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3- La flexion simple
POUTRE SIMPLE
COUVERTURE
LINTEAU
3- La flexion simple
. On définit la flèche f comme la déformation maximale d’un élément de
structure soumis à une flexion simple (Mf)
. La flèche f est proportionnelle aux forces F exercées sur l’élément cad
proportionnelle à Mf dans chaque section.
. Si F et h ne changent pas, la flèche f la plus grande se trouve sur l’axe de
symétrie car (Mf est maximal sur cet axe).
POUTRE SIMPLE
3.1 Introduction - considérations générales
2
3- La flexion simple
. Si F et la hauteur de l’élément sont constantes, la flèche f est inversement
proportionnel à la largeur b de l’élément (pour un même matériau).
f1 . b1 = f2 . b2 = cteh
b1 b2
. Si b =cte, on remarque que
f . h1
3 = f . h2
3 = cte h1 h2
LA HAUTEUR D’UNE POUTRE A BEAUCOUP PLUS D’IMPORTANCE
QUE SA LARGEUR D’UN POINT DE VUE DES FLEXIONS SIMPLES
3- La flexion simple
LA HAUTEUR D’UNE POUTRE A BEAUCOUP PLUS D’IMPORTANCE
QUE SA LARGEUR D’UN POINT DE VUE DES FLEXIONS SIMPLES
Autrement dit :
b1 b2 b1 + b2
x.h
x . hSi non lamellé collé
Et non riveté
3
3- La flexion simple
Il existe un plan tel que la matière ne subit pas de déformations
longitudinales. C’est le plan neutre (axe neutre ou fibre neutre) Po
On remarque :
. Au dessus de Po, la matière subit un effort de compression
(raccourcissement)
. Au dessous de Po, la matière subit un effort de traction (allongement)
Ces deux efforts sont d’autant plus forts que l’on s’éloigne de l’axe neutre
P
o
3.2 Décomposition du phénomène
3- La flexion simple
On doit constater que les sollicitations de flexion provoquent :
. Des contraintes normales n aux sections droites
. Des contraintes de traction d’un côté du plan neutre
. Des contraintes de compression de l’autre côté du plan
neutre
. Des contraintes de cisaillement longitudinales (et donc par
réciprocité transversales)
Comment connaître n et t en chaque point ?
3.2 Décomposition du phénomène
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3- La flexion simple
. L’axe neutre est défini par le centre de gravité de la section
I = y
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S
∫∫. On peut définir le Moment d’inertie de la section °/ à
l’axe neutre [unité m4]
I
v
. et le Module d’inertie en m3
Axe neutre
y
v=ymax
v= distance à
l’axe neutre
(S)
3.3- Moment et Module d’inertie - Contrainte normale
3- La flexion simple
Ainsi, on peut montrer qu’en 1 pt quelconque repéré par y dans une
section de moment d’inertie I et de module d’inertie I/v, soumise à la
flexion due à Mf,
La contrainte normale est
n = Mf / (I/y)
et elle a donc pour valeur maximale
nmax = Mf / (I/v)
Axe neutre
y
(S)
T
Mf
3.3- Moment et Module d’inertie
vV=ymax (V= distance max à l’axe neutre )
5
3- La flexion simple
. La répartition de la contrainte de cisaillement longitudinale et
transversale est donnée par :
t = ( T. W ) / ( I . L)
avec W = ∫∫S y dS
. La contrainte tangentielle est nulle
sur les fibres les plus extérieures et
maximales sur la fibre neutre.
. C’est pour cela, que pour qu’un
profilé en H on ne tient compte que de
l’âme pour calculer tmax et tmoyen
S
y
L
A.N.
to
x
3.3- Moment et Module d’inertie
3- La flexion simple
La conception cherche à placer la matière à la plus grande distance possible de l’axe
neutre en gardant au niveau de celui-ci le minimum pour résister à la contrainte
tangentielle
1- une poutre de bois présente toujours une hauteur supérieure à sa largeur et peut
même présenter une âme d’épaisseur plus faible
3.3- Conséquences
6
3- La flexion simple
2- Les profilés d’acier présentent des ailes qui constituent l’essentiel du moment
d’inertie (alors que l’âme résiste au cisaillement ou sont creux, le métal central
n’ayant que très peu de rôle.
3- Les tôles ne sont pas utilisées sans ondulation ou plissage.
3.3- Conséquences
3- La flexion simple
4- Un plancher n’est pas posé avec de longues portées mais sur des solives
permettant d’avoir avec moins de bois plus d’inertie, elles-même éventuellement
supportées par des poutres de grandes hauteur.
3.3- Conséquences
7
3- La flexion simple
Dans la pratique, I et I/v sont donnés.
(cf documentation jointe)
. Par ex, pour les sections rectangulaires,
I = b. h3 / 12
I/v = b. h2 / 6
. pour les profilés
I = S. h2 / 2
I/v = S.h
b
h
h
3.4- Mise en pratique
3- La flexion simple
La sollicitation de flexion peut entraîner des concentrations de contraintes.
On simplifie alors :
. La contrainte normale maximale ne pas dépasser Ra (en traction comme
en compression)
. La contrainte maximale tangentielle ne pas dépasser Rag
. La flèche ne doit pas dépasser une valeur fixée (la déformation ne doit
pas dépasser une certaine valeur)
(en générale donnée par la Réglementation)
par exemple, les déformations maximales du gros-œuvre sont fixées de
telle sorte que le second-œuvre ne souffre pas
3.4- Mise en pratique
8
3- La flexion simple
Inéquations d’équarrissage
A- Résistances au contraintes
• nmax = Mf / (I/v) ≤ Ra
• tmax = T. W0 / (I/L0) ≤ Rag (dans le cas général)
avec tmax :
tmax = k . T / S ≤ Rag
avec k = 3/2 ; k = 4/3 ; k=1 et S = Sâme
(nmax et tmax se situant respectivement au niveau de Mfmax et Tmax pour une section constante)
B- Déformation : on vérifie que la flèche maximale est inférieure à une valeur
donnée par :
• Flèche : f = (fonction connue de charge, E, I, l) ≤ 1/ N
N = 150 pour console ou partie sans circulation
N = 200 éléments supportant une couverture
N = 300 éléments supportant matériaux verriers, pannes
N= 400 pour les solives
N = 500 pour les poutres maîtresses (avec circulation)
3.4- Mise en pratique
3- La flexion simple
Exercice : Soit une panne de section constante sur appuis
simples supportant une charge uniformément répartie p = 800
daN/m sur sa longueur l de 5m.
Quelles dimensions lui donner selon qu’elle est :
* bois
(Ra = 10MPa E = 7 500 MPa Rag = 1,2
MPa)
* Acier
(Ra = 160MPa E = 200 000 MPa Rag = 100
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Données :
Mf max = (p.l2) / 8 au centre la poutre
T max = (p.l) / 2 aux appuis
f = (5 p.l4) / (384 E.I)
Panne => f ≤ 1/300
Comment faire : Calculer Mfmax, Tmax et f et appliquer les
inéquations d’équarrissage
PANNE

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  • 1. 1 3- La flexion simple POUTRE SIMPLE COUVERTURE LINTEAU 3- La flexion simple . On définit la flèche f comme la déformation maximale d’un élément de structure soumis à une flexion simple (Mf) . La flèche f est proportionnelle aux forces F exercées sur l’élément cad proportionnelle à Mf dans chaque section. . Si F et h ne changent pas, la flèche f la plus grande se trouve sur l’axe de symétrie car (Mf est maximal sur cet axe). POUTRE SIMPLE 3.1 Introduction - considérations générales
  • 2. 2 3- La flexion simple . Si F et la hauteur de l’élément sont constantes, la flèche f est inversement proportionnel à la largeur b de l’élément (pour un même matériau). f1 . b1 = f2 . b2 = cteh b1 b2 . Si b =cte, on remarque que f . h1 3 = f . h2 3 = cte h1 h2 LA HAUTEUR D’UNE POUTRE A BEAUCOUP PLUS D’IMPORTANCE QUE SA LARGEUR D’UN POINT DE VUE DES FLEXIONS SIMPLES 3- La flexion simple LA HAUTEUR D’UNE POUTRE A BEAUCOUP PLUS D’IMPORTANCE QUE SA LARGEUR D’UN POINT DE VUE DES FLEXIONS SIMPLES Autrement dit : b1 b2 b1 + b2 x.h x . hSi non lamellé collé Et non riveté
  • 3. 3 3- La flexion simple Il existe un plan tel que la matière ne subit pas de déformations longitudinales. C’est le plan neutre (axe neutre ou fibre neutre) Po On remarque : . Au dessus de Po, la matière subit un effort de compression (raccourcissement) . Au dessous de Po, la matière subit un effort de traction (allongement) Ces deux efforts sont d’autant plus forts que l’on s’éloigne de l’axe neutre P o 3.2 Décomposition du phénomène 3- La flexion simple On doit constater que les sollicitations de flexion provoquent : . Des contraintes normales n aux sections droites . Des contraintes de traction d’un côté du plan neutre . Des contraintes de compression de l’autre côté du plan neutre . Des contraintes de cisaillement longitudinales (et donc par réciprocité transversales) Comment connaître n et t en chaque point ? 3.2 Décomposition du phénomène
  • 4. 4 3- La flexion simple . L’axe neutre est défini par le centre de gravité de la section I = y 2 dS S ∫∫. On peut définir le Moment d’inertie de la section °/ à l’axe neutre [unité m4] I v . et le Module d’inertie en m3 Axe neutre y v=ymax v= distance à l’axe neutre (S) 3.3- Moment et Module d’inertie - Contrainte normale 3- La flexion simple Ainsi, on peut montrer qu’en 1 pt quelconque repéré par y dans une section de moment d’inertie I et de module d’inertie I/v, soumise à la flexion due à Mf, La contrainte normale est n = Mf / (I/y) et elle a donc pour valeur maximale nmax = Mf / (I/v) Axe neutre y (S) T Mf 3.3- Moment et Module d’inertie vV=ymax (V= distance max à l’axe neutre )
  • 5. 5 3- La flexion simple . La répartition de la contrainte de cisaillement longitudinale et transversale est donnée par : t = ( T. W ) / ( I . L) avec W = ∫∫S y dS . La contrainte tangentielle est nulle sur les fibres les plus extérieures et maximales sur la fibre neutre. . C’est pour cela, que pour qu’un profilé en H on ne tient compte que de l’âme pour calculer tmax et tmoyen S y L A.N. to x 3.3- Moment et Module d’inertie 3- La flexion simple La conception cherche à placer la matière à la plus grande distance possible de l’axe neutre en gardant au niveau de celui-ci le minimum pour résister à la contrainte tangentielle 1- une poutre de bois présente toujours une hauteur supérieure à sa largeur et peut même présenter une âme d’épaisseur plus faible 3.3- Conséquences
  • 6. 6 3- La flexion simple 2- Les profilés d’acier présentent des ailes qui constituent l’essentiel du moment d’inertie (alors que l’âme résiste au cisaillement ou sont creux, le métal central n’ayant que très peu de rôle. 3- Les tôles ne sont pas utilisées sans ondulation ou plissage. 3.3- Conséquences 3- La flexion simple 4- Un plancher n’est pas posé avec de longues portées mais sur des solives permettant d’avoir avec moins de bois plus d’inertie, elles-même éventuellement supportées par des poutres de grandes hauteur. 3.3- Conséquences
  • 7. 7 3- La flexion simple Dans la pratique, I et I/v sont donnés. (cf documentation jointe) . Par ex, pour les sections rectangulaires, I = b. h3 / 12 I/v = b. h2 / 6 . pour les profilés I = S. h2 / 2 I/v = S.h b h h 3.4- Mise en pratique 3- La flexion simple La sollicitation de flexion peut entraîner des concentrations de contraintes. On simplifie alors : . La contrainte normale maximale ne pas dépasser Ra (en traction comme en compression) . La contrainte maximale tangentielle ne pas dépasser Rag . La flèche ne doit pas dépasser une valeur fixée (la déformation ne doit pas dépasser une certaine valeur) (en générale donnée par la Réglementation) par exemple, les déformations maximales du gros-œuvre sont fixées de telle sorte que le second-œuvre ne souffre pas 3.4- Mise en pratique
  • 8. 8 3- La flexion simple Inéquations d’équarrissage A- Résistances au contraintes • nmax = Mf / (I/v) ≤ Ra • tmax = T. W0 / (I/L0) ≤ Rag (dans le cas général) avec tmax : tmax = k . T / S ≤ Rag avec k = 3/2 ; k = 4/3 ; k=1 et S = Sâme (nmax et tmax se situant respectivement au niveau de Mfmax et Tmax pour une section constante) B- Déformation : on vérifie que la flèche maximale est inférieure à une valeur donnée par : • Flèche : f = (fonction connue de charge, E, I, l) ≤ 1/ N N = 150 pour console ou partie sans circulation N = 200 éléments supportant une couverture N = 300 éléments supportant matériaux verriers, pannes N= 400 pour les solives N = 500 pour les poutres maîtresses (avec circulation) 3.4- Mise en pratique 3- La flexion simple Exercice : Soit une panne de section constante sur appuis simples supportant une charge uniformément répartie p = 800 daN/m sur sa longueur l de 5m. Quelles dimensions lui donner selon qu’elle est : * bois (Ra = 10MPa E = 7 500 MPa Rag = 1,2 MPa) * Acier (Ra = 160MPa E = 200 000 MPa Rag = 100 MPa) Données : Mf max = (p.l2) / 8 au centre la poutre T max = (p.l) / 2 aux appuis f = (5 p.l4) / (384 E.I) Panne => f ≤ 1/300 Comment faire : Calculer Mfmax, Tmax et f et appliquer les inéquations d’équarrissage PANNE