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Statique, résistance des matériaux, 
structures
Contrôle des connaissances 
• Contrôle continu : 50% 
– Exercice filé, 4 rendus 
– Contrôles rapides en début de CM 
• Retard = Absence = 0 si non justifié près admin. 
• Contrôle final : 50% 
– En 2 heures 
– Document autorisé : une feuille A4 r/v de notes 
personnelles
Fonctionnement 
• Il est interdit de ne pas comprendre : posez 
des questions! 
• 1h de cours, 1h à la maison : 
– Relisez et apprenez le cours 
– Faites des exercices y afférant, préparez les TD 
• Ne prenez pas de retard! 
• Sollicitez le prof autant que de besoin 
• Soyez actifs en TD
Plan du cours 
• Introduction 
• Échelle globale : force et équilibre 
• Échelle de la section : forces internes 
• Échelle du matériau : contraintes et 
déformations 
• Les critères de dimensionnement
Stabilité 
Force de volume 
Force de contact 
Equilibre 
Frottement 
Déplacement 
Vitesse 
Accélération 
Flexion 
Inertie 
Pression 
Déformation 
Raideur 
Moment 
Force interne 
Travail 
Traction, compression
Calatrava
Keneth Snelson
Antony Gormley
Michael Calnan 
[re]design
Quartier général de Renault à Swindon (UK) 
Norman Foster
Forum International de Tokyo 
Rafael Vinoly
Hongkong and Shaghai Bank , Norman Foster
Parthénon, Athènes
Panthéon de Rome
Notre Dame de Paris
Frank Ghery
Succursale de Selfridges, Bermingham (arch. Future Systems).
Food Theater Cafe, by Daniel Libeskind, at London, England, 2001.
Calatrava
Marc Mimram
Objectif : compréhension des principes 
fondamentaux du comportement des structures 
Prendre de la hauteur et de l'autonomie par rapport 
aux archétypes, aux recettes et réglementations 
Développer un dialogue réellement riche avec son 
partenaire ingénieur. 
La connaissance des principes plutôt que des 
recettes est la clé d'une pratique innovante. 
Acquisition d'un nouveau langage, celui de la 
structure, dont la maîtrise ajoutera une dimension 
fondamentale à la lecture et à l'expression 
architecturales.
Structure
Définitions 
• Définition 
– Une structure a pour fonction de maintenir la 
géométrie de la construction, en dépit des forces 
qui la sollicitent. 
• Définition complète du problème de structure 
– Géométrie globale 
– Géométrie des sections 
– Nature des liaisons 
– Charges 
– Matériaux
Poutre 
Poutre courbe, de section variable 
Fibre moyenne 
Section droite 
Centre géométrique de la section
Sections bois carrées 20x20 
Sections acier rondes F 2cm
Nature des 
liaisons 
http://thehelpfulengineer.com 
http://www.trada.co.uk/news
Appui simple 
x 
y 
z 
z 
x 
x 
y 
z
Articulation (rotule) 
x 
y 
z 
z 
x 
y 
Exemple de cardan
Articulations
Articulations
Encastrements
Pour un problème plan 
Représentation Réactions potentielles Dépls autorisés
•Une structure endostatique n'est pas stable. Il lui manque des 
liaisons. 
•Une structure isostatique est juste stable : la suppression d'une 
seule liaison la rendrait instable. 
•Une structure hyperstatique comporte des liaisons sur-abondantes 
A 
par rapport à la stabilité. 
B 
C 
Stabilité
Degré d’hyperstaticité externe
Degré d’hyperstaticité interne
Juste stable 
Règle n°2 
Juste stable 
Règle n°3 
Instable 
Règle n°1 
Juste stable 
Règle n°3 
Juste stable 
Règle n°4 
Juste stable 
Règle n°5 
Instable 
Règle n°5 
Juste stable 
Règle n°5
Exemples de structures stables malgré une instabilité interne 
Arc à trois articulations 
Hyperstaticité totale : 0 : juste stable 
Hypersaticité interne : -1 
Hypersaticité externe : +1 
Portique encastré en pied articulé en tête 
Hyperstaticité totale : 1 
Hypersaticité interne : -2 
Hypersaticité externe : +3
FORCES
• Échelle globale : force et équilibre 
– Classification des agressions 
• Permanentes/variables 
• Normales/accidentelles 
• Statiques ou dynamiques 
• Directions 
• Volumiques/surfaciques/linéiques/ponctuelles 
• Forces/déplacements
• Permanentes 
– Poids propre 
– Poussée des terres 
– précontrainte 
• Variables 
– Charges d’utilisation 
– Charges climatiques 
– Autres : séisme, 
construction, … 
Poussée 
des terres 
Pression 
d’eau 
Pression 
combinée
Charges permanentes 
Matériau Poids volumique en kg/m3 
(masse volumique * accélération de la pesanteur) 
Bois De 600 à 800 
Blocs de béton creux 1 350 
Brique pleine 1 900 
Béton armé 2 500 
Pierre de taille 2 700 
Acier 78 500 
Matériau Poids surfacique en kg/m² 
Plancher bacs acier 10 - 50 
Dalle béton armé pleine 15 cm 375 
Plancher Préfabriqué alvéolé 16 cm 240 à 290 
Carrelage et son mortier de pose : 
Grès cérame 4,5 mm 50 
Céramique, pierre dure (15 à 30 mm) 70 à 100 
Parquet de 23 mm 25 
Sol mince textile ou plastique 8 
Partition en carreau de plâtre 10 cm 60 
Plafond suspendu 5
Charges de service normalisées 
Type d'usage Charge d'exploitation en kN/m² 
Logement 1,5 
Balcon d'habitaiton 3,5 
Salle de classe 2,5 
Bibliothèque 4 
Couloirs, escaliers, halls 4 
Salle de réunion avec tables 2,5 
Salles, tribunes, gradins avec places debout 6
Neige Vent
• Normales 
– Fréquentes, d’intensité 
raisonnable. 
– Qui permettent à 
l’installation de fonctionner 
normalement. 
– Génèrent peu de 
déformations, fissures ou 
déplacements. 
• Accidentelles 
– Inhabituelles, de forte 
intensité. 
– Peuvent conduire à des 
désordres importants. 
– Risques majeurs. 
10 
9 
0 1 
2 3 
4 5 6 
7 8 
Magnitude 
2,5 3,5 4,5 5,5 
fréquence annuelle
Zonage 
sismique de la 
France
• Statiques 
– Charges permanentes 
– Vent 
– Neige 
– … 
• Dynamiques 
– Energie cinétique 
• Avalanche 
• Séisme 
• Tsunami 
– Vibrations 
• Séisme 
• Vent 
• Trafic 
• Machines tournantes
Vent : le pont de Tacoma
• Volumiques (poids) 
• Surfaciques (vent, poussée des 
terres) 
• Linéiques (sur une poutre) 
• Ponctuelles (appui isolé)
• Force 
• Déplacements différentiels 
– Dilatation 
Poutre encastrée 
Poutre simplement posée 
– Tassements 
100 m à 2°C 
100 m + 3 cm 
à 32°C 
Force de 
compression
Poids porté : 11 250 kg 
Poids propre : 2 273 kg 
Poutre pleine en acier de section carrée uniforme 
Poutre treillis en acier de hauteur variable 
Poids porté : 11 250 kg 
Poids propre : 278 kg
Centre culturel Jean-Marie Tjibaou, Nouvelle Calédonie, Renzo Piano
Volume fermé Volume ouvert
Définition de la force
Le concept de force 
• Une force produit des déformations, des déplacements. Une force est toute 
cause susceptible de modifier l'état de repos ou de mouvement d'un corps. 
• Son unité est le Newton (N) 
• Le poids P, exprimé en Newton, d’un objet est le produit de sa masse M, 
exprimée en kg par une constante g, l’accélération de la pesanteur, valant 
environ 10 m/s² : P = M x g 
Objet Masse Poids approché 
Une petite pomme 0,1 kg = 100 g 1 N 
Un litre d’eau 1 kg 10 N = 1 daN 
Un parpaing de béton perforé de 5 x 20 x 20 (cm3), 
un pack de 6 bouteilles de 1,5 litre 9 kg 90 N 
Un parpaing de béton creux de 20 x 20 x 50 (cm3) 20 kg 200 N 
Un sac de ciment 50 kg 500 N 
Un basketteur de 2,10 m 100 kg 100 daN = 1 kN 
Une poutre en chêne de 25 x 20 cm de 6 m de long 200 kg 2 kN 
Voiture (citadine) 1 000 kg = 1 t 10 kN 
Dalle de béton armé de 5 x 5 m, de 16 cm d’épaisseur 10 t 100 kN 
Camion semi-remorque chargé 35 t 350 kN 
Locomotive 100 t 1 000 kN = 1 MN 
Petit immeuble d’habitation R+3 de 200 m2 au sol en béton 
armé 1 000 t 10 MN 
Tour Eiffel 10 000 t 100 MN
Définition mathématique 
• Une force est définie par : 
• Son vecteur : 
– Sa direction 
– Son sens 
– Son intensité (en N) 
• Sa ligne d'action 
x 
y 
a : direction 
intensité 
sens 
ligne d ’action 
d
Notion de moment 
• Le moment d ’une force par rapport à un axe est sa tendance à faire 
tourner autour de cet axe 
• On définit le moment d'une force 'F' autour d'un point 'O' comme le 
produit de l'intensité de la force par la distance du point à la ligne d'action 
de la force : M = F x d . 
• Son unité est le N.m (Newton - mètre). 
• La distance 'd' (ou bras de levier) est mesurée sur la perpendiculaire à la 
ligne d'action, passant par 'O'. 
d 
F 
d d 
d1 
d2 
F1 
F2
d1 
F 
F 
M1 d2 < d1 
M2 < M1 
d = 0 
F 
M3 = 0
Notations, conventions de signe 
• Force, intensité, valeur algébrique : F ; vecteur : F 
• Valeur algébrique : le signe donne le sens par rapport à un 
sens conventionnel : représentation graphique ou repère 
explicité 
x 
y 
F = 500 N 
F = -500 N
Convention classique pour le signe du moment dans 
un repère 
x 
y 
z 
+ 
x 
y 
z 
+
x 
y 
F1 
F2 
F1 
F2 
F1 
F2
Somme vectorielle 
x 
y 
a 
F 
F Fy 
Fx 
F = 
4 daN 
-3 daN 
intensité 
F1 
F2 
Ftot 
Fy1 
Fy2 
Fytot 
Fxtot 
Fx1 
Fx2 
x 
y 
Le vecteur de la 
somme des forces est 
la somme des vecteurs 
des forces 
individuelles.
 La ligne d'action de la somme de 2 forces concourantes passe 
par le pt d'intersection des deux lignes d'action. 
F1 
F2 
F1+F2 
F2 
F1 
 La ligne d'action de la somme de deux forces parallèles passe 
par un point autour duquel la somme des moments des forces 
prises individuellement est nul.
Forces équivalentes 
Du point de vue de l'équilibre: 
a) On ne change pas l'effet d'une force en la 
translatant le long de sa ligne d'action 
b) On peut remplacer un ensemble de forces 
ponctuelles par leur somme 
c) On peut toujours définir une force ponctuelle 
équivalente à une force répartie. F F 
P
P = q.L 
L 
q 
L/2 
qmax 
P = qmax.L/2 
L 
L/3 
Forces équivalentes 
G 
L/3
Forces équivalentes 
Nature de la force répartie Grandeur caractéristique Force équivalente (N) 
Sur un volume V (m3) Force volumique : f (N/m3) F = V ´ f 
Sur une surface S (m2) Force surfacique : p (N/m2) F = S ´ p 
Sur un segment L (m) Force linéique : q (N/m) F = L ´ q
CONDITIONS DE 
L’EQUILIBRE
Réalisation de l’équilibre grâce aux réactions 
Poids propre 
(ponctuelle équivalente) 
Réaction 
Réaction 
Poids gymnaste
Equations d’équilibre 
• Si le problème est plan, on peut écrire trois équations : 
– 1. Somme des composantes dans la direction 'X' est nulle 
– 2. Somme des composantes dans la direction 'Y' est nulle 
– 3. Somme des moments autour d'un point quelconque est nul
d=0.6m 
h=2m 
F
x 
y 
F 
RAx 
RBy 
RBx 
F 
d=0.6m 
h=2m
VERT JAUNE 
Quel est le moment total des forces extérieures autour de l’encastrement A (intensité et sens) ? 
2 kN 
5m 
1 kN 1 kN 
10m 
1,5 kN 
0,5 kN 
10 daN/m 
A 
2 kN 
2m 
2m 
20 daN 
1 kN 1 kN 
1 kN 1 kN 
5m 
10m 
2m 
1m 
20 daN 
10 daN/m 
A 
Le système de forces appliquées sur la structure ci-dessous est-il en équilibre?
EFFORTS INTERNES
Colonne sur statue 
Statue sur colonne 
Partie basse sur 
partie haute 
Partie haute sur 
partie basse 
Section fictive 
Sol sur colonne 
Colonne sur sol 
Ps 
Pch 
Pcb
Principe de l’obtention des efforts internes 
Coupe Forces exercées par 
la partie gauche sur 
la partie droite
On appèle efforts internes les forces exercées par la partie gauche de la 
structure sur la partie droite, ces deux parties étant situées de part et d'autre 
d'une section fictive. La gauche et la droite étant définies grâce au choix 
explicité d'un axe orienté. 
Coupe Forces exercées par 
la partie gauche sur 
la partie droite 
Les efforts internes sont donc: 
•la somme des forces et moments extérieurs appliqués sur la partie gauche, 
(c'est-à-dire transmis par la partie gauche à la partie droite). 
•Les forces appliqués par la partie gauche sur la partie droite, qui permettent 
d’équilibrer les forces extérieures qui agissent sur cette dernière.
Repère global : réactions d ’appui X 
Repères locaux : 
efforts internes 
Y 
+ 
x 
y + 
x 
y + 
+ x 
x 
y 
+ 
y
x 
y 
z 
Nx 
Ty 
Tz 
Mt 
Mz 
My 
G 
Les efforts de la RDM sont les composantes de force et de 
moment dans le repère local défini ci-dessus de la force 
résultante du système de forces et de moments appliqués sur la 
partie gauche.
N 
Ty 
Mz 
Mt
x 
y + 
L 
q 
A B
Diagramme des efforts 
• Un diagramme d'effort est la courbe qui représente 
l'évolution de l'effort en fonction de la position de 
la section le long de la fibre moyenne de l'élément. 
• L'équation de cette courbe correspond à 
l'expression de l'effort en fonction de 'x' : la 
position de la section repérée le long de la fibre 
moyenne, et à partir d'une extrémité de l'élément : 
Nx = f(x) ; Ty = g(x) ; Mz = h(x) ; …
Zone 1 Zone 2 
Zone 3 
Zone 1 
Zone 2 Zone 3 
Zone 4 
Zone 1 
Zone 3 
Zone 4 
Zone 2
T 
M 
M(6m) 
6 m 
8 m
Configuration Effort tranchant Moment fléchissant 
q 
|T|max = qL/2 
+ 
- 
+ 
|M|max = qL²/8 
FF == qq..LL 
+ 
- 
|T|max = qL/2 
+ 
|M|max = qL²/8 
- 
FF == qq..LL 
+ 
- 
|T|max = 11qL/16 
+ 
|M|max = 0,75qL²/4 
FF == qq..LL 
+ 
- 
|T|max = qL/2 
+ 
|M|max = qL²/4 
FF == qq..LL 
- 
|T|max = qL 
- 
|M|max = qL²
A 
B 
Dq 
Dq 
rA = 1/CA 
rB = 1/CB
M = -E.I.C 
- - 
+ 
+
UNE SCULPTURE FLECHIE 
• A rendre pour le 18/11/07 
• L'idée est de créer une structure plane qui interroge sur l'idée de flexion. Bien que la 
morphologie de la structure, ses liaisons et son chargement doivent répondre à des 
critères stricts, la créativité est convoquée pour une proposition originale sur la forme 
d'une part, et qui révèle une déformée inattendue d'autre part, incitant à s'interroger. 
– A l'aide de 4 baguettes de balsa, 40 cm de longueur, réalisez une structure plane ouverte, 
dans laquelle toutes les liaisons internes sont des encastrements. 
N.B. Une structure ouverte est une structure dont on peut faire un croquis sans lever le crayon, 
et sans repasser sur un point déjà dessiné. 
– Stabilisez votre structure dans le plan en ajoutant trois liaisons externes de façon à rendre la 
structure isostatique. 
– Chargez la structure par une force ponctuelle. 
– Relevez la déformée. 
– Déterminez et tracez le diagramme des moments sur toute la structure. 
– Evaluez la cohérence entre les courbures de la déformée et le diagramme des moments. 
• Le relevé à l'échelle de la structure avant et après déformation, le diagramme des 
moments, ainsi que son interprétation en terme de courbure seront rendus sur une 
feuille A3. 
• Concrètement, les liaisons encastrement seront réalisées par des goussets rigides, et 
les liaisons avec l'extérieur par des épingles plantées dans un support.
Vert Jaune 
Soient les schémas des structures déformées ci-dessous. Pour chaque zone, 
dites s’il est le siège d’un effort normal et/ou d’un moment fléchissant. 
Donnez les valeurs de N, V et M au point P, compte tenu du repère local 
h 
P 
L/2 L/2 
F 
h 
P 
L/2 L/2 
F
CONTRAINTES
100 tonnes réparties 
sur 50 briques 
2 tonnes sur une brique 
s=F/S 
s1 < s2 
Une contrainte est une 
force par unité de surface: 
s = F/S Son unité est le 
N/m² ou le Pa 
La contrainte
Résistance uniaxiale 
Résistance Matériau uniaxiale (en Mpa) Traction Compression 
Béton standard 3,5 40 
Granit 15 180 
Sapin (sans défauts) 80 40 
Chêne (sans défauts) 90 50 
Acier doux 400 400 
Câbles en acier 1700 
Composite fibre de verre 1400 
Composite fibre de carbone 800 
Alliages d'aluminium De 300 à 650 De 300 à 650 
Boyau de chat 350 
Fil d'araignée 240 
Os 140
NB : dans cette figure, la contrainte (en Pa) est 
représentée par une flèche, symbole 
traditionnellement réservé à la force (N). 
sx 
txz 
txy 
On fait apparaître la composante normale, appelée 'sx', et les 
composantes qui sont tangentes à la section : 'txy' dans la 
direction de 'y' et 'txz' dans la direction de 'z'.
a b
N.B. : Sur cette figure, les flèches représentent 
bien des forces, qui résultent des contraintes : 
fi 
x = si 
x*si , fiy = ti 
xy*si 
fi 
x 
fi 
z 
si 
fi 
y 
z 
y 
yi
Nx 
Mz 
C 
C : Compression T : Traction 
C 
T T 
T 
C 
C 
T 
C
DEFORMATIONS
La déformation 
Soit un segment de longueur infinitésimal centré sur un point 
P. On définit la déformation longitudinale en ce point comme 
étant la variation de longueur du segment divisée par sa 
longueur initiale : 
ex = du/dx 
dx : longueur initiale du segment infinitésimal 
du : variation de longueur 
ex: déformation longitudinale dans la direction ‘x’ (celle du 
segment considéré).
x 
P 
dx 
du 
Longueur initiale 
Longueur finale
A 
uA = DL 
A 
L 
DL/2 
L/2 
La déformation longitudinale 
moyenne est la variation de 
longueur divisée par la longueur 
initiale. C'est encore l'allongement 
unitaire ou un pourcentage 
d'allongement. Une déformation de 
100% correspond à un doublement 
de la longueur initiale. 
La déformation, comme la 
contrainte, décrit l'état local du 
matériau, et caractérise ici la 
variation de distance entre 
molécules.
La distorsion g mesure la variation d'angle de l'angle droit. 
Distorsion 
Déformation longitudinale
ELASTICITE
ex 
Comportement élastique 
sx 
E 
traction 
compression
Matériau Module d'Young (MPa) 
Sapin 10 500 
Chêne 12 500 
Béton 25 000 - 40 000 
Pierre (calcaire compact) 70 000 
Brique 10 000 
Acier 205 000 
Aluminium 70 000 
Os 21 000 
Verre courant 70 000 
Diamant 1 200 000
Sollicitation 
Etude des contraintes 
Forces connues 
Réactions 
Efforts de la RDM 
Hypothèse de distribution des contraintes 
Observation des déformations 
Contrainte en tout point
EFFORT NORMAL 
Sous un effort normal seul, 
la déformation longitudinale 
( ex = du/dx ) 
est uniforme sur toute la section. 
Sous un effort normal seul, seule 
une contrainte normale est 
engendrée, et 
sa distribution est uniforme dans 
la section : sx = -Nx/S 
du
Exemples de structures soumises essentiellement à l’effort normal
VERT JAUNE 
Une tige de 2m réalisée dans un matériau dont le module d’élasticité 
vaut 10000 MPa subit une déformation de 0,001. 
Quel est son niveau de contrainte? De combien s’est-elle allongée? 
Une tige de 2m se raccourci de 
0,2mm sous une contrainte de 3 Mpa. 
Quelle est sa déformation? 
Une tige de 10m subit une 
déformation de 0,001 sous une 
contrainte de 30 Mpa. Quel est 
son module d’élasticité?
MOMENT FLECHISSANT
G1 
G2 
M 
M’ 
r 
y
G 
sx : traction 
sx : compression 
x 
y 
Fibre supérieure ( y = -h/2 ) 
Fibre inférieure ( y = +h/2 ) 
h
G 
sx : traction 
sx : compression 
G
Une section soumise à un moment fléchissant seul est le siège 
d'une distribution linéaire de contrainte, qui passe par la valeur 
nulle au centre de gravité de la section: 
sx(y) = Mz.y / Iz 
Le moment génère donc de la compression sur certaines fibres, 
et de la traction sur les fibres opposées par rapport au centre de 
gravité. Les valeurs absolues maximales de traction et de 
compression sont obtenues sur les deux fibres extrêmes. 
Si le moment est positif, la fibre en traction (sx > 0) est du côté 
des y positifs. 
Les valeurs maximales de la contrainte font intervenir l'inertie 
de la section, notée Iz, qui est une grandeur fondamentale 
caractéristique de la géométrie de la section, et qui rend compte 
de l'excentrement de la matière autour de l'axe z.
sx : traction 
G 
sx : compression 
P 
G
- - - - - - - - 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ + + + + + + + 
sx : traction 
G 
sx : compression 
P/2 
P 
G 
P/2 
+ 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
-
Inertie 
* L'inertie est une caractéristique de la géométrie de la section. 
* Son unité est le m4 
* Elle représente la dispersion de la matière autour d'un axe, ou 
son degré d'éloignement. 
* Plus l'inertie est élevée, plus la poutre est résistante et raide à 
la flexion. 
En effet : plus la matière est éloignée du centre de gravité, plus le 
bras de levier des forces intermoléculaires qu'elle développe est 
grand, et donc plus elle peut contribuer à l'équilibre du moment 
sollicitant.
z 
y 
z 
y
Acier
FLEXION COMPOSEE 
G 
sx : traction 
s sx : compression x : compression 
sx : compression 
G 
sx : traction 
+ = 
G 
sx : traction 
sx s : compression x : traction 
sx : traction 
+ = G 
sx : traction 
sx = -Nx/S + Mz.y/Iz
Poutre non précontraine 
Mise en traction du câble 
Mise en précontrainte du béton 
Chargement équivalent de la poutre précontrainte 
Distribution de contrainte dans 
le béton au centre de la poutre 
compression traction 
Contraintes ultimes 
compression traction 
compression traction
EFFORT TRANCHANT
x 
y 
txy 
txy sur une 
seule face 
txy txy 
txy sur deux 
faces opposées 
tyx 
txy et tyx réalisant 
l’équilibre 
txy 
txy 
txy 
tyx
Compression 
Traction 
Compression 
Traction 
Distribution de contrainte normale sx 
Sur chaque couche, le moment est trois fois 
plus faible, ainsi que le bras de levier des 
forces intermoléculaires. 
Les résultantes de compression et de 
traction (surface des triangles) doivent alors 
être identiques. 
La contrainte doit donc être trois fois plus forte. 
Résultante de 
compression 
Bras de 
levier
txymax 
txymax 
txymax
txymax 
txymax
EFFORT TRANCHANT 
tmax = Ty/Sc 
Avec : tmax : contrainte de cisaillement maximale 
Ty : effort tranchant 
Sc : surface corrigée, dépendant du type de profil : 
Section rect. massive : Sc = 2/3 S 
Section circ. massive : Sc = 3/4 S 
Section circ. mince : Sc = 1/2 S 
Profil en ‘I’ : Sc = Section de l’âme seule 
S étant la surface totale de la section
Le flambement
L 
Lfl 
Lfl Lfl 
Ncrit = p²E.I./L²fl 
Avec : E : Module d'Young 
I : Moment d'Inertie minimale de la section 
Lfl : Longueur de flambement
On peut donc retenir de l'expression de la charge critique de 
flambement que la résistance au flambement : 
•Croît avec la raideur en flexion de la poutre, et notamment 
avec l'inertie. 
•Dépend de la plus faible valeur de l'inertie : dans le plan de 
plus faible raideur de flexion. (I min = hb3/12 pour une section 
rectangulaire et b < h) 
•Est inversement proportionnel au carré de la longueur. 
•Dépend des conditions aux limites, qui déterminent le mode 
de flambement.
Flambement d’ensemble
Complément sur les structures 
soumises essentiellement à 
l’effort normal
dA dB 
A B 
C 
P 
A 
dA 
Repère local 
RA 
B 
dB 
Repère local 
RB 
Câbles
dA dB 
A B 
C1 
P 
C2 
dA dB 
A B 
a b 
C 
P 
h
On constate que: 
•Contrairement aux composantes horizontales, les composantes 
verticales des réactions ne dépendent que de la position sur 
l'horizontale de la ligne d'action, et non pas de la hauteur de C (ou 
de la longueur du câble, ou encore de l'angle). 
•Plus la hauteur est importante, et plus les composantes 
horizontales, et donc aussi l'effort normal sont faibles. 
•Le rapport des angles de départ du câble (ou plus exactement de 
leur tangente) ne dépend que de la position sur l'horizontale de la 
ligne d'action de la force.
F1 F2 
dA dB 
A B 
C 
P 
D 
A B 
F1 F2
x/2 x/2 
q 
q.x 
A B 
RAx 
RAy 
x 
y 
C
En résumé, le câble (non pesant) supportant une charge 
uniformément répartie : 
• Prend la forme d'une parabole 
• Exerce une composante horizontale de traction aux appuis qui 
varie comme L²/h 
• Exerce une composante verticale indépendante de la flèche 
• Subit un effort normal plus important près des ancrages.
Arcs
arcs câbles 
En compression En traction 
Sujet au flambement Pas de risque de flambement 
Il faut les rigidifier à la flexion Ils restent souples à la flexion 
Il faut leur donner une forme funiculaire Ils prennent automatiquement la forme 
funiculaire 
La géométrie est 
toujours maintenue 
La flexion apparaît si 
la force change 
La géométrie varie en 
fonction de la force 
Il n'y a jamais de 
flexion 
Accroître la résistance à 
la flexion et 
précontraindre pour 
limiter les efforts de 
traction 
Les charges constantes doivent être 
grandes devant les surcharges variables 
Il faut précontraindre 
pour limiter les 
déplacements
Treillis 
On peut énoncer les propriétés suivantes des treillis : 
•Chaque barre n’est soumise qu’à un effort normal. 
•L’effort normal est constant le long de la barre. 
•L’action de toute sous-structure ou d'un appui sur une 
barre est nécessairement orientée comme la barre.
- - - - - - - - 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ + + + + + + + 
P/2 
P/2 
+ 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
P 
P 
- 
- 
Moment Mz 
Effort tranchant Ty

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Support du cours

  • 1. Statique, résistance des matériaux, structures
  • 2. Contrôle des connaissances • Contrôle continu : 50% – Exercice filé, 4 rendus – Contrôles rapides en début de CM • Retard = Absence = 0 si non justifié près admin. • Contrôle final : 50% – En 2 heures – Document autorisé : une feuille A4 r/v de notes personnelles
  • 3. Fonctionnement • Il est interdit de ne pas comprendre : posez des questions! • 1h de cours, 1h à la maison : – Relisez et apprenez le cours – Faites des exercices y afférant, préparez les TD • Ne prenez pas de retard! • Sollicitez le prof autant que de besoin • Soyez actifs en TD
  • 4. Plan du cours • Introduction • Échelle globale : force et équilibre • Échelle de la section : forces internes • Échelle du matériau : contraintes et déformations • Les critères de dimensionnement
  • 5.
  • 6. Stabilité Force de volume Force de contact Equilibre Frottement Déplacement Vitesse Accélération Flexion Inertie Pression Déformation Raideur Moment Force interne Travail Traction, compression
  • 7.
  • 8.
  • 9.
  • 10.
  • 12.
  • 16. Quartier général de Renault à Swindon (UK) Norman Foster
  • 17. Forum International de Tokyo Rafael Vinoly
  • 18. Hongkong and Shaghai Bank , Norman Foster
  • 21. Notre Dame de Paris
  • 22.
  • 23.
  • 25. Succursale de Selfridges, Bermingham (arch. Future Systems).
  • 26. Food Theater Cafe, by Daniel Libeskind, at London, England, 2001.
  • 29. Objectif : compréhension des principes fondamentaux du comportement des structures Prendre de la hauteur et de l'autonomie par rapport aux archétypes, aux recettes et réglementations Développer un dialogue réellement riche avec son partenaire ingénieur. La connaissance des principes plutôt que des recettes est la clé d'une pratique innovante. Acquisition d'un nouveau langage, celui de la structure, dont la maîtrise ajoutera une dimension fondamentale à la lecture et à l'expression architecturales.
  • 30.
  • 32. Définitions • Définition – Une structure a pour fonction de maintenir la géométrie de la construction, en dépit des forces qui la sollicitent. • Définition complète du problème de structure – Géométrie globale – Géométrie des sections – Nature des liaisons – Charges – Matériaux
  • 33. Poutre Poutre courbe, de section variable Fibre moyenne Section droite Centre géométrique de la section
  • 34.
  • 35. Sections bois carrées 20x20 Sections acier rondes F 2cm
  • 36. Nature des liaisons http://thehelpfulengineer.com http://www.trada.co.uk/news
  • 37. Appui simple x y z z x x y z
  • 38. Articulation (rotule) x y z z x y Exemple de cardan
  • 41.
  • 42.
  • 43.
  • 44.
  • 45.
  • 46.
  • 48.
  • 49. Pour un problème plan Représentation Réactions potentielles Dépls autorisés
  • 50. •Une structure endostatique n'est pas stable. Il lui manque des liaisons. •Une structure isostatique est juste stable : la suppression d'une seule liaison la rendrait instable. •Une structure hyperstatique comporte des liaisons sur-abondantes A par rapport à la stabilité. B C Stabilité
  • 51.
  • 54. Juste stable Règle n°2 Juste stable Règle n°3 Instable Règle n°1 Juste stable Règle n°3 Juste stable Règle n°4 Juste stable Règle n°5 Instable Règle n°5 Juste stable Règle n°5
  • 55.
  • 56. Exemples de structures stables malgré une instabilité interne Arc à trois articulations Hyperstaticité totale : 0 : juste stable Hypersaticité interne : -1 Hypersaticité externe : +1 Portique encastré en pied articulé en tête Hyperstaticité totale : 1 Hypersaticité interne : -2 Hypersaticité externe : +3
  • 57.
  • 58.
  • 59.
  • 61. • Échelle globale : force et équilibre – Classification des agressions • Permanentes/variables • Normales/accidentelles • Statiques ou dynamiques • Directions • Volumiques/surfaciques/linéiques/ponctuelles • Forces/déplacements
  • 62. • Permanentes – Poids propre – Poussée des terres – précontrainte • Variables – Charges d’utilisation – Charges climatiques – Autres : séisme, construction, … Poussée des terres Pression d’eau Pression combinée
  • 63. Charges permanentes Matériau Poids volumique en kg/m3 (masse volumique * accélération de la pesanteur) Bois De 600 à 800 Blocs de béton creux 1 350 Brique pleine 1 900 Béton armé 2 500 Pierre de taille 2 700 Acier 78 500 Matériau Poids surfacique en kg/m² Plancher bacs acier 10 - 50 Dalle béton armé pleine 15 cm 375 Plancher Préfabriqué alvéolé 16 cm 240 à 290 Carrelage et son mortier de pose : Grès cérame 4,5 mm 50 Céramique, pierre dure (15 à 30 mm) 70 à 100 Parquet de 23 mm 25 Sol mince textile ou plastique 8 Partition en carreau de plâtre 10 cm 60 Plafond suspendu 5
  • 64. Charges de service normalisées Type d'usage Charge d'exploitation en kN/m² Logement 1,5 Balcon d'habitaiton 3,5 Salle de classe 2,5 Bibliothèque 4 Couloirs, escaliers, halls 4 Salle de réunion avec tables 2,5 Salles, tribunes, gradins avec places debout 6
  • 66. • Normales – Fréquentes, d’intensité raisonnable. – Qui permettent à l’installation de fonctionner normalement. – Génèrent peu de déformations, fissures ou déplacements. • Accidentelles – Inhabituelles, de forte intensité. – Peuvent conduire à des désordres importants. – Risques majeurs. 10 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Magnitude 2,5 3,5 4,5 5,5 fréquence annuelle
  • 67. Zonage sismique de la France
  • 68. • Statiques – Charges permanentes – Vent – Neige – … • Dynamiques – Energie cinétique • Avalanche • Séisme • Tsunami – Vibrations • Séisme • Vent • Trafic • Machines tournantes
  • 69. Vent : le pont de Tacoma
  • 70. • Volumiques (poids) • Surfaciques (vent, poussée des terres) • Linéiques (sur une poutre) • Ponctuelles (appui isolé)
  • 71. • Force • Déplacements différentiels – Dilatation Poutre encastrée Poutre simplement posée – Tassements 100 m à 2°C 100 m + 3 cm à 32°C Force de compression
  • 72. Poids porté : 11 250 kg Poids propre : 2 273 kg Poutre pleine en acier de section carrée uniforme Poutre treillis en acier de hauteur variable Poids porté : 11 250 kg Poids propre : 278 kg
  • 73.
  • 74. Centre culturel Jean-Marie Tjibaou, Nouvelle Calédonie, Renzo Piano
  • 77. Le concept de force • Une force produit des déformations, des déplacements. Une force est toute cause susceptible de modifier l'état de repos ou de mouvement d'un corps. • Son unité est le Newton (N) • Le poids P, exprimé en Newton, d’un objet est le produit de sa masse M, exprimée en kg par une constante g, l’accélération de la pesanteur, valant environ 10 m/s² : P = M x g Objet Masse Poids approché Une petite pomme 0,1 kg = 100 g 1 N Un litre d’eau 1 kg 10 N = 1 daN Un parpaing de béton perforé de 5 x 20 x 20 (cm3), un pack de 6 bouteilles de 1,5 litre 9 kg 90 N Un parpaing de béton creux de 20 x 20 x 50 (cm3) 20 kg 200 N Un sac de ciment 50 kg 500 N Un basketteur de 2,10 m 100 kg 100 daN = 1 kN Une poutre en chêne de 25 x 20 cm de 6 m de long 200 kg 2 kN Voiture (citadine) 1 000 kg = 1 t 10 kN Dalle de béton armé de 5 x 5 m, de 16 cm d’épaisseur 10 t 100 kN Camion semi-remorque chargé 35 t 350 kN Locomotive 100 t 1 000 kN = 1 MN Petit immeuble d’habitation R+3 de 200 m2 au sol en béton armé 1 000 t 10 MN Tour Eiffel 10 000 t 100 MN
  • 78. Définition mathématique • Une force est définie par : • Son vecteur : – Sa direction – Son sens – Son intensité (en N) • Sa ligne d'action x y a : direction intensité sens ligne d ’action d
  • 79. Notion de moment • Le moment d ’une force par rapport à un axe est sa tendance à faire tourner autour de cet axe • On définit le moment d'une force 'F' autour d'un point 'O' comme le produit de l'intensité de la force par la distance du point à la ligne d'action de la force : M = F x d . • Son unité est le N.m (Newton - mètre). • La distance 'd' (ou bras de levier) est mesurée sur la perpendiculaire à la ligne d'action, passant par 'O'. d F d d d1 d2 F1 F2
  • 80. d1 F F M1 d2 < d1 M2 < M1 d = 0 F M3 = 0
  • 81. Notations, conventions de signe • Force, intensité, valeur algébrique : F ; vecteur : F • Valeur algébrique : le signe donne le sens par rapport à un sens conventionnel : représentation graphique ou repère explicité x y F = 500 N F = -500 N
  • 82. Convention classique pour le signe du moment dans un repère x y z + x y z +
  • 83. x y F1 F2 F1 F2 F1 F2
  • 84. Somme vectorielle x y a F F Fy Fx F = 4 daN -3 daN intensité F1 F2 Ftot Fy1 Fy2 Fytot Fxtot Fx1 Fx2 x y Le vecteur de la somme des forces est la somme des vecteurs des forces individuelles.
  • 85.  La ligne d'action de la somme de 2 forces concourantes passe par le pt d'intersection des deux lignes d'action. F1 F2 F1+F2 F2 F1  La ligne d'action de la somme de deux forces parallèles passe par un point autour duquel la somme des moments des forces prises individuellement est nul.
  • 86. Forces équivalentes Du point de vue de l'équilibre: a) On ne change pas l'effet d'une force en la translatant le long de sa ligne d'action b) On peut remplacer un ensemble de forces ponctuelles par leur somme c) On peut toujours définir une force ponctuelle équivalente à une force répartie. F F P
  • 87. P = q.L L q L/2 qmax P = qmax.L/2 L L/3 Forces équivalentes G L/3
  • 88. Forces équivalentes Nature de la force répartie Grandeur caractéristique Force équivalente (N) Sur un volume V (m3) Force volumique : f (N/m3) F = V ´ f Sur une surface S (m2) Force surfacique : p (N/m2) F = S ´ p Sur un segment L (m) Force linéique : q (N/m) F = L ´ q
  • 90. Réalisation de l’équilibre grâce aux réactions Poids propre (ponctuelle équivalente) Réaction Réaction Poids gymnaste
  • 91. Equations d’équilibre • Si le problème est plan, on peut écrire trois équations : – 1. Somme des composantes dans la direction 'X' est nulle – 2. Somme des composantes dans la direction 'Y' est nulle – 3. Somme des moments autour d'un point quelconque est nul
  • 93. x y F RAx RBy RBx F d=0.6m h=2m
  • 94. VERT JAUNE Quel est le moment total des forces extérieures autour de l’encastrement A (intensité et sens) ? 2 kN 5m 1 kN 1 kN 10m 1,5 kN 0,5 kN 10 daN/m A 2 kN 2m 2m 20 daN 1 kN 1 kN 1 kN 1 kN 5m 10m 2m 1m 20 daN 10 daN/m A Le système de forces appliquées sur la structure ci-dessous est-il en équilibre?
  • 96.
  • 97.
  • 98.
  • 99. Colonne sur statue Statue sur colonne Partie basse sur partie haute Partie haute sur partie basse Section fictive Sol sur colonne Colonne sur sol Ps Pch Pcb
  • 100. Principe de l’obtention des efforts internes Coupe Forces exercées par la partie gauche sur la partie droite
  • 101. On appèle efforts internes les forces exercées par la partie gauche de la structure sur la partie droite, ces deux parties étant situées de part et d'autre d'une section fictive. La gauche et la droite étant définies grâce au choix explicité d'un axe orienté. Coupe Forces exercées par la partie gauche sur la partie droite Les efforts internes sont donc: •la somme des forces et moments extérieurs appliqués sur la partie gauche, (c'est-à-dire transmis par la partie gauche à la partie droite). •Les forces appliqués par la partie gauche sur la partie droite, qui permettent d’équilibrer les forces extérieures qui agissent sur cette dernière.
  • 102. Repère global : réactions d ’appui X Repères locaux : efforts internes Y + x y + x y + + x x y + y
  • 103. x y z Nx Ty Tz Mt Mz My G Les efforts de la RDM sont les composantes de force et de moment dans le repère local défini ci-dessus de la force résultante du système de forces et de moments appliqués sur la partie gauche.
  • 104. N Ty Mz Mt
  • 105. x y + L q A B
  • 106. Diagramme des efforts • Un diagramme d'effort est la courbe qui représente l'évolution de l'effort en fonction de la position de la section le long de la fibre moyenne de l'élément. • L'équation de cette courbe correspond à l'expression de l'effort en fonction de 'x' : la position de la section repérée le long de la fibre moyenne, et à partir d'une extrémité de l'élément : Nx = f(x) ; Ty = g(x) ; Mz = h(x) ; …
  • 107. Zone 1 Zone 2 Zone 3 Zone 1 Zone 2 Zone 3 Zone 4 Zone 1 Zone 3 Zone 4 Zone 2
  • 108. T M M(6m) 6 m 8 m
  • 109. Configuration Effort tranchant Moment fléchissant q |T|max = qL/2 + - + |M|max = qL²/8 FF == qq..LL + - |T|max = qL/2 + |M|max = qL²/8 - FF == qq..LL + - |T|max = 11qL/16 + |M|max = 0,75qL²/4 FF == qq..LL + - |T|max = qL/2 + |M|max = qL²/4 FF == qq..LL - |T|max = qL - |M|max = qL²
  • 110.
  • 111. A B Dq Dq rA = 1/CA rB = 1/CB
  • 112. M = -E.I.C - - + +
  • 113. UNE SCULPTURE FLECHIE • A rendre pour le 18/11/07 • L'idée est de créer une structure plane qui interroge sur l'idée de flexion. Bien que la morphologie de la structure, ses liaisons et son chargement doivent répondre à des critères stricts, la créativité est convoquée pour une proposition originale sur la forme d'une part, et qui révèle une déformée inattendue d'autre part, incitant à s'interroger. – A l'aide de 4 baguettes de balsa, 40 cm de longueur, réalisez une structure plane ouverte, dans laquelle toutes les liaisons internes sont des encastrements. N.B. Une structure ouverte est une structure dont on peut faire un croquis sans lever le crayon, et sans repasser sur un point déjà dessiné. – Stabilisez votre structure dans le plan en ajoutant trois liaisons externes de façon à rendre la structure isostatique. – Chargez la structure par une force ponctuelle. – Relevez la déformée. – Déterminez et tracez le diagramme des moments sur toute la structure. – Evaluez la cohérence entre les courbures de la déformée et le diagramme des moments. • Le relevé à l'échelle de la structure avant et après déformation, le diagramme des moments, ainsi que son interprétation en terme de courbure seront rendus sur une feuille A3. • Concrètement, les liaisons encastrement seront réalisées par des goussets rigides, et les liaisons avec l'extérieur par des épingles plantées dans un support.
  • 114.
  • 115.
  • 116. Vert Jaune Soient les schémas des structures déformées ci-dessous. Pour chaque zone, dites s’il est le siège d’un effort normal et/ou d’un moment fléchissant. Donnez les valeurs de N, V et M au point P, compte tenu du repère local h P L/2 L/2 F h P L/2 L/2 F
  • 117.
  • 118.
  • 120. 100 tonnes réparties sur 50 briques 2 tonnes sur une brique s=F/S s1 < s2 Une contrainte est une force par unité de surface: s = F/S Son unité est le N/m² ou le Pa La contrainte
  • 121. Résistance uniaxiale Résistance Matériau uniaxiale (en Mpa) Traction Compression Béton standard 3,5 40 Granit 15 180 Sapin (sans défauts) 80 40 Chêne (sans défauts) 90 50 Acier doux 400 400 Câbles en acier 1700 Composite fibre de verre 1400 Composite fibre de carbone 800 Alliages d'aluminium De 300 à 650 De 300 à 650 Boyau de chat 350 Fil d'araignée 240 Os 140
  • 122. NB : dans cette figure, la contrainte (en Pa) est représentée par une flèche, symbole traditionnellement réservé à la force (N). sx txz txy On fait apparaître la composante normale, appelée 'sx', et les composantes qui sont tangentes à la section : 'txy' dans la direction de 'y' et 'txz' dans la direction de 'z'.
  • 123. a b
  • 124. N.B. : Sur cette figure, les flèches représentent bien des forces, qui résultent des contraintes : fi x = si x*si , fiy = ti xy*si fi x fi z si fi y z y yi
  • 125. Nx Mz C C : Compression T : Traction C T T T C C T C
  • 127. La déformation Soit un segment de longueur infinitésimal centré sur un point P. On définit la déformation longitudinale en ce point comme étant la variation de longueur du segment divisée par sa longueur initiale : ex = du/dx dx : longueur initiale du segment infinitésimal du : variation de longueur ex: déformation longitudinale dans la direction ‘x’ (celle du segment considéré).
  • 128. x P dx du Longueur initiale Longueur finale
  • 129. A uA = DL A L DL/2 L/2 La déformation longitudinale moyenne est la variation de longueur divisée par la longueur initiale. C'est encore l'allongement unitaire ou un pourcentage d'allongement. Une déformation de 100% correspond à un doublement de la longueur initiale. La déformation, comme la contrainte, décrit l'état local du matériau, et caractérise ici la variation de distance entre molécules.
  • 130. La distorsion g mesure la variation d'angle de l'angle droit. Distorsion Déformation longitudinale
  • 132. ex Comportement élastique sx E traction compression
  • 133. Matériau Module d'Young (MPa) Sapin 10 500 Chêne 12 500 Béton 25 000 - 40 000 Pierre (calcaire compact) 70 000 Brique 10 000 Acier 205 000 Aluminium 70 000 Os 21 000 Verre courant 70 000 Diamant 1 200 000
  • 134. Sollicitation Etude des contraintes Forces connues Réactions Efforts de la RDM Hypothèse de distribution des contraintes Observation des déformations Contrainte en tout point
  • 135. EFFORT NORMAL Sous un effort normal seul, la déformation longitudinale ( ex = du/dx ) est uniforme sur toute la section. Sous un effort normal seul, seule une contrainte normale est engendrée, et sa distribution est uniforme dans la section : sx = -Nx/S du
  • 136.
  • 137.
  • 138.
  • 139.
  • 140.
  • 141.
  • 142.
  • 143.
  • 144.
  • 145.
  • 146. Exemples de structures soumises essentiellement à l’effort normal
  • 147.
  • 148.
  • 149.
  • 150.
  • 151. VERT JAUNE Une tige de 2m réalisée dans un matériau dont le module d’élasticité vaut 10000 MPa subit une déformation de 0,001. Quel est son niveau de contrainte? De combien s’est-elle allongée? Une tige de 2m se raccourci de 0,2mm sous une contrainte de 3 Mpa. Quelle est sa déformation? Une tige de 10m subit une déformation de 0,001 sous une contrainte de 30 Mpa. Quel est son module d’élasticité?
  • 153. G1 G2 M M’ r y
  • 154. G sx : traction sx : compression x y Fibre supérieure ( y = -h/2 ) Fibre inférieure ( y = +h/2 ) h
  • 155. G sx : traction sx : compression G
  • 156. Une section soumise à un moment fléchissant seul est le siège d'une distribution linéaire de contrainte, qui passe par la valeur nulle au centre de gravité de la section: sx(y) = Mz.y / Iz Le moment génère donc de la compression sur certaines fibres, et de la traction sur les fibres opposées par rapport au centre de gravité. Les valeurs absolues maximales de traction et de compression sont obtenues sur les deux fibres extrêmes. Si le moment est positif, la fibre en traction (sx > 0) est du côté des y positifs. Les valeurs maximales de la contrainte font intervenir l'inertie de la section, notée Iz, qui est une grandeur fondamentale caractéristique de la géométrie de la section, et qui rend compte de l'excentrement de la matière autour de l'axe z.
  • 157. sx : traction G sx : compression P G
  • 158.
  • 159. - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + sx : traction G sx : compression P/2 P G P/2 + - - - - - - - -
  • 160. Inertie * L'inertie est une caractéristique de la géométrie de la section. * Son unité est le m4 * Elle représente la dispersion de la matière autour d'un axe, ou son degré d'éloignement. * Plus l'inertie est élevée, plus la poutre est résistante et raide à la flexion. En effet : plus la matière est éloignée du centre de gravité, plus le bras de levier des forces intermoléculaires qu'elle développe est grand, et donc plus elle peut contribuer à l'équilibre du moment sollicitant.
  • 161. z y z y
  • 162. Acier
  • 163.
  • 164. FLEXION COMPOSEE G sx : traction s sx : compression x : compression sx : compression G sx : traction + = G sx : traction sx s : compression x : traction sx : traction + = G sx : traction sx = -Nx/S + Mz.y/Iz
  • 165. Poutre non précontraine Mise en traction du câble Mise en précontrainte du béton Chargement équivalent de la poutre précontrainte Distribution de contrainte dans le béton au centre de la poutre compression traction Contraintes ultimes compression traction compression traction
  • 167. x y txy txy sur une seule face txy txy txy sur deux faces opposées tyx txy et tyx réalisant l’équilibre txy txy txy tyx
  • 168. Compression Traction Compression Traction Distribution de contrainte normale sx Sur chaque couche, le moment est trois fois plus faible, ainsi que le bras de levier des forces intermoléculaires. Les résultantes de compression et de traction (surface des triangles) doivent alors être identiques. La contrainte doit donc être trois fois plus forte. Résultante de compression Bras de levier
  • 171. EFFORT TRANCHANT tmax = Ty/Sc Avec : tmax : contrainte de cisaillement maximale Ty : effort tranchant Sc : surface corrigée, dépendant du type de profil : Section rect. massive : Sc = 2/3 S Section circ. massive : Sc = 3/4 S Section circ. mince : Sc = 1/2 S Profil en ‘I’ : Sc = Section de l’âme seule S étant la surface totale de la section
  • 173. L Lfl Lfl Lfl Ncrit = p²E.I./L²fl Avec : E : Module d'Young I : Moment d'Inertie minimale de la section Lfl : Longueur de flambement
  • 174. On peut donc retenir de l'expression de la charge critique de flambement que la résistance au flambement : •Croît avec la raideur en flexion de la poutre, et notamment avec l'inertie. •Dépend de la plus faible valeur de l'inertie : dans le plan de plus faible raideur de flexion. (I min = hb3/12 pour une section rectangulaire et b < h) •Est inversement proportionnel au carré de la longueur. •Dépend des conditions aux limites, qui déterminent le mode de flambement.
  • 176. Complément sur les structures soumises essentiellement à l’effort normal
  • 177. dA dB A B C P A dA Repère local RA B dB Repère local RB Câbles
  • 178. dA dB A B C1 P C2 dA dB A B a b C P h
  • 179. On constate que: •Contrairement aux composantes horizontales, les composantes verticales des réactions ne dépendent que de la position sur l'horizontale de la ligne d'action, et non pas de la hauteur de C (ou de la longueur du câble, ou encore de l'angle). •Plus la hauteur est importante, et plus les composantes horizontales, et donc aussi l'effort normal sont faibles. •Le rapport des angles de départ du câble (ou plus exactement de leur tangente) ne dépend que de la position sur l'horizontale de la ligne d'action de la force.
  • 180. F1 F2 dA dB A B C P D A B F1 F2
  • 181. x/2 x/2 q q.x A B RAx RAy x y C
  • 182. En résumé, le câble (non pesant) supportant une charge uniformément répartie : • Prend la forme d'une parabole • Exerce une composante horizontale de traction aux appuis qui varie comme L²/h • Exerce une composante verticale indépendante de la flèche • Subit un effort normal plus important près des ancrages.
  • 183. Arcs
  • 184. arcs câbles En compression En traction Sujet au flambement Pas de risque de flambement Il faut les rigidifier à la flexion Ils restent souples à la flexion Il faut leur donner une forme funiculaire Ils prennent automatiquement la forme funiculaire La géométrie est toujours maintenue La flexion apparaît si la force change La géométrie varie en fonction de la force Il n'y a jamais de flexion Accroître la résistance à la flexion et précontraindre pour limiter les efforts de traction Les charges constantes doivent être grandes devant les surcharges variables Il faut précontraindre pour limiter les déplacements
  • 185. Treillis On peut énoncer les propriétés suivantes des treillis : •Chaque barre n’est soumise qu’à un effort normal. •L’effort normal est constant le long de la barre. •L’action de toute sous-structure ou d'un appui sur une barre est nécessairement orientée comme la barre.
  • 186. - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + P/2 P/2 + - - - - - - - - P P - - Moment Mz Effort tranchant Ty

Notes de l'éditeur

  1. On ne peut pas se soustraire à notre expérience de la gravité, du mouvement, de la stabilité, de la solidité, c’est-à-dire généralement de notre expérience de la mécanique. Cette découverte fait partie des premiers chocs de notre naissance : la vie intra-utérine ne connaît qu’une mécanique quasiment isotrope : nous expérimentons une contrainte isostatique dans le liquide amniotique, le bas et le haut ne sont pas défini,
  2. , et brutalement, on se retrouve en contact avec des solides, soumis à la gravité, orientés dans l’espace. Parmi les premiers apprentissages du début de vie, figure en tout premier plan celui de la manipulation des corps : saisie et manipulation d’un hochet, déplacement de son propre corps, lorsqu’on se dresse sur ses bras, que l’on roule, que l’on rampe, que l’on marche. On mesure le poids, ce sera notre étalon de force, d’accélération, d’inertie… On intègre de façon intime le concept d’équilibre : on apprend à le réaliser, on le connaît. Il s’agit à chaque fois d’expériences de mécanique, dont les acquis sont ancrés, chevillés au corps. Sans le savoir, on développe toutes les connaissances liées à la mécanique : La force de volume, la force de contact, le déplacement, la vitesse, l’accélération, l’inertie, la contrainte, la déformation, la raideur, le moment, l’effort, le travail, l’équilibre, la traction et la compression, la flexion, … L’approche de l’enseignement de structure tente d’exploiter au maximum ces compétences que chacun possède, qu’il soit artiste, scientifique, praticien ou théoricien. Il faut donc avoir confiance dans votre capacité à vous appuyer sur ce bagage, à l’expliciter, le développer, le rendre opérationnel dans une situation de conception.
  3. Nous avons tous cette référence commune. Quand Calatrava imagine et réalise cette sculpture, c’est à cette expérience partagée qu’il s’adresse. Il exploite notre capacité à interpréter cet objet sur le plan de la mécanique, il compte sur des associations symboliques fondées sur des connaissances archaïques. Une masse, un poids, Un cube, symbole de stabilité, d’immobilité. En l’air, suspendu? Ca va tomber, c’est limite… Non, ça tient immobile? Posé sur des pointes, Retenu. Retenu par de si frêles éléments? Non verticaux? Des lignes qui s’opposent à un volume, la légèreté qui s’oppose à une masse. La transparence contre l’opacité. Une énergie qui s’oppose à une masse inerte. Un système isostatique ou chaque élément est nécessaire. Un système juste, ou chaque élément est proportionné à son rôle. Une maîtrise de la mécanique. Il s’agit d’une sculpture. Il pourrait s’agir d’une réponse au problème de porter un cube. Existe-t-il une (seule) bonne réponse à cette question?
  4. Existe-t-il une (seule) bonne réponse à cette question? Voici une autre réponse. On peut en imaginer un nombre quasiment infini. Avec quel critère peut-on juger de la qualité de la réponse? Quels sont les liens particuliers qui se tissent entre structure et architecture?
  5. La création de tout espace réel à abriter nécessite la matérialisation de frontières, dont le maintien de la géométrie réclame une structure porteuse. Cette structure étant indissociable de l&amp;apos;architecture, c&amp;apos;est un élément fondamental de son expression. Mais structure et architecture peuvent tisser des liens extrêmement variés. Souvent, les critiques d’architecture continuent d’exploiter la rivalité entre ingénieurs et architectes pour faire porter l’enjeu de structure sur sa domination ou subordination à l’architecture. Cette vision est trop pauvre. Les relations sont beaucoup plus complexes, plus subtiles. Si ce qui ravi le publique en architecture, c’est le geste, l’extravagance, l’excès, un tel critère appliqué à la structure est en opposition avec les objectifs des ingénieurs structure : développement durable, économie de moyens. A l’opposé, une structure qui rempli parfaitement les critères strictement techniques n’est pas une condition nécessaire pour faire une bonne architecture. On peut analyser la production de certains architectes en leur attribuant un intérêt ou non pour la question de la structure, et ce n’est pas en soi un jugement de valeur. Par contre, la maîtrise de ses logiques est nécessaire. Dans l’architecture monumentale grecque, romaine, gothique, ainsi que dans beaucoup d’exemples du XIXème ou contemporains, la logique formelle d’un concept structurel influence fortement les formes architecturales, et constitue une base de créativité. Dans le parthenon d’Athènes, les impératifs de structure et de construction dictent la forme. La structure n’est pas particulièrement célébrée, mais sa logique formelle est acceptée et exploitée.
  6. La création de tout espace réel à abriter nécessite la matérialisation de frontières, dont le maintien de la géométrie réclame une structure porteuse. Cette structure étant indissociable de l&amp;apos;architecture, c&amp;apos;est un élément fondamental de son expression. Mais structure et architecture peuvent tisser des liens extrêmement variés. Souvent, les critiques d’architecture continuent d’exploiter la rivalité entre ingénieurs et architectes pour faire porter l’enjeu de structure sur sa domination ou subordination à l’architecture. Cette vision est trop pauvre. Les relations sont beaucoup plus complexes, plus subtiles. Si ce qui ravi le publique en architecture, c’est le geste, l’extravagance, l’excès, un tel critère appliqué à la structure est en opposition avec les objectifs des ingénieurs structure : développement durable, économie de moyens. A l’opposé, une structure qui rempli parfaitement les critères strictement techniques n’est pas une condition nécessaire pour faire une bonne architecture. On peut analyser la production de certains architectes en leur attribuant un intérêt ou non pour la question de la structure, et ce n’est pas en soi un jugement de valeur. Par contre, la maîtrise de ses logiques est nécessaire. Dans l’architecture monumentale grecque, romaine, gothique, ainsi que dans beaucoup d’exemples du XIXème ou contemporains, la logique formelle d’un concept structurel influence fortement les formes architecturales, et constitue une base de créativité. Dans le parthenon d’Athènes, les impératifs de structure et de construction dictent la forme. La structure n’est pas particulièrement célébrée, mais sa logique formelle est acceptée et exploitée.
  7. La création de tout espace réel à abriter nécessite la matérialisation de frontières, dont le maintien de la géométrie réclame une structure porteuse. Cette structure étant indissociable de l&amp;apos;architecture, c&amp;apos;est un élément fondamental de son expression. Mais structure et architecture peuvent tisser des liens extrêmement variés. Souvent, les critiques d’architecture continuent d’exploiter la rivalité entre ingénieurs et architectes pour faire porter l’enjeu de structure sur sa domination ou subordination à l’architecture. Cette vision est trop pauvre. Les relations sont beaucoup plus complexes, plus subtiles. Si ce qui ravi le publique en architecture, c’est le geste, l’extravagance, l’excès, un tel critère appliqué à la structure est en opposition avec les objectifs des ingénieurs structure : développement durable, économie de moyens. A l’opposé, une structure qui rempli parfaitement les critères strictement techniques n’est pas une condition nécessaire pour faire une bonne architecture. On peut analyser la production de certains architectes en leur attribuant un intérêt ou non pour la question de la structure, et ce n’est pas en soi un jugement de valeur. Par contre, la maîtrise de ses logiques est nécessaire. Dans l’architecture monumentale grecque, romaine, gothique, ainsi que dans beaucoup d’exemples du XIXème ou contemporains, la logique formelle d’un concept structurel influence fortement les formes architecturales, et constitue une base de créativité. Dans le parthenon d’Athènes, les impératifs de structure et de construction dictent la forme. La structure n’est pas particulièrement célébrée, mais sa logique formelle est acceptée et exploitée.
  8. La création de tout espace réel à abriter nécessite la matérialisation de frontières, dont le maintien de la géométrie réclame une structure porteuse. Cette structure étant indissociable de l&amp;apos;architecture, c&amp;apos;est un élément fondamental de son expression. Mais structure et architecture peuvent tisser des liens extrêmement variés. Souvent, les critiques d’architecture continuent d’exploiter la rivalité entre ingénieurs et architectes pour faire porter l’enjeu de structure sur sa domination ou subordination à l’architecture. Cette vision est trop pauvre. Les relations sont beaucoup plus complexes, plus subtiles. Si ce qui ravi le publique en architecture, c’est le geste, l’extravagance, l’excès, un tel critère appliqué à la structure est en opposition avec les objectifs des ingénieurs structure : développement durable, économie de moyens. A l’opposé, une structure qui rempli parfaitement les critères strictement techniques n’est pas une condition nécessaire pour faire une bonne architecture. On peut analyser la production de certains architectes en leur attribuant un intérêt ou non pour la question de la structure, et ce n’est pas en soi un jugement de valeur. Par contre, la maîtrise de ses logiques est nécessaire. Dans l’architecture monumentale grecque, romaine, gothique, ainsi que dans beaucoup d’exemples du XIXème ou contemporains, la logique formelle d’un concept structurel influence fortement les formes architecturales, et constitue une base de créativité. Dans le parthenon d’Athènes, les impératifs de structure et de construction dictent la forme. La structure n’est pas particulièrement célébrée, mais sa logique formelle est acceptée et exploitée.
  9. On peut dire la même chose de ces vastes intérieurs romains, rendus possibles grâce à un principe de structure en cohérence avec les matériaux utilisés et l’organisation du travail romain. La voûte et le dôme sont les nouvelles logiques structurelles. L’association d’une logique d’optimisation de structure à des considérations esthétiques est aussi illustré par l’invention du caisson.
  10. C&amp;apos;est ainsi que Schopenhauer écrivait : &amp;quot;La lutte entre le poids et la rigidité constitue en soi le seul thème esthétique de l&amp;apos;art en architecture, et d&amp;apos;exprimer ce conflit de la façon la plus variée et la plus claire est sa fonction. (…) La manifestation immédiate de la tendance naturelle [des corps soumis à la gravité à tomber, à s&amp;apos;écrouler] est contrariée par l&amp;apos;architecture, qui ne permet qu&amp;apos;une manifestation maîtrisée, par des voies tortueuses. (…) Par la grâce de ces voies obligées et tortueuses, par la grâce des obstacles, les forces résidentes dans ces masses vulgaires de pierre ont l&amp;apos;opportunité de se révéler dans des formes les plus claires et les plus variées.&amp;quot;
  11. Arc
  12. En fin de compte, si la structure possède ce statut particulier c’est bien à cause de sa fonction rationnelle incontournable, qui est de maintenir la géométrie des systèmes abrités (enveloppes, équipements, outils de production, etc.) malgré l’ensemble des agressions, internes ou externes, qui s’expriment comme des forces.
  13. Support pour le calcul en un point, mais aussi pour le diagramme des moments.
  14. Inclure dans l’exposé l’image de expIII de l’année deenière
  15. Pont de Normandie, Estuaire de la seine, entre Le Havre et Honfleur, 1995 856m de portée = record mondial. Sur la travée centrale (856m), on a 116 m en béton près des appuis, et 624m en acier (meilleur rapport résistance/poids). Le câble est bien le système le plus efficace (rapport résistance poids)
  16. Treillis en double couche du réfectoire du centre de formation BASF, Ludwigshafen