Cours Algèbre - CAPES -

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Cours Algèbre - CAPES -

  1. 1. Algèbre CAPES-Mathématiques Fatiha AKEF UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA ENSET - Mohemmadia
  2. 2. Plan Général 2F. AKEF › Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes › Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis › Chapitre 3 : Anneaux › Chapitre 4 : Algèbre linéaire
  3. 3. Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes I. Classe modulo un sous-groupe II. Structure du groupe quotient III. Décomposition canonique d’un homomorphisme de groupe IV. Groupe cyclique V. Groupe symétrique VI. Centre d’un groupe VII. Généralisation du 1er théorème d’isomorphisme  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  4. 4. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 4F. AKEF Soit f un groupe quelconque, H unsous-groupe de G et une relation binaire définie de G par : › x R y  x-1.yH, x, yG › x-1 étant l’inverse de x. 1)Proposition : › R est une relation d’équivalence › xG, la classe de x est I - CLASSE MODULO UN SOUS-GROUPE
  5. 5. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 5F. AKEF Démonstration : I - CLASSE MODULO UN SOUS-GROUPE
  6. 6. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 6F. AKEF 2) Définition : Soit, la classe xH (respectivement. la classe Hx) est appelée la classe à gauche de x (respectivement la classe à droite de x) modulo H. 3) Définition : Soit G un groupe et H un sous-groupe de G, H est dit distingué dans G (normal ou invariant) Si pour tout on a : 4) Théorème (LAGRANGE) : Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Alors l’ordre de H divise l’ordre de G. I - CLASSE MODULO UN SOUS-GROUPE
  7. 7. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 7F. AKEF Théorème (LAGRANGE) : › Démonstration après le Lemme : Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Soit, alors : 0(H) = cardxH = cardHx. Démonstration: f : H→ xH Démonstration du théorème : y→ xy *f surjective par construction *soient y et y’H tel que f(y)=f(y’) ⇒ xy = xy’ ⇒ y=y⇒ f injective f: H→ Hx y→ y.x I - CLASSE MODULO UN SOUS-GROUPE
  8. 8. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 8F. AKEF I - CLASSE MODULO UN SOUS-GROUPE
  9. 9. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 9F. AKEF I - CLASSE MODULO UN SOUS-GROUPE
  10. 10. Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes I. Classe modulo un sous-groupe II. Structure du groupe quotient III. Décomposition canonique d’un homomorphisme de groupe IV. Groupe cyclique V. Groupe symétrique VI. Centre d’un groupe VII. Généralisation du 1er théorème d’isomorphisme  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  11. 11. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 11F. AKEF Soit G un groupe, H un sous-groupe et R une relation d’équivalence définie sur G par : › Soit l’ensemble quotient. 1) Problème : › A quelles conditions peut-on définir une loi de composition interne (*) sur l’ensemble quotient à partir de la loi de G ? › A quelles conditions la loi* définie par : (cl(x),cl(y)) cl(x)*cl(y)=cl(x.y) est une application ? II - STRUCTURE DU GROUPE QUOTIENT
  12. 12. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 12F. AKEF soient x,yG Notation :H ∇ G signifie H sous-groupe distingué de G. II - STRUCTURE DU GROUPE QUOTIENT
  13. 13. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 13F. AKEF Démonstration : * Condition nécessaire : d’après ce qui précède * Condition suffisante : on suppose que H ∇ G   *  est une L.C.I (loi de composition interne) soient x, et soient xcl(x), y’cl(y) II - STRUCTURE DU GROUPE QUOTIENT
  14. 14. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 14F. AKEF Définition : › Le groupe ( G/R *) est noté par G/H et il est appelé le groupe quotient de G par H. › Par convention : cl(x)*cl(y)=cl(x).cl(y) si G est noté multiplicativement. › cl(x) * (cl(y) = cl(x)+cl(y) si G est noté additivement. › › 3) Définition : › Soit G un groupe et Rune relation d’équivalence sur G. › On dit que R est compatible à gauche (respectivement à droite) avec la loi du groupe si x Ry ⇒ zxR zy, ∀zG (respectivement x Ry ⇒ xzR yz, ∀zG) › On dit que est compatible avec la loi du groupe si elle est compatible à gauche et à droite. II - STRUCTURE DU GROUPE QUOTIENT
  15. 15. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 15F. AKEF Exercice : › Soit G un groupe, H un sous-groupe de G et R, R’ deux relations d’équivalence sur G définies par : › x Ry  x-1 yH › x R’y  xy-1H › Montrer que est compatible à gauche avec la loi du groupe et est compatible à droite avec la loi du groupe. 4) Proposition : › Soient G un groupe et R une relation d’équivalence compatible avec la loi du groupe, alors il existe H un sous-groupe distingué de G tel que : › x Ry  x-1 yH xy-1H II - STRUCTURE DU GROUPE QUOTIENT
  16. 16. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 16F. AKEF Démonstration : Soit e élément neutre de G, soit H = cl(e) ›  H est un sous-groupe de G ? Soit x,yH xy-1H ? II - STRUCTURE DU GROUPE QUOTIENT 5) Théorème : Soit G un groupe. Alors il existe une correspondance bunivoque entre les sous-groupes distingués de G et les relations d’équivalence compatibles avec la loi du groupe G. A = H tel que HG∇ B =  R tel que R relation d’équivalence sur G compatible avec la loi de G
  17. 17. Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes I. Classe modulo un sous-groupe II. Structure du groupe quotient III. Décomposition canonique d’un homomorphisme de groupe IV. Groupe cyclique V. Groupe symétrique VI. Centre d’un groupe VII. Généralisation du 1er théorème d’isomorphisme  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  18. 18. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 18F. AKEF 1) Rappels : Soient G et G’ deux groupes, e élément neutre de G, e’ élément neutre de G’, soit f un homomorphisme de G dans G’ : › f : G G’ › ∀x, y G : f(xy) = f(x)f(y) › Exemple : soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. › Soit G/H le groupe quotient. › Alors s : G G/H est un homomorphisme de groupe (s : surjection canonique) s(xy)=cl(xy)=cl(x).cl(y)=s(x).s(y). I - DÉCOMPOSITION CANONIQUE D’UN HOMOMORPHISME DE GROUPE
  19. 19. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 19F. AKEF 2)Résultats : a)f(e)=e’ b)f(x-1)=[f(x)]-1 c)Kerf = x E G tel que f(x)=e’ est un sous-groupe distingué de G. d) Soient G un groupe et g un homomorphisme de G’ dans G, alors gof est un homomorphisme de G dans G. e)Soit H un sous-groupe de G (respectivement H∇G), alors f(H) est un sous-groupe de G’ (respectivement f(H)∇ f(G)) En particulier f(G) est un sous-groupe de G’ f)Soit H’ un sous-groupe de G’ (respectivement H’∇G’), alors f-1(H’) est un sous-groupe de G’(respectivement f-1(H’) ∇G’). g) finjective Kerf = e I - DÉCOMPOSITION CANONIQUE D’UN HOMOMORPHISME DE GROUPE
  20. 20. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 20F. AKEF I - DÉCOMPOSITION CANONIQUE D’UN HOMOMORPHISME DE GROUPE
  21. 21. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 21F. AKEF 4 - Théorème : › Sous les hypothèses ci-dessus, il existe un et un seul isomorphisme de G/H sur f(G) tel que le diagramme suivant soit commutatif : I - DÉCOMPOSITION CANONIQUE D’UN HOMOMORPHISME DE GROUPE
  22. 22. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 22F. AKEF I - DÉCOMPOSITION CANONIQUE D’UN HOMOMORPHISME DE GROUPE
  23. 23. Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes I. Classe modulo un sous-groupe II. Structure du groupe quotient III. Décomposition canonique d’un homomorphisme de groupe IV. Groupe cyclique V. Groupe symétrique VI. Centre d’un groupe VII. Généralisation du 1er théorème d’isomorphisme  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  24. 24. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 24F. AKEF 1)Rappel : › Soient G un groupe et A une partie non vide de G. Le plus petit sous-groupe de G contenant A est appelé sous-groupe de G engendré par A. › Notation :(A) = sous-groupe de G engendré par A. › B=F tel que F sous-groupe de G avec AF 2) Proposition : Soient G un groupe et AG, A Alors (A) =xG tel que x1 ,x2,……, xrG Avec xiA ou A et x = x1 x2……, xr IV - GROUPE CYCLIQUE
  25. 25. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 25F. AKEF IV - GROUPE CYCLIQUE
  26. 26. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 26F. AKEF 3) Définition : › Soit G un groupe etA , A fini, A  › Alors (A) est dit de type fini › Remarque : un groupe de type fini n’est nécessairement pas fini. Exemple : le groupe aditif engendré par 1 , donc de type fini alors que est infini. 4) Définition : › Soit G un groupe. G est cyclique s’il existe xG › tel quex engendre G. › (i.e. ∀yG ,rtel que y = xr) IV - GROUPE CYCLIQUE
  27. 27. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 27F. AKEF 5) Proposition : › Soit G un groupe cyclique. Soit x son générateur. Alors G est : › Soit isomorphe à ( Z ,+) et par conséquent infini. › Soit n* tel queG≃ ( ,+) et par conséquent G est fini d’ordre n, xn=e. › Si xP=e alors p=0 ou n/p et G =e, x, x2,…, xn-1 Démonstration : › On considère l’application f définie par : IV - GROUPE CYCLIQUE
  28. 28. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 28F. AKEF 6) Proposition: › Soit G un groupe fini (non nécessairement cyclique) › Soit n = 0(G) › Alors ∀ xG, xn = e Démonstration : › Soit xG et soit (x) › Soit m=q((x))⇒(d’après le théorème de LAGRANGE) 7) Définition: › Soit G un groupe fini et soit xG. L’ordre de x est 0((x)). IV - GROUPE CYCLIQUE
  29. 29. Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes I. Classe modulo un sous-groupe II. Structure du groupe quotient III. Décomposition canonique d’un homomorphisme de groupe IV. Groupe cyclique V. Groupe symétrique VI. Centre d’un groupe VII. Généralisation du 1er théorème d’isomorphisme  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  30. 30. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 30F. AKEF Soient (Sn, o) le groupe de permutation de n éléments. Sn=, :1,…,n→1,…,n et bijective Card Sn = n! 1) Définition et notation : Soit Sn,est dite transposition si : i,jtel que  (i) = j et (j) = i  (h) = h ∀ h1,…, n, h  i et h  j Notation : =tij = t ji Remarque : V- GROUPE SYMÉTRIQUE
  31. 31. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 31F. AKEF 2) Proposition : › Le groupe Sn engendré par l’ensemble de ses transpositions est équivalent à : V- GROUPE SYMÉTRIQUE
  32. 32. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 32F. AKEF V- GROUPE SYMÉTRIQUE
  33. 33. Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes I. Classe modulo un sous-groupe II. Structure du groupe quotient III. Décomposition canonique d’un homomorphisme de groupe IV. Groupe cyclique V. Groupe symétrique VI. Centre d’un groupe VII. Généralisation du 1er théorème d’isomorphisme  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  34. 34. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 34F. AKEF Soit G un groupe et e son élément neutre. Soit A le groupe des automorphismes de G A = f : G → G tel que fisomorphisme 1) Définition : Soit C(G ) l’ensemble défini par : C(G) = xG tel quexy = yx, ∀yG C(G) est appelé le centre de G. Soit xG, soit fx l’application définie par : › fx=(yy) = x(yy’)x-1=xy(x-1x)y’x-1 › = (xyx-1’).(xy’x-1) = fx ( y) fx ( y) ›  fx( y) = e ⇒ xyx-1= e ⇒y = x-1x⇒y = edonc fx injective › Soit yG fx (x-1yx) = x(x-1yx)x-1 = y donc fxsurjective › ∀ xG fxautomorphisme de G appelé automorphisme intérieur. › Soit A’ défini par : › A’ =f tel que  xG : f=fx VI - CENTRE D’UN GROUPE
  35. 35. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 35F. AKEF VI - CENTRE D’UN GROUPE Exemple :C(S3) ? › les sous-groupes distingués de S3 sont : e, H4=e, 1, 2 › C1 ne commute pas avec tous les éléments de S3, donc C(S3) =e
  36. 36. Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes I. Classe modulo un sous-groupe II. Structure du groupe quotient III. Décomposition canonique d’un homomorphisme de groupe IV. Groupe cyclique V. Groupe symétrique VI. Centre d’un groupe VII. Généralisation du 1er théorème d’isomorphisme  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  37. 37. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 37F. AKEF Soient G et G deux groupes (e élément neutre de G et e’ élément neutre de G) H sous-groupe distingué de G Hsous-groupe distingué de G f homomorphisme de G dans G’ s la surjection canonique de G  G/H s’ la surjection canonique de G’  G’/H’ 1)Théorème : Sous les hypothèses ci-dessus on a : VII - GÉNÉRALISATION DU 1ER THÉORÈME D’ISOMORPHISME
  38. 38. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 38F. AKEF Démonstration : ⇒/ On suppose que H  f-1(H’) g=sof clH(x) = , xG clH’(y) =, yG ‘ VII - GÉNÉRALISATION DU 1ER THÉORÈME D’ISOMORPHISME
  39. 39. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 39F. AKEF 2) Cas particulier : VII - GÉNÉRALISATION DU 1ER THÉORÈME D’ISOMORPHISME
  40. 40. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 40F. AKEF 3) 2ème théorème d’isomorphisme : Soient G un groupe. H un sous-groupe distingué de G a)KH sous-groupe de G et H distingué de KH b)Le groupe H⋂K est sous-groupe distingué de K VII - GÉNÉRALISATION DU 1ER THÉORÈME D’ISOMORPHISME
  41. 41. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 41F. AKEF 4) Corollaire : › Sous les hypothèses du théorème précédent, on a : VII - GÉNÉRALISATION DU 1ER THÉORÈME D’ISOMORPHISME
  42. 42. CHAPITRE 1 : HOMOMORPHISME DE GROUPES 42F. AKEF 5) 3ème théorème d’isomorphisme Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. › Alors : VII - GÉNÉRALISATION DU 1ER THÉORÈME D’ISOMORPHISME
  43. 43. Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis I. Groupe opérant sur un ensemble II. Groupes de SYLOW  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  44. 44. CHAPITRE 1 : 44F. AKEF 1) Définition : › Soient G un groupe et E un ensemble.On dit que G opère ( à gauche) sur E si on peut définir une application de GE dans E : › * : GEE › (g, x) gx tel que : i)xE ex = x ii)g, gGxGg(gx)= (gg)x › Si en plus “” vérifie : iii)x, yE , gG tel que y = gx › On dit que G opère transitivement sur E. I - GROUPE OPÉRANT SUR UN ENSEMBLE Exemples : a) G opère sur lui-même par la loi du groupe. GGG (g, g’) gg = gg’ (transitivement) b)G opère sur lui-même par GGG (g, g’) ggg-1 = gg i)gG e e = ege-1 = g ii) g gg″)= g (gg″g-1)= g(gg″g1) .g-1 = (gg)g(gg)-1 =(gg)g On dit que G opère lui-même par automorphisme intérieur.
  45. 45. CHAPITRE 1 : 45F. AKEF 2)Définition : Soit G un groupe opérant sur E par l’opération . Soit x  E. On appelle stabilisateur de x (ou normalisateur de x) que l’on note Nx : › Nx=  gG tel que gx = x › et on appelle orbite de x que l’on note x : › x = gx, gG › N.B : Nx G et x E 3) Proposition : Soit G un groupe opérant sur un ensemble E (par l’opération ) Soit x E, alors : › Nx = g/gx = x est un sous-groupe de G. I - GROUPE OPÉRANT SUR UN ENSEMBLE
  46. 46. CHAPITRE 1 : 46F. AKEF Démonstration : I - GROUPE OPÉRANT SUR UN ENSEMBLE
  47. 47. CHAPITRE 1 : 47F. AKEF I - GROUPE OPÉRANT SUR UN ENSEMBLE
  48. 48. CHAPITRE 1 : 48F. AKEF 6) Cas particulier : L’équation des classes. › G fini et G opère sur G par automorphisme intérieur. › xGNx = gGtel quegx g-1 = x › x = gx g-1 , gG › G : Nx = 1 gGgx g-1 = x › gGgx = xg xC(G) xx « L’équation des classes » I - GROUPE OPÉRANT SUR UN ENSEMBLE
  49. 49. Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis I. Groupe opérant sur un ensemble II. Groupes de SYLOW  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  50. 50. CHAPITRE 1 : 50F. AKEF 1) Théorème : › Soit G un groupe cyclique fini d’ordre n, alors mtel quem/n, il existe H sous-groupe de G tel que (H) = m. › Démonstration : G = (x) = e, x, x²,…, xn-1 › m/n ⇒k* tel que n = mk › Soit H = (xk) et soit l = (xk) › ⇒ k l = mk ⇒ l = m II - GROUPES DE SYLOW
  51. 51. CHAPITRE 1 : 51F. AKEF 2)Théorème : › Soit G un groupe fini d’ordre n. Soit un nombre premier tel que p/n. › Alors b* N tel que , il existe un sous-groupe de G d’ordre pb. Démonstration : nN* › p/n n = ma (m,) = 1 › on va montrer que a tel que 1aa, il existe H sous-groupe de G tel que 0(H) = pa’. Démonstration par récurrence :  Si n= le théorème est vérifié.  Hypothèse de récurrence : on suppose que le théorème est vérifié pour tout groupe G d’ordre < n. Soit G un groupe d’ordre n, n = ma, (m,) = 1  Si G est cyclique (théorème précédent)  Si G est commutatif (non cyclique) II - GROUPES DE SYLOW
  52. 52. CHAPITRE 1 : 52F. AKEF Démonstration par récurrence : II - GROUPES DE SYLOW
  53. 53. CHAPITRE 1 : 53F. AKEF 3) Définition : › Soit G un groupe d’ordre fini n, soit p un nombre premier divisant n. › On pose n = mpa avec (m, p) = 1 › Alors tout sous-groupe de G d’ordre une puissance de p est appelé un p-sous-groupe de G. › Tout p-sous-groupede G d’ordre pa est appelé p-sous-groupe de SYLOW de G. Remarque : Soit P un p-sous-groupe de Sylow › Soit P = xPx-1, xG  › xPx-1P xPx-1 est p-sous-groupe de Sylow › En effet :(P)= (xPx-1) ⇒(xPx-1)=pa II - GROUPES DE SYLOW
  54. 54. CHAPITRE 1 : 54F. AKEF 4) Théorème : › Soient G un groupe fini d’ordre n et un nombre premier tel que p/n › On pose n = m pa((m, p) = 1) › Soit P un p-sous-groupe de Sylow. Alors  (NP) = m’ pa avec m’/m. › (NP= xG  xPx-1= P et tout p-sous-groupe de NP est contenu dans P. Démonstration : › PNPp-sous-groupe de NP › (P)(NP)  a (NP) › (NP)= m’a() II - GROUPES DE SYLOW
  55. 55. CHAPITRE 1 : 55F. AKEF 5) Théorème de Sylow : › Soient G un groupe fini d’ordre n et p un nombre premier tel que p/n › On pose n = mp, (m, p) = 1 › Alors :i) Tout p-sous-groupe de G est contenu dans p-sous-groupe de Sylow › ii) Tous lesp-sous-groupes de SylowdeG sontconjugués tel que ( P, P p-sous- groupe de Sylow de G, xGtel que P = xPx1). › iii) Le nombre de p-sous-groupe de Sylow de G est congru à 1 modulo p. › iv) Le nombre de p-sous-groupe de Sylow de G divise n. II - GROUPES DE SYLOW
  56. 56. CHAPITRE 1 : 56F. AKEF › 5) Théorème de Sylow: Démonstration : › i) Soit H p-sous-groupe de G, soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. › P = xPx-1, xG › NP = xG / xPx1 = P › (NP) =mp, › Card P =G : NP ›  Card P =m/m , › ii) Soit P et P deux p-sous-groupes de Sylow › P  p-sous-groupe de Sylow  P  p-sous-groupe. › On fait opérer P  sur p (comme précédemment on remplace H par P ) › il existe P ″ p tel que P P ″ P  = P ″ › P ″ pxG tel que P ″ = x P x1 . › xG tel que P  = x P x1. II - GROUPES DE SYLOW
  57. 57. CHAPITRE 1 : 57F. AKEF › 5) Théorème de Sylow: Démonstration : II - GROUPES DE SYLOW
  58. 58. Chapitre 3 : Anneaux I. Relation d’équation : suivant un sous anneau II. Opérateur idéaux III. homomorphisme d’anneau IV. Caractéristique d’un anneau V. Anneaux de fractions VI. Divisibilité dans un anneau intègre VII. Anneaux Noethériens  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  59. 59. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 59F. AKEF › Soit A un ensemble muni de 2 lois internes notés + et . › A est dit un anneau si : i) A muni de + est un groupe commutatif ii) la loi .est associative dans A. iii) la loi .est distributive par rapport à la loi + c’est à dire ∀ x, y, z A : › x(y+z) = xy + xz › et (x+y)z = xz + yz › - Si en plus la loi .est commutative, alors A est un anneau commutatif › - Si en plus la loi .admet un élément neutre A est un anneau unitaire › - Si (A-{o},.) est un groupe, alors (A, +, .) est un corps › - Si ∀x , yH avec on a : xy  0, alors A est dit intègre › -Si  xA, x o  yA, y  0 et xy= 0 alors x est dit un diviseur de 0 RAPPELS
  60. 60. Chapitre 3 : Anneaux I. Relation d’équation : suivant un sous anneau II. Opérateur idéaux III. homomorphisme d’anneau IV. Caractéristique d’un anneau V. Anneaux de fractions VI. Divisibilité dans un anneau intègre VII. Anneaux Noethériens  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  61. 61. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 61F. AKEF › (A,+,.) un anneau et I un sous-anneau de A si : › (I, +) sous-groupe de A et si la loi .est interne dans I. › Soit R la relation d’équivalence sur A défini par x R yx.yI Problème : › A quelles conditions sur I on peut définir surune loi interne à partir de la loi .de A I - RELATION D’ÉQUATION : SUIVANT UN SOUS ANNEAU
  62. 62. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 62F. AKEF Définition : › Soit (A, +, .)un anneau. Soit I A, I est dit idéal à gauche de A (resp à droite) si (I, +) est un groupe › I idéal de A (idéal bilatère de A) si I idéale à gauche et à droite de A. Théorème : › Soit A un anneau et I sous-anneau de A. I - RELATION D’ÉQUATION : SUIVANT UN SOUS ANNEAU
  63. 63. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 63F. AKEF I - RELATION D’ÉQUATION : SUIVANT UN SOUS ANNEAU
  64. 64. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 64F. AKEF Proposition : › Soit A un anneau, I idéal de A et R la relation d’équivalence définie sur A par : › x R y  x-y I › Alors R est compatible avec les 2 lois (+ et .) de l’anneau A. I - RELATION D’ÉQUATION : SUIVANT UN SOUS ANNEAU Démonstration : On sait que R est compatible avec (+) (voir propriété). Soient x, y, zA tel que x R y, zxRzyet xzRyz ? zx -zy = z(x-y)I (xRy et I idéal) zx R zy xz – yz = (x-y) zI xz R yz
  65. 65. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 65F. AKEF Proposition : › Il existe une correspondance biunivoque entre les relations d’équivalence définies sur A et compatible avec les lois de A et les idéals de A. Démonstration : › Soit ℑ=idéale de A et R=relation d’équivalence sur A compatible avec les lois de A › Soit  : ℑ R › I  RI :xRIyx-yI › injective? I, Iℑ tel que RI = RI. › Soit xIxRI0 xRI’0 xI donc ›  surjective? Soit I =(I =  xA/ xR 0), › I =  ℑ, on sait que I sous-groupe additive de A. › xA, aI xaI et axI ? › aI  a R 0xa R x0 x0 R 0 xaI › de même pour axI. › est surjective ›  Dansla suite de ce chapitre et sauf mention contraire, tous les anneaux seront supposés compatibles et unitaires. I - RELATION D’ÉQUATION : SUIVANT UN SOUS ANNEAU
  66. 66. Chapitre 3 : Anneaux I. Relation d’équation : suivant un sous anneau II. Opérateur idéaux III. homomorphisme d’anneau IV. Caractéristique d’un anneau V. Anneaux de fractions VI. Divisibilité dans un anneau intègre VII. Anneaux Noethériens  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  67. 67. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 67F. AKEF › Soit A un anneau et ℑ l’ensemble des idéaux de A. › L’intersection quelconque d’éléments de ℑ est un élément de I. II - OPÉRATEUR IDÉAUX Soit A un anneau et S une partie non vide de A. L’idéal de A engendré par S est définit comme le plus petit idéal de A contenant S. On peut vérifier facilement que c’est l’intersection de tous les idéals de A qui contiennent S.
  68. 68. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 68F. AKEF Proposition : › Soit A un anneau, S une partie non vide de A et A(S) l’idéal de A engendre par S. Alors II - OPÉRATEUR IDÉAUX
  69. 69. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 69F. AKEF Démonstration : II - OPÉRATEUR IDÉAUX
  70. 70. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 70F. AKEF Définition : › Soit A un anneau et I un idéalde A.Alors I est dite de type fini si  S une partie fini non vide de A tel que A(S) = I Définition : Soit A un anneau et I un idéal de A › Alors I est dit premier si et seulement si I  A et si I vérifie ›  x, y  A / xyI alors xI ou yI › I est dit maximal si et seulement si I  A et si I vérifie : › Si J idéal de A tel que alors J=A  I est dit primaire si et seulement si I  A et si I vérifie : › x, y  I tel que x.yI et xI alors n  IN* tel que ynI II - OPÉRATEUR IDÉAUX
  71. 71. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 71F. AKEF Théorème : › Soit A anneau , I idéal de A. Alors si I  A, ℳ idéal maximal de A tel que I ℳ Définition : › Soit (E, <) un ensemble ordonné, alors E est dit inductif si toute chaine de E admet une borne supérieur › (ie (Ai)iI est une chaine de E si AiE, iI et si i,jI alors Ai<Aj ou Aj< Ai). Axiome de Zorn : tout ensemble inductif admet un élément maximal II - OPÉRATEUR IDÉAUX
  72. 72. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 72F. AKEF  R II - OPÉRATEUR IDÉAUX
  73. 73. Chapitre 3 : Anneaux I. Relation d’équation : suivant un sous anneau II. Opérateur idéaux III. homomorphisme d’anneau IV. Caractéristique d’un anneau V. Anneaux de fractions VI. Divisibilité dans un anneau intègre VII. Anneaux Noethériens  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  74. 74. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 74F. AKEF › Soient A et A’ deux anneaux, f applicationde A dans A’ › f est un homomorphisme d’anneau si f (x+y) = f(x) + f(x) + f(y) et f(xy) = f(x)f(y) ∀x,yA Exemple : Soit A anneau et I idéal de A alors › s : A est un homomorphisme d’anneau › x= x+I Propriétés : A, A’deux anneaux et f homomorphisme d’anneaudeA dans A’ Alors : a)f(OA) = OA’ b)Kerf est idéal de A c) f(A) est un sous-anneau de A’ d)I idéal de A⇒ f1(I) idéal de A. e)si f injective et si A intègre alors f(A) est intègre. f) si f injective et si A corps alors f(A) corps. III - HOMOMORPHISME D’ANNEAU
  75. 75. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 75F. AKEF Démonstration : b)Kerf sous-groupe additif de A Soit xA, yKerf f(xy) = f(x) f(y) = f(u).OA’ = OAxyKerf 1er Théorème d’isomorphe concernant les anneaux › Soient A et A’ deux anneaux, f homomorphisme de A dans A! III - HOMOMORPHISME D’ANNEAU
  76. 76. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 76F. AKEF III - HOMOMORPHISME D’ANNEAU
  77. 77. Chapitre 3 : Anneaux I. Relation d’équation : suivant un sous anneau II. Opérateur idéaux III. homomorphisme d’anneau IV. Caractéristique d’un anneau V. Anneaux de fractions VI. Divisibilité dans un anneau intègre VII. Anneaux Noethériens  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  78. 78. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 78F. AKEF › Soit A anneau , 1Aélément neutre par multiplication. › Soit : Z A IV - CARACTÉRISTIQUE D’UN ANNEAU
  79. 79. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 79F. AKEF Proposition : Soit A anneau intègre, alors la caractéristique de A est soit nulle, soit un nombre premier. Démonstration : Z/noZ = (Z) › comme A est intègre, (Z) est intègre. ›  Z/noZ intègre noZ idéal premier de Z. › no = o ou no premier Corollaire: La caractéristique d’un corps est soit nulle, soit un nombre premier. IV - CARACTÉRISTIQUE D’UN ANNEAU
  80. 80. Chapitre 3 : Anneaux I. Relation d’équation : suivant un sous anneau II. Opérateur idéaux III. homomorphisme d’anneau IV. Caractéristique d’un anneau V. Anneaux de fractions VI. Divisibilité dans un anneau intègre VII. Anneaux Noethériens  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  81. 81. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 81F. AKEF Soit A anneau intègre (A commutatif et unitaire) Problème :  ? K corps et homomorphisme d’anneau injectif de A dans K › tel que zK (x, y)AA* tel que › z =  (x) (y)-1 (A*=nA tel que x  OA) Existence de K : › Sur A A* on définit la relation binaire R par : › (x,y) R (x, y) xy = yx › R relation d’équivalence ›  Transitivité : (x, y)R (x, y) et (x, y)R (x, y) › - si x= 0  en effet xy =yxxy = OA x = OA(yOA) › de x = 0  (x, y) R (x, y). I - ANNEAUX DE FRACTIONS
  82. 82. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 82F. AKEF Proposition : (A  A*/R*,+,.) est un corps. I - ANNEAUX DE FRACTIONS
  83. 83. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 83F. AKEF Théorème : Soit A un anneau intègre (commutatif et unitaire) › Alors K un corps unique à un isomorphisme près et  un homomorphisme injectif de A dans K tel que : › zK (x, y)AA* z =(x) (y)1 › Le corps est appelé le corps de fractions de A. › On plonge A dans K en identifiant xA et(x)K. › zK, (x, y)  AA*tel que : z = xy1=(x/y). I - ANNEAUX DE FRACTIONS
  84. 84. Chapitre 3 : Anneaux I. Relation d’équation : suivant un sous anneau II. Opérateur idéaux III. homomorphisme d’anneau IV. Caractéristique d’un anneau V. Anneaux de fractions VI. Divisibilité dans un anneau intègre VII. Anneaux Noethériens  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  85. 85. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 85F. AKEF 1 ) Divisibilité dans un anneau intègre (A commutatif et unitaire) › Soit A un anneau intègre (commutatif et unitaire), soit U(A) le groupe des éléments inversible de A (groupe des unités de A). Définition : Soient a, b, on dit que a divise b (ou a diviseur de b) et on écritsi : xA tel que b = ax. › Remarque : Soit aAuU(A) on a : u/a et ua /a › a, bA bAaA Définitions : * Soient a, bA, on dit que a est un diviseur propre de b si : › au(A) et a ubxU(A) * Soit aA, aOA, alors a est dit irréductible sia n’admet que des diviseurs propres. * Soient a, bA, on dit que a et b sont étrangers si a et b n’admettent aucun diviseur propre commun. * Soient a, bA, on dit que a et b sont associés si a/b et b/a. VI - DIVISIBILITÉ DANS UN ANNEAU INTÈGRE
  86. 86. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 86F. AKEF Remarque : › * la relation R définie dans A par : x R y  x et y sont associés et R est une relation d’équivalence. › * Soient a, bA tel que a et b sont associés alors : › uU(A) tel que a = ub. Définition : Soit a1, …, anA et d, mA › On dit que d est p.g.c.d de a1, …, an si : i) d/ai i1, …, n ii)xA tel que x/ai (1 i  n) alors x/d › On dit que m est un p.p.c.m de a1, …, an si : i)Ri/m i1, …, n ii)xA telque ai/x (i1, …, n) on a : m/x VI - DIVISIBILITÉ DANS UN ANNEAU INTÈGRE
  87. 87. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 87F. AKEF 2) Anneaux principaux : › Soit A un anneau intègre (commutatif et unitaire) Définition : A est dit principal si : I idéal de A, aA tel que I = aA Proposition : Soit pA, p  OA, A anneau principal. › pA est premier  p est irréductible pA maximal Démonstration : pA premier  ? p irréductible › pA premier pA A  p n’est pas inversible › Soit x un diviseur de p yA tel que xy= p › pA premier  xpA ou ypA .  xpA x = px (x A) pxy = p xy = 1  xU(A)  si ypA y = py (y A) xpy’ = p xy’= 1A xU(A). › Pirréductible pAmaximal ? › P irréductible P U(A)pA A VI - DIVISIBILITÉ DANS UN ANNEAU INTÈGRE
  88. 88. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 88F. AKEF Corollaire : dans un anneau principal, tout idéal premier est maximal. Proposition :Soit A un anneau principal et a1, …, anA. › Alors  d et m A tel que d est un p.g cd de a1, …, an et m un ppcm de a1, …, an. Démonstration : Soit a1A+… + anA(est un idéal de A) A un anneau principaldA, tel que a1A+… + anA = dA i-i1, …, n,aiAdA d/ai ii-Soit xAtel que x/ai ( i1, …, n). x/aiaiA xA ( i1, …, n). dAxA x/d (montrer que m est un p.p.c.mde a1, …, an) VI - DIVISIBILITÉ DANS UN ANNEAU INTÈGRE
  89. 89. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 89F. AKEF Proposition : Soit A un anneau principal et( Ij)jIN une famille d’idéaux de A tel que IoI1 … InIn+1 › AlorsnoIN telqueIno = Im ; m no. Démonstration : soit › J est un idéal de A en effet : › Soient x, y In, mINtel que : xIn et yIm ,on suppose que In Im x, yImx- yImx- yJ › Soit a Aet xJnINtel que : xIn axIn axJ aAtel que J = aA noIN telque J = et m  noon a : = Im ( Im J Im) VI - DIVISIBILITÉ DANS UN ANNEAU INTÈGRE
  90. 90. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 90F. AKEF Proposition :Soit A un anneau principal. Soit xA tel que x  OA et x  U(A). Alors : i) uU(A), P1…, Prdes éléments irréductibles de A tel que x = up1… pr. ii) si x = up1… pr = vq1…, qs avec q1… ,qséléments irréductibles de A, alors r = s et  R Srtel que Pi et qR(i)sont associés. Démonstration existence : xA (x OA , x U(A)).  On suppos eque x ne s’écrit pas comme i) : › Soit xo et yoA des diviseurs propres de x tel que x = xoyo. ›  On suppose que xone s’écrit pas comme i donc : xo = x1y1 avec Axo Ax1 Axo Ay1 Ainsi de suite n va construire une suite S croissante infinie d’idéaux de A. Ceci contredit la propriété précédente. VI - DIVISIBILITÉ DANS UN ANNEAU INTÈGRE
  91. 91. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 91F. AKEF › Unicité : x A, x OA, x U(A). On suppose que x = up1… pr = vq1…, qs › u,vU(A), p1…, pr, q1,…, qs d’éléments irréductible de A. › On suppose que r  s On supose que r < s › uv-1. p1…, pr = q1,…, ps p1/q1,…, qs VI - DIVISIBILITÉ DANS UN ANNEAU INTÈGRE uU(A) (U(A) est groupe par la multiplication). Soit u-1l’inverse de u. 1A = u-1 qir+1… qis qir+1…, qisU(A) Ceci est impossible (car ils sont tous irréductible)
  92. 92. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 92F. AKEF Définition : Soit A un anneau (commutatif et unitaire) intègre, A est dit factoriel si xA, x OAet x U(A), x vérifie (i) et (ii) de la propriété précédente. › Corollaire : Tout anneau principal est factoriel Proposition : Soit A un anneau factoriel, soit pA, p OA › Alors p est irréductible pAest premier. VI - DIVISIBILITÉ DANS UN ANNEAU INTÈGRE
  93. 93. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 93F. AKEF Démonstration : / p irréductible. Soient x, y A tel que : xypA et xpA. xypAzA tel que xy = pz si x est inversible alors ypA si x n’est pas inversible : Soit x = up1…pr décomposition de x en facteur irréductible, alors pi et p ne sont pas associés i 1,…, r   (d’aprèsi et ii)ypA /pA idéal premier  p U(A). Soit x diviseur de p yA tel que p = xy x pA ou y pA (pA premier). si x pAzA tel que x = pz  p = pzy yU(A)  x = y-1pU(A) ypAzA tel que y = pz p = xpz xU(A) VI - DIVISIBILITÉ DANS UN ANNEAU INTÈGRE
  94. 94. Chapitre 3 : Anneaux I. Relation d’équation : suivant un sous anneau II. Opérateur idéaux III. homomorphisme d’anneau IV. Caractéristique d’un anneau V. Anneaux de fractions VI. Divisibilité dans un anneau intègre VII. Anneaux Noethériens  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  95. 95. CHAPITRE 3 : ANNEAUX 95F. AKEF Définition : Soit A un anneau commutatif, unitaire et intègre. › A est dit noethérien si tout ensemble non vide d’idéal de A ( A) admet un élément maximal. Proposition : Soit A un anneau commutatif, unitaire et intègre. Alors il y a  entre : i) A noethérien ii) Tout idéal de A est engendré par un nombre fini d’éléments de A. iii) Toute suite croissante d’idéal de A est stationnaire. VII - ANNEAUX NOETHÉRIENS
  96. 96. Chapitre 4 : Algèbre linéaire I. Quotient d’un espace vectoriel par un sous-espace vectoriel. II. Réduction des matrices carrées  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  97. 97. CHAPITRE 1 : ALGÈBRE LINÉAIRE 97F. AKEF Dans toute la suite et sauf mention contraire K sera un corps commutatif. * Soient E un espace vectoriel sur K et Fun sous-groupe de E. On considère la relation définie sur E par : ›  x, y E x R y  x – y F Soit E/R l’ensemble quotient clp(x) =x-. (x  F) › Théorème : I - QUOTIENT D’UN ESPACE VECTORIEL PAR UN SOUS-ESPACE VECTORIEL.
  98. 98. CHAPITRE 1 : ALGÈBRE LINÉAIRE 98F. AKEF Démonstration : › /On suppose quemuni de + et estun espace vectorielsur K I - QUOTIENT D’UN ESPACE VECTORIEL PAR UN SOUS-ESPACE VECTORIEL.
  99. 99. CHAPITRE 1 : ALGÈBRE LINÉAIRE 99F. AKEF Proposition : › Soient E un espace vectoriel sur k, Fun sous espace vectoriel de E et I - QUOTIENT D’UN ESPACE VECTORIEL PAR UN SOUS-ESPACE VECTORIEL.
  100. 100. CHAPITRE 1 : ALGÈBRE LINÉAIRE 100F. AKEF I - QUOTIENT D’UN ESPACE VECTORIEL PAR UN SOUS-ESPACE VECTORIEL.
  101. 101. CHAPITRE 1 : ALGÈBRE LINÉAIRE 101F. AKEF 2ème théorème d’isomorphisme concernant les espaces vectoriels : › Soit E un espace vectoriel sur k et F, G deux sous espaces vectoriels de E. I - QUOTIENT D’UN ESPACE VECTORIEL PAR UN SOUS-ESPACE VECTORIEL.
  102. 102. CHAPITRE 1 : ALGÈBRE LINÉAIRE 102F. AKEF 3ème théorème d’isomorphisme concernant les espaces vectoriels : › Soient E un espace vectoriel sur k et F un sous espace vectoriel de E. I - QUOTIENT D’UN ESPACE VECTORIEL PAR UN SOUS-ESPACE VECTORIEL.
  103. 103. Chapitre 4 : Algèbre linéaire I. Quotient d’un espace vectoriel par un sous-espace vectoriel. II. Réduction des matrices carrées  Chapitre 1 : Homomorphisme de groupes  Chapitre 2 : Résultats sur les groupes finis  Chapitre 3 : Anneaux  Chapitre 4 : Algèbre linéaire ALGÈBRE
  104. 104. CHAPITRE 1 : 104F. AKEF II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  105. 105. CHAPITRE 1 : 105F. AKEF Proposition : › E un espace vectoriel sur K, soit lK, uK(E). › Vl = {xE tel que u(x) = l x}. › Alors Vl est un sous espace vectoriel de E. › Si la une valeur propre pour u alors Vl { oE}. Définition : › uK(E)l valeur propre pour u alors Vl est appelé le sous espace vectoriel propre associé à la valeur propre l II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  106. 106. CHAPITRE 1 : 106F. AKEF II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  107. 107. CHAPITRE 1 : 107F. AKEF II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  108. 108. CHAPITRE 1 : 108F. AKEF Exemple : › E espace vectoriel de dimension finie sur K. › { e1, … ,en } base de E II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  109. 109. CHAPITRE 1 : 109F. AKEF › 2) Polynôme Caractéristique associé à une matrice carrés : › Mn(K) l’ensemble des matrices carré à coefficient de K, soit AMn(K), II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  110. 110. CHAPITRE 1 : 110F. AKEF Définition : › Soient A, AMn(K) › A et Asont dites semblables si :PMn(K), P inversible tel que : A = PAP-1. Proposition :Soit A et AMn(K). › A et A semblables PA(X) = PA(X). Démonstration : › A, A semblablePinversiblesMn(K) tel que A = PAP1 › PA(X) = det (A – XIn) = det(PAP1 – X (PInP1) › = det (p(AXIn) P1) › = det pdet (AXIn) det (P1) › = det (A’ - XIn) › = PA’(X) II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  111. 111. CHAPITRE 1 : 111F. AKEF 3) Polynôme caractéristique associé à un endomorphisme : (d’un espace vectoriel de dimension finie sur K) Diagonalisation : › Soit E espace vectoriel sur K.dimK E = n, uℒK(E). › B et Bdeux bases de E : A = MB(u), A = MB(u) ›  PMn(K), P inversible tel que : › A = PAP1A et Asont semblablesPA(X) = PA(X) Définition : › PA(X) est appelé polynôme Caractéristique associé à u Notation : PA(X) = Pu(X) › tr(u) = tr(A) *Le polynôme caractéristique associé à u est indépendant de la base choisie. II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  112. 112. CHAPITRE 1 : 112F. AKEF Proposition : › E espace vectoriel de dimension finie sur K, uℒK(E),lK › l valeur propre pour u Pu(l) = 0 Démonstration : › l valeur propre pour u (u - lI) mon injective › de t(A – IE)= 0  Pu(l) = 0 Définition : › uℒK(E)(E espace vectoriel de dimension finie sur K) › u est dit diagonalisable, s’il existe B base de E tel que MB(u) soit diagonale. › Soit AMn(K), A est dite diagonalisable si A est semblable àune matrice diagonale. II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  113. 113. CHAPITRE 1 : 113F. AKEF Théorème : › Soit E espace vectoriel de dimension finiesur K ; (dimk E = n) › uℒK(E), Pu(X) polynôme caractéristique associé à u › On suppose qu’l1, …, lrK deux à deux distincts tel que : › Pu(l) = (l1 - X)a1 … (lr)aret (a1+ … + ar = n)(1 i  r) › Alors :i) 1 dimK V li ai ii)dim V li = ai  E = V l1  V l2...  V lr iii)dimV li=ai u diagonal(1i  r) II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  114. 114. CHAPITRE 1 : 114F. AKEF II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  115. 115. CHAPITRE 1 : 115F. AKEF Théorème : › Soit E unespace vectoriel. de dimension finie n sur K et uℒK(E ). Alors : › u diagonalisable l1 …, lr deux à deux différents tel que : › Pu(X) = (1 – X)a1 … .(r– X)ar. › a1 + … + ,ar = n et dimV li = a1 Démonstration : ›  /déjà montré › / u diagB = {e1, … , en} base de Etel que MB(u) est diagonalisable › l1 , …, Xn K tel que II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  116. 116. CHAPITRE 1 : 116F. AKEF Exemple :E espace vectoriel Sur de dimension 2. u, u’ℒIR(E ). › B = {e1, …,e2} base de E. II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  117. 117. CHAPITRE 1 : 117F. AKEF Définition : Soit E un espace vectoriel.de dimension finie sur K, uℒK(E) u est dit trigonable s’il existe une base B de E tel que MB(u) est trigonale (triangulaire). Théorème : › Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K et uLK(E). › Alors : u est trigonable Pu(X) se décompose en produit de facteurs de premier degré. › c.à.d l1, …, ln K tel que : › Pu (X) = (l1- X) … (ln - X) où les li sont non nécessairement distincts deux à deux. Démonstration : › / u trigonal B base de E tel que MB(u) est trigonal. ›  B base de E tel que : ›  Pu (X) = (l11- X) … (lnn - X) › / Démonstration par récurrence sur dim E : › n = 1 (évident) II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  118. 118. CHAPITRE 1 : 118F. AKEF Hypothèse de récurrence : On suppose que si H est un espace vectoriel de dimension n – 1 sur K et si f uℒK(H) est tel que Pf(X) se décompose en produit de facteur du 1er degré. Alors f est trigonalisable :  Etel que dimK E = n , uℒK(E ) et Pu(X) se décompose en produit de facteur du 1er degré.  l valeur propre de E  e1oE tel que u(e1) = l e1. soit F = b e1,b  K sous espace vectoriel de E, dim F = 1  G sous espace vectoriel de E tel que E = F G ; dim G = n – 1  b =  e1,… ,ek base de G. Soit uℒ(G, E) u =et p : E = F G G (x + y ) y v = pouℒK(G) B =  e1,… ,en base de E. II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  119. 119. CHAPITRE 1 : 119F. AKEF II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  120. 120. CHAPITRE 1 : 120F. AKEF On remarque que : Pu (X) = (l- X) Pu (X) › d’après les hypothèses on a : Pu (X) se décompose en produit de facteur de 1er d°  Pu (X) …. › Donc l21… ln K tel que : Pu (X) = (l2- X) ….(ln- K) ›  (d’après les hypothèses de récurrence que v est trigonale › B = f21,… ,fn base de Gtel que : MB(v) soit trigonale › B″ = e1, f2,… ,fn base de E › Cherchons MB’(v), u(e1) = le1. › soit i2, … , nv(fi) = b2ifa+ bzif3+ … + biifi › or p surjective b1i K telque (fi) = b1ie1 + b21f2 + … + biifi. II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  121. 121. CHAPITRE 1 : 121F. AKEF › 4)Réduction de Jordan › Soit F espace vectoriel sur K.,uLK(E ) › On pose : II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  122. 122. CHAPITRE 1 : 122F. AKEF › Définition : Q est appelé polynôme minimal normalisé › Théorème :(Cayley – Hamilton). › Soit E un ev. de dim finie sur K et mLK(E ) et Pu(X) le polynôme caractéristique de u alors Xu (P) = Pu(u) = 0 ie le polynôme minimal de u divise Pu (X)  II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  123. 123. CHAPITRE 1 : 123F. AKEF › Démonstration du théorème : (Cayley – Hamilton). › Soit B = {e1, …, en} base de E (dimKE = n) › Soit A = MB(u) = (aij) 1 i,j n et soit B = (bij) = aijij X › Pu(X) = det B ? Pu(X) ej= 0 j{1, …, n} ? II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  124. 124. CHAPITRE 1 : 124F. AKEF Théorème : › Soient E un espace vectoriel de dimension fini sur un corps commutative K,uℒk(E) etQu le polynôme minimal normalisé de u. Alors si est valeur propre de u, le polynôme (X ) divise Qu (c’est à dire est racine deQu (X)) Démonstration : › valeur propre de u xE x  OE tel que u(x) = x II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  125. 125. CHAPITRE 1 : 125F. AKEF › Lemme : › Soit E un espace vectoriel sur un corps commutative K, uℒk(E), PK[X}, P  0. On suppose qu’il existe P1, …, PrK[X] deux à deux premières entre eux tel que : › P = P1 … Pr .AlorsKerP(u) = Ker P1(u)  … kerPr(u) . II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  126. 126. CHAPITRE 1 : 126F. AKEF › Théorème : › Soit E espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif K,uℒk(E) et Pu (X)le polynôme caractéristique de x. Alors F1 …Fr des sous-espaces vectoriels de E tel que : › i) E = F1…Fr . › ii) u(Fi)  Fi (i{1, …., r} › iii) pour i{1, …., r} et ui = ℒk(E) , Bi base de Fi et Mi = alors : II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  127. 127. CHAPITRE 1 : 127F. AKEF Démonstration : › i) K[X] factorielP1, ..., Pr polynômes irréductibles de K[X] non associés deux à deux tel que : II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  128. 128. CHAPITRE 1 : 128F. AKEF › Remarque et définition : › E espace vectoriel sur K (corps commutatif) n = dimK E › uℒk(E) , Pu le polynôme caractéristique de u. On suppose que : II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  129. 129. CHAPITRE 1 : 129F. AKEF Théorème : › E espace vectoriel de dimension fini sur un corps commutatif K, uℒk(E), alors u diagonale 1, …, rK, deux à deux distincts tel que : › Qu(X) = (X 1) …(X r) . Démonstration : Exemples : › K corps commutatif, E espace vectoriel de dimension finie sur K II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  130. 130. CHAPITRE 1 : 130F. AKEF Endomorphisme nilpotents - Réduction de Jordan : › Dans tout le paragraphe : E espace vectoriel de dimension finie n sur K (corps commutatif). Définition : › Soit uℒk(E), u est dit nilpotent s’il existe kℕ* tel que : uk = 0. › u est dit nilpotent d’indice k si uk = 0 et uk1 0 . › pℕ* tel que Qu(X) = Xp p est l’indice de nilpotent de u. Remarque : › Si nilpotent et si degQu 1  u non diagonalisable. Un endomorphisme nilpotent non nul n’est jamais diagonalisable. Remarque : › Si uℒk(E) et si Pu(X) = (X)n u nilpotent. II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  131. 131. CHAPITRE 1 : 131F. AKEF Proposition : › Soit uℒk(E), on suppose qu’il existe xE, x  OE et kℕ* tel que :uk (x) = 0 et uk1 (x)  0 alors : 1)Le système B = {uk1 (x), uk2 (x), …, u(x), x} est libre. 2) Le sous-espace vectoriel F engendré par B est stable par u. II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  132. 132. CHAPITRE 1 : 132F. AKEF II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  133. 133. CHAPITRE 1 : 133F. AKEF Définition : › Une matrice qui a la forme ci-dessus est appelé matrice nilpotente de Jordan. Remarque : › Si uLK(E), tel que l’indice de nilpotent de u est n(n = dimKE)(indice de nilpotence) › B base E tel que MB(u) est une matrice de Jordan d’ordre n. Théorème : › uLK(E), tel que u soit nilpotente d’indice k. Alors B base E tel que : › Avec  i1, … , r Mi est une matrice de Jordan d’ordre ni : › n1 n2… nr › n1 = k et r = dimker u II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  134. 134. CHAPITRE 1 : 134F. AKEF Lemme 1 : mêmes hypothèses que le théorème. › i0, … ,k ; › 0  = Fo F1 …. Fk-1 et u (Fi+1)  Fi 0 i  k-1 Démonstration : › F0 F1 … Fk-1Fk(évident) ›  x Fi+1  ui+1 (x) = 0 ui(u(x)) = 0 ›  u(x) Fiu(Fi+1)  F › Supposons qu’il existe i 0, … , k-1 + q Fi+1 = Fi ›  xE : uk(x) = 0  ui+1 (uk-i-1(x)) = 0 › xE , uk-i-1(x)  Fi+1 =, or Fi+1 = Fi › xE ui(uk-i-1(x)) = 0 xEuk- 1(x) = 0 › Ceci contredit le fait que k est l’indice de nilpotent de u. II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  135. 135. CHAPITRE 1 : 135F. AKEF Lemme 2 : mêmes hypothèses que le théorème › et soiti1, … ,k, Fi= Ker uiet F un sous-espace vectoriel de T tel que F Fi= 0, alors u(F)  Fi-1 = 0 et la restitution de u à F est injective (c’est à dire : F  u(F) isomorphisme d’espace vectoriel.) Démonstration : › Soityu(F)  Fi-1 ›  xF, tel que : y = u(x) et ui-1(y) = 0 › ui-1(u(x)) = 0ui(x) = 0 › xFi x F Fi= 0 x = 0 y = 0 (y = u(x). › Soit xF tel que u(x) = 0 ui(u) = 0 x = 0 II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  136. 136. CHAPITRE 1 : 136F. AKEF Lemme 3 :mêmes hypothèses que le théorème. › Fi = Ker ui, 0 ≤ i ≤ k › alors  G1, … ,Gkdes sous-espaces vectoriels de E tel que : (1) i1, … ,k; Fi = Fi1Gi (2)u(Gi)  Gi1 et la restriction de u à Gi est inj Démonstration : › fk-1 Fk = E › Soit Gksous-espace vectoriel de E = Fk = Fk-1Gk › Gk Fk-1 = 0 u(Gk)  Fk-2 = 0 (Lemme 2) › GkFk (Gk) Fk-1 (Lemme 1) ›  Gk-1un sous-espace vectoriel de E tel que u(Gk)  Fk-1 et Fk-2 Gk-1 =Fk-1 d’après lemme 2 on a : restriction de u à Gkest injective. II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  137. 137. CHAPITRE 1 : 137F. AKEF II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  138. 138. CHAPITRE 1 : 138F. AKEF La démonstration du théorème découle du lemme 3. Remarque : II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  139. 139. CHAPITRE 1 : 139F. AKEF Cas général : II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  140. 140. CHAPITRE 1 : 140F. AKEF II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  141. 141. CHAPITRE 1 : 141F. AKEF II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  142. 142. CHAPITRE 1 : 142F. AKEF II - RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES
  143. 143. Algèbre CAPES-Mathématiques Fatiha AKEF UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA ENSET - Mohemmadia

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