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Université Hassan II de Casablanca
Faculté des sciences –Ain Chock
Master Mécanique (M1/2019-2020)
Thermodynamique III
Machines thermiques
Pr.A.MENAI
Thermodynamique III
Chapitre IV
les machines thermiques
Pr.A.MENAI
I-Introduction-cycle de vie de l ’énergie
L’énergie existe sous plusieurs formes , selon le besoin une forme est plutôt utilisée qu’une autre . La
conversion d’une forme en une autre nécessite une forme d’énergie au départ ( source d’énergie
disponible ou énergie primaire) et un système de conversion .
1-Energie primaire
Les différentes énergies primaires peuvent être classées par critères (type de ressource, utilisation, énergie
spécifique ...)
 Combustibles fossiles: Pétrole, charbon, gaz naturel. L’énergie est stockée sous forme chimique Combustible
nucléaire: Uranium (libérée par fission). Deutérium, tritium (libérée par fusion).
 Énergies renouvelables et non nouvelles : chutes et retenue d'eau, vents, marées, bois, biomasse,
géothermie, solaire
2-Système de conversion de l’énergie
 système purement thermique : fours de cuisson, chaudières, séchoirs, convecteurs, échangeurs thermiques
 système mécanique: compresseurs, turbines
 système thermodynamique : combinaison
de différents systèmes élémentaires
(centrale thermique, chaudière cogénérée...)
3-Énergie utile, finale
froid, thermique, électrique, mécanique
4-Énergie rejetée
I-Introduction- Machines thermiques
Définitions
Une machine thermique est un ensemble plus ou moins complexe d’organes
destiné à faire en sorte qu’un système thermodynamique (en général un fluide)
échange de la chaleur et du travail avec le milieu extérieur. Elle doit pouvoir
transformer de la chaleur en travail (moteur thermique) ou inversement( pompe à
chaleur, réfrigérateur) par l’intermédiaire d’un fluide.
Une machine thermique doit pouvoir fonctionner pendant une durée indéfinie,
ceci n’est possible que si le système thermodynamique utilisé ( le fluide) effectue
une succession de cycles. Le fluide doit donc être ramené périodiquement à son
état initial.
I-Introduction- Machines thermiques
Bref historique
Deux types de machines ont été développés : les machines à gaz où le fluide reste à l’état gazeux tout au long
du cycle et les machines à changement de phase où le fluide subit un changement de phase. Les principales
dates historiques correspondant à ces développements se présentent comme suit:
 La première machine , celle de Stirling ( 1816) utilisait de l’air comme fluide
 Au 19ème siècle , la machine à vapeur utilisant l’eau comme fluide a été développée
En 1860 le moteur thermique fait son apparition grace à Otto et Diesel
I-Introduction- Machines thermiques
Pourquoi les machines thermiques dithermes ?
Soit un système échangeant de la chaleur avec une seule source de chaleur de température T0
Ecrivons le 1er et le 2ème principe pour une transformation cyclique monotherme (un cycle
monotherme) subie par ce système au cours de laquelle il échange la quantité de chaleur Q et le
travail W avec l’extérieur :
 1er Principe : Q+W = ∆Ucy = 0 , U est une fonction d’état et l’état initial et l’état final sont identiques
pour un cycle
 2ème Principe : ∆Scy = Se+ Si = 0 , même raisonnement que pour ∆Ucy
Donc Se= - Si ≤ 0 car Si ≥ 0 or Se=
𝑄𝑄
𝑇𝑇0
≤ 0 d’où Q ≤ 0
Le bilan énergétique (1er Principe ) ⇒ W = - Q ≥ 0 , W doit être donc reçu par le système
Conclusions
 Une machine thermique qui fonctionne en n’échangeant de la chaleur qu’avec une seule source ne
peut que recevoir du travail et fournir de la chaleur à l’extérieur , c’est l’énoncé de Kelvin du second
principe
 Pour pouvoir produire du travail , une machine thermique doit fonctionner avec au moins deux
sources de chaleur
Le cas le plus simple consiste à choisir deux sources; on parle alors de machines thermiques
dithermes. L’échange de chaleur entre le fluide et l’extérieur se fait au niveau de deux sources: une
source chaude à la température T1 et une source froide à la température T2 ( avec T1 > T2 )
II-Généralités sur les machines thermiques
dithermes
Un premier critère
pour classer les
machines thermiques
concerne le
renouvellement ou
non du fluide dans la
machine après
chaque cycle
Classification des machines thermiques
• D’autres critères peuvent être utilisés pour classer les machines thermiques
II-Généralités sur les machines thermiques
dithermes
Classification des machines thermiques
Exemple de machine à combustion externe
Centrale électrique thermique
La combustion a lieu
dans une chaudière
dégageant une
quantité de chaleur
qui sera absorbée par
le fluide en circulation
dans l’installation.
C’est une machine à
combustion externe
II-Généralités sur les machines thermiques
dithermes
Une étincelle produite
par une bougie provoque
l’explosion du mélange air-
carburant. C’est un système
à combustion interne
Exemple de machine à combustion interne- moteur de voiture
Exemple-Moteur de voiture
Le cylindre est muni de deux soupapes: une 1ère soupape qui s’ouvre au moment de
l’admission du carburant ( la 2ème soupape étant fermée) et une 2ème soupape qui s’ouvre au
moment de l’échappement ( rejet) des gaz résultant de la combustion air-carburant ( la 1ère
soupape étant fermée). Pendant l’intervalle de temps séparant l’admission de l’échappement
des gaz les deux soupapes sont maintenues fermées.
II-Généralités sur les machines thermiques dithermes
Bilans énergétique et entropique d’une machine ditherme
Les machines thermiques dithermes obéissent aux deux principes et sont soit réceptrices ( de travail) soit motrices. Pour étudier
globalement le fonctionnement d’une machine thermique ditherme on
considère une masse de fluide ( système thermodynamique étudié) qui circule dans cette machine . Ce fluide subit un ensemble de
transformations formant un cycle au cours duquel il échange la chaleur Q1 avec la source chaude (SC) de température T1 , la chaleur Q2 avec
la source froide (SF) de température T2 et le travail W avec le milieu extérieur. On écrit les bilans énergétique et entropique du fluide
considéré comme un système fermé au cours d’un cycle:
 1er principe : Q1 + Q2 + W = ∆Ucy= 0
 2eme principe : Se + 𝑆𝑆𝑖𝑖 =
Q1
T1
+
Q2
T2
+ 𝑆𝑆𝑆𝑆 = ∆Scy= 0 soit
Q1
T1
+
Q2
T2
= − 𝑆𝑆𝑆𝑆 ≤ 0
Selon que le travail est reçu ou cédé par le fluide on distingue deux types de machines :
 Les machines thermiques motrices pour lesquelles : W < 0
 Les machines thermiques réceptrices pour lesquelles : W > 0
Remarque : au cours d’un cycle la variation de toute fonction d’état est nulle , ainsi:
∆Ucy = ∆Hcy = ∆Fcy = ∆Gcy = ∆Scy = 0
II-Généralités sur les machines thermiques dithermes
 La Source de chaleur
chaude de
température T1
fournit la chaleur Q1
au fluide qui circule
dans la machine
 La Source froide de
température T2 reçoit
la chaleur Q2 du
fluide
 La machine
(l’installation) fournit
à l’extérieur
(l’utilisateur) le travail
W
 T1 > T2
< 0
Représentation-machine ditherme motrice
II-Généralités sur les machines thermiques dithermes
> 0
Représentation-Machine ditherme réceptrice
II-Généralités sur les machines thermiques dithermes
> 0
Représentation-Machine ditherme réceptrice
Cycle parcouru par le fluide dans un réfrigérateur
Climatiseur
Climatiseur monté sur une fenêtre
II-Généralités sur les machines thermiques dithermes
Un modèle de Machine ditherme-la machine de Carnot
La machine de Carnot constitue une machine de référence, c’est une machine idéale. Le fluide (
un gaz non liquéfiable dans le domaine de température utilisé) décrit des cycles entièrement
réversibles ( toutes les transformations sont réversibles)
 Le fluide de la machine échange de la chaleur avec deux sources de chaleur , l’une dite chaude
de température T1 , l’autre dite froide de température T2. Lors des contacts avec les sources (SC)
et (SF) le fluide échange les quantités de chaleur Q1 et Q2 notées aussi Qc et Qf
Le cycle est constitué de deux isentropiques et de deux isothermes
II-Généralités sur les machines thermiques dithermes
Description des étapes du cycle de Carnot
 Le fluide de la machine est mis en contact thermique avec la source chaude (SC)de température T1, il est isolé de la source froide (SF) . Il y
a échange de chaleur de manière réversible entre (SC) et le fluide ( transformation A-B). Pour que cet échange de chaleur s’effectue de
manière réversible il faut que la température du fluide soit à chaque instant égale à celle de la source il s’agit donc de l’isotherme T1.
 Le fluide est isolé de l ’ensemble des deux sources , il évolue sans échange de chaleur ( transformation adiabatique et
réversible) jusqu’à ce que sa température atteigne la valeur T2 pour pouvoir le mettre en contact avec la source (SF) , il s’agit de la
transformation isentropique (B-C).
 Le fluide est ensuite mis en contact thermique avec la source (SF) , il subit donc la transformation isotherme T2 ( transformation C-D)
 En fin il est isolé des deux sources , d’où une évolution isentropique qui le ramène à l’état initial
( transformation D-A)
Le cycle est donc constitué de deux isentropiques et deux isothermes qui s’alternent.
II-Généralités sur les machines thermiques dithermes
Représentation du cycle de Carnot
cycle de Carnot dans le diagramme (P,v) Cycle de Carnot dans le diagramme (T,s)
Isotherme T1
Isotherme T2
T1
T2
T
V
Réalisation d’un cycle de Carnot
Bien que le cycle de Carnot ne soit pas réalisable dans la pratique il peut être envisagé de l’exécuter dans un système fermé ( cylindre muni
d’un piston mobile) comme il peut être exécuté dans un système ouvert comportant deux compresseurs et deux turbines comme sur le
schéma suivant:
La compression se fait en deux étapes:
- Compression 3-4 dans un compresseur isotherme
- Compression 4-1 dans un compresseur isentropique
La détente se fait elle aussi en deux étapes :
- Détente 1-2 dans une turbine isotherme
- Détente 2-3 dans une turbine isentropique
Rendement (efficacité) d’une machine thermique
Afin d’évaluer la performance d’une machine thermique on définit son rendement r .
Ce rendement thermique noté r ou η (appelé parfois de façon inappropriée rendement thermodynamique ) est défini d’une manière générale par
r =
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 ( 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑙′𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢)
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
 Le rendement thermique d’une machine motrice est défini par :
r =
𝑊𝑊
𝑄𝑄1
= -
𝑊𝑊
𝑄𝑄1
= -
𝑊𝑊
𝑄𝑄𝑐𝑐
 Le rendement d’une machine frigorifique (MAF) appelé aussi efficacité et noté ε ou e est défini comme :
ε =
𝑄𝑄2
𝑊𝑊
=
𝑄𝑄2
𝑊𝑊
=
𝑄𝑄𝑓𝑓
𝑊𝑊
la grandeur d’intérêt pour l’utilisateur est Q1, chaleur extraite de (SF)
 Le rendement ou efficacité d’une pompe à chaleur( PAC) est défini par :
ε =
𝑄𝑄1
𝑊𝑊
= -
𝑄𝑄1
𝑊𝑊
= -
𝑄𝑄𝑐𝑐
𝑊𝑊
on s’intéresse ici à la chaleur Q1 fournie par la machine à (SC)
Rendement de la machine de Carnot
On applique les deux principes à une masse de fluide en supposant qu’elle se comporte comme un système fermé
même si le fluide est renouvelé( voir classification) au cours d’un cycle
 1er principe : Q1 + Q2 + W = ∆Ucy= 0⇒ W = - (Q1 + Q2 )
 2eme principe : Se + 𝑆𝑆𝑖𝑖 =
Q1
T1
+
Q2
T2
+ 𝑆𝑆𝑆𝑆 = ∆Scy= 0 soit
Q1
T1
+
Q2
T2
= − 𝑆𝑆𝑆𝑆 ≤0
Toutes les transformations du cycle de Carnot sont réversibles donc ∶ 𝑆𝑆𝑆𝑆 = 0
Soit
Q1
T1
+
Q2
T2
= 0 ⇒
Q2
Q1
= -
T2
T1
 Le rendement r d’une machine motrice de Carnot s’écrit alors :
rCarnot = -
𝑾𝑾
𝑸𝑸𝟏𝟏
=
(Q1 + Q2 )
𝑸𝑸𝟏𝟏
= (1+
Q2
Q1
) = 1-
T2
T1
(pour que r soit positif on a introduit le signe(-) dans l’expression
le définissant)
Le rendement de Carnot ne dépend pas de la nature du fluide , il ne dépend que des températures des deux sources
de chaleur
Remarque : Comme T2< T1 on a toujours 0 < r < 1
 L’efficacité d’une machine à froid (MAF) et d’une pompe à chaleur (PAC) de Carnot:
εMAF =
𝑸𝑸𝟐𝟐
𝑾𝑾
=
𝑸𝑸𝟐𝟐
𝑾𝑾
=
−𝑸𝑸𝟐𝟐
(Q1 + Q2 )
=
T2
T1−T2
Si par ex: T1 = 20°C et T2 = -18°C alors εMAF = 6, 7
εPAC =
𝑸𝑸𝟏𝟏
𝑾𝑾
=
𝑸𝑸𝟏𝟏
𝑾𝑾
=
𝑸𝑸𝟏𝟏
(Q1 + Q2 )
=
T1
T1−T2
Si par ex: T1 = 20°C et T2 = 4°C alors εPAC = 18,3
Comme on peut le remarquer les efficacités de la MAF et de la PAC sont supérieures à 1
Théorème de Carnot
Efficacité d’une machine par rapport à la machine de Carnot
 Une machine thermique même idéale ne peut pas disposer d’un rendement supérieur à celui d’une machine de Carnot fonctionnant entre les mêmes
températures des sources chaude et froide. En effet :
Pour une machine thermique ditherme réelle ( donc qui comporte forcément des irréversibilités) on a
 1er principe : Q1 + Q2 + W = ∆Ucy= 0 ⇒ W = - (Q1 + Q2 )
 2eme principe : Se + 𝑆𝑆𝑖𝑖 =
Q1
T1
+
Q2
T2
+ 𝑆𝑆𝑆𝑆 = ∆Scy= 0 soit
Q1
T1
+
Q2
T2
= − 𝑆𝑆𝑆𝑆 ≤ 0
Donc
Q1
T1
≤ −
Q2
T2
⇒
T2
T1
≤ -
Q2
Q1
(T2 > 0 et Q1 > 0) d’où ⇒ -
T2
T1
≥
Q2
Q1
et
r = -
𝑾𝑾
𝑸𝑸𝟏𝟏
= 1+
Q2
Q1
≤ 1-
T2
T1
= rCarnot
 On utilise généralement l’efficacité d’une machine motrice réelle par rapport à la machine de Carnot pour rendre compte des pertes
énergétiques occasionnées par le fonctionnement de cette machine ; il s’agit du rapport entre le rendement de la machine à celui de la machine
de Carnot :
εeff =
𝒓𝒓
𝒓𝒓𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪
De même on définit l’efficacité d’une MAF ou d’une PAC par rapport à la machine de Carnot par le rapport de l’efficacité de la machine
considérée à celle de la machine de Carnot
εeff =
ε
ε𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪
Machine motrice réelle et machine de Carnot
Illustration à l’aide du diagramme (T,S)
 Le cycle d’une machine motrice de Carnot est représentée dans le diagramme (T, s) par les transformations successives : A-B,
B-C, C-D, D-A
La quantité de chaleur échangée avec(SC) est donnée par :
Q1 = T1( SB –SA), A-B est isotherme
La quantité de chaleur échangée avec(SF) est donnée par:
Q2 = T2( SD –SC), C-D est isotherme
Bilan énergétique :
W =-(Q1 + Q2) = -[T1( SB –SA)+T2( SD –SC)]
W =- ( SB –SA)(T1 - T2) car ( SD –SC)= - ( SB –SA)
Donc W = -aire (A,B,C,D)
 Si on considère une machine fonctionnant entre
Les deux températures extrêmes T1 et T2 autre que
la machine de Carnot alors le cycle correspondant sera à
l’intérieur du cycle de Carnot( par exemple le cycle A’, B’, C’,D).
Le travail produit par cette machine est donné par l’aire de la surface
comprise à l’intérieur de ce cycle qui est inférieure à celle correspondant au cycle de Carnot. Le rapport des deux aires mesure
l’efficacité de la machine considérée par rapport à la machine de Carnot.
T1
T2
A B
C
D
SA=SD
A’
B’
C ’
SB=SC
Les rendements thermodynamiques des dispositifs
Comme on vient de le noter l’efficacité d’un cycle admet comme borne supérieure l’efficacité du cycle de Carnot, qui
ne dépend que des températures des sources de chaleur , et donc ne donne en soi aucune information quant au
degré de perfection d’un dispositif et ne permet pas de préciser à quel niveau de l’installation il y a dissipation de
l ’énergie. Dans le but d’évaluer les pertes dans l’installation on s’intéresse au rendement thermodynamique de
chacun de ses composants . On est donc amené à considérer le type d’organe et le type de transformation subie par
le fluide . On ne considère ici que des systèmes ouverts en régime permanent.
1-Rendement des transformations adiabatiques
Systèmes avec échange de travail
Pour les systèmes avec échange de travail, le rendement thermodynamique noté η est défini de manière générale
par les expressions :
η=
𝑾𝑾𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊
𝑾𝑾
: pour un organe récepteur ( pompe, compresseur, ventilateur)
η=
𝑾𝑾
𝑾𝑾𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊
: pour un organe moteur ( turbine)
Où Widéal est le travail reçu ( ou fourni) par un organe idéal et W est le travail échangé dans l’organe fonctionnant
dans les conditions réelles. Cette définition du rendement dépend du choix de la machine idéale et donc de la
transformation idéale de référence .
Nous illustrons dans la suite ces deux définitions pour un compresseur ( où le fluide subit une compression) et une
turbine ( où le fluide subit une détente)
Rendement isentropique de compression et de détente
Dans les machines réelles il y a toujours une dissipation d’énergie lors de la compression( passage du fluide dans le
compresseur ou pompe) ou de la détente ( passage du fluide dans la turbine par exemple). On admet en général que les
organes de compression ou de détente sont isolés thermiquement ( donc transformation adiabatique). Pour mettre en
évidence l’effet de la dissipation on considère un gaz qui subit une transformation qui l’amène de P0 à P1 (
compression) ou inversement de P0 à P1 ( détente) et on compare les travaux mis en jeu lorsque la transformation est
adiabatique réversible et lorsqu’elle est adiabatique irréversible.
Le bilan énergétique du système ouvert (turbine , compresseur , pompe, tuyère) s’écrit :
dE = δQ+δW-PadV +[δm(ec+ep+h) ]s
e
où Pa est la pression du milieu Ambiant.
-On suppose que le régime d’écoulement est stationnaire: dE = 0 , dV =0 , δme = δms = δm
Hypothèses simplificatrices :
-Il n’ y a pas de variation d’énergies cinétique et potentielle macroscopiques ∆ec = ∆ecp =0
- Il n’y a pas d’échange de chaleur : δQ = 0
le bilan se réécrit
δW+δm [h]s
e = 0 ⇒ δW= δm( hs-he ) = δm∆h ⇒ w =
δW
δm
= ∆h = (hs-he)
où hs et he sont les enthalpies massiques du fluide à la sortie et à l’entrée de l’organe de compression ou de détente.
Remarque : si ∆ec ≠ 0 et/ou ∆ecp ≠0 , il y a lieu d’en tenir compte dans l’expression du travail
Rendement isentropique de compression
On considère un gaz qui subit une compression qui l’amène de l’état 1( à la pression P0) à l’état 2 ou 2’ ( à la pression P1 ) selon
que la transformation est réversible ou irréversible . L’entropie s2’ est supérieure à l’entropie s2 puisque 1-2 est adiabatique
réversible et 1-2’ est adiabatique irréversibles. Les pressions des deux états 2 et 2’ étant identiques , ils sont situés sur la
même isobare .
D’où la représentation dans le diagramme (h,s) de la figure ci-dessous .
Le travail massique fourni par le compresseur
( ou la pompe dans le cas d’un liquide) est :
wC = ∆h = (h2-h1) pour la transformation 1-2
wC’ = ∆h = (h2’-h1) pour la transformation 1-2’
En soustrayant membre à membre ces deux relations on obtient :
wC’ - wC = h2’ - h2
Le graphe montre clairement que h2’ > h2 donc wC’ > wC
Par conséquent le travail nécessaire à la compression d’une unité
de masse de fluide est plus élevé lors d’une compression irréversible
que lors d’une transformation réversible . Or ce travail de compression est de l ’énergie dépensée ,
il est plus avantageux pour l’utilisateur d’opérer de façon réversible. Afin de quantifier la dissipation induite par l’irréversibilité.
on définit le rendement isentropique du compresseur ( pompe) par la relation :
ηis =
wC
wC’
=
wrev
wirr
=
(h2is−h1)
(h2−h1)
< 1
Rendement isentropique de détente
le gaz subit une détente de P1 à P0 (P0 < P1) . La détente est représentée dans le diagramme (h, s) par la
transformation 1-2 ou 1-2’ selon qu’elle est réversible ou irréversible .
Comme pour le compresseur, on aura
wT = ∆h = (h2-h1) pour la transformation 1-2
wT’ = ∆h = (h2’-h1) pour la transformation 1-2’
En soustrayant membre à membre ces deux relations on obtient :
wT’ - wT = h2’ – h2
Le graphe montre que h2’ > h2 donc wT’ > wT
Mais le travail de détente est négatif et le travail fourni sera
Wf,T’ = | wT’ |= - wT’ et
Wf,T = | wT |= - wT comme - wT’ < - wT alors Wf,T’ < Wf,T
Donc le travail récupéré par l’utilisateur est plus faible pour une détente
Irréversible que pour une détente réversible.
On définit alors le rendement isentropique d’une détente par
ηis,T =
wf,T′
wf,T
=
wirev
wrev
= (h2−h1)
(h2is−h1)
< 1
Rendement des diffuseurs et tuyères
Systèmes sans échange de travail ( diffuseur et tuyère)
Pour les systèmes sans échange de travail, les définitions précédentes n’ont pas de sens. La fonction de ces dispositifs
est de transformer l’énergie cinétique en énergie interne ou vice-versa.
Par conséquent, le rendement de ces dispositifs est donc (en supposant à nouveau les variations d’énergie
potentielle négligeables mais pas celles de l’énergie cinétique )exprimé selon que le dispositif est un diffuseur ou une
tuyère comme suit:
Cas d’une tuyère :
Le rôle de la tuyère( convergente) est
d’accélérer le fluide. Elle transforme l’énergie
interne en énergie cinétique
η =
𝑪𝑪𝒔𝒔
𝟐𝟐− 𝑪𝑪𝒆𝒆
𝟐𝟐
𝑪𝑪𝒔𝒔
𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝒆𝒆
𝟐𝟐
𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊
Cas d’un diffuseur
Le rôle du diffuseur est de décélérer le fluide
Il transforme l’énergie cinétique en énergie interne
η =
𝑪𝑪𝒔𝒔
𝟐𝟐− 𝑪𝑪𝒆𝒆
𝟐𝟐
𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊
(𝑪𝑪𝒔𝒔
𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝒆𝒆
𝟐𝟐 )
Entrée Sortie
Entrée
Sortie
Rendement isotherme
2-Rendement des transformations avec échange de chaleur
Nous avons montré ( chapitre III) que le travail nécessaire pour comprimer un gaz à une pression donnée est
réduit si le gaz est refroidi au cours de la compression — c’est d’ailleurs la raison d’être des « intercoolers -
refroidisseurs» qui équipent de nombreux groupes de suralimentation de moteurs volumétriques. Pour ces
compressions réfrigérées, il y a lieu de définir un autre rendement. Si l’échange de chaleur s’effectue avec
une source de température T0, supposée égale à la température d’entrée du fluide , la transformation
réversible de référence est la compression isotherme.
On définit donc le rendement isotherme de compression , ηT , comme:
ηT =
𝑾𝑾𝑻𝑻
𝑾𝑾
=
𝒉𝒉𝒔𝒔𝒔𝒔−𝒉𝒉𝒉𝒉 −𝑻𝑻𝟎𝟎( 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝒔𝒔𝒔𝒔)
𝒉𝒉𝒔𝒔−𝒉𝒉𝒉𝒉 −𝒒𝒒
où hsT et ssT sont l’enthalpie et l’entropie massiques dans l’état défini par la pression Ps ( de sortie) et la
température T0 ,q est la quantité de chaleur massique échangée.
Lorsqu’il s’agit d’une détente dans une turbine , les gaz sont en général rejetés dans l’atmosphère. On
considère alors que l’échange de chaleur s‘effectue avec une source de chaleur de température T0 , supposée
égale à la température de sortie du fluide de la turbine . La transformation réversible de référence est la
détente isotherme à la température T0.
On définit alors le rendement isotherme de détente par :
ηT =
𝑾𝑾
𝑾𝑾𝑻𝑻
=
𝒉𝒉𝒆𝒆−𝒉𝒉𝒉𝒉 + 𝒒𝒒
𝒉𝒉𝒆𝒆−𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 +𝑻𝑻𝟎𝟎( 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔−𝒔𝒔𝒔𝒔)
Exercice1 d’application
Rendement isentropique d’un compresseur
On étudie un compresseur au travers duquel de l’air (assimilé à un gaz parfait diatomique) dans son état gazeux est en écoulement
stationnaire avec un débit massique qm = 16 g/s. Le compresseur est calorifugé. On mesure en entrée (Pe = 1 bar, Te = 298 K) et en sortie (Ps= 7
bar, Ts = 540 K).
Données : γ= 1, 4 et Cp = 1 kJ.kg-1.K−1.
1. En supposant la compression de Pe à Ps réversible pour l’air traversant ce compresseur, quelle serait la température Ts,id en sortie du
compresseur. Conclure.
2. Déterminer les puissances utiles fournies au gaz par le compresseur pour le compresseur réel et pour le compresseur idéal (transformation
réversible).
3. En déduire le rendement isentropique du compresseur
Exercice 1
Bilan énergétique d’un système ouvert :
dE = δQ+δW-PadV +[δm (ec+ep+h) ]s
e Pa est la pression du milieu ambiant
En divisant par dt les deux membres de l’équation on obtient la forme puissance du bilan :
dE
𝒅𝒅𝒅𝒅
=
δQ
𝑑𝑑𝑑𝑑
+
δW
𝑑𝑑𝑑𝑑
−
PadV
𝑑𝑑𝑑𝑑
+[
δm
𝑑𝑑𝑑𝑑
(ec+ep+h) ]s
e soit
dE
𝒅𝒅𝒅𝒅
=Pth +Pu -
PadV
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ [qm (ec+ep+h) ]s
e
En régime stationnaire :
dE
𝒅𝒅𝒅𝒅
=0,
PadV
𝑑𝑑𝑑𝑑
=0, qme = qms = qm
Pth +Pu + qm [(ec+ep+h) ]s
e = Pth +Pu − qm [∆ec+ ∆ep+ ∆h) ] = 0
∆ec, ∆ep et ∆h sont des variations entre la sortie et l’entrée du système
Le compresseur étant calorifugé , si en plus la transformation est réversible elle doit être isentropique pour laquelle on peut écrire la loi de Laplace relative à un
GP : 𝑃𝑃1−𝛾𝛾
𝑇𝑇𝛾𝛾
= cste , qui donne pour l’entrée et la sortie
𝑃𝑃𝑒𝑒
1−𝛾𝛾
𝑇𝑇𝑒𝑒
𝛾𝛾
= 𝑃𝑃𝑠𝑠
1−𝛾𝛾
𝑇𝑇𝑠𝑠
𝛾𝛾
soit Ts = Te (
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑃𝑃𝑃𝑃
)
1−𝛾𝛾
𝛾𝛾 = 520K
La température à l’intérieur du compresseur est différente de cette valeur, la transformation ne peut être qu’irréversible . Pour s’en rendre
compte on peut calculer l’entropie créée.
Exercice 1
2) Les variations d’énergie cinétique et potentielle sont négligeable et le compresseur calorifugé , le bilan d’énergie se réduit à :
Pu − qm ∆h = 0 ⇒ Pu = qm ∆h = qm cp(Ts-Te)
Si la transformation est réversible ( isentropique) on aura
Pu,id = qm ∆h = qm cp(Ts-Te) = 16. 10-3.1(520-298) = 3,552kJ/s= 5,552kW
Pour la transformation réelle on a
Pu = qm ∆h = qm cp(Ts-Te) = 16. 10-3.1(540-298) = 3,872kJ/s= 5,872kW
on constate que la puissance nécessaire pour comprimer le gaz de Pe à Ps est plus élevé dans le cas réel que dans le cas idéal
3) Rendement isentropique du compresseur
ηis =
wrev
wirr
=
Pu,id
Pu
=
5,552
5,872
= 0,945<1, en général le rendement d’un compresseur est de l’ordre de 0,8
Remarque: si w est le travail massique et W le travail pour une masse donnée on a
δW = wδm ⇒
δW
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑤𝑤
δm
𝑑𝑑𝑑𝑑
donc la puissance s’exprime en fonction du travail massique comme:
P = qmw .Puisque le débit est le même dans le cas réel et le cas idéal le rendement s’exprime aussi comme un rapport de puissances .
Exercice2 d’application
Rendement isentropique d’une turbine
Du fréon dont le diagramme (T, s) est donné en fin d’exercice , circule en régime stationnaire dans une turbine calorifugée avec un débit massique qm =
4kg/s. Les variations d’énergie cinétique et potentielle sont négligeables.
- À l’entrée de la turbine, Pe = 30 bar, he = 250 kJ. kg-1.
- En sortie, le fluide est à la pression Ps = 15 bar.
1)a – Représenter la détente supposée réversible sur le diagramme
b – Déterminer les températures Te et Ts,rev du fréon à l’entrée et
en sortie de la turbine ainsi que l’enthalpie massique hs,rev en sortie .
En déduire le travail massique utile wrev récupéré sur l’arbre et
la puissance utile Pu,rev .
c – déterminer l’entropie massique se du fluide à l’entrée.
2) En fait la détente n’est pas réversible et le rendement isentropique de
la turbine est ηis =
𝟏𝟏
𝟑𝟑
a– Quelle est la puissance utile effectivement récupérée?
En déduire l’enthalpie hs,irr . Placer le point correspondant à ce nouvel état de sortie sur le diagramme.
Donner la température Ts,irr en sortie.
b – Déterminer l’entropie ss,irr en sortie de la turbine et calculer l’entropie massique créée.
Diagramme (T,s) du fréon
Diagramme (T,s)
de travail
Exercice2-Détente dans une turbine
1)a-Représentation de la détente réversible .
Pour représenter la détente, on détermine d’abord l’emplacement du point e correspondant à l’entrée , c’est
le point d’intersection de l’isobare P= Pe = 30bar et de l’isenthalpique h = he = 250kJ/kg
Le point de sortie s est situé à l’intersection de l’isobare P= Ps = 15bar
et de l’isentropique s= se ( verticale menée à partir du point e)
La détente est représentée en rouge
b- la lecture des coordonnées des points e et s donne :
Te = 130°C ; Ts,rev = 87°C : hs,rev = 235kJ/kg
Travail massique utile fourni:
Bilan énergétique avec les hypothèses simplificatrices ⇒
wu,rev = ∆h = hs,rev – he = 235-250 =- 15kJ/kg <0
(wf,u)rev = 15kJ/kg
Puissance utile fournie
(Pf,u)rev = qm (wf,u)rev = - qm ∆h = 4.15 = 60kW
c- entropie du point e
La projection du point e sur l’axe horizontal donne : se = 0,75kJ.kg-1.K-1 .
Exercice2-Détente dans une turbine
2) La détente n’est pas réversible
a) Le rendement isentropique de la turbine est ηis =
𝟏𝟏
𝟑𝟑
 ηis =
𝑃𝑃𝑓𝑓,𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑃𝑃𝑓𝑓,𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
⇒ 𝑃𝑃𝑓𝑓, 𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟= ηis 𝑃𝑃𝑓𝑓, 𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 soit
𝑃𝑃𝑓𝑓, 𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 60.
𝟏𝟏
𝟑𝟑
= 20kW
 𝑃𝑃𝑓𝑓, 𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = - qm ∆h = - qm ( hs,irr-he) ⇒hs,irr =
𝑃𝑃𝑓𝑓,𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
− qm
+ he = -5+250 = 245kJ/kg
 Le nouvel état de sortie s’ se trouve donc à l’intersection de l’isobare P= 15bar et de
l’isenthalpique h =245kJ/kg que l’on détermine par interpolation entre les isenthalpiques h =
240kJ/kg et h = 250kJ/kg
 Après avoir placé le point s’ on lit sur le diagramme la température correspondante , on trouve
Ts’ = 100°C
b) l’entropie massique à l’état s’ est obtenue en projetant le point s’ sur l’axe horizontal , on obtient
ss’ = 0,77kJ.kg-1.K-1 .
Le bilan entropique en régime stationnaire : δeS + δiS + δm[s]s
e = 0 or δeS =0 donc
δiS - δm[ss’ –se ] = δiS - δm∆s= 0 d’où si =
δiS
δm
= ∆s = 0,77-075 = 0,02kJ.kg-1.K-1
Il y a bien création d’entropie ce qui explique la baisse de la puissance fournie par la turbine et donc un
rendement inférieur à 1
Exercice2-Détente dans une turbine
Représentation de la détente réversible et irréversible dans le diagramme (T,s)
S’
Exercice3 d’application
Rendement isentropique d’une tuyère
De l’air assimilé à un gaz parfait de rapport des capacités calorifiques γ = 1,354 et de capacité calorifique cp =
1,099kJ.kg-1.K-1 est accéléré dans une tuyère calorifugée d’axe de révolution horizontal .
L’état 1 de l’air à l’entrée de la turbine est caractérisé par :
La vitesse C1 négligeable, la pression P1 =200kPa et la température T1 = 950K
A la sortie la pression est P2 = 80kPa
le rendement isentropique de la turbine est ηis = 92%
1) Si la transformation subie par l’air dans la tuyère est réversible , quelle sera la température T2s à la sortie
de la tuyère?
2) Déterminer la vitesse maximale C2s à la sortie de la tuyère
3) Calculer la vitesse C2a et la température T2a de l’air à la sortie de la tuyère pour la transformation
adiabatique irréversible. Discuter les valeurs obtenues.
4) Tracer l’allure des deux transformations dans le diagramme (T,s)
----------------------------------------------------------------------------------
A titre de rappel sur le schéma ci- contre qui représente
L’écoulement de l’air dans la tuyère, la ligne fermée
en pointillés est la surface de contrôle qui délimite le volume de
contrôle dont le contenu matériel ( ici l’air) fait l’objet de l’étude
Exercice3 d’application
Rendement isentropique d’une tuyère
1) La transformation est adiabatique irréversible donc isentropique , on peut appliquer la loi de Laplace pour
un gaz parfait : 𝑃𝑃1−𝛾𝛾
𝑇𝑇𝛾𝛾
= cste ce qui donne
𝑃𝑃1
1−𝛾𝛾
𝑇𝑇1
𝛾𝛾
= 𝑃𝑃2𝑠𝑠
1−𝛾𝛾
𝑇𝑇2𝑠𝑠
𝛾𝛾
soit T2s = T1(
𝑃𝑃2
𝑃𝑃1
)
𝛾𝛾−1
𝛾𝛾 =950(
80
200
)
1,354−1
1,354 = 748K
2) La vitesse maximale à la sortie de la tuyère est obtenue lorsque la transformation est réversible
La tuyère est un organe qui n’échange pas de travail , donc en régime stationnaire le bilan énergétique s’écrit
en admettant qu’il n’ y a pas de variation d’énergie potentielle:
δm[ ec + h]e
s = 0 ⇒ ∆ ec + ∆h = 0 soit
𝐶𝐶2𝑠𝑠
2−𝐶𝐶1
2
2
= h1 –h2s = cp( T1-T2s) donc puisque C1 est négligeable
𝐶𝐶2𝑠𝑠
2
= 2 cp( T1-T2s) et 𝐶𝐶2𝑠𝑠 = 2cp( T1−T2s) = 2.1099(950 − 748) = 666m/s
3) Le rendement isentropique de la tuyère est défini en considérant la transformation isentropique comme
transformation idéale de référence
ηis=
𝑪𝑪𝒔𝒔
𝟐𝟐− 𝑪𝑪𝒆𝒆
𝟐𝟐
𝑪𝑪𝒔𝒔
𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝒆𝒆
𝟐𝟐
𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊
= ηis =
𝑪𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐− 𝑪𝑪𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝑪𝑪𝟐𝟐𝒔𝒔
𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝟏𝟏
𝟐𝟐 =
∆𝒆𝒆𝒄𝒄
∆𝒆𝒆𝒄𝒄 𝒊𝒊𝒊𝒊
= 0,92 ⇒ 𝑪𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐
− 𝑪𝑪𝟏𝟏
𝟐𝟐
=0,92(𝑪𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐
− 𝑪𝑪𝟏𝟏
𝟐𝟐
)
C1 étant négligeable , on aura 𝑪𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐
= 0,92 𝑪𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐
⇒ 𝐶𝐶2𝑎𝑎 = 0,92 𝑪𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐
Soit 𝐶𝐶2𝑎𝑎 =639m/s
La vitesse de sortie du gaz est plus faible dans le cas irréversible que le cas réversible
Exercice3 d’application
Rendement isentropique d’une tuyère
 Température de sortie T2a dans les conditions de non réversibilité
Bilan énergétique : ∆ ec + ∆h = 0 ⇒ ∆ec =- ∆h
Soit
𝐶𝐶2𝑎𝑎
2−𝐶𝐶1
2
2
= h1 –h2a= cp( T1-T2a) , d’où avec C1 négligeable : T2a = T1-
𝐶𝐶2𝑎𝑎
2
2𝑐𝑐𝑐𝑐
= 950-
6392
2.1099
= 764,2K
En résumé en présence d’irréversibilités, la température de sortie est plus élevée que celle obtenue en
l ’absence de ces irréversibilités ; la vitesse de sortie par contre est plus faible dans le cas irréversible que dans
le cas réversible. La dissipation d’énergie causée par l’irréversibilité fait qu’une partie de l ’énergie thermique
n’est pas convertie en énergie cinétique .
4) Les deux transformations adiabatique réversible( isentropique)
et adiabatique irréversible sont représentées dans le diagramme
(T,s). On trace d’abord dans ce diagramme les deux isobares
P = P1 = 200kPa et P = P2 =80kPa
A partir de l’état d’entrée 1 on mène la verticale jusqu’à rencontrer
l’isobare P2; c’est l’isentropique 1-2s
Le point de sortie 2a correspondant à la transformation adiabatique
irréversible se trouve à droite du point 2s sur l’isobare P= P2 =80kPa
Car s2a > s2s
Rappel : la transformation irréversible est représentée en ligne discontinue car on ne connait pas le chemin
exactement suivi par le fluide , on ne connait que l’état initial et l’état final
Exercice -Cycle de Carnot d'un gaz parfait
Une masse m d'un gaz parfait monoatomique décrit un cycle constitue par les transformations
réversibles suivantes :
- une transformation adiabatique A(PA,VA, T2) →B(PB,VB , T1) avec T1 > T2 ;
- une détente à température constante B → C(PC, VC,T1) ;
- une transformation adiabatique C → D(PD,VD, T2) ;
- une compression à température constante D → A.
On admettra que la capacité calorique a volume constant du gaz est indépendante de la
température.
1) a) Représenter le cycle dans le plan (P; V ) (diagramme de Clapeyron).
b) Démontrer les relations PAPC = PBPD et VAVC = VBVD.
2) a) Déterminer les travaux WAB; WBC ;WCD et WDA reçus par le gaz dans chacune des
transformations constituant le cycle, en fonction des coordonnées des états initial et final
correspondants.
b) Quelle est la relation entre WAB et WCD ? Retrouver directement cette relation en appliquant le premier principe de
la Thermodynamique et en tenant compte du fait que le gaz est parfait.
3) a) Déterminer, en fonction des coordonnées des sommets du cycle, les quantités de
chaleur QAB , QBC , QCD et QDA échangées par le gaz au cours des quatre transformations du cycle et en préciser les
signes.
b) Etablir une relation entre QBC et QDA .
Exercice –cycle de Carnot d’un gaz parfait
4) Déterminer le travail total W reçu par le gaz au cours du cycle. Montrer que l'on pouvait
prévoir son signe et le vérifier.
5) Donner la définition générale du rendement relatif a un cycle et déterminer le rendement
du cycle considéré ici.
6) a) Déterminer les coordonnées des états C et D de telle sorte que QBC ait une valeur
Q1 fixée a l'avance.
b) Application numérique :
PA = 105 Pa ; T1 = 300 K; T2 = 280 K; Q1 = 200 J ; γ =
5
3
; R = 8, 31 J K-1.mol-1 ;
nombre de mole : n = 1/10.
Exercice –cycle de Carnot d’un gaz parfait
1) a) Représentation du cycle dans le diagramme (P,V)
Figure ci-contre
b) Pour les transformations isentropiques AB et CD,
on peut écrire
PAVγ
A = PBVγ
B et PCVγ
C = PDVγ
D avec γ =
Cp
Cv
=
5
3
(gaz parfait monoatomique), d'où en
multipliant terme à terme les membres des
relations précédentes on obtient la relation :
PAPC(VAVC) γ
= PBPD(VBVD) γ
(1)
Pour les transformations isothermes DA et BC on a les relations:
PAVA = PDVD = nRT2 et PCVC = PBVB = nRT1 ( n est le nombre de moles correspondant à la masse m)
d'où PAPC VAVC = PBPD VBVD (2)
En combinant les relations (1) et (2) on déduit facilement PAPC = PBPD ; VAVC = VBVD
Exercice–cycle de Carnot d’un gaz parfait
2) a) WAB = ∆ABU =
3
2
nR(TB - TA) car QAB = 0
WBC =- nRTB ln
𝑉𝑉𝐶𝐶
𝑉𝑉𝐵𝐵
qui s’obtient en intégrant δW = -PdV le long de la transformation isotherme T1
WCD = ∆CDU =
3
2
nR(TD- TC)=
3
2
nR(TA - TB) car QCD = 0
WDA = - nRTA ln
𝑉𝑉𝐴𝐴
𝑉𝑉𝐷𝐷
b) WAB = -WCD Cette égalité résulte des considérations suivantes:
- D'une part, les deux transformations AB et CD étant des adiabatiques, QAB = QCD = 0 et par conséquent WAB = UB - UA, WCD = UD - UC.
- D'autre part, les deux transformations BC et DA sont isothermes. Or, l‘énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température et par suite UB
= UC, UD = UA. D'ou l'égalité mentionnée.
3) a) D'après ce qui précède, QAB = QCD = 0
QBC = - WBC = nRTB ln
𝑉𝑉𝐶𝐶
𝑉𝑉𝐵𝐵
> 0 Le gaz reçoit de la chaleur lors de la transformation B → 𝐶𝐶
QDA =- WDA = -nRTA ln
𝑉𝑉𝐴𝐴
𝑉𝑉𝐷𝐷
< 0 le gaz cède de la chaleur lors de la transformation D → 𝐴𝐴
b) De l'égalité VAVC = VBVD on tire
VA
VD
=
VB
VC
et par suite
QBC
𝑇𝑇B
+
QDA
𝑇𝑇A
= 0 ou encore
QBC
𝑇𝑇1
+
QDA
𝑇𝑇2
= 0
On retrouve ici l'égalité de Clausius qui résulte du bilan entropique de ce cycle réversible.
Exercice–cycle de Carnot d’un gaz parfait
Le travail total au cours du cycle s’obtient en sommant les travaux relatifs aux quatre transformations
W = WAB + WBC + WCD + WDA
=
3
2
nR(TB - TA) - nRTB ln
𝑉𝑉𝐶𝐶
𝑉𝑉𝐵𝐵
+
3
2
nR(TA – TB) - nRTA ln
𝑉𝑉𝐴𝐴
𝑉𝑉𝐷𝐷
d’où
Wcy = nR(TB - TA) ln
𝑉𝑉𝐷𝐷
𝑉𝑉𝐴𝐴
On a déjà établi en effet que VAVC = VBVD⇒
VD
VA
=
VC
VB
Ce travail doit être négatif car dans le diagramme (P; V ) le cycle est parcouru dans le sens trigonométrique. Il en est bien ainsi car VD > VA (DA
est une compression) et TA = T2 < TB = T1. Le cycle est donc moteur.
5) Un rendement est défini comme le rapport de ce qui est récupéré sur ce qui est fourni. Ici,
on récupère le travail 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 alors que seule la quantité de chaleur QBC est réellement fournie.
On définit donc le rendement du cycle comme r = -
W
QBC
. On introduit le signe (-) pour que la grandeur r soit positive étant donné que W et
QBC sont de signes contraires.
On obtient donc r = -
nR(TB − TA) ln 𝑉𝑉𝐷𝐷
𝑉𝑉𝐴𝐴
− nRTB ln𝑉𝑉𝐶𝐶
𝑉𝑉𝐵𝐵
= 1-
TA
TB
= 1-
T2
T1
En prenant T1 = 300 K et T2 = 280 K on obtient pour r la valeur: r = 0,067
Comme les températures choisies ici sont proches il est naturel de trouver un rendement très faible.
Exercice–cycle de Carnot d’un gaz parfait
6) a) b) On doit exprimer les coordonnées du cycle en fonction des données de l'application
numérique qui sont Q1, PA, T1, T2, n et R.
Le volume VA est donne par l‘équation d‘état : VA =
nRT2
𝑃𝑃𝐴𝐴
= 2,3 10-3 m3.
Q1 = QBC = nRTB ln
𝑉𝑉𝐶𝐶
𝑉𝑉𝐵𝐵
= , avec
VC
VB
=
VD
VA
d’où l’expression du volume VD :
VD = VA exp(
Q1
nRT1
) = 2,23 VA = 5, 13 10-3 m3.
Le volume VC s'obtient de la même manière à partir de VB et ce dernier volume est connu si l'on connait PB, puisque VB =
nRT1
𝑃𝑃𝐵𝐵
. Or, en
fonction des variables P et T, l‘équation d'une isentropique du gaz parfait prend la forme: P𝑇𝑇
𝛾𝛾
𝛾𝛾−1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 d’où
PA𝑇𝑇𝐴𝐴
𝛾𝛾
𝛾𝛾−1 = PB𝑇𝑇𝐵𝐵
𝛾𝛾
𝛾𝛾−1 soit PB = PA(
𝑇𝑇1
𝑇𝑇2
)5/2
= 1,19 PA.
Ainsi, VB = 2, 1 10-3 m3 et VC = 4,68 10-3 m3.

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  • 1. Université Hassan II de Casablanca Faculté des sciences –Ain Chock Master Mécanique (M1/2019-2020) Thermodynamique III Machines thermiques Pr.A.MENAI
  • 2. Thermodynamique III Chapitre IV les machines thermiques Pr.A.MENAI
  • 3. I-Introduction-cycle de vie de l ’énergie L’énergie existe sous plusieurs formes , selon le besoin une forme est plutôt utilisée qu’une autre . La conversion d’une forme en une autre nécessite une forme d’énergie au départ ( source d’énergie disponible ou énergie primaire) et un système de conversion . 1-Energie primaire Les différentes énergies primaires peuvent être classées par critères (type de ressource, utilisation, énergie spécifique ...)  Combustibles fossiles: Pétrole, charbon, gaz naturel. L’énergie est stockée sous forme chimique Combustible nucléaire: Uranium (libérée par fission). Deutérium, tritium (libérée par fusion).  Énergies renouvelables et non nouvelles : chutes et retenue d'eau, vents, marées, bois, biomasse, géothermie, solaire 2-Système de conversion de l’énergie  système purement thermique : fours de cuisson, chaudières, séchoirs, convecteurs, échangeurs thermiques  système mécanique: compresseurs, turbines  système thermodynamique : combinaison de différents systèmes élémentaires (centrale thermique, chaudière cogénérée...) 3-Énergie utile, finale froid, thermique, électrique, mécanique 4-Énergie rejetée
  • 4. I-Introduction- Machines thermiques Définitions Une machine thermique est un ensemble plus ou moins complexe d’organes destiné à faire en sorte qu’un système thermodynamique (en général un fluide) échange de la chaleur et du travail avec le milieu extérieur. Elle doit pouvoir transformer de la chaleur en travail (moteur thermique) ou inversement( pompe à chaleur, réfrigérateur) par l’intermédiaire d’un fluide. Une machine thermique doit pouvoir fonctionner pendant une durée indéfinie, ceci n’est possible que si le système thermodynamique utilisé ( le fluide) effectue une succession de cycles. Le fluide doit donc être ramené périodiquement à son état initial.
  • 5. I-Introduction- Machines thermiques Bref historique Deux types de machines ont été développés : les machines à gaz où le fluide reste à l’état gazeux tout au long du cycle et les machines à changement de phase où le fluide subit un changement de phase. Les principales dates historiques correspondant à ces développements se présentent comme suit:  La première machine , celle de Stirling ( 1816) utilisait de l’air comme fluide  Au 19ème siècle , la machine à vapeur utilisant l’eau comme fluide a été développée En 1860 le moteur thermique fait son apparition grace à Otto et Diesel
  • 6. I-Introduction- Machines thermiques Pourquoi les machines thermiques dithermes ? Soit un système échangeant de la chaleur avec une seule source de chaleur de température T0 Ecrivons le 1er et le 2ème principe pour une transformation cyclique monotherme (un cycle monotherme) subie par ce système au cours de laquelle il échange la quantité de chaleur Q et le travail W avec l’extérieur :  1er Principe : Q+W = ∆Ucy = 0 , U est une fonction d’état et l’état initial et l’état final sont identiques pour un cycle  2ème Principe : ∆Scy = Se+ Si = 0 , même raisonnement que pour ∆Ucy Donc Se= - Si ≤ 0 car Si ≥ 0 or Se= 𝑄𝑄 𝑇𝑇0 ≤ 0 d’où Q ≤ 0 Le bilan énergétique (1er Principe ) ⇒ W = - Q ≥ 0 , W doit être donc reçu par le système Conclusions  Une machine thermique qui fonctionne en n’échangeant de la chaleur qu’avec une seule source ne peut que recevoir du travail et fournir de la chaleur à l’extérieur , c’est l’énoncé de Kelvin du second principe  Pour pouvoir produire du travail , une machine thermique doit fonctionner avec au moins deux sources de chaleur Le cas le plus simple consiste à choisir deux sources; on parle alors de machines thermiques dithermes. L’échange de chaleur entre le fluide et l’extérieur se fait au niveau de deux sources: une source chaude à la température T1 et une source froide à la température T2 ( avec T1 > T2 )
  • 7. II-Généralités sur les machines thermiques dithermes Un premier critère pour classer les machines thermiques concerne le renouvellement ou non du fluide dans la machine après chaque cycle Classification des machines thermiques
  • 8. • D’autres critères peuvent être utilisés pour classer les machines thermiques II-Généralités sur les machines thermiques dithermes Classification des machines thermiques
  • 9. Exemple de machine à combustion externe Centrale électrique thermique La combustion a lieu dans une chaudière dégageant une quantité de chaleur qui sera absorbée par le fluide en circulation dans l’installation. C’est une machine à combustion externe
  • 10. II-Généralités sur les machines thermiques dithermes Une étincelle produite par une bougie provoque l’explosion du mélange air- carburant. C’est un système à combustion interne Exemple de machine à combustion interne- moteur de voiture
  • 11. Exemple-Moteur de voiture Le cylindre est muni de deux soupapes: une 1ère soupape qui s’ouvre au moment de l’admission du carburant ( la 2ème soupape étant fermée) et une 2ème soupape qui s’ouvre au moment de l’échappement ( rejet) des gaz résultant de la combustion air-carburant ( la 1ère soupape étant fermée). Pendant l’intervalle de temps séparant l’admission de l’échappement des gaz les deux soupapes sont maintenues fermées.
  • 12. II-Généralités sur les machines thermiques dithermes Bilans énergétique et entropique d’une machine ditherme Les machines thermiques dithermes obéissent aux deux principes et sont soit réceptrices ( de travail) soit motrices. Pour étudier globalement le fonctionnement d’une machine thermique ditherme on considère une masse de fluide ( système thermodynamique étudié) qui circule dans cette machine . Ce fluide subit un ensemble de transformations formant un cycle au cours duquel il échange la chaleur Q1 avec la source chaude (SC) de température T1 , la chaleur Q2 avec la source froide (SF) de température T2 et le travail W avec le milieu extérieur. On écrit les bilans énergétique et entropique du fluide considéré comme un système fermé au cours d’un cycle:  1er principe : Q1 + Q2 + W = ∆Ucy= 0  2eme principe : Se + 𝑆𝑆𝑖𝑖 = Q1 T1 + Q2 T2 + 𝑆𝑆𝑆𝑆 = ∆Scy= 0 soit Q1 T1 + Q2 T2 = − 𝑆𝑆𝑆𝑆 ≤ 0 Selon que le travail est reçu ou cédé par le fluide on distingue deux types de machines :  Les machines thermiques motrices pour lesquelles : W < 0  Les machines thermiques réceptrices pour lesquelles : W > 0 Remarque : au cours d’un cycle la variation de toute fonction d’état est nulle , ainsi: ∆Ucy = ∆Hcy = ∆Fcy = ∆Gcy = ∆Scy = 0
  • 13. II-Généralités sur les machines thermiques dithermes  La Source de chaleur chaude de température T1 fournit la chaleur Q1 au fluide qui circule dans la machine  La Source froide de température T2 reçoit la chaleur Q2 du fluide  La machine (l’installation) fournit à l’extérieur (l’utilisateur) le travail W  T1 > T2 < 0 Représentation-machine ditherme motrice
  • 14. II-Généralités sur les machines thermiques dithermes > 0 Représentation-Machine ditherme réceptrice
  • 15. II-Généralités sur les machines thermiques dithermes > 0 Représentation-Machine ditherme réceptrice
  • 16. Cycle parcouru par le fluide dans un réfrigérateur
  • 18. II-Généralités sur les machines thermiques dithermes Un modèle de Machine ditherme-la machine de Carnot La machine de Carnot constitue une machine de référence, c’est une machine idéale. Le fluide ( un gaz non liquéfiable dans le domaine de température utilisé) décrit des cycles entièrement réversibles ( toutes les transformations sont réversibles)  Le fluide de la machine échange de la chaleur avec deux sources de chaleur , l’une dite chaude de température T1 , l’autre dite froide de température T2. Lors des contacts avec les sources (SC) et (SF) le fluide échange les quantités de chaleur Q1 et Q2 notées aussi Qc et Qf Le cycle est constitué de deux isentropiques et de deux isothermes
  • 19. II-Généralités sur les machines thermiques dithermes Description des étapes du cycle de Carnot  Le fluide de la machine est mis en contact thermique avec la source chaude (SC)de température T1, il est isolé de la source froide (SF) . Il y a échange de chaleur de manière réversible entre (SC) et le fluide ( transformation A-B). Pour que cet échange de chaleur s’effectue de manière réversible il faut que la température du fluide soit à chaque instant égale à celle de la source il s’agit donc de l’isotherme T1.  Le fluide est isolé de l ’ensemble des deux sources , il évolue sans échange de chaleur ( transformation adiabatique et réversible) jusqu’à ce que sa température atteigne la valeur T2 pour pouvoir le mettre en contact avec la source (SF) , il s’agit de la transformation isentropique (B-C).  Le fluide est ensuite mis en contact thermique avec la source (SF) , il subit donc la transformation isotherme T2 ( transformation C-D)  En fin il est isolé des deux sources , d’où une évolution isentropique qui le ramène à l’état initial ( transformation D-A) Le cycle est donc constitué de deux isentropiques et deux isothermes qui s’alternent.
  • 20. II-Généralités sur les machines thermiques dithermes Représentation du cycle de Carnot cycle de Carnot dans le diagramme (P,v) Cycle de Carnot dans le diagramme (T,s) Isotherme T1 Isotherme T2 T1 T2 T V
  • 21. Réalisation d’un cycle de Carnot Bien que le cycle de Carnot ne soit pas réalisable dans la pratique il peut être envisagé de l’exécuter dans un système fermé ( cylindre muni d’un piston mobile) comme il peut être exécuté dans un système ouvert comportant deux compresseurs et deux turbines comme sur le schéma suivant: La compression se fait en deux étapes: - Compression 3-4 dans un compresseur isotherme - Compression 4-1 dans un compresseur isentropique La détente se fait elle aussi en deux étapes : - Détente 1-2 dans une turbine isotherme - Détente 2-3 dans une turbine isentropique
  • 22. Rendement (efficacité) d’une machine thermique Afin d’évaluer la performance d’une machine thermique on définit son rendement r . Ce rendement thermique noté r ou η (appelé parfois de façon inappropriée rendement thermodynamique ) est défini d’une manière générale par r = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 ( 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑙′𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢) 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐  Le rendement thermique d’une machine motrice est défini par : r = 𝑊𝑊 𝑄𝑄1 = - 𝑊𝑊 𝑄𝑄1 = - 𝑊𝑊 𝑄𝑄𝑐𝑐  Le rendement d’une machine frigorifique (MAF) appelé aussi efficacité et noté ε ou e est défini comme : ε = 𝑄𝑄2 𝑊𝑊 = 𝑄𝑄2 𝑊𝑊 = 𝑄𝑄𝑓𝑓 𝑊𝑊 la grandeur d’intérêt pour l’utilisateur est Q1, chaleur extraite de (SF)  Le rendement ou efficacité d’une pompe à chaleur( PAC) est défini par : ε = 𝑄𝑄1 𝑊𝑊 = - 𝑄𝑄1 𝑊𝑊 = - 𝑄𝑄𝑐𝑐 𝑊𝑊 on s’intéresse ici à la chaleur Q1 fournie par la machine à (SC)
  • 23. Rendement de la machine de Carnot On applique les deux principes à une masse de fluide en supposant qu’elle se comporte comme un système fermé même si le fluide est renouvelé( voir classification) au cours d’un cycle  1er principe : Q1 + Q2 + W = ∆Ucy= 0⇒ W = - (Q1 + Q2 )  2eme principe : Se + 𝑆𝑆𝑖𝑖 = Q1 T1 + Q2 T2 + 𝑆𝑆𝑆𝑆 = ∆Scy= 0 soit Q1 T1 + Q2 T2 = − 𝑆𝑆𝑆𝑆 ≤0 Toutes les transformations du cycle de Carnot sont réversibles donc ∶ 𝑆𝑆𝑆𝑆 = 0 Soit Q1 T1 + Q2 T2 = 0 ⇒ Q2 Q1 = - T2 T1  Le rendement r d’une machine motrice de Carnot s’écrit alors : rCarnot = - 𝑾𝑾 𝑸𝑸𝟏𝟏 = (Q1 + Q2 ) 𝑸𝑸𝟏𝟏 = (1+ Q2 Q1 ) = 1- T2 T1 (pour que r soit positif on a introduit le signe(-) dans l’expression le définissant) Le rendement de Carnot ne dépend pas de la nature du fluide , il ne dépend que des températures des deux sources de chaleur Remarque : Comme T2< T1 on a toujours 0 < r < 1  L’efficacité d’une machine à froid (MAF) et d’une pompe à chaleur (PAC) de Carnot: εMAF = 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑾𝑾 = 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑾𝑾 = −𝑸𝑸𝟐𝟐 (Q1 + Q2 ) = T2 T1−T2 Si par ex: T1 = 20°C et T2 = -18°C alors εMAF = 6, 7 εPAC = 𝑸𝑸𝟏𝟏 𝑾𝑾 = 𝑸𝑸𝟏𝟏 𝑾𝑾 = 𝑸𝑸𝟏𝟏 (Q1 + Q2 ) = T1 T1−T2 Si par ex: T1 = 20°C et T2 = 4°C alors εPAC = 18,3 Comme on peut le remarquer les efficacités de la MAF et de la PAC sont supérieures à 1
  • 24. Théorème de Carnot Efficacité d’une machine par rapport à la machine de Carnot  Une machine thermique même idéale ne peut pas disposer d’un rendement supérieur à celui d’une machine de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures des sources chaude et froide. En effet : Pour une machine thermique ditherme réelle ( donc qui comporte forcément des irréversibilités) on a  1er principe : Q1 + Q2 + W = ∆Ucy= 0 ⇒ W = - (Q1 + Q2 )  2eme principe : Se + 𝑆𝑆𝑖𝑖 = Q1 T1 + Q2 T2 + 𝑆𝑆𝑆𝑆 = ∆Scy= 0 soit Q1 T1 + Q2 T2 = − 𝑆𝑆𝑆𝑆 ≤ 0 Donc Q1 T1 ≤ − Q2 T2 ⇒ T2 T1 ≤ - Q2 Q1 (T2 > 0 et Q1 > 0) d’où ⇒ - T2 T1 ≥ Q2 Q1 et r = - 𝑾𝑾 𝑸𝑸𝟏𝟏 = 1+ Q2 Q1 ≤ 1- T2 T1 = rCarnot  On utilise généralement l’efficacité d’une machine motrice réelle par rapport à la machine de Carnot pour rendre compte des pertes énergétiques occasionnées par le fonctionnement de cette machine ; il s’agit du rapport entre le rendement de la machine à celui de la machine de Carnot : εeff = 𝒓𝒓 𝒓𝒓𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 De même on définit l’efficacité d’une MAF ou d’une PAC par rapport à la machine de Carnot par le rapport de l’efficacité de la machine considérée à celle de la machine de Carnot εeff = ε ε𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪
  • 25. Machine motrice réelle et machine de Carnot Illustration à l’aide du diagramme (T,S)  Le cycle d’une machine motrice de Carnot est représentée dans le diagramme (T, s) par les transformations successives : A-B, B-C, C-D, D-A La quantité de chaleur échangée avec(SC) est donnée par : Q1 = T1( SB –SA), A-B est isotherme La quantité de chaleur échangée avec(SF) est donnée par: Q2 = T2( SD –SC), C-D est isotherme Bilan énergétique : W =-(Q1 + Q2) = -[T1( SB –SA)+T2( SD –SC)] W =- ( SB –SA)(T1 - T2) car ( SD –SC)= - ( SB –SA) Donc W = -aire (A,B,C,D)  Si on considère une machine fonctionnant entre Les deux températures extrêmes T1 et T2 autre que la machine de Carnot alors le cycle correspondant sera à l’intérieur du cycle de Carnot( par exemple le cycle A’, B’, C’,D). Le travail produit par cette machine est donné par l’aire de la surface comprise à l’intérieur de ce cycle qui est inférieure à celle correspondant au cycle de Carnot. Le rapport des deux aires mesure l’efficacité de la machine considérée par rapport à la machine de Carnot. T1 T2 A B C D SA=SD A’ B’ C ’ SB=SC
  • 26. Les rendements thermodynamiques des dispositifs Comme on vient de le noter l’efficacité d’un cycle admet comme borne supérieure l’efficacité du cycle de Carnot, qui ne dépend que des températures des sources de chaleur , et donc ne donne en soi aucune information quant au degré de perfection d’un dispositif et ne permet pas de préciser à quel niveau de l’installation il y a dissipation de l ’énergie. Dans le but d’évaluer les pertes dans l’installation on s’intéresse au rendement thermodynamique de chacun de ses composants . On est donc amené à considérer le type d’organe et le type de transformation subie par le fluide . On ne considère ici que des systèmes ouverts en régime permanent. 1-Rendement des transformations adiabatiques Systèmes avec échange de travail Pour les systèmes avec échange de travail, le rendement thermodynamique noté η est défini de manière générale par les expressions : η= 𝑾𝑾𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝑾𝑾 : pour un organe récepteur ( pompe, compresseur, ventilateur) η= 𝑾𝑾 𝑾𝑾𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 : pour un organe moteur ( turbine) Où Widéal est le travail reçu ( ou fourni) par un organe idéal et W est le travail échangé dans l’organe fonctionnant dans les conditions réelles. Cette définition du rendement dépend du choix de la machine idéale et donc de la transformation idéale de référence . Nous illustrons dans la suite ces deux définitions pour un compresseur ( où le fluide subit une compression) et une turbine ( où le fluide subit une détente)
  • 27. Rendement isentropique de compression et de détente Dans les machines réelles il y a toujours une dissipation d’énergie lors de la compression( passage du fluide dans le compresseur ou pompe) ou de la détente ( passage du fluide dans la turbine par exemple). On admet en général que les organes de compression ou de détente sont isolés thermiquement ( donc transformation adiabatique). Pour mettre en évidence l’effet de la dissipation on considère un gaz qui subit une transformation qui l’amène de P0 à P1 ( compression) ou inversement de P0 à P1 ( détente) et on compare les travaux mis en jeu lorsque la transformation est adiabatique réversible et lorsqu’elle est adiabatique irréversible. Le bilan énergétique du système ouvert (turbine , compresseur , pompe, tuyère) s’écrit : dE = δQ+δW-PadV +[δm(ec+ep+h) ]s e où Pa est la pression du milieu Ambiant. -On suppose que le régime d’écoulement est stationnaire: dE = 0 , dV =0 , δme = δms = δm Hypothèses simplificatrices : -Il n’ y a pas de variation d’énergies cinétique et potentielle macroscopiques ∆ec = ∆ecp =0 - Il n’y a pas d’échange de chaleur : δQ = 0 le bilan se réécrit δW+δm [h]s e = 0 ⇒ δW= δm( hs-he ) = δm∆h ⇒ w = δW δm = ∆h = (hs-he) où hs et he sont les enthalpies massiques du fluide à la sortie et à l’entrée de l’organe de compression ou de détente. Remarque : si ∆ec ≠ 0 et/ou ∆ecp ≠0 , il y a lieu d’en tenir compte dans l’expression du travail
  • 28. Rendement isentropique de compression On considère un gaz qui subit une compression qui l’amène de l’état 1( à la pression P0) à l’état 2 ou 2’ ( à la pression P1 ) selon que la transformation est réversible ou irréversible . L’entropie s2’ est supérieure à l’entropie s2 puisque 1-2 est adiabatique réversible et 1-2’ est adiabatique irréversibles. Les pressions des deux états 2 et 2’ étant identiques , ils sont situés sur la même isobare . D’où la représentation dans le diagramme (h,s) de la figure ci-dessous . Le travail massique fourni par le compresseur ( ou la pompe dans le cas d’un liquide) est : wC = ∆h = (h2-h1) pour la transformation 1-2 wC’ = ∆h = (h2’-h1) pour la transformation 1-2’ En soustrayant membre à membre ces deux relations on obtient : wC’ - wC = h2’ - h2 Le graphe montre clairement que h2’ > h2 donc wC’ > wC Par conséquent le travail nécessaire à la compression d’une unité de masse de fluide est plus élevé lors d’une compression irréversible que lors d’une transformation réversible . Or ce travail de compression est de l ’énergie dépensée , il est plus avantageux pour l’utilisateur d’opérer de façon réversible. Afin de quantifier la dissipation induite par l’irréversibilité. on définit le rendement isentropique du compresseur ( pompe) par la relation : ηis = wC wC’ = wrev wirr = (h2is−h1) (h2−h1) < 1
  • 29. Rendement isentropique de détente le gaz subit une détente de P1 à P0 (P0 < P1) . La détente est représentée dans le diagramme (h, s) par la transformation 1-2 ou 1-2’ selon qu’elle est réversible ou irréversible . Comme pour le compresseur, on aura wT = ∆h = (h2-h1) pour la transformation 1-2 wT’ = ∆h = (h2’-h1) pour la transformation 1-2’ En soustrayant membre à membre ces deux relations on obtient : wT’ - wT = h2’ – h2 Le graphe montre que h2’ > h2 donc wT’ > wT Mais le travail de détente est négatif et le travail fourni sera Wf,T’ = | wT’ |= - wT’ et Wf,T = | wT |= - wT comme - wT’ < - wT alors Wf,T’ < Wf,T Donc le travail récupéré par l’utilisateur est plus faible pour une détente Irréversible que pour une détente réversible. On définit alors le rendement isentropique d’une détente par ηis,T = wf,T′ wf,T = wirev wrev = (h2−h1) (h2is−h1) < 1
  • 30. Rendement des diffuseurs et tuyères Systèmes sans échange de travail ( diffuseur et tuyère) Pour les systèmes sans échange de travail, les définitions précédentes n’ont pas de sens. La fonction de ces dispositifs est de transformer l’énergie cinétique en énergie interne ou vice-versa. Par conséquent, le rendement de ces dispositifs est donc (en supposant à nouveau les variations d’énergie potentielle négligeables mais pas celles de l’énergie cinétique )exprimé selon que le dispositif est un diffuseur ou une tuyère comme suit: Cas d’une tuyère : Le rôle de la tuyère( convergente) est d’accélérer le fluide. Elle transforme l’énergie interne en énergie cinétique η = 𝑪𝑪𝒔𝒔 𝟐𝟐− 𝑪𝑪𝒆𝒆 𝟐𝟐 𝑪𝑪𝒔𝒔 𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝒆𝒆 𝟐𝟐 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 Cas d’un diffuseur Le rôle du diffuseur est de décélérer le fluide Il transforme l’énergie cinétique en énergie interne η = 𝑪𝑪𝒔𝒔 𝟐𝟐− 𝑪𝑪𝒆𝒆 𝟐𝟐 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 (𝑪𝑪𝒔𝒔 𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝒆𝒆 𝟐𝟐 ) Entrée Sortie Entrée Sortie
  • 31. Rendement isotherme 2-Rendement des transformations avec échange de chaleur Nous avons montré ( chapitre III) que le travail nécessaire pour comprimer un gaz à une pression donnée est réduit si le gaz est refroidi au cours de la compression — c’est d’ailleurs la raison d’être des « intercoolers - refroidisseurs» qui équipent de nombreux groupes de suralimentation de moteurs volumétriques. Pour ces compressions réfrigérées, il y a lieu de définir un autre rendement. Si l’échange de chaleur s’effectue avec une source de température T0, supposée égale à la température d’entrée du fluide , la transformation réversible de référence est la compression isotherme. On définit donc le rendement isotherme de compression , ηT , comme: ηT = 𝑾𝑾𝑻𝑻 𝑾𝑾 = 𝒉𝒉𝒔𝒔𝒔𝒔−𝒉𝒉𝒉𝒉 −𝑻𝑻𝟎𝟎( 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝒔𝒔𝒔𝒔) 𝒉𝒉𝒔𝒔−𝒉𝒉𝒉𝒉 −𝒒𝒒 où hsT et ssT sont l’enthalpie et l’entropie massiques dans l’état défini par la pression Ps ( de sortie) et la température T0 ,q est la quantité de chaleur massique échangée. Lorsqu’il s’agit d’une détente dans une turbine , les gaz sont en général rejetés dans l’atmosphère. On considère alors que l’échange de chaleur s‘effectue avec une source de chaleur de température T0 , supposée égale à la température de sortie du fluide de la turbine . La transformation réversible de référence est la détente isotherme à la température T0. On définit alors le rendement isotherme de détente par : ηT = 𝑾𝑾 𝑾𝑾𝑻𝑻 = 𝒉𝒉𝒆𝒆−𝒉𝒉𝒉𝒉 + 𝒒𝒒 𝒉𝒉𝒆𝒆−𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 +𝑻𝑻𝟎𝟎( 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔−𝒔𝒔𝒔𝒔)
  • 32. Exercice1 d’application Rendement isentropique d’un compresseur On étudie un compresseur au travers duquel de l’air (assimilé à un gaz parfait diatomique) dans son état gazeux est en écoulement stationnaire avec un débit massique qm = 16 g/s. Le compresseur est calorifugé. On mesure en entrée (Pe = 1 bar, Te = 298 K) et en sortie (Ps= 7 bar, Ts = 540 K). Données : γ= 1, 4 et Cp = 1 kJ.kg-1.K−1. 1. En supposant la compression de Pe à Ps réversible pour l’air traversant ce compresseur, quelle serait la température Ts,id en sortie du compresseur. Conclure. 2. Déterminer les puissances utiles fournies au gaz par le compresseur pour le compresseur réel et pour le compresseur idéal (transformation réversible). 3. En déduire le rendement isentropique du compresseur
  • 33. Exercice 1 Bilan énergétique d’un système ouvert : dE = δQ+δW-PadV +[δm (ec+ep+h) ]s e Pa est la pression du milieu ambiant En divisant par dt les deux membres de l’équation on obtient la forme puissance du bilan : dE 𝒅𝒅𝒅𝒅 = δQ 𝑑𝑑𝑑𝑑 + δW 𝑑𝑑𝑑𝑑 − PadV 𝑑𝑑𝑑𝑑 +[ δm 𝑑𝑑𝑑𝑑 (ec+ep+h) ]s e soit dE 𝒅𝒅𝒅𝒅 =Pth +Pu - PadV 𝑑𝑑𝑑𝑑 + [qm (ec+ep+h) ]s e En régime stationnaire : dE 𝒅𝒅𝒅𝒅 =0, PadV 𝑑𝑑𝑑𝑑 =0, qme = qms = qm Pth +Pu + qm [(ec+ep+h) ]s e = Pth +Pu − qm [∆ec+ ∆ep+ ∆h) ] = 0 ∆ec, ∆ep et ∆h sont des variations entre la sortie et l’entrée du système Le compresseur étant calorifugé , si en plus la transformation est réversible elle doit être isentropique pour laquelle on peut écrire la loi de Laplace relative à un GP : 𝑃𝑃1−𝛾𝛾 𝑇𝑇𝛾𝛾 = cste , qui donne pour l’entrée et la sortie 𝑃𝑃𝑒𝑒 1−𝛾𝛾 𝑇𝑇𝑒𝑒 𝛾𝛾 = 𝑃𝑃𝑠𝑠 1−𝛾𝛾 𝑇𝑇𝑠𝑠 𝛾𝛾 soit Ts = Te ( 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃 ) 1−𝛾𝛾 𝛾𝛾 = 520K La température à l’intérieur du compresseur est différente de cette valeur, la transformation ne peut être qu’irréversible . Pour s’en rendre compte on peut calculer l’entropie créée.
  • 34. Exercice 1 2) Les variations d’énergie cinétique et potentielle sont négligeable et le compresseur calorifugé , le bilan d’énergie se réduit à : Pu − qm ∆h = 0 ⇒ Pu = qm ∆h = qm cp(Ts-Te) Si la transformation est réversible ( isentropique) on aura Pu,id = qm ∆h = qm cp(Ts-Te) = 16. 10-3.1(520-298) = 3,552kJ/s= 5,552kW Pour la transformation réelle on a Pu = qm ∆h = qm cp(Ts-Te) = 16. 10-3.1(540-298) = 3,872kJ/s= 5,872kW on constate que la puissance nécessaire pour comprimer le gaz de Pe à Ps est plus élevé dans le cas réel que dans le cas idéal 3) Rendement isentropique du compresseur ηis = wrev wirr = Pu,id Pu = 5,552 5,872 = 0,945<1, en général le rendement d’un compresseur est de l’ordre de 0,8 Remarque: si w est le travail massique et W le travail pour une masse donnée on a δW = wδm ⇒ δW 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑤𝑤 δm 𝑑𝑑𝑑𝑑 donc la puissance s’exprime en fonction du travail massique comme: P = qmw .Puisque le débit est le même dans le cas réel et le cas idéal le rendement s’exprime aussi comme un rapport de puissances .
  • 35. Exercice2 d’application Rendement isentropique d’une turbine Du fréon dont le diagramme (T, s) est donné en fin d’exercice , circule en régime stationnaire dans une turbine calorifugée avec un débit massique qm = 4kg/s. Les variations d’énergie cinétique et potentielle sont négligeables. - À l’entrée de la turbine, Pe = 30 bar, he = 250 kJ. kg-1. - En sortie, le fluide est à la pression Ps = 15 bar. 1)a – Représenter la détente supposée réversible sur le diagramme b – Déterminer les températures Te et Ts,rev du fréon à l’entrée et en sortie de la turbine ainsi que l’enthalpie massique hs,rev en sortie . En déduire le travail massique utile wrev récupéré sur l’arbre et la puissance utile Pu,rev . c – déterminer l’entropie massique se du fluide à l’entrée. 2) En fait la détente n’est pas réversible et le rendement isentropique de la turbine est ηis = 𝟏𝟏 𝟑𝟑 a– Quelle est la puissance utile effectivement récupérée? En déduire l’enthalpie hs,irr . Placer le point correspondant à ce nouvel état de sortie sur le diagramme. Donner la température Ts,irr en sortie. b – Déterminer l’entropie ss,irr en sortie de la turbine et calculer l’entropie massique créée.
  • 36. Diagramme (T,s) du fréon Diagramme (T,s) de travail
  • 37. Exercice2-Détente dans une turbine 1)a-Représentation de la détente réversible . Pour représenter la détente, on détermine d’abord l’emplacement du point e correspondant à l’entrée , c’est le point d’intersection de l’isobare P= Pe = 30bar et de l’isenthalpique h = he = 250kJ/kg Le point de sortie s est situé à l’intersection de l’isobare P= Ps = 15bar et de l’isentropique s= se ( verticale menée à partir du point e) La détente est représentée en rouge b- la lecture des coordonnées des points e et s donne : Te = 130°C ; Ts,rev = 87°C : hs,rev = 235kJ/kg Travail massique utile fourni: Bilan énergétique avec les hypothèses simplificatrices ⇒ wu,rev = ∆h = hs,rev – he = 235-250 =- 15kJ/kg <0 (wf,u)rev = 15kJ/kg Puissance utile fournie (Pf,u)rev = qm (wf,u)rev = - qm ∆h = 4.15 = 60kW c- entropie du point e La projection du point e sur l’axe horizontal donne : se = 0,75kJ.kg-1.K-1 .
  • 38. Exercice2-Détente dans une turbine 2) La détente n’est pas réversible a) Le rendement isentropique de la turbine est ηis = 𝟏𝟏 𝟑𝟑  ηis = 𝑃𝑃𝑓𝑓,𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑃𝑃𝑓𝑓,𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ⇒ 𝑃𝑃𝑓𝑓, 𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟= ηis 𝑃𝑃𝑓𝑓, 𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 soit 𝑃𝑃𝑓𝑓, 𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 60. 𝟏𝟏 𝟑𝟑 = 20kW  𝑃𝑃𝑓𝑓, 𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = - qm ∆h = - qm ( hs,irr-he) ⇒hs,irr = 𝑃𝑃𝑓𝑓,𝑢𝑢 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 − qm + he = -5+250 = 245kJ/kg  Le nouvel état de sortie s’ se trouve donc à l’intersection de l’isobare P= 15bar et de l’isenthalpique h =245kJ/kg que l’on détermine par interpolation entre les isenthalpiques h = 240kJ/kg et h = 250kJ/kg  Après avoir placé le point s’ on lit sur le diagramme la température correspondante , on trouve Ts’ = 100°C b) l’entropie massique à l’état s’ est obtenue en projetant le point s’ sur l’axe horizontal , on obtient ss’ = 0,77kJ.kg-1.K-1 . Le bilan entropique en régime stationnaire : δeS + δiS + δm[s]s e = 0 or δeS =0 donc δiS - δm[ss’ –se ] = δiS - δm∆s= 0 d’où si = δiS δm = ∆s = 0,77-075 = 0,02kJ.kg-1.K-1 Il y a bien création d’entropie ce qui explique la baisse de la puissance fournie par la turbine et donc un rendement inférieur à 1
  • 39. Exercice2-Détente dans une turbine Représentation de la détente réversible et irréversible dans le diagramme (T,s) S’
  • 40. Exercice3 d’application Rendement isentropique d’une tuyère De l’air assimilé à un gaz parfait de rapport des capacités calorifiques γ = 1,354 et de capacité calorifique cp = 1,099kJ.kg-1.K-1 est accéléré dans une tuyère calorifugée d’axe de révolution horizontal . L’état 1 de l’air à l’entrée de la turbine est caractérisé par : La vitesse C1 négligeable, la pression P1 =200kPa et la température T1 = 950K A la sortie la pression est P2 = 80kPa le rendement isentropique de la turbine est ηis = 92% 1) Si la transformation subie par l’air dans la tuyère est réversible , quelle sera la température T2s à la sortie de la tuyère? 2) Déterminer la vitesse maximale C2s à la sortie de la tuyère 3) Calculer la vitesse C2a et la température T2a de l’air à la sortie de la tuyère pour la transformation adiabatique irréversible. Discuter les valeurs obtenues. 4) Tracer l’allure des deux transformations dans le diagramme (T,s) ---------------------------------------------------------------------------------- A titre de rappel sur le schéma ci- contre qui représente L’écoulement de l’air dans la tuyère, la ligne fermée en pointillés est la surface de contrôle qui délimite le volume de contrôle dont le contenu matériel ( ici l’air) fait l’objet de l’étude
  • 41. Exercice3 d’application Rendement isentropique d’une tuyère 1) La transformation est adiabatique irréversible donc isentropique , on peut appliquer la loi de Laplace pour un gaz parfait : 𝑃𝑃1−𝛾𝛾 𝑇𝑇𝛾𝛾 = cste ce qui donne 𝑃𝑃1 1−𝛾𝛾 𝑇𝑇1 𝛾𝛾 = 𝑃𝑃2𝑠𝑠 1−𝛾𝛾 𝑇𝑇2𝑠𝑠 𝛾𝛾 soit T2s = T1( 𝑃𝑃2 𝑃𝑃1 ) 𝛾𝛾−1 𝛾𝛾 =950( 80 200 ) 1,354−1 1,354 = 748K 2) La vitesse maximale à la sortie de la tuyère est obtenue lorsque la transformation est réversible La tuyère est un organe qui n’échange pas de travail , donc en régime stationnaire le bilan énergétique s’écrit en admettant qu’il n’ y a pas de variation d’énergie potentielle: δm[ ec + h]e s = 0 ⇒ ∆ ec + ∆h = 0 soit 𝐶𝐶2𝑠𝑠 2−𝐶𝐶1 2 2 = h1 –h2s = cp( T1-T2s) donc puisque C1 est négligeable 𝐶𝐶2𝑠𝑠 2 = 2 cp( T1-T2s) et 𝐶𝐶2𝑠𝑠 = 2cp( T1−T2s) = 2.1099(950 − 748) = 666m/s 3) Le rendement isentropique de la tuyère est défini en considérant la transformation isentropique comme transformation idéale de référence ηis= 𝑪𝑪𝒔𝒔 𝟐𝟐− 𝑪𝑪𝒆𝒆 𝟐𝟐 𝑪𝑪𝒔𝒔 𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝒆𝒆 𝟐𝟐 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 = ηis = 𝑪𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐− 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑪𝑪𝟐𝟐𝒔𝒔 𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝟐𝟐 = ∆𝒆𝒆𝒄𝒄 ∆𝒆𝒆𝒄𝒄 𝒊𝒊𝒊𝒊 = 0,92 ⇒ 𝑪𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝟐𝟐 =0,92(𝑪𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 − 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝟐𝟐 ) C1 étant négligeable , on aura 𝑪𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 0,92 𝑪𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 ⇒ 𝐶𝐶2𝑎𝑎 = 0,92 𝑪𝑪𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 Soit 𝐶𝐶2𝑎𝑎 =639m/s La vitesse de sortie du gaz est plus faible dans le cas irréversible que le cas réversible
  • 42. Exercice3 d’application Rendement isentropique d’une tuyère  Température de sortie T2a dans les conditions de non réversibilité Bilan énergétique : ∆ ec + ∆h = 0 ⇒ ∆ec =- ∆h Soit 𝐶𝐶2𝑎𝑎 2−𝐶𝐶1 2 2 = h1 –h2a= cp( T1-T2a) , d’où avec C1 négligeable : T2a = T1- 𝐶𝐶2𝑎𝑎 2 2𝑐𝑐𝑐𝑐 = 950- 6392 2.1099 = 764,2K En résumé en présence d’irréversibilités, la température de sortie est plus élevée que celle obtenue en l ’absence de ces irréversibilités ; la vitesse de sortie par contre est plus faible dans le cas irréversible que dans le cas réversible. La dissipation d’énergie causée par l’irréversibilité fait qu’une partie de l ’énergie thermique n’est pas convertie en énergie cinétique . 4) Les deux transformations adiabatique réversible( isentropique) et adiabatique irréversible sont représentées dans le diagramme (T,s). On trace d’abord dans ce diagramme les deux isobares P = P1 = 200kPa et P = P2 =80kPa A partir de l’état d’entrée 1 on mène la verticale jusqu’à rencontrer l’isobare P2; c’est l’isentropique 1-2s Le point de sortie 2a correspondant à la transformation adiabatique irréversible se trouve à droite du point 2s sur l’isobare P= P2 =80kPa Car s2a > s2s Rappel : la transformation irréversible est représentée en ligne discontinue car on ne connait pas le chemin exactement suivi par le fluide , on ne connait que l’état initial et l’état final
  • 43. Exercice -Cycle de Carnot d'un gaz parfait Une masse m d'un gaz parfait monoatomique décrit un cycle constitue par les transformations réversibles suivantes : - une transformation adiabatique A(PA,VA, T2) →B(PB,VB , T1) avec T1 > T2 ; - une détente à température constante B → C(PC, VC,T1) ; - une transformation adiabatique C → D(PD,VD, T2) ; - une compression à température constante D → A. On admettra que la capacité calorique a volume constant du gaz est indépendante de la température. 1) a) Représenter le cycle dans le plan (P; V ) (diagramme de Clapeyron). b) Démontrer les relations PAPC = PBPD et VAVC = VBVD. 2) a) Déterminer les travaux WAB; WBC ;WCD et WDA reçus par le gaz dans chacune des transformations constituant le cycle, en fonction des coordonnées des états initial et final correspondants. b) Quelle est la relation entre WAB et WCD ? Retrouver directement cette relation en appliquant le premier principe de la Thermodynamique et en tenant compte du fait que le gaz est parfait. 3) a) Déterminer, en fonction des coordonnées des sommets du cycle, les quantités de chaleur QAB , QBC , QCD et QDA échangées par le gaz au cours des quatre transformations du cycle et en préciser les signes. b) Etablir une relation entre QBC et QDA .
  • 44. Exercice –cycle de Carnot d’un gaz parfait 4) Déterminer le travail total W reçu par le gaz au cours du cycle. Montrer que l'on pouvait prévoir son signe et le vérifier. 5) Donner la définition générale du rendement relatif a un cycle et déterminer le rendement du cycle considéré ici. 6) a) Déterminer les coordonnées des états C et D de telle sorte que QBC ait une valeur Q1 fixée a l'avance. b) Application numérique : PA = 105 Pa ; T1 = 300 K; T2 = 280 K; Q1 = 200 J ; γ = 5 3 ; R = 8, 31 J K-1.mol-1 ; nombre de mole : n = 1/10.
  • 45. Exercice –cycle de Carnot d’un gaz parfait 1) a) Représentation du cycle dans le diagramme (P,V) Figure ci-contre b) Pour les transformations isentropiques AB et CD, on peut écrire PAVγ A = PBVγ B et PCVγ C = PDVγ D avec γ = Cp Cv = 5 3 (gaz parfait monoatomique), d'où en multipliant terme à terme les membres des relations précédentes on obtient la relation : PAPC(VAVC) γ = PBPD(VBVD) γ (1) Pour les transformations isothermes DA et BC on a les relations: PAVA = PDVD = nRT2 et PCVC = PBVB = nRT1 ( n est le nombre de moles correspondant à la masse m) d'où PAPC VAVC = PBPD VBVD (2) En combinant les relations (1) et (2) on déduit facilement PAPC = PBPD ; VAVC = VBVD
  • 46. Exercice–cycle de Carnot d’un gaz parfait 2) a) WAB = ∆ABU = 3 2 nR(TB - TA) car QAB = 0 WBC =- nRTB ln 𝑉𝑉𝐶𝐶 𝑉𝑉𝐵𝐵 qui s’obtient en intégrant δW = -PdV le long de la transformation isotherme T1 WCD = ∆CDU = 3 2 nR(TD- TC)= 3 2 nR(TA - TB) car QCD = 0 WDA = - nRTA ln 𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑉𝑉𝐷𝐷 b) WAB = -WCD Cette égalité résulte des considérations suivantes: - D'une part, les deux transformations AB et CD étant des adiabatiques, QAB = QCD = 0 et par conséquent WAB = UB - UA, WCD = UD - UC. - D'autre part, les deux transformations BC et DA sont isothermes. Or, l‘énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température et par suite UB = UC, UD = UA. D'ou l'égalité mentionnée. 3) a) D'après ce qui précède, QAB = QCD = 0 QBC = - WBC = nRTB ln 𝑉𝑉𝐶𝐶 𝑉𝑉𝐵𝐵 > 0 Le gaz reçoit de la chaleur lors de la transformation B → 𝐶𝐶 QDA =- WDA = -nRTA ln 𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑉𝑉𝐷𝐷 < 0 le gaz cède de la chaleur lors de la transformation D → 𝐴𝐴 b) De l'égalité VAVC = VBVD on tire VA VD = VB VC et par suite QBC 𝑇𝑇B + QDA 𝑇𝑇A = 0 ou encore QBC 𝑇𝑇1 + QDA 𝑇𝑇2 = 0 On retrouve ici l'égalité de Clausius qui résulte du bilan entropique de ce cycle réversible.
  • 47. Exercice–cycle de Carnot d’un gaz parfait Le travail total au cours du cycle s’obtient en sommant les travaux relatifs aux quatre transformations W = WAB + WBC + WCD + WDA = 3 2 nR(TB - TA) - nRTB ln 𝑉𝑉𝐶𝐶 𝑉𝑉𝐵𝐵 + 3 2 nR(TA – TB) - nRTA ln 𝑉𝑉𝐴𝐴 𝑉𝑉𝐷𝐷 d’où Wcy = nR(TB - TA) ln 𝑉𝑉𝐷𝐷 𝑉𝑉𝐴𝐴 On a déjà établi en effet que VAVC = VBVD⇒ VD VA = VC VB Ce travail doit être négatif car dans le diagramme (P; V ) le cycle est parcouru dans le sens trigonométrique. Il en est bien ainsi car VD > VA (DA est une compression) et TA = T2 < TB = T1. Le cycle est donc moteur. 5) Un rendement est défini comme le rapport de ce qui est récupéré sur ce qui est fourni. Ici, on récupère le travail 𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 alors que seule la quantité de chaleur QBC est réellement fournie. On définit donc le rendement du cycle comme r = - W QBC . On introduit le signe (-) pour que la grandeur r soit positive étant donné que W et QBC sont de signes contraires. On obtient donc r = - nR(TB − TA) ln 𝑉𝑉𝐷𝐷 𝑉𝑉𝐴𝐴 − nRTB ln𝑉𝑉𝐶𝐶 𝑉𝑉𝐵𝐵 = 1- TA TB = 1- T2 T1 En prenant T1 = 300 K et T2 = 280 K on obtient pour r la valeur: r = 0,067 Comme les températures choisies ici sont proches il est naturel de trouver un rendement très faible.
  • 48. Exercice–cycle de Carnot d’un gaz parfait 6) a) b) On doit exprimer les coordonnées du cycle en fonction des données de l'application numérique qui sont Q1, PA, T1, T2, n et R. Le volume VA est donne par l‘équation d‘état : VA = nRT2 𝑃𝑃𝐴𝐴 = 2,3 10-3 m3. Q1 = QBC = nRTB ln 𝑉𝑉𝐶𝐶 𝑉𝑉𝐵𝐵 = , avec VC VB = VD VA d’où l’expression du volume VD : VD = VA exp( Q1 nRT1 ) = 2,23 VA = 5, 13 10-3 m3. Le volume VC s'obtient de la même manière à partir de VB et ce dernier volume est connu si l'on connait PB, puisque VB = nRT1 𝑃𝑃𝐵𝐵 . Or, en fonction des variables P et T, l‘équation d'une isentropique du gaz parfait prend la forme: P𝑇𝑇 𝛾𝛾 𝛾𝛾−1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 d’où PA𝑇𝑇𝐴𝐴 𝛾𝛾 𝛾𝛾−1 = PB𝑇𝑇𝐵𝐵 𝛾𝛾 𝛾𝛾−1 soit PB = PA( 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 )5/2 = 1,19 PA. Ainsi, VB = 2, 1 10-3 m3 et VC = 4,68 10-3 m3.