1. LA proportion
LA proportion
LA proportion
Présenté par: Melle YAHIAOUI Nassima
Atelier 4eme année
2008-2009

2. Plan du travail:
Introduction.
Chap I: la proportion:
Définition de la proportion.
La proportion dans la nature.
La proportion dans les arts: peinture , music ...
La proportion en architecture.
Chap II: Le nombre d’or et le modulor:
•Le nombre d’or :
Ses propriétés algébriques et géométriques.
Le nombre d’or dans la nature .
Dans les arts.
•Le modulor:
Le Corbusier et le modulor: un rationalisme architectural.
Conclusion.

3. INTRODUCTION:
Le projet d’architecture agit toujours par des dimensions et
par la manière de les répéter et de les regrouper pour établir
des relations contrôlées entre elles .parler de proportions
c’est parler de « la juste mesure » des objets que nous
fabriquons.
Si l’étude savante des proportions, leur analyse et leur
application se situent du coté du travail intellectuel, il n’est
pas moins vrai que certains individus possèdent un sens inné
des proportions. Nombre d’artisans, en développant leurs
compositions traditionnelles, en témoignent.
D’où tirer les rapports justes ; si ce n’est de la nature ou de
l’abstraction de l’esprit c’est à dire des mathématiques et plus
particulièrement de la géométrie ?

4. Définition:
•Proportion:« Rapport de grandeur (entre les différentes parties
d'un tout et entre les parties et le tout) »-dicos encarta • La proportion nous dit encore George Gromort, est «la
convenance et la relation des partie d’un tout, comparées entre
elles et comparées à ce tout ». C’est donc toujours ce même
rapport de la partie et du tout que la proportion doit régler de la
façon la plus harmonieuse possible. Autrement dit, ce ne sont pas
les répétitions des mêmes dimensions qui peuvent assurer l’unité
d’une œuvre, mais la présence partout à l’intérieur de cette œuvre
des mêmes rapports entre les dimensions.
•« C’est une règle fondamentale de toute composition. La
proportion ne concerne pas seulement les surfaces ; mais aussi les
volumes intérieurs et extérieurs, aussi bien que leurs rapports ».
-onze leçons sur la composition urbaine-

5. Dans la nature:
De l’Antiquité a la renaissance on a cherché à réunir la géométrie
euclidienne et les formes de la nature en un système unique et
universel. La nature étant considérée au summum de sa perfection
le corps humain ; c’est lui qui « se fait géométriser ». Il y a en effet
des rapports étonnants de dimensions équivalentes tels que la main
qui couvre exactement le visage; et de multiples tel que le pied qui
est un sixième du corps debout ; la largeur de la main mesurant
quatre pouces ;… Comme il n y a peut-être rien au monde qui
enchante plus nos sens qu’un beau corps humain, sa valeur
d’exemple n’à cesser d’occuper les esprits. La renaissance cherche
dans le corps humain des formes ; des mesures ; et des rapports de
mesure universels qui puissent être érigés en principes numériques.
La recherche d’une vérité cosmique imprègne ces alliances entre le
corps, la géométrie et le nombre.

6. Dans les arts:
La proportion et la peinture:
Les peintres connaissent depuis toujours l’importance de
la proportion.les grandes coupures qui traversent leurs
toiles, la limite qui définit des zones d’ombre et de
lumière, la séparation des masses colorées, l’intérieur et
l’extérieur , la place du sujet dans l’ensemble sont pour
eux de première importance. Ces questions sont l’objet
d’une recherche constante visant une juste proportion.

7. Proportion et musique:
Dans une large mesure, Pythagore est à l’ origine d’une science
mathématique reliée a l’esthétique par l’intermédiaire de la
musique et que Vitruve est la référence de la renaissance pour les
proportions ;
Pour une analyse plus approfondie de la logique des harmonies
musicales en rapport avec l’architecture, on dit qu’ il y a une
coïncidence entre les sons harmonieux et des dimensions
physiques. Le son d’une corde tendue divisé en son milieu ;
correspond exactement à l’écart d’une octave et l’oreille est en
mesure d’en percevoir la justesse ou la déviation avec une précision
étonnante. La tentative de rapporter ces mesures à la vision est
grande.les œuvres d’Alberti sont proportionnée strictement d’après
l’analogie musicale et nul ne contestera leur qualité.

8. La proportion et l’architecture
le dimensionnement des ordres antiques part de l’élément unitaire
de base, le diamètre de la colonne. Ce diamètre sert d’unité de
mesure pour définir la hauteur de la colonne, mais aussi celle des
bases, des chapiteaux, entablements. Cette même mesure règle
aussi l’espace libre entre les colonnes.les architectes de la
renaissance répondront les mêmes systèmes de mesure pour fixer
les proportions des colonnades ; des portiques et des arcades dont
ils firent grand usage. C’est ainsi qu’ont été étudiés, soigneusement
dimensionnés les admirables motifs de Brunnelleschi ou de Palladio.
Qui montrent à ceux qui les contemplent la force extraordinaire des
seules proportions, l’unité des formes par la justesse des mesures.
Rappelons-nous ce que disait Albert Durer en 1525 : « l’art de la
mesure sans lequel personne ne peut devenir créateur … s’atteler à
la mesure et y découvrir par l’œil et l’esprit l’authentique vérité ».

9. .L’ordre dorique : c’est le premier et le plus simple des trois
ordres grecs. La colonne dorique a de quatre à huit diamètres de
haut. Son chapiteau se compose de moulures, filets et quarts de
rond. Il apparaît au VIe siècle av. J.-C.. Parmi les bâtiments doriques
les plus célèbres, le Parthénon à Athènes.
.L’ordre ionique: apparu vers 560 av. J.C.. La colonne ionique va jusqu'a neuf
diamètres de hauteur et est caractérisée par
un chapiteau orné de deux volutes latérales.
Des modèles de ces colonnes peuvent être
vus dans les temples de la Fortune, Virile et
de Marcellus à Rome.
.L’ordre corinthien :apparu au milieu du Ve siècle av. J.C. , et dont le caractère est surtout déterminé par un
chapiteau décoré de rangées de feuilles d’acanthe. La
colonne corinthienne a ordinairement dix diamètres de haut.
a
4à 8a
Dans les ordres classiques grecs:

10. en ce qui concerne les ordres , on ne cherche les rapports de
mesures au pied de la colonne, mais à son milieu. Les fûts des
colonnes des ordres grecs étant coniques, il est clair que les
rapports entre le diamètre de ces colonnes, leur hauteur et leurs
entrecolonnements, différeront sensiblement si l'on mesure l'ordre
à la base de la colonne au milieu du fût. Or, prenant les mesures au
milieu du fût, on trouve des rapports de mesure tels, par ex, que 5
pieds pour les colonnes, 10 pieds pour les entrecolonnements.
La proportion est une composante essentielle de la qualité des
espaces construits ou non.
C’est une règle qui vaux à toute les échelles, depuis l’objet usuel
jusqu’à la ville. La proportion des espaces urbains, des vides aussi
bien que des volumes construits, doit pouvoir s’apprécier d’une
manière sensible, pour cela, les proportions du plan sont
absolument décisives, c’est encore là une catégorie qui traverse
tous les modes de composition.

11. Le nombre d’or et Le moduLor:
Introduction:
La ligne de séparation d’une surface, la division d’une droite
s’apprécie immédiatement et l’on peut s’apercevoir que sa
position est plus au moins harmonieuse selon qu’elle est
placée au centre ; divisant la surface en deux parties égales
ou près des extrémités en opposant des surfaces trop
inégales.les bons rapports, les plus beaux se situent quelque
part entre le tiers et la moitié, le plus parfait étant celui défini
par le célèbre nombre d’or, la divine proportion (1509). On
connait la théorie mathématique de cette proportion et sa
construction géométrique (la diagonale
rabattue du demi-carré) qui a donné
naissance à de nombreux tracés
régulateurs,
sur les façades classiques et modernes.

12. •Le nombre d’or:
L'apparition du nombre d'or remonte à la préhistoire.
Ayant appris à diviser un cercle en 5 ou en 10, les
hommes en vinrent au pentagone et au décagone , et
dès lors ils avaient sous les yeux le nombre d'or.

13. Ses propriétés algébriques et géométriques:
Cet architecte et ingénieur militaire romain, 1er siècle
avant notre ère; étudia l'art architectural des Grecs et
tout particulièrement les proportions utilisées ainsi que
les proportions du corps humain déclare qu’il y a
section d’or quand: « Il y a de la petite partie à la
grande, le même rapport que la grande au tout. ».
Dans son De Architectura, Vitruve évoque
longuement les proportions du corps humain, en
étroite relation avec les lois d'une architecture
harmonieuse, dont Léonard de Vinci s'inspirera
pour son Étude des proportions du corps humain

14. Le partage en "extrême et moyenne raison" d'un segment:
Euclide (365 - 300 av. J.C.)
Une droite est dite coupée en extrême et moyenne
raison quand, comme elle est toute entière
relativement au plus grand segment,
ainsi est le plus grand relativement au plus petit.
Euclide, Eléments, livre VI, 3ème définition.
Soit A, B, et C trois points sur une droite;
si le point C est tel que :
,
il est alors le point d'or ou section dorée du segment AB.

15. • Kepler, Johannes (1571-1630), astronome et physicien
allemand, célèbre pour ces lois en astrophysique
Kepler appela la proportion précédente "divine proportion".
Il en détermina la valeur:
Si x et 1 sont les longueurs des
segments AC et CB respectivement.
2 solutions:
La solution positive est le nombre d'or; il est représenté par la lettre
grecque Ø (phi); en hommage au sculpteur grec Phidias (490 430 av J.C)
qui décora le Parthénon à Athènes .
Ø= 1.618

16. La suite de Fibonacci et le nombre d'or
Fibonacci (1175 - 1240) ,Léonardo Pisano, ou Léonard
de Pise.
c’est l'un des plus grands mathématiciens du Moyenâge.
Il a introduit la numération décimale et l'écriture arabe
des chiffres en Occident, en ramenant dans son livre
Liber abaci, les connaissances acquises en Algérie où
travaillait son père.
célèbre problème de prolifération des lapins dû au
mathématicien italien "Combien de couples de lapins
obtiendrons-nous à la fin de chaque mois si commençant
avec un couple, chaque couple produit chaque mois un
nouveau couple, lequel devient productif au second mois
de son existence ?"

17. Au premier mois, il y aura 1
couple. Au deuxième, il y
aura 1 couple. Au troisième
mois, il y aura 2 couples. Et
ainsi de suite pour obtenir
la suite de Fibonacci : 1 ; 1
; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ;
34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ;
377 ;.... ,dont chaque
terme est la somme des
deux termes qui le
précèdent.
1+1=2 1+2=3
2+3=5
5+3=8
……etc.
En prenant les rapports de deux nombres successifs de
la suite, on constate que ces rapports se rapprochent du
nombre d’or

18. •Au moyen âge, les bâtisseurs de
cathédrales utilisaient une pige constituées
de cinq tiges articulées, correspondant
chacune à une unité de mesure de
l'époque, relatives au corps humain
•Pour passer d'une mesure à la
suivante, on peut constater que
l'on multiplie par le nombre d'or
, environ 1,618.

19. Ses propriétés algébriques et géométriques :
Carré du nombre d'or:
Pour calculer le carré du nombre d'or, il suffit de lui ajouter 1
Inverse du nombre d'or:
Pour calculer l'inverse du nombre d'or, il suffit de lui soustraire 1
Puissances du nombre d'or:
Pour obtenir une puissance du
nombre d'or, il suffit de connaître les
deux puissances précédentes et de les
additionner, ce qui est exactement le
procédé de construction de la suite de
Fibonacci !

20. Le rectangle d’or:
On appelle rectangle d'or, un rectangle dont le rapport entre la longueur et la
a
largeur vaut le nombre d'or.
= Ø
b
Le tracé d'un rectangle d'or se fait très
simplement à l'aide d'un compas, il
suffit de pointer le milieu d'un côté d'un
carré,
Si de ce rectangle, nous supprimons le
carré de côté de longueur b, alors le
rectangle restant est à nouveau un
rectangle d'or, puisque ses côtés sont
dans un rapport φ. nous obtenons une
suite de rectangles d'or de plus en plus
petits.
Si on demande à des personnes de dessiner un rectangle quelconque, le
rectangle sera (dans 77% des cas selon le physiologiste et philosophe allemand
Gustav Fechner, en 1876) proche du rectangle d'or.

21. Triangles d'or
Les triangles d'or sont des triangles isocèles dont le
rapport des côtés est égal au nombre d'or. Il en
existe de deux types. Ceux pour lesquels le rapport
côté / base vaut φ qui donnent des triangles aigus
appelés parfois triangles d'argent et ceux pour
lesquels le rapport base / côté vaut φ.
b
•Soit C le point du segment AD tel que
la distance AC soit égale à b alors le
triangle BCD est un triangle d'or et le
triangle ABC est un triangle d’argent

22. Spirale d’or
Pour construire une spirale d’or, on
construit un rectangle d’or dans lequel
on construit un grand carré de côté la
longueur du rectangle. On réitère
l’opération dans le rectangle restant
qui est un rectangle d’or … et ainsi de
suite, … Puis, on construit des quarts
de cercle dans les carrés.
Le pentagone
Le côté du pentagone étoilé est phi
fois le côté du pentagone convexe.
AB/AD=phi=1,618 (le
nombre d'or)

23. Dans la nature:
on trouve aussi ce rapport pour assurer des croissances
harmonieuses (fleurs, fruits, coquilles, cornes...)
Le nautile
Le nautile est un coquillage dont l'
intérieur présente une spirale formée
d'une douzaine de petites loges Plus
l'animal grandit, plus la taille des loges
s'accroît mais sa forme conserve la
structure d'une spirale logarithmique ou le
rapport entre deux rayons vecteurs
Ø
opposés est le nombre d'or = 1.618 .
Le modèle mathématique se superpose
exactement à la réalité .

24. En coupant une pomme ou une poire en deux dans le sens de
son équateur, on y découvre les pépins disposés en étoile à 5
branches.
Dans un ananas ou une pomme
de pin les écailles s'organisent en
deux ensembles de spirales:
L'un qui tourne dans le sens
des aiguilles d'une
montre, l'autre dans le sens
inverse.

25. Dans les arts:
Le nombre d'or se retrouve un peu partout dans les arts :
peinture, sculpture, musique, ...
Le Parthénon d'Athènes fait apparaître un peu
partout le nombre d'or . Il s'inscrit dans un
rectangle doré, c'est-à-dire tel que le rapport de la
longueur à la hauteur était égal au nombre d'or.
Sur la figure :
• DC/DE = Phi
•la toiture du
temple: GF/GI =Phi
 Le rapport de la hauteur de la pyramide de
Khéops par rapport à sa demi base est égal
au nombre d'or.

26. Ce tableau, de Jicopo de
Barbari, où Fra Luca Pacioli
explique un théorème, fait
apparaitre le partage la " divine
proportion "d'or :
Si E est la projection
orthogonale sur (D C) de
l'extrémité de l'index de la main
gauche du moine on a :
DC / DE = Phi
Par ailleurs, le pouce et l'index
gauches de Fra Luca Pacioli
partage la hauteur du livre selon
la section dorée
Le personnage de saint Jérôme est
encadré dans un parfait rectangle d’or

27. Le nombre d'or présente un intérêt réel en
matière d'esthétique;
Mais il ne peut que donner à un ensemble de
bâtiments ayant des concepteurs différents un
début d'harmonie commune.
Son rôle principal concernerai des question
d'urbanisme plus que d'architecture;

28. •Le Corbusier et le Modulor
Le Corbusier 1887-1965 architecte français d'origine Suisse.
Il va, a l’âge de 23 ans se posait une
question : « quelle est la règle qui
ordonne, qui lie toute les choses? »
A partir de la, sa recherche va s’axer vers
les tracées régulateurs et une
normalisations des dimensions qui va
aboutir au MODULOR, qu’il fera breveter
en 1945.
LE MODULOR
Présenté en avril 1947 par le Corbusier, Le Modulor est un
système de mesure basé sur les proportions du corps humain
mis au point à partir de 1943. Il prendra de l'ampleur après sa
présentation.

29. •C'est avant tout la prise en compte de
l'homme, qui guide les choix architecturaux de Le
Corbusier.
Le Corbusier utilise la section d’or d’un carré d’à
peu près un mètre de coté après un processus
géométrique complexe il aboutit a une grille.
Il construit et représente sa grille sur la silhouette d'un homme
debout, levant un bras. Comme ceux ci il aménage l'espace
architectural pour que le corps s'y reconnaisse.
Sa réflexion sur le comportement de l'homme, sur l'équilibre des
volumes, de leurs dimensions et proportions l'amène à établir une
grille de mesures s'appuyant sur le "Nombre d'Or". Il construit sa
grille par rapport aux différentes parties du corps humain et
l'appelle "le Modulor".

30. Le Corbusier ; s’appuyant sur les séries de Fibonacci du
XIIIème siècle ; a eu le mérite de ramener le nombre d’or
à des nombres rationnels applicables à l’architecture. Son
modulor est le système de proportions le plus novateur et
le plus important élaboré par un architecte du XXème
siècle.
Le principe de ses séries est connu depuis des siècles. La
construction de le Corbusier réside dans le fait d’être
parvenu à réunir un principe géométrique fondamental
avec des nombres rationnels et des dimensions
significatives pour le corps et les gestes de l’homme.

31. Une division de la hauteur totale en
segments dont les rapports voisins
correspondent au nombre d’or, donne la
série de Fibonacci
(226, 86,53, 33,20,….) . Une division
successive de la demi hauteur, donne la
deuxième série de Fibonacci
(113, 70, 43, 27,16…).
La grille fournit 3 mesures 113,70,43 qui sont en rapport avec Phi et la série
Fibonacci 43+70=113 113+70=183
113+70+43=226
Ces trois mesures sont celles qui caractérisent l’occupation de l’espace par
un homme de 6 pieds
La mesure 113 fournit la section d’or 70 (série rouge)
La mesure 226(double) fournit la section 140 (série bleue)

32. Dans Le Modulor on a les
rapports suivants:
226/140=1,61=phi;
183/113=1,62=phi;
140/186=1,62=phi;
113/70=1,61=phi;
70/43=1,62=phi;
43/27=1,6=phi
Statures humaines
selon Le Corbusier

33. Quelques exemples de l'échelle du Modulor :
Hauteur de plafond : 226 cm
Hauteur de table : 70 cm
Hauteur d'un élément de cuisine :
86 cm
Hauteur de chaise : 43 cm
Hauteur de bar : 113 cm
 Ces valeurs sont utilisées pour
mettre en œuvre un milieu de vie
dans lequel on se sent bien.

34. Maison individuelle- Le Corbusier:
On constate que la balustrade, le rebord en ciment, les fenêtres du
premier et deuxième étage sont placés selon le rapport phi . De
plus, la façade s'inscrit à peu prés dans un rectangle d'or.
AG/GE=phi;
AE/AC=phi;
CE/DE=phi;
BD/BC=phi;
BC/BF=phi

35. Tracé régulateur de la façade de la
Villa LA ROCHE:

36. L’unité d’habitation de marseiLLe:
Le Corbusier va désormais
recourir au modulor dans toutes ces
conceptions, apogée de l’utilisation
étant la « Cité Radieuse de
Marseille » où absolument tout sera
calculé en fonction du modulor
aussi bien l’aspect
technique, fonctionnelle
qu’esthétique.
En appliquant le modulor à son
unité d’habitation de Marseille, le
Corbusier a pourtant démontré
comment sa méthode pouvait
mener à des proportions agréables
pour l’œil et le corps.

37. Le modulor n’a eu qu’un succès très limité jusqu’à
présent. Il est en effet peu pratique, par ce qu’on ne
trouve presque jamais des multiples d’une mesure plus
petite dans les nombres plus élevés sauf dans le
voisinage immédiat des deux séries.
Comme la construction est forcément un processus
d’addition d’éléments identiques, la standardisation
n’a pas pu se servir du modulor comme le Corbusier
l’aurait souhaité.

38. CONCLUSION:
Le fait que l’on éprouve la sensation d’être bien, d’occuper un espace qui nous
convient est souvent du aux bonnes proportions de cet espace même si l’on ne
s’en rend pas très bien compte. A l’inverse, un espace mal proportionné sera
toujours difficilement habitable.
Combien de fois nous est-il arrivé de tomber en arrêt devant la façade d’une
maison paysanne, la plus simple, pour apprécier le rapport du mur et du
toit, l’emplacement de la porte et de la fenêtre, leur hauteur et leur largeur
et la façon dont elles mettent en valeur le mur plein qui les entoure.
Certes, il s’agit bien là d’une catégorie permanente de la
composition!