Inférence bayésienne : Une approche enthousiasmante pour l'exploitation des incertitudes de mesure

6ème Conférence Internationale de Métrologie, du 21 au 24 mars 2016, à Dakar, Sénégal/6th International Conference of Metrology, from March 21st to 24th 2016, at Dakar, Senegal
Bayes, ou une façon si
enthousiasmante de (re)considérer
les mesures…
6ème Conférence Internationale de Métrologie, du 21 au 24 mars 2016, à Dakar, Sénégal/ 6th International Conference of Metrology, from March, 21st to 24th 2016, at Dakar, Senegal

Sommaire
• Quelques rappels sur l’incertitude de mesure
• Rappels statistiques nécessaires
• Réflexion autour des propriétés de la valeur
mesurée
• Quelle valeur vraie pour une mesure ?
• Rôle du métrologue dans l’entreprise
• Vos questions

Incertitude de mesure
Le monde des mesures est un monde probabiliste.
Chaque facteur apporte son
imperfection dans le résultat
de mesure :
𝑉 𝑀𝑒𝑠 = 𝑉𝑉𝑟𝑎𝑖𝑒 + 𝑒 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑡 + 𝑒 𝑂𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 + 𝑒𝐼𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡 + …
Main
d’oeuvre
Moyen
Milieu
____________
___
__________
__________
__________
____________
___
_______
_______
_______
Mesurande
Mode
Opératoire

Chaque facteur qui contribue à une mesure
présente :
• Un caractère prévisible qu’il est possible de
corriger ;
• Un caractère aléatoire qu’il n’est pas possible de
connaitre exactement pour chaque mesure.

L’erreur de mesure globale est la somme des erreurs
de tous les facteurs qui contribuent à la mesure :
𝑒 𝑚𝑒𝑠 = 𝑒 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑡 + 𝑒 𝑂𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 + 𝑒𝐼𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡 + …
Cette erreur étant en partie aléatoire (du fait du
caractère aléatoire des erreurs qui la composent), elle
n’est pas prévisible. C’est pourquoi on évalue
l’incertitude de mesure qui se présente comme un
majorant, à un niveau de confiance donné (souvent
95%), de l’erreur de mesure qui risque de se produire.

En langage statistique, l’erreur de mesure est la
réalisation de la variable aléatoire « Incertitude
de mesure » :
𝑒 𝑚𝑒𝑠 = ℛ 𝑈 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒
Note : En lançant 1 dé, on obtient une réalisation de la
variable aléatoire « 1 Dé ».

Loi de probabilité
Pour définir un phénomène aléatoire, il est
nécessaire de connaitre sa loi de probabilité.
Une loi de probabilité permet de calculer la
probabilité d’apparition de tel ou tel événement
possible.
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
1 2 3 4 5 6
Pourcentagedelancés
Face du dé
Résultats de 2000 lancés d'un dé
Histogramme
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
1 2 3 4 5 6
Pourcentagedelancés
Face du dé
Résultats de 4 lancés d'un dé
Histogramme

Loi de probabilité
Certaines lois sont dites « théoriques ». Elles
peuvent être décrites par une fonction
mathématique
𝑓 𝑥 =
1
𝝈 2𝜋
× 𝑒
−
1
2
𝑥−𝝁
𝝈
2
34,135 %
99,73%
95,45%
68,27%
34,135 %
13,59 % 13,59 %
2,14 %2,14 %
  2 3  3 2 
Loi normale

Loi de probabilité
Il existe une infinité de lois de probabilité.
1 : Des lois théoriques décrites par des fonctions :
• Loi Normale
• Loi Uniforme
• Loi Exponentielle
• Loi de Weibull
• …

Loi de probabilité
2 : Des lois empiriques définies par des
histogrammes
Histogramme

Loi de probabilité
Lorsqu’une loi de probabilité est connue, il est
possible de déterminer la probabilité de telle ou
telle des valeurs qu’elle peut produire.
Dans le cas du lancer de 1 dé :
• La probabilité de faire 1 est égale à 1/6
• …

La représentation traditionnelle d’une valeur mesurée et de
l’incertitude de mesure ne respecte pas les considérations
précédentes …
En effet, dans une telle de représentation, la valeur
mesurée est considérée comme la valeur la plus probable.
Propriété d’une mesure
Valeur mesurée
Représentation classique
Incertitude-type
±1 Sglobal

Or, une valeur mesurée est la combinaison de 2
valeurs :
𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑀𝑒𝑠𝑢𝑟é𝑒 = 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑉𝑟𝑎𝑖𝑒 + 𝑒 𝑀𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒
Et rien ne garantit que l’erreur de mesure soit
toujours égale à 0 … (Ce que laisse pourtant
supposer la représentation graphique précédente)

𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑀𝑒𝑠𝑢𝑟é𝑒 = 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑉𝑟𝑎𝑖𝑒 + 𝑒 𝑀𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒
L’incertitude de mesure, et ses réalisations
𝑒 𝑀𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒, font l’objet de beaucoup de discussions
depuis ces 25 dernières années (sans être toujours
vraiment exploitée).
Mais c’est la valeur vraie 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑉𝑟𝑎𝑖𝑒qui nous
intéresse en réalité, et elle a elle aussi des
propriétés particulières.

Dans une grand nombre de cas, la valeur vraie
d’une entité mesurée est la réalisation d’une
variable aléatoire (une entité dans une production).
Soit 𝑃ℎé𝑛𝑜𝑚è𝑛𝑒 la loi de probabilité qui décrit
les différentes possibilités des valeurs vraies, on
peut noter ∶
𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑉𝑟𝑎𝑖𝑒 = ℛ 𝑃ℎé𝑛𝑜𝑚è𝑛𝑒
Quelle valeur vraie ?

Compte-tenu des remarques et notations
précédentes, une valeur mesurée peut s’écrire
comme la réalisation de deux variables aléatoires :
𝑉𝑚𝑒𝑠 = ℛ 𝑃ℎé𝑛𝑜𝑚è𝑛𝑒 + ℛ 𝑈 𝑀𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒
Plusieurs combinaisons peuvent expliquer une
même valeur mesurée. En connaissant 𝑃ℎé𝑛𝑜𝑚è𝑛𝑒
et 𝑈 𝑀𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒, il est possible de calculer la probabilité de
chacune des combinaisons.

Note : En statistique bayésienne, la colonne « Valeur
vraie » s’appelle « a priori ».
Résultat de
mesure 10,12
Combinaisons possibles
Valeur Vraie Erreur de mesure
10 0,12
10,02 0,1
10,04 0,08
10,06 0,06
10,08 0,04
10,1 0,02
10,12 0
10,14 -0,02
10,16 -0,04
10,18 -0,06
10,2 -0,08
10,22 -0,1
10,24 -0,12

Résultat de mesure 10,12
Combinaisons possibles
Valeur Vraie Erreur de mesure
10 0,12
10,02 0,1
10,04 0,08
10,06 0,06
10,08 0,04
10,1 0,02
10,12 0
10,14 -0,02
10,16 -0,04
10,18 -0,06
10,2 -0,08
10,22 -0,1
10,24 -0,12
Sachant les propriétés des lois
de probabilité de
𝑃ℎé𝑛𝑜𝑚è𝑛𝑒 et de 𝑈 𝑀𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒, il
est possible de calculer la
probabilité de chacune des
combinaisons :
𝑃𝑟𝑜𝑏 𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑖
= 𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑉𝑟𝑎𝑖𝑒 𝑖
× 𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑒 𝑖

Application numérique :
Représentation graphique
des lois en présence →
On peut alors déterminer la combinaison la plus probable, donc
la valeur vraie la plus probable associée à une valeur mesurée
(sachant l’incertitude de mesure et l’a priori)
9 9.5 10 10.5 11 11.5
Révision de la loi mesure
à partir de la loi a priori
A priori Mesure A posteriori
A priori
Moyenne 10,6
Ecart-type 0,2
Loi mesure
Biais 0
Ecart-type 0,3
Valeur
mesurée
10,12
Valeur
révisée
10,44

On appelle inférence bayésienne la technique
statistique qui permet, à partir de l’a priori et
de la valeur mesurée associée de son
incertitude, de réviser la valeur mesurée et
l’incertitude associée pour obtenir la loi a
posteriori, c’est-à-dire la distribution des
valeurs vraies possibles de l’entité mesurée.

Rôle du métrologue ?
La métrologie s’est focalisée sur les incertitudes de
mesure.
La métrologie a comme « oublié » de s’intéresser
aux propriétés intrinsèques des entités mesurées.
Or, les 2 composantes de la valeur mesurée
doivent être considérées pour prendre de bonnes
décisions : a priori et mesure
Le métrologue doit donc désormais s’intéresser à :
l’a priori

Des questions ?
Merci pour votre attention
Jean-Michel POU
Président-Fondateur de la société Delta Mu
Président du cluster d’excellence
Auvergne Efficience Industrielle
jmpou@deltamu.com
+33 4 73 15 13 00

Annexe
Merci à M. Laurent Leblond, P.S.A Peugeot Citroën, qui a réaliser cette démonstration

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