Un professeur de mathématiques est un spécialiste de l'apprentissage des mathématiques, capable d'analyser les savoirs et de proposer des itinéraires variés pour les acquérir. La didactique et la pédagogie sont deux champs complémentaires qui régulent l'enseignement et l'apprentissage, en se concentrant respectivement sur la structuration des savoirs et les relations affectives en classe. Les obstacles didactiques et épistémologiques, ainsi que les variables didactiques, jouent un rôle crucial dans le processus d'apprentissage, nécessitant des approches pédagogiques adaptées pour les surmonter.

1. Quelques concepts de base

2. C’est qui un professeur des mathématiques ?
Selon Philippe MEIRIEU (spécialiste des sciences de l'éducation et de la
pédagogie) :
« un professeur de mathématique n’est, en effet, ni un
mathématicien ayant suivi quelques cours de psychologie, ni un
animateur socio-culturel développant quelque intérêt pour les
mathématiques, c’est un professionnel de l’apprentissage des
mathématiques, c’est -à- dire quelqu’un capable, à la fois, de
finaliser les savoirs qu’il doit transmettre, d’en faire une analyse
épistémologique et de proposer des itinéraires variés pour se les
approprier. Un professeur de mathématiques est donc un spécialiste
de la genèse des mathématiques et non de la transmission de ses
résultats ».

3. Didactique
Pour Ph. MEIRIEU, « la didactique est constituée par l’ensemble des procédés,
méthodes et techniques qui ont pour but l’enseignement des connaissances
déterminées.
- La didactique questionne les savoirs, les connaissances (constitution,
décomposition, hiérarchisation, transmission, évaluation, remédiation) ;
- Elle se centre sur le comment enseigne-t-on (quelles procédures enseignantes
choisir?
Pourquoi? Comment les mettre en œuvre?)
- Elle s’applique au rapport de l’élève au savoir spécifique enseigné: quelles
procédures enseignantes? Quelles difficultés? (Dimension cognitive) ».

4. Pédagogie
 La pédagogie s’attache aux relations affectives dans la classe, au climat
de la classe, et inclue dans le savoir du professeur son savoir-faire.
 Elle porte sur les relations enseignant/apprenants ou apprenants/
apprenants dans une situation d’apprentissage ;
 Elle se centre sur le comment apprend-t-on ;
 Elle se focalise sur la communication et la médiation ;
 Elle s’intéresse au concept d’apprendre ou d’apprendre à apprendre

5. Il s’ensuit que le processus enseignement-apprentissage couvre deux champs de
pratiques :
 La gestion de l’information, la structuration du savoir par l’enseignant et de
leur appropriation par l’élève. C’est le domaine de la didactique ;
 Le traitement et la transformation en savoir par la pratique relationnelle et
l’action de l’enseignant en classe à partir de l’organisation de situations
pédagogiques pour l’apprenant. C’est le domaine de la pédagogie.
Le rôle de la didactique et de la pédagogie est de maîtriser ses interactions/ il faut
les prévenir, les réguler afin que l’apprentissage soit le plus efficace possible. Un
bon enseignant devra être à la fois un pédagogue et un didacticien.

6. Triangle didactique de Houssaye (1988)

7. Carré de Rézeau (2002)

8. Tétraèdre de Faerber (2002)

9. Ressources
Les ressources sont les savoirs, savoir-faire et savoir
être mobilisés par l’apprenant en vue de résoudre une
situation-problème complexe.

10. Compétence
Une compétence est la capacité, pour un individu,
de mobiliser un ensemble de ressources
(connaissance, savoir, savoir-faire, savoir-être)
d’une façon intégrée en vue de résoudre d’une
manière pertinente une situation-problème
composée et authentique (réelle ou proche de la vie
quotidienne).

11. Situation didactique / situation adidactique
Situation didactique :
Les situations didactiques sont
des situations qui servent à
enseigner. L'environnement de
l’élève est un outil, mis en œuvre
et manipulé par l’enseignant.
Situation adidactique :
Le maître se refuse à intervenir
comme possesseur des connaissances
qu'il veut voir apparaître. L'élève sait
bien que le problème a été choisi
pour lui faire acquérir une
connaissance nouvelle mais il doit
savoir aussi que cette connaissance
est entièrement justifiée par la
logique interne de la situation.

12. Dévolution / Institutionnalisation
La dévolution est l'acte par lequel
l'enseignant fait accepter à l'élève la
responsabilité d'une situation d'apprentissage
(adidactique) ou d'un problème et accepte
lui-même les conséquences de ce transfert.
C'est le processus par lequel le professeur
fait en sorte que les élèves assument leur
part de responsabilité dans l’apprentissage
L'institutionnalisation est la prise en compte
"officielle" par l'élève de l'objet de la
connaissance et, par le maître de
l'apprentissage de l'élève. C'est une phase
essentielle du processus didactique : cette
double reconnaissance est l'objet de
l'institutionnalisation. C’est le processus
dans et par lequel le professeur signifie aux
élèves les savoirs ou les pratiques qu’il leur
faut retenir comme les enjeux de
l’apprentissage attendu

14. Variable didactique
les variables didactiques sont des paramètres qui, lorsqu’on agit sur eux,
provoquent des adaptations, des régulations et changements de stratégie.
Ces paramètres permettent de simplifier ou de complexifier la tâche et
ainsi de faire avancer la « construction » du savoir. La maîtrise de ces
variables permet de construire le décalage optimal entre les contraintes de
la tâche et les ressources de l’élève ; c’est-à-dire de créer les possibilités de
« perturbations maximales » de transformation de ses comportements.

15. Exemples de variables didactiques
 Avoir recours ou non à du matériel de
manipulation complexifiera la tâche
des élèves et/ou les guidera vers une
procédure différente.
 Faire travailler les élèves seuls, en
binôme ou en groupe induira là encore
des procédures différentes
 Lorsque l’on détermine une durée pour
une tâche, on fait déjà un choix
didactique. Faire varier la durée d’une
tâche à accomplir simplifiera ou
complexifiera la tâche des élèves.
 La taille des nombres : plus les nombres sont
grands plus la tâche sera complexe pour les
élèves.
 L’écart entre 2 nombres : un écart important
entre 2 nombres empêchera également
certaines procédures. Plus l’écart est grand
entre deux nombres, plus les risques d’erreur
dans la technique opératoire seront élevés
 Les difficultés ne seront pas les mêmes si un
problème comprend uniquement des
nombres entiers, ou des nombres décimaux.
Mélanger les nombres décimaux et les
entiers complexifiera une tâche.
VD pour toutes les disciplines VD pour les mathématiques

16. Démarche
Par démarche didactique, on entendra, d’une part, les modalités
d’enseignement (techniques, moyens, procédés, stratégies, etc.)
visant à favoriser une démarche d’apprentissage, c’est-à-dire
l’appropriation par des apprenants d’un certain contenu : savoirs,
attitudes, valeurs, habiletés, etc. et, d’autre part, le mode
d’organisation des activités didactiques (par exemple, en cycles
didactiques ou en séquences d’enseignement).

17. Transposition didactique
C’est le travail par lequel le didactique passe du savoir savant aux savoirs
enseignés compte tenu des programmes imposés par les décideurs. Elle
correspond selon DEVELAY à « un travail de réorganisation de
présentation, de genèse de connaissances pré - existantes en vue de leur
enseignement ». La transposition didactique apparaît alors comme une
forme d’intégration d’un concept au texte du savoir scolaire

18. Contrat didactique
Il s’agit de « l’ensemble des règles implicites
» qui régissent le fonctionnement de la classe
et les rapports Maître -Élève-Savoir. Il est
défini par G. BROUSSEAU comme étant «
l’ensemble des attentes réciproques maître-
élève qui s’établissent à propos de
l’enseignement d’un savoir donné et qui
tendent à définir le rôle de chacun dans le
déroulement de cet enseignement ».
Ces règles implicites se traduisent par des
attentes à propos de ce qui est permis, de ce
qui est attendu, de ce qui est réellement
demandé. Ces règles supposées, ces attentes
souvent non fondées font qu’un élève
anticipe et répond par rapport à ce qu’il
pense que le maître attend de lui .

19. Obstacle didactique
 L'obstacle didactique est un concept issu de la
didactique des sciences, qui désigne une
difficulté spécifique rencontrée par les
apprenants lors de l'acquisition de
connaissances ou de compétences dans un
domaine donné. Cette difficulté peut être liée
à des conceptions erronées, à des préjugés, à
des représentations inadéquates, à des
incompréhensions ou à des blocages cognitifs.
 L'obstacle didactique peut être d'origine
conceptuelle, épistémologique,
méthodologique, ou encore psychologique.
Il peut être lié à des caractéristiques
propres à l'apprenant, à son environnement
ou à la manière dont l'enseignement est
dispensé.

20. L'obstacle épistémologique
L'obstacle épistémologique est un concept développé par le philosophe des sciences
Gaston Bachelard pour décrire les obstacles qui empêchent les individus de
comprendre de nouveaux concepts en raison de leurs croyances et de leurs
conceptions préalables erronées. Selon Bachelard, ces obstacles épistémologiques
sont des barrières mentales qui empêchent les individus de s'ouvrir à de nouvelles
perspectives et de remettre en question leurs croyances existantes.

21. Bien que les termes "obstacle didactique" et "obstacle épistémologique" soient
tous deux liés à l'apprentissage, ils se réfèrent à des types différents
d'obstacles : l'obstacle didactique est principalement lié aux méthodes et
processus d'enseignement et d'apprentissage, tandis que l'obstacle
épistémologique est principalement lié aux conceptions et aux croyances
préalables d'un individu

22. l'obstacle épistémologique peut affecter les individus dans leur vie quotidienne,
tandis que l'obstacle didactique se produit principalement dans le contexte de
l'apprentissage formel, tel que l'école. Par exemple, un individu peut avoir un
obstacle épistémologique dans sa compréhension de la physique quantique, même s'il
n'a jamais suivi de cours de physique quantique formelle. En revanche, l'obstacle
didactique est lié aux obstacles spécifiques qui surviennent lorsqu'un individu essaie
d'apprendre une matière particulière en suivant un programme d'enseignement
formel.

23. Pour surmonter ces obstacles didactiques, les enseignants peuvent utiliser des approches
pédagogiques variées, telles que des illustrations visuelles, des manipulations concrètes,
des exemples concrets, des jeux éducatifs, etc. Les enseignants peuvent également
encourager les élèves à explorer les propriétés de symétrie en utilisant des modèles et des
motifs, et à pratiquer les transformations géométriques en utilisant des outils tels que des
miroirs et des marqueurs. Les enseignants peuvent également encourager les élèves à
travailler en groupes pour discuter des concepts de géométrie et partager leurs stratégies
de résolution de problèmes.

24. Pour surmonter les obstacles épistémologiques, il est important de remettre en
question nos croyances préalables et d'être ouvert à de nouvelles perspectives
et à de nouvelles informations. Les enseignants peuvent aider à surmonter les
obstacles épistémologiques en encourageant les élèves à remettre en question
leurs croyances existantes et à explorer de nouvelles perspectives dans leurs
études. Les scientifiques peuvent également surmonter les obstacles
épistémologiques en utilisant une approche scientifique rigoureuse et en étant
ouverts à la remise en question de leurs théories existantes.

25. différents types d'obstacles :
 Obstacle épistémologique : Il est inhérent au savoir lui-même. La compréhension de
cet obstacle se nourrit de recherches en épistémologie et histoire des mathématiques.
(ex: égalité / proportionnalité; rotation / translation; symétrie / réflexion)
 Obstacle méthodologique: obtenu par le choix d'une méthode d'enseignement. (ex:
mal compréhension de l’application de la méthode de la résolution des problèmes; mal
compréhension de la soustraction par emprunt)
 Obstacle psychologique : Lorsque l'apprentissage vient en contradiction avec des
représentations profondément ancrées chez l'apprenant, on a un blocage. (Ex : un élève
qui ne pouvait utiliser le nombre 2 parce qu'il n'acceptait pas son jumeau).
 Obstacle ontogénique : L'apprentissage demandé est trop en décalage par rapport à la
maturité conceptuelle du sujet. Ceci génère un faible estime de soi et des échecs
répétés.

26. M E R CI