My proofs talk, in French

1. L’imagination rigoureuse
Brendan Larvor
www.herts.ac.uk/philosophy

2. L’imagination rigoureuse
Résumé (1)
Grâce aux travaux de Ken Manders, Silvia De Toffoli
& Valeria Giardino, Jessica Carter, et al., nous
savons que les mathématiciens raisonnent avec des
diagrammes. Manders montre comment, dans le cas
de la géométrie euclidienne plane, un tel
raisonnement peut être rigoureux. Est-ce que son
modèle peut s’étendre aux mathématiques
modernes ?

3. L’imagination rigoureuse
Résumé (2)
Hannes Leitgeb soutient que les mathématiciens
prouvent des théorèmes utilisant des images
mentales. De Toffoli & Giardino parlent
d’‘imagination manipulatrice’. Comment les actes de
l’imagination, enfermé dans un esprit individuel,
peuvent contribuer à des preuves objectives,
rigoureuses ?

4. L’imagination rigoureuse
Résumé (3)
Dans les œuvres de Leitgeb tant De Toffoli & Giardino, la plausibilité
de l’idée que les inspections et les manipulations des entités mentales
pourraient être mathématiquement fiables dépend des faits que :
•Il est facile de dessiner un diagramme qui partage (ou dans le cas des
nombres naturels, indique) la structure de l’objet mathématique,
•Les informations ainsi affichées ne sont pas exactes (au sens
Manders, c'est-à-dire ne sont pas métriques) et
•Il est possible d’étiqueter le diagramme et ainsi le rapporter
systématiquement à l’inférence syntaxique, sémantique, ou algébrique.

5. What’s the problem?
How do proofs prove in practice?
“The ultimate standard of proof is a formal proof,
which is nothing other than an unbroken chain of
logical inferences from an explicit set of axioms.
While this may be the mathematical ideal of proof,
actual mathematical practice generally deviates
significantly from the ideal.”
Thomas Hales Dense Sphere Packings: A Blueprint For
Formal Proof, 2012, p.x

6. Le problème
Comment fonctionnent les preuves dans la pratique ?
“La norme ultime de la preuve est une preuve
formelle, ce qui n’est rien d’autre qu’une chaîne
ininterrompue d’inférences logiques d’un ensemble
explicit d’axiomes. Si cela peut être l’idéal
mathématique de la preuve, la pratique
mathématique généralement s’écarte
significativement de l’idéal...”
Thomas Hales Dense Sphere Packings: A Blueprint For
Formal Proof, 2012, p.x

7. Une preuve « Cartésienne » :

8. Le problème
Comment fonctionnent les preuves dans la pratique ?
Un carré se
divise en un
nombre fini de
carrés inégaux

9. Il n’y a aucun cube parfait en cubes
Une preuve de l’imagination
Supposons qu’il y a une telle dissection. La base du cube est divisée
en un carré parfait par les cubes qui reposent sur elle. Le plus petit
carré n’est pas sur le bord. Par conséquent, le plus petit carré (s1)
dans la base est entouré de cubes plus gros et donc plus élevés, sur
les quatre côtés. Donc la face supérieure du cube sur s1 est divisée en
un carré parfait par les cubes qui reposent sur elle. Appelons le plus
petit carré dans cette dissection ‘s2’. La séquence des carrés s1, s2,...
est infinie et les cubes correspondants sont infinies en nombre.
Ceci est en contradiction avec notre hypothèse initiale.

10. Il n’y a aucun cube parfait en cubes
Une preuve de l’imagination
« Dans une dissection carrée, le plus petit carré n’est
pas à un bord (pour des raisons évidentes). »
─Littlewood
Raisons évidentes? Faisons un dessin…

11. L’échiquier mutilé
Encore une preuve de l’imagination
Remarque 1: traduttore,
traditore! (details de
Fenner Tanswell)
Remarque 2: ces deux
preuves ne dépendent ni
de la topologie en général
ni du théorème de Jordan
en particulier

12. Le problème
Comment fonctionnent les preuves dans la pratique ?

13. Chasse aux Flèches :

14. People who may possibly agree with me
Silvia De Toffoli & Valeria Giardino
“…it will be shown that knot diagrams are dynamic by pointing at the
moves which are commonly applied to them. For this reason, experts
must develop a specific form of enhanced manipulative imagination, in
order to draw inferences from knot diagrams by performing epistemic
actions.”
“Forms and Roles of Diagrams in
Knot Theory”
Erkenntnis 79 (4):829-842 (2014)

15. People who may possibly agree with me
Silvia De Toffoli & Valeria Giardino
• Envisioning Transformations: The Practice of Topology.
(2016) in Mathematical Cultures Larvor (ed.) Birkhäuser
Science (Springer).
• An inquiry into the practice of proving in low-dimensional
topology (2015) in From Logic to Practice. Eds: G. Lolli, M.
Panza, G. Venturi.

16. People who may possibly agree with me
Silvia De Toffoli & Valeria Giardino
Transformation
rather than
construction

17. People who may possibly agree with me
Silvia De Toffoli & Valeria Giardino
“Permissible actions help in defining what counts as
mathematical practice, because:
(i)they are accepted in a collective dimension;
(ii)they rely on the cognitive abilities of the practitioners and…
(iii)they refer to the use of stable systems of representations.”
Envisioning Transformations: The Practice of Topology. (2016) in Mathematical Cultures Larvor (ed.) Birkhäuser
Science (Springer).

18. Manders on Euclid I-IV
Co-exact information

19. Leitgeb rehabilitates Gödel
What do you see? Let me draw it for you…

20. Feferman
And so on… the Cantor-Bernstein theorem

21. L’imagination rigoureuse
Résumé (3)
Dans les œuvres de Leitgeb tant De Toffoli & Giardino, la plausibilité
de l’idée que les inspections et les manipulations des entités mentales
pourraient être mathématiquement fiables dépend des faits que :
•Il est facile de dessiner un diagramme qui partage (ou dans le cas des
nombres naturels, indique) la structure de l’objet mathématique,
•Les informations ainsi affichées ne sont pas exactes (au sens
Manders, c'est-à-dire ne sont pas métriques) et
•Il est possible d’étiqueter le diagramme et ainsi le rapporter
systématiquement à l’inférence syntaxique, sémantique, ou algébrique.