positionne le
point C, milieu de [εa , εc ]. Puis on trace le cercle de centre C et de rayon r que l'on calcule. Pour
déterminer ce rayon on peut aussi remarquer que les distances (Cεb) et (εa Aa) sont égales.
Il n'y a alors qu'une seule solution pour positionner les points Aa, Ab et Ac décalés les uns
par rapport aux autres de -2 x 45° soit -90°. En effet, sur le solide on passe de la jauge Ja à la
jauge Jb par rotation de +45°, donc dans le diagramme de Mohr on passe du point représentatif
Aa au point Ab par rotation de -2 x 45°.
Par mesure ou bien par calcul de l'angle ( )εCAa = -2ϕ on connait l'angle ϕ.
Les déformations principales étant directement les abscisses des points d'intersection de
l'axe Oε avec le cercle de Mohr des déformations.
12. Conditions de compatibilité des déformations
Imaginons un milieu continu (solide par exemple) et découpons le, par la pensée, en petits
éléments au moyen de trois familles de plans parallèles aux trois plans du repère orthonormé
choisi. Si l'on se donne dans le solide un champ de déformations arbitraire, on impose à ces
éléments des déformations arbitraires ; les éléments ainsi déformés ne pourront pas toujours
rester juxtaposés sans laisser de vide entre eux.
Un champ de déformations ne peut donc pas être donné arbitrairement : il doit
satisfaire des conditions de compatibilité pour que la juxtaposition reste assurée afin de
conserver la continuité du milieu.

- 31 -
Nous avons montré que la déformation, entre les états (r0) et (r), d'un domaine élémentaire
de centre M, isolé par la pensée au sein d'un solide, est fonction des coordonnées de M. A
chaque particule M d'un solide on peut associer :
- un vecteur translation M M0 1
→
- un tenseur de déformation ε
- un tenseur rotation Ω (ou son pseudo-vecteur adjoint ω
←
)
tels que : grad M M0 1
→
= +ε Ω avec
ε = +






= −













→ →
→ →
1
2
1
2
0 1 0 1
0 1 0 1
grad M M grad M M
grad M M grad M M
T
T
Ω
Nous examinons ces champs de tenseurs en prenant comme hypothèse que leurs dérivées
partielles existent et sont continues dans le domaine étudié (hypothèse de continuité du chapitre
1).
Compatibilité des déformations
Nous savons que "rot grad A
→
= 0 " d'où : ( )rot grad M M rot rot rot0 1 0
→
= + = + =ε εΩ Ω (II.5)
Or, ω
← →
=
←





1
2
0 1rot M M donc divω
←
= 0.
Ω = −





→ →1
2
0 1 0 1grad M M grad M MT
⇒ rot rot grad M M rot grad M M grad rot M MT
Ω = −




 = −
→ → →1
2
1
2
0 1 0 1 0 1
soit rot gradΩ = −
←
ω or d'après (II.5) nous avons rot rotΩ = − ε ⇔ rot gradε ω=
←
• Ainsi la condition de compatibilité des déformations (ou d'intégrabilité) est : rot rotε = 0
Notation : rotT représente le tenseur d'ordre 2 dont la matrice associée a pour vecteurs
colonnes les rotationnnels des vecteurs lignes de T en coordonnées cartésiennes.
Donc, si ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
=










11 12 13
21 22 23
31 32 33
dans la base ( )
r r r
x x x1 2 3, , orthonormée.
rot
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
ε
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
=
− − −
− − −
− − −


















13
2
12
3
23
2
22
3
33
2
32
3
11
3
13
1
21
3
23
1
31
3
33
1
12
1
11
2
22
1
21
2
32
1
31
2

- 32 -
L'équation de compatibilité des déformations rot rotε = 0 donne 6 équations scalaires.
Exemple :
∂
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂
∂
∂ε
∂
∂ε
∂x x x x x x2
33
2
32
3 3
23
2
22
3
0−





 − −





 = , soit 2
2
32
2 3
2
33
2
2
2
22
3
2
∂ ε
∂ ∂
∂ ε
∂
∂ ε
∂x x x x
= +
Cette équation est l'une des 6 équations de compatibilité suivantes.
2
2
12
1 2
2
22
1
2
2
11
2
2
∂ ε
∂ ∂
∂ ε
∂
∂ ε
∂x x x x
= +
2
2
13
1 3
2
33
1
2
2
11
3
2
∂ ε
∂ ∂
∂ ε
∂
∂ ε
∂x x x x
= +
2
2
23
2 3
2
33
2
2
2
22
3
2
∂ ε
∂ ∂
∂ ε
∂
∂ ε
∂x x x x
= +
∂ ε
∂ ∂
∂
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
2
11
2 3 1
23
1
13
2
12
3x x x x x x
= − + +






∂ ε
∂ ∂
∂
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
2
22
1 3 2
23
1
13
2
12
3x x x x x x
= − +






∂ ε
∂ ∂
∂
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
2
33
1 2 3
23
1
13
2
12
3x x x x x x
= + −






Calcul des déplacements à partir des déformations
Les conditions de compatibilité précédentes sont des conditions nécessaires pour pouvoir
calculer les déplacements u, v, w coordonnées du vecteur déplacement U
→
tel que
ε = +





→ →1
2
gradU grad UT
Ces fonctions doivent être uniformes dans le domaine étudié. Alors, les conditions de
compatibilité sont suffisantes lorque le domaine est simplement connexe, c'est-à-dire tel
qu'une courbe fermée quelconque tracée dans puisse être réduite à zéro (un point) par
déformation continue sans sortir de ( ne doit pas contenir de cavité). Montrons ceci dans le
cas de la déformation plane
Déformation plane :
Cas d'une plaque déformée dans son plan : u(x, y) ; v(x, y)
ε
∂
∂
11 =
u
x
ε
∂
∂22 =
v
y
ε
∂
∂
∂
∂12
1
2
= +






u
y
v
x
Le pseudo-vecteur rotation ω
← →
=
1
2
rotU a pour coordonnées ω
ω
∂
∂
∂
∂
ω
∂
∂
∂
∂
ω
∂
∂
∂
∂
←
= −






= −






= −
















1
2
3
1
2
1
2
1
2
w
y
v
z
u
z
w
x
v
x
u
y

- 33 -
D'où
ε ω
∂
∂
ε ω
∂
∂
12 3
12 3
− =
+ =






u
y
v
x
On recherche u(x, y) et v(x, y) or :
( )
( )
du
u
x
dx
u
y
dy
dv
v
x
dx
v
y
dy
du dx dy
dv dx dy
= +
= +






⇔
= + −
= + +




∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ε ε ω
ε ω ε
11 12 3
12 3 22
Pour pouvoir intégrer ces 2 relations il faut :
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ω
∂
11 12 3
y x x
= − et
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ω
∂
22 12 3
x y y
= +
Or d
x
dx
y
dyω
∂ω
∂
∂ω
∂3
3 3
= + donc d
x y
dx
x y
dyω
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂3
12 11 22 12
= −





 + −





 (II.6)
Cette équation est intégrable si
∂ω
∂ ∂
∂ω
∂ ∂
3 3
x y y x
= c'est-à-dire si la condition suivante de
compatibilité des déformations est vérifiée : 2
2
12
2
22
2
2
11
2
∂ ε
∂ ∂
∂ ε
∂
∂ ε
∂x y x y
= +
Supposons cette condition vérifiée, alors on peut intégrer (II.6) le long d'un arc OM.
( )d
x y
dx
x y
dy
OM OM
ω ω ω
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂ε
∂
3 3 3 0
12 11 22 12
∩ ∩
∫ ∫= − = −





 + −












L'intégrale est indépendante du chemin suivi en raison
- du domaine simplement connexe,
- de la condition de compatibilité des déformations supposée vérifiée.
Nous pouvons maintenant intégrer les équations permettant de calculer u et v.
( ) ( )( )u u dx dy
OM
= + + −
∩
∫0 11 12 3ε ε ω
( ) ( )( )v v dx dy
OM
= + + +
∩
∫0 12 3 22ε ω ε
Ces intégrales sont indépendantes du chemin suivi pour les mêmes raisons que
précédemment.
Si le domaine est multiplement connexe (anneau, tore) les conditions de compatibilité
ne sont pas suffisantes. Les intégrales le long de l'arc OM peuvent être différentes selon le type
de connexion utilisée.

- 34 -
Soit n le nombre de connexions entre deux points du domaine. Les intégrales le long de
l'arc OM
∩
sont indépendantes du type de connexion si et seulement si elles sont nulles pour (n-1)
cycles ou circuits fermés irréductibles que l'on peut tracer dans le domaine.
Il faut donc ajouter aux conditions de compatibilité précédentes 3(n-1) conditions de
fermeture dans le plan et 6(n-1) conditions dans l'espace à 3 dimensions.
M
O
M
O
n=2 n=3

Distribution des contraintes autour d'un point Chapitre III
- 35 -
Chapitre III : Distribution des contraintes autour d'un point
1. Equilibre d'un milieu continu solide
Soit un domaine solide , de volume V et de frontière S. Les forces extérieures à ce
domaine, isolé par la pensée, sont de deux types :
Les forces de volume (ou de masse) :
Elles s'appliquent à toutes les particules du domaine et agissent à distance : forces de
pesanteur, d'inertie par exemple. Nous noterons
r
f dv la résultante de ces forces pour le volume
élémentaire dv centré au point M.
Les forces de surface (ou de contact) :
Elles s'exercent uniquement sur la frontière S de , ce sont des actions de contact : pression
sur un solide immergé, efforts aérodynamiques sur un élément de voilure, etc...
Nous noterons
r
C ds leur résultante sur l'élément de frontière ds.
Remarques :
- désigne, soit un solide dans son ensemble, soit une partie d'un tel solide isolé par la
pensée en son sein.
- Nous remarquerons que seuls ces deux types de forces existent (selon leur mode
d'application). Les forces ponctuelles ou de lignes (appliquées en tous les points d'une courbe) ne
sont obtenues que par modélisation ou schématisation.
Milieu en équilibre
D'après le principe fondamental de la mécanique, le torseur de toutes les forces extérieures
appliquées à est nul à chaque instant, en n'omettant pas les forces d'inertie éventuelles, d'où les
deux équations vectorielles suivantes :
r r r
C ds f dv
S
∫∫ ∫∫∫+ =
D
0 et OM C ds OM f dv
S
→ →
∧ + ∧ =∫∫ ∫∫∫
r r r
D
0
r
C ds
r
f dv

- 36 -
La première équation traduit la nullité de la résultante générale, la second la nullité du
moment résultant en un point O quelconque (M est le point courant parcourant ).
Nota :
Si , domaine isolé par la pensée, est infiniment petit, prenons son diamètre infiniment
petit et le point O à l'extérieur ; dans les formules précédentes les intégrales triples sont des
infiniments petits d'ordre trois, négligeables devant les intégrales doubles, infiniment petits
d'ordre deux. On a alors :
infiniment petit ⇒⇒⇒⇒
r r
r r
C ds
OM C ds
S
D
∫∫
∫∫
=
∧ =






→
0
0
Remarque : Dans les solides électromagnétiques chaque élément de volume peut être
soumis à un couple de volume (couple électromagnétique) en plus de la force
r
f dv . Ce cas sort
du cadre de ce cours.
2. Notion de vecteur contrainte
Considérons à l'intérieur d'un solide un élément fibre de centre M et soit
r
n le vecteur
unitaire dirigeant l'axe de cet élément. La section droite ds de centre M sépare la fibre en une
partie amont (I) et une partie aval (II).
Si le solide est chargé ses particules exercent les unes sur les autres des efforts. La partie
(II) exerce donc sur la partie (I) suivant l'élément de surface ds un ensemble de forces dont
r
C ds
est la résultante.
••••
r
C se nomme vecteur contrainte en M relativement à la direction
r
n .
La fibre considérée étant en équilibre au sein du solide, la partie (I) exerce sur la partie (II)
une résultante égale à -
r
C ds.
v
nr
σ
r
τ
r
C
θ
v
n

- 37 -
•••• La projection de
r
C sur
r
n est la contrainte normale à la surface ds on la note
généralement
r
σ . La mesure algébrique de
r
σ est égale à σ σ= ⋅
r r
n .
•••• La projection de
r
C sur le plan contenant ds est la contrainte tangentielle
r
τ , encore
appelée contrainte de cisaillement.
Notons θ l'angle entre
r
n et
r
C .
Si θ est aigu, alors σσσσ > 0, la fibre est tendue
Si θ est obtu, alors σσσσ < 0, la fibre est comprimée
θ = 0, τ=0, traction pure
θ = π/2, σσσσ=0, cisaillement pur
θ = π, τ=0, compression pure
Cas particulier important : surface d'un solide
Soit ds un élément de la frontière d'un solide, de centre M et de normale unitaire
r
n .
Imaginons un élément fibre de section droite finale ds. Alors, le milieu extérieur exerce sur la
facette ds l'effort
r
C ds éventuellement nul si aucune action ne s'applique en M.
3. Tenseur des contraintes
3.1. Notion de matrice des contraintes
Soient une particule M au sein du solide considéré et un élement fibre de centre M, d'axe
x'x. Plaçons-nous dans un repère orthonormé { }M x y z; , , de base { }
v v r
i j k, , .
r
σ
r
τx
r
C
θ
τxy
τxz
r
j
r
k
v
i

- 38 -
Notons Cx
→
le vecteur contrainte en M relatif à la surface élémentaire ds de normale
r r
n i= ,
σ x
→
est la composante de Cx
→
selon
r r
n i= , τ x
→
est la composante tangentielle de Cx
→
située dans le
plan (yMz) contenant ds, avec σ σx x i
→
=
r
.
Nous noterons τ xy et τ xz les composantes du vecteur τ x
→
sur les axes My et Mz.
Alors, σ x , τ xy et τ xz désignent les 3 composantes du vecteur contrainte Cx
→
. On définit de
même au point M :
- pour une fibre d'axe y'y, le vecteur contrainte Cy
→
de composantes τ yx , σ y et τ yz selon
les axes respectifs Mx, My et Mz.
- pour une fibre d'axe z'z, le vecteur contrainte Cz
→
de composantes τ zx , τ zy et σ z selon les
axes respectifs Mx, My et Mz.
Ainsi, la matrice
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
x yx zx
xy y zy
xz yz z










formée des coordonnées des vecteurs colonne Cx
→
, Cy
→
et
Cz
→
dans la base { }
v v r
i j k, , se nomme matrice des contraintes au point M.
3.2. Tenseur des contraintes
Considérons en un point M du solide les axes Mx, My et Mz définissant un trièdre direct
pourvu de la base { }
v v r
i j k, , .
Soit le tétraèdre MABC illustré par la figure suivante. Les points A, B et C sont sur les
parties positives des axes du trièdre et infiniment proches du point M.
Nous appelons
r
n =α β γ
r r r
i j k+ + le vecteur unitaire sortant normal à la face ABC, d'aire ds.
z
y
x
M
A
C
B
r
n
−
r
Cy
−
r
Cz
−
r
Cx
r
Cr
k
r
j
r
i

- 39 -
Les facettes MCB, MAC et MAB ont pour normale unitaire extérieure (sortante) les
vecteurs − − −
r r r
i j k, , et pour aire élémentaires respectives :
ds ds dsyz MCB= = α
ds ds dsxz MAC= = β
ds ds dsxy MAB= = γ
Sur chaque facette du tétraèdre s'exercent les forces suivantes :
sur MBC : −
→
C dsx α
sur MAC : −
→
C dsy β
sur MAB : −
→
C dsz γ
L'équilibre du tétraèdre se traduit alors par la relation vectorielle :
Cds C ds C ds C dsx y z
→ → → → →
− − − =α β γ 0
soit encore : C C C Cx y z
→ → → → →
− − − =α β γ 0 que nous pouvons écrire sous forme matricielle :
[ ]C n
→ →






= ⋅





Σ
Les vecteurs C
→
et n
→
étant indépendants du choix du repère, [ ]Σ est la matrice de
l'opérateur linéaire Σ faisant correspondre C
→
à n
→
, cet opérateur est appelé tenseur des
contraintes au point M. Nous noterons ce tenseur Σ .
C n
→ →
= ⋅Σ
Nota : Si Σ est connu en un point M quelconque du solide, alors la relation précédente
permet de calculer le vecteur contrainte dans toutes les fibres d'orientation n
→
passant par M.
- Au point M, la contrainte normale σ
→
, à la facette élémentaire de normale n
→
est :
σ σ
→ →
= n avec σ = ⋅ ⋅
→ →
n nΣ
sous forme matricielle on écrit : [ ]σ = 





⋅ ⋅





→ →
n n
T
Σ
- Au point M, la contrainte tangentielle τ
→
, relative à la facette élémentaire de normale n
→
est :
τ σ
→ → →
= −C soit
τ σ
→ → →
= ⋅ −Σ n n
• Propriété : Symétrie du tenseur des contraintes
Imaginons un parallélépipède élémentaire centré en M dont les côtés ont pour longueur 2a,
2b et 2c parallèlement aux axes Mx, My et Mz.

- 40 -
Ce parallélépipède étant infiniment petit, l'équilibre des moments s'écrit en ne considérant
que les forces de surface :
moment selon x : 2 4 2 4 0b ac c abyz zy. .τ τ− = ⇔ τ τyz zy=
moment selon y : 2 4 2 4 0c ba a bczx xz. .τ τ− = ⇔ τ τzx xz=
moment selon z : 2 4 2 4 0a bc b acxy yx. .τ τ− = ⇔ τ τyx xy=
•••• Le tenseur des contraintes en un point est donc symétrique.
4. Réciprocité des contraintes (Relation de Cauchy)
En un point M, soient deux facettes S et S' de normales respectives n
→
et n'
→
. Les vecteurs
contraintes relatifs à chacune de ces facettes sont respectivement C
→
et C'
→
tels que : C n
→ →
= ⋅Σ et
C n' '
→ →
= ⋅Σ .
Si nous notons αi et αi ' les coordonnées respectives de n
→
et n'
→
dans la base quelconque
e e e1 2 3
→ → →





, , : ( )n
→
α α α1 2 3, , et ( )n' ', ', '
→
α α α1 2 3 , alors :
C n Ci i
i
ij j i
→ →
⋅ = =∑' ' 'α σ α α
C n Ci i
i
ij j i' '
→ →
⋅ = =∑ α σ α α' or σ σij ji= puisque Σ est un tenseur symétrique donc,
C n ij j i ji i j'
→ →
⋅ = =σ α α σ α α' ' d'où :
C n C n
→ → → →
⋅ = ⋅' '
• Ceci signifie que la projection du vecteur contrainte, relatif à une première facette, sur la
normale à une seconde facette est égale à la projection du vecteur contrainte relatif à la seconde
facette sur la normale à la première.
z
y
x
M
σ x
σ z
σ y
τ xy
τ xz τ yx
τ yzτzy
τzx
2a
2b
2c

- 41 -
5. Contraintes principales et directions principales des contraintes
Le tenseur des contraintes Σ étant symétrique, sa matrice associée est diagonalisable,
ses valeurs propres sont réelles et ses vecteurs propres orthogonaux.
En tout point M d'un solide, il existe donc au moins un repère orthonormé { }M X Y Z, , ,
r r r
dans lequel la matrice associée au tenseur des contraintes est diagonale.
Σ =










σ
σ
σ
X
Y
Z
0 0
0 0
0 0
dans le repère { }M X Y Z, , ,
r r r
- Les contraintes σ X , σY , σ Z sont appelées contraintes principales, ce sont les valeurs
propres de la matrice associée à Σ .
- Les axes MX
r
, M
r
Y et M
r
Z sont les axes principaux de Σ encore appelées directions
principales des contraintes.
• Propriété :
Les éléments fibre de centre M, orientés selon les directions principales ne supportent
aucun cisaillement, ils travaillent en traction pure ou en compression pure selon le signe des
contraintes principales. Cette propriété caractérise les directions principales des contraintes
(comme l'absence de glissement caractérise les directions principales des déformations, voir
chapitre II).
6. Ellipsoïde de Lamé des contraintes
L'extrémité du vecteur contrainte C
→
relatif à toutes les fibres de centre M décrit un
ellipsoïde d'axes MX
r
, M
r
Y et M
r
Z (axes principaux des contraintes) dont les demi-axes sont
respectivement |σ X |, |σY |, |σ Z |.
Démonstration
Soit ( )n
→
α β γ, , la normale unitaire à une facette élémentaire passant par M, ces
coordonnées étant données ici dans le repère principal { }M X Y Z, , ,
r r r
. Alors, si le vecteur
contrainte relatif à la facette orientée par n
→
a pour coordonnées ( )C C C CX Y Z
→
, , dans le repère
principal.
C n X Y ZX Y Z
→ → → → →
= ⋅ = + +Σ α σ β σ γ σ

- 42 -
or, n
→
= 1 donc α β γ2 2 2
1+ + = on obtient ainsi,
C C CX
X
Y
Y
Z
Zσ σ σ





 +





 +





 =
2 2 2
1
7. Invariants du tenseur des contraintes
Les invariants du tenseur des contraintes sont les coefficients de l'équation caractéristique ;
( )det Σ − =
−
−
−
= − + − + =λ
σ λ σ σ
σ σ λ σ
σ σ σ λ
λ λ λ1 0
11 12 13
12 22 23
13 23 33
3
1
2
2 3I I I
Ces coefficients sont les suivants.
( )I trace X Y Z ii1 11 22 33= = + + = + + =Σ σ σ σ σ σ σ σ
( )( ) ( ) ( )I trace trace ii ij ij2
2
2 21
2
1
2
= −



= −Σ Σ σ σ σ
I X Y X Z Y Z2 11 22 11 33 22 33 23
2
13
2
12
2
= + + − − − = + +σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ
( )I X Y Z3 = =det Σ σ σ σ
8. Partie sphérique et déviateur des contraintes
On peut toujours écrire : ( )Σ Σ= +
1
3
1trace S
• ( )1
3
1trace Σ : est la partie sphérique du tenseur des contraintes,
elle a la même trace, que Σ : ( )s trace= Σ .
( )1
3
1
1
3
0 0
0 0
0 0
11 22 33
11 22 33
11 22 33
trace Σ =
+ +
+ +
+ +










σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
nota : 1 représente le tenseur identité.
• S : désigne la partie déviatrice (ou déviatorique) du tenseur des contraintes. On
l'appelle aussi tenseur déviateur des contraintes.
La trace de S est nulle.
Z
Y
X
σ Y
Μ
σ Z
σ X

- 43 -
S a pour valeurs propres : σ X
s
−
3
, σY
s
−
3
, σ Z
s
−
3
.
( )
( )
( )
S =
− −
− + −
− − +










2 3
2 3
2 3
11 22 33 12 13
12 11 22 33 23
13 23 11 22 33
σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ
- Si S =0 (tenseur déviateur des contraintes nul)
alors
( )σ = ⋅ ⋅ = ∀
→ → →
n n
trace
nΣ
Σ
3
, et τ σ
→ → → → →
= ⋅ − = ∀Σ n n n,0
•••• La partie déviatrice du tenseur des contraintes est donc seule responsable de
l'apparition du cisaillement (cission) et de la différence de σ avec
s
3
.
•••• Invariants du tenseur déviateur des contraintes
Pour les distinguer des invariants de Σ on les note Ji.
( )J trace S1 0= =
( )J trace S s sij ij2
21
2
1
2
= =
9. Tension et cission octoaédrales en un point
Si nous cherchons en un point M d'un solide, toutes les directions n
→
telles que la tension
normale soit égale à la contrainte normale sphérique
( )σ o
trace
=
Σ
3
nous trouvons les directions
remarquables telles que : n n n1
2
2
2
3
2 1
3
+ + = avec ( )n n n n
→
1 2 3, , dans la base principale { }
r r r
X Y Z, ,
En effet, dans ce cas ( )σ σ σ σ= ⋅ ⋅ = + + =
→ →
n n n n n traceX Y ZΣ Σ1
2
2
2
3
2 1
3
Les 8 vecteurs n
→
=
±
±
±










1
3
1
1
1
dans la base principale { }
r r r
X Y Z, , sont tels que :
( )σ σ= =o
trace Σ
3
Ces vecteurs ont pour directions les trissectrices du trièdre formé par les directions
principales des contraintes.
•••• La contrainte normale octaédrique (ou octaédrale) est :
( )σ o
trace
=
Σ
3
on la note aussi σ oct

- 44 -
•••• La cission octaédrique (ou octaédrale) τ oct est telle que :
C noct oct oct
→ → →
= +σ τ donc ( ) ( )τ σ σ σ σ σ σ σoct oct oct X Y Z X Y ZC
→ →
= − = + + − + +
2 2
2 2 2 2 21
3
1
9
( ) ( ) ( )[ ]τ τ σ σ σ σ σ σoct oct X Y X Z Y Z
2
2
2 2 21
9
= = − + − + −
→
, τ oct J=
2
3
2
Cette valeur de τ oct est remarquable car elle est associée aux directions qui font des
angles égaux avec les 3 directions principales.
Nota : rappelons que le signe d'une contrainte de cisaillement (ou cission) n'a pas de sens
physique.
10. Représentation de Mohr
Cette représentation a pour but d'illustrer l'état de contrainte en un point du solide
considéré.
En un point M de ce solide, considérons une fibre élémentaire de direction n
→
. A la surface
élémentaire ds passant par M et de normale n
→
correspond le vecteur contrainte C n
→ →
= ⋅Σ .
Dans le diagramme ( )σ τ, avec τ≥0 (le signe de τ n'a pas de sens physique) on peut
associer à chaque fibre de direction n
→
, centrée en M (point du solide), le point A n( )
r représentatif
de l'état de contrainte.
Cherchons le domaine engendré par ce point A n( )
r quand la direction n
→
prend toutes les
directions possibles de l'espace autour de M.
Nous avons déjà établi les trois relations :
σ
σ τ
= ⋅ ⋅
= +
=







→ →
n n
C
n
Σ
r
r
2 2 2
2
1
Si nous notons les coordonnées de la normale unitaire ( )n
→
α β γ, , dans la base principale
{ }
r r r
X Y Z, , nous obtenons :
σ σ α σ β σ γ
σ α σ β σ γ σ τ
α β γ
= + +
+ + = +
+ + =





X Y Z
X Y Z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
Ce système est linéaire d'ordre 3 par rapport à α β γ2 2 2
, , .
Si les contraintes principales sont deux à deux distinctes, le système a pour solution :

- 45 -
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
α
τ σ σ σ σ
σ σ σ σ
β
τ σ σ σ σ
σ σ σ σ
γ
τ σ σ σ σ
σ σ σ σ
2
2
2
2
2
2
=
+ − −
− −
=
+ − −
− −
=
+ − −
− −










Y Z
X Y X Z
Z X
Y Z Y X
X Y
Z X Z Y
Pour fixer les idées on peut choisir de noter σ σ σX Y Z, , tels que σ σ σX Y Z> > . De plus,
par hypothèse on a α2
0≥ , β2
0≥ , γ 2
0≥ , alors compte-tenu du choix précédent sur l'ordre de
σ σ σX Y Z, , on obtient :
( )
( )
( )
σ τ σ σ σ σ σ
2 2
2 2
2 2
0
0
0
+ − + + ≥
+ − + + ≤
+ − + + ≥





Y Z Y Z
X Z X Z
X Y X Y
avec τ τ= ≥ 0
Le point A n( )
r de coordonnées ( )σ τ, dans le plan de Mohr des contraintes appartient donc
au domaine non hachuré de la figure suivante, limité par 3 demi-cercles.
Réciproquement à tout point A n( )
r de ce domaine correspond un triplet ( )α β γ2 2 2
, , donc 8
valeurs deux à deux opposées de ( )α β γ, , , soient 8 vecteurs unitaires n
→
deux à deux opposés
définissant 4 fibres élémentaires de centre M ayant même ( )σ τ, .
Nota : La plus forte contrainte de cisaillement a pour valeur τ
σ σ
max =
−X Z
2
•••• Cas particulier : Etat de cisaillement pur
Soit un point du solide où le tenseur des contraintes Σ dans la base quelconque { }
r r r
i j k, , a
pour seules composantes non nulle τ τxy yx= par exemple.
σ Y
Ο
σ Z σ X
σ
τ
τ m ax
( )An
r
τ
σ

- 46 -
Alors, les vecteurs contraintes Cx
→
et Cy
→
sont :
C i j k
C i j k
x xy
y xy
→
→
= + +
= + +





0 0
0 0
r r r
r r r
τ
τ
Les fibres dirigées selon
r
i et
r
j sont donc en état de cisaillement pur d'intensité τ xy .
•••• Les contraintes principales sont σ τ σ τ σX xy Y xy Z= = − =; ; 0 .
•••• Les axes principaux MX, MY sont les bissectrices du repère { }M i j; ,
r v
comme
indiqué sur la figure suivante. Le diagramme de Mohr des contraintes correspondant à cet état de
cisaillement pur est le suivant.
11. Cas particulier du diagramme de Mohr dans un plan principal
En un point M du solide intéressons-nous uniquement aux fibres centrées en M et
appartenant au plan principal XMY par exemple.
Repérons une de ces fibres par sa direction n
→
faisant l'angle polaire ϕ par rapport à l'axe
MX.
Appelons τ la mesure algébrique de τ
→
sur le vecteur unitaire
dn
d
r
ϕ
.
De façon générale
r
n
α ϕ
β ϕ
γ
=
=
=





cos
sin
0
dans le repère principal ( )M X Y Z; , ,
r r r
.
σ Y σ Z
σ X
σ
τ
τ τ σmax = =yx X
τyx

- 47 -
Le vecteur contrainte C
→
sur la facette de normale unitaire
r
n s'exprime de la façon
suivante : C n n
→ → → →
= ⋅ = ⋅ +Σ σ τ , soit dans ( )M X Y Z; , ,
r r r
:
C n X Y
X
Y
Z
X Y
→ →
= ⋅ =










⋅










= +Σ
σ
σ
σ
ϕ
ϕ σ ϕ σ ϕ
0 0
0 0
0 0 0
cos
sin .cos .sin
r r
Or
r r
r
r r
r
X n
n
d
Y n
n
d
= −
= +






cos sin
sin cos
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
d
d
d'où
( )C n
dn
d
X Y
X Y
→
= + −
−
σ ϕ σ ϕ
σ σ
ϕ
ϕ
cos sin sin2 2
2
2
r
r
soit en simplifiant et en factorisant
( )C n
dn
d
X Y X Y X Y
→
=
+
+
−




 ⋅ +
−




 −
σ σ σ σ
ϕ
σ σ
ϕ
ϕ2 2
2
2
2cos sin
r
r
or, C n
dn
d
→ →
= +σ τ
ϕ
r
donc
( )
σ
σ σ σ σ
ϕ
τ
σ σ
ϕ
=
+
+
−





=
−
−






X Y X Y
X Y
2 2
2
2
2
cos
sin
L'ensemble des points A n( )
r de coordonnées ( )σ τ, décrit donc le cercle :
- de centre ΩΩΩΩ de coordonnées
σ σX Y+





2
0,
- de rayon r =
σ σX Y−
2
.
La correspondance entre fibres et points A n( )
r est bijective.
•••• Les fibres bissectrices de l'angle XMY sont celles où le cisaillement est le plus grand
et égal à
σ σX Y−
2
.
r
Y
r
X
r
nϕd
nd
r
r
τ
r
C
r
σ ϕ

- 48 -
12. Equations générales de l'équilibre local
Compte-tenu de ce que nous venons de voir, nous pouvons associer un tenseur des
contraintes Σ à tout point M d'un solide chargé. Nous allons maintenant supposer que toutes les
composantes de ce champ de tenseurs possèdent des dérivées partielles continues.
Si désigne un domaine élémentaire, de frontière S, inclus dans le solide considéré,
l'équilibre de ce domaine nous a conduit au début de ce chapitre à l'équation :
r r r
C ds f dv
S
∫∫ ∫∫∫+ =
D
0 où C n
→ →
= ⋅Σ
donc Σ⋅ + =
→
∫∫ ∫∫∫n ds f dv
S
r r
D
0
Grâce au théorème d'Ostrogradski nous pouvons transformer l'intégrale double en intégrale
triple d'où :
( )
r r
f div dv+ =∫∫∫ Σ
D
0
Cette équation peut être vérifiée dans tout domaine D d'où l'équation de l'équilibre local :
r r
f div+ =Σ 0
Notation :
v
f représente ici la résultante des forces de volume (cf début de ce chapitre) y
compris les forces d'inertie éventuelles.
τ
σ
O
σ
σY
σX
Ω
τ −2ϕ
τmax

- 49 -
Rappel :
Théorème d'Ostrogradski : divUdv n U ds
V S
→ → →
∫∫∫ ∫∫= ⋅
Remarque :
Dans le cas d'un solide en mouvement par rapport à un repère galiléen, on fait souvent
apparaître explicitement l'accélération
r
γ du solide par rapport au repère galiléen. Cette équation
devient alors :
r r
f div+ =Σ ρ γ
où ρ désigne la masse volumique du solide au point considéré.

Loi de Comportement : Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV
- 50 -
Chapitre IV : Loi de Comportement : Isotrope, Elastique, Linéaire
Après avoir étudié indépendamment les notions de déformations et de contraintes, le
présent chapitre a pour but d’étudier les relations liant ces deux champs dans le cas particulier
des matériaux homogènes et isotropes dans leur domaine élastique linéaire. Nous établirons,
d’après un ensemble de résultats expérimentaux simples, la loi liant les tenseurs ε et Σ en tout
point M du solide, dite loi de comportement.
Dans tout ce chapitre nous ferons les hypothèses suivantes :
- milieu continu,
- homogène,
- isotrope,
- élastique linéaire,
- Petites Perturbations (petits déplacements et petites déformations).
1. Expérience de traction
Soit une éprouvette d’un matériau solide, homogène, isotrope, ayant une forme
parallélépipédique (voir figure suivante).
Notons X’X la direction longitudinale de ce barreau, Y’Y et Z’Z les deux autres directions
perpendiculaires à la première et axes principaux de la section droite de l’éprouvette. Appelons
Jx, Jy, Jz les jauges collées sur cette éprouvette selon la disposition de la figure ci-dessous.
Notons a0 , b0 les dimensions de la section droite de l’éprouvette en l’absence de chargement et
l0 la distance séparant deux traits délimitant la partie centrale de l’éprouvette où les lignes de
force sont parallèles et le champ des contraintes uniforme.
Nous sollicitons alors cette éprouvette à l’aide d’une machine de traction en lui appliquant
un effort de traction1
selon la direction X’X, d’intensité F lue sur un dynamomètre. Dans la partie
centrale de l’éprouvette (loin des têtes d’amarrage de l’éprouvette) la seule composante non nulle
du tenseur des contraintes est :
σ X
F
S
F
ab
= =
Les jauges Jx, Jy et Jz mesurent les dilatations linéïques ε X , εY et ε Z résultant de ce
chargement.
1
On peut aussi imposer à l’éprouvette un allongement ou une déformation, nous en reparlerons en E.D.
X' Xr
F
a0
b0
l0
X
Z
Y
Jz
Jx
Jy
Jx
r
F

- 51 -
On constate les résultats expérimentaux suivants :
1.) Si la force F croît à partir de zéro, les fibres parallèles à X’X subissent un allongement
relatif ε X
l l
l
=
− 0
0
proportionnel à F, donc à la contrainte σ X . On note alors :
ε
σ
X
X
E
=
définissant ainsi le coefficient positif E, homogène à une force surfacique et appelé
module d’Young ou module d’élasticité longitudinal du matériau.
Nota : Pour les aciers E ≈ 200 000 MPa (voir tableau en annexe).
Si l’on fait décroître F jusqu’à zéro, le point M( )ε σX X, du diagramme contrainte
déformation revient en O par le même chemin rectiligne : le processus est réversible et il n’y a
pas de déformation résiduelle, c’est le domaine de l’élasticité linéaire.
2.) εY
a a
a
=
− 0
0
et ε Z
b b
b
=
− 0
0
restent égaux entre eux et proportionnels à ε X mais de
signe opposé. On note : ε ε υ εY Z X= = − ⋅
Le coefficient ν s’appelle coefficient de Poisson du matériau, il est sans dimension et se
définit par la relation précédente. Pour les aciers ν ≈ 0,3 (voir tableau en annexe).
3.) Les relations de proportionnnalité précédentes ne sont vérifiées que si l’on ne dépasse
pas un certain seuil ReT appelé limite d’élasticité en traction.
Au-delà de cette limite le comportement n’est plus linéaire, les déformations croissent plus
vite que les contraintes, ni élastique (ou réversible) ; si l’on décharge ensuite l’éprouvette, le
point M( )ε σX X, décrit un chemin rectiligne jusqu’en M0 sur l’axe des déformations ε X , il y a
donc une déformation résiduelle. En faisant croître σ X au-delà de ReT on atteint la contrainte
de rupture en traction RrT .

- 52 -
4.) En compression, on observe des phénomènes similaires.
σ X et ε X sont négatifs et sont proportionnels : σ εX XE= ⋅ .
ε εY Z= (positifs) et ε ε υ εY Z X= = − ⋅ .
Il existe une limite d’élasticité en compression Rec au-delà de laquelle le comportement
n’est plus élastique ni linéaire. Il existe également une contrainte de rupture en compression
Rrc .
REMARQUES :
a) Les divers paramètres E, ν, ReT , Rec , RrT , Rrc sont caractéristiques du matériau
constitutif de l’éprouvette.
b) L’intervalle de variation de σ X entre Rec et ReT se nomme domaine d’élasticité du
matériau. A l’extérieur de ce domaine se trouve le domaine plastique, plus ou moins étendu
selon les matériaux.
c) Dans la zone de mesure, c’est-à-dire loin des zones d’amarrage de l’éprouvette, les
champs de contraintes et déformations sont uniformes et ont mêmes directions principales : X’X,
Y’Y et Z’Z. Pour respecter cela les dimensions de l’éprouvette doivent être conformes à la norme
NF A03-151.
d) Au cours de l’essai de traction et dans le domaine plastique, il se produit une striction
vers le centre de l’éprouvette (étranglement local), la surface S=ab diminue sensiblement sur une
certaine longueur.
NB : quelques valeurs du module d’Young et du coefficient de Poisson pour des matériaux
usuels sont données en annexe (voir à la fin de ce document).
σ X
ε X
RrT
ReT
Rec
Rrc
Compression
Traction
domained'élasticitélinéaire
O

- 53 -
e) En traction, le coefficient de dilatation cubique e est positif (augmentation de volume).
e
E
X Y Z X= + + =
−
⋅ε ε ε
υ
σ
1 2
> 0
Nota : pour les aciers e
E
X
≈ 0 4,
σ
.
ATTENTION : Courbe de traction conventionnelle et courbe rationnelle
Lorsque l’on réalise un essai de traction monotone classique (à vitesse de déplacement des mors
imposée) on enregistre une courbe représentant la force F en fonction de l’allongement ∆l de
l’éprouvette (Figure ci-dessous).
Courbe de traction conventionnelle
Striction
éprouvette parallélépipédique
Striction
éprouvette cylindrique de révolution
F
∆l0

- 54 -
En réalité la section droite de l’éprouvette n’a pas une aire constante puisqu’elle diminue
sous l’effet Poisson. On définit alors à chaque instant t la contrainte vraie σv comme le rapport de
la force F(t) à l’instant t sur l’aire de la section droite à cet instant S(t) : )(/)()(v tStFt =σ .
Comme la déformation se passe à volume constant on a )().(. 00 tltSlS = d’où :
)(1)(
.
)(/.)( 0
0
00
00
t
S
tll
lS
tllStS
convε+
=
∆+
==
La relation entre contrainte vraie et contrainte conventionnelle est donc à chaque
instant :
( )convconvv 1 ε+σ=σ
Pour connaître la relation entre déformation conventionnelle et déformation vraie il faut
revenir à la définition incrémentale de la déformation. Ainsi pour un incrément d’allongement dl
on définit l’incrément de déformation dε par dε=dl/l . En intégrant entre l’instant initial pour
lequel la longueur initiale de référence vaut l0 et l’instant t où la longueur vaut l(t) on obtient :
( ))(1ln)(
)(
1ln/)( convvraie
0
0
)()(
vraie
00
tt
l
ltl
ldldt
tl
l
tl
l
ε+=ε⇔












 −
+==ε=ε ∫∫
La courbe de traction rationnelle est donc toujours croissante comme ci-dessous.
Courbe de traction rationnelle
contrainte vraie
déformation vraie0

- 55 -
2. Loi de Hooke (élasticité linéaire isotrope)
D’après la loi de comportement élastique linéaire obtenue précédemment pour une
structure très simple (parallélépipède rectangle) et un effort uniaxial, déduisons-en la relation
générale liant les tenseurs Σ et ε en tout point d’un solide homogène, isotrope, élastique
linéaire quelles que soient sa forme et celle du chargement.
Isolons par la pensée un volume élémentaire de centre M dont les faces sont parallèles aux
directions principales des contraintes MX
r
, MY
r
, MZ
r
. Les facettes de ce cube élémentaire sont
donc sollicitées en compression pure ou en traction pure et subissent au cours de la déformation
des translations selon leur normale ; MX
r
, MY
r
, MZ
r
sont aussi directions principales des
déformations.
D’après le premier paragraphe de ce chapitre nous savons que si σ X ≠ 0 et σ σY Z= = 0
alors : ε
σ
X
X
E
= et ε ε υ
σ
Y Z
X
E
= = − ⋅
Par permutation circulaire des indices on obtient les déformations dues aux contraintes
σ X , σ Y , σ Z appliquées séparément.
due à σ X seule due à σ Y seule due à σ Z seule
valeur de ε X
σ X
E
− ⋅υ
σ Y
E
− ⋅υ
σ Z
E
valeur de εY − ⋅υ
σ X
E
σ Y
E
− ⋅υ
σ Z
E
valeur de ε Z − ⋅υ
σ X
E
− ⋅υ
σ Y
E
σ Z
E
Les relations étant linéaires, le cas général s’obtient par superposition des trois états
d’équilibre. On obtient ainsi les relations suivantes :
Μ
r
X
r
Y
r
Z
σZ
σY
σ X

- 56 -
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
ε σ υ σ σ
ε σ υ σ σ
ε σ υ σ σ
X X Y Z
Y Y Z X
Z Z X Y
E
E
E
= − +
= − +
= − +








1
1
1
En utilisant la trace de Σ (premier invariant) on obtient,
( )s trace X Y Z= = + + ⇒Σ σ σ σ
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
ε υ σ υ
ε υ σ υ
ε υ σ υ
X X
Y Y
Z Z
E
s
E
s
E
s
= + −
= + −
= + −








1
1
1
1
1
1
Ces relations traduisent dans le repère principal la relation tensorielle suivante également
vraie dans un repère orthonormé quelconque (non principal) :
ε
υ υ
=
+
−
1
1
E E
sΣ que l’on note aussi ε
υ
σ
υ
σ δij ij kk ij
E E
=
+
−
1
L’équation tensorielle précédente est équivalente aux six équations scalaires suivantes.
ε
υ
σ
υ
ε
υ
σ
υ
ε
υ
σ
υ
xx xx
yy yy
zz zz
E E
s
E E
s
E E
s
=
+
−
=
+
−
=
+
−








1
1
1
ε
υ
σ
ε
υ
σ
ε
υ
σ
yz yz
xz xz
xy xy
E
E
E
=
+
=
+
=
+








1
1
1
NOTA : Ces relations se vérifient par exemple sur un essai de torsion sur tube cylindrique
(voir T.P).
On remarquera la relation liant les deux premiers invariants des tenseurs ε et Σ :
e
E
s=
−1 2υ
avec ( )e trace= ε et ( )s trace= Σ
D’autre part, si le matériau est isotrope les directions principales de contraintes et de
déformations coïncident. Ce n’est pas le cas pour les matériaux anisotropes (ex : composites
stratifiés), il faut alors prendre des précautions en extensométrie !
La relation tensorielle ε
υ υ
=
+
−
1
1
E E
sΣ peut s’inverser, on obtient alors :
Σ = +λ µεe1 2 que l’on note aussi σ λ ε δ µεij ij ij= +kk 2
avec :
( )( )
λ
υ
υ υ
=
+ −
E
1 1 2
et
( )
µ
υ
= =
+
G
E
2 1

- 57 -
• λ et µ sont les coefficients de Lamé du matériau, ils sont homogènes à des forces
surfaciques ; µ est aussi noté G et appelé module de glissement ou de cisaillement.
On peut également exprimer E et ν en fonction des coefficients de Lamé du matériau :
E =
+
+
µ
λ µ
λ µ
3 2
( )
υ
λ
λ µ
=
+2
D’après la relation liant les deux premiers invariants des tenseurs ε et Σ : e
E
s=
−1 2υ
on
obtient
( )s e K e= + =3 2λ µ
• K est le module de compressibilité du matériau, K
E
=
−1 2υ
- Signes des différents coefficients
E et ν sont positifs donc µ également.
Montrons que ν < 0,5 (cas des matériaux incompressibles) ce qui implique λ > 0.
Soit un état de compression hydrostatique, c’est-à-dire : σ σ σX Y Z p= = = − < 0, (cas d’un
solide plongé dans un liquide), alors − = =
−
3 0
0
p Ke K
V V
V
La variation relative de volume étant strictement négative, le coefficient K est positif d’où
υ < 0 5, .
Autre écriture de la loi de comportement élastique linéaire d’un matériau homogène isotrope.
La loi de comportement élastique linéaire d’un matériau homogène isotrope (dite loi de
Hooke) s’écrit d’une façon plus générale que vous reverrez en cours de Mécanique des
Solides Déformables et pour décrire le comportement de matériaux anisotropes :
ε
υ υ
=
+
−
1
1
E E
sΣ s’écrit aussi Σ⋅=ε S
où S est un tenseur d’ordre 4 appelé tenseur des souplesses.
Pour un matériau isotrope, S est symétrique (mais pas pour un matériau anisotrope)

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